05 一阶逻辑等值演算与推理

例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
例如 A A 的代换实例:
xF(x) xF(x)
xy(F(x, y)G(x, y)) xy(F(x, y) G(x, y))
或
A'''(x) = yF(y) yG(x, y). B = xF(x) xG(x, x), /variable renaming
但 A(x) 不可改为
3. 代替规则
将公式 A 中某个自由变项用 A 中未曾出现过的个体 变项符号代替, 设所得公式为 A', 则 A' A.
例如 A(x, y) = uF(u) vG(x, y, v) 可代替为
命题逻辑中的公式 A(p1, p2, …, pn) 的赋值的个
数是有限的(2n 个), 可以通过枚举(例如用真值表) 来判断其是否重言式. 而一阶逻辑中的公式解释的 个数是无限的(不可枚举), 且解释是多样的(难以归
纳); 要判断其永真性, 主要是运用等值演算法.
A = xF(x) xF(x)
式上相同, 只是在这里 A, B 是一阶逻辑公式.
/replacement
2. 换名规则 将公式 A 中某量词辖域中的约束变元及其指导变元改 成该辖域中未曾出现过的个体变元符号, 设所得公式 为 A', 则 A' A. 例如 A(x) = xF(x) yG(x, y) 可换名为 A'(x) = zF(z) yG(x, y), 或 A''(x) = xF(x) zG(x, z),
(2) B = x(F(x, y)yG(x, y, z))
B = x(F(x, y) yG(x, y, z)) x F(x, t) yG(x, y, z) 或者
例
1
(
)
(代替规则)
B = x(F(x, y) yG(x, y, z))
x F(x, y) tG(x, t, z)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(F(a)F(b)F(c)) (G(a)G(b)G(c))
如果不将量词的辖域缩小, 演算过程较长. 注意, 此 处 yG(y) 是与 x 无关的公式 B.
例
3
(3) xyF(x, y) x(F(x, a)F(x, b)F(x, c))
(F(a, a)F(a, b)F(a, c)) (F(b, a)F(b, b) F(b, c)) (F(c, a)F(c, b)F(c, c)). †或者先消去存在量词: xyF(x, y) yF(a, y) yF(b, y) yF(c, y) (F(a, a) F(a, b) F(a, c)) (F(b, a) F(b, b) F(b, c)) (F(c, a) F(c, b) F(c, c)),
(2)
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x)
(5.4)
注意: 这些等值式的条件.
† 对条件联结词分配的时候前件中的量词要改变:
x(A(x) B) xA(x) B
(1) A = x(F(x)G(x, a));
(F(2)G(2, 2)) (F(3)G(3, 2)) (01) (11) 0.
(2) B = x(F(f (x))G(x, f (x)));
(F(f (2))G(2, f (2))) (F(f (3))G(3, f (3)))
(
)
(换名规则)
例
3
例3 设个体域为D = {a, b, c}, 消去下面各式的量词: (1) x (F(x)G(x)); (2) x (F(x)yG(y)); (3) x y F(x, y).
解 (1) x(F(x) G(x)) (F(a) G(a)) (F(b) G(b)) (F(c) G(c)) (2) x (F(x)yG(y)) xF(x) yG(y) (分配律)
(1) A = x(F(x)G(x, a)); (2) B = x(F(f (x))G(x, f (x))); (3) C = xyL(x, y); (4) D = yxL(x, y).
例
4
解释 I: (a) D = {2, 3}. (b)a = 2. (c)f (x) 为:f (2) = 3,f (3) = 2. (d)G(x, y) 为:G(2, 2) =G(2, 3) =G(3, 2) = 1,G(3, 3) = 0.L(x, y) 为:L(2, 2) =L(3, 3) = 1,L(2, 3) =L(3, 2) = 0.F(x) 为:F(2) = 0,F(3) = 1.
††但x(A(x)B) xA(x) B, x(A(x)B) xA(x) B
§5.1一阶逻辑等值式与置换规则

3、一阶逻辑等值演算的三个规则
1. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的公式, (B) 是用公式 B 取 代 (A) 中所有的 A 后所得的公式, 若 A B, 则 (A) (B). 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形
又如 A B A B 的代换实例: F(x) G(y) F(x) G(y),
x(F(x) G(y)) zH(z) x(F(x)G(y)) zH(z))
/substitution instance
第二组
与量词有关的等值式
1.消去量词等值式 设个体域为有限域 D = {a1, a2, …, an}, 则有 (1) xA(x) A(a1) A(a2) … A(an) (2) xA(x) A(a1) A(a2) … A(an) 2.量词否定等值式 (1) xA(x) xA(x) (2) xA(x) xA(x) (5.2) (5.1)
得到同样的结果.
例 例4 在解释 I 下求下列各式的真值: (a)个体域 D = {2, 3}. (b) D 中特定元素a = 2. (c) D 上的特定函数f (x) 为:f (2) = 3,f (3) = 2. (d) D上的特定谓词G(x, y) 为:G(2, 2) =G(2, 3) =G(3, 2) = 1,G(3, 3) = 0.L(x, y) 为:L(2, 2) =L(3, 3) = 1,L(2, 3) =L(3, 2) = 0.F(x) 为:F(2) = 0,F(3) = 1. 4
若 A B 是永真式,
则称公式 A 与 B 是等值的: A B.
判断 A 与 B 是否等值, 即判断 A B 是否永真, 根据 利用已知的等值式, 根据规则, 推 永真式的定义来判断一般比较困难. 演出其它的等值式.
一阶逻辑的等值演算:
logically equivalenct, calculus of first order logic
第五章一阶逻辑等值演算和推理
§5.1 一阶逻辑等值式与置换规则 §5.2 一阶逻辑的前束范式 §5.3 一阶逻辑的推理理论
1、一阶逻辑等值式的定义
令
H(x): x 是人; M(x): x 是要死的. x(H(x) M(x)),
“人都是要死的”: ⑴
“没有人是不死的”: x(H(x) M(x)). ⑵
(F(3) G(2, 3)) (F(2))G(3, 2)) (11) (01) 1.
解释 I: (a) D = {2, 3}. (b)a = 2. (c)f (x) 为:f (2) = 3,f (3) = 2. (d)G(x, y) 为:G(2, 2) =G(2, 3) =G(3, 2) = 1,G(3, 3) = 0.L(x, y) 为:L(2, 2) =L(3, 3) = 1,L(2, 3) =L(3, 2) = 0.F(x) 为:F(2) = 0,F(3) = 1. (3) C = xyL(x, y); (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1. (4) D = yxL(x, y). y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 可见量词的次序不能随意颠倒.
x(A(x)B) xA(x) B 证明 x(A(x) B) x( A(x) B) x A(x) B
x A(x) B
x A(x) B
4. 量词分配等值式
设公式 A(x), B(x) 含自由变项 x, 则 (1) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) (2) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) (5.5) 对 有分配律, 而 对 有分配律(对照消去量词 等值式).
解 (1) A = xF(x, y, z) yG(x, y, z) tF(t, y, z) yG(x, y, z) (换名规则) tF(t, y, z) wG(x, w, z) (换名规则) 或
A = xF(x, y, z) yG(x, y, z)
xF(x, t, z) yG(x, y, z) xF(x, t, z) yG(w, y, z) (代替规则) (代替规则).
A'(z, y) = uF(u) vG(z, y, v). 但 A(x, y) 不可代替为 B(y) = A''(y, y) = uF(u) vG(y, y, v).
/replacement
例 1
例1 求下面公式的等值式, 使约束变项与自由变项符 号不同. (1) A = xF(x, y, z) yG(x, y, z); (2) B = x(F(x, y)yG(x, y, z))