27.1.1二次函数
二次函数y=ax2+bx+c解析式求法
华师大第27章二次函数全章导学案第二十七章 二次函数 第1课时 27.1 二次函数一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题；3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m __________时，该函数为二次函数；（2）当m __________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．五、目标检测1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1B ．a ＝±1C ．a ≠1D ．a ≠－12．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x －1C ．y ＝8xD ．y ＝8x23．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式． 4．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质一、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 二、探索新知：画二次函数y ＝x 2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x 、y 的对应值；②描点（表中x 、y 的数值在坐标平面中描点（x ，y ）；③连线（用平滑曲线）．】 列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……描点，并连线由图象可得二次函数y ＝x 2的性质：1．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y ＝x 2中，二次函数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口__________． 3．自变量x 的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝x 2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ． 三、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．解：列表并填：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12 x 2 ……y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2 ……归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a _______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2的图象．列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y =－12 x 2……x…－4－3－2－11234…y＝－2x2……归纳：抛物线y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．四、理一理1．抛物线y＝ax2的性质图象（草图）开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______．a＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______．2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______ 对称，开口大小_______________．3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．五、课堂训练 1．填表：开口方向 顶点对称轴有最高或最低点最值y ＝23 x 2当x ＝____时，y 有最_______值，是______．y ＝－8x 22．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m ____________． 4．如图， ① y ＝ax 2② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．___________________________________六、目标检测1．函数y ＝37 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________．2．二次函数y ＝mx22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．第3课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用；3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．二、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．解：先列表x…－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2＋1 ……y＝x2－1 ……描点并画图观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．三、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．增减性2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．四、课堂巩固训练1．填表函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y＝3x2y＝－3x2＋1y＝－4x2－52．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为____________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．五、目标检测1．填表函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性y＝－5x2＋3y＝7x2－12．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．第4课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x －h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x －h ）2的性质，并要会灵活应用；二 、探索新知： 画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12 (x －1)2……描点并画图．1．观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12 (x ＋1)2y ＝－12(x －1)22．请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ．三、整理知识点 1．y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x －h )2开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 四、课堂训练1．填表图象（草图）开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y ＝12x 2y ＝－5 (x ＋3)2y ＝3 (x －3)22．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________． 3．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________． 把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_____________． 4．将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式 ___________________________． 五、目标检测1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y ______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n )2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．第5课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h )2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质解题． 二、探索新知：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：x…－4－3－2－112…y ＝－12(x ＋1)2－1……由图象归纳： 1．函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12 (x ＋1)2－12．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2－1．三、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x －h )2 y ＝a (x －h )2＋k开口方向顶点对称轴最值增减性 （对称轴右侧）2．抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________． 四、课堂练习 1．y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性 （对称轴左侧）2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12(x －2)2＋3B ．y ＝12(x ＋2)2－3C ．y ＝12(x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为 __________________．五、目标检测1．开口方向 顶点对称轴y ＝x 2＋1y ＝2 (x －3)2y ＝－ (x ＋5)2－42．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）ABCD4．将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x ＝1，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）第6课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质一、学习目标：1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴；2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象． 二、探索新知：1．求二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21的顶点坐标与对称轴．解：将函数等号右边配方：y ＝12 x 2－6x ＋212．画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．解：y ＝12 x 2－6x ＋21配成顶点式为_______________________．列表：x… 3 4 5 6 7 8 9 … y ＝12 x 2－6x ＋21 ……3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．三、理一理知识点：y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）四、课堂练习1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．4．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．五、目标检测1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝12 x 2－2－1的顶点坐标．2．二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：1．懂得求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴、y 轴的交点的方法；2．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． 三、基本知识练习1．求二次函数y ＝x 2＋3x －4与y 轴的交点坐标为_______________，与x 轴的交点坐标____________．2．二次函数y ＝x 2＋3x －4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y ＝x 2＋bx 过点（1，4），则b ＝________________．5．一元二次方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用 1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点（含y ＝0时，则在函数值y ＝0时，x 的值是抛物线与x 轴交点的横坐标）．例1 求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点（含x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标）．例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标．3．a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． （1）a 决定：开口方向、形状（2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ） （3）b 与－b2a共同决定b 的正负性（4）△＝b 2－4ac ⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000例3 如图， 由图可得： a _______0 b _______0 c _______0△______0例4 已知二次函数y ＝x 2＋kx ＋9． ①当k 为何值时，对称轴为y 轴；②当k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； ③当k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点． 五、课后练习1．求抛物线y ＝2x 2－7x －15与x 轴交点坐标__________，与y 轴的交点坐标为_______．2．抛物线y ＝4x 2－2x ＋m 的顶点在x 轴上，则m ＝__________． 3．如图： 由图可得： a _______0 b _______0 c _______0△＝b 2－4ac ______0六、目标检测1．求抛物线y ＝x 2－2x ＋1与y 轴的交点坐标为_______________．2．若抛物线y ＝mx 2－x ＋1与x 轴有两个交点，求m 的范围．3．如图：由图可得：a _________0b _________0c _________0△＝b 2－4ac _________0第8课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式求法一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式． 二、课前基本练习1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．三、例题分析例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式． 例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．四、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a (x －h )2＋k ． 3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）五、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？六、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．七、目标检测1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．QPCBA第9课时用函数观点看一元二次方程一、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx ＋c与x轴的公共点的个数．二、探索新知1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．三、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．四、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________ 4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________5．如图填空：（1）a________0（2）b________0（3）c________0（4）b2－4ac________0五、课堂训练1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0②如图2a＋b _______04a＋2b＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．六、目标检测根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；七、课后训练1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．第10课时 实际问题与二次函数（1）一、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值． 二、课前基本练习1．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 2．抛物线y ＝12 x 2－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 三、例题分析：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？ 四、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？DCB AF EDC BA五、目标检测如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当 点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？第11课时 实际问题与二次函数（2）商品价格调整问题一、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．应用二次函数的性质解决问题． 二、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x 元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y 元．（2）设每件降价x 元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件． 三、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100－x ）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间xHGFEDCBA（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）四、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？第12课时 实际问题与二次函数（3）一、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题． 二、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ） A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？三、课堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．图①2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？第13课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y ＝kx 2＋2x ＋1（k ＜0）的图象可能是（ ）2．如图：（1）当x 为何范围时，y 1＞y 2?（2）当x 为何范围时，y 1＝y 2?（3）当x 为何范围时，y 1＜y 2?3．如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝____________．4．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （53，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 35．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A →B →C →D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求点P 从点A 运动到点D 所需的时间．（2）设点P 运动时间为t （秒）①当t ＝5时，求出点P 的坐标．②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C．（1）求b、c的值；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．二次函数（单元复习）一．选择题1．若二次函数()2xay的开口向上，则a的取值范围为（）=x12-3--A．1<a D．全体实数a C．1≠a B．1>2．若点M （1，2）在函数232-+=x ax y 的图象上，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．下列各点不在抛物线4322-+-=x x y 的图象上的是（ ）A ．（0，4-）B ．（1-，9-）C ．（1，3）D ．（2，2-）4．若二次函数()12-+--=a a x y 的顶点在第四象限，则a 的取值范围为（ ）A ．1>aB ．0<aC ． 10<<aD ．无法确定5．二次函数42-=x y 与x 轴的交点坐标为（ ）A ．（2，0） （2-，0）B ．（2，0）C ．（2-，0）D ．（0，4-）6．将抛物线2x y -= 向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()322++-=x yB ．()322+--=x yC ．()322-+-=x yD ． ()322---=x y7．二次函数c bx x y ++-=22的顶点坐标为（1，2），则函数值y 随着自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A ．1>x B ．1<x C ．2>xD ．2<x8．半径为r 的半圆的面积是S ，则S 与r 的函数关系式为（ ）A ．2r S π=B ．221r S π=C ．r S π2=D ．r S π= 二．填空题9．将642--=x x y 化成()n m x a y ++=2的形式为 .10．若点A （3，m ）在函数1322+--=x x y 的图象上，则m 的值为 .11．抛物线32--=x y 的顶点坐标为 .12．用一根长10cm 的铁丝围成一个矩形，设其中的一边长为xcm ，矩形的面积为2ycm ，则y 与x 的函数关系式为 .13．抛物线32-=x y 与直线1=x 的交点坐标为 .14．请你写出一个开口向下、顶点在第二象限的二次函数的解析式为 . 三．15．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（1，4-）、（0，3-）和点（2-，5） ⑴求该函数的解析式.⑵利用配方法求此函数的顶点坐标和对称轴.⑶在右面提供的方格中，画出该函数的图象.⑷观察图象回答，当x 为何值时，0>y ？16．已知函数202442+-=x x y⑴求此函数的顶点坐标及对称轴.⑵求出该函数与坐标轴的交点的坐标.⑶当x 取何值时，y 随着x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随着x 的增大而减小17．已知二次函数m x x y +-=42的顶点P 在直线14--=x y 上. ⑴求m 的值 ⑵设图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，求四边形ACBP 的面积.18．如图，ABC ∆中，︒=∠90B ，cm AB 6=，cm BC 8=，点P 从A 点开始沿AB 向点B 以s cm /1的速度移动，同时点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以s cm /2的速度移动.⑴求PBQ ∆的面积S （2cm ）与运动时间t （s ）之间的函数关系式.⑵当t 为何值时，28cm S =？四．解答题19．下面是某商场经理接到的采购部和销售部的两个电话，根据电话内容完成下列问题： ⑴写出该商场卖这种商品每天的销售利润y （元）与每件销售价x （元）之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.⑵当销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？。
二次函数271精品PPT课件
AB的长ｘ（ｍ） １
２ ３４ ５ ６ ７
８９
ＢＣ的长（ｍ） 18 16 14 １２ 10 8 6
42
面积ｙ（ｍ２） 18 32 42 ４８ 50 48 42 32 18
y=x(20-2x)
Y=-2x2+20x (0﹤x﹤10)
试一试： 2007年11月13日制作
问题2
温馨提示：同桌交流， 互相帮助！
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思考： 由问题1和2，你认为判断二次函数的关键是
什么？
是：看二次项的系数是否为0．
2007年11月13日制作
四、知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
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知识运用
例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x m2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？
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练习
P27页1,2，
原创 徐继伦
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
相帮助！
要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法才
能使围成的面积最大？
A
D
1、 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2． 能用含x的代数式来表示y吗？
2、 试填下面的表
B
C
3 、x的值可以任意取？使指出它的取值范围。
4 、 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。
数学九年级下华东师大版27.2二次函数的图象与性质(1)课件
结束寄语
书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟, 黑发不知勤学早, 白首方悔读书迟.
银行将本金和利息自动按一
年定期储蓄转存.如果存款
是100元,那么请你写出两年
后的本息和y(元)的表达式(
?
不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
你能答对吗
用总长为60m的篱笆围成矩形场 地，场地面积S(m²)与矩形一边长 a(m)之间的关系是什么？
解：S=a(
60 2
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时
y是x的二次函数
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以y总=使-产5果x²量+园1最0橙0多x子+6？0的000,
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y
- - 60420
60480
AB长x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长
18 16 14 12 10 8
6
4
2
面积y
18 32 42 48 50 48 42 32 18
▪ (2) X的值是否可以任意取?有限定范围吗?
▪ (3) 我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积 (y)也就随之确定,y是x的函数,试写出这个函数 的关系式.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
二次函数的基本概念
二次函数的基本概念二次函数是数学中一个重要的函数类型，其形式通常为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像呈现出拱形，常常在数学和科学领域被广泛应用。
本文将介绍二次函数的基本概念和相关性质。
1. 二次函数的标准形式二次函数的标准形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别代表函数的系数。
在标准形式中，x^2项的系数a决定了二次函数图像的开口方向和形状。
当a>0时，图像开口朝上，形状为向上的拱形；当a<0时，图像开口朝下，形状为向下的拱形。
2. 二次函数的顶点二次函数的图像呈现出拱形，其中最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
通过顶点的坐标，可以了解二次函数的对称轴，对称轴与x轴的交点也是顶点。
3. 二次函数的轴对称性二次函数的图像是关于对称轴x = -b/2a对称的，即对称轴将图像分成两个完全相同的部分。
这意味着，如果(x, y)是图像上的一点，那么(-x, y)也一定是图像上的一点。
4. 二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
根据二次方程求根公式，二次函数的零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，b^2-4ac被称为判别式，可以用来判断二次函数的零点类型。
当判别式大于0时，二次函数有两个不同的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根。
5. 二次函数的图像特征二次函数的图像特征包括开口方向、顶点坐标、对称轴、零点以及图像的凹凸性等。
根据系数a的正负和判别式的值，可以确定二次函数图像的这些特征。
掌握这些特征可以帮助我们更好地理解和分析二次函数。
总结：二次函数是数学中一种重要的函数类型，具有拱形的图像特征。
了解二次函数的基本概念和相关性质，如标准形式、顶点、轴对称性、零点以及图像特征，对于解决实际问题、分析数据以及深入研究数学领域都具有重要意义。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
二次函数知识梳理
二次函数知识梳理二次函数是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和物理学等领域。
它的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
本文将从二次函数的定义、性质、图像、应用等方面进行梳理，帮助读者更好地理解和掌握二次函数知识。
一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的二次方作为最高次幂的函数。
一般表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a。
c为常数，决定了二次函数的纵向平移。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点是使函数值等于零的x值。
零点可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0得到。
若Δ=b²-4ac>0，则有两个不同的实数根；若Δ=0，则有两个相等的实数根；若Δ<0，则无实数根。
2. 极值点：二次函数的极值点是函数曲线的最高点（最大值）或最低点（最小值）。
对于开口向上的二次函数，极值点为最小值点；对于开口向下的二次函数，极值点为最大值点。
极值点的纵坐标为c-Δ/4a，横坐标为-b/2a。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称轴，对称轴方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
4. 单调性：对于开口向上的二次函数，当a>0时，函数单调递增；对于开口向下的二次函数，当a<0时，函数单调递减。
5. 函数图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向和形状由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由a、b、c确定。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点在对称轴上方；当a<0时，抛物线开口向下，最高点在对称轴下方。
对称轴是抛物线的对称轴，抛物线关于对称轴对称。
二次函数知识点总结(详细)
2.已知二次函数 的图象如图所示, 有以下结论: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②B. ①③④C. ①②③⑤D. ①②③④⑤3.二次函数 的图象如图所示, 则下列关系式中错误的是（ ） A. a ＜0 B. c ＞0 C. ＞0 4、D. ＞0图12为二次函数 的图象, 给出下列说法:① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时, y 随x 值的增大而增大；⑤当 时, . 其中, 正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）5.已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图. 则下列5个代数式: ac, a+b+c, 4a －2b+c, 2a+b, 2a －b 中, 其值大于0的个数为（ ） A. 2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定 例4.求二次函数解析式:（1）抛物线过（0, 2）, （1, 1）, （3, 5）；（2）顶点M （-1, 2）, 且过N （2, 1）；（3）已知抛物线过A （1, 0）和B （4, 0）两点, 交y 轴于C 点且BC ＝5, 求该二次函数的解析式。
（1） 练习: 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 当x=3时, y 最小值=－1, 且图象过（0, 7）图象过点（0, －2）（1, 2）且对称轴为直线x=图象经过（0, 1）（1, 0）（3, 0）五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）11 1 Oxy已知抛物线y＝x2-2x-8,（1）求证: 该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B, 且它的顶点为P, 求△ABP的面积。
2、1.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为如图所示, 二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C,则△ABC的面积为( )A.6B.4C.3D.13.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方, 则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6 已知: 二次函数为y=x2－x+m, （1）写出它的图像的开口方向, 对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时, 顶点在x轴上方, （3）若抛物线与y轴交于A, 过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B, 当S△AOB=4时, 求此二次函数的解析式.1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。
下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。
一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。
2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。
- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。
二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。
2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。
- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。
3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。
- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。
2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。
- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。
四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。
2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。
3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。
4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总二次函数是高中数学中的重要章节，它涉及到函数、方程、图像等多个概念。
本文将从二次函数公式的定义、性质、图像和应用等方面进行详细介绍。
一、二次函数公式的定义二次函数是指由一元二次方程所表示的函数。
一元二次方程的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数，且a≠0。
二、二次函数公式的性质1.首先，二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.二次函数的对称轴与y轴平行，对称轴的方程为x=-b/2a。
3.二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即对称轴上的点。
4.二次函数的值域依赖于抛物线的开口方向。
当a>0时，值域为(-∞,f(-b/2a)]；当a<0时，值域为[f(-b/2a),+∞)。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一个平面上的曲线，也就是抛物线。
根据二次函数的性质，我们可以通过以下步骤来画出二次函数的图像：1.确定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.找出对称轴的方程x=-b/2a，并绘制出对称轴。
3.找出顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))，并绘制出顶点。
4.求出两个非顶点的点，可以选择求解方程f(x)=0，或者求出x=-b/2a的两侧点，然后根据二次函数的性质绘制出这两个点。
5.通过连接各点，得到完整的二次函数图像。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.抛物线轨道模型：比如炮弹抛射、物体抛掷等问题，可以通过二次函数来描述物体的轨迹。
2.行程时间模型：比如汽车行驶、火车行驶等问题，可以通过二次函数来描述行驶的距离与时间的关系。
3.成本收益模型：比如生产成本、销售收益等问题，可以通过二次函数来描述成本与收益的关系，从而找到最大利润或最小成本的情况。
二次函数知识点总结大全
二次函数知识点总结大全二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了二次函数的相关知识，能够解决很多与实际问题相关的数学计算。
下面是二次函数的知识点总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：一个二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，记为(Vx,Vy)。
4.二次函数的轴对称性：二次函数的图像关于顶点所在的直线对称。
5.二次函数的零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点。
6.二次函数的平移：二次函数的图像在平面上的平移。
二、二次函数的图像1.抛物线开口的方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 求顶点：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx=-b/2a，Vy=f(Vx)。
3.确定抛物线的图像：已知顶点和另一点，可以确定一个抛物线的图像。
4.求零点：二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得。
三、二次函数的性质1. 平移性质：对于二次函数y=ax²+bx+c，平移后的函数是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为平移后的抛物线的顶点。
2.对称性质：二次函数的图像关于顶点对称。
3.零点性质：一个二次函数最多有两个零点，可以通过求解一元二次方程求得。
4.范围性质：对于抛物线开口朝上的二次函数，其值域为[y,+∞)；对于抛物线开口朝下的二次函数，其值域为(-∞,y]。
四、二次函数的解析式1. 标准型：形如y=ax²+bx+c的二次函数。
2.顶点式：形如y=a(x-h)²+k的二次函数。
3.概率型：形如y=a(x-p)(x-q)的二次函数。
五、二次函数的应用1.最值问题：二次函数的最值可以通过求顶点得到。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。
本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。
开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。
顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。
三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。
对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。
3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。
判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
人教版初中数学九年级上册-28.1.1 二次函数的概念 课件
这些问题都可以通过学习二 次函数的数学模型来解决！
?
1、如果一个正方体的边长为x，这个正方体的表面 积为y ，你可以列出y关于x的表达式吗？
y 6x2
x
?
2、一块长方形场地的长比宽多6米,如果假设长方形 的宽为x米，面积为y平方米，则面积y与宽x满足什 么样的关系式？
的函数，叫做二次函数。
课堂小结：
2、二次函数的一般形式：y ax2 bx c（a 0)
a是二次项系数，b一次项系数，c是常数项.
二次函数的特殊形式：
（1）当b 0时，y ax2 c
（2）当c 0时，y ax2 bx （3）当b 0，c 0时，y ax2
12. 最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。 5. 我以我血溅高考! 1. 凡是值得做的事那就一定要做好，记住，三分天注定七分靠打拼! 7. 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 24. 嘲讽是一种力量，消极的力量。赞扬也是一种力量，但却是积极的力量。 10. 强中更有强中手，莫向人前自夸口。满足现在的成就，就窒息了未来。 19. 辛苦三年，幸福一生。 10. 十年磨剑为一搏，六月试锋现真我! 15. 考过高富帅，战胜官二代! 6. 回避现实的人，未来将更不理想。 富含正能量的高考经典励志语录推荐
一次函数
二次函数
一般式 相同点 不同点
y kx b(k 0) y ax2 bx c(a 0)
x是自变量， y是x的函数。
自变量的次数是1
自变量的次数是2
已知函数 y (m 1)x2 4x 5
（1）当m _≠_1__时，它是二次函数； （2）当m _=_1__时，它是一次函数。
二次函数知识点归纳图像
二次函数知识点归纳图像引言二次函数是高中数学中的重要知识点，在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将通过图像的方式来归纳和总结二次函数的相关知识点，帮助读者更好地理解和记忆这一内容。
1. 二次函数的概念二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。
2. 抛物线的开口方向二次函数抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是图像的对称轴上的点。
顶点的横坐标由公式 x = -b/(2a) 计算，纵坐标由将横坐标代入函数中得到。
4. 抛物线的对称轴对称轴是指通过抛物线顶点且垂直于 x 轴的一条直线。
对称轴的方程可以通过将公式 x = -b/(2a) 代入得到。
5. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。
焦点是指到抛物线上任意一点的距离与到准线上同一点的距离相等的点，焦点的横坐标由公式 x = -b/(2a) 计算，纵坐标通过将横坐标代入函数得到。
准线是一条与 x 轴平行且与焦点关于抛物线对称的直线，准线的纵坐标由公式 y = c - (b^2 - 1)/(4a) 计算。
6. 抛物线与坐标轴的交点抛物线与 x 轴的交点称为零点或根，抛物线与 y 轴的交点称为截距。
零点的横坐标可以通过解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 得到，截距可以直接从常数项 c 得到。
7. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即抛物线关于顶点和对称轴对称。
这意味着对于两个关于对称轴对称的点 P 和P’，它们关于顶点的函数值相等，即f(P) = f(P’)。
8. 抛物线的平移和缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放的方式进行变换。
平移是指将抛物线沿 x 轴或 y 轴的正负方向移动，缩放是指通过改变 a、b 和 c 的值来改变抛物线的形状和大小。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结二次函数是高中数学中重要的一部分，它在数学和实际问题中都起到了重要作用。
本文将对二次函数的基本定义、性质、图像、应用等方面进行总结和探讨。
一、基本定义和性质二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的定义域为全体实数集R。
1. 零点和根：二次函数f(x)的零点为方程f(x) = 0的解，也称为根。
根的个数与二次函数与x轴的交点数有关，最多有两个根。
2. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是x = -b/2a，对称轴上的点称为顶点，坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数增减性：当a>0时，二次函数开口向上，函数值随x增大而增大；当a<0时，二次函数开口向下，函数值随x增大而减小。
二、图像与性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状和位置与a、b和c的值有关。
1. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 平移与伸缩：对于一般形式的二次函数y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
当h>0时，图像向左平移；当h<0时，图像向右平移。
当a>1时，图像纵向收缩；当0<a<1时，图像纵向拉伸。
3. 最值：当a>0时，函数的最小值为k；当a<0时，函数的最大值为k。
三、应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1. 自由落体运动：假设一个物体自由下落，不考虑空气阻力的影响。
物体从起始位置开始下落，其高度随时间变化可以用二次函数进行建模。
通过分析二次函数的图像，可以求得物体的最大高度、落地时间等信息。
2. 抛物线的跳远问题：假设一个运动员以一定的速度和角度抛出物体，求物体的飞行轨迹和落地点。
通过建立二次函数模型，可以分析出物体的最远距离和落地点的位置。
3. 生活中的经济问题：二次函数也可以用来分析一些与经济有关的问题，例如成本与产量之间的关系、利润最大化问题等。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1.二次函数的概念：一般地，形如 y = ax^2 + bx + c（a，b，c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0，而 b，c 可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2.二次函数 y = ax^2 + bx + c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2.⑵ a，b，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二次函数基本形式：1.二次函数基本形式：y = ax^2 的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。
0 （0.0） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而增大；x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值。
向下 a < 0 （0.0） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值。
2.y = ax^2 + c 的性质：结论：上加下减。
总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。
0 （0.c） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而增大；x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值 c。
向下 a < 0 （0.c） y 轴x。
0 时，y 随 x 的增大而减小；x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值 c。
3.y = a(x - h)^2 的性质：结论：左加右减。
总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上 a。
0 (h。
0) x = hx。
h 时，y 随 x 的增大而增大；x < h 时，y 随 x 的增大而减小；x = h 时，y 有最小值。
向下 a < 0 (h。
0) x = hx。
九年级数学下册 26.1.1_二次函数的定义课件 人.
拓展与提高如果函数y= x k 2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数, 0或3 则k的值一定是______ 如果函数y=(k-3 x x k 2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数, 0 则k的值一定是
______ 如果函数y=(k-3 k 2 - 3k+ 2 +kx+1 (x≠0是一次或 2 3或1或2 函数,则k的值一定是______
例4.已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时, 函数值为7,求这个二次函数的解析式解：设所求的二次函数
由题意得：为解得，
所求的二次函数是
例4.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1问题中有那些变量? (2假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? 果园共有(100+x棵树,平均每棵树结(600－5x个橙子 (3如果果园橙子
的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. y=(100+x(600－5x=－5x²+100x+60000。
九年级数学下册第27章二次函数27.1二次函数课件华东师大版
t/s 1
2
3
4
5
h/m 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体 的长和宽相等,高比长多0.5 m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元,涂漆每个长方 体所需要的费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么?
解：S=a( 60-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.是函数关
系,
2
且是二次函数关系.
3.如果函数y= x k2 -3k+2+kx+1是二次函数,则k的值
是_0__或__3_. 4.如果函数y=(k-3) x k2 -3k+2 +kx+1是二次函数,则 k的值是___0___.
1.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时间 t(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体下落的高度:
讨论： 得到的两个函数关系式有什么共同特点?
答:(1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2.即都是自变量的二次整式.
提问： 对比一次函数，归纳二次函数的定义？
定义：形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫 做二次函数.
如：y=55 x2+110000 x+6633
【例题】
例4. (1)写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的函数关 系，并说出是什么函数.
解：S=6a2，它是一个关于a的二次函数. (2)菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S与一对 角线x之间的函数关系，并说出是什么函数.
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二次函数
知识回顾
一元二次方程的一般形式是什么？ 一次函数的定义是什么？
探究问题2 某果园有100颗橙子树，每棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提 高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和和每棵树所接受的阳光就会减少， 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
（X≥0）
(1)右边都是关于x的整式. (2)自变量x的最高次数是2. 即都是自变量的二次整式！
提问：归纳二次函数的定义
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看
二次项的系数是否为0．
谢谢观赏