空间向量坐标系
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移 、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光 线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、 视角转换和角色控制等。
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2023
《学空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由 线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量 确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别 为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长 度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向 量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的 量，可以用一个有序实数组表示 。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量 可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和 的平方根。
空间向量坐标的运算
空间向量平行的坐标公式
空间向量平行的坐标公式空间中的向量可以用一组实数表示其在坐标系中的投影，这组实数称为坐标。
当两个向量的坐标对应分量成比例时，这两个向量是平行的。
在三维空间中，我们可以使用坐标公式来判断和表示向量的平行关系。
设有两个向量a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2)，我们想要判断这两个向量是否平行或共线。
根据向量共线的定义，我们可以得到如下的坐标公式：k1*x1=k2*x2k1*y1=k2*y2k1*z1=k2*z2其中，k1和k2是常数，当a与b平行时，k1和k2不全为0。
这个坐标公式告诉我们，两个向量平行或共线，当且仅当它们的坐标对应分量成比例。
进一步，我们可以根据这个坐标公式来求解k1和k2的值。
当k1和k2满足上述的坐标公式时，向量a和b是平行的。
为了求解k1和k2，我们可以将坐标公式转化为方程组的形式。
让我们观察一下前两个坐标公式：k1*x1=k2*x2k1*y1=k2*y2从这两个方程中，我们可以消去k1或k2，例如，我们可以通过将第一个方程乘以y1和第二个方程乘以x1来消去k1，得到：k2*(x1*y1)=k1*(x2*y1)k2*(y1*x1)=k1*(y2*x1)然后，我们可以将这两个方程相减，来消去k2k1*(x2*y1-y2*x1)=0这是一个关于k1的一元线性方程。
我们可以进一步解这个方程，来求出k1的值。
如果k1不为0，那么k2=(x2*y1-y2*x1)/k1，我们可以令k=k2/k1来表示k1与k2之间的关系。
类似地，我们可以将坐标公式中的其他方程去消k2，然后解出k2的值。
通过上述的过程，我们可以求得k1和k2的值，从而判断向量a和b 是否平行。
如果k1和k2存在且不全为0，则向量a和b平行，否则，它们不平行。
需要注意的是，这个坐标公式只适用于三维空间中的向量。
在更高维的空间中，我们可以使用类似的方法来判断向量的平行性，但需要有更多的方程。
空间直角坐标系及向量坐标
a (ax )i (ay ) j (az )k ，
即
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a b (ax bx ，ay by ，az bz ) ，
a (ax ，ay ，az ) ．
由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应
的运算即可．
高等数学
1.1 空间直角坐标系
在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与 二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间 直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来．
如图所示，过空间一定点 O ，作三个两两垂直的单位向量 i ，j ，k ，就确定了三 条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）z ) ，b (bx ，by ，bz ) ， 即 a axi ay j azk ，b bxi by j bzk ， 利用向量的运算律，有
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k ，
1.2 向量的坐标表示
如图所示，设 M 为空间一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，它 们与 x 轴、 y 轴、 z 轴分别交于 P ，Q ，R 三点，这三个点在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的坐标分 别为 x，y，z ，这样就确定了空间点 M 的唯一一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ．反之，若 给定一个三元有序实数组 (x ，y ，z) ，分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴找到坐标分别为 x，y，z 的 三点 P ，Q ，R ，过这三点分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴 的平面，这三个平面有唯一交点 M ，于是就建立了空间 点 M 和三元有序实数组 (x ，y ，z) 之间的一一对应关系． 这组数 x，y，z 称为点 M 的坐标，记为 M (x ，y ，z) ，并依 次称 x，y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
高二数学空间向量的坐标运算知识精讲
高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。
2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。
【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。
1.2空间直角坐标系-向量的坐标表示
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
非零向量
a
的方向角： 、
、
z
a M1M2 (ax , ay , az )
1.1向量及空间坐标系
M1
M2
向量的模：向量的大小,记为
uuuuuur M1 M 2
或
| a|
单位向量：模长为1的向量.
记为 M1M20
r 或ea
零向量： 模长为0的向量. 记为
r 0.
任意方向
相等向量：ar
r b
大小相等且方向相同的向量.
a
b
自由向量： 不考虑起点位置的向量. a
a
负向量： 大小相等但方向相反的向量.
M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
2.向量的坐标表示
由于所讨论的向量是自由向量，可以把任意
向设量终经点平M移(看x, 作y, z从)，原rr点 Ou出uMu发r, 的z向量，称为向径.
向坐标轴投影， 分向量：
uuur r uuur r uuur r OP＝xi ,OQ yj ,OR zk ,
4
P1
的坐标为(1,0,3), uuuur
求
P2的坐标.
解 设向量P1P2的方向角为, ,，则
,
3
cos 1 ,
2
4
,
cos
2, 2
Qcos2 cos2 cos2 1,
cos 1 ( 1 )2 ( 2 )2 1
22
2
由前面得
cos 1 , 2
cos 2 ,
uuur2
1.1.2 向量的线性运算
加法： a b c
c
b
a
b c
a
（三角形法则） （平行四边形法则）
三角不等式
|
ar
r b
||
ar
|
|
r b
|
课件1：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
核心素养 1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、 逻辑推理素养． 2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．
【新知初探】
1．空间中向量的坐标 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3 都是单 位向量，而且这三个向量 两两垂直 ，就称这组基底为单位正交 基 底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而 且，如果 p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 (x，y，z) 为 向量 p 的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)_．其中 x，y，z 都称为 p 的 坐标分量．
(2)已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)， (0，－1,4)，(2，－1，－2)．若 p＝A→B，q＝C→D．求①p＋2q； ②3p－q；③(p－q)·(p＋q)． [解] 由于 A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)， 所以 p＝A→B＝(2,1,3)，q＝C→D＝(2,0，－6)． ①p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； ②3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； ③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般把 x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与 y 轴正方向夹角为 135°(或45°) ， z 轴与 y 轴(或 x 轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表 示，有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中 x 叫做点 M 的横坐标(或坐标)，y 叫做点 M 的 纵坐标(或坐标) ，z 叫 做点 M 的 竖坐标(或坐标) ．
3第三讲 空间向量的坐标运算-学生版
第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。
空间向量及其运算的坐标表示
,
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=
间坐标系的转换.
二、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代
数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐
标及其运算.
探究新知
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底 , , ,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它
们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
解:(1)∵ =(-2,-1,2)且 c∥ ,
∴设 c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= (-2)2 + (-)2 + (2)2 =3|λ|=3,解得 λ=±1.
空间直角坐标系与向量的概念
向量的分解与表示
总结词
向量的分解是将一个向量表示为其他两个或 多个向量的和或差。
详细描述
向量的分解是向量表示的一种方式，它将一 个向量表示为其他两个或多个向量的和或差。 例如，向量$vec{a}$可以表示为$vec{b} + vec{c}$或$vec{b} - vec{c}$，其中 $vec{b}$和$vec{c}$是其他向量。这种表示 方法有助于理解和操作向量的几何意义。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，计算 公式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
VS
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，它是 衡量向量“大小”的唯一标准。向量的模 可以通过欧几里得距离公式计算得出，即 $sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，其中$x, y, z$ 分别表示向量在三个坐标轴上的分量。向 量的模具有传递性、三角不等式等性质， 这些性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
齐次性
向量的模与向量的标量
倍数成正比，即
$|kvec{a}|
=
|k||vec{a}|$，其中k是
标量，$vec{a}$是向量。
三角不等式
对于任意两个向量 $vec{a}$和$vec{b}$， 有$|vec{a} + vec{b}| leq |vec{a}| + |vec{b}|$。
06
向量的向量积与向量的混合 积
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。
详细描述
文字描述是向量的基本表示方式，它通过起点和终点的位置和方向来描述一个向量。坐标表示则是将向量与直角 坐标系相结合，通过起点和终点的坐标来表示向量。在数学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的模， 箭头的指向代表向量的方向。
空间直角坐标系中的向量
空间直角坐标系中的向量在空间直角坐标系中，向量是一种既有大小又有方向的量，常用箭头来表示。
本文将讨论空间直角坐标系中向量的基本概念、表示方法以及向量运算等内容。
向量的基本概念在空间直角坐标系中，一个向量可以由起点和终点确定。
向量的模表示向量的大小，用 ||a|| 或 |AB| 表示，其中a为向量AB的模，AB为向量的名称。
向量的方向表示向量的朝向，可以用箭头表示。
向量既有大小，也有方向，所以向量是有向线段。
向量的表示方法向量的表示方法有两种：点表示法和分量表示法。
- 点表示法：用向量的起点和终点表示向量。
例如，向量AB用A 点和B点表示。
- 分量表示法：用向量在坐标轴上的投影表示向量。
空间直角坐标系中的向量可以表示为三个有序数对，即(x,y,z)。
其中x、y、z分别为向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的运算在空间直角坐标系中，向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。
- 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即将一个向量平移后与另一个向量首尾相接，用结果向量的起点和终点表示。
向量的加法满足交换律和结合律。
- 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即将减去的向量取负。
例如，向量AB-向量AC可以表示为向量CB。
- 数量乘法：向量与实数的乘积，即将向量的模与实数相乘后保持方向不变。
- 数量除法：向量除以实数，即将向量的模除以实数后保持方向不变。
向量的坐标表示在空间直角坐标系中，向量的坐标表示为(x,y,z)，其中x为向量在x 轴上的分量，y为向量在y轴上的分量，z为向量在z轴上的分量。
向量的数量乘法和数量除法的性质向量的数量乘法和数量除法满足以下性质：- 量的分配律：a(向量BC + 向量CD) = a向量BC + a向量CD，(a+b)向量AB = a向量AB + b向量AB。
- 量的结合律：a(b向量AB) = (ab)向量AB。
- 一对称性：-1向量AB = -向量AB。
空间向量及其运算的坐标表示
探•知1究识梳 在理空间直角坐标系Oxyz中, 对空间任意一点A, 或任意一个向量OA, 你能
借助几何直观确定它们的坐标( x, y, z)吗 ? 事实上,如图1.3 5,过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面, 依次交
x轴、y轴和z轴于点B, C, D, 可以证明OA
z
在x轴、y轴和z轴上的投影向量分别为
以
1 3
OA,
1 4
OC ,
1 2
OD 为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐
标系Oxyz.
(1) 写出D, C, A, B四点的坐标z ;
(2) 写出向量AB, BB, AC, AC 的坐标.
D
C
A O
B
C y
A x
B 图1.3-6
•向2 量运算的坐 标表示
探究 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出 空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐 标表示是完全一致的．
例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去 起点坐标．
•向2 量运算的坐 标表示
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当b 0时, a // b a b a1 b1, a2 b2,a3 b3( R);
C1
A1
E1
B1
M
DO
C y
A练习4】如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CA ＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
5 课堂小结
不属于∉
空间向量坐标系
空间向量坐标系一、引言空间向量坐标系是三维空间中描述向量的一种方式，它可以通过数学公式和图形来表示向量的位置和方向。
本文将从以下几个方面详细介绍空间向量坐标系。
二、三维直角坐标系三维直角坐标系是用来描述三维空间中点的位置的一种方式，它由三条相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
在这个坐标系中，每个点都可以用一个有序三元组(x,y,z)来表示。
三、空间向量空间向量也叫做矢量，是指在空间中有大小和方向的物理量。
它可以用一个有序三元组(a,b,c)来表示，其中a、b、c分别代表该向量在x 轴、y轴和z轴上的分量。
四、空间向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量。
其计算公式为：(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量。
其计算公式为：(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
3. 数乘运算：将一个实数与一个向量相乘得到一个新的向量。
其计算公式为：k(a1,a2,a3)=(ka1,ka2,ka3)。
五、空间向量的坐标表示在三维直角坐标系中，一个向量可以用起点和终点的坐标表示。
设向量AB的起点坐标为(x1,y1,z1)，终点坐标为(x2,y2,z2)，则该向量的坐标表示为(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
六、空间向量的模长和方向角空间向量的模长指该向量长度，其计算公式为：|AB|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。
空间向量的方向角指该向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角，其计算公式为：cosα=a/|AB|，cosβ=b/|AB|，cosγ=c/|AB|，其中α、β、γ分别代表该向量与x轴、y轴、z轴之间的夹角。
七、三维空间中两个向量之间的夹角两个非零向量A和B之间的夹角θ可以用以下公式计算：cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中A·B代表A和B的数量积。
八、三维空间中两个平面之间的夹角两个平面P和Q之间的夹角α可以用以下公式计算：cosα=(n1·n2)/(|n1||n2|)，其中n1和n2分别代表P和Q的法向量。
空间几何中的向量与坐标
空间几何中的向量与坐标在空间几何中，向量和坐标是两个重要的概念，它们在描述和解析空间中的物理量和几何关系时起着关键作用。
本文将介绍向量和坐标的定义、性质以及它们在几何中的应用。
一、向量的定义和性质向量是空间中的一个有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
向量的大小用模表示，方向用箭头的指向表示。
在几何中，向量有两种表示方式：代数表示和几何表示。
代数表示就是使用坐标来表示向量，而几何表示则是使用箭头来表示。
向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，向量的减法是用一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，数量乘法是将一个标量与向量的每个分量相乘得到一个新的向量。
向量的性质包括共线性、相等性和平行性。
如果两个向量的方向相同或者相反，它们就是共线的；如果两个向量的大小和方向都相等，它们就是相等的；如果两个向量的方向相同或者相反，但大小不一定相等，它们就是平行的。
二、坐标的定义和性质在空间中，我们可以引入坐标系来描述点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，我们用三个坐标轴x、y和z来描述一个点的位置。
坐标是用有序数组表示的，通常用(x, y, z)来表示一个点在直角坐标系中的位置。
x、y和z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影。
坐标之间的运算包括点的平移、旋转和缩放。
点的平移是将点沿着某个向量移动一定的距离，点的旋转是将点绕着某条轴旋转一定的角度，点的缩放是将点沿着某个方向进行放大或缩小。
坐标的性质包括唯一性和有序性。
每个点在直角坐标系中有唯一的坐标表示，坐标中的每个分量有一定的顺序。
三、向量与坐标在空间几何中的应用向量和坐标在空间几何中有着广泛的应用。
它们可以用来表示点的位置、直线的方向、平面的法向量以及物体的运动等。
在点的位置表示中，我们可以使用向量来表示两个点之间的位移或者一个点相对于坐标系原点的位置。
向量的加法可以用来得到两个点之间的位移向量，向量的减法可以用来得到一个点相对于坐标系原点的位置向量。
课件2：1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
知识点四 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系
以空间中两两__垂__直____且相交于一点 O 的三条直线分别
定义
为 x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标__原__点____，x 轴、y 轴、z 轴叫
【基础自测】
1．已知向量 a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且 a·b＝2，
则 x 的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5. 答案：C
2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )
A．(16,0,4)
方法归纳 解决空间向量垂直、平行问题的思路 1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如， 设向量 a＝(x，y，z)． 2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． 3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
跟踪训练 3 (1)(变条件)若将本例(1)中“c∥B→C”改为 “c⊥a 且 c⊥b”，求 c.
做_坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面_，
分别称为 xOy 平面、yOz 平面、___x_O_z___平面
画法
在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使∠xOy＝ __1_3_5_°___，∠yOz＝90°
图示
说明
本书建立的坐标系都是___右__手___直角坐标系，即在空间 直角坐标系中，让右手拇指指向____x____轴的正方向， 食指指向____y____轴的正方向，中指指向____z____轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
空间向量坐标
引入：
（1）某人去电影院看电影，座位是10排6号；
在平面直角坐标系中，一点P的坐标是(x,y)；
（2）吊在房间的一个灯泡的位置是距相邻两面墙 各3 米，距地面4米；
（3）一架飞机某时刻的方位是东经 80度，北纬40度， 海拔3000 米；
类比：在空间直角坐标系中，一点P的坐标是 (x,y,z).
(kab) (ka2b),
(k 1,k,2)(k 2,k,4) (k1)(k2)k2 80
即2k2 k 100,得k 5或k 2 2
例2：在正方体 ABCDA1B1C1D 1中，E、F、
P分别是 A D , A1B1 , C C1 的中点
求证：B D 1 平面 EFP;
思考：求证
z
D1
A B 1 // 平面EFP
);
（3）点P关于原点的对称点P3(
);
（4）点P关于x轴的对称点P4(
)
谢谢！
一点O和一个单位正交基底 i , j , k
建立的。向量 i , j , k 都叫做坐标向量。
z
k
O
y
i
j
x
4.空间任一点P的坐标表示及确定方法
z
C
P
o By
A x
5.
向量坐 标运算
平面向量
a(a1,a2) b(b1,b2)
空间向量
a(a1,a2,a3)
b(b1,b2,b3)
a b (a1b1,a2b2) (a1b1,a2b2,a3b3)
aba1b1a2b2a3b30 (a0,b0)
例1： 设空间三点 P ( 2 ,0 ,2 ) ,M ( 1 ,1 ,2 ) ,N ( 3 ,0 ,4 ) ， 设 aPM ,bPN.那么当 kab与 ka2b
空间坐标系与向量
空间坐标系与向量空间坐标系是描述三维空间中位置和方向的系统。
在几何学和物理学中，我们经常需要描述物体在空间中的位置和运动，而空间坐标系就是帮助我们实现这一目的的工具。
在三维空间中，我们通常使用直角坐标系来描述位置。
直角坐标系由三个互相垂直的轴构成，通常被记作X轴、Y轴和Z轴。
每个轴上都有一个原点，它们的交点就是坐标系的原点。
我们可以通过给每个点指定一组数字，即坐标，来描述该点在空间中的位置。
在直角坐标系中，坐标的表示方法通常采用笛卡尔坐标系。
笛卡尔坐标系中，每个点的坐标由它在X、Y、Z轴上的投影长度决定。
我们通常使用有序数对(x,y,z)表示一个点的坐标，其中x表示点在X轴上的投影长度，y表示点在Y轴上的投影长度，z表示点在Z轴上的投影长度。
这种表示方法被称为直角坐标。
除了直角坐标系，还有其他一些常用的空间坐标系，如极坐标系和球坐标系。
极坐标系使用径向和极角来描述位置，通常用于圆柱体或球面的描述。
球坐标系使用半径、极角和方位角来描述位置，有时也用于球体的描述。
在空间坐标系中，我们还经常使用向量来描述物体的方向和运动。
向量是一个有大小和方向的量，用箭头表示。
向量的长度表示大小，箭头的方向表示方向。
在直角坐标系中，我们可以用一个有序数组(x,y,z)来表示一个向量，其中x、y和z分别表示向量在X、Y和Z轴上的投影长度。
向量具有很多重要的性质和运算规则。
其中，向量的加法和减法是常用的运算规则。
向量的加法表示将两个向量按照顺序相加，得到一个新的向量。
向量的减法表示将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
除了向量的运算规则，我们还可以使用内积和外积来计算向量之间的关系。
内积表示两个向量之间的夹角和它们之间的数量乘积之间的关系。
外积表示两个向量之间的垂直关系和它们之间的长度乘积之间的关系。
这些运算规则在物理学和工程学中经常被使用，用于计算力、速度、加速度等物理量。
通过空间坐标系和向量的使用，我们可以准确地描述物体在三维空间中的位置和运动。
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y
y
x x
职教中心
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3、空间中点的坐标
1 空间的点 1 有序数组 ( x , y , z )
z
3
M ( 4 ,5 ,3 )
o
5
y
x 4
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4、特殊位置的点的坐标
空间的点 有序数组 ( x , y , z )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C , z
R(0,0, z )
1 1
O ( 0, 0, 0 )
B(0, y , z )
C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)
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A( x , y ,0)
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说出长方体的八个顶点的坐标。
z
D 2 A A2
C
B B
o D
C
3
y
x
3
4
x
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一、平面直角坐标系
y
3
2
1
A （2，3）
3 2 1
o1
1 2
2
3
4
x
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长方体 ABCD ABC D 长AB 3， 宽BC 2， 高AA 2
D A D A
职教中心
C
B
C
B
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长方体 ABCD ABC D 长AB 3， 宽BC 2， 高AA 2
z
D 2 A A2
C
B B
o D
C
3
y
x
职教中心 高二数学
二、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z
3 2
o
21 3
1
1
2
3
y
x
职教中心 高二数学
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
o
y
Ⅵ
Ⅰ
x
Ⅷ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
职教中心 高二数学
2、不同卦限的点的坐标符号 （-，-，+）
2
1
C(4,3)
3
(0,0) Ao11 2
2
B(4,0)
4
x
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y 一、平面直角坐标系
D
3 2 1
3
2
1
C
2
Ao11
2
3
B
4
x
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y 一、平面直角坐标系
(-4,3)
D A
3 2 1
3 C
2
1
(0,3)
(-4,0)
B
1 2 (0,0) 1 2
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重点：1、 空间直角坐标系 2、 空间点的坐标
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一、平面直角坐标系 长方形ABCD 长为3，宽为2
D A
C
B
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一、平面直角坐标系
3
2
1
y
C
2
D
3 2 1
Ao11
2
3
B
4
x
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y 一、平面直角坐标系
D
3 2 1
(0,3) 3
（2）B（-3，-2，-2） 小结：
课堂作业：P95，1，2
职教中心
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职教中心
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Ⅲ
z
zox 面
（+，-，+）
Ⅳ
yoz面
（-，+，+）
Ⅱ（-，-，-）来自Ⅶ Ⅷxoy面o
y
Ⅰ Ⅵ
（+，+，+）
x
Ⅴ
职教中心 高二数学
（-，+，-）
（+，-，-）
（+，+，-）
3、空间中点的坐标
1 空间的点 1 有序数组 ( x , y , z )
z
z
M ( x, y, z )
o
y y
（3）C（-3，-5，5）.
5 C (-3,-5,5)
C1 (-3,-5,0)
z
4
A1 (1,4,4)
5
B1 (3,-2,0) B(3,-2,-2)
1 3 4 2 1 o1 A1 (1,4,0) 3 2
y
x
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学生练习二： 在空间直角坐标系中作出下列各点： （1）A（0，0，4）
职教中心 高二数学
学生练习一：
1、在空间直角坐标系中指出下列各点，各说 明这些点的位置。 A（0，1，1），B（0，0，5），C（0，3，0） D（5，0，3），E（4，7，0），F（6，0，0） z
5
B
3
1
D F 6 54 x
A C
3
7
1 o1
y
E
职教中心 高二数学
5、例题讲解 例1、在空间直角坐标系中作出下列各点： （1）A（1，4，4）；（2）B（3，-2，-2）
x x
职教中心
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3、空间中点的坐标
1 空间的点 1 有序数组 ( x , y , z )
z
3
M ( 4 ,5 ,3 )
o
5
y
x 4
职教中心
高二数学
3、空间中点的坐标
1 空间的点 1 有序数组 ( x , y , z )
z
z
M ( x, y, z )