数学分析下册期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末考试卷
及参考答案
Prepared on 22 November 2020
数学分析下册期末模拟试卷及参考答案
一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）
1、已知u =则u x
∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则L
xdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L
（x +y ）= 。

4、改变累次积分3
2dy f dx ⎰⎰3
y （x ，y ）的次序为 。

5、设1D x y +≤： ，则1)D
dxdy +⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）
1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）
点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。

( )
2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）
在点p 00（x ，y ）连续。

( )
3、若函数f （x ，y ）
在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

( ) 4、
(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。

( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ） 在D 上可积。

( )
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、用格林公式计算曲线积分
(sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =
-+-⎰ ，
其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分
22()V x y dxdydz +⎰⎰⎰， 其中 是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

3、计算第一型曲面积分 S I dS =⎰⎰ ， 其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。

4、计算第二型曲面积分 22()()S I y x z dydz x dzdx y xz dxdy =-+++⎰⎰， 其中S 是立方体[][][]0,0,0,V b b b =⨯⨯的外表面。

5、设{}222(,)D x y x y R =+≤. 求以圆域D 为底，以曲面22()x y z e -+=为顶的曲顶柱体的体积。

四、证明题(每小题7分，共14分) 1、验证曲线积分 222(2)(2)(2)L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰， 与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,,)u x y z 。

2、证明：若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得 (,)(,)D D f x y d f S σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。

参考答案 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、22x x y +；22y x y +；2222x y dx dy x y x y +++。

2、22a π； 3、54π ； 4、322(,)X dx f x y dy ⎰⎰ ；5
、1)。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）
1、×；
2、○；
3、×；
4、× ；
5、○ .
三、计算题 （ 每小题9分，共45分）
1、解：补上线段:0,0OA y x a =≤≤ 与弧22:(0)AO x y ax y +=≥构成封闭曲线，由
格林公式，有
----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =
220:(0)cos (cos 3)0a
x x D x y ax y e y e y dxdy dx +≤≥⎡⎤---⎣⎦⎰⎰⎰-----------------------------8分 =2338
D dxdy a π=
⎰⎰--------------------------------------------------------------------9分 2、解：作柱面坐标变换：cos ,sin ,x r y r z z θθ===，
则(,,)J r z r θ= 且
2:4,02,02V V r z r θπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分
3
、解：22S Z R a =∈≤-22：x ，y ）D ：x +y .
S D I dS ∴==⎰⎰--------------------------4分
作极坐标变换：cos x r θθ=，y=rsin ， 则 J θ（r ，）=r ，
且0D D r θπ'⇒≤≤≤≤：：02
=200d π⎰-----------------------------------7分
2R π=（R-a ）
----------------------------------------------9分 4、解：用高斯公式，得
I dxdydz
=⎰⎰⎰V
（y+0+x ）------------------------------------6分 =dx dy dz ⎰
⎰⎰b b b 000
（x+y ）----------------------------------8分
=4b --------------------------------------------------9分
5、解：曲顶柱体的体积22x y D V e dxdy -
+=⎰⎰（）-----------------4分
作极坐标变换：cos sin x r y r θθ==，，则 J θ（r ，）=r ，
且 002D D r R θπ'⇒≤≤≤≤：， ，于是，有
=2
200R
r d e rdr πθ-⎰⎰--------------------------------------8分
=π2
-R （1-e ）-----------------------------------------------9分 四、证明题(每小题7分，共14分)
1、证明：222222P x yz Q y xz R z xy =-=-=-，，
222P Q R Q P R z x y y x y z z x
∂∂∂∂∂∂==-=-==-∂∂∂∂∂∂，，，∈3（x ，y ，z ）R . ∴曲线积分与路线无关。

-----------------------------------4分 取000x y ==，则
=22000
y x z
x dx y dy dz ++⎰⎰⎰2（z -2xz ）-------------------7分
=13
=333（x +y +z ）-2xyz --------------------------9分 1、证明：由 最值定理，函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上存在最大值M 和最小值
m ，且∀∈（x ，y ）D ，有
m f M ≤≤（
x ，y ）， 上式各端在D 上积分，得
D D D
mS f d MS σ≤≤⎰⎰（x ，y ），
或 f d m M σ≤≤⎰⎰D
D （x ，y ）S ，
其中D S 为D 的面积。

根据介质性定理，存在D ξη∈（，），使得。