高一数学试题-高一数学三角恒等变换测试题 最新
人教版高一数学第三章《三角恒等变换》测试题(A卷)及答案
i
sin
1
B.-3
cos
a的值为
1
代3
3—sin70的
8.2等于
2—cos10
1 2
A.2b.~2"
1n
9.把尹n20+cos(§—
2,3
3
C.
2
n
2 0)]—sin —cosCf^+20)化简，可得
A.sin20B.—sin20C.cos20D.—cos20
10.已知3cos(2a+ 3+5cos3=0,贝U tan(a+ 3tana的值为
三、解答题（共76分）.
15.（本题满分
12分）已知
cosa—sin
a=
3.2,且
n«|n,求
sin2a+2sin
1—tana
a的值.
16.（本题满分12分）已知
(X、
B均为锐角，且
cos
^5
sinA ,w，求
a—3的值.
1
17.（本题满分12分）求证：丽
疏=|2cos20°
高中数学必修
考试时间：100分钟，满分：150分
、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代
号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
2
1.计算1-2sin 22.5的结果等于
A.1B晋
2 2
2.cos39 cos(—9°)—sin39
1
A.2
7
A.8
C.
3.已知
4,则
A. ±4B.4C.—4D.1
二、填空题（每小题6分，共计24分）.
11.（1+tan17 ）（1+tan28的=.
高一数学三角恒等变换综合练习题(解析版)
三角恒等变换综合练习一、单选题1．sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒的值为（）A．32B．12C．132+D．312【答案】B【分析】化成标准的两角和的展开式，合并为一个角即可求得答案.【详解】解：sin11cos19cos11cos71︒︒+︒︒sin11cos19cos11sin19=︒︒+︒︒()1sin1119sin302=︒+︒=︒=.故选：B.【点睛】应用三角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”. （2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.2．若4cos5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan2θθ-=+（）A．12B．12-C．35D．-2【答案】D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan 21tan 2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角， 所以2θ可能为二､四象限角，所以tan 32θ===-， 所以1tan 1322131tan 2θθ-+==--+.故选：D.3．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是（ ）.A ．89B ．89- CD．【答案】B【分析】已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果.【详解】 ∵1sin cos 3αα+=，平方得，)(21sin cos 9αα+=，∴)()(221sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴82sin cos 9αα=-，∴8sin29α=-.故选:B4．在ABC 中，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则ABC 的形状不可能是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．三个角都不相等的锐角三角形【答案】D【分析】由诱导公式化sin sin()C A B =+，由两角和与差的正弦公式和二倍角公式变形后可判断．【详解】由已知可得sin()sin()2sin cos A B A B A A +--=⋅，∴2sin cos 2sin cos B A A A ⋅=⋅，∴cos 0A =或sin sin B A =，∴2A π=或A B =，∴ABC 可能是等腰三角形､直角三角形或等腰直角三角形，故选：D .5．若1sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）. A ．79- B ．13- C ．13 D ．79【答案】A【分析】 根据1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解.【详解】 因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1cos 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A6．已知()()21cos 022x f x x ωωω=-+>，则下列说法错误的是（ ） A ．若()f x 在()0,π内单调，则203ω<≤B ．若()f x 在()0,π内无零点，则106ω<≤C ．若()y f x =的最小正周期为π，则2ω=D ．若2ω=时，直线2π3x =-是函数()f x 图象的一条对称轴 【答案】C【分析】 利用二倍角的余弦公式可得()πsin 6f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调区间可得πππ62ω-≤，解不等式可判断A ；在()0,π内无零点，只需ππ06ω-≤，解不等式即可判断B ；利用2T πω=可判断C ；令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，解方程即可判断D. 【详解】()()211πcos 0cos sin 2226x f x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-+>=-=- ⎪⎝⎭， 对于A ，若()f x 在()0,π内单调，则πππ62ω-≤，解得23ω≤，故203ω<≤，A 正确； 对于B ，由0πx <<，得ππππ666x ωω-<-<-，若()f x 在()0,π内无零点， 则ππ06ω-≤，解得1π6ω≤，故106ω<≤，B 正确； 对于C ，若()y f x =的最小正周期为π，则()f x 的最小正周期为2π， 因此2π2πω=，所以1ω=，C 错误； 对于D ，()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()ππ2π62x k k -=+∈Z ，则()1ππ23x k k =+∈Z ， 当2k =-时，得()f x 的图象的一条对称轴为直线2π3x =-，D 正确； 故选：C二、多选题7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r .若3c =，cos2sin 22A B C -=，则下列结论正确的是（ ）A ．1tan tan 223AB = B ．tan 2C ≥C ．6a b +=D ．2r ≤【答案】ACD【分析】利用三角形內角和以及诱导公式可判断A 正确；利用基本不等式判断B 错误；利用和角正弦公式以及正弦定理可得C 正确；利用基本不等式可得D 正确．【详解】由题设cos 2sin cos()2sin 2sin 2cos 2222222222A B C A B A B A B A B ππ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⇒-==-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦得coscos sin sin 2cos cos sin sin 22222222A B A B A B A B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以3sin sin 22A B =cos cos 22A B 1tan tan 223A B =，所以A 正确； 所以123tan tan 2233A B +≥= 1211tan tan ()133322tan tan tan()2222tan tan tan tan tan tan tan 2222222A B C A B A B A B A B A B A B ππ---++==-====≤++++B 错误； 由cos2sin 22A B C -=得2cos sin 4sin cos 2222A B A B C C -+=， 所以sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin 22222222A B A B A B A B A B A B A B A B C +-+-+-+-++-=（）（）所以sin sin 2sin A B C +=，即26a b c +==，所以C 正确； 如图，由1tan tan 223A B =，得133r r x x ⋅=-，所以2(3)334x x r -=≤(32x =取等号)，所以3r ≤D 正确． 故选：ACD ．8．若()cos 13tan101α︒+=，则α的一个可能值为（ ） A ．130︒B ．220°C ．40°D ．320︒ 【答案】CD【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得cos cos40α=︒，即可得出答案．【详解】 解：cos (13)1α+︒=，cos 13tan10α∴+︒1sin1013cos10=︒︒cos103sin10=︒+︒()cos10cos102sin 10302sin 40︒︒==︒+︒︒()cos 9080sin802sin 402sin 40︒-︒︒==︒︒ 2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， α的一个可能值为40︒，又()()cos320cos 36040cos 40cos 40=-=-=，故320︒也是一个可能值. 故选：CD ．【点睛】 关键点睛：本题解题的关键是利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，能得出cos cos40α=︒即可求解．三、填空题9．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 【答案】12 【分析】 根据两角差的余弦公式进行化简、运算，即可求解 【详解】由cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)cos[(35)(25)]αααααα-++-+=--+ 1cos(60)cos602=-==. 故答案为：12. 10．已知tan 2α=，则cos2=α__．【答案】35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】 由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35．四、解答题11．设a ＝sin x cos x ，b ＝sin x +cos x .（1）求a ，b 的关系式；（2）若x ∈（0，2π），求y ＝sin x cos x +sin x +cos x 的最大值. 【答案】（1）b 2＝1+2a ；（2）122+【分析】（1）将b ＝sin x +cos x 两边平方可得结果；（2）转化为关于b 的二次函数可求得结果.【详解】（1）∵b ＝sin x +cos x ，∴b 2＝（sin x +cos x ）2＝1+2sin x cos x ＝1+2a ；（2）由（1）21(1)2a b =-，因为x ∈（0，2π），所以)4b x π=+∈. 所以y ＝a +b ＝2211(1)(1)122b b b -+=+-，∴b 时，y ＝sin x cos x +sin x +cos x 的最大值为12+【点睛】 关键点点睛：转化为关于b 的二次函数求解是解题关键.12．已知02a π<<，02πβ<<，4sin 5α，5cos()13αβ+=. （1）求cos β的值；（2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值. 【答案】（1）6365；（2）54-. 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，sin()αβ+的值，进而根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin 2α，cos2α的值，进而即可代入求解．【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α所以3cos 5α==又因为02πβ<<，5cos()13αβ+=所以12sin()13αβ+==所以[]cos cos ()ββαα=+- cos()cos sin()sin βααβαα=+++53124135135=⨯+⨯ 6365= （2）因为3cos 5α=，4sin 5α 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯= 2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=- 所以22424()sin sin 255257cos 214125ααα++==---- 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．。
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知2tan 5α=-，则1sin 2cos 2αα+=（ ） A ．1318B ．522 C ．37-D ．372．若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．14-BC ．78D ．3．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+sin()αβ+=（ ）A ．12B C ．12- D ．4．sin cos 44ππαβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为和差的结果是（ ）A ．11sin()cos()22αβαβ++-B ．11cos()sin()22αβαβ++-C ．11sin()sin()22αβαβ++- D ．11cos()cos()22αβαβ++-5．已知()11cos 3cos cos 42πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A B ．13- C ．23- D ．136．0000cos80cos130sin100sin130-等于A B ．12C ．12-D ．7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=与0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．45- B ．44125C ．44125-D ．458．已知π2cos()33α+=，则πsin()6α-=（ ）A B ． C ．23-D ．139．图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =二、填空题10．数列{}n a 的通项公式为[]2log n a n n =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为__________．11．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()23cos sin 210απα++=，则tan α=__________．12．已知1sin 3α=，cos()1αβ+=-则sin(2)αβ+=______．13．已知sin 2πααπ<<，则tan α=______________． 14．已知角0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R ，()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅恒成立，则θ的取值范围是_____.三、解答题15．已知函数()()1tan cos f x x x =+⋅(1)若44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan x ；(2)若,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则()f α=，求cos2α．16．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2A C =.（1）若a c =，求cos B 的大小； （2）若1b =，3c =求sin A .17．已知函数22π()sin 2cos sin ,6f x x x x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .(1)求()f x 求函数的最小正周期及对称中心. (2)求函数()y f x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值域.18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ （1）求B ;（2）若6b AB CB =⋅=，求ABC 的周长19．已知向量(sin ,cos 1)a x x =-，(3cos ,cos 1)b x x =+和1()2f x a b =⋅+. (1)求函数的最小正周期T 及单调递增区间； (2)若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.四、双空题 20．已知4sin 5α，且α是第二象限角，则cos α=______；sin 2α=_______. 参考答案与解析1．D【分析】结合二倍角公式，将所求表达式转化为只含tan α的式子，由此求得正确答案. 【详解】原式222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan cos sin 1tan ααααααααα++++==-- 4491932552542121712525+-====-. 故选：D 2．C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可得解.【详解】1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 2cos 244248x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2712sin 88x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：C ． 3．A【分析】将两个已知等式两边平方相加，再根据两角和的正弦公式可求出结果.【详解】由sin cos αβ+=225sin cos 2sin cos 4αβαβ++⋅=由cos sin αβ+=227cos sin 2cos sin 4αβαβ++⋅=两式相加得22(sin cos cos sin )3αβαβ++=，得1sin()2αβ+=.故选：A 4．B【分析】利用积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤=++-⎣⎦化简即可. 【详解】解：原式1sin sin()22παβαβ⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11cos()sin()22αβαβ=++-. 故选：B .【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题. 5．B【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得tan α=再根据二倍角公式以及“1”的代换求得cos2α.【详解】由诱导公式化简原式，得cos 2αα-=，故tan α=所以22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 13ααααααααα--=-===-++. 故选:B ． 6．D【详解】试题分析：原式3cos80cos130sin 80sin130cos(80130)cos(18030)2=-=+=+=-． 考点：三角恒等变换． 7．B【解析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果.【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．C【分析】利用诱导公式化简变形可得结果【详解】解：因为π2cos()33α+=所以π2sin()sin cos cos 662633ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故选：C 9．A【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论．【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ． 10．631【分析】由[]22log [log ]n a n n n n =+=+，分析n 的不同取值对应的2[log ]n 的取值情况，分组求和即得解 【详解】由题意[]22log [log ]n a n n n n =+=+ 当1n =时，则2[log ]0n =； 当2,3n =时，则2[log ]1n =； 当4,5,6,7n =时，则2[log ]2n =； 当8,9,10,...,15n =时，则2[log ]3n =； 当16,17,18,...,31n =时，则2[log ]4n =； 当32n =时，则2[log ]5n =； 故{}n a 的前32项和为：3212...32102142831645S =++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+(132)321035281036312+⨯=+=+= 故答案为：631 11．-7【详解】22221tan 131cos 232tan 31tan cos sin(2)sin 21021021tan 10αααααπααα-+++++=∴-=∴-=∴+ tan 7,tan 1αα=-= （舍）．12．13-【分析】先由cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=，再由sin(2)sin()sin cos()+cos sin()αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+即可求出结果.【详解】因cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=所以1sin(2)sin()sin cos()+cos sin()3αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+=-.【点睛】本题主要考查三角函数的两角和差化积公式，熟记公式即可，属于常考题型. 13．-2【分析】利用同角的三角函数中的平方和关系求出cos α，再利用同角的三角函数关系中的商关系求出tan α即可.【详解】2sin sin cos tan 22cos παααπααα=<<∴===-. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系中的平方和关系和商关系，考查了角的余弦值的正负性的判断，考查了数学运算能力. 14．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，利用基本不等式求得2234()cos ()sin sin 243x x θθθ+≥，得到1sin 22θ≥，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅，即()()2213cos 4sin 324x xx x θθ+≥⋅⋅即22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立又由2234()cos ()sin 2sin cos sin 243x x θθθθθ+≥=所以1sin 22θ≥又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()20,θπ∈，所以5266ππθ≤≤，解得51212ππθ≤≤即θ的取值范围是5[,]1212ππ.故答案为：5[,]1212ππ.15．(1)tan 1x =(2)9【分析】（1）根据同角三角函数的关系、两角和正弦公式、诱导公式化简即可求解； （2）根据角的变换及两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式计算即可求解. (1) ()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即有sin cos x x =，所以tan 1x =． (2)由()43f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭∴,444πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4sin sin 446ππαα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭16．（1；（2. 【分析】(1)由正弦定理求出cos C ，进而求得sin C 、sin A 及cos A ，再利用和角公式即可得解；(2)由(1)结合余弦定理求得a ，进而求得cos C 及sin C 即可得解. 【详解】（1）ABC 中由正弦定理可得sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===所以cos C =，sin C =和sin 2sin cos A C C ==221cos cos sin 3A C C =-=-所以cos cos()B A C =-+cos cos sin sin A C A C =-+13= （2）由（1）可知2cos aC c=，所以2cos 6cos a c C C ==由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=282a a -=，于是2862a a a a -=⋅⇒=则cos C =，sin C =所以sin 2sin cos A C C =2==17．(1)π ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可； （2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可. (1)1()2co πs 2cos 2sin 226f x x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 所以函数的最小正周期为2ππ2= ()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π6x k -=解得ππ212k x =+ ∴()f x 的对称中心是ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)令π26t x =-由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则1()12f x ≤-≤所以()y f x =的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．（1）3B π=；（2）【分析】（1）根据()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sin cos sin B B B =求解；（2）利用余弦定理得到()2312a c ac +-=，然后由6AB CB ⋅=求得ac 代入即可. 【详解】（1）因为 ()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ 所以()sin sin cos cos cos 2cos a A B A B c A b B -+= 所以cos()cos 2cos a A B c A b B -++= 所以cos cos 2cos a C c A b B +=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 整理得()sin 2sin cos sin A C B B B +== 因为在ABC 中所以sin 0B ≠，则2cos 1B = 所以3B π=（2）由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-即()2312a c ac +-=因为1cos 62AB CB BA BC ac B ac ⋅=⋅=== 所以12ac = 所以()23612a c +-=解得a c +=所以ABC 的周长是【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，则要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则则要考虑两个定理都有可能用到． 19．(1)πT = πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式以及单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. (1)由211()3sin cos cos 22f x a b x x x =⋅+=+-1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 故函数()f x 的最小正周期πT = 当πππ2π22π(Z)262k x k k -≤+≤+∈时，则函数单调递增 解得ππππ36k x k -+≤≤+ Z k ∈函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令π26t x =+，则sin y t =，π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以当π6t =-即π6x =-时，则min 1()2 f x =-当π2t =即π6x =时，则min ()1 f x =故函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．352425-【分析】根据正余弦恒等式求出cos α，再利用二倍角的正弦公式求出sin 2α. 【详解】因为4sin 5α，且α是第二象限角所以3cos 5α==-4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：352425-。
高一数学三角恒等变换试题
高一数学三角恒等变换试题1.已知，则【答案】【解析】由，因此，.【考点】（1）诱导公式的应用；（2）同角三角函数的基本关系.2.已知，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，得，即，而故选择C．【考点】三角恒等变换中的求值．3.化简得到（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数的诱导公式和倍角公式.4.已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可知,又,所以,答案选B.【考点】两角差的正切公式5.若，则的值等于A．B．C．D．【解析】由于不易计算，且已知函数中含有,故需对原函数变形（变为所求函数形式）.,所以,故选D.【考点】三角函数倍角公式，半角公式应用.6.【答案】【解析】本题为由切求弦，由已知利用两角差的正切公式计算可得的值，并将已知化为正切的形式，考虑恒等变化故在原式填一分母,然后弦化切（分子分母同除以）.试题解析：因为所以所以 3分故 7分10分【考点】由切求弦.7.已知求证：【答案】见解析【解析】本题是证明的关系，故需将拆分开，即;同时不含有单独的,故需将其转为,即,然后恒等变化.试题解析：因为所以 4分8分10分即 12分【考点】两角和与差三角函数公式，角的拆分.8.若α、β为锐角，且cosα＝，sinβ＝，则α＋β＝ .【答案】【解析】∵，α是锐角，，又，β是锐角，，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，∵0＜α＜90°，0＜β＜90°，∴0＜α+β＜180°，∴α+β=135°故应填入: 135°．【考点】1.同角三角函数的基本关系式;2.两角和与差的三角函数.9.求值（）A．B．C．D．【解析】.【考点】三角恒等变形.10.如图，在半径为2，中心角为的扇形的内接矩形OABC（只有B在弧上）的面积的最大值= ．【答案】2【解析】连接BO,设,则在矩形中，，矩形的面积；当，即，取到最大值2.【考点】二倍角公式.11.已知为锐角，且有，，则的值是 .【答案】.【解析】∵，∴①，又∵，∴②，联立①，②可得，∴，又∵为锐角，∴.【考点】1.诱导公式；2同角三角函数基本关系.12.设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．【答案】【解析】∵，∴tanθ=，∵θ为第二象限角，∴则sinθ+cosθ=．故答案为：【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数公式.13.在中，已知，则是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．最小内角大于45°的三角形【解析】因为,所以在三角形中,都是锐角.且,因为,所以,即,所以,则为锐角.【考点】切化弦;余弦和角公式;角的判断.14.设当时，函数取得最大值，则．【答案】【解析】根据辅助角公式化简原函数得,其中.①显然当时,原函数的最大值为.此时.所以,即,所以.【考点】辅助角公式;诱导公式.15.已知中，分别为的对边，，则为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】根据三角函数正弦定理，由题可知：又根据二倍角公式得：,所以或即选D.【考点】三角函数和与差公式，二倍角公式.16.已知函数在区间上的最大值为2，则常数a的值为 .【解析】，又，，则。
人教必修高一数学第三章三角恒等变换测试题及答案
高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．计算1－°的结果等于 ( )2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( ) C ．－12D ．－323．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为 ( )B ．－78D ．－344．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于 ( )A ．－3B ．－13C ．35．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( )D ．1＋236．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是 ( ) B ．－2 C ．2D ．－27．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为 ( )B ．－13D ．－233等于 ( )C ．29．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π12＋2θ)化简，可得 ( )A ．sin2θB ．－sin2θC ．cos2θD ．－cos2θ10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)·tan α的值为 ( )A ．±4B ．4C ．－4D ．1二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. 12．化简3tan12°－3sin12°·4cos 212°－2的结果为________．13．若α、β为锐角，且cos α＝110，sin β＝25，则α＋β＝______.14．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．16.（本题满分12分）已知α、β均为锐角，且cos α＝25，sin β＝310，求α－β的值．17.（本题满分12分）求证：1sin 210°－3cos 210°＝32cos20°.18.（本题满分12分）已知－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两个根，求α＋β的值．19.（本题满分14分）已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)求3sin 2x 2－2sin x 2cosx2＋cos 2x2tan x ＋1tan x的值．20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷参考答案一、选择题 1. 【答案】B.【解析】 1－°＝cos45°＝22，故选B.2. 【答案】B.【解析】 cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)＝cos(39°－9°)＝cos30°＝32.3. 【答案】B.【解析】 sin2α＝cos(2α－π2)＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝－78.4. 【答案】 D【解析】 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.5. 【答案】 A 【解析】原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12si n30°＝54. 6. 【答案】 B【解析】y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴y max ＝－2.7. 【答案】B.【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.8.【答案】C.【解析】 3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2.9.【答案】A.【解析】原式＝12[cos(π2－2θ)＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π12＋2θ)＝cos(5π12－2θ)cos π12－sin π12sin(5π12－2θ)＝cos[(5π12－2θ)＋π12]＝cos(π2－2θ)＝sin2θ. 10.【答案】C.【解析】 3cos[(α＋β)＋α]＋5cos β＝0，即3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos β＝0.3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos[(α＋β)－α]＝0，3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)·cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0，8＋2tan(α＋β)tan α＝0，∴tan(α＋β)tan α＝－4. 二、填空题 11. 【答案】 2【解析】原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2. 12.【答案】－43【解析】3tan12°－3sin12°·4cos 212°－2＝3tan12°－32sin12°·cos24°＝3tan12°－32cos12°2sin12°·cos12°·2cos24°＝23sin 12°－6cos12°sin48°＝43sin12°·cos60°－cos12°·sin60°sin48°＝－43sin48°sin48°＝－43.13.【答案】3π4【解析】∵α、β为锐角，∴sin α＝31010，cos β＝55，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1010×55－31010×255＝－22<0，又0<α＜π2，0＜β<π2，∴π2<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4.14.【答案】π【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－2(1－cos2x ) ＝sin2x cos π4－sin π4cos2x ＋2cos2x －2＝22sin2x －22cos2x ＋2cos2x － 2 ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2∴最小正周期为π. 三、解答题15. 解： 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725. 又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425，所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2αcos αcos α－sin α＝2sin αcos αcos α＋sin αcos α－sin α＝725×－425325＝－2875. 16. 解： 已知α、β均为锐角，且cos α＝25，则sin α＝1－252＝15.又∵sin β＝310，∴cos β＝1－3102＝110. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝15×110－25×310＝－550＝－22.又∵sin α<sin β，∴0<α<β<π2.∴－π2<α－β<0.∴α－β＝－π4.17. 证明：左边＝11－cos20°2－31＋cos20°2＝21－cos20°－61＋cos20°＝8cos20°－41－cos 220°＝8cos20°－12sin 220° ＝8cos20°－cos60°sin 220°＝8[cos40°－20°－cos40°＋20°]sin 220°＝16sin40°sin20°sin 220°＝32sin 220°cos20°sin 220°＝32cos20°＝右边， ∴原式成立．18. 解： 由题意知tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7 ∴tan α<0，tan β<0. 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0.∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1，∴α＋β＝－3π4.19. 解：(1)由sin x ＋cos x ＝15，得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， ∵－π2＜x ＜0.∴sin x ＜0，cos x ＞0.∴sin x －cos x ＜0.故sin x －cos x ＝－75.(2)3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos 2x2tan x ＋1tan x＝2sin 2x2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos xsin x＝sin x cos x ⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2x2－sin x ＋1 ＝sin x cos x [2(1－cos 2x2)－sin x ＋1)]＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x2＋2－sin x＝sin x cos x (－cos x ＋2－sin x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－15 ＝－108125.20. 解：(1)因为f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，所以f (x )＝12sin2x sin φ＋1＋cos2x 2cos φ－12cos φ＝12sin2x sin φ＋12cos2x cos φ ＝12(sin2x sin φ＋cos2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，所以12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1. 又0＜φ＜π，∴φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.。
(完整版)高一必修4三角恒等变换测试题及答案
5山东省莱州一中高一数学试题-三角恒等变换测试题第I 卷、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60分）4.已知 tan 3,tan44A-B — C775.,都是锐角，且sin513 3316 A 、 B— 65651 3A 0,1B 1,1C 丄,32 21、cos 24 cos36 cos66 cos54 的值为(3 2. cos 5 ,，sin 212 13是第三象限角，则 cos （33 6563 6556 6516 653. tan 20 tan 40 • 3tan20 tan 40 的值为(5，则 tan 2的值为（)11— D — 8 4 8则sin 的值是（55663 C 、 D 、 — 6565C - 3D .3)6., x (34 ,)且 cos x 3 —则cos2x 的值是 54 472424A 、 —B 、 —C 、25 2525251,144 7.函数y sin x cos x 的值域是（8.已知等腰三角形顶角的余弦值等于4,则这个三角形底角的正弦值为（）J10 V10 3J10 3J10AB C D10 10 10 109.要得到函数y 2sin 2x的图像，只需将y , 3sin 2x cos2x的图像（）A、向右平移一个单位B、向右平移一个单位C向左平移—个单位D向左平移—个单位6 12 6 12 10. 函数y .x sin 、3 cos的图像的一条对称轴方程是( )2 2A、1 5 5x B 、x C 、x D 、x —3 3 3 311. 已知1cosx sin x2，则tanx的值为( )1 cosx sin xA、4B4 3 3、-- C 、 D 、3 34 412若0,—0, 且ta n 「tan -,则2 ( )4 2 7A、5 2 7 3B 、C 、D 、6 3 12 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上）13. .在ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2 7x 2 0的两个实根，则tanC _______________3sin 2x 2cos 2x 砧14. 已知tanx 2，贝U 的值为_____________________cos2x 3sin 2x15. 已知直线IJ/12, A是"J之间的一定点，并且A点到「J的距离分别为0山2 , B是直线I?上一动点，作AC AB，且使AC与直线|1交于点C,则ABC面积的最小值为___________________ 。
高一数学三角恒等变换练习题
第三章 三角恒等变换一、选择题1． 1－ tan 275 的值是 ( ) ．tan 752 3B ．－ 2 3C ．2 3D ．－2 3A ．332． cos 40°＋ cos 60°＋ 2cos 140°cos 2 15°－1 的值是 ( ) ．A ． 0B ．3C ． 1＋ 3D ．12223．已知 sin( － ) cos － cos( － ) sin＝ 3，且 在第三象限， 则 sin 的值是 ( ) ．5 2A ．－10B ．－3 10C ．± 10 3 10 1010D ．± 10104．已知1sincos ＝ 1，则 tan ＝ () ．1 sincos2A ．4B ．4 C ． 3D ．333445． tan( +45°)－ tan( 45°－ ) 等于 ( ) ．A ． 2tan 2B ．－ 2tan 2C ．2 D ．－2tan 2tan 26．已知 sin( － ) cos － cos( － ) sin ＝ 3，且为第三象限角， 则 cos 等于 ( ) ．5A ．4B ．－4C ．3D ．－355557． 2sin 14 °cos 31°＋ sin 17°等于 () ．2B ．－2C ．3D ．－ 3A ．22228．在△ ABC 中，若 0＜ tan Α·tan B ＜ 1，那么△ ABC 一定是 ( ) ．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定9．已知为第三象限角且 sin4＋ cos 4 ＝ 5，则 sin 2等于 () ．922B ．22 2D ．－2A ．C ．－333310． sin 6°· cos 24°· sin 78°· cos 48°的值为 ( ) ．A ．1B ．1 C ．1D ．11616328二、填空题11．若 sin x－sin y＝－1，cos x－ cos y＝1，x，y 都是锐角，则 tan( x－ y) 的值为．2212．化简2sin 2 2cos 4 ＝ __________ ．13．若 3sin＝ cos，则 tan 4＝．14．若5＜＜ 11， sin 2＝－4，则 tan ＝．24515．求函数 y＝( sin x＋cos x) 2＋ 2cos2x 的最小正周期＝．16．已知 2 sin 2＋ sin 2＝k(＜＜) ，试用 k 表示 sin－ cos的值．1＋ tan42三、解答题222 17．化简： cos A＋ cos (2＋ A) ＋ cos ( 4＋ A) ．3318．已知：∈( 0，)，∈(4，3) 且 cos(－ )＝4， sin(3＋)＝5，4445413求： cos， cos(＋ ) ．19． ( 1) 已知 tan(－ ) ＝1， tan＝1，且，∈(0， )，求 2－的值．27( 2) 已知 cos(－) ＝1，sin(－ )＝2，且＜＜，0＜＜，求 cos(＋ )292322的值．π2cos2－ sin －120．已知 tan 2 ＝2，求2．， 2 ∈，ππ22 sin ＋4第三章三角恒等变换参考答案一、选择题1． D解析：原式＝2＝2＝2＝－2＝－ 2 3 ．2 tan 75tan150－t an3011－ tan 2 7532． C解析：原式＝1＋ cos 40°－cos 40°＋ cos 30°2＝1 ＋ 3 22 ＝13 ．23． D解析：∵ sin(－－)＝3 ，∴ sin ＝－ 3．55又知是第三象限角，∴ cos ＝－ 4．又 cos＝ 1－2sin 2，5 21－－42∴ sin＝± 25 ＝±310 ．2104． B1＋ sin ＋ cos2 cos 2 ＋2 sin cos 2＝1， 解析：∵ ＝2 2 1＋ sin － cos 2 sin 2 ＋2 sin cos2222∴ cos 2 ＝ 1，即 tan＝2．sin222∴ tan ＝2 tan ＝ 4 ＝－ 4．1－ tan 2 1－4 325． A解析：原式＝ 1＋ tan－ 1－ tan1－ tan1＋ tan＝ (1＋ tan ) 2－(1－ tan ) 21－ tan2＝ 2( 2 tan)1－tan 2＝ 2tan 2 ． 6． B解析：由已知得sin( －) ＝3 ，即5sin＝－3 ，又5为第三象限角，∴ cos ＝－4． 57． A解析：原式＝ 2sin 14°cos 31°＋ sin( 31°－ 14°)＝ sin 31°cos 14°＋ cos 31°sin 14°＝ sin( 31°＋ 14°)＝ sin 45°＝2．28． B解析：∵ A ，B 是△ ABC 内角，又∵ 0＜ tan Α· tan B ＜ 1，∴ A ， B ∈ ( 0， ) ．2∵ 0＜sin A sin B＜1， cos Acos B ＞ 0，cos A cos B∴ cos Acos B － sin Asin B ＞0，即 cos( A ＋ B) ＞ 0，∴ 0＜A ＋ B ＜，2∴ －( A ＋B) ＝C ＞，2∴△ ABC 一定是钝角三角形．9． A解析：∵ sin4cos 4＝ 5，9∴ ( sin 22 22 2＝5，＋cos ) － 2sin· cos9∴ 1－ 1sin 22 ＝ 5，2 928 ．∴ sin 2 ＝9∵ 2k ＋ ＜ ＜ 2k ＋3，2∴ 4k ＋ 2 ＜ 2 ＜4k ＋3 ．∴ sin 2 ＝2 2．310． A解析： sin 6°·cos 24°· sin 78°·cos 48°＝ 2sin 6cos6cos12 cos 24 cos 482cos 6＝ 2 3sin 12cos12 cos24 cos48232 cos6＝ sin 962 4cos 6＝1 ．16二、填空题11．答案：－7 ．3sin x sin y12 平方相加，可求cos( x－ y) ＝3．解析：由cos x cos y142∵ 0＜ x＜， 0＜ y＜且 sin x－ sin y＝－1＜ 0，222∴0＜ x＜ y＜，2∴－＜x－ y＜ 0，2∴ sin( x－y) ＝－7 ，4∴ tan( x－ y) ＝－7 ．312．答案 : －3c os 2．解析：原式＝2－ sin 2 2＋ cos2 2－ sin 2 2＝2－2 sin 2 2＋ cos2 2＝3cos2 2＝ 3 | cos 2| ．∵＜2＜，2∴cos 2＜0．∴原式＝－ 3 cos 2．13．答案：12．7解析：∵ 3sin＝cos，∴ tan＝1．32∴ tan 2 ＝41－1332＝ 3 ， 4412 tan 4 ＝2＝．－ 371414．答案： - 2．解析：∵ 5 ＜ ＜11 ， 2 4 ∴5 ＜2 ＜11， 5＜ ＜11，2428∴ ， 2均为第三象限角，为第二象限角．2∵ sin 2 ＝－ 4 ，∴ cos 2 ＝－ 3，5 5 又 cos 2 ＝ 2cos 2 － 1，1＋ cos 21－35 ． ∴ cos ＝－＝25＝－25又 sin 2 ＝ 2sincos＝－ 4，5－42 5∴ sin ＝5 ＝ ，2 cos 5∴ tan ＝ sin ＝－ 2．cos15．答案： ．解析： y ＝ 1＋ sin 2x ＋ 2cos 2 x ＝ sin 2x ＋ cos 2x ＋ 2＝ 2 sin( 2x ＋) ＋2．4故最小正周期为 ．16．答案： 1－ k ．解析：∵ 2 sin2＋ sin 2 ＝ 2sin ( sin ＋ cos)＝2sin cos，1＋ tan 1＋ sincos∴ k ＝ 2sin cos ．而 ( sin － cos ) 2＝ 1－ 2sin cos ＝ 1－ k ．又＜ ＜ ，于是 sin － cos ＞ 0，所以 sin －cos ＝ 1－ k ． 4 2三、解答题17．解析：原式＝1cos2 A ＋ 1 cos(42 A) 1 cos(82 A)3 ＋3222＝ 3＋ 1[ cos 2A ＋ cos( 4 2 A ) ＋ cos( 82A )]2 23 3＝ 3 ＋ 1 ( cos 2A － 1 cos 2A ＋ 3 1 cos 2A －3 sin 2A － sin 2A)2 2 2 2 22＝3．218．答案： cos ＝2， cos( ＋ )＝－16．1065解析：∵＜ ＜ 3π，∴－ ＜ － ＜0．4 4 2 4∵ cos(4 － ) ＝ 4，∴ sin( － )＝－3，545∴ cos ＝ cos[－ ( － )]4 4＝ cos · cos( －) ＋ cos · sin( － )4 4 4 4＝2·4＋2·(－ 3)2 5 25＝2．10又∵0＜＜ ，∴3 ＜3＋ ＜ ．44 4∵ sin( 3 ＋ ) ＝5，∴ cos( 3＋ ) ＝ 12 ， 4 13 4 13∴ cos( ＋ ) ＝ sin[＋ ( ＋ )] ＝ sin[( 3 ＋ )－(－ )]24 4＝ sin( 3＋ ) · cos(－ ) －cos(3＋ ) ·sin( － )4444＝5· 4－(－12)·(－3) 135135＝－16．6519．答案： ( 1) 23 ； ( 2) cos( ＋ )＝－239． － ＝－π7294解析： ( 1) ∵ tan(－ )＝1，2∴ tan 2( － ) ＝ 2 tan(－ ) ＝ 4．1－ tan 2(－ )3又∵2 － ＝2(－ ) ＋ 且 tan＝－1，7 ∴ tan( 2()＝ 1．－ ) ＝ tan 2 － ＋ tan(－) tan1－ tan 2∵ ， ∈ ( 0， ) 且 tan＝－ 1＜0，7()tan ＝tan －＋ tan＝ 1∈(0，1)，(－ )tan 1－ tan3∴0＜＜，＜＜0＜2 ＜ ，－ ＜－ ＜－－＜2－＜0，4 2 2 2而在 ( － ， 0) 内使正切值为1 的角只有一个－3π，4∴ 2 － ＝－ 3π．4(2)∵ ＜＜，0＜＜，∴ ＜－ ＜，4＜－＜．2 2 42 22又∵ cos( －)＝－ 1，sin(－ )＝2，29 23 ∴ sin(－ )＝4 5， cos(－ ) ＝5 ，2 923∴ cos＝ cos[( － ) － ( － )]22 2＝ cos( －) cos( － ) ＋ sin( －) sin( － )2222＝7 5，27∴ cos(2＋ 239 ．＋ ) ＝ 2cos－ 1＝729220．答案：－ 3＋ 2 2 ．2 cos 2－ sin －1＝ 1－ tan解析：2π＝ cos － sin ，2 sincos ＋ sin1＋ tan＋4∵ tan 2 ＝ 2tan＝－ 22 ，1－ tan 2∴ 2 tan 2 － tan－ 2 ＝0，解得 tan ＝ 2 或 tan ＝－2 ．2∵ ＜ 2＜ ，∴ ＜ ＜，∴ tan ＝ 2 ，24 2∴原式＝1 2 ＝－3＋2 2．12。
高一必修 三角恒等变换练习题及答案
高一必修三角恒等变换练习题及答案2006学年高一必修4三角恒等变形练题满分100分，时间：100分钟______一、选择题（每题4分，计40分）1.已知 $\frac{\pi}{4}<\alpha<\beta<\pi$。
又，$\sin\alpha=\frac{2}{5}$，$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{7}{25}$，则$\sin\beta=$（$\quad$）。
A)-1$ $(B)-\frac{1}{2}$ $(C)-\frac{7}{25}$ $(D)\frac{7}{25}$2.如果$\sin\alpha=-\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\alpha$所在的象限是（$\quad$）。
A)$一 $(B)$二 $(C)$三 $(D)$四3.设$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=2$，则$\sin 2x$的值是（$\quad$）。
A)-\frac{3}{4}$ $(B)-\frac{4}{3}$ $(C)-\frac{3}{5}$ $(D)-\frac{5}{4}$4.已知$\alpha\in(\pi,2\pi)$，则$\frac{1+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{1+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}$等于（$\quad$）。
A)\sin\alpha$ $(B)\cos\alpha$ $(C)-\sin\alpha$ $(D)-\cos\alpha$5.化简$\frac{2\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$的结果是（$\quad$）。
A)2\sin\alpha$ $(B)\cos\alpha$ $(C)\tan\alpha$ $(D)2\tan\alp ha$6.在$3\sin x+\cos x=2a-3$中，$a$的取值范围是（$\quad$）。
高一数学三角恒等变换试题
高一数学三角恒等变换试题1.已知sin=，cos=－，则角是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【解析】因为sin=，cos=－<0，所以是第二象限角，且，所以，角是第四象限角，选D。
【考点】本题主要考查任意角的三角函数、象限角。
点评：的终边所在位置与的终边所在位置，存在一定结论，根据函数值进一步缩小角的范围，是解题的关键。
2.已知,是方程的两个根,求的值.【答案】【解析】由已知得【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式、三角函数同角公式的应用。
点评：利用韦达定理,两角和的正切公式及同角三角函数关系,先化简,再求值.3.若，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】因为，所以==1，故选B.【考点】本题主要考查“万能公式”的应用点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。
解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
4.若，则_________；＝___________.【答案】3，【解析】因为，所以，，所以3【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用点评：解题过程中，注意观察已知与所求的差异，灵活选用公式，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
5.化简的结果为____________.【答案】【解析】=【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用。
点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。
解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
6.求【答案】【解析】。
【考点】本题主要考查两角和与差的正切公式。
点评：要注意公式的变形使用和逆向使用，注意“1”的代换，配凑公式。
7.已知，化简+=A．-2cos B．2cos C．-2sin D．2sin【答案】C【解析】因为，所以，，从而===--（）=-2sin，故选C。
【考点】本题主要考查二倍角的正弦公式。
点评：此类问题是高考考查的重点内容之一。
本题中注意“1”的代换，讨论角的范围，确定得到是化简的关键。
三角恒等变换题目
三角恒等变换题目一、单选题1. cos 24°cos 36°−cos 66°cos 54°的值等于( ) A. 0B. 12 C. √32D. −122. sin20°cos10°−cos160°sin10°=( )A. −√32B. √32C. −12D. 123. cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是( ) A. −√32B. 12C. √32D. −124. sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是( ) A. 14B. √32C. 12D. √345. √3tan 26°tan 34°+tan 26°+tan 34°=( ) A.√33B. −√3C. √3D. −√336. tan255°=( ) A. −2−√3B. −2+√3C. 2−√3D. 2+√37. cos15°的值为( ) A. √6−√24B. √6+√24C. √2−√62D. √2+√628. 若tan(α−β)=12，tan(α+β)=13，则tan2β等于( ) A. 17B. 43C. −17D. −439. 已知α、β为锐角，sinα=35，tan(β−α)=13，则tanβ=( ) A. 139 B. 913C. 3D. 1310.已知sin(α+π6)=45,cos(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6)，则cos(α+β)=( )A. 6365 B. 3365C. 1665D. 566511.设α为锐角，若cos (α+π6)=35，则sinα=( )A. 4−3√310B.4√3−310C.3√3−410D.4√3+31012.已知sin α−sin β=1−√32，cos α−cos β=12，则cos (α−β)=( ) A. −√32B. −12C. 12D. √3213.设α为锐角，若cos(α+π6)=−13，则sin(2α+π12)的值为( )A. 725 B.7√2−818C. −17√250D. √2514.已知tan α，tan β是方程x 2+3√3x +4=0的两根，且α，β∈(−π2,0)，则α+β=( ) A. π3 B. 2π3C. −2π3D. π3或−2π315.若则sin2α=( ) A.B.C.D.16.已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=( )A. 13 B. −13C. 23D. −2317.sin2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( ) A. −15 B. 15C. −75D. 7518.已知tanα=2，则tan (α−π4)+tan 2α=( )A. −1B. 1C. 53D. 171519.√3sin π12+cos π12=( )A. √2B. −√2C. √6−√22D. √6+√2220.已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=( )A. 12B. √33C. 23D. √2221.下列各式中，值为√3的是()A. 2sin2π12−2cos2π12B. 1+tan15∘1−tan15∘C. sin15∘sin75∘D. cos15∘−√3sin15∘22.函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是()A. π4B. π2C. πD. 2π23.已知sin(π6−α)=−√23，则cos 2α+√3sin 2α=()A. 109B. −109C. −59D. 59二、多选题24.下列选项中，值为14的是()A. cos72°cos36°B. 1sin50°+√3cos50°C. sinπ12sin5π12D. cos2π12−sin2π1225.已知θ∈(−π4,π4)，且tanθ=m，则下列正确的有()A. cos θ=√m2+1B. tan(π−θ)=mC. tan (θ−π4)=1+m1−mD. tan 2θ=2m1−m226.下列选项化简值为1的有()A. 14(√3sin20°−1cos20°)B. 2cos40°−√3sin20°cos20°C. cos20°cos10°sin20°+√3sin10°tan70°−2cos40°D. √3−(1+√3)tan15°27.若tanθ=−2，则下列等式中成立的是()A. tan2θ=−45B. sinθ+cosθsinθ−cosθ=13C. sinθ(sinθ−cosθ)=65D.28.下列函数中，最小正周期为π的有()A. f(x)=sinxcosxB. f(x)=cos2x−sin2xC. f(x)=3sinx+4cosxD. f(x)=sin(4x+π3)三、单空题29.sin50°(1+√3tan10°)=________．30.1sin10°−√3sin80°的值为31.若√3cosα+sinα=2√23，则．32.√3tan12°−3sin12°(4cos212°−2)=_______．33.已知tan(θ+π4)=2，则sin2θ=______．34.若sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，则sin2α=______．35.已知函数f(x)=sin2x+sinx−cosx，x∈[0,π]，则f(x)的最小值是______．四、解答题36.已知sin (π3−α)+sin α=12,cos β=13,α,β∈(0,π)(1)求α的值；(2)求cos (α+2β)的值．37.已知sin α2+cos α2=√62．(1)求sinα的值；(2)若sin (α−β)=−35，α,β∈(π2,π)，求cosβ的值．38.已知tan(α−β)=−7,cosα=−√55，其中α∈(0,π),β∈(0,π)．(1)求tan β的值； (2)求α+β的值．39.化简：(1)sin (x+π3)+2sin (x−π3)−√3cos (2π3−x);(2)1+sin α1+sin α+cos α+12√1−cos α1+cos α(α∈(−π,−π2)).40.已知α∈(0,π2)，cosα=35．(1)求tan(α+π4)的值；)的值．(2)求sin(2α+π6专题22 三角恒等变换-2021-2022学年高一数学上学期期末常考题型汇编（人教A版2019）（解析版）一、单选题1.cos24°cos36°−cos66°cos54°的值等于()A. 0B. 12C. √32D. −12【答案】B【解析】【分析】本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，结合诱导公式及两角和的余弦函数公式求解即可．【解答】解：cos24°cos36°−cos66°cos54°=cos24°cos36°−sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=12．故选B．2.sin20°cos10°−cos160°sin10°=()A. −√32B.√32C. −12D. 12【答案】D 【解析】【分析】本题考查利用三角函数诱导公式以及和角公式化简求值，属于基础题．先利用诱导公式化简为sin20°cos10°+cos20°sin10°，然后利用和角公式求解．【解答】解：sin20∘cos10∘−cos160∘sin10∘=sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘=sin30∘=12，故选D．3.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是()A. −√32B. 12C. √32D. −12【答案】D【解析】【分析】本题考查求三角函数值，诱导公式，两角和的余弦公式，属于基础题．利用诱导公式和两角和的余弦公式求解．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°−sin43°sin77°=cos120°=−cos60°=−12，故选D．4.sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是()A. 14B. √32C. 12D. √34【答案】C【解析】【分析】本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数，属于基础题．结合诱导公式及两角差的余弦公式求解即可得答案．【解答】解：sin20°cos10°+sin10°sin70°=cos70°cos10°+sin70°sin10°=cos(70°−10°)=cos60°=12．故选：C．5.√3tan 26°tan 34°+tan 26°+tan 34°=()A. √33B. −√3 C. √3 D. −√33【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，属于基础题．利用tan26°+tan34°1−tan26°tan34°=tan(26°+34°)=tan60°=√3得到tan 26°+ tan 34°=√3(1−tan 26°tan 34°)，整体代入求解即可．【解答】解：tan26°+tan34°1−tan26°tan34°=tan(26°+34°)=tan60°=√3，所以tan 26°+tan 34°=√3(1−tan 26°tan 34°)，则√3tan 26°tan 34°+tan 26°+tan 34°=√3(1−tan 26°tan 34°)+√3tan 26°tan 34°=√3，故选C．6.tan255°=()A. −2−√3B. −2+√3C. 2−√3D. 2+√3【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的求值，考查诱导公式与两角和的正切公式应用，是基础题．利用诱导公式变形，再由两角和的正切即可求解．【解答】解：tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)，故选D．7.cos15°的值为()A. √6−√24B. √6+√24C. √2−√62D. √2+√62【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．根据题意利用cos15°=cos(45°−30°)即可求得结果．【解答】解：cos15°=cos(45°−30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =√22×√32+√22×12=√6+√24． 故选B ．8. 若tan(α−β)=12，tan(α+β)=13，则tan2β等于( ) A. 17 B. 43C. −17D. −43【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题． 根据2β=α+β−(α−β)，利用两角差的正切公式即可求值． 【解答】解：因为tan(α−β)=12，tan(α+β)=13， 所以tan2β=tan[(α+β)−(α−β)] =tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β) =13−121+13⋅12=−17．故选C ．9. 已知α、β为锐角，sinα=35，tan(β−α)=13，则tanβ=( ) A. 139 B. 913C. 3D. 13【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得tanβ的值． 【解答】解：∵α、β为锐角，sinα=35，tan(β−α)=13， ∴cosα=√1−sin 2α=45，tanα=sinαcosα=34， 则tanβ=tan[(β−α)+α]=tan(β−α)+tanα1−tan(β−α)tanα=13+341−13×34=139，故选：A ． 10.已知sin(α+π6)=45,cos(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6)，则cos(α+β)=( )A. 6365 B. 3365C. 1665D. 5665【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，直接利用同角三角函数关系式求出cos(α+π6)=35，sin(β−π6)=−513，再由cos(α+β)=cos[(α+π6)+(β−π6)]，运用两角和的余弦函数公式求出结果．【解答】解：已知：sin(α+π6)=45,cos(β−π6)=1213,α,β∈(0,π6)， 所以：π6<α+π6<π3，故：cos(α+π6)=35， −π6<β−π6<0，所以：sin(β−π6)=−513，则：cos(α+β)=cos[(α+π6)+(β−π6)]=cos(α+π6)cos(β−π6)−sin(α+π6)sin(β−π6)=35×1213−(−513)×45 =5665 故选D ． 11.设α为锐角，若cos (α+π6)=35，则sinα=( )A. 4−3√310B.4√3−310C.3√3−410D.4√3+310【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角的三角函数基本关系，两角和差公式的应用，属于基础题． 根据同角的三角函数的基本关系，求得sin(α+π6)，利用已知角凑出所求角，再由两角和差公式得结果． 【解答】解：设α为锐角，若， ，，则=45×√32−35×12=4√3−310． 故选B ． 12.已知sin α−sin β=1−√32，cos α−cos β=12，则cos (α−β)=( )A. −√32B. −12C. 12D. √32【答案】D 【解析】【分析】本题考查了两角差的余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 对已知条件sin α−sin β=1−√32，cos α−cos β=12，两边平方再相加，再利用两角差的余弦公式和同角三角函数的基本关系计算得结论． 【解答】解：∵sin α−sin β=1−√32，cos α−cos β=12，∴(cosα−cosβ)2=cos 2α−2cosαcosβ+cos 2β=14，(sinα−sinβ)2=sin 2α−2sinαsinβ+sin 2β=74−√3，以上两式相加，得2−2cos (α−β)=2−√3， ∴cos (α−β)=√32． 故选D ． 13.设α为锐角，若cos(α+π6)=−13，则sin(2α+π12)的值为( )A. 725 B.7√2−818C. −17√250D. √25【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式，二倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用同角三角函数基本关系式、二倍角公式即可得出，的值，然后利用求解． 【解答】解：∵α为锐角，cos (a +π6)=−13，，，则=2×2√23×(−13)=−4√29，=1−2×(2√23)2=−79，=−4√29×√22+79×√22=7√2−818．故选B ． 14.已知tan α，tan β是方程x 2+3√3x +4=0的两根，且α，β∈(−π2,0)，则α+β=( ) A. π3 B. 2π3C. −2π3 D. π3或−2π3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两角和的正切，属于基础题．根据韦达定理算出tanα+tanβ，tanα·tanβ，这样可以求出tan (α+β)，再根据角的范围可以求出α+β的值即可． 【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两根， ∴tanα+tanβ=−3√3，tanα·tanβ=4， ∴tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanα·tanβ=−3√31−4=√3．又α，β∈(−π2,0)，所以−π<α+β<0，因此α+β=−23π． 故选：C ． 15.若则sin2α=( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两角和与差的余弦公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系，属于基础题．由两角差的余弦展开得，两边平方，由二倍角正弦以及同角三角函数关系式得答案． 【解答】 解：由可得，，即， 又，①两边平方化简得，，所以．故选D ． 16.已知sin2α=13，则cos 2(α−π4)=( )A. 13 B. −13C. 23D. −23【答案】C【解析】 【分析】本题考查两角差的余弦公式，平方关系，倍角公式的综合运所用，属基础题． 根据两角差的余弦公式将所求展开平方运算，结合平方关系和倍角公式计算． 【解答】解：cos 2(α−π4)=(√22cosα+√22sinα)2=12(cos 2α+sin 2α)+2×√22×√22cosαsinα =12+sinαcosα=12+12sin2α =12+12×13=23， 故选C ． 17.sin2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( ) A. −15 B. 15C. −75D. 75【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二倍角公式和同角三角函数基本关系，属于中档题．由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数基本关系得到(sinα+cosα)2的值，结合α的范围，从而求解． 【解答】解：∵sin2α=2425，0<α<π2，∴sinαcosα=1225，∵sin2α+cos2α=1，∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925，又因为0<α<π2，则cosα+sinα=75．即√2cos(π4−α)=√2(√22cosα+√22sinα)=cosα+sinα=75．故选：D．18.已知tanα=2，则tan (α−π4)+tan 2α=()A. −1B. 1C. 53D. 1715【答案】A【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，属于基础题．直接由公式展开计算即可．【解答】解：由已知得tan (α−π4)+tan 2α=tanα−11+tanα+2tanα1−tan2α=2−11+2+2×21−4=13−43=−1，故选A．19.√3sinπ12+cosπ12=()A. √2B. −√2C. √6−√22D. √6+√22【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了和角正弦公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．结合辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：√3sinπ12+cosπ12=2(√32sinπ12+12cosπ12)=2sin(π12+π6)=2sinπ4=√2．故选：A．20.已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=()A. 12B. √33C. 23D. √22【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题．根据两角和的正弦公式展开sin (θ+π3)，再整理利用辅助角公式即可得答案．【解答】解：∵sin (θ+π3)=12sin θ+√32cos θ，∴sin θ+sin (θ+π3)=32sin θ+√32cos θ=√3sin (θ+π6)=1，得sin (θ+π6)=√33，故选：B．21.下列各式中，值为√3的是()A. 2sin2π12−2cos2π12B. 1+tan15∘1−tan15∘C. sin15∘sin75∘D. cos15∘−√3sin15∘【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，以及两角和与差的三角函数公式，属基础题．结合二倍角公式，辅助角公式，以及两角和与差的三角函数公式进行化简，再结合特殊角三角函数值分别检验各选项即可判断．【解答】解：A、2sin2π12−2cos2π12=−2cosπ6=−√3，不符合题意；B、1+tan15∘1−tan15∘=tan45∘+tan15∘1−tan45∘tan15∘=tan60∘=√3，满足条件;C、sin15∘sin75∘=12×2sin15∘cos15∘=12sin30∘=14，不符合题意;D、cos15∘−√3sin15∘=2(12cos15°−√32sin15°)=2cos(15∘+60∘)=2cos75∘≠√3，不符合题意．故选：B．22.函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是()A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了两角和与差的三角函数、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式及函数y=Asin(ωx+φ)+k的性质，属于基础题．先用和角正弦公式及诱导公式展开，再用二倍角公式及辅助角公式化简函数为，最后用求出最小正周期．【解答】解：∵y=(12sinx+√32cosx)cosx=12sinxcosx+√32cos2x=14sin2x+√34cos2x+√34=12sin(2x+π3)+√34．∴最小正周期T=π．故选C．23.已知sin(π6−α)=−√23，则cos 2α+√3sin 2α=()A. 109B. −109C. −59D. 59【答案】A 【解析】【分析】本题考查了诱导公式、二倍角公式及其应用和辅助角公式，先由辅助角公式化简cos2α+√3sin2α=2sin(2α+π6)，再由诱导公式可得2cos[2(π6−α)]，最后由二倍角公式计算即可．【解答】解：故选A．二、多选题24.下列选项中，值为14的是()A. cos72°cos36°B. 1sin50°+√3cos50°C. sinπ12sin5π12D. cos2π12−sin2π12【答案】AC【解析】【分析】本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数公式，属于基础题．利用二倍角公式、辅助角公式，两角和与差的三角函数公式，诱导公式及同角三角函数的基本关系式逐一分析四个选项得答案．【解答】解：A．，故A正确；B.原式=cos50°+√3sin50°sin50°cos50°=2(√32sin50°+12cos50°)12sin100°=2sin80°12sin80°=4，故B错误；C.sinπ12sin 5π12=sinπ12cosπ12=12sinπ6=14，故C正确；D.原式，故D错误．故选AC．25.已知θ∈(−π4,π4)，且tanθ=m，则下列正确的有()A. cos θ=√m2+1B. tan(π−θ)=mC. tan (θ−π4)=1+m1−mD. tan 2θ=2m1−m2【答案】AD【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、两角差的正切公式以及二倍角公式，属基础题．利用以上公式逐项分析求解即可．【解答】解：A.因为θ∈(−π4,π4)，所以cosθ>0．因为tanθ=m，所以cos2θ=cos2θsin2θ+cos2θ=11+tan2θ=11+m2，所以cos θ=1√m2+1，A正确；B.tan (π−θ)=−tanθ=−m，B错误；C.，故C错误；D.tan 2θ=2tan θ1−tan 2θ=2m1−m2，故D正确．故选：AD．26.下列选项化简值为1的有()A. 14(√3sin20°−1cos20°)B. 2cos40°−√3sin20°cos20°C. cos20°cos10°sin20°+√3sin10°tan70°−2cos40°D. √3−(1+√3)tan15°【答案】ABD【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于难题．利用两角和与差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式逐项化简求值，即可得解．【解答】解：对于A．14(√3sin 20°−1cos 20°)=√32cos 20°−12sin 20°2sin 20°cos 20°=sin (60°−20°)sin 40°=1；对于B．2cos 40°−√3sin 20°cos 20°=2cos (60°−20°)−√3sin 20°cos 20°=cos 20°+√3sin 20°−√3sin 20°cos 20°=1；对于C．cos 20°cos 10°sin 20°+√3sin 10°tan 70°−2cos 40°=cos 20°cos 10°sin 20°+√3sin 10°sin 70°cos 70°−2cos 40°=cos 20°cos 10°sin 20°+√3sin 10°cos 20°sin 20°−2cos 40°=2cos 20°sin (30°+10°)sin 20°−2cos 40°=2cos 20°sin 40°−2cos 40°sin 20°sin 20°=2sin (40°−20°)sin 20°=2；对于D．√3−(1+√3)tan 15°=√3−(1+√3)·tan 60°−tan 45°1+tan 60°·tan 45°=√3−(1+√3)·√3−11+√3=1．故选ABD．27.若tanθ=−2，则下列等式中成立的是()A. tan2θ=−45B. sinθ+cosθsinθ−cosθ=13C. sinθ(sinθ−cosθ)=65D.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的三角函数，二倍角公式的运用．利用正切的二倍角公式计算判断A，分子分母同时除以cosθ，代入tanθ计算可判断B，将原式除以“1”进行运算求解即可判断C，先求出sin2θ，cos2θ，再结合和差角公式计算即可判断D．【解答】解：对于A:tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=−41−4=43，故A 错误； 对于B:sinθ+cosθsinθ−cosθ=tanθ+1tanθ−1=−2+1−2−1=13.故B 正确; 对于C:sinθ(sinθ−cosθ)=sinθ(sinθ−cosθ)sin 2θ+cos 2θ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=4+24+1=65，故C 正确;对于D:sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=−44+1=−45， cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=cos 2θ−sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=1−41+4=−35，sin(2θ−π6)=√32sin2θ−12cos2θ=√32×(−45)−12×(−35)=3−4√310.故D 正确．故选BCD ． 28.下列函数中，最小正周期为π的有( )A. f (x )=sinxcosxB. f (x )=cos 2x −sin 2xC. f (x )=3sinx +4cosxD. f (x )=sin (4x +π3)【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查三角函数式的化简，考查函数y =Asin (ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2)以及y =Acos (ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2)的周期，属于基础题．将所给函数式化成y =Asin (ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2)或y =Acos (ωx +φ) (ω>0,|φ|<π2)的形式即可利用T =2πω来求解．【解答】解：对于A ，∵f (x )=sinxcosx =12sin2x ，∴最小正周期T =2π2=π，∴A 正确； 对于B ，∵f (x )=cos 2x −sin 2x =cos2x ，∴最小正周期T =2π2=π，∴B 正确；对于C ，∵f(x)=3sin x +4cos x =5sin (x +φ)，其中sinφ=45，cosφ=35，∴最小正周期T =2π1=2π，∴C 错误；对于D ，∵f (x )=sin (4x +π3)，∴最小正周期T =2π4=π2，∴D 错误； 故选：AB ． 三、单空题 29.sin50°(1+√3tan10°)=________．【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的化简求值．首先切化弦，然后利用辅助角公式化为40°和10°的三角函数运算，然后利用倍角公式化为sin80∘cos10∘，最后运用诱导公式得到求值． 【解答】解：sin50∘(1+√3tan10∘)=cos40∘×cos10∘+√3sin10∘cos10∘ =cos40∘×2sin (30∘+10∘)cos10∘=2sin40∘cos40∘cos10∘ =sin80∘cos10∘=cos10∘cos10∘=1．故答案为1． 30.1sin10∘−√3sin80∘的值为【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二倍角公式，辅助角公式，两角和的余弦公式以及诱导公式．把原式通分利用二倍角公式、辅助角公式、两角和的余弦公式以及诱导公式化简约分即可．【解答】解：原式=1sin10∘−√3cos10∘=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4(12cos10∘−√32sin10∘)2sin10∘cos10∘=4cos(60∘+10∘)sin20∘=4cos70∘sin20∘=4sin20∘sin20∘=4，故答案为4．31.若√3cosα+sinα=2√23，则．【答案】−59【解析】【分析】本题考查的是二倍角公式、辅助角公式、诱导公式的应用，属于基础题．由√3cosα+sinα=2√23可得，然后根据诱导公式和二倍角公式即可得．【解答】解：因为√3cosα+sinα=2√23，所以，所以，所以．故答案为−59． 32.√3tan 12°−3sin 12°(4cos 212°−2)=_______．【答案】−4√3 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查同角三角函数关系、两角和与差的三角函数、辅助角公式 以及二倍角公式的应用，考查计算能力．利用二倍角的余弦函数、辅助角公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可． 【解答】解：√3tan12∘−3sin12∘(4cos 212∘−2)=√3sin 12∘−3cos 12∘cos 12∘2sin12°cos24° =2√3(12sin 12∘−√32cos 12∘)sin 24∘cos 24∘=−4√3sin(60∘−12∘)sin48∘ =−4√3故答案为−4√3． 33.已知tan(θ+π4)=2，则sin2θ=______．【答案】35【解析】解：tan(θ+π4)=1+tanθ1−tanθ=2即tanθ+1=2−2tanθ，∴tanθ=1 3则sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2×13(13)2+1=35故答案为：35利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知等式的左边，得到关于tanθ的方程，求出方程的解得到tanθ的值，然后将所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2θ+cos2θ，分子分母同时除以cos2θ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanθ的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．34.若sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，则sin2α=______．【答案】−35【解析】【分析】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用两角和的正弦函数公式可求sinα=−3cosα，根据同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)， ∴√22(sinα+cosα)=√2(sinα+2cosα)，∴可得sinα=−3cosα， 又∵sin 2α+cos 2α=1， ∴{sinα=3√1010cosα=−√1010，或{sinα=−3√1010cosα=√1010， ∴sin2α=2sinαcosα=−35．故答案为：−35． 35.已知函数f (x )=sin2x +sinx −cosx ，x ∈[0,π]，则f (x )的最小值是______． 【答案】−1 【解析】 【分析】本题考查了二倍角公式和辅助角公式的应用，函数y =Asin (ωx +φ)的图象与性质，涉及了换元法，考查了计算能力，属于中档题．f(x)=2sin xcos x +sin x −cos x ，设t =sin x −cos x =√2sin (x −π4)∈[−1,√2]，则y =−t 2+t +1=−(t −12)2+54，利用二次函数的性质，求出y 在t ∈[−1,√2]上的最值，进而得出答案． 【解答】解：∵f(x)=2sin xcos x +sin x −cos x ，设t =sin x −cos x =√2sin (x −π4)，x ∈[0,π]，则t ∈[−1,√2]， ∴2sin xcos x =1−t 2，∴y =−t 2+t +1=−(t −12)2+54，t ∈[−1,√2]，当t =−1时，y min =−1，所以f(x)的最小值是−1， 故答案为−1． 四、解答题 36.已知sin (π3−α)+sin α=12,cos β=13,α,β∈(0,π)(1)求α的值；(2)求cos (α+2β)的值．【答案】解：(1)因为sin(π3−α)+sinα=√32cosα+12sinα=sin(α+π3)=12，因为α∈(0,π)， 所以α+π3∈(π3,4π3)，所以α+π3=5π6，所以α=π2．(2)因为cosβ=13>0,β∈(0,π)， 所以β∈(0,π2)， 所以sinβ=2√23， 所以cos(2β+α)=cos(2β+π2)=−sin2β=−2sinβcosβ=−4√29． 【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，同角三角函数基本关系，二倍角公式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．(1)利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得sin(α+π3)=12，求得α+π3的范围，可求α+π3的值，进而可得α的值．(2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ的值，利用二倍角公式即可计算求值得解． 37.已知sin α2+cos α2=√62．(1)求sinα的值；(2)若sin (α−β)=−35，α,β∈(π2,π)，求cosβ的值．【答案】解：(1)因为sin α2+cos α2=√62，两边同时平方得，则sinα=12．(2)因为π2<α<π，sinα=12，所以cosα=−√32，又π2<β<π， 所以−π<−β<−π2， 故−π2<α−β<π2，又sin(α−β)=−35，得cos(α−β)=45，cosβ=cos[α−(α−β)] =cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=−√32×45+12×(−35)=−4√3+310．【解析】本题主要考查二倍角公式的应用，熟悉两角和差公式是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中等题．(1)因为sinα2+cosα2=√62，两边同时平方，化简即可求解；(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以−π<−β<−π2，故−π2<α−β<π2，利用两角差的余弦公式即可求解cosβ=cos[α−(α−β)]的值．38.已知tan(α−β)=−7,cosα=−√55，其中α∈(0,π),β∈(0,π)．(1)求tan β的值；(2)求α+β的值．【答案】解：(1)因为cosα=−√55，α∈(0,π)，所以sin α=√1−cos2 α=2√55，所以tanα=sinαcosα=−2，所以tan β=tan[α−(α−β)] =tan α−tan (α−β) 1+tan α⋅tan (α−β)=−2−(−7)1+(−2)×(−7)=13；(2)tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=(−2)+131−(−2)⋅13=−1，因为cosα=−√55<0，α∈(0,π)，所以α∈(π2,π)，因为tan β=13>0，β∈(0,π)，所以β∈(0, π2)，所以α+β∈(π2, 3π2)，所以α+β=3π4．【解析】本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)先求出tan α，再利用tan β=tan[α−(α−β)] 即可求解；(2)利用tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=(−2)+131−(−2)⋅13=−1，结合角的范围即可求解．39.化简：(1)sin (x+π3)+2sin (x−π3)−√3cos (2π3−x);(2)1+sin α1+sin α+cos α+12√1−cos α1+cos α(α∈(−π,−π2)).【答案】解：(1)原式=sin xcos π3+cos xsin π3+2(sin xcos π3−cos xsin π3)−√3(cos xcos 2π3+sin xsin 2π3)=12sin x+√32cos x+sin x−√3cos x+√32cos x−32sin x=0；(2)由α∈(−π,−π2)，得α2∈(−π2,−π4)，tanα2<0，原式=1+2sin α2cosα21+2sin α2cosα2+2cos2 α2−1+12√1−1+2sin 2α21+2cos2 α2−1=(sin α2+cos α2)22cos α2(sin α2+cos α2)+12√2sin 2α22cos 2 α2 =sin α2+cos α22cos α2+12|tan α2|=12tan α2+12+12|tan α2| =12tan α2+12−12tan α2=12. 【解析】本题主要考查三角恒等变换和同角三角函数的基本关系，属于中档题． (1)根据两角和与差的正余弦公式展开求解即可得到答案；(2)利用二倍角公式和同角三角函数基本关系化简所给的式子，可得结果． 40.已知α∈(0,π2)，cosα=35．(1)求tan(α+π4)的值； (2)求sin(2α+π6)的值．【答案】解：(1)因为α∈(0,π2)，cosα=35，所以sinα=√1−cos 2α=45，tanα=43， tan (α+π4)=tanα+tanπ41−tanα·tan π4=43+11−43·1=−7．(2) sin2α=2sinαcosα=2425，cos2α=cos 2α−sin 2α=−725． 则sin (2α+π6)=sin2αcos π6+cos2αsin π6 =2425·√32+(−725)·12=−7+24√350．【解析】本题考查同角三角函数基本关系及二倍角公式，以及两角和的正切公式，属于基础题目．(1)利用同角三角函数基本关系式求出sinα，得出tanα，再由两角和的三角函数公式得出即可；) (2)利用二倍角公式求得sin2α，cos2α，再利用两角和的正弦公式求得sin(2α+π6的值．。
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题附答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知sin(α＋45°)sin2α等于（ ） A ．－45B ．－35C ．3 5D ．4 52．已知13a =，4log 3b =和sin 210c =︒，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1B ．12-C ．12D ．14．关于函数sin cos y x x =+，以下说法正确的是（ ） A ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小值C ．在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数D ．在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在最大值5．函数()22f x cos x sinx ＝＋ 的最小值和最大值分别为( ) A ．3,1－B ．2,2－C ．332－，D ．322－，6．将函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，则()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是A ．[2,2]-B ．[3,4]C ．[0,3]D ．[0,4]7．sin15sin 75的值为（ ）A ．14B ．12C D 8．已知tan α和tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭是方程20ax bx c ++=的两个根，则,,a b c 的关系是（ ）A ．b a c =+B ．2b a c =+C ．c b a =+D ．c ab =9．设sin18cos44cos18sin 44a =︒︒︒+︒，2sin 29cos29b =︒︒和cos30c =︒，则有（ ） A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题10．若sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是________.11．已知角α的终边经过点(3,1)P t ，且3cos()5πα+=，则tan α的值为_________．12．函数44cos sin y x x =-的最小正周期是______ 13．22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒=______．14．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝________． 15．设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为____________.16．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，其图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，3x π=-是函数()f x 的一个极小值点.若把函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则实数t 的最小值为___________.三、解答题17．已知函数()()sin 2(0),,04f x x πϕϕπ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭是该函数图象的对称中心(1)求函数()f x 的解析式；(2)在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,23f C C π=->和1c =，求2+a b 的取值范围.18．函数()cos()f x A x ωφ=+（其中 0A >，0>ω和||2ϕπ<）的部分图象如图所示，先把函数 ()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 图象的对称中心.（2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则求 ()g x 的值域.（3）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则方程 ()()2()230g x m g x m +-+-=有解，求实数m 的取值范围.19．在ABC 中角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1b c -=，2cos 3A =和ABC S =△(1)求边a 及sinB 的值；(2)求cos 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20．求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.21．已知函数()222cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ x ∈R ．(1)求()6f π的值及()f x 的最小正周期；(2)当[0,]x π∈时，则求函数()f x 的零点所构成的集合．参考答案与解析1．B【分析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α∴sin α＋cos α. 两边平方，得1＋sin2α＝25，∴sin2α＝－35.故选B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键. 2．A【分析】根据诱导公式求出c ，再根据对数函数的单调性比较,a b 的大小，即可得出答案. 【详解】解：()1sin 210sin 18030sin 302c =︒=︒+︒=-︒=-113244441log 4log 4log 2log 33a ==<=<所以c a b <<. 故选：A. 3．B【详解】试题分析：∵()sin cos f x x x =1sin 22x =，∴当sin2x=-1即x=()4k k Z ππ-∈时，则函数()sin cos f x x x =有最小值是12-，故选B考点：本题考查了三角函数的有界性点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题 4．C【分析】将原式化简为)4y x π=+，再结合正弦函数的性质，即可求解．【详解】解：sin cos )4y x x x π=++∴令22,242k x k k Z πππππ-+++∈ ∴322,44k x k k Z ππππ-++∈即函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦故选项A 错误，选项C 正确 当2,42x k k Z πππ+=-+∈，即32,4x k k Z ππ=-+∈时，则y 取得最小值，故在区间(0,)2π上不存在最小值，故选项B 错误 当2,42x k k Z πππ+=+∈，即2,4x k k Z ππ=+∈时，则y 取得最大值，故在区间(,0)2π-上不存在最大值，故选项D 错误． 故选：C ． 5．C 【详解】()112sin22sin 2sin 2f x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－＋＝－232＋. ∴当1sin 2x ＝时，则()3max ?2f x ＝，当1sinx =－ 时则()3min f x ＝－ ，故选C. 6．D【分析】按照图象的平移规律，写出()g x 的表达式，利用正弦函数的图象，求出()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【详解】因为函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，所以()2sin[2()]22sin(2)2666g x x x πππ=+-+=++230,(2)[,]sin((2)[1,1]3662)[0,4]6x x x g x πππππ∈⎡⎤∴+∈∴+∈-∴⎢⎥⎣⎦∈，故本题选D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的平移、以及闭区间上正弦型函数的最值问题，正确求出平移后的函数解析式，是解题的关键. 7．A【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式化简可得结果.【详解】()11sin15sin 75sin15sin 9015sin15cos15sin 3024=-===.故选：A. 8．C【分析】根据根与系数的关系以及两角和的正切公式可得结果. 【详解】由题意可知，tan tan ,tan tan 44b ca aππαααα⎛⎫⎛⎫+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tantan 44ππαα⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭tan tan 4111tan tan 4b a ca πααπαα⎛⎫+--⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭1b ca a∴-=- b a c ∴-=- c a b ∴=+. 故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，考查了两角和的正切公式，属于基础题. 9．B【分析】先利用两角和的正弦公式对a 化简，利用二倍角公式对b 化简，然后利用正弦函数的单调性即可比较大小【详解】解：sin18cos 44cos18sin sin(1844)sin 4624a ︒︒=︒+︒==︒︒+︒ 2sin 29cos29sin58b =︒︒=︒ cos30sin60c =︒=︒ 因为sin y x =在(0,90)︒︒上为增函数，且586062︒<︒<︒ 所以sin58sin60sin62︒<︒<︒，即可b c a << 故选：B【点睛】此题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于基础题 10．74π【分析】依题意,可求得ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进一步可知π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，于是可求得()cos βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦公式及角βα+的范围即可求得答案. 【详解】因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为sin 2α=π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以cos 2=α因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦因为()sin βα-=所以()cos βα-==所以()()cos cos 2βαβαα+=-+()()=cos cos2sin sin 2βααβαα---=⎛⎛⨯ ⎝⎭⎝⎭因为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5π,24βαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以7=4παβ+. 故答案为：74π 11．43-【解析】先计算出3cos 5α=-，再点的坐标特征可得角的终边的位置，从而可求tan α的值.【详解】因为3cos()5πα+=，故3cos 5α=-，故角α的终边在第二象限或第三象限又P 的纵坐标为1，故角α的终边在第二象限，所以sin 0α>所以sin 4tan cos 35ααα====--. 故答案为：43-【点睛】方法点睛：（1）角的终边的位置可根据三角函数值的正负来确定，也可以根据终边上的点的坐标特征来确定；（2）三个三角函数值，往往是“知一求二”，这里利用方程的思想. 12．π【分析】逆用二倍角公式将原式降幂,原式化简为cos()y A x ωϕ=+形式,利用2T ωπ=即可求得函数最小正周期. 【详解】()()442222cos sin cos sin o s =c s +in y x x x x x =--22cos sin cos 2x x x =-=22==2T πππω=T π∴=故答案为:π.【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用、余弦三角函数最小正周期公式2T ωπ=,属于基础题. 13．34【分析】)(1cos 203020sin 202︒+︒︒-︒，化简计算即可得出结果. 【详解】原式)()(22sin 20cos 2030sin 20cos 2030=︒+︒+︒+︒︒+︒2211sin 2020sin 20sin 2020sin 2022⎫⎫=︒+︒-︒+︒︒-︒⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎝2222311sin 20cos 20sin 20sin 20442=︒+︒+︒-︒34=． 故答案为：3414【详解】∵sinα＋cosα∴(sinα＋cosα)2＝13∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.∵α为第二象限角且sinα＋cosα∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α15【分析】利用二倍角公式，同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得所求表达式的值.【详解】α为锐角2663πππα<+<3sin 65πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.sin(2)sin(2)22123433πππππαααα⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 2cos 1666πππααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦234421555⎤⎛⎫=⨯⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.16．512π##512π 【分析】对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，可求得函数的周期，从而可求出2ω=，再由3x π=-是一个极小值点，可求得6π=ϕ，从而可得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，进而可得()sin 226g x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得5212k t ππ=-+，从而可求出实数t 的最小值【详解】因为对称轴与对称中心之间的最小距离为4π，所以44T π=，所以T π= 22πωπ== 因为3x π=-是一个极小值点所以()2232k k z ππϕπ-+=-+∈，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.把函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后得函数()sin 226g x x t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()2236t k k z πππ-+=∈ 5212k t ππ=-+ 因为0t >，当0k =时，则实数t 的最小值为512π. 故答案为：512π17．(1)()cos2f x x = (2)()1,2【分析】（1）由题意得2,Z 4k k πϕπ⨯+=∈，则可求出2ϕπ=，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）由()12f C =-可求出23C π=，由正弦定理得,a A b B ==，从而可表示出2+a b ，化简后利用三角函数的性质可求得结果 (1) 由题知2,Z 4k k πϕπ⨯+=∈因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=所以函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即为()cos2f x x =. (2)由题知()12f C =-，即1cos22C =-因为3C ππ<<，所以2223C ππ<<，所以423C π= 即21,33C A B ππ=+=.所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C === 所以,a Ab B == 2a b A B +=+)sin 2sinA B =+sin 2sin3B B π⎤⎛⎫=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦sin cos cos sin 2sin33B B B ππ⎫=-+⎪⎭3sin2B B ⎫=+⎪⎪⎭2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为10,3B π<<所以662B πππ<+<所以1sin 126B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以12sin 26B π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以2+a b 取值范围为()1,2.18．（1）(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）观察图象，由函数最值求出A ，由周期求出ω，再将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得出 ϕ，即可求出函数()f x 的解析式，进而得出函数()g x 的解析式以及对称中心； （2）由x 的范围结合余弦函数的性质可得()g x 的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）根据图象可知1A = 174123T ππ=- ∴T π=，∴22Tπω== ()()cos 2f x x φ=+ 将7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭代入得 7cos 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 即726k πϕππ+=+，解得 26k πϕπ=- k Z ∈ ∵2πϕ<，∴0k = 6πϕ=-∴()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.函数()f x 的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得 cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线再向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位得()5cos 416g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令54,62x k k Z πππ+=+∈，解得 124k x ππ=-+ ∴此函数图象的对称中心为(),1124k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . （2）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则 54514,cos 41,63362x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈⇔+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()53cos 410,62g x x π⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即 ()g x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （3）()()()2230g x m g x m +-+-=()()()2231g x g x m g x ⇔++=+⎡⎤⎣⎦()()()2231g x g x m g x ++⇔=+令()1s g x =+，由（2）知51,2s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2223310s m s s s +⎡⎤==+∈⎢⎥⎣⎦因此m 的取值范围为3310⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生计算能力，属于中档题．19．(1)a = sin 1B =【分析】（1）先由cos A 求得sin A ，结合三角形面积公式可得6bc =，根据条件可得b ，c 的值，再利用余弦定理求得a ，利用正弦定理求得sin B ；（2）由（1）可知2B π=，则2sin cos 3C A == cos sin C A ==. (1)因为2cos 3A =，()0,A π∈所以sin A =因为1sin 2ABCS bc A =6bc = 又1b c -=，所以3b = 2c =所以a ==因为sin sin a b A B =3sin B =，所以sin 1B =. (2)在ABC 中由（1）可知2B π=，则2A C π+=所以2sin cos 3C A == cos sin C A ==则sin 22sin cos C C C ==221cos 2cos sin 9C C C =-=所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭20．98【分析】先将题中正弦值利用诱导公式转化为余弦值，再用降次公式将式子中高次转化为1次，再观察题中角度与特殊角的联系，再用两角和差公式展开化简求值.【详解】444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++444cos 80cos 40cos 20︒︒︒=++2221cos1601cos801cos40222︒︒︒⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()222132cos1602cos802cos40cos 160cos 80cos 404︒︒︒︒︒︒=++++++ ()3111cos401cos1601cos80cos20cos80cos40424222︒︒︒︒︒︒⎛⎫+++=+-+++++ ⎪⎝⎭ ()95cos80cos40cos2088︒︒︒=++- ()()95cos 6020cos 6020cos2088︒︒︒︒︒⎡⎤=+++--⎣⎦ ()952cos60cos20cos2088︒︒︒=+-98=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，运用降次公式，两角和与差公式进行化简求值，注意观察角度间的联系及与特殊角的联系，还考查了学生的分析观察能力，运算能力，难度较大.21．(1)()16f π=，最小正周期为π; (2)0,,3ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质即可求解；（2）令()0f x =，可得266x ππ+=或56π或136π，即可求解x 的值.（1）解：因为()222cos 2cos 213633f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 212sin 21366x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2sin 1162f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，最小正周期为 22T ππ==. （2）令()0f x =，则1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以266x ππ+=或56π或136π，即0x =或3π或π，所以函数()f x 的零点所构成的集合为0,,3ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.。
高一数学三角恒等变换练习题
高一数学三角恒等变换练习题第三章三角恒等变换一、选择题1.tan275°的值是()．A．-2√3B．2√3C．-2D．22.cos 40°＋cos 60°＋2cos 140°cos215°－1的值是()．A．1/2B．1/3C．1+3/2D．1/23.已知sin(α-β)cosα－cos(α-β)sinα＝-β/3，且β在第三象限，则sin的值是()．A．-5/13B．-1/11C．-10/11D．-10/134.已知(1+sinθ+cosθ)/(1+sinθ-cosθ)=2/1+sinθ-cosθ，则tanθ＝()．A．4/3B．-4/3C．-3/4D．3/45.tan(α+45°)－tan(45°-α)等于()．A．2tan 2αB．-2tan 2αC．2tan2αD．-2tan2α6.已知sin(α-β)cosα－cos(α-β)sinα＝3/5，且β为第三象限角，则cosβ等于()．A．-4/5B．4/5C．3/5D．-3/57.2sin 14°cos 31°＋sin 17°等于()．A．√2B．-√2C．√3/2D．-√3/28.在△ABC中，______＜1，那么△___一定是()．A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．形状不确定9.已知θ为第三象限角且sin4θ＋cos4θ＝5/3，则sin 2θ等于()．A．-2/3B．2/3C．-2√3/3D．2√3/310.sin 6°·cos 24°·sin 78°·cos 48°的值为()．A．1/16B．-1/16C．1/32D．1/8二、填空题11.若sinx－siny＝-11/22，cosx－cosy＝1/22，x，y都是锐角，则tan(x－y)的值为．12.化简2-sin^2(2θ)+cos^4θ=__________．13.若3sinθ＝cosθ，则tan 4θ＝．14.若π<α<2π，sin2α=-5/4，则tanα＝．15.求函数y＝(sinx＋cosx)2＋2cos^2x的最小正周期＝．16.已知1+tanθ/2=k(0<θ<π/2)，试用k表示sinθ－cosθ的值．三、解答题17.化简：cos^2A＋cos^2(2A)－sin^2(2A)．18.已知：β∈(0.2π)，α∈(-π。
高一数学三角恒等变换含答案
【例题四】
在三角形 ABC 中，三内角分别是 A、B、C，若 sin C＝2cos Asin B，则三角形 ABC 的形
状是__________三角形．
【解析】∵sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝2cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0. 即 sin(A－B)＝0，∴A＝B.
15° 15°＝sin
1 15°cos
2 15°＝sin 30°＝4.
【练习一】 sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝________.
【练习二】
sin 68°－cos 60°sin 8° 式子cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________
【题型二】给值求值 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于变角，使其角相同 或有某种关系。
【例题一】
1 tan 15°＋tan 15°＝________
【解析】原式＝scions
15° cos 15°＋sin
15° 15°＝sin
1 15°cos
2 15°＝sin 30°＝4.
【练习一】
sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝________.
【解析】原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.
三角恒等变换每日一练
【题型一】给角求值 一般所给出的角都是非特殊的角，从表面上来看是很难的，但是观察非特殊的角总有一定的 关系，解题时要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并消除非特殊角的三角函数来 求解。
【例题一】
1 tan 15°＋tan 15°＝________
高一数学三角恒等变换测试题[最新版]
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注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。
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必修4第三章《三角恒等变换》一、选择题1、sin105cos105的值为 （ ）Ａ．14Ｂ．－14 Ｃ．34 Ｄ．－342、函数21()cos 2f x x =-的周期为 （ ）Ａ．4π Ｂ．2πＣ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13184、化简1cos 2tancot22ααα+-，其结果是 （ ）Ａ．1sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5.21sin822cos8-++等于 （ ）A.2sin 44cos 4B.2sin 44cos 4C.2sin 4D.4cos 42sin 4-----6. sin3cos1212ππ-的值为 ( ).0.2.2.2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α= （ ） 4A.34B.3-3C.43D.4-8. 若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B.1- C.6 1D.69. 已知锐角αβ、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+等于 （ ） 3A.4π3B.44ππ或 C.4π ()3D.24k k ππ+∈Z10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x =Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan xg x x=-二、填空题 11. 已知cos α=35,且α∈3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2θθ-=，则33sin cos θθ-=＿＿＿＿.13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14.ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC = . 三、解答题15. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.16. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，10sin 10β=，求2αβ+.17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2BA B B-=-.18. 已知函数25()5sin cos 53cos 32f x x x x =-+（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;(3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．参考答案：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B D C A C B B A C D 二、填空题11. 34310-12.111613. 314.1665三、解答题15. y max=258, y min=－3 16.4π17. 略18. (1)π(2)增区间：5,1212k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，减区间：511,1212k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k∈Z(3)对称轴方程：5,212kxππ=+对称中心：,026kππ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中k∈Z注：尊敬的各位读者，本文是笔者教育资料系列文章的一篇，由于时间关系，如有相关问题，望各位雅正。
高一数学三角恒等变换试题
高一数学三角恒等变换试题1.已知，，（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以；而，所以，与联立可得.【考点】本小题主要考查两角查的正弦公式和二倍角的余弦公式的应用，考查学生灵活运算公式的能力.点评：本小题通过联立方程组可以求解，这种方法经常用到.2.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.3.－的值为________．【答案】4【解析】原式＝－＝＝＝4.4.已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．【答案】α＋β＝.【解析】由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]∴tan(α＋β)＝2tanα①由4tan＝1－tan2得tanα＝＝②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<，∴α＋β＝.5.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.6.．化简＝________.【答案】tan42°【解析】原式＝＝tan(60°－18°)＝tan4207.不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.【答案】1【解析】tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.8.化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ [tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．【答案】1【解析】∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝ [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋· [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.9. (08·山东理)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是() A．－B．C．－D．【答案】C【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin＝－cos ＝－sinα－cosα＝－.故选C. 10. cos15°＋sin15°＝________.【答案】【解析】 cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.。
高一数学 第三章三角恒等变换测试题
高一数学第三章《三角恒等变换》测试题温馨提示：用心去倾注.用脑去思考.用行动去演绎你的数学人生。
（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）1．设212tan13cos66,,221tan 13a b c =-==+o o o o 则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<2．函数221tan 21tan 2x y x-=+的最小正周期是( ) A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 3．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ） A .1925 B .1625 C .1425 D .7254．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( )A ．917B ．C ．D ．317 5．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 6、已知tan(α＋β)=25，tan(α＋4π)=322, 那么tan(β－4π)的值是（ ） A ．15 B ．14 C ．1318 D ．13227．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．8．函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是（ ）A.23 (,) 32π-B.53(,)62π- C.23(,)32π- D.(,3)3π-9．△ABC中，090C∠=，则函数2sin2siny A B=+的值的情况（）A．有最大值，无最小值B．无最大值，有最小值C．有最大值且有最小值D．无最大值且无最小值10 0000tan20tan403tan20tan40++=（）A.32- B.3 C.32D.3-１２.,1312)45sin,53)4cos4434-=+=-∈∈βπαππβππα（（），且，（），，（已知=+)cos(βα则( )A.6365- B.3365C.6365D.3365-二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在横线上）13．已知在ABC∆中，3sin4cos6,4sin3cos1,A B B A+=+=则角C的大小为．1１14．计算：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 15．函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 16．给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<； ③函数2sin()32y x π=+是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象． 其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）三、解答题（共70分）17. （10分）求值： 00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知，且，则的值为▲．【答案】【解析】略2.的最小正周期为【答案】【解析】略3.点P（）落在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】，所以点在第三象限【考点】三角函数诱导公式及四个象限的符号4.下列函数中，在区间上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，结合三类函数图像可知A中函数为增函数，B中函数为增函数，C中函数为增函数，D中函数为减函数【考点】三角函数单调性5.已知中，则等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【答案】B【解析】根据正弦定理，,解得,又因为，，所以角等于60°或120°【考点】正弦定理6.求值：．【答案】【解析】，所以原式等于．【考点】两角和的正切公式7.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且．（1）若，求的值；（2）若也是单位圆上的点，且．过点分别做轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为．设，求函数的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由三角函数定义可找到与的联系，利用借助于两角和的差的余弦公式可得到的值，从而得到关于的方程得到其值（2）由的大小结合三角函数定义得到点B的坐标，由A，B两点坐标得到两直角三角形的边长，求得其面积，从而得到函数式，将其整理化简为的形式，结合定义域单调性得到函数最值试题解析：（1）由三角函数的定义有∵，∴，∴．（2）由，得．由定义得，，又，于是，∴====，即．【考点】1．三角函数定义；2．三角函数基本公式；3．三角函数单调性与最值8.在中，角所对的边分别为，若，，且的面积的最大值为，则此时的形状为．【答案】等腰三角形【解析】由正弦定理变形得，三角形的面积S=，当且仅当a=b时取等号，所以此三角形是等腰三角形．【考点】正弦定理，三角形面积公式,基本不等式的应用．9.若是第三象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是第三象限角，所以，由同角三角函数的基本关系式可得，故选B．【考点】同角三角函数的基本关系式．10.当为第二象限角时，－的值是（）A．1B．2C．0D．－2【答案】B【解析】因为为第二象限角，所以，所以－＝，故选B．【考点】任意角的三角函数．11.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】．【考点】诱导公式．12.若都是锐角，且，，则（）A．B．C．或D．或【答案】A【解析】，，又因为，所以，那么根据，得到，,所以代入上式得：，故选A．【考点】三角恒等变换13.已知.（1）求的值.（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式分子分母除以，利用同角三角函数基本关系化简，把的值代入计算即可求出值；（2）原式分母看做“”，利用同角三角函数间基本关系化简，把的值代入计算即可求出值.试题解析：（1）；（2）.【考点】同角三角函数之间的关系.14.已知的终边过点，则【答案】【解析】，而.【考点】三角函数的定义15.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数的解析式；（2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值.【答案】（1）表格见解析，；（2）．【解析】（1）因为表格数据为特殊五点的数据，所以可得图像的振幅为,最小正周期，由最高点与最低点可求得初相，便可得到函数的解析式；（2）由（1）求得的函数解析式为，将其向左平移，则将对称中心代入函数中求的最小值即可．试题解析：（1）根据表中已知数据，解得，数据补全如下表：且函数表达式为.（2）由（1）知，得.因为的对称中心为，.令，解得.由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，.由可知，当时，取得最小值.【考点】任意角的三角函数图象及其平移.【方法点睛】本题主要考察三角函数图象的画法，即五点法，该五点分别为一个周期内的两个最值点（一个最大，一个最小），三个零点（使三角函数值为零），两个最值点若互为相反数，则其绝对值就为图象的振幅,若不是相反数，则先将函数向下（上）平移后时两最值成为相反数，在确定振幅；三个零点可用来确定函数的初相以及周期．16.中，分别是内角的对边，且，，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，解得（舍）或，又因为，所以，由正弦定理得.【考点】1、倍角公式；2、正弦定理.17.已知sin是方程的根，求的值.【答案】【解析】首先通过解方程求得的值，然后利用诱导公式与同角三角形函数间的基本关系化简所求代数式，从而根据角的范围求得结果．试题解析：由是方程的根，可得＝或＝2（舍）原式==由可知是第三象限或者第四象限角，所以＝，即所求式子的值为．【考点】1、诱导公式；2、同角三角形函数间的基本关系．【方法点睛】利用诱导公式化简三角函数的原则和要求：（1）原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少；（2）要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．18.函数的一段图象如图所示（1）求的解析式；（2）求的单调增区间，并指出的最大值及取到最大值时的集合；（3）把的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．（2）根据正弦函数的单调性和最大值，求得f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．试题解析：（1）由函数的图象可得，解得．再根据五点法作图可得（2）令，求得，故函数的增区间为[函数的最大值为3，此时，，即，即的最大值为3，及取到最大值时的集合为.（3）设把的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由，求得，把函数）的图象向左平移个单位，可得的图象．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．19.把化成角度是（）A．－960°B．－480°C．－120°D．－60°【答案】B【解析】把化成角度应为，故选B.【考点】角度制与弧度制的互化.20.已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）；（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减.【解析】（1）根据两角和的正弦公式把展开，在利用二倍角公式即可把化成，由最小正周期为及周期公式即可求得的值；（2）由求得，根据正弦函数的图象找出单调区间，解出相应的范围即得在区间上的单调性.试题解析：（1），的最小正周期为，且，从而.（2）由（1）知，，若则当时，递增，当时，递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.【考点】三角恒等变换及三角函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题.本题解答的关键是通过两角和的正弦公式、二倍角公式等把函数化成“一角一名一次式”形式的正弦型函数，利用给出的最小正周期求得；对于给定区间上的单调区间可换元转化为正弦曲线由其图象求出，也可以求出其在上的单调区间，通过给取值，求出与给出的区间的交集来求解.21.关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：．【答案】③【解析】对于①,第一象限可表示为,所以函数在第一象限不具备单调性, ①错；对于②,,既不是奇函数也不是偶函数. ②错；对于③,函数对称中心的求法: 令,,当得对称中心为,③正确；对于④,当,,在上为增函数,上为减函数. ④错.故选③.【考点】1.三角函数的性质；2.倍角公式的逆用.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的性质,包括单调性,奇偶性,对称中心等,属于中档题.在①中考正切函数的单调性,第一象限是由很多区间并集而成,故不具备单调性,在②中,利用倍角公式,函数可化为,既不是奇函数也不是偶函数,在③中,,令,解出,对称中心为,在④中求单调性时,注意把看成整体,求出范围.22.化简的结果是（）A．-1B．1C．D．【答案】C【解析】由诱导公式，得；故选C．【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式．23.已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）若,且，求.【解析】（1）应用二倍角公式及其变形化简函数解析式，然后再求最小正周期和最小值；（2）本题主要考查了三角化简中的拆分角技巧，特别需要注意的是角的范围和函数值符号问题.试题解析：（1）函数的最小正周期是，最小值是；（2）即,所以，又，所以，，所以【考点】1.二倍角及其变形；2.三角恒等变换、求值.24.已知正角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题点坐标为；（），即为：, 则：【考点】三角函数的定义.25.的三个内角为，若关于的方程有一根为1，则一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】依题意可知，∵∴1-cosAcosB-=0，整理得cos（A-B）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形【考点】解三角形26.若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】∵，∴，∴，，根据余弦定理有，∴，即，即，∴，又由，则，即，化简可得，，即，∴是等边三角形，故选B．【考点】余弦定理.27.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，所以。
高一数学三角恒等变换试题
高一数学三角恒等变换试题1.已知，，则．【答案】【解析】由题意可得：，因为所以舍去，所以，所以，.【考点】三角变换及求值.2.若，则，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，平方得：，故选择D.【考点】三角恒等变换中的求值.3.已知＝2，则的值为；的值为【答案】.【解析】由倍角的正切公式得，,.【考点】二倍角的正切公式.4.已知求证：【答案】见解析【解析】本题是证明的关系，故需将拆分开，即;同时不含有单独的,故需将其转为,即,然后恒等变化.试题解析：因为所以 4分8分10分即 12分【考点】两角和与差三角函数公式，角的拆分.5.（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以原式=.【考点】两角和的正弦公式，特殊角的三角函数.6.设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）. A．B．C．D．【答案】D.【解析】由，则，因此有，又，则，又因为当且仅当时，数列的前项和取得最大值，可知：，则当时，有，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系：平方关系，平方差公式，两角和与差的正弦公式，等差数列的下标和性质，等差数列前N项和的最值问题，转化思想.7._________.【答案】.【解析】.【考点】三角恒等变形.8.化简：= ．【答案】【解析】，；，，则.【考点】二倍角公式及其变形.9.．【答案】【解析】，故答案为.【考点】三角函数和与差公式.10.若,,则A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，又∵，∴，∴=，∴，故选C．先由结合不等式性质，求出，由得，所以=，所以．【考点】特殊角的三角函数；不等式性质；简单三角方程11.= ．【答案】【解析】=.【考点】两角和的余弦公式，诱导公式.12. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【答案】【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．13.在分别是角A、B、C的对边，，且．（1）求角B的大小；（2）求sin A＋sin C的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据可得,从而得到边角的关系,而后要求角,所以利用正弦定理将边化角,可求角．（2）要求的值,但是有两个角,根据（1）可将其中一个用另一个表示出来,利用正余弦和差公式化简,通过角的范围确定最终的范围．（1）由，得,即由正弦定理得又又又（2）,．,,．所以．【考点】向量垂直的应用;正余弦和差角公式．14.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值；（2）利用三角函数有关知识，化简，再由（1）可得没代入即可（1）因为，且，所以．所以．（2）因为．所以．【考点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数15.已知那么．【答案】【解析】，∵，∴，∴，∴．【考点】二倍角公式的变形．16.已知的值。
高一数学三角恒等变换试题
高一数学三角恒等变换试题1.若x＝，则sin4x－cos4x的值为A．－B．－C．－D．－【答案】D【解析】因为==-，所以-=-=－，故选D。
【考点】本题主要考查二倍角的余弦公式、同角公式。
点评：二倍角的余弦公式具有多种形式，是高考考查的重点内容之一。
此类问题往往是先化简，再求值。
2.若，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】因为，所以==1，故选B.【考点】本题主要考查“万能公式”的应用点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。
解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
3.若，则_________；＝___________.【答案】3，【解析】因为，所以，，所以3【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用点评：解题过程中，注意观察已知与所求的差异，灵活选用公式，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
4.化简的结果为____________.【答案】【解析】=【考点】本题主要考查“倍半公式”的应用。
点评：牢记公式是灵活地将进行三角恒等变形的基础。
解题过程中，注意观察已知与所求的差异，通过变名、变角、变式，达到解题目的。
5.已知sinα＋cosα＝，则sin2α＝A．B．C．±D．【答案】B【解析】因为sinα＋cosα＝，所以两边平方得sin2α＝【考点】本题主要考查二倍角的正弦公式、同角公式。
点评：本题实际上是sinα＋cosα与sinαcosα的互化，是高考考查的常见题型之一。
此类问题往往是通过平方或开方使二者得以沟通。
6.已知180°＜2α＜270°，化简=A．-3cosαB．cosαC．-cosαD．sinα-cosα【答案】C【解析】因为180°＜2α＜270°，所以90°＜α＜135°，cosα<0=|cosα|=-cosα,故选 C。
【考点】本题主要考查二倍角的余弦公式、同角公式。
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高一数学试题
－三角恒等变换测试题
第I 卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos24cos36cos66cos54︒
︒
︒
︒
-的值为（ ）
A 0 B
12 C 2
D 12- 2.3cos 5α=-
，,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365-
B 、6365
C 、5665
D 、1665
-
3. tan 20tan 4020tan 40︒
︒
︒
︒
+的值为（ ）
A 1 B
3
C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）
A 47-
B 47
C 18
D 18-
5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4
cos 5
αβ+=-，则βsin 的值是（ ）
A 、3365
B 、1665
C 、5665
D 、6365
6.,)4,43(ππ-
∈x 且3cos 45x π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
则cos2x 的值是（ ） A 、725-
B 、2425-
C 、2425
D 、725
7. 函数4
4
sin cos y x x =+的值域是（ ）
A []0,1
B []1,1-
C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于
5
4
,则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A
1010 B 1010- C 10103 D 10
103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）
A 、向右平移6π个单位
B 、向右平移12π个单位
C 、向左平移6π个单位
D 、向左平移12π
个单位
10. 函数sin 22x x
y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）
A 、x =113
π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π
=-
11. 已知
1cos sin 21cos sin x x
x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4
3-
12.若0,4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π-
B 、23π-
C 、 712
π- D 、34π
- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）
13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程2
3720x x -+=的两个实根，则tan C =
14. 已知tan 2x =，则
3sin 22cos 2cos 23sin 2x x
x x
+-的值为
15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。
16. 关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题：
①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增；
③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移
512
π
个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）
第II 卷
一、选择题：（每小题5分共计60分）
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
13、______________14、_______________15、____________________ 16、_______________ 三、解答题： 17. 已知02
π
α<<
，15tan
2
2tan
2
α
α
+
=
，试求sin 3πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的值．（12分）
18. 求)
212cos 4(12sin 3
12tan 30200--的值．（12分）
19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求1
2cos 2sin )
4sin(+++
ααπ
α的值.（12分）
20.已知函数2
2
sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。
（2）函数的单调减区间
（3
）此函数的图像可以由函数2y x =的图像经过怎样变换而得到。
（12分）
21.已知在△ABC 中,A,B,C 为其内角，若C B A sin cos sin 2=⋅,判断三角形的形状。
（12分）
22.四边形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮,其中ATPS 是一半径为90米的扇形小山,其余部分都是平地,P 是弧TS 上一点,现有一位开发商在平地上建造一个两边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR.求长方形停车场PQCR 面积的最大值与最小值.（14分）
.
三角恒等变换测试题参考答案
一、选择题：（每小题5分共计60分）
二、填空题：（每小题5分，共计20分） 13、-7 14、-5
2
15、21h h 16、①③ 三、解答题： 17.
10
3
34- 18.34- 19.2- 20.（1）最小值为22-，ｘ的集合为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=
Z k k x x ,85|ππ (2) 单调减区间为)(85,8Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππ
（3）先将x y 2sin 2=
的图像向左平移
8
π个单位得到)42sin(2π
+=x y 的图像，然后将
)42sin(2π+=x y 的图像向上平移2个单位得到)4
2sin(2π
+=x y +2的图像。
21.等腰三角形
22.最小值为950米2，最大值为290014050-米2。