高一数学三角恒等变换-名校试题(答案)
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知△ABC的平面直观图△是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】三角形由平面图形转化到直观图形时，位于上的边长不变，位于轴上的长度减半，因此直观图与平面图比较底边长不变，高为平面图高的倍，【考点】平面图形的直观图2.下列函数中，最小正周期为π的偶函数为A．B．C．D．【答案】D【解析】A中函数为奇函数；B中函数最小周期为；C中由函数图像可知函数不具有周期性；D中函数周期为，且为偶函数【考点】三角函数的周期性奇偶性3.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若成等差数列，且公差大于0，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理，将边化为角，直接求得；（2）因为三边成等差数列，所以，同样根据正弦定理，将边化角得到，第二步，考虑两角和的公式，所以将，两个式子平方相加能够解得，第三步，考虑的大小关系，得到．试题解析：（1）由，根据正弦定理得，所以（2）由已知和正弦定理以及（1）得①设，②①2＋②2，得③代入③式得因此【考点】1．正弦定理；2．两角和的余弦公式．4.如果，那么的值为（）A．－2B．2C．－D．【答案】C【解析】上下同时除以，得到：，解得．【考点】同角三角函数基本关系式5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．0D．-【答案】B【解析】平移个单位得到，令知满足，故选B．【考点】三角函数的图像与性质．6.（本小题满分12分）已知．（1）若且=l时，求的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；（2）若且时，方程有两个不相等的实数根，求b的取值范围及的值．【答案】（1）（2），或【解析】第一问首先利用数量积的坐标运算公式以及倍角公式，两角和的正弦公式化简f（x），再利用得，结合三角函数的图像性质得，第二问要使方程有两个不相等的实数根，须满足，，试题解析：解：当且=l时，当且时，且而，要使方程有两个不相等的实数根，须满足----12分又【考点】向量的数量积公式，倍角公式，两角和的正弦公式，三角函数的图像性质．7.计算的值是．【答案】【解析】【考点】两角和与差的正弦公式8.把函数的图像经过变化而得到的图像，这个变化是（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，与比较可知：只需将向右平移个单位即可【考点】三角函数化简与平移9.已知角的终边过点，则的值是（）A．1B．C．D．－1【答案】C【解析】，，，所以原式等于．【考点】三角函数的定义10.的最大值为（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】函数可化为，显然最大值为1，故选C【考点】•辅助角公式 三角函数求最值11.（本小题满分12分）已知，．（1）求及的值；（2）求满足条件的锐角．【答案】（1）,;（2）【解析】（1）由同角三角函数的基本关系及角的范围即可求出,再由倍角公式及角的范围即可求出。
高一数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习及答案精析版(76页)
高一数学 三角函数 三角恒等变化 解三角形 专题练习1．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若()()(),a c a c b b +-=+则cos A = A．2-B．2 C ．12D．3- 2．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )3．已知角α的终边上一点的坐标为(12，则角α的正弦值为( )A．－2B.2 C ．－12 D.124．在ABC ∆中，若20sin A sin BcosC -=，则ABC ∆必定是 （ ）A 、钝角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、锐角三角形 5．把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移6π个单位长度得到函数 A ．sin 2y x =B ．sin(2)6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．cos 2y x = 6．= 2010sin （ ）A.21 B.21- C. 23- D.2377．．已知m =αtan 化简αα22sin 2cos 1+得结果为：（ ）A. 22211m m ++ B.m m 211++C.m 211+ D. 211m+ 8． 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（ ）xxA ．B ．C ．D ．A ．3π B ．3π- C ．6π D ．6π- 9．在ABC ∆中，若sinA ︰sinB ︰sinC=1:2:3，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.2D.2 10．要得到一个偶函数，只需将函数)3sin()(π-=x x f 的图象A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 11．设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）A ．52 B ．85 C ．58 D ．25 12．函数1sin 6cos 22++=x x y 的最大值为（ ） A ． 10 B ．9 C ．8 D ． 713．半径为5cm ，面积为252cm 的扇形中，弧所对的圆心角为 A ． ︒2 B.π2弧度 C ．2弧度 D ．4弧度 14．化简sin()2απ+等于（ ）. A.cos α B.sin α C.cos α- D.sin α-15．函数y ＝sin(ωx ＋ϕ)(x ∈R,ω＞0,0≤ϕ＜2π)的部分图象如右图，则 （ ） A.ω＝π2,ϕ＝π4 B.ω＝π3,ϕ＝π6C.ω＝π4,ϕ＝π4D.ω＝π4,ϕ＝π5416．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图像,可以将函数cos 2y x =的图像A 、向右平移6π个单位 B 、 向左平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移3π个单位17．在ABC ∆中，120A =︒5AB =，7BC =，则sin sin BC的值为 A ．85 B ．58 C ．53 D ．3518． △ABC 中，若030C =，8a =，b =S ABC 等于（ ）A.19．已知tan x =x 的集合为（ ）A ．4{|2,}3x x k k Z ππ=+∈B ．{|2,}3x x k k Z ππ=+∈C ．4,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．{|,}3x x k k Z ππ=+∈20．已知α为锐角，2cos sin m=αα，则ααcos sin +的值是 （ ） A ．1-m B ．1+m C ．1-±m D ．1+±m21．若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞) 22．求0sin 600的值是 （ ）A 、12 B、D 、12-23．下列关系式中正确的是（ ）A ．sin11cos10sin168︒<︒<︒B ．sin168sin11cos10︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒ 24．若2π-≤x ≤2π，则()cos f x x x =+的取值范围是 （ ） A ．[1,2]- B ．[1,1]- C．[2] D．[ 25．已知x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ，那么函数x y tan =的周期为π。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.(12分)（１）求的值．（２）若，,，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)原式……6分（2），①②①-②得，. ……12分【考点】本小题主要考查利用和差角公式、同角三角函数基本关系式等求三角函数值，考查学生的运算求解能力.点评：解决给值求值问题时，要尽量用已知角来表示未知角.2.设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sin B．cosC．－cos D．－sin【答案】C【解析】∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.3.已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B．C．－a D．a【答案】C【解析】法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.4.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.5.求sin42°－cos12°＋sin54°的值．【答案】【解析】sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.6.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.7.的值为()A．2＋B．C．2－D．【答案】C【解析】sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.8.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.9.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10.若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝()A．－1B．1C．－D．【答案】B【解析】∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.11.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.12.若π<α<，化简＋.【答案】－cos【解析】∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝＋＝－＋＝－cos.13. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.14.已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为() A．－1B．－1或－C．－D．±【答案】C【解析】∵0<α<， <β<π，∴<α＋β<π，∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－，故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.＝________.【答案】【解析】＝cos cos－sin sin＝cos cos＋sin sin＝cos＝cos＝.17.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.18.函数y＝cos x＋cos的最大值是________．【答案】【解析】法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sin sin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cos x＋cos x cos－sin x sin＝cos x－sin x＝＝cos，当cos＝1时，y＝.max19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
高一数学三角恒等变换试题
高一数学三角恒等变换试题1.已知，，则．【答案】【解析】由题意可得：，因为所以舍去，所以，所以，.【考点】三角变换及求值.2.若，则，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，平方得：，故选择D.【考点】三角恒等变换中的求值.3.已知＝2，则的值为；的值为【答案】.【解析】由倍角的正切公式得，,.【考点】二倍角的正切公式.4.已知求证：【答案】见解析【解析】本题是证明的关系，故需将拆分开，即;同时不含有单独的,故需将其转为,即,然后恒等变化.试题解析：因为所以 4分8分10分即 12分【考点】两角和与差三角函数公式，角的拆分.5.（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以原式=.【考点】两角和的正弦公式，特殊角的三角函数.6.设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）. A．B．C．D．【答案】D.【解析】由，则，因此有，又，则，又因为当且仅当时，数列的前项和取得最大值，可知：，则当时，有，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系：平方关系，平方差公式，两角和与差的正弦公式，等差数列的下标和性质，等差数列前N项和的最值问题，转化思想.7._________.【答案】.【解析】.【考点】三角恒等变形.8.化简：= ．【答案】【解析】，；，，则.【考点】二倍角公式及其变形.9.．【答案】【解析】，故答案为.【考点】三角函数和与差公式.10.若,,则A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，又∵，∴，∴=，∴，故选C．先由结合不等式性质，求出，由得，所以=，所以．【考点】特殊角的三角函数；不等式性质；简单三角方程11.= ．【答案】【解析】=.【考点】两角和的余弦公式，诱导公式.12. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【答案】【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．13.在分别是角A、B、C的对边，，且．（1）求角B的大小；（2）求sin A＋sin C的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据可得,从而得到边角的关系,而后要求角,所以利用正弦定理将边化角,可求角．（2）要求的值,但是有两个角,根据（1）可将其中一个用另一个表示出来,利用正余弦和差公式化简,通过角的范围确定最终的范围．（1）由，得,即由正弦定理得又又又（2）,．,,．所以．【考点】向量垂直的应用;正余弦和差角公式．14.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值；（2）利用三角函数有关知识，化简，再由（1）可得没代入即可（1）因为，且，所以．所以．（2）因为．所以．【考点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数15.已知那么．【答案】【解析】，∵，∴，∴，∴．【考点】二倍角公式的变形．16.已知的值。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则【答案】【解析】由，因此，.【考点】（1）诱导公式的应用；（2）同角三角函数的基本关系.2.已知0＜β＜＜α＜π，且，，求cos（α＋β）的值．【答案】．【解析】（1）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围;（2）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确;（3）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围．试题解析：解：，，∴＝＝，sin＝＝，∴＝＝＋sin sin＝×＋×＝，∴（α＋β）＝2－1＝2×－1＝－．【考点】根据三角函数值求值．3.若，则，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，平方得：，故选择D.【考点】三角恒等变换中的求值.4.已知，，且为锐角，则___________．【答案】【解析】由，两式平方相加得：，即有，由为锐角，且，知，从而得，因此，所以，观察式子的结构特点，注意解题技巧的积累．【考点】三角恒等变换之一：求值．5.设且则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，又，，故，即.故选C.【考点】二倍角公式的应用.6.已知，且．（１）求的值；（２）求的值．【答案】(1);(2)【解析】(1)=;(2)因为,由已知易求出,,则.试题解析：(1)原式=,则【考点】1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式7.已知向量，，，.（Ⅰ）若，求函数的值域；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数的值域为；（Ⅱ）实数的取值范围为.【解析】（Ⅰ）将向量语言进行转换，将问题转化为三角问题，通过换元进一步将问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题，从而得以解决；（Ⅱ）通过换元将问题转化为一元二次方程根的分布问题，通过数形结合，最终归结为解一个不等式组的问题.试题解析：（Ⅰ） 1分，，， 2分，，， 3分，， 4分，又，， 6分（Ⅱ）由得，令，，则，关于的方程有两个不同的实数解，，在有两个不同的实数解， 8分令，则应有11分解得 14分【考点】三角恒等变换及三个二次的综合应用.8.设a＝(sin56°－cos56°)， b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝ (cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是 ( ).A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】B.【解析】因为，，，又因为在内余弦函数单调递减，所以，即c<a<b.【考点】辅助角公式（化一公式），诱导公式，两角和的余弦公式，二倍角的余弦公式，余弦函数单调性.9.求值： ___________.【答案】.【解析】.【考点】三角恒等变形.10. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．11. 4 sin．cos =_________．【答案】1【解析】根据正弦二倍角公式,可得．【考点】正弦二倍角公式．12.已知，（1）求；（2）求。
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 三角恒等变换》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知2tan 5α=-，则1sin 2cos 2αα+=（ ） A ．1318B ．522 C ．37-D ．372．若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．14-BC ．78D ．3．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+sin()αβ+=（ ）A ．12B C ．12- D ．4．sin cos 44ππαβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为和差的结果是（ ）A ．11sin()cos()22αβαβ++-B ．11cos()sin()22αβαβ++-C ．11sin()sin()22αβαβ++- D ．11cos()cos()22αβαβ++-5．已知()11cos 3cos cos 42πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A B ．13- C ．23- D ．136．0000cos80cos130sin100sin130-等于A B ．12C ．12-D ．7．已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=与0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（ ）A ．45- B ．44125C ．44125-D ．458．已知π2cos()33α+=，则πsin()6α-=（ ）A B ． C ．23-D ．139．图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =二、填空题10．数列{}n a 的通项公式为[]2log n a n n =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为__________．11．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()23cos sin 210απα++=，则tan α=__________．12．已知1sin 3α=，cos()1αβ+=-则sin(2)αβ+=______．13．已知sin 2πααπ<<，则tan α=______________． 14．已知角0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对任意的x ∈R ，()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅恒成立，则θ的取值范围是_____.三、解答题15．已知函数()()1tan cos f x x x =+⋅(1)若44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan x ；(2)若,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，则()f α=，求cos2α．16．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2A C =.（1）若a c =，求cos B 的大小； （2）若1b =，3c =求sin A .17．已知函数22π()sin 2cos sin ,6f x x x x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .(1)求()f x 求函数的最小正周期及对称中心. (2)求函数()y f x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦值域.18．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ （1）求B ;（2）若6b AB CB =⋅=，求ABC 的周长19．已知向量(sin ,cos 1)a x x =-，(3cos ,cos 1)b x x =+和1()2f x a b =⋅+. (1)求函数的最小正周期T 及单调递增区间； (2)若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.四、双空题 20．已知4sin 5α，且α是第二象限角，则cos α=______；sin 2α=_______. 参考答案与解析1．D【分析】结合二倍角公式，将所求表达式转化为只含tan α的式子，由此求得正确答案. 【详解】原式222222cos sin 2sin cos 1tan 2tan cos sin 1tan ααααααααα++++==-- 4491932552542121712525+-====-. 故选：D 2．C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可得解.【详解】1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 2cos 244248x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2712sin 88x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：C ． 3．A【分析】将两个已知等式两边平方相加，再根据两角和的正弦公式可求出结果.【详解】由sin cos αβ+=225sin cos 2sin cos 4αβαβ++⋅=由cos sin αβ+=227cos sin 2cos sin 4αβαβ++⋅=两式相加得22(sin cos cos sin )3αβαβ++=，得1sin()2αβ+=.故选：A 4．B【分析】利用积化和差公式()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⎡⎤=++-⎣⎦化简即可. 【详解】解：原式1sin sin()22παβαβ⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11cos()sin()22αβαβ=++-. 故选：B .【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题. 5．B【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得tan α=再根据二倍角公式以及“1”的代换求得cos2α.【详解】由诱导公式化简原式，得cos 2αα-=，故tan α=所以22222222cos sin 1tan 1cos 2cos sin sin cos tan 13ααααααααα--=-===-++. 故选:B ． 6．D【详解】试题分析：原式3cos80cos130sin 80sin130cos(80130)cos(18030)2=-=+=+=-． 考点：三角恒等变换． 7．B【解析】先根据二倍角余弦公式求cos α，解得cos2α，最后根据两角差余弦公式得结果.【详解】2125cos2cos 10cos cos 30cos 2ααααα+=∴--=∴=-或35因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=22443247sin ,sin 22,cos 2cos sin 5552525ααααα∴==⨯⨯==-=-,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()43cos 2,2(2,3)sin 255αβαβππαβ+=+∈∴+=cos cos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++4732444525525125=-⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．C【分析】利用诱导公式化简变形可得结果【详解】解：因为π2cos()33α+=所以π2sin()sin cos cos 662633ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故选：C 9．A【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论．【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ． 10．631【分析】由[]22log [log ]n a n n n n =+=+，分析n 的不同取值对应的2[log ]n 的取值情况，分组求和即得解 【详解】由题意[]22log [log ]n a n n n n =+=+ 当1n =时，则2[log ]0n =； 当2,3n =时，则2[log ]1n =； 当4,5,6,7n =时，则2[log ]2n =； 当8,9,10,...,15n =时，则2[log ]3n =； 当16,17,18,...,31n =时，则2[log ]4n =； 当32n =时，则2[log ]5n =； 故{}n a 的前32项和为：3212...32102142831645S =++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+(132)321035281036312+⨯=+=+= 故答案为：631 11．-7【详解】22221tan 131cos 232tan 31tan cos sin(2)sin 21021021tan 10αααααπααα-+++++=∴-=∴-=∴+ tan 7,tan 1αα=-= （舍）．12．13-【分析】先由cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=，再由sin(2)sin()sin cos()+cos sin()αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+即可求出结果.【详解】因cos()1αβ+=-，得sin()0αβ+=所以1sin(2)sin()sin cos()+cos sin()3αβααβααβααβ+=++=⋅+⋅+=-.【点睛】本题主要考查三角函数的两角和差化积公式，熟记公式即可，属于常考题型. 13．-2【分析】利用同角的三角函数中的平方和关系求出cos α，再利用同角的三角函数关系中的商关系求出tan α即可.【详解】2sin sin cos tan 22cos παααπααα=<<∴===-. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系中的平方和关系和商关系，考查了角的余弦值的正负性的判断，考查了数学运算能力. 14．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意转化为22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，利用基本不等式求得2234()cos ()sin sin 243x x θθθ+≥，得到1sin 22θ≥，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由()()2213cos 4sin 122x x x θθ+≥⋅，即()()2213cos 4sin 324x xx x θθ+≥⋅⋅即22341()cos ()sin 432x x θθ+≥在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立又由2234()cos ()sin 2sin cos sin 243x x θθθθθ+≥=所以1sin 22θ≥又因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()20,θπ∈，所以5266ππθ≤≤，解得51212ππθ≤≤即θ的取值范围是5[,]1212ππ.故答案为：5[,]1212ππ.15．(1)tan 1x =(2)9【分析】（1）根据同角三角函数的关系、两角和正弦公式、诱导公式化简即可求解； （2）根据角的变换及两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式计算即可求解. (1) ()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即有sin cos x x =，所以tan 1x =． (2)由()43f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭∴,444πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭∴cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4sin sin 446ππαα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故22cos 212sin 12αα=-=-⨯=⎝⎭16．（1；（2. 【分析】(1)由正弦定理求出cos C ，进而求得sin C 、sin A 及cos A ，再利用和角公式即可得解；(2)由(1)结合余弦定理求得a ，进而求得cos C 及sin C 即可得解. 【详解】（1）ABC 中由正弦定理可得sin sin 22cos sin sin a A CC c C C===所以cos C =，sin C =和sin 2sin cos A C C ==221cos cos sin 3A C C =-=-所以cos cos()B A C =-+cos cos sin sin A C A C =-+13= （2）由（1）可知2cos aC c=，所以2cos 6cos a c C C ==由余弦定理可知222cos 2a b c C ab +-=282a a -=，于是2862a a a a -=⋅⇒=则cos C =，sin C =所以sin 2sin cos A C C =2==17．(1)π ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可； （2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可. (1)1()2co πs 2cos 2sin 226f x x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 所以函数的最小正周期为2ππ2= ()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π6x k -=解得ππ212k x =+ ∴()f x 的对称中心是ππ,0,Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)令π26t x =-由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则1()12f x ≤-≤所以()y f x =的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．（1）3B π=；（2）【分析】（1）根据()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数化简为2sin cos sin B B B =求解；（2）利用余弦定理得到()2312a c ac +-=，然后由6AB CB ⋅=求得ac 代入即可. 【详解】（1）因为 ()sin sin cos cos 2cos a A B c A a A b B +=+ 所以()sin sin cos cos cos 2cos a A B A B c A b B -+= 所以cos()cos 2cos a A B c A b B -++= 所以cos cos 2cos a C c A b B +=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 整理得()sin 2sin cos sin A C B B B +== 因为在ABC 中所以sin 0B ≠，则2cos 1B = 所以3B π=（2）由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-即()2312a c ac +-=因为1cos 62AB CB BA BC ac B ac ⋅=⋅=== 所以12ac = 所以()23612a c +-=解得a c +=所以ABC 的周长是【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，则要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则则要考虑两个定理都有可能用到． 19．(1)πT = πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合降幂公式、辅助角公式、二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式以及单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. (1)由211()3sin cos cos 22f x a b x x x =⋅+=+-1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 故函数()f x 的最小正周期πT = 当πππ2π22π(Z)262k x k k -≤+≤+∈时，则函数单调递增 解得ππππ36k x k -+≤≤+ Z k ∈函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2)π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令π26t x =+，则sin y t =，π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以当π6t =-即π6x =-时，则min 1()2 f x =-当π2t =即π6x =时，则min ()1 f x =故函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．352425-【分析】根据正余弦恒等式求出cos α，再利用二倍角的正弦公式求出sin 2α. 【详解】因为4sin 5α，且α是第二象限角所以3cos 5α==-4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：352425-。
高一数学三角恒等变换-名校试题(答案)
三角恒等变换习题详解一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.3．已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.4．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝173，故选D. 5．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥yD ．x ＞y[答案] D[解析] ∵π>A ＋B ＞π2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选D.6．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] D[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos2x ，故选D. 7．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝(sin α2＋cos α2)2＋(sin α2－cos α2)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.二、填空题8．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.9．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.10. (理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.[答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题11．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73. 12.(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.13．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值．[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－32sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝223，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.。
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三角恒等变换习题详解
一、选择题
1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π
4)，x ∈R ，则函数f (x )
是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
[答案] A
[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π
2＝π.
2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3
2
，则cos2α＝( ) A ．－1
4
B ．－1
2
C.12
D.3
2
[答案] B
[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛
⎭
⎫222
＝cos 2α＋12＝34，
∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1
2.
3．已知tan α
2＝3，则cos α＝( )
A.45
B ．－45
C.4
15
D ．－35
[答案] B
[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α
2＝cos 2α2－sin 2
α2cos 2α2＋sin 2
α
2
＝1－tan 2
α
21＋tan 2
α2
＝1－91＋9＝－4
5
，故选B.
4．(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝1
3，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )
A ．±
17
3
B ．－
173
C.13
D.
173
[答案] D
[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－8
9<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝17
9
且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝
17
3
，故选D. 5．(文)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x ＜y C ．x ≥y
D ．x ＞y
[答案] D
[解析] ∵π>A ＋B ＞π
2，∴cos(A ＋B )＜0，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，∴x ＞y ，故应选
D.
6．(2010·吉林省调研)已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )
A ．向左平移π
2个单位长度
B ．向左平移π
4个单位长度
C ．向右平移π
2个单位长度
D ．向右平移π
4个单位长度
[答案] D
[解析] y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos2x ，
将f (x )＝a ·b ＝2sin x cos x ＝sin2x ，向右平移π
4个单位得，sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭
⎫π
2－2x ＝－cos2x ，故选D. 7．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )
A ．－2cos α
2
B ．2cos α
2
C ．－2sin α
2
D ．2sin α
2
[答案] C
[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π
4.
∴1＋sin α＋1－sin α
＝1＋2sin α2cos α
2＋
1－2sin α2cos α
2
＝
(sin α2＋cos α2
)2＋
(sin α2－cos α2
)2 ＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α
2)
＝－2sin α
2.
二、填空题
8．(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝3
5，则cos2θ＝________. [答案] －725
[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－7
25
.
9．(2010·浙江杭州质检)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________． [答案] 1
[解析] y ＝sin x cos10°＋cos x sin10°＋cos x cos40°－sin x sin40°＝(cos10°－sin40°)sin x ＋(sin10°＋cos40°)cos x ，其最大值为
(cos10°－sin40°)2＋(sin10°＋cos40°)2 ＝2＋2(sin10°cos40°－cos10°sin40°) ＝2＋2sin (－30°)＝1.
10. (理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.
[答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)
2cos24°
sin12°cos12°
＝
23sin (12°－60°)
1
2
sin48°＝－4 3.
三、解答题
11．(文)(2010·北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π
3
)的值；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
[解析] (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－9
4.
(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－7
3
，x ∈R
因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝2
3时，f (x )取最小值
－73
. 12.(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭
⎫22cos2x ＋22sin2x
＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π
4
，
∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π
2时，f (x )有最小值
－1.
13．(文)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－1
4，且C 为锐角，求sin A 的
值．
[解析] (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12－3
2sin2x ， 所以函数f (x )的最大值为1＋3
2，最小正周期为π.
(2)f (C 2)＝12－32sin C ＝－14，所以sin C ＝32，
因为C 为锐角，所以C ＝π3
，
在△ABC 中，cos B ＝13，所以sin B ＝22
3，
所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋3
6
.。