有限元上机报告杆件的应变
6-第六讲-杆件有限元分析
3 0 1 2 k ji 2 2 k jj 3
补充-整体分析
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (3) 编码法
杆件有限元分析：案例
四 杆 桁 架 结 构
杆件有限元分析：案例
(1) 结构的离散化与编号
四 杆 桁 架 结 构
对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示，有关节点 和单元的信息见表1至表3。
杆件有限元分析：案例
(1) 结构的离散化与编号
四 杆 桁 架 结 构
对该结构进行自然离散，节点编号和单元编号如上图所示，有关节点 和单元的信息见表1至表3。
杆件有限元分析：案例
(2) 各个单元的矩阵描述
四 杆 桁 架 结 构
由于所分析的结构包括有斜杆，所以必须在总体坐标下对节点 位移进行表达，所推导的单元刚度矩阵也要进行变换，各单元 经坐标变换后的刚度矩阵如下。
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(3) 单元应变场的表达 由弹性力学中的几何方程，有1D问题的应变
1D 杆 单 元
其中
叫做几何矩阵(strain-displacement matrix)。
基本概念 回顾：杆件有限元分析
(4) 单元应力场的表达 由弹性力学中的物理方程，有1D问题的应力
1D 杆 其中 单 元 叫做应力矩阵(stress-displacement matrix)
2D 杆 单 元
回顾：杆件有限元分析
(2)整体坐标系下的单元刚度方程
2D 杆 单 元
(3)整体坐标系下的单元应力
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
整体刚度矩阵的建立 (1) 位移转换法
补充-整体分析
南京理工大学2016年有限元上机实验报告(ABAQUS)
点线性等参元（完全积分 Quad，Linear；减缩积分 Quad，linear，Reduced integration；非协调模式 Quad，Linear，Incompatible modes）和 8 节点二次等参 元（Quad，Quadratic） 。
7 创建并提交分析。 ○ 8 查看结果并分析。 ○
4 计算结果分析讨论与结论
4.1 粗网格下梁中部应力分量和上下边法向应力对比
1 理论解： ○
X 方向正应力由下式计算：
已知 q=1N/mm2 ，h=160mm，L=1000mm， ymax
h 代入上式得： 2
3
x max
6 106 1 1 1 3 0 0.08 106 4 29.497MPa 3 0.16 4 2 4 5
分别应用 3 节点三角形单元、4 节点线性等参元（完全积分、减缩积分、 非协调模式） 、8 节点二次等参元完全积分进行下列各项数值实验：1）用粗网 格求解梁中部应力分量 x 最大值和上下边法向应力分量，并通过精确解对采用 不同单元的 x 计算精度进行对比分析；2）对粗网格下梁中部铅直（y 向）位移 进行对比分析；3）通过多次网格加密，对比试验 3 节点三角形单元和 8 节点二 次等参元的收敛速度。总结出研究结论，撰写实验报告。
2 3 节点三角形单元计算结果： ○
x 的应力云图
梁中部应力分量 x 变化曲线
上边法向应力分量
4
下边法向应力分量
梁中部应力分量 x 最大值为 17.03Mpa。 梁上边法向应力分量最大值为-1.3428Mpa 梁下边法向应力分量最大值为 0.3428Mpa
3 4 节点线性等参单元完全积分： ○
-0.130665
杆件的应变能
m
在弹性体内的应变能 V 。
l
杆件的应变能
梁弯曲后轴线成为一段圆弧，其曲率为
κ1M ρ EI
（b）
它所对应的圆心角为
m
m
θl Mlml ρ EI EI
l
杆件的应变能
与 m 成直线关系如图
外力偶所作的功为
W 1 m
m
2
从而纯弯曲时梁弯曲应变能为
m
Vε
1mθ1Mθ 22
θ θ
杆件的应变能
Vε
1mθ1Mθ
2FNΔl
l FNl Fl EA EA
V 2 FE N2lA 杆2F 件E 的2l应A 变能E 2l A l2
应变能比密度（比能）： 单位体积的应变能。记作vFra bibliotekV V
1Fl 2
Al
1
2
E
v
1εσ2
Eε2
2 2E 2
杆件的应变能
（单位 J/m3)
三、等直圆轴在扭转时的应变能
纯剪切应力状态下的比能 假设单元体左侧固定， 因此变形后右侧将向下
wA
Pl3
3EI
()
杆件的应变能
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如图所示,试求此梁内积蓄的弯曲应变能Vε并利用功能原理
求 A 端的挠度 wA。 解 : 任一横截面上的弯矩为 f A
M(x) = P x 梁内的应变能 为
A
B
x
P
22
23
l
Px Px V 0
dx
2EI
6EI
l
荷载 P 作功为
W
1 2
P
wA
杆件的应变能
杆件的轴向应变和轴向力计算
杆件的轴向应变和轴向力计算杆件是工程中常见的构件之一，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在设计和分析杆件时，了解轴向应变和轴向力的计算方法是非常重要的。
一、轴向应变的定义和计算方法轴向应变是指杆件在受到轴向力作用时，单位长度的变形量。
轴向应变可以用公式表示为：ε = ΔL / L其中，ε表示轴向应变，ΔL表示杆件在受到轴向力作用后的长度变化量，L表示杆件的原始长度。
轴向应变的计算方法主要有以下几种：1. 直接测量法：通过使用应变计等测量仪器，直接测量杆件在受力后的长度变化量，然后根据上述公式计算轴向应变。
2. 应变计法：在杆件上粘贴应变计，应变计的电阻值会随着杆件受力而发生变化，通过测量电阻值的变化，可以计算出轴向应变。
3. 数值模拟法：通过有限元分析等数值方法，对杆件的受力情况进行模拟计算，从而得到轴向应变的数值结果。
二、轴向力的定义和计算方法轴向力是指作用在杆件上的沿着杆件轴线方向的力。
轴向力可以用公式表示为：N = A * σ其中，N表示轴向力，A表示杆件的横截面积，σ表示轴向应力。
轴向力的计算方法主要有以下几种：1. 直接测量法：通过使用力传感器等测量仪器，直接测量作用在杆件上的轴向力。
2. 应力计算法：根据杆件受力情况和材料的力学性能参数，计算轴向应力，然后通过上述公式计算轴向力。
3. 数值模拟法：通过有限元分析等数值方法，对杆件的受力情况进行模拟计算，从而得到轴向力的数值结果。
三、轴向应变和轴向力的关系轴向应变和轴向力之间存在一定的关系。
根据胡克定律，轴向应变和轴向力之间的关系可以表示为：σ = E * ε其中，σ表示轴向应力，E表示杆件的弹性模量，ε表示轴向应变。
根据上述公式，可以通过已知轴向应变或轴向力，计算出轴向应力。
同时，也可以通过已知轴向应力和轴向应变，计算出杆件的弹性模量。
四、轴向应变和轴向力的应用轴向应变和轴向力的计算在工程设计和分析中有着广泛的应用。
通过对轴向应变和轴向力的计算，可以评估杆件的受力状态和变形情况，从而确定杆件的安全性和可靠性。
第六章杆件的应力应变分析
（3）拉断时应力、变形 较小。
（4）σ － ε关系近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为
弹性模量。
b 120 130 MPa
0.4 ~ 0.5%
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
四、材料压缩时的力学性能 1.低碳钢压缩时的力学性能
36
F
( 1 ) p、e、 s、E 与拉伸时相同。
（2）低碳钢压缩,愈压愈扁,无法得到压缩的强度极限。
解 （1）计算各杆的轴力
N２ N１
y0
N2 sin 300 60 0
N2 120kN拉力
x 0 N1 120cos300 0
大小不足以反映构件的强度）
m
平均应力
pm
P A
B
当 B 点面的积应收力缩为到：B点时，p
lim
A0
P A
dP dA
m
P
正应力
p
剪应力
单位： A
Pa （N/m2)、
σ--与截面垂直的法向分量，T--与截面相切的切向分量 MPa （KN/mm2)
第一节 应力与应变的概念
8
应力的特征： （1）应力是在受力物体的某一截面某一点处的定义，因此， 讨论应力必须明确是在哪个截面上的哪一点处。 （2）在某一截面上一点处的应力是矢量。 （3）整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成， 即为该截面上的内力。
符号规则： a角：从x轴逆时针转至斜截面的外法线方向为正， 反
之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：剪应力绕所研究部分顺时针转
为正，反之为负。
第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变
24
五、轴向拉（压）杆的变形
1.纵（横）向变形
P
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
有限元上机实验报告分析
有限元法基础及应用上机报告南京理工大学2015年12月上机实验一1 实验题目设计一个采用减缩积分线性四边形等参元的有限元模型，通过数值试验来研究网格密度、位移约束条件与总刚度矩阵奇异性、沙漏扩展、求解精度的关系，并验证采用减缩积分时保证总刚度矩阵非奇异的必要条件。
总结出你的研究结论，撰写实验报告。
2 实验目的通过实验来研究减缩积分方案中网格密度和位移约束条件对总体刚度矩阵奇异性和求解精度的影响，以此加深对有限元减缩积分的理解，和对减缩积分中保证总体刚度矩阵非奇异性的认识。
3建模概述先保持位移约束条件不变，研究网格密度对总体刚度矩阵奇异性和求解精度的影响，并验证采用减缩积分时保证总刚度矩阵非奇异的必要条件。
如下图1所示，建立一个简支和链杆的约束条件，然后不断增加网格密度，通过ABAQUS 来计算位移和应力的变化规律。
简支（两个约束）链杆（一个约束）积分点（3个独立关系式）节点（两个自由度）4 计算结果分析讨论与结论 1）1*1单元四边形减缩积分实验载荷 布种/单元应力云图2）2*1单元四边形减缩积分实验载荷 单元应力云图3）4*4单元四边形减缩积分实验载荷布种单元应力云图结果分析5 实验体会与小结单元刚度矩阵的特征：(1)对称性(2)奇异性(3)主元恒正K相同(4)平面图形相似、弹性矩阵D、厚度t相同的单元，eK的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两(5)e列，其位置与结点位置对应。
整体刚度矩阵的特征：(1)对称性(2)奇异性(3)主元恒正(4)稀疏性(5)非零元素呈带状分布。
[K]的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。
为消除[K]的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。
对于一个给定形式的单元，如果采用精确积分，则插值函数中所有项次在|J|=常数的条件下能被精确积分，并能保证刚度矩阵的非奇异性。
如果采用减缩积分，因为插值函数中只有完全多项式的项次能被精确积分，因此需要进行刚度矩阵非奇异必要条件的检查。
杆件结构有限元分析
0 0
0.1
u2 u3 u4 u5
0
0
0
0
0.1 0
则所有的节点位移为： u [0.0 0.0087591 0.019708 0.034307 0.056204 0.1]T m
一维杆件ELAB1.0软件实现
➢工程建模
1、点击“工程向导”进入公式库
2、选择“结构力学”→“桁 架”→“二维直角坐标”
3、选择“坐标系”
4、选择“单元类型”
5、选择“问题类型”
6、定义工程名和工程路径，完成工程设置
➢定义材料参数
点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示：
材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示：
1.0e10 0.1 1 1 1
1
1
u6 u5
u5 u4
K (2)
1.0e10 0.2 1
1 1
1
1
u5 u4
u4 u3
K (3)
1.0e10 0.3 1
1 1
1
1
u4 u3
u3 u2
K (4)
1.0e10 0.4 1
1 1
1
1
u3 u2
u2 u1
K (5)
1.0e10 0.5 1
1 1
1
1
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
du dx
dN1 dx
u1
dN2 dx
u2
1 le
1 u1
le
u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
l AE du
0 dx
d u dx
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
基于有限元仿真的IGBT模块的应力应变分析
基于有限元仿真的IGBT模块的应力应变分析1.研究背景：IGBT模块的应力应变分析2.有限元分析原理1.1GBT模块的三维模型建立4.应力应变计算5.结果分析与讨论6.结论研究背景：IGBT模块的应力应变分析微电子芯片的性能和寿命对于其应用都具有重要意义，在精密电子设备中，IGBT模块是一种常见的微电子元件。
它的应力应变分析在研究其可靠性和参数变化方面尤为重要，而有限元法是解决实际工程问题的重要工具，在结构分析上备受重视。
因此，基于有限元仿真的IGBT模块的应力应变分析引起了学者们广泛的重视。
本文将通过基于有限元仿真的方法对IGBT模块的应力应变进行分析。
首先，我们将阐述有限元分析原理，然后建立IGBT模块的三维模型，之后进行应力应变计算，最后对计算结果进行分析和讨论。
希望本文可以帮助读者深入了解IGBT模块的应力应变，从而为IGBT模块的应用效用提供参考。
本章将阐明有限元分析原理。
有限元分析是一种用来计算结构设计和物理性能的精细数值分析方法，可以将实体模型在计算机中以有限多边形的有限元表示。
有限元分析可以用于解决复杂的动态、热、流体、结构等多种物理问题，例如影响IGBT模块性能的应力应变分析。
通过有限元，我们可以以较小的计算量和低精度获得准确的结果，因此有限元分析具有多方面的优势。
首先，使用有限元分析，我们可以根据给定的材料物理、力学参数计算结构变形和应力分布。
其次，对于复杂系统，有限元法能较好地模拟相邻单元之间的耦合关系，帮助我们更好地捕捉细节，提高精度。
最后，有限元分析能够有效地减少精度的损失，从而改善模拟的精度。
有限元分析是一种重要的结构分析方法，可以有效地解决实际工程问题，其在IGBT模块的应力应变分析中发挥着非常重要的作用。
本章将介绍IGBT模块的三维模型建立。
由于IGBT模块的结构考虑到几何形状的复杂性，因此三维模型建立是基于有限元仿真分析IGBT模块中应力应变的重要步骤。
首先，我们可以使用CAD软件建立IGBT模块的三维几何模型，并给出各部件的材料属性，包括弹性模量和泊松比。
杆件的应变能及其应用
如前所述，若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性体内，即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失，则只要得到加载过程中外力功的数值，弹性体应变能的数值也就可以计算出来，所以说外力功是应变能的一种度量。
2.1外力功的计算
外力作功分为以下两种情况。
一种情况为常力作功。 这里所谓常力，是指工程动力学中，作用在不变形的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时，它所作的功等于外力与其相应位移的乘积。例如，在沿外力 方向线上有线位移 ，则
当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所作的功为
则杆内的应变能为
由图14.1知，杆件任一横截面上的轴力
考虑到胡克定律有
所以，拉（压）杆的应变能为
（14.4 ）
或 （14.4 ）
若外力较复杂，轴力沿杆轴线为变量 ，可以先计算长度为 微段内的应变能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即
=
（14.5）
杆件的应变能及其应用一、教学目标和教学内容
1．教学目标
让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。
理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。
掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。
能够熟练地计算基应变能的计算。
能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。
=
可见应变比能 的数值也可以用 ~ 图中 的面积来表示（图14.2 ）。根据胡克定律 ，比能又可以写成下列形式
（14.6）
2．剪切变形时的应变能及比能
为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图14.3 所示的单元体，该单元体处于纯剪切应力状态，假想其在一个面（如左侧面）上被固定起来，则在剪应力由零逐渐增加到 值的过程中，单元体将发生如图所示的变形，与此对应的剪应变由零增加到 值，其右侧面向下的位移为 。当材料在线弹性范围内工作时，其 与 成正比（图14.3 ），与图14.2 、 中所示受拉杆的相应图形类似。所以，单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为
有限元实验报告
有限元实验报告有限元实验报告引言：有限元方法是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中的结构力学、流体力学、电磁场等领域。
本实验旨在通过有限元分析软件进行一系列模拟实验，以深入了解有限元方法的原理和应用。
实验一：静力分析静力分析是有限元分析中最基本的一种分析方法。
通过对静力平衡方程的求解，可以得到结构的应力分布和变形情况。
本实验以一个简单的悬臂梁为例，通过有限元软件建立模型，并施加外力，观察梁的变形和应力分布。
实验结果表明，悬臂梁的最大应力出现在悬臂端，而中间部分的应力较小。
此实验验证了有限元分析的准确性和可靠性。
实验二：动力分析动力分析是有限元分析中的另一种重要方法。
它可以用于研究结构在动态荷载下的响应情况，如振动、冲击等。
本实验以一个简单的弹簧质量系统为例，通过有限元软件建立模型，并施加动态荷载，观察系统的振动情况。
实验结果表明，系统的振动频率与质量和弹簧刚度有关，而与外力的大小无关。
此实验验证了有限元分析在动力学问题中的应用价值。
实验三：热力分析热力分析是有限元分析中的另一个重要分析方法。
它可以用于研究结构在热荷载下的温度分布和热应力情况。
本实验以一个简单的热传导问题为例，通过有限元软件建立模型，并施加热荷载，观察结构的温度分布和热应力情况。
实验结果表明，结构的温度分布与热源的位置和强度有关，而热应力与材料的热膨胀系数和热传导系数有关。
此实验验证了有限元分析在热力学问题中的应用能力。
实验四：优化设计优化设计是有限元分析的一个重要应用领域。
通过对结构的几何形状、材料参数等进行优化，可以使结构在给定的约束条件下具有最佳的性能。
本实验以一个简单的梁结构为例，通过有限元软件进行形状优化，以使梁的最大应力最小化。
实验结果表明，通过优化设计可以显著降低结构的应力，提高结构的安全性和可靠性。
此实验展示了有限元分析在工程设计中的重要作用。
结论：通过一系列有限元实验，我们深入了解了有限元方法的原理和应用。
静力分析、动力分析、热力分析和优化设计是有限元分析的主要应用领域，它们在工程设计和分析中发挥着重要的作用。
ABAQUS有限元上机报告南理工
ABAQUS有限元上机报告南理工标题：ABAQUS有限元上机报告引言：ABAQUS是一种常用的有限元分析软件，具有强大的模拟功能和广泛的应用范围，在工程领域有着重要的地位。
本次上机实验通过使用ABAQUS软件进行有限元分析，对一个简单的结构进行建模和分析，探讨了有限元分析方法的基本原理和应用。
一、实验目的本次实验的目的主要有以下几点：1.了解有限元分析的基本原理和步骤；2.熟悉ABAQUS软件的基本界面和操作方法；3.学习建立有限元模型和进行分析的基本步骤；4.掌握ABAQUS软件中常用的载荷和约束设置方法。
二、实验内容本次实验选择了一个简单的梁模型进行分析，主要包括以下几个步骤：1.模型的建立：首先根据实际需要建立合适的几何模型，包括梁的尺寸、材料等参数。
2.材料属性的定义：根据实际材料性质，定义材料的弹性模量、泊松比等参数。
3.网格划分：将模型进行网格划分，将连续体分割为小单元。
4.载荷和约束的设置：根据实际情况设置梁的边界条件，包括外力载荷和约束条件。
5.边界条件的施加：对模型进行力的施加和约束的设置。
6.分析类型的选择：根据分析的目标选择合适的分析类型。
7.求解和后处理：进行模型的求解和结果的后处理。
8.结果分析和讨论：对模型的结果进行分析和讨论。
三、实验结果在进行了上述步骤后，我们成功建立了一个简单的梁模型，并进行了有限元分析。
通过ABAQUS软件提供的分析结果功能，我们得到了梁的应力、应变等结果，并进行了相应的分析和讨论。
四、实验总结通过本次实验，我们深入了解了ABAQUS有限元分析软件的基本原理和操作方法，熟悉了有限元分析的基本步骤。
同时，我们也学习到了如何进行模型的建立、加载和后处理等操作，并掌握了如何进行结果的分析和讨论。
这对于今后进行更加复杂的结构分析和优化设计具有重要的意义。
在今后的学习和研究中，我们将进一步深入学习ABAQUS软件的使用，提高对于有限元分析方法的理解和掌握，以更好地应用于实际工程问题的解决中。
有限元方法第三章杆系结构有限元
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载 荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构 的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂 参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结 构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、 建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性 ，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
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04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构 的边界条件，如固定、自由、 受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成 一个线性方程组，然后使用数 值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干 个小的单元，每个单元具有一 定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于大规模问题求解，计算精度可 调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型， 计算量大，需要较高的计算机资源， 对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题
有限元应用—杆单元问题
《有限元应用实训》实验报告（1）杆单元问题一、实训问题介绍：如图3-4所示三杆组合，三个杆的长度均相等为30in(762m m)，在2节点施加水平向右大小为3000l b(13344.6N)的力，杆件1和杆件2的弹性模量为E=30×106ps i(206880N/m m2)，横截面面积为1in2(645.16m m2)，杆件3的弹性模量为E=15×106ps i(103440N/m m2)，横截面面积为2in2(1290.32m m2)，节点1和节点4为固定约束。
在有限元软件中对模型进行有限元分析，回答下面两个问题：(1)确定节点2和节点3的位移；(2)节点1和节点4的反作用力。
二、方法与材料本次练习的研究对象为桁架结构，桁架结构由杆件组成，杆件受轴向力作用，其有限元基本模型为杆，可通过杆单元建立结构的有限元分析模型。
So l id Works有限元软件建模与求解步骤：2.1创建杆横截面草图，保存在weldment profi l es目录下，另存为.s ld l fp格式根据杆1、2和杆3规定的横截面，分别建立相应的截面文件。
2.2创建杆件草图2.3创建结构焊件，结构构件分别为三个杆件赋予截面2.4建立有限元s imulat i on新算例（1）定义材料（2）将焊件定义为桁架杆件（3）施加边界条件，节点1和节点4施加固定铰链约束（4）施加载荷条件，节点2施加水平向右的集中力（5）生成杆件网格并计算三、计算结果与讨论3.1节点2、3的位移节点2、3沿x方向（轴向）的位移分别为0.04597m m,0.0160m m计算结果与原题公式计算结果相同，说明本模型正确。
节点沿y和z向的位移为零，符合杆轴线承载条件。
3.2节点1、4的约束反力杆的约束反力为8010N,-5340N3.3杆件的轴向力3.4杆件的轴向应力3.5杆件的安全系数，当乘数为0.5时最小安全系数是8.8873.6应力准则应用最大Von Mises应力准则四、结论：通过软件建模，成功计算了结构构件的位移、应力、内力，确定了危险截面，出现在第一个杆件左端点处，构件满足最大Von M i ses应力准则，结构符合强度要求。
工程力学中的应力和应变分布的计算方法
工程力学中的应力和应变分布的计算方法工程力学是工程领域中研究物体在作用力下产生的应力和应变的学科。
在工程设计和结构分析中，准确计算应力和应变分布是至关重要的，它们对于评估结构的安全性和可靠性具有重要意义。
本文将介绍工程力学中常用的应力和应变分布的计算方法。
一、应力的计算方法1. 线性结构的应力计算方法在线性结构中，应力可以通过应力=力/截面积的公式进行计算。
对于受压或受拉的杆件，应力等于施加在杆件上的力除以杆件的截面积。
对于弯曲杆件，应力的计算需要考虑弯矩和截面惯性矩的影响。
根据梁的弯矩公式，弯曲杆件上的应力等于弯矩乘以截面离轴距离除以截面惯性矩。
2. 非线性结构的应力计算方法对于非线性结构，如塑性材料或复合材料，应力的计算方法会更加复杂。
在这种情况下，常常需要使用数值模拟方法，如有限元分析，来计算应力分布。
有限元分析通过将结构划分为有限数量的小单元，并在每个小单元上进行应力计算，然后将结果汇总得到整个结构上的应力分布。
二、应变的计算方法1. 线性结构的应变计算方法在工程力学中，应变定义为物体长度或体积的变化与原始长度或体积之比。
对于受压或受拉的线性结构，应变计算可以通过应变=位移/原始长度的公式进行。
位移是杆件两端的距离差，原始长度是杆件未受力时的长度。
2. 非线性结构的应变计算方法对于非线性结构，应变的计算方法也会更加复杂。
类似于应力计算，可以使用有限元分析等数值模拟方法来计算非线性结构上的应变分布。
有限元分析可以考虑材料的非线性特性，如材料的应力-应变曲线，从而得到更精确的应变分布。
三、常见应力和应变分布形式1. 拉伸和压缩应力分布在拉伸和压缩加载下，线性材料的应力分布呈现均匀分布。
即在整个截面上应力大小相等。
但对于非线性材料，应力分布可能呈现不均匀分布，尤其是在接近临界点时。
2. 弯曲应力分布在弯曲结构中，线性材料的应力分布呈现最大值位于中性轴线处，随着距离中性轴线的增加而逐渐减小。
对于非线性材料，应力分布也会受到材料特性的影响，可能不呈现对称的形式。
有限元法基础杆系结构力学问题
u1 1 1 1 1
u2
0
1
1
2
u3 0 0 1 u3
代入有限元方程
K1 0
0
K2
0 0
12
P1 P1
0 0 K3 u3 P1 P3
1 0.00001 2 0.00001 u3 2.00000
u1 2.00002 u2 2.00001 u3 2.00000
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有限元法基础
9.2 等截面直杆-梁单元 一. 杆单元
承受轴向拉压载荷，并只经历轴向拉压变形的细 长构件，称为杆（Rod）。
假设：应力在截面上均匀分布，原来垂直于轴线 的截面变形后仍然垂直于轴线。
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有限元法基础
9.2 等截面直杆-梁单元
直杆的基本方程
几何关系 本构方程 平衡方程
有限元法基础
9.2 等截面直杆-梁单元
单元列式
➢位移插值函数
n
u Niui Nqe i 1
其中N＝[N1,N2,…,Nn], qe＝[u1,u2,…,un]T
➢坐标变换
2 l
(x
xc )
xc
x1
x2 2
➢2节点单元
N1
1 2
(1
),
N2
1 2
(1 )
➢3节点单元
N1
1 (1 ),
2
有限元法基础
9.1 结构单元概论 例：一由三个弹簧单元组成的系统，单元刚度为 K1＝K2＝105，K3＝1，施加于节点的轴力为P2＝0， P1＝P3＝1。利用5为有效数字的算法求解位移。
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有限元法基础
杆件有限元
弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
u1,F1
k
u2,F2
弹簧的作用力向量为 位移向量为
F1 F2
uu12
FF12
k11 k21
k12 k22
uu12
Kij 物理意义
1)只有节点1可以变形,点2固定
F1a ku1
F1a
u1
k
F2a
由力的平衡有
F1a F2a 0 F2a F1a ku1 2)只有节点2可以变形,点1固定
均质等பைடு நூலகம்面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
F1
AE L u1
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
k AE L
FF12
AE L
1 1
11uu12
坐标变换： 为建立整个结构的刚度矩阵，需要在一个共同的统一坐标
系（即总体坐标系）中建立平衡方程。由于刚架各单元的空间 位置不同，各个单元的局部坐标系一般也不相同。
刚度矩阵的性质
1. 对称性 —— 关于主对角线对称； 2. 稀疏性 —— 矩阵中有大量的零元素； 3. 带状分布 —— 矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带
状分布。
简单拉（压）杆的受力特点为作用在直杆 上的外力（体力、面力）合力的作用线一定 与杆的轴线重合，如图所示:
以弹簧为例： 弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足 胡克定律，并且它们之间是线性关系，直线 的斜率就是弹簧的刚度 k :
F k
如图所示，当 k 与力 F 已知时，可由下式求出弹簧的伸 长量：
K e T T K e T
2 2
K e
AE L
2
2 2
2
2
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（一）.实验目的：
了解并熟悉ansys的基本设计步骤和方法
2.计算简图
（二）实验步骤
1）启动。
点击：开始>所有程序> ANSYS12.0> ANSYS，即可进入ANSYS图形用户主界面
2）功能设置。
电击主菜单中的“Preference”菜单，弹出“参数设置”对话框，选中“Structural”复选框，点击“OK”按钮，关闭对话框
3）定义单元类型。
电击主菜单中的“Preference >Element Type>Add/Edit/Delete”，弹出对话框，点击对话框中的“Add…”按钮，又弹出一对话框，选中该对话框中
的“Link”和“ 2D spar 1”选项，点击“OK”。
注：LINK1属于二维平面杆单元，即我们常说的二力杆，只承受拉压，不考虑弯矩。
4）定义几何特性。
在ANSYS中主要是实常数的定义：点击主菜单中的
“Preprocessor>RealContants>Add/Edit/Delete”, 弹出对话框，点击“Add…”按钮，第二（1）步定义的LINK1
单元出现于该对话框中，点击“OK”，弹出下一级对话框，在AREA一栏杆件的截面积0.25，点击“OK”
5）定义材料特性。
点击主菜单中的“Preprocessor>Material Props> Material Models”, 弹出对话框，逐级双击右框中“Structural,Linear,Elastic,Isotropic”前图标，弹出下一级对话框，在弹性模量文本框中输入：2.3e11，
在泊松比文本框中输入：0.3，点击“OK”
三）衍架分析模型的建立
1）生成节点。
所示衍架中共有4个节点，其坐标根据已知条件容易求出如下：1（0，0，0），2（10，0，0），3（5，5，0），4（5，10，0）点击主菜单中的“Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CS”
2）．生成单元格。
点击主菜单中的“Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>Thru Nodes”
3）施加位移约束。
点击主菜单中的“Preprocessor>Solution>Define
Loads>Apply>Structural>Displacement>On Nodes”,“All DOF”,并点击“Apply”按钮，选择右上列表框中的UY，并点击“OK”按钮，
4）施加作用力
五）开始求解
点击主菜单中的“Preprocessor>Solution>Solve>Current LS”,弹出对话框，点击“OK”按钮，开始进行分析求解。
分析完成后，又弹出一信息窗口已完成求解，点击“Close”按钮关闭对话框即可。
至于在求解时产生的STATUS Command窗口，点击“File>Close”关闭即可。
到此为止，有限元分析的求解器计算部分已经结束。
求解对话框求解完成
六）分析结果显示
1．显示变形图。
点击主菜单中的“General Postproc>Plot Results>Deformed Shape”,弹出对话框如图18所示。
选中“Def + undeformed”选项，并点击“OK”按钮，即可显示
画轴力图先定义表
轴力图
查看节点位移。
点击主菜单中的“General Postroc>List Results>Nodal Solution”,弹出如图21所示“Contour Nodal Solution Data
到此为止，有限元分析的后置处理部分就可以结束了。