选修2-1直线与圆锥曲线的位置关系作业17

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(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（） A ．33-B ．33C ．13-D ．133．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP ⋅=-⋅，则椭圆的离心率的取值范围为（）A ．1[,1)2B ．2[,1)2C ．51[,1)2-D ． 20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．如图，已知1F 、2F 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，且满足11AF BF ⊥，112ABF π∠=，则双曲线的离心率为（）A 2B 3C 6D 4235．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．6．已知O 为坐标原点设1F ，2F 分别是双曲线2219x y -=的左右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，过点1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为H ，则OH =（） A ．1B ．2C ．3D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（） A．B ．2CD9．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-10．设P 为椭圆22:1169x y C +=上的点，12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，125PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±12．双曲线2214x y -=的离心率为（）A ．5B ．3C ．52D ．32二、填空题13．直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则AB =______.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b +取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，右焦点为()1,0F ，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，且三条边所在直线的斜率分别为()123123,,0k k k k k k ≠.若直线OD 、OE 、OF 的斜率之和为-1（O 为坐标原点），则123111k k k ++=______. 20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 23．已知直线1:1l y x =+与抛物线2:2(0)C y px p =>相切于点P . （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标；（2）设直线2l 过点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，且与抛物线C 交于（异于点P)两个不同的点A 、B ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k 、2k ，那么是否存在实数λ，使得12k k λ+=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.24．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由. 25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-．（1）求抛物线C 的方程；（2）设点(1,2)P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB 分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．26．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 所以11()1213m m +-=⇒=-，故选C.3．C解析：C 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即||||FA FP =，可求得||FA a =，2||a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，由FP AP FA AP ⋅=-⋅得()0FP FA AP +⋅=，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥，故三角形AFP 为等腰三角形，即||||FA FP =，且22||FA b c a =+=，所以||FP a =，由于P 在直线2a x c =上，故2||a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥，解得：512e ≥或512e -≤，又01e << 511e -≤<，故选：C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了学生综合分析、转化划归、数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】连接22,AF BF ，得矩形12AF BF ，在直角12BF F △中用c 表示出1BF ，2BF ，然后由双曲线的定义列式后求得离心率e ．【详解】连接22,AF BF ，由11AF BF ⊥及双曲线的对称性知12AF BF 是矩形，由12AF BF =，1112BFO ABF π∠=∠=，122F F c =，则22sin12BF c π=，12cos12BF c π=，∴122cos2sin21212BF BF c c a ππ-=-=，∴离心率为111222cos sin 2cos 2cos sin 12123212212c e a πππππ=====⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列出关于,a b 关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形12AF BF ，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率．5．C解析：C 【分析】由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出2aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 6．C解析：C 【分析】根据中位线性质得到22111()22OH BF PF PF a ==-=得到答案. 【详解】如图所示：延长1F H 交2PF 于B12F PF ∠的平分线为PA ，1F B PA H ⊥⇒为1F B 中点，1PF BP =，在12F F B △中，O 是12F F 中点，H 为1F B 中点，⇒22111()322OH BF PF PF a ==-==故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将212OH BF =是解题的关键. 7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】首先利用DF DA =，求点D 的坐标，再利用DF 与渐近线垂直，构造关于,a c 的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知(),0F c -，(),0A a ，由对称性可设条件中的渐近线方程是by x a=，线段FA 的中垂线方程是2a c x -=，与渐近线方程by x a =联立方程，解得()2b a c y a-=，DF DA =，即(),22b a c a c D a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为DF 与渐近线b y x a =垂直，则()()22b ac a a a c b c -=----，化简为2232222b c ab a a c b c ac a c -=+⇔=+，即22b ac a =+，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.9．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得222413t k s =-，333413t k s =-，所以31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.10．D解析：D 【分析】先根据椭圆的方程求得c ，进而求得12F F ，设出12,PF m PF n ==，利用余弦定理可求得mn 的值，最后利用三角形面积公式求解．【详解】由椭圆方程有4,3a b ==，则c .设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义有：28m n a +==.设12F PF θ∠=，由125PF PF ⋅=，得cos 5mn θ=，由余弦定理得： 222cos 28m n mn θ+-= 解得：513,cos 13mn θ==，12sin 13θ∴=．所以12PF F △的面积为1112sin 1362213S mn θ==⨯⨯=．故选：D【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的定义的应用，椭圆中求三角形的面积问题，是中档题．11．C解析：C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得,a b，得渐近线方程．【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c=渐近线方程为by xa=±，其中一条为0bx ay-=，1==，1b=，∴a=∴渐近线方程为y x=．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出,a b．解题时要注意椭圆中222a b c=+，双曲线中222+=a b c．两者不能混淆．12．C解析：C【解析】双曲线2214xy-=中，222224,1,5,a b c a b e==∴=+=∴==本题选择C选项.二、填空题13．【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M到y轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为：8【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的解析：【分析】设()()1122,,,A x yB x y，再表达出M的坐标，再利用抛物线的弦长公式求解即可.【详解】设()()1122,,,A x yB x y，则利用中点坐标公式知1212,22x x y yM++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 到y 轴的距离为2，故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==，故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为：8 【点睛】方法点睛：本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式，考查学生的运算能力与转化思想，属于一般题.14．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为22tan 2AF B r MT TF ∠===.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：解析：53【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ，因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以53e =. 故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得3a b 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为1y x =+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =，所以点P的坐标为⎛ ⎝，因为P 为椭圆C 上一点，所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．2【分析】求出椭圆的方程利用点差法求得直线的斜率同理即可求得【详解】由题意可得所以所以椭圆的标准方程为设由两式作差可得则而故即同理可得所以故答案为：2【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法考查解析：2 【分析】求出椭圆的方程，利用“点差法”求得直线AB 的斜率，同理即可求得123111k k k ++ 【详解】由题意可得1c =，2c a =，所以a =1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，由221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式作差可得()()()()212121212x x x x y y y y -+=--+，则()212121212y y x x y y x x -+=-+-，而1212OD y y k x x +=+，故1122AB ODk k k =-=-，即112OD k k =-，同理可得212OE k k =-，312OF k k =-，所以()12311122OD OE OF k k k k k k ++=-++=. 故答案为：2 【点睛】本题考查三条直线的斜率的倒数和的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小，当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y y x x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩，得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=，即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（1）22143x y +=；（2）12y x =-或12y x =-- 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1，∴椭圆的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴===设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||AB CD =1，解得m =，满足(*). ∴直线l的方程为12y x =-+或12y x =-. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.23．(1)24y x =，(1,2)；(2)83. 【分析】(1)将直线1l 的方程与抛物线C 的方程联立消去y ，根据直线与抛物线相切，由0∆=即可求出p 及点P 的坐标；(2)根据题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线2l 与抛物线方程联立消去x ，由根与系数的关系求出12y y +和12y y ，求直线PA ，PB 的斜率，可求出斜率之和为定值，即存在实数λ使得斜率之和为定值.【详解】(1)由212y x y px=+⎧⎨=⎩，得2(22)10x p x +-+=，因为直线1l 与抛物线C 相切，所以2(22)40p ∆=--=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =.将2p =代入2(22)10x p x +-+=，得2210x x -+=，解得1x =，所以2y =, 所以P 的坐标为(1,2).(2)由题意可设直线2l 的方程为11()22x m y =+-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由211()224x m y y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，得24220y my m --+=，22164(22)16880m m m m ∆=--+=+->，解得1m <-或12m >，所以124y y m +=，1222y y m =-+，又1111111222(2)11123()122y y y k x my m m y ---===-+-+--，同理可得2222(2)23y k my m -=+-，所以[]12121222121212243(1)()4(3)2(2)2(2)232342(3)()(3)my y m y y m y y my m my m m y y m m y y m -++----=+=+-+-+-++-λ =[]222224(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3m m m m m m m m m m m m m m m --+----+==-+-+---+，故存在实数83λ=满足条件. 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组；(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系解决．24．（1）8；（2）是，定值为2.【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值.【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线的倾斜角为60则直线方程为32y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=，则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --=∴126y y m +=，1218y y =-， ∴12121312123366y t y t y t y t k k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++ ()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++ ()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26t k =-，132k k k μ+=， 36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0， 2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）24y x =；（2）2.【分析】（1）根据抛物线的准线求出p ，即可得出抛物线方程；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，与抛物线联立可得24480ky y k -+-=，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解MF NF ⋅的值．【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为1x =-，所以12p =，则2p =，因此抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2Q --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()2412y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，则124y y k+=，1284y y k =-. 因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1121112241214PA y y k y x y --===-+-，2222412PB y k x y -==-+. 因为PF x ⊥轴，所以()()122244PA PB PA PB y y PFPF MF NF k k k k ++⋅=⋅==⋅ ()1212884424244y y y y k k -+++++===，所以MF NF ⋅的值为2.【点睛】思路点睛：求解抛物线中的定值问题时，一般需要联立直线与抛物线方程，结合题中条件，以及韦达定理来求解；求解时，一般用韦达定理设而不求来处理. 26．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案.【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=，因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=，所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -，则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭，当87x 时，PD7=. 因为圆D17=. 所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.。

高二数学选修2-1：第四章直线与圆锥曲线的位置关系

重点列表：1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与二次曲线C ：f (x ，y )＝0，由⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元，如果消去y 后得：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)当a ≠0时，①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________；②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________；③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________． (2)注意消元后非二次的情况，即当a ＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率k 要考虑其不存在的情形． 2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线l ：y ＝kx ＋m 与二次曲线C ：f (x ，y )＝0交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，f （x ，y ）＝0得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________，||AB ＝．(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)点差法：若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．无论哪种方法都不能忽视对判别式的考虑．【答案】1．无一个两个 (1)①相交 ②相切 ③相离 (2)平行或重合平行或重合2．(1)－b a ca1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k 2b 2－4ac||a重点1：弦的中点问题【要点解读】1.弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2· x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝ 1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2· y 1＋y 2 2－4y 1y 2.2．处理中点弦问题常用的求解方法 (1)．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【考向1】中点问题的直接应用【例题】(1)已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程．解法一：设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x22＝－9k（1－k）9k2＋4＝1，解之得k＝－49.故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.解法二：设A(x1，y1)．∵AB中点为M(1，1)，∴B点坐标是(2－x1，2－y1)．将A，B点的坐标代入方程4x2＋9y2＝36，得4x21＋9y21－36＝0，①及4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，化简为4x21＋9y21－16x1－36y1＋16＝0.②①－②，得16x1＋36y1－52＝0，化简为4x1＋9y1－13＝0. 同理可推出4(2－x1)＋9(2－y1)－13＝0.∵A(x1，y1)与B(2－x1，2－y1)都满足方程4x＋9y－13＝0，∴4x＋9y－13＝0即为所求．(2)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝2，则直线l 的斜率等于________．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，x 1＋x 2＝－2k 2－4k 2＝－2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝4k，设Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k ，又F (1，0)，∴||FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解得k ＝±1.故填±1.【评析】(1)本题的三种解法很经典，各有特色，解法一思路直接，但计算量大，解法三计算简捷，所列式子“整齐、美观，对称性强”，但消去x 1，x 2，y 1，y 2时，要求灵活性高，整体意识强．(2)本题解答看似正确，但细想会发现：缺少对“直线与抛物线相交于A ，B 两点”这一几何条件的检验(这是易出错的地方，切记)，即⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝（2k 2－4）2－4k 4>0，解得k ∈(－1，0)∪(0，1)，而当k ＝±1时，直线l 恰好与抛物线相切，似与题意不符．【考向2】存在性判断【例题】已知双曲线2x 2－y 2＝2.(1)求以M (2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程；(2)过点N (1，1)能否作直线l ，使直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，且点N 是弦P 1P 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设以M (2，1)为中点的弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 两点在双曲线上，∴2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)．由双曲线的对称性知x 1≠x 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2（x 1＋x 2）y 1＋y 2＝4.∴所求直线的方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.重点2：定点问题【要点解读】解析几何解答题的一般命题模式是先根据已知的关系确定一个曲线的方程，然后再结合直线方程与所求曲线方程把问题引向深入，其中的热点问题有：参数范围、最值、直线或曲线过定点、某些量为定值等．在直线与圆锥曲线交于不同两点的相关问题中，一般是设出点的坐标，然后确定点的坐标之间的关系(特别是直线是动直线时这个方法是必需的)，再进行整体处理(通常是利用韦达定理处理这类问题)．【考向1】证明过定点的问题【例题】已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解：(1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，||O 1A ＝||O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于点H ，则H 是MN 的中点，||MH ＝12||MN ＝4，∴||O 1M ＝x 2＋42.又||O 1A ＝（x －4）2＋y 2，∴（x －4）2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)；当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0，0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：如图，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝(2kb －8)2－4k 2b 2＝64－32kb >0，得kb <2.由根与系数的关系知x 1＋x 2＝8－2kbk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，化简得k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，且过定点(1，0)．【评析】第(1)问设动圆圆心坐标，利用圆的半径、弦的一半和弦心距组成的直角三角形求解，第(2)问设直线方程y ＝kx ＋b 和轨迹方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，导出k 和b 的关系，最后应用方程特点证明直线过定点．【考向2】求定点的坐标【例题】若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，代入①式得（4m 2－12）（k 2＋1）4k 2＋3－8km （km －2）4k 2＋3＋4＋m 2＝0，整理得7m 2＋16mk ＋4k 24k 2＋3＝0，即（7m ＋2k ）（m ＋2k ）4k 2＋3＝0.解得m ＝－27k 或－2k .当m ＝－27k 时，y ＝kx －27k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0；当m ＝－2k 时，y ＝kx －2k ，过定点(2，0)，即过椭圆右顶点，与题意矛盾．所以直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.重点3：定值问题【要点解读】繁难的代数运算是定值问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算；对题目的两个几何特征的代数形式要有合理的预判，以便设计解题思路，优化解题过程．【考向1】求定值【例题】已知直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，且△OPQ的面积S ＝62，其中O 为坐标原点．证明：x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值．证明：当直线l 垂直于x 轴时，设直线l 的方程为x ＝a (|a |＜3)，代入椭圆C 的方程得a 23＋y 22＝1，即y 1，2＝±2⎝⎛⎭⎪⎫1－a 23，∴|PQ |＝|y 1－y 2|＝22⎝⎛⎭⎪⎫1－a 23.∵△OPQ 的面积S ＝62， ∴12|a |·22⎝⎛⎭⎪⎫1－a 23＝62，解之得a 2＝32.∴x 21＋x 22＝2a 2＝3，y 21＋y 22＝2.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)．由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 22＝1消去y 整理得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0.依题意得Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)＞0，即3k 2＋2＞m 2. 由韦达定理得x 1＋x 2＝－6km3k 2＋2， x 1x 2＝3（m 2－2）3k 2＋2.∴|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2（3k 2＋2）2－12（m 2－2）3k 2＋2 ＝1＋k 2·26·3k 2＋2－m 23k 2＋2.∵原点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2，△OPQ 的面积S ＝62，∴12·1＋k 2·26·3k 2＋2－m 23k 2＋2·|m |1＋k 2＝62. 令3k 2＋2＝t ，化简得t ＝2m 2，即3k 2＋2＝2m 2.x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 3k 2＋22－6（m 2－2）3k 2＋2＝3.y 21＋y 22＝(kx 1＋m )2＋(kx 2＋m )2＝k 2(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝3k 2－12k 2m 23k 2＋2＋2m 2＝2.综上知，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，即均为定值．【考向2】证明定值问题【例题】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线． (1)求椭圆的离心率；(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，证明：λ2＋μ2 为定值．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝x －c ，代入椭圆方程得(a 2＋b 2)x 2－2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.由OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝ (3，－1)共线，则x 1＋x 2＋3(y 1＋y 2)＝0代入AB 的直线方程得x 1＋x 2＝32c .于是得2a 2c a 2＋b 2＝32c ，易得e ＝63.由(1)知，x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝38c 2.∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－c )(x 2－c ) ＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝0.∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，代入①式得λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值1.难点列表：难点1：与弦有关的范围与最值问题【要点解读】对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题．【考向1】判定充要性【例题】已知曲线C ：y2＝－4x (x ＞－3)，直线l 过点M (1，0)交曲线C 于A ，B 两点，点P 是AB 的中点，EP 是AB 的中垂线，E 点的坐标为(x 0，0)，试求x 0的取值范围．解：由题意可知，直线l 与x 轴不垂直，可设l ：y ＝k (x －1)，代入曲线C 的方程得k 2x 2＋2(2－k 2)x ＋k 2＝0(－3＜x ≤0)，①设f (x )＝k 2x 2＋2(2－k 2)x ＋k 2，由直线l 交曲线C 于A ，B 两点，则必有(等价代数形式)⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝4（2－k 2）2－4k 4＞0，|k |＞32，解之得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1.由方程①得x A ＋x B ＝2（k 2－2）k 2，x P ＝12(x A ＋x B )＝k 2－2k 2，y P ＝k (x P －1)＝－2k，∴直线EP 的方程为y ＋2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎪⎫x －k 2－2k 2.令y ＝0，得x 0＝－1－2k2.∵34＜k 2＜1， ∴－113＜x 0＜－3，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，－3.【考向2】求充要条件【例题】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎨⎧c a ＝63，a ＝3，得c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.∵直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，∴Δ＝36k 2m 2－12(3k 2＋1)(m 2－1)＝12(3k 2＋1－m 2)＝36k 2＋12－9(k 2＋1)＝27k 2＋3＞0即k ∈R .∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3（m 2－1）3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1 ＝12（1＋k 2）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（1＋k 2）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上所述：|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取得最大值S ＝12×|AB |max ×32＝32.难点2：对称问题【要点解读】应用判别式法解决此类对称问题，要抓住三点：(1)中点在对称轴上；(2)两个对称点的连线与对称轴垂直；(3)两点连线与曲线有两个交点，故Δ＞0.一般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线的方程，再与曲线方程联立，由判别式不等式求出参数范围．【考向1】根据对称求圆锥曲线中的参数【例题】已知抛物线y ＝ax 2－1(a ≠0)上总有关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点，求a 的取值范围．由M 点在直线x ＋y ＝0上，得y 0＝－12a. ∴直线AB 的方程为y ＋12a ＝x －12a. 联立直线AB 与抛物线的方程并消去y ，得ax 2－x ＋1a－1＝0.依题意，上面的方程有两个相异实根， ∴Δ＝1－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＞0，解得a ＞34.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. 【考向2】根据对称求直线中的参数【例题】已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y ＝4x ＋m 对称．∵PQ 与曲线方程交于两点，∴联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3m ＝－14（x ＋m ），x 24＋y 23＝1，化简得13x 2＋26mx ＋169m 2－48＝0， Δ＝4－13m 2＞0，解得－21313＜m ＜21313.1．在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程或动弦中点M (x ，y )轨迹时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 两点在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m (或2x )，y 1＋y 2＝2n (或2y )，从而求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x ，y 之间的关系，整体消去x 1，x 2，y 1，y 2，得到点M (x ，y )的轨迹方程． 2．对满足一定条件的直线或者曲线过定点问题，可先设出该直线或曲线上两点的坐标，利用坐标在直线或曲线上以及切线、点共线或共圆、对称等条件，建立点的坐标满足的方程或方程组．为简化运算应多考虑曲线的几何性质，求出相应的含参数的直线或曲线，再利用直线或曲线过定点的知识加以解决.以“求直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1(k 为参数)是否过定点？”为例，有以下常用方法： ①待定系数法：假设直线l 过点(c 1，c 2)，则y －c 2＝k (x －c 1)，即y ＝kx －c 1k ＋c 2，通过与已知直线方程比较得c 1＝－2，c 2＝1.所以直线l 过定点(－2，1)．题中“k ”不仅可以是一个参数，还可以是一个由参数组成的表达式．②赋值法：令k ＝0，得l 1：y ＝1；令k ＝1，得l 2：y ＝x ＋3，求出l 1与l 2的交点(－2，1)，将交点坐标代入直线系得1＝－2k ＋2k ＋1恒成立，所以直线l 过定点(－2，1)．赋值法由两步构成，第一步：通过给参数赋值，求出可能的定点坐标；第二步：验证其是否恒满足直线方程．③参数集项法：对直线l 的方程中的参数集项得y ＝k (x ＋2)＋1，令k 的系数为0，得x ＝－2，y ＝1，k 的取值是任意的，但l 的方程对点(－2，1)恒成立，所以直线l 过定点(－2，1)．若方程中含有双参数，应考虑两个参数之间的关系．3．给出曲线上的点到直线的最短(长)距离或求动点到直线的最短(长)距离时，可归纳为求函数的最值问题，也可借助于图形的性质(如三角形的公理、对称性等)求解．4．圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题，通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线l (或者是直线系)垂直，圆锥曲线上两点连成线段的中点一定在对称轴直线l 上，再利用判别式或中点与曲线的位置关系求解．2．如果椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_________ 3．圆229x y +=的切线MT 过双曲线221912x y -=的左焦点F ，其中T 为切点，M 为切线与双曲线右支的交点，P 为MF 的中点，则||||PO PT -=___________．4．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>过点A ，，12,F F 分别为左右焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PQMN 面积的取值范围. 5．已知方程22(4)22mx m y m +-=+表示焦点在x 轴上的双曲线．（1）求m 的取值范围；（2）当2m =时，直线2y kx =+与双曲线右支交于不同的两点A B 、，求k 的取值范围．6．已知动圆P 过定点(A -，且内切于定圆22:(36B x y -+=．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记轨迹C 被y x m =+所截得的弦长为()f m ，求()f m 的解析式及其最大值．7．已知动圆P （P 为圆心）经过点)0N ，，并且与圆(22:16M x y ++=相切．（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）经过点()02A ，的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且35AC AD =，求直线l 的方程．8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点.（1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.9．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，P 在直线AB 上，且.3223+==|AB | ,PB AP （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）已知E 上定点K (-2,0)及动点M 、N 满足0=⋅KN KM ，试证：直线MN 必过x 轴上的定点．10．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，，点A B 、分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 是椭圆C 上不同于顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 作//AP OM 交椭圆C 于点P ，求证：//BP ON ．。

选修2-1第二章直线与圆锥曲线的位置关系(理)

一、学习目标：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值；掌握对称问题的求法。

二、重点、难点：重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值。

难点：圆锥曲线的有关范围与最值问题。

三、考点分析：1. 加强对直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习直线与圆锥曲线的位置关系问题一直为高考的热点。

这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识、线段的中点、弦长、垂直问题，因此在分析这类问题时应利用数形结合思想、设而不求法与弦长公式及韦达定理等内容去解决，这样就加强了对数学各种能力的考查。

2. 关于直线与圆锥曲线相交弦的问题则结合韦达定理采用设而不求法来解决。

利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量时则采用参数法。

解答有些题目时还常用到其与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果。

3. 对于直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究由它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。

4. 当直线与圆锥曲线相交时：若涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；若涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。

同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的关系进行灵活转化，往往就能做到事半功倍。

设A （11y ,x ），B （x 2，y 2）是椭圆12222=+by ax 上不同的两点，且21x x ≠，0x x 21≠+，M （x 0，y 0）为AB 的中点，则两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--，22OM AB ab k k -=⋅。

高三直线与圆锥曲线的位置关系

x2－y2＝1，
当 1－k2＝0 即 k＝±1 时，方程组有唯一解，满足题意；
当 1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
即 k＝± 2时，方程组有唯一解，也满足题意. 例 2：设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l
的斜率的取值范围是( )
率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k2－e2＞1 B．k2－e2＜1 C．e2－k2＞1
D．e2－k2＜1
分析：由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率
k
bb 只需满足－＜k＜，即
k2＜b2
aa
a2
＝c2－a2＝e2－1. a2
题型 2：圆锥曲线中的弦长、弦中点问题
线 m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
分析：(1)设弦的两端点为
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
2x21－y21＝2， 2x22－y22＝2，
两式相减得到 2(x1－x2)(x1
＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
所以直线斜率 k＝y1－y2＝4.故求得直线方程为 4x－y－7＝0. x1－x2
5
4 m2－1
x1x2＝
，y1－y2＝x1－x2，
5
∴PQ＝ (x12 x22 ) ( y12 y22 ) ＝
8
－m 5
2－16
m2－1
2
5
＝2，
解得 m2＝15，满足(*)，∴m＝±
30 .
8
4
例 3：直线 4kx－4y－k＝0 与抛物线 y2＝x 交于 A，B 两点，若|AB|＝4，则弦 AB 的中点到

人教A版高中数学高二选修2-1学案 2.1.2直线和圆锥曲线位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．理解直线与圆锥曲线的位置关系；2．掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和处理方法；【重点】直线与圆锥曲线的位置关系【难点】掌握直线与圆锥曲线关系中的几何性质和处理方法一、知识梳理1．直线与三种圆锥曲线的位置关系情况：2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。

第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f b kx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x 第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。

3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。

4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)5．向量知识在解决圆锥曲线问题中应用二、典型例题1．教材80页5题变式：（1）若有两个公共点呢？（2）若直线与双曲线的左支有两个公共点呢？（3）若有一个公共点呢？2．教材80页8题3.教材80页9题三、拓展探究1.已知双曲线，右准线方程为。

数学人教B版选修2-1导学案第二章直线与圆锥曲线的位置关系(一)

§2.5.1直线与圆锥曲线的位置关系（一）
学习目标
1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法；
2.会判断已知直线和圆锥曲线的位置关系；
学习过程【任务一】阅读教材
阅读课本P67页例1、例2。

仿照例题解法完成下面问题
仿照练习1：已知直线2+=kx y 和椭圆12
32
2=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。

仿照练习2：已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。

【任务二】典型例题分析
例1：已知椭圆19
362
2=+y x ，弦AB 的中点是)1,3(M ,求弦AB 所在的直线方程。

变式练习1：已知)2,4(M 是直线l 被椭圆36422=+y x 所截的线段AB 的中点，求直线l 的方程。

例2：已知直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于B A 、两点，O 是坐标原点，如果OB OA ⊥,求k 的值。

变式练习2：设抛物线x y 42=与其过焦点的斜率为1的直线相交于B A 、两点，O 是坐标原点，求→→•OB OA 的值。

作业：直线l 过点)4,2(P 且与抛物线x y 82=只有一个公共点，求直线l 的方程。

高中数学选修2-1精品教案直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、预习目标1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二、预习内容1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：；2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．3、弦长公式；4、焦点弦长：；1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点． 2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm 的值为（） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||2x x -=||AB = ．（2）12||2y y -=||AB = ．7．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ． 8．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条9．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（） ()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内预习学案一、学习目标1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、学习过程1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：4．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．例题例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例4．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．课后练习与提高1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（） ()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（） ()A 2 ()B 12()C 22()D 325．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（）()A 2 ()B 5 ()C 5 ()D 5 7．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为．8.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是．9.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率．10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：k=-41．由弦长公式易求得：当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计11。

上海大同中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（）A ．89B ．83C ．149D ．1433．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（） A ．4B ．5C ．6D ．74．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．25．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（）A ．12B 1C D 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1112⎫⎪⎣⎭ D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭7．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（）A． B．)+∞C．⎛ ⎝ D．8．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（） A．2B1 C1D．2+9．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥（）A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1⎤⎥⎝⎦D．1]11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．3C ．2D二、填空题13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______；15．椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 的连线相互垂直，则12PF F △的面积为______．16．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.17．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为______.18．已知直线:10l x y -+=与椭圆221169x y+=交于,A B 两点,若椭圆上存在一点P 使得PAB ∆面积最大,则点P 的坐标为________.19．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点(4,)(0)M a a >到抛物线焦点F 的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a 的值；（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．24．已知双曲线C 过点()4,3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 26．求下列曲线的标准方程.（1）求焦点在x 轴上，焦距为2，过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线2212x y -=有公共焦点，且过点的双曲线标准方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．C解析：C 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =，由题意，6m n -=，若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅；若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =．∴222115196999c a b =+=+=，143c =． 1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．3．A解析：A 【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，通过三角形相似，求|BF |，再求出||AB 即可．【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点M ，准线与x 轴的交点为H ， ||2BM =，||3AF =，∴由BNM AMC ∽，可得||23||5BF BF =+， ||1BF ∴=，||||||4AB AF FB ∴=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2222c a b =+. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±，∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =， ∴222242224c a b a a=+=+≥当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C7．A解析：A 【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得2330e --<，再结合1e >可解得结果. 【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以2323b ac <，所以22323c a ac -<，所以21323e e -<，即232330e e --<，解得333e -<<，又1e >，所以13e <<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式.8．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由113QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误；综上可知：其中真命题的序号为 ③．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上解析：222【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-，即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：22e =．故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．14．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三 31+ 【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故22PF c =，等腰12PF F ∆有一内角为23π，即2123PF F π∠=，由余弦定理可得，()()cos2212PF 2c 2c 22c 2c 23c 3π=+-•••=，由双曲线的定义可得，||12PF PF 23c 2c 2a -=-=，即(31)c a =，解得：e = 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.15．24【分析】设由结合椭圆定义可求得从而易得三角形面积【详解】椭圆中设由则又∴∴故答案为：24【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题考查椭圆的定义属于基础题解析：24 【分析】设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥结合椭圆定义可求得mn ，从而易得三角形面积．【详解】椭圆2214924x y +=中7a =，b =5c =，设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥，则()2222100m n c +==，又214m n a +==， 2224100214m n c m n a ⎧+==⎨+==⎩，∴2222()()141004822m n m n mn +-+-===， ∴121242PF F S mn ==△．故答案为：24．【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题，考查椭圆的定义，属于基础题．16．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置解析：2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=，由韦达定理得22221221222222,,10a b x x y y a b a ba b∆，所以线段AB 的中点M222222,a b a ba b ，又M 在直线20x y -=上，所以22222220a b a b a b ，即2222222a b a c ==-，所以222a c =，解得e =【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．8【分析】双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4可得的值由条件以为圆心2为半径的圆与双曲线仅有1个交点由双曲线和该圆都是关于轴对称的所以这个点只能是双曲线的右顶点即根据可求得答案【详解】由题意可得双曲线解析：8 【分析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4,可得b 的值，由条件以2F 为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于x 轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即2c a -=，根据2222++16c a b a ==可求得答案. 【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由焦点2F 到渐近线的距离为44=，即4b =.双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个,即以2F 为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于x 轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点. 所以2c a -=，又2222++16c a b a ==即2216c a -=，即()()16c a c a -+=，所以8c a +=. 所以双曲线的右顶点到左焦点1F 的距离为8c a +=. 所以这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为8. 故答案为：8 【点睛】本题考查双曲线的性质，属于中档题.18．【分析】先设与直线平行的直线求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程再求两平行线的最大距离即可根据面积公式求出面积最大值【详解】解:由题意可得弦长为定值要使面积最大则只要点到直线的距离最大当平行于直线的直解析：169,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先设与直线:10l x y -+=平行的直线:0l x y m '-+=,求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程,再求两平行线的最大距离,即可根据面积公式求出PAB ∆面积最大值. 【详解】解:由题意可得弦长AB 为定值,要使PAB ∆面积最大, 则只要点P 到直线:10l x y -+=的距离最大, 当平行于直线l 的直线与椭圆相切时, 对应的切点到直线l 的距离最大或最小. 设直线:0l x y m '-+=直线与椭圆联立得22:01169l x y m x y -+='⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得222532161440x mx m ++-=,则()22(32)425161440m m ∆=-⨯-=,解得5m =±.当5m =时,直线l '与直线l的距离为d == 当5m =-时,直线l '与直线l的距离为d ==∴当5m =-时, 2251602560x x -+=,解得165x =, 代入直线:50l x y '--=,解得95y =- 即点P 的为坐标169,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为: 169,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了直线与椭圆交点坐标,是中档型的综合题.19．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a =，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小，当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）22620x y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，根据条件得出05m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505430425540m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，205m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()2212223020130201,254254m m m m y y m m --+-++==-- ()()222230201321123342230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值．【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PB k k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 22．（1）2214x y +=；（2）存在圆心在原点的圆2245x y +=满足条件．【分析】（1）先利用椭圆定义得到48a =，结合离心率求得参数a ，c ，再解得b ，即得到方程；（2）先假设圆存在，设方程)(22201x y r r +=<<，讨论直线PQ 斜率存在时与椭圆有两个交点满足题意，结合直线PQ 是圆的切线，解得半径，再验证斜率不存在该圆也满足题意，即得结果. 【详解】解：（1）结合椭圆的定义可知，1AF B △的周长为4a，故48a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为)(22201x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得)(222148440k x ktx t +++-=．设)(11,P x y ，)(22,Q x y ，则())()(2228414440kt kt∆=-+->，即2214<+t k ，122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+．① ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=．又11y kx t =+，22y kx t =+．∴)()(12120x x kx t kx t +++=，即)()(22121210k x x kt x x t ++++=．②将①代入②得)()(2222222144801414k t k t t kk +--+=++，即)(2224115t k k =+<+． ∵直线PQ 与圆222x y r +=相切，∴圆心()0,0到直线y kx t =+的距离d 等于半径r ，即)(0,15r d ====， ∴存在圆2245x y +=满足条件．当直线PQ 的斜率不存在时，圆2245x y +=也满足条件．综上所述，存在圆心在原点的圆2245x y +=使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求与直线相关的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.23．（1）24y x =；4a =；（2）证明见解析；定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由抛物线的定义可得求出2p =，再代入4x =可求出a ；（2）将()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线可得1212124y y k x x y y -==-+，由123k k +=可得()121281633y y y y =-+-，即可得出定点. 【详解】（1）由题意，452pMF =+=，故2p =，24y x =；令4x =，可得4y =±，故4a =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 斜率为k ，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得22121244y y x x -=-，即1212124y y k x x y y -==-+，故直线AB 方程为()21111244y y y k x x x y y ⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =-++；1144MA k k y ==+，2244MB k k y ==+， ∴121244344MA MB k k k k y y +=+=+=++，即()121281633y y y y =-+-；因此，直线AB 为12121212444833y y y x x y y y y y y ⎛⎫=-=++ ⎪+++⎝⎭经过定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线中直线过定点问题，解题的关键是得出直线斜率124k y y =+，由123k k +=得出()121281633y y y y =-+-. 24．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=，解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．25．（1）2212x y +=；（2）存在；1)y x =-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d +=.（2）设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，先假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k 的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM 中，由余弦定理得：22121242cos2d d d d θ=+-.又212cos1d d θ=，整理得，12d d +=所以点M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B 为焦点，长轴长为个端点）又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d d θ=.所以点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +-+-= 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. 由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k = 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P ⎛ ⎝⎭、1,Q ⎛ ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.26．（1）22143x y +=；（2）2212y x -=. 【分析】（1）由题意知1c =，根据椭圆的定义求出2a =，根据222b a c =-得到23b =，从而可得椭圆的标准方程；（2）根据2212x y -=求出焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为22221(,0)x y m n m n -=>，代入点并利用223m n +=可求得1m =，n =而可得结果. 【详解】（1）由题意知1c =，焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，根据椭圆定义可得12||||2PF PF a +=2a =，所以24a =，2a =，所以222413b a c =-=-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由2212x y -=得222,1a b ==，所以222213c a b =+=+=，所以c =所以双曲线2212x y -=双曲线的焦点为(，设双曲线的方程为22221(,0)x y m n m n-=>，可得223m n +=，将点代入双曲线方程可得，22221m n -=，解得1m =，n =即有所求双曲线的方程为：2212y x -=.【点睛】关键点点睛：第一问利用椭圆的定义求出a 是解题关键；第二问根据两个双曲线的半焦距相等求解是解题关键.。

高二数学直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系一、基础知识：（1）位置关系的判定：将直线方程和圆锥曲线方程联立。

消去一个未知数，进而转化为一元二次方程，利用____________判断直线与圆锥曲线________、________、________的情况。

（2）判断直线与圆的位置关系时，最常用的方法是利用圆心到直线的距离和________的大小关系。

（3）弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥直线截得的弦AB ，若),(11y x A 、),(22y x B ，则：①||AB =_______________=_______________②||AB =_______________=_______________二、基础练习：1、双曲线A 、B两点，则∆（A ）6 （D ）2333+2（A ）1条）4条 3AB （A ）316 384、设F （A ）4+34±5、4x 直线6（A ）1 个例1 3圆E 于A 、B两点，且C A 2BC =，求当A O B∆的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.则A O B1S 2∆=，当2m =，即t 10=，.【答案】2x例2：k 1,k 2的两条直满足12=+λk k 围.求解.解：ay 4（Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-，直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ ①②的解．将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是ak x x 101=+，故011x ak x -=③又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0202()y y k x x y ax -=-⎧⎪⎨=⎪⎩ ④⑤的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是220k x x a+=，故220k x x a=-．由已知得，12k k λ-=，则012x k ax --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ，由MA BM λ=，则λλ++=112x x x M ．将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．∴线段PM 的中点在y 轴上．（Ⅲ）因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上，所以1-=a ，抛物线方程为2x y -=．由③式知111--=k x ，代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将=λ1(A k -于是AP ⋅ 因∠求得k 21)+，故当1k <-11,)4-例3A 、B l 对称，试求直线l 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x 0,y 0)，则k AB =－02y x ，又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－002y x =－1，k AB =－1，设l 的方程为y =－x +1.右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=9,1692=a∴所求椭圆C 的方程为2291698y x +=1,l 的方程为y =－x +1解法二由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则x 1+x 2=22214kk+,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =22kC 上，所以k基础性强待.注意 (1) D 、(2) , 则t ( (3) l 的(4) 已知抛物线y=2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y=x+m 对称, 且x 1x 2=-2, 那么m 的值等于 ( B )A 、25 B 、23 C 、2 D 、3(5)过双曲线2x 2-y2-8x+6=0的由焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点, 若|AB|=4, 则这样的直线有 ( B )A 、4条B 、 3条C 、 2条D 、1条(6) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是( C )A 、 [0, 1]B 、 (0, 1)C 、 (]1，∞-D 、(-∞, 0)(7) 直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点, 椭圆与y 轴交于B 点, 若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l 的方程是 ( D )A 、5x+6y-28=0B 、5x+6y-28=0C 、6x+5y-28=0D 、6x-5y-28=0(8) 过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点, 若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率是 ( C )A 、23 B 、22 C 、32 D 、21(9) 已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的垂线, 垂足为P , 则点P 的轨迹是 ( B )A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 (10)(11)2|的最大的横坐点 . 记⎪⎩⎪⎨⎧2x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+42211k y x 设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x 解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④.142222=+y x ⑤. ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得.0422=-+y y x ⑧. 当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（Ⅱ）解：由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以71111)1|222222.621AP 的距∴范围是[-),0由M 所以∠1-=AQ P 的坐标,112)32(22=++-yx即.1)122(22=--yx(15)椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明:FQFMλ-=.(15)（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（Ⅱ）解：由（1）可得A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得62718)13(2222=-+-+kx k xk依题意)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①36272221-=kk x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是(221=k y y 0，∴121+y y x x 所以直线注意1>λ故(1x FM =而(2x FQ-=。

选修2-1第二章《直线与圆锥曲线的位置关系》

学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：高二课时数：5学员姓名：辅导科目：学科教师：学科组长签名及日期教务长签名及日期课题直线与圆锥曲线的位置关系授课时间：备课时间：教学目标1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；2、正确熟练地解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题；重点、难点1、直线与圆锥曲线的问题转化为方程组的问题，判断位置关系及相关问题；2、能够熟练的运用函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及转化化归的思想解决直线与圆锥曲线的相关问题；考点及考试要求能用坐标法解决简单的直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题。

教学内容一．知识梳理【课标要求】1. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；2. 能够正确熟练的解决直线与圆锥曲线的位置关系的一些问题。

【重点难点】1. 能够把直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题；由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y-4=0【反思与小结】法一是着眼于求直线的斜率K，利用=2，构造关于K的方程。

法二是一种“设而不求”的思想。

但要注意的一点是，法一、法二都是在的前提下，所以求出K值后都要代入方程中验证。

法三是求轨迹方程的一般方法---求点满足的关系式。

【变式训练】已知双曲线x2-=1，试问过点A(1,1)能否作直线L，使L与双曲线交于两点P1,P2，且点A是线段P1P2的中点？这样的直线存在吗，若存在，求出直线L 的方程，若不存在，说明理由。

【解法1】假设存在满足条件的直线L，设P1（x1,y1）,P2(x2,y2)则x1+x2=2, y1+y2=2因为点P1，P2在双曲线上所以有 =1 =1两式相减，得K L==2所以有 y-1=2(x-1)…………但将式代入双曲线方程，故这样的直线L不存在。

【解法2】同例2的法一。

【反思与小结】这是一个存在性问题，思路跟例1是相同的。

错解原因主要是在求出=2，得到方程y-1=2(x-1)后，没有代入双曲线去验证，从而产生截然相反的结果。

直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)汇编

第4讲直线与圆锥曲线的位置关系（教师）【2013年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．解析由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )． A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解析由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案 B考向二弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解法一设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围． [审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)，将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0·()－k ，y 0＝1. 故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A|＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a ，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)． F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(2011·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56. 答案：B5．(2012·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(2011·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a ，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(2012·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4.令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ，而3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ≤3，当t ＝1时取等号，即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12. 综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。

人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习直线与圆锥曲线的位置关系要点归纳.

直线与圆锥曲线的位置关系要点归纳一、知识要点归纳1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一．可从代数与几何两个角度考虑．从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必，例如：y = kx + m 代入22a x －22by = 1中消y 后整理得：(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2m 2－a 2b 2= 0 ①，当k =±ab时，该方程为一次方程，此时直线y = kx + m 与双曲线的渐进线平行(重合)，当k ≠±a b时，方程①为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系．从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点．具体如下：⑴直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决．⑵直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐进线平行；对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行．⑶直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．2．弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为：A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB| =21k +| x 1－x 2| =2122124))[(1(x x x x k -++=211k +| y 1－y 2| =2122124))[(11(y y y y k-++．利用这个公式求弦长时，主要是应用韦达定理．3．关于圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，一般有三种类型：⑴求中点弦所在直线方程问题；⑵求弦中点的轨迹问题；⑶弦长为定值时，弦中点的坐标问题．其常见解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法以及中心对称变换法等．二、经典例题评析例1 已知点P(4，2)是直线l 被椭圆236x ＋29y = 1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数之间的关系，直接求出x 1＋x 2、x 1x 2(或y 1＋y 2、y 1y 2)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法在圆锥曲线中要经常用到．本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题，也可采用点差法或中点坐标公式，运算会更简便．解法一：设所求直线方程为y －2 = k(x －4)，代入椭圆236x ＋29y = 1中，整理得(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36 = 0． ①设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根，∴x 1＋x 2=28(42)41k k k -+．∵P(4，2)为AB 中点， ∴4 =122x x +=24(42)41k k k -+⇒k =－12． ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．解法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， ∵P(4，2)为AB 中点，∴x 1＋x 2= 8，y 1＋y 2= 4．又∵21x ＋214y = 36，22x ＋224y = 36，两式相减得(21x －22x )＋214(y －22y ) = 0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2) = 0， ∴1212y y x x --=1212()4()x x y y -++=－12，即AB k =－12， ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x ，y)，另一个交点为B(8－x ，4－y)，∵A 、B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2= 36，① (8－x)2＋4(4－y)2= 36，② ①－②得x ＋2y －8 = 0，∵A 、B 两点同时满足方程x ＋2y －8 = 0， ∴所求直线方程为x ＋2y －8 = 0．评析：这是一个技巧性较强的题目，关键是怎样求出k =1212y y x x --的值．从上述解题过程中看出，巧妙地将一个方程减去另一个方程，分解因式，就得到(x 1＋x 2)、(x 1－x 2)、(y 1＋y 2)、(y 1－y 2)的关系式，而(x 1＋x 2)、(y 1＋y 2)是可以由中点坐标公式求出具体数值的，从而k =1212y y x x --的值可以求出来．“设而不求”是处理此类问题的有效方法．有关直线与二次曲线相交先中点问题常用解法二(点差法)来解决．点差法最常用来求中点弦问题，具体解题的步骤是：设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减)，目的是与中点坐标、弦的斜率联系起来．例2 过原点作直线l 和抛物线 y = x 2－4x + 6交于A 、B 两相异点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：设直线AB 的方程为y = kx ，代入抛物线方程y = x 2－4x + 6，得：x 2－(k + 4)x + 6 = 0 ①，由于直线与抛物线有两个交点，所以∆= (k + 4)2－24＞0，解得k ＜－4－26或k ＞－4 +26．设A 、B 、M 的坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，(x ，y)，根据韦达定理知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+⨯==+=+=.)4(21)4(21,)4(21)(2121k k k k kx y k x x x ⇒ y = 2x 2－4x ． ∵k ＜－4－26或k ＞－4 +26，由)4(21+=k x 得x ＜6或x ＞6．故所求M 点的轨迹方程是y = 2x 2－4x (x ＜6或x ＞6)．评析：与运用韦达定理求直线和抛物线交点的中点坐标，是以直线和抛物线有两个交点为前提条件，即必须考虑方程：x 2－(k + 4)x + 6 = 0有两个不等的实根∆＞0的条件下，因此，k 的取值是受限制的．例3 已知直线y = (a + 1)x －1与抛物线y 2= ax 恰有一个公共点，求实数a 的值．解：联立方程⎩⎨⎧=-+=.,1)1(2ax y x a y⑴当a = 0时，此方程组恰有一解为⎩⎨⎧==.0,1y x ．⑵当a ≠0时，消去x ，整理得aa 1+y 2－y －1 = 0．若a =－1，则方程组恰有一解为⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ．若a ≠－1，令∆= 0，可解得a =－54．所以，当a = 0，－1，－54时，原直线与曲线恰有一个公共点．评析：上面三解的几何意义是：当a= 0时，曲线y 2= ax 蜕化成直线y = 0，此时已知直线为y = x －1，它们恰有一个交点(1，0)；当a =－1时，直线与抛物线对称轴平行，恰有一个交点；当a =－54时，直线与抛物线相切．例4 已知抛物线C 1：y 2= x + 1，C 2：(x +41)2=21(y －819)，直线l ：y = kx+ b ，试问：是否存在自然数k 和b ，使得l 与C 1、C 2均为公共点？解：将y = kx + b 分别代入C 1、C 2的方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=-+-+②b x k x ①b x bk x k .025)1(24,01)12(2222 ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<---=∆<---=∆④b k ③b k bk .02516)1(4,0)1(4)12(222221）（视③、④中b 为主元，得⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≥->-⑥k b ⑤b kb .0)1(254,0)21(1222）（⇒1＜b ＜25，得自然数b = 2．将b = 2代入⑤、⑥，有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.4)1(,3)221(22k k⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<-+<<-.31,232232k k ⇒232232+-＜＜k ．由此得自然数k = 1．故当k = 1，b = 2时l 与C 1、C 2均为公共点．评析：在上述求解过程中，得出方程①、②及不等式③、④是较为容易的，关键是如何处理二元二次不等式组(无需求所有的k 和b)，这里以b 为主元进行讨论是明智的选择．。

人教版数学选修21第二章直线与圆锥曲线讲义

案例（二）---精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax 2+bx+c=0(a ≠0),①△>0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；②△=0时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；③△<0时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.设直线与椭圆的两个交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线方程为y=kx+m(k ≠0）则|AB|=221221)()(y y x x -+-=221221)()(m kx m kx x x --++-=21k +|x 1-x 2|或者|AB|=211k |y 1-y 2|；当k=0时直线平行于x 轴,|AB|=|x 1-x 2|. (2)直线与双曲线的位置关根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to 同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与双曲线方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax 2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时,①△>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相交;②△=0时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相切;③△<0时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.(3)直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.另外,前面所提的弦长公式仍然适用.利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村.知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.(1)直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中,要注意二次项前面系数是0的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.(2)与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.(3)弦长问题求弦长的方法:①公式法；②如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.典型例题分析题型1 直线与圆锥曲线的交点问题【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l与C有:(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联答案将l 和C 的方程联立⎩⎨⎧=+=.4,12x y kx y消去y 得k 2x 2+(2k-4)x+1=0. ①当k=0时,方程①只有一个解x=41,此时y=1.∴直线l 与C 只有一个公共点(41，1),此时直线l 平行于抛物线的对称轴.当k ≠0时,方程①是一个一元二次方程,△=(2k-4)2-4k 2=-16k+16=-16(k-1).(1) 当△>0,即k<1,且k ≠0时,l 与C 有两个公共点,此时称直线1与C 相交(2) 当△=0,即k=1时,与C 有一个公共点,此时称直线l 与C 相切；(3) 当△<0,即k>1时,与C 没有公共点,此时称直线l 与C 相离. 综上所述,当k=0,或k=1时,与C 有一个公共点；当k<1时,与C 有两个公共点；当k>1时,与C 没有公共点.规律总结 (1)直线与抛物线相切,则直线与抛物线只有个公共点.反过来,直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线不一定是相切的；(2)解析中方程①的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k 的讨【变式训练1】直线l:ax+by-3a=0与双曲线9922y x -=1只有一个公共点,则l 共有条,它们的方程是 .答案 (1)当b=0时,l:x=3,9922y x -=1, ∴y=0,此时,l 与双曲线只有一个公共点.(2)当b ≠0时,⎪⎩⎪⎨⎧=--=3694)3(22y x b x a y 得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2)=0.①a.若462-9a 2=0,即=±32时,只有一个公共点,此时l:y=±32(3-x),即2x+3y-6=0.b.4b2-9a2≠0,即b a ≠±32时,二次方程①△=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0,此时直线l 与双曲线必有两个交点.综上所述,共有3条,其方程为x3=0或2x+3y-6=0.题型2 弦长问题【例2】已知直线y=x-4被抛物线y 2=2mx(m ∈R)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.解析直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用.答案由⎩⎨⎧-==,4,22x y mx y 得x 2-2(4+m)x+16=0, 弦长=2212))(1(x x k -+=[]164)4(422⨯-+m=2)8(22m m +.由2)8(22m m +=62,得m=1或m=-9,经检验,m=1或m=-9均符合题意.∴所求抛物线标准方程为y 2=2x 或y 2=-18x.规律总结由于m ∈R,故m 的几何意又发生了变化,此时,|m|才表示焦点到准线的距离.【变式训练2】椭圆ax 2+by 2=1与直线x+y=1相交于A 、B 两点,若|AB|=22,且AB 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22,求实数a 、b 的值.答案设椭圆与直线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则由⎩⎨⎧=+=+,1,122y x by ax 可得(a+b)x 2-2bx+b-1=0.所以x 1+x 2=b a b +2,x 1+x 2=ba b +-1,所|AB|=2)1(1-+·|x 1-x 1|=2·ba ab b a +-+2=22,得(a+b)2=a+b-ab ①.又因为kx=222121x x y y ++=2121x x y y ++=2121)1()1(x x x x +-+-=212x x +-1=b a =22,所以a=22b ②.把②代人①,得b=32,a=31. 题型3 中点弦问题【例3】设A 、B 是双曲线x 2-22y =1上的两点,点N(1,2)是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程. (2) 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?为什么?解析涉及直线截圆锥曲线所得弦长及弦的中点的有关问题,常常要运用根与系数的关系.答案 (1)显然,AB 与x 轴不垂直,设其斜率为k,其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理得(2-k 2)x 2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0.设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由根与系数的关系及N 是AB 的中点,知22)2(2k k k --=2. 解得 k=1.因此,直线AB 的方程为y=x+1.(2)线段AB 的垂直平分线的方程为y=-x+3,代入双曲线方程,得x 2+6x-11=0.设C 、D 两点坐标分别为(x 3,y 3)、(x 4,y 4),由根与系数的关系,得x 3+x 4=-6,x 3x 4=-11.|x 3-x 4|=432434)(x x x x -+=45,据弦长公式得|CD|=21k +|x 3-x 4|=410.又设CD 中点为M,求得M 点的坐标为(-3,6)点A(-1,0)到点M 的距离|MA|=210.由于C 、D 是线段AB 垂直平分线上的两点,点B 到点M 的距离等于点A 到点M 的距离.这样点A 、B 、C 、D 到点M 的距离均等于2√10,因此四点共圆规律总结本题考查了直线、圆、双曲线的有关内容,是综合性较强的一个题目；证明四点共圆时,要充分利用CD 是直径这一隐含条件.【变式训练3】直线l:6x-5y-28=0交椭圆2222by a x +=1(a>b>2)于B 、C 两点,A(0,b)是椭圆的一个顶点,且△ABC 重心与椭圆的右焦点F 重合,求椭圆的方程.答案设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),设BC 的中点D(x 0,y 0),F(c,0),A(0,b),可利用|AF|:|FD|=2:1,结合定比分点公式求得x0=23c,y0=-2b .由于点D 在BC 的直线上,则18c+5b-56=0,①将B 、C 两点坐标代入椭圆方程并作差:2212122121))(())((b y y y y a x x x x +-++-=0,∴KAB ·=00x y -22ab , ∴2a 2=5bc. ②由于b 2+c 2=a 2 ③,由①②③可得:41c 2-194c+224=0,∴c=2或c=41112. ∵a>b>2,∴c=2,从而b=4,a 2=20,∴椭圆方程为:162022y x +=1 题型4 最值及参数范围问题【例4】在直线l:x+y-4=0上任取一点M,过M 且以椭圆121622y x +=1的焦点为焦点作椭圆,问M 点在何处,所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆的方程.解析椭圆的长轴的长的2倍即为椭圆上点到两焦点距离的和,这样,求过直线l 上点M 所作长轴最短的椭圆,即转化为求直线l 上一点,使这点到两焦点F 1、F 2的距离之和最小.答案 a 2=16,b 2=12,∴c 2=a 2-b 2=4.故已知椭圆121622y x +=1的两焦点F 1(-2,0),F 2(2,0),过F 2向引垂直线l ′:y=x-2,求出F 2关于l 的对称点F ´2,则F 2的坐标(4,2)(如右图),直线F 1F 2′的方程为x-3y+2=0.∴⎩⎨⎧=-+=+-,04,023y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,35,25y x ∴M ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,25即为所求的点. 此时,|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MF ′2|=|F1F ′2|=210. 设所求椭圆方程为2222by a x +=1, ∴a=10,c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6， ∴所求椭圆方程为61022y x +=1 规律总结本题的实际几何意义是:待求椭圆与已知直线l 相切时，长轴最短.【变式训练4】从椭圆2222by a x +=1(a>b>0)上一点M 向x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM,若Q 为椭圆上任一点,F 2是右焦点,求∠F 1QF 2的最大值. 解析利用OM ∥AB,得a,b,c 的关系,由cos ∠F 1QF 2的取值范围确定∠F 1QF 2的最大值.答案如右图,点M 的坐标为(-c,ab 2),因为OM ∥AB,所以k CM =k AB ,∴-acb a b 2-=,即b=c,a=2c.设|QF 1|=m,|QF 2|=n, ∠F 1QF 2=θ由余弦定理,得cos θ=|QF ||QF |2|F ||QF ||QF |212212221•-+F=mn c mn n m 242)(22--+=mn b mn mn b 222224=--1≥1)2(222-+n m b =222ab -1=0. 当|QF 1|=|QF 2|时,等号成立. ∴0≤cos θ≤1.∴θ的最大值为2π,即∠F 1QF 2的最大值为2π.【例5】已知双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的离心率е=332,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23. (1)求双曲线的方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与该双曲线交于不同的两点C,D,且C,D 两点都在以A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围. 解析 (1)依条件建立ab 的关系,求a 2,b 2；(2)利用直线与圆锥曲线有交点的条件,结合韦达定理作转化.答案 (1)由题设,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=,23,34122222b a ab a b λ解得a 2=3,b 2=1，∴双曲线的方程为32x -y 2=1.(2)把直线方程y=kx+m 代入双曲线方程,并整理得(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0.因为直线与双曲线交于不同两点, 所以⎩⎨⎧≠+>∆,031,02k 即k 2≠31,且m 2+1-3k 2>0. ①设C(x 1,,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=2316kkm-, y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2312k m-, 设CD 中点为P(x 0,y 0),其中则依题意,AP ⊥CD,∴kAP=22313131k km k m-+-=-k 1,整理得3k 2=4m+1. ② 将②式代入①式得m 2-4m>0, ∴m>4,或m<0,k 2≠31,3k 2≠1, ∴4m+1≠1,即m ≠0. 又3k 2=4m+1>0,即m>=-41, ∴m 的取值范围为m>4,或-4<m<0.规律总结 (1)应熟练掌握研究直线与圆锥曲线相交问题的一般方法；(2)第(2)小题中注意将点C 、D 都在以A 为圆心的同一圆上的条件转化为AP ⊥CD,进而转化为斜率关系,同时掌握设点不求点的处理技巧.【变式训练5】已知椭圆的两个焦点为F 1(0,-22),F 2(0,22),离心率e=322. (1)求椭圆方程;(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N,且线段MN 中点的横坐标为-21,求直线l 倾斜角的取值范围.答案(1)∵c=22,322=a c ,∴a=3,c=22, ∴b 2=1.∴椭圆方程为92y +x 2=1.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),且MN 中点为P(-21,y 0),k MN =k(k ≠0),则921y +x 21=1,922y +x 22=1.相减,得9))((2121y y y y +-+(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0. ∴21212121)(9y y x x x x y y ++=--,∴y0=k29. 由于点(-21,k29)在椭圆92y +x2=1内部,∴4191)2(922+•k <1,∴k 2>3, ∴k>3或k<-3.∴直线l 倾斜角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛32,22,3ππππY .规律方法总结(1) 直线与圆锥曲线的位置关系问题可消元构造一元二次方程,利用判别式来解决,并应注意讨论,不要漏项,也可利用图形的性质来解决.(2)涉及圆锥曲线的弦长,一般用弦长公式|AB|=21k +|x1-x2|=211k+ |y1-y2|,弦过焦点时,也可用定义或焦点弦来解决.(2)解决弦的中点问题常用方法:一是用韦达定理及中点坐标公式的构造.二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造出中点坐标和直线的斜率.(4)设而不求的方法,是直线与圆锥曲线位置关系的常用方法. (5)有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般采用假设反证法”或“假设验证法”,同时要注意直线与圆锥曲线的交点是否存在,即判断△与0的关系.定时巩固检测第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础训练1. 过点A(-p,p)作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.不能确定【答案】 C(点拨:注意有一条直线与抛物线的对称轴平行.) 2. 直线l:y=k(x-2)与曲线x 2-y 2=1(x>0)相交于A 、B 两点,则直线l 的倾斜角范围是（）A.[0,π)B.(2π,2π)∪(2π,43π) C.[0,2π)∪(2π,π) D.(4π,43π) 【答案】 D(点拨:当直线l 与x 轴垂直时符合题意；另外,直线l 的斜率必须满足k>1或k 1<-1)3. 直线y=kx+1与椭圆my x 225+=1恒有公共点,且椭圆焦点在x 轴上,则m 的取值范围是 .【答案】1≤m<5(点拨:直线y=kx+1过定点(0,1),该点应在椭圆的内部(含短轴的端点).)4. 直线x+y=1与椭圆mx 2+ny 2=1相交于A 、B 两点,过A 、B 中点和坐标原点的直线的斜率为22,则nm的值为 . 【答案】22(点拨:利用点差法处理.) 能力提升5. 设直线y=k(x+3)与抛物线y=ax 2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则2111x x +的值是（） A.-31 B.31C.-3D.不能确定与k 的值有关【答案】 A(点拨:将直线的方程代入抛物线方程中,利用韦达定理解决.)6. 已知双曲线方程2422y x -=1,.是否存在直线l,使N(1,21)为l 被双曲线所截弦的中点.若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由. 【答案】假设过N 的直线交双曲线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-②,124①,12422222121y x y x 作差得2))((4))((21212121y y y y x x x x -+--+=0，所以k AB =2121x x y y --=1,∴l 为:y=x-21，但由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=124,2122y x x y 得:2x 2-4x+9=0,△<0,所以无实根,因此直线l 与双曲线无交点,这一矛盾说明满足条件的直线l 不存在.7.已知直线y=-x+1与椭圆2222by a x +=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线l:x-2y=0上. (1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆x 2+y 2=4上,求此椭圆的方程.【答案】 (1)设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).则由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1,12222b y ax x y 得:(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=0 根据韦达定理,得x 1+x 2=2222b a a +,y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2=2222ba b +,∴线段AB 的中点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++222222,b a b b a a .由已知得222222ba b b a a +-+=0,∴,a 2-2b 2=2(a 2-c 2),∴a 2=2c 2,故椭圆的离心率为е=22. (2)由(1)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为(x 0,y 0),则21000•--b x y =-1且20b x +-2×20y=0, 解得x 0=53b 且y 0由已知得x 20+y 20=4,∴22)54()53(+b =4,∴b 2=4,故所求的椭圆方程为4822y x +=1.8. 若抛物线y=x 2上存在两点P,Q 关于直线 y=m(x-3)对称,求实数m 的取值范围. 【答案】如右图,设P(x1,x 21),Q(x2,x 22),过这两点的直线的斜率为k=212221x x x x --=x1+x2=-m 1,线段PQ 的中点坐标x中=221x x ++2=-m21.又由y=m(x3)⇒y 中=m （-m 21-3)=-m(m21+3),由于中点总在抛物线之内部,∴-m(m 21+3)>(-m 21)2(横坐标为-m21的抛物线上的点的纵坐标),从而有12m 3+2m 2+1<0,即m<-21.第2课时直线与圆锥曲线位置关系的应用基础训练1.直线y=x+b(b 为参数)被椭圆42x +y 2=1截得的弦长的最值是（）A.2B.554 C.5104 D.5108 【答案】 C(点拨:设直线与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x b x y 消去y 得5x 2+8bx+4b 2-4=0,x1+x2=-58b,x1x2=5442-b ,|AB|=11+212214)(x x x x -+=516162564222--b b =55242+-b ≤5104,所以所求最大值为5104.) 2.过原点的直线与椭圆2222by a x +=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,若F(-c,0)是椭圆的左焦点,则△FAB 的最大面积是（） A.bc B.ab C.ac D.b 2【答案】 A(点拨:S △FAB =21c|yA-yB|,因为|yA-yB|max =2b,所以S △FAB 的最大值为21·c ·2b=bc.)3.设P(8,1)平分双曲线x 2-4y 2=4的一条弦,则这条弦所在的直线方程是 .【答案】 2x-y-15=0(点拨:设弦所在直线的方程为y-1=k(x-8),由⎩⎨⎧-=-=-),8(1,4422x k y y x 消去y 得(1-4k 2)x 2-8(1-8k)kx-4(1-8k)2-4=0,由x 1+x 2=241)81(8k kk --=16得k=2,所以所求直线的方程为2x-y-15=0.)4.抛物线x 2=21y 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线l:y=x+m 对称,若x 1x 2=-21,则m= .【答案】设AB 中点M(x 0,y 0),点M 在l 上,kAB=-1,⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2221212121y x y x (x2+x1)(x2-x1)=21(y2-y1)⇒2x0=(-1),∴x0=-41⇒y0=-41+m,又y0=221y y +=x 21+x 22=(x1+x2)2-2x1x2=45212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m=23. 能力提升5.直线y=x+3与曲线492xx y -=1A.没有交点B.只有一个交点C. 有两个交点D.有三个交点【答案】 D(点拨:曲线492x x y -=1的图象是双曲线的y 轴右侧部分和椭圆在y 轴的左侧部分.)6.椭圆22a x +22by =1,(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P 、Q 且OP ⊥OQ(O 为坐标原点),求证:21a +21b等于定值. 【答案】由⎩⎨⎧=+=-+,,01222222b a y a x b y x 消去y 得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2(1-b 2)=0, ∵有两个交点,△>0,即4a 4-4(a 2+b 2)a 2(1-b 2)>0,即b 2(a 2+b 2-1)>0,∵b ≠0,∴a 2+b 2>1设P(x 1,y 1),Q （x 2,y 2),则x 1+x 2=2222b a a +,x 1x 2=()22221b a b a +-，由OP ⊥OQ 得x 1x 2+y 1y 2=0,又y 1=1-x 1,y 2=1-x 2得:2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0,∴2()22221b a b a +--2222b a a ++1=0，化简得:a 2+b 2=2a 2b 2,故21a +21b =2为定值. 7.设抛物线x 2=-y 与直线y=3x-4交于M 、N 两点,点P 在抛物线上由M 到N 运动(1)求△PMN 的面积取得最大值时P 点的坐标(x 0,y 0)；(2)证明:与线段MN 平行的直线和抛物线交于A 、B 两点,则线段AB 被直线x=x 0平分【答案】(1)由⎩⎨⎧-=-=43,2x y y x 得:x1=-4,x 2=1,即M(-4,-16,N(1,.-1),因此∣MN ∣=510,要使S △PMN 的面积最大,只需P 到直线MN 的距离最大, 令P(x,y), d=d=1042523104-x 3x 104-y -3x 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x ,由于-4<x<1,当x=-23时,d 达到最大,此时y=-49,故P 点坐标为(-23,-49) (2)设与MN 平行的直线截抛物线的弦AB 所在直线为:y=3x+b.由⎩⎨⎧-=+=yx b x y 2,3得 x 2+3x+b=0,则由△>0得b<49令A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-3,即AB 中点的横坐标为-23,即线段AB 被直线x=-23平分.8.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线与这条抛物线交于A 、B 两点,O 为坐标原点.(1)△AOB 的重心G 的轨迹方程;(2)当直线l 的倾斜角为45︒时,试求抛物线上一点P 的坐标, 使AP ⊥BP【答案】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).当直线l 不垂直于x 轴时,设l:y=k(x-1),代入y 2=4x 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0∵与抛物线相交于两点,∴k ≠0设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),根据韦达定理x 1+x 2=()2222k k +,x 1x 2=1 ⎩⎨⎧-=-=kkx y k kx y 2211,从而y 1+y 2=k(x 1+x 2-2)=k 4, y 1y 2=k 2(x 1-1)(x 2-1)=-4设△AOB 的重心G(x,y)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=++=k y y y k x x x 343034323021221 消去k 并整理得y 2=9834-x当l 垂直于x 轴时,A 、B 的坐标分别是(1,2)和(1,-2) △AOB 的重心G(32,0)也透合y 2=9834-x因此所求轨迹方程为y 2=9834-x(3) 当直线l 的倾斜角为4︒时,k=1 ∴x 1+x 2=6,y 1+y 2=4设抛物线的准线上一点P(-1,y 0)∵AP ⊥BP.∴11202101+-•+-x y y x y y =-1，即()()121212021021+++++-x x x x y y y y y y =-1，16144200+++--y y =-1 （4）解得y 0=2,故所求点P 的坐标为(-1,2)。

(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题1．已知离心率2e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O A 、两点.若AOF ∆的面积为1，则实数a 的值为（）A ．1B C ．2 D ．42．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D 两点，直线AB 交l 于G点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CFDF②直线AB 的倾斜角为π4或3π4 ③F 是AG 的中点④AFC △为等边三角形其中所有正确结论的编号是（） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A ．(B ．(1,1C ．)+∞D ．()1++∞4．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．35．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，倾斜角为30的直线l 过点F 且与曲线C 交于,A B 两点，则AOB (O 为坐标原点)的面积S=（）A ．4B C ．D ．26．已知圆2221:(0)C x y b b +=>与双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b，若在双曲线2C 上存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．(D ．)+∞7．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．528．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（） A．9B．9C．7112+D．83129．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤⎥ ⎝⎦D．1]10．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（） ABC．3D ．211．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-12．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12-D ．12二、填空题13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则PAB S的最大值为________．14．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________15．若ABC ∆的两个顶点坐标()4,0A -、()4,0B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为 _____________16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为ab的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．17．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于3()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 18．中心在原点的椭圆1C 与双曲线2C 具有相同的焦点()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =且25PF =，若双曲线2C 的离心率()22,3e ∈，则椭圆1C 的离心率1e 的范围是__________.19．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.20．已知抛物线21:8C y x =的焦点是F ，点M 是其准线l 上一点，线段MF 交抛物线C 于点N .当23MN MF →→=时，NOF 的面积是______三、解答题21．已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1，离心率e =，过椭圆的右焦点F 的直线l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于A ，B 两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线l 的斜率为12时，求弦长AB 的值. 22．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程. 24．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.（2）若45AFx ∠=，求AB .25．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB 、COD △的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围． 26．已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. （1）将||AB 表示为t 的函数；（2）若||AB =AFB △的周长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，所以FA OA ⊥，则FA b =，OA a =，AOF ∆的面积为1，可得1 12ab =，双曲线的离心率e =222225 4c a b a a +==，即12b a=，解得1b =，2a =，故选C. 点睛：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查了计算能力；利用双曲线的离心率求出渐近线方程，利用三角形中直径所对的圆周角为直角，可求得直角三角形AOF ∆的面积1 12ab =，结合离心率以及恒等式222c a b =+即可得到关于,,a b c 方程组求出a 即可；2．D解析：D 【分析】由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．【详解】解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =，则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠，则2AFC BFD CFO DFO CFD π∠+∠=∠+∠=∠=，CF DF ∴⊥，故①正确；设AB 所在直线方程为()2p y k x =-，联立2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22222(2)04k p k x k p p x -++=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2124p x x =，又3AF FB =，∴123()22p px x +=+，即123x x p =+，联立2121243p x x x x p⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12px =-（舍)或132x p =，则13y p =，即3(,3)2A p p ，则333122FA Pk p p ==-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为23π，故②错误．由3(,3)2A p p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．3．D解析：D 【分析】由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22bc a<，即可由此求出离心率.【详解】由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2by a=±，∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a=，双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，22b c a∴<，即22b ac >，即222c a ac ->，两边除以2a 可得2210e e -->，解得1e <1e >故双曲线离心率的取值范围是()1+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出22b c a <.4．D解析：D 【分析】利用1F PQ 为等边三角形可得21222b PF PF a==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消去b 后可得()22232a c a -=，从而可得离心率.【详解】不妨设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故22bPF a=，1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即21222b PF PF a==，由椭圆定义得122PF PF a +=，故232b a a⨯=，即()22232a c a -=，故213e =，解得e =故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．5．A解析：A 【分析】由已知求得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，设1122(,),(,),A x y B x y 得出根与系数的关系1212 4.y y y y +==-再表示三角形的面积1211||2OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-，代入计算可得选项．【详解】由2:4C y x =得(1,0)F ，所以直线l的方程为1)yx =-，即1x =+，联立得241y xx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简得240.y --=，设1122(,),(,),A x y B x y 则12124.y y y y +==-，所以12111||422OABOAFOFBSSSy y =+=⨯⨯-===，故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，将所求的目标转化到交点的坐标上去.6．B解析：B【分析】根据题意，若过点P 所作的圆1C的两条切线互相垂直，则OP =，则只需在双曲线，设点(),P x y ，则利用OP ===有解求出离心率e 的取值范围.【详解】如图所示，设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆2221:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b ==，设点(),P x y ，则22222212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭有解，整理得22223c x b a =有解，即22223a b x c=，又22x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得62c e a =≥. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.7．A解析：A【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围，进而求得()2224232c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-1e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()22211e e e -<≤-，进而求解属于中档题10．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..11．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由解析：2 【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=，所以2814kx k -=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2214)14k k -+，由题意得B 28(14k k +，2241)14k k -+，所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B k S OP x x k =-=+因为0k ≠，所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简1 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖，所以1243F PPF =‖，故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(3F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得13r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.15．【分析】根据三角形的周长为定值得到点到两个定点的距离之和等于定值即点的轨迹是椭圆椭圆的焦点在轴上写出椭圆方程去掉不合题意的点【详解】的两个顶点坐标周长为点到两个定点的距离之和等于定值点的轨迹是以为焦解析：221259x y +=(0)y ≠【分析】根据三角形的周长为定值，，得到点C 到两个定点的距离之和等于定值，即点C 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在x 轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点【详解】ABC ∆的两个顶点坐标()40A -，、()40B ，，周长为18 810AB BC AC ∴=+=，108>，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，∴点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆 210283a c b ==∴=，，∴椭圆的标准方程是221259x y += ()0y ≠故答案为221259x y += ()0y ≠【点睛】本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法．16．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解解析：43y x =±【分析】根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出ba，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()ay x c b=+，由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，可知()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为13PM MF =，所以1114AF BF =，14AM BP =，不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-=，解得2043a x c c=-，所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()222210,0x y a b a b -=>>，即()2222244310,0a ab c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，整理可得22925c a =，即()222925a b a +=，解得22169b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.故答案为：43y x =± 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.17．【分析】利用切线的性质和勾股定理可得利用椭圆的性质可得的最小值为由题意可得最小值为即可得出离心率满足的不等式再利用得联立两个不等式即可解出的取值范围【详解】因为所以当且仅当取得最小值时取得最小值而的解析：3,52⎡⎢⎣⎭【分析】利用切线的性质和勾股定理可得||)PT b c =>，利用椭圆的性质可得2PF 的最小值为a c -，由题意可得PT )a c -，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b c >，得222a c c ->，联立两个不等式即可解出e 的取值范围.【详解】因为||)PT b c =>，所以当且仅当2PF 取得最小值时，PT 取得最小值.而2PF 的最小值为a c -，所以PT 23()2a c -，所以22()4()a cbc --，所以2()a c b c --，所以2a c b +，所以()222()4a c a c +-，所以225302c ac a +-≥，所以25230e e +-.①又b c >，所以22b c >，所以222a c c ->，所以221e <.② 联立①②，得3252e <.故答案为：35⎡⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，离心率的计算公式，圆的切线的性质，勾股定理，一元二次不等式的解法，属于基础题18．【分析】由于P 为与在第一象限的交点分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案【详解】设椭圆：与双曲线：因为P 为与在第一象限的交点所以焦点三解析：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由于P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到2a c m =-，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案. 【详解】设椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>，因为P 为1C 与2C 在第一象限的交点，112PF F F =，所以焦点三角形12PF F 是以2PF 为底边的等腰三角形，即在椭圆中有1221122222PF PF aPF a c PF F F c ⎧+=⎪⇒=-⎨==⎪⎩①；同理，在双曲线中有222PF c m =-②，由①②可知，2a c m =-，因为()221112,3,,32c e m e ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，且12111222c c e m a c m c e ====---，由不等式的性质可知，132,53e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：32,53⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点问题中求椭圆的离心率范围问题，属于中档题.19．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =，所以点P 的坐标为⎛ ⎝，因为P 为椭圆C 上一点，所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.20．【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程因为可得在之间设垂直于准线交于由抛物线的性质可得可得求出直线的方程代入抛物线的方程求出的横坐标进而求出的面积【详解】由题意抛物线的标准方程为：所以焦点准线【分析】由抛物线的方程可得焦点F 坐标及准线方程，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，设NN '垂直于准线交于N '，由抛物线的性质可得NN NF '=，可得tan FMN '∠=，求出直线MF 的方程，代入抛物线的方程求出N 的横坐标，进而求出NOF ∆的面积．【详解】由题意抛物线的标准方程为：28x y =，所以焦点(0,2)F ，准线方程为2y =-，设NN '垂直于准线交于N '，如图，由抛物线的性质可得NN NF '=，因为23MN MF →→=，可得N 在M ，F 之间，所以22MN NF NN '==，所以1sin 2NN FMN MN ''∠==，所以3tan FMN '∠=，即直线MF 的斜率为33，所以直线MF 的方程为323y x =+，将直线MF 的方程代入抛物线的方程可得：283160x --=，解得3x =或43x （舍），所以114343||||222NOF N S OF x ∆=⋅=⨯ 43 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线的定义，三角形的面积公式，属于中档题．三、解答题21．（1）2215x y +=（2105 【分析】（1）根据顶点坐标得到1b =，根据离心率25c e a ==，结合222a b c =+得到25a =，则可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为22221x y a b+=(0)a b >>，则1b =，c a =，所以22221a b c ⎫=+=+⎪⎪⎝⎭，解得25a =，所以椭圆的标准方程为2215x y +=. （2）由（1）知(2,0)F ，则直线:l 1(2)2y x =-，联立221(2)215y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得22009x x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12209x x +=，120x x =，所以||AB ==209==. 【点睛】结论点睛：斜率为k 的直线l 与圆锥曲线交于11(,)A x y 、22(,)B x y两点，则弦长||AB =22．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2.【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可.【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x =所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k+ 同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MN k k k k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=-- 即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2 所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. 23．（1）22143x y +=；（2）123y x =-+或123y x =--. 【分析】（1）根据题设条件列方程解得,a b 可得椭圆方程；（2）利用几何方法求出弦长||CD ，利用弦长公式求出弦长||AB，再根据||||4AB CD =可求出m ，代入直线l ：y ＝－12x ＋m ，可求得结果. 【详解】（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得a ＝2，bc ＝1， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l ：220x y m +-=的距离d =，由d ＜1，得||m <||CD ∴=== 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由221,21,43y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并整理得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.||AB =∴==由||||4AB CD =1，解得3m =±，满足(*). ∴直线l的方程为123y x =-+或123y x =--. 【点睛】关键点点睛：掌握几何方法求弦长和弦长公式求弦长是解题关键.24．（1）24y x =；（2）8.【分析】（1）由题意得焦点()1,0F ，则12p =，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，所以焦点()1,0F ，则122p p =⇒=，则抛物线的方程为：24y x =；（2）因为45AFx ∠=，所以直线AB 的斜率为tan 451︒=，又抛物线的焦点为()1,0F ，则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-，由214y x y x =-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，所以128AB x x p =++=.【点睛】关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.25．（1）[0,3]；（2）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）设(),P x y ，求出21212PF PF x ⋅=，即得解；（2）①当直线l 的斜率不存在时，求得122S S =；②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出12S S =换元求解.最后综合得解.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y，(x ≤，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故2121[0,3]2PF PF x ⋅=∈.所以12PF PF ⋅的取值范围为[0,3].（2）①当直线l的斜率不存在时，其方程为x =由对称性，不妨设x()(),,1,1,1,1A B C D -，故12221S S ==． ②若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=，则()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立，得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-，可知12S S == 将根与系数的关系代入整理得：12S S =结合()2221m k =+，得12S S =．设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则122,2S S ⎡===⎢⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求出12S S =值范围.本题利用了两次换元，转化成二次函数求范围.换元法是高中数学常用的一个解题技巧，要理解掌握灵活运用.26．（1）||AB =12t；（2）7+ 【分析】（1）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合12||||2AF BF x x +=++，进而得到AFB △的周长．【详解】（1）224y x t y x=+⎧⎨=⎩，整理得()224410x t x t +-+=，则2212212163216161632044144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪+==-⎨⎪⎪=⎪⎩， AB===，其中12t ；（2）由||AB =4t =-，经检验，此时16320t ∆=->，所以1215x x t +=-=，由抛物线的定义，有1212||||()()52722p p AF BF x x x x p +=+++=++=+=，又||AB =所以AFB△的周长为7+【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x =-；（2）利用12l y y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.。

数学北师大版高中选修2-1选修2-1直线与圆锥曲线的位置关系

2 1

2 2 2 x1 y1 2(1) 2 2 2 x2 y2 2( 2 )

∴直线AB的方程为:2x-y-1=0.

由
2 x y 1 0 2 x2 y 2 2
消去 y得：2 x 2 4 x 3 0
∴⊿=16-4×2×3=-8<0. 即直线AB与双曲线不相交. ∴不存在被点P平分的弦.
( x1 , y1 1)

5 5 x2 . ( x 2 , y 2 1). 由此得 x1 12 12
2a 2 2a 2 17 2a 2 5 2 2a 2 又 x1 x2 , x1 x2 , x2 , x2 . 2 2 2 2 12 1 a 1 a 1 a 12 1 a
2 1 2 2 1 2
思考题:

(2004年湖北理)直线L:y=kx+1与双曲线C: 2 x 2 y 2 1 的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围; (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在, 请说明理由.
2 y ax 与直线y=(a+1)x-1恰有一个公练习1:若曲线共点,求实数a的值.

解:联立方程组得

y ( a 1) x 1 y 2 ax

(1)当a=0时,此方程组恰有一组解为x=1,y=0. a 1 (2)a≠0时,消去x得 a y y 1 0 1 0 ,即a=-1时,方程变为-y-1=0,恰有一组解x=-1,y=-1. ①若 a a a 1 ②若 a 0 ,即a≠-1时,令⊿= 0,得 4 4(a 1) 1 0 , 可解得 a 5 , a 这时直线与曲线相切,只有一个公共点. 4 时,直线与曲线 y 2 ax 只有综上所述知，当a=0、-1、 5 一个公共点.

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→ 1 → → 8．如图所示，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1， A1E＝4A1C1，若AE → → → ＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 x＝________，y＝________. → → → 解析：AE＝AA1＋A1E＝ → 1 → → 1 → → AA1＋4A1C1＝AA1＋4(AB＋AD)
→ A.AG → C.BC
→ B.CG 1→ D.2BC
→ 1→ → 解析：如图所示，AB＋2BC＝AM， → → → AM＋MG＝AG. 答案：A 5．已知 G 是正方形 ABCD 的中心，点 P 为正方形 ABCD 所在平 → → → → 面外一点，则PA＋PB＋PC＋PD＝( )
→ → → → A．4PG B．3PG C．2PG D.PG → → → → → → → → → → → 解析：PA＋PB＋PC＋PD＝PG＋GA＋PG＋GB＋PG＋GC＋PG
证明：连接 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为△BCD 的重心，知 → 2→ BG＝3BE. 由题意知 E 为 CD 的中点， → 1→ 1→ ∴BE＝2BC＋2BD. → → → → 2→ AG＝AB＋BG＝AB＋3BE → 1 → → ＝AB＋3(BC＋BD) → 1 → → → → ＝AB＋3[(AC－AB)＋(AD－AB)] 1 → → → ＝3(AB＋AC＋AD)．
课时作业(十七)
一、选择题 1．下列说法正确的是( )
A．在平面内共线的向量在空间不一定共线 B．在空间共线的向量在平面内不一定共线 C．在平面内共线的向量在空间一定不共线 D．在空间共线的向量在平面内一定共线解析：在空间共线的向量在平面内一定共线，故 D 正确．答案：D 2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运算的结果为向 → 量AC1的共有( )
→ → (1)AB＋B′C′； → → 1 → (2)AB＋AD＋2CC′. → → → → → 解：(1)AB＋B′C′＝AB＋BC＝AC.
→ → 1 → → → 1 → → → → → (2)AB＋AD＋2CC′＝AB＋BC＋2CC′＝AB＋BC＋CM＝AM.
11．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 是上底面 A1C1 → 的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量． (1)AB → → → 1→ 1 → ＋BC＋CC1；(2)AA1＋2AB＋2AD. → → → → 解：(1)AB＋BC＋CC1＝AC1(运用“封口向量”)． → 1→ 1 → → 1 → → (2)AA1＋2AB＋2AD＝AA1＋2(AB＋AD) → 1 → → → 1 → → → → ＝AA1＋2(D1C1＋A1D1)＝AA1＋2A1C1＝AA1＋A1E＝AE. → → 向量AC1、AE如上图所示． 12．设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求 → 1 → → → 证：AG＝3(AB＋AC＋AD)．
1 ∴x＝1，y＝4. 1 答案：1 4 1 → 9． M、 N 分别是四面体 ABCD 的棱 AB、 CD 的中点，那么2(AD＋ → BC)＝________. → → 1 → → 1 → → → → 1 → 解析：2(AD＋BC)＝2(AB＋BC＋CD＋BC)＝2(2MB＋2BC＋2CN) → → → → ＝MB＋BC＋CN＝MN. → 答案：MN 三、解答题 10．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′(如图)，用图中向量表示运算结果．
→ 1 → → 1 → → BN＝2(BC＋BA)＝2(B1C1＋B1A1)， → 1→ 1→ 又MB＝2B1B＝2C1C， → 1 → → → ∴MN＝2(B1C1＋B1A1＋C1C)．故选 B. 答案：B 二、填空题 → → → 7．化简：AB－DC＋BC＝________. → → → → → → → 解析：AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AD. → 答案：AD
→ → → → → → ①AB＋BC＋CC1 ②AA1＋A1D1＋D1C1 → → → → → → ③AB＋BB1＋B1C1 ④AA1＋A1B1＋B1C1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 → → → → → → → → → 解析：①AB＋BC＋CC1＝AC1，②AA1＋A1D1＋D1C1＝AC1，③AB → → → → → → → ＋BB1＋B1C1＝AC1，④AA1＋A1B1＋B1C1＝AC1. 故 4 个都正确．答案：D → → → → → → 3．已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则( → → → A.AB＝AC＋BC → → C.AC与BC同向 → → → B.AB＝－AC－BC → → D.AC与CB同向 )
→ → → → → → → → → 解析：∵AB＝AC＋CB且|AB|＝|AC|＋|BC|，∴|AC＋CB|＝|AC|＋ → → → |BC|，∴AC与CB同向．答案：D 4．已知空间四边形 ABCD，连 AC，BD，设 M 是 BC 的中点，G → 1→ → 为 CD 上一点，则AB＋2BC＋MG等于( )
→ → → → → → ＋GD＝4PG＋(GA＋GC)＋(GB＋GD)． ∵四边形 ABCD 是正方形，G 是它的中心． → → → → → ∴GA＋GC＝GB＋GD＝0，故原式＝4PG. 答案：A
6．如图所示，在空间将△ABC 沿向量 a 平移到△A1B1C1，然后 → 连接 AA1、BB1、CC1，设 M、N 分别为 BB1、AC 的中点，则MN等于 ( ) 1 → → → A.2(AC＋Aห้องสมุดไป่ตู้＋BB1) → → 1 → B.2(B1A1＋B1C1＋C1C) 1 → → → C.2(AC＋CB＋BB1) 1 → → → D.2(BB1－BA－BC) 解析：连接 NB，则在△MNB 中， → → → MN＝MB＋BN. 又由平行四边形法则，