初一奥赛培训10：整式的乘法与除法
初中数学教案：整式与整式的加减乘除
初中数学教案：整式与整式的加减乘除整式是初中数学的重要内容之一，也是高中数学的基础。
它涉及到整数、有理数、未知数和运算符号等概念，是用来表示加、减、乘、除等运算过程的代数表达式。
本文将围绕整式与整式的加减乘除展开讲解，并给出了相应的教案。
一、什么是整式1. 整式的定义在代数中，如果一个代数表达式只包含有理系数与未知数，并且只进行加减乘除运算，那么这个代数表达式就称为整式。
2. 整式的组成一个整式通常由有理系数与多项式（由未知数及其幂次按照加减乘除规则连接而成）组成。
例如：4x + 3y - 2z^2 + 53. 整式的分类根据项数和各项次数组合不同，整式可以分为单项式、多项式和零多项式三种形态。
- 单项式: 只有一个项构成的整式，如2xy；- 多项式: 由两个或两个以上非零单项组成的整式，如3x^2 + 4xy - 5；- 零多项: 没有任何一项构成时得到的整式，记作0。
二、整式的加减运算1. 整式相加减的基本法则整式相加减的基本法则是首先对应排列各项按同类合并，然后进行有理系数的加减运算。
2. 示例教学案例：整式求和及差教学目标：通过示例讲解，使学生熟练掌握整式相加减的基本方法。
教学内容：- 例题1：已知a + b = 3，c - d = 5，求a + b + c - d。
解析：根据整式相加减的基本法则，将对应项进行合并得到(a + b) + (c - d)，然后根据已知条件代入计算即可。
最终结果为8。
- 例题2：已知3x^2 + 4xy - 5z = 0，2xy - z = 7，求3x^2 + xy - z。
解析：同样按照整式相加减的基本法则进行操作，最终化简得到3x^2 + xy - z = -(7)。
三、整式的乘法运算1. 整式相乘的基本规律两个单项式或多项式相乘时，可以按照分配律将一个多项式中每一项与另一个多项式中每一项分别进行乘法运算，并将结果进行合并。
2. 示例教学案例：整式的乘法教学目标：通过示例讲解，使学生掌握整式相乘的基本方法。
整式的乘除课件
详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以 将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数 运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利 用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂 相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它 们的系数相除，同时将同底数的幂相 减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式 相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养 的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数 学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需 将两个单项式的系数相乘，并将相同 的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文第一章：整式的乘法1.1 教学目标理解整式乘法的基本概念掌握整式乘法的基本法则能够正确进行整式乘法运算1.2 教学内容整式乘法的定义和基本概念整式乘法的基本法则整式乘法的运算步骤1.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式乘法的运算技巧1.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式乘法的应用能力第二章：整式的除法2.1 教学目标理解整式除法的基本概念掌握整式除法的基本法则能够正确进行整式除法运算2.2 教学内容整式除法的定义和基本概念整式除法的基本法则整式除法的运算步骤2.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示整式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式除法的运算技巧2.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式除法的应用能力第三章：因式分解3.1 教学目标理解因式分解的基本概念掌握因式分解的基本方法能够正确进行因式分解运算3.2 教学内容因式分解的定义和基本概念因式分解的基本方法因式分解的运算步骤3.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解因式分解的概念和法则使用多媒体教学工具，展示因式分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固因式分解的运算技巧3.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对因式分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对因式分解的应用能力第四章：多项式的乘法4.1 教学目标理解多项式乘法的基本概念掌握多项式乘法的基本法则能够正确进行多项式乘法运算4.2 教学内容多项式乘法的定义和基本概念多项式乘法的基本法则多项式乘法的运算步骤4.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式乘法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式乘法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式乘法的运算技巧4.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式乘法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式乘法的应用能力第五章：多项式的除法5.1 教学目标理解多项式除法的基本概念掌握多项式除法的基本法则能够正确进行多项式除法运算5.2 教学内容多项式除法的定义和基本概念多项式除法的基本法则多项式除法的运算步骤5.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解多项式除法的概念和法则使用多媒体教学工具，展示多项式除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固多项式除法的运算技巧5.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对多项式除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对多项式除法的应用能力第六章：平方差公式与完全平方公式6.1 教学目标理解平方差公式和完全平方公式的基本概念掌握平方差公式和完全平方公式的运用能够运用平方差公式和完全平方公式进行整式的运算6.2 教学内容平方差公式的定义和基本概念完全平方公式的定义和基本概念平方差公式和完全平方公式的运用6.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解平方差公式和完全平方公式的概念使用多媒体教学工具，展示平方差公式和完全平方公式的运用过程提供充足的练习机会，让学生巩固平方差公式和完全平方公式的运用技巧6.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对平方差公式和完全平方公式的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对平方差公式和完全平方公式的应用能力第七章：分式的乘除法7.1 教学目标理解分式乘除法的基本概念掌握分式乘除法的运算方法能够正确进行分式乘除法的运算7.2 教学内容分式乘除法的定义和基本概念分式乘除法的运算方法分式乘除法的运算步骤7.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式乘除法的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式乘除法的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式乘除法的运算技巧7.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式乘除法的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式乘除法的应用能力第八章：分式的化简与分解8.1 教学目标理解分式化简与分解的基本概念掌握分式化简与分解的方法能够正确进行分式的化简与分解运算8.2 教学内容分式化简与分解的定义和基本概念分式化简与分解的方法分式化简与分解的运算步骤8.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解分式化简与分解的概念和方法使用多媒体教学工具，展示分式化简与分解的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固分式化简与分解的运算技巧8.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对分式化简与分解的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对分式化简与分解的应用能力第九章：整式与分式的综合应用9.1 教学目标理解整式与分式的综合应用的基本概念掌握整式与分式的综合应用的方法能够正确进行整式与分式的综合应用运算9.2 教学内容整式与分式的综合应用的定义和基本概念整式与分式的综合应用的方法整式与分式的综合应用的运算步骤9.3 教学方法通过示例和练习，让学生理解整式与分式的综合应用的概念和方法使用多媒体教学工具，展示整式与分式的综合应用的运算过程提供充足的练习机会，让学生巩固整式与分式的综合应用的运算技巧9.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对整式与分式的综合应用的理解和掌握程度设计一些综合性的题目，评估学生对整式与分式的综合应用的应用能力第十章：复习与提高10.1 教学目标巩固本单元所学知识提高学生解决实际问题的能力培养学生的数学思维和综合运用能力10.2 教学内容复习整式、分式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式等基本概念和运算方法通过实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题总结本单元的重点知识和难点知识10.3 教学方法通过练习题和实际问题，让学生巩固所学知识使用多媒体教学工具，展示实际问题的解决过程组织小组讨论，培养学生的合作学习和解决问题的能力10.4 教学评估通过课堂练习和作业，检查学生对复习内容的掌握程度设计一些综合性的题目重点解析本文全面介绍了整式的乘除法、因式分解、平方差公式、完全平方公式、分式的乘除法、分式的化简与分解、整式与分式的综合应用等基本概念、运算方法和实际应用。
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除内容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。
4． 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
整式的运算法则
整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=•),(都是正整数）（n m a a m n n m =)()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数 相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要 注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=-（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
一、选择（每题2分，共24分） 1．下列计算正确的是（ ）．A ．2x 2·3x 3=6x 3B ．2x 2+3x 3=5x 5C ．（－3x 2）·（－3x 2）=9x 5D ．54x n ·25x m =12x m+n2．一个多项式加上3y 2－2y －5得到多项式5y 3－4y －6，则原来的多项式为（ ）． A ．5y 3+3y 2+2y －1 B ．5y 3－3y 2－2y －6 C ．5y 3+3y 2－2y －1 D ．5y 3－3y 2－2y －1 3．下列运算正确的是（ ）．A ．a 2·a 3=a 5B ．（a 2）3=a 5C ．a 6÷a 2=a 3D ．a 6－a 2=a 4 4．下列运算中正确的是（ ）．A．12a+13a=15a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0二、填空（每题2分，共28分）6．－xy2的系数是______，次数是_______．8．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．9．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时， 若坐飞机飞行这么远的距离需_________．10．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2（a－b）2+______=（a+b）211．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．12．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．三、计算（每题3分，共24分）13．（2x2y－3xy2）－（6x2y－3xy2）14．（－32ax4y3）÷（－65ax2y2）·8a2y17．（x－2）（x+2）－（x+1）（x－3）18．（1－3y）（1+3y）（1+9y2）19．（ab+1）2－（ab－1）2四、运用乘法公式简便计算（每题2分，共4分）20．（998）221．197×203五、先化简，再求值（每题4分，共8分）22．（x+4）（x－2）（x－4），其中x=－1．23．[（xy+2）（xy－2）－2x2y2+4]，其中x=10，y=－1 25．六、解答题（每题4分，共12分）24．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．25．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．幂的运算一、同底数幂的乘法（重点）1.运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
整式的乘法与除法
整式的乘法与除法整式是指由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。
整式的乘法与除法是代数学中重要的运算，本文将从定义、性质及计算方法等方面进行探讨。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。
常数称为零次整式，单个变量称为一次整式，以此类推。
整式可以表示为：f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀其中，a₀、a₁、...、aₙ为系数，n为自然数，x为变量。
二、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
要进行整式的乘法，需要遵循以下规则：1. 同类项相乘：将相同指数的项的系数相乘，并将指数保持不变。
例如：(3x²)(4x³) = 12x⁵。
2. 多项式相乘：将一个整式中的每一项都与另一个整式的每一项相乘，然后将结果相加。
例如：(3x + 2)(4x + 5) = 12x² + 22x + 10。
3. 分配律：整式的乘法满足分配律。
例如：a(b + c) = ab + ac。
三、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。
要进行整式的除法，需要注意以下几点：1. 除数不为零：除数不为零，否则除法无意义。
2. 长除法：使用长除法的步骤进行计算，以下以一个例子作说明：例如：(2x³ + 3x² - 4x + 1) ÷ (x - 1)首先将被除式按降幂排列：2x³ + 3x² - 4x + 1然后进行第一步的除法，将2x³ ÷ x进行计算，得到2x²，并将结果写在商式上。
然后将2x²与(x - 1)相乘，并进行减法得到2x³ + 2x²。
依次进行下一步的除法计算，直到无法再继续进行为止。
四、整式乘法与除法的性质1. 乘法的交换律与结合律：整式的乘法满足交换律与结合律，即a ·b = b · a，(a · b) ·c = a · (b · c)。
七年级整式知识点大全
七年级整式知识点大全整式在初中数学课程中是一个非常重要的知识点，是初中代数的基础。
学好整式对于后面的数学学习有着非常重要的作用。
本文将为大家讲解七年级整式知识点，包括定义、加减乘除四则运算等方面的内容。
一、整式的定义整式是一类以字母和数字为基本元素，仅包含加减和乘法运算的数学表达式。
常见的整式有单项式和多项式两种，其中单项式指只包含一个项的整式，多项式指包含多个项的整式。
例如，2x+3y和4x^2+5xy-6y^2就是两个多项式。
二、单项式的基本性质单项式可以看做是数字与字母的乘积，其中的数字叫做系数，字母叫做未知数。
对于单项式的基本性质，我们可以总结如下几点：1. 系数可以是整数、分数、甚至是负数。
2. 未知数的指数可以是自然数、0或负整数。
当指数为0时，该项的值为1。
3. 同一未知数可以有多个，不同未知数之间可以相乘。
例如，2x和-3/4xy^2就是两个单项式。
三、多项式的基本性质多项式是由单项式相加或相减而成，通常用多个单项式相加或相减的形式表示。
对于多项式的基本性质，我们可以总结如下几点：1. 多个单项式相加或相减得到的式子称为多项式。
2. 每一个单项式在多项式中称作一项。
3. 不同项之间可以相加或相减。
4. 多项式中各项的次数可以不同。
例如，2x+3y和4x^2+5xy-6y^2就是两个多项式。
四、整式的加减法整式的加法是指将相同次数的单项式或多项式相加，得到一个新的同次数的单项式或多项式。
整式的减法和加法是类似的，只需要将相同次数的单项式或多项式相减即可。
例如，(2x+3y)+(4x-5y)就可以化简为6x-2y，(4x^2+5xy-6y^2)-(2x^2-3xy+7y^2)就可以化简为2x^2+8xy-13y^2。
五、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个单项式或多项式相乘，得到一个新的单项式或多项式。
在进行整式的乘法时，需要遵循以下原则：1. 我们可以先将系数相乘，再将未知数相乘，最后将得到的系数和指数相乘。
初一数学奥数专题讲义——整式乘法
整式乘法一．例题精选例1．如果x 2+x -1=0，则x 3+2x 2+3=________。
例2．已知012210101111121262)1(a x a x a x a x a x a x x ++++++=++ ,求1357911a a a a a a +++++的值。
例3．已知a 1,a 2,a 3,…，a 1996，a 1997均为正数，又M=(a 1+a 2+…+a 1996)·(a 2+a 3+…+a 1997）， N=(a 1+a 2+…+a 1997）(a 2+a 3+…+a 1996），则M 与N 的大小关系是（ ）A.M=NB.M 〈NC.M>N D 。
关系不确定例4．已知x 2-xy -2y 2—x —7y —6=(x —2y+A)（x+y+B ）,求A 、B 的值.例5．观察下列各式：（x-1)（x+1)=x 2—1;(x -1）(x 2+x+1)=x 3—1；（x —1)（x 3+x 2+x+1）=x 4—1。
根据前面的规律可得 （x -1)(x n +x n-1+…+x+1）=_______。
例6．由m （a +b +c ）＝ma +mb +mc ，可得：（a +b )（a 2－ab +b 2)＝a 3－a 2b +ab 2+a 2b －ab 2+b 3＝a 3+b 3，即（a +b )（a 2－ab +b 2)＝a 3+b 3．①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确．．．的是（ ) A ．（x +4y ）（x 2－4xy +16y 2）=x 3+64y 3 B ．(2x+y ）（4x 2－2xy+y 2)=8x 3+y 3C ．(a +1）（a 2＋a +1）=a 3+1D ．x 3+27=(x +3）(x 2－3x +9）例7．新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识.(1)多项式乘以多项式的法则，是第几类知识?（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?（用（a+b)(c+d ）来说明）例8．正数a 、b 、c 满足3=++=++=++a c ca c b bc b a ab ，求)1)(1)(1(+++c b a 的值.二．同步练习1．已知a-b=3，b+c=-5，则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为（ )A 。
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初一奥赛培训10：整式的乘法与除法一、解答题（共11小题，满分120分）1、求[x3﹣（x﹣1）2]（x﹣1）展开后，x2项的系数．2、先化简，再求当x=时的值．（x﹣2）（x2﹣2x+4）﹣x（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）2．3、化简（1+x）[1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣x）n﹣1]，其中n为大于1的整数．4、计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．5、附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．求的值．6、设g（x）=3x2﹣2x+1，f（x）=x3﹣3x2﹣x﹣1，求用g（x）去除f（x）所得的商q（x）及余式r（x）．7、试确定a和b，使x4+ax2﹣bx+2能被x2+3x+2整除．8、计算：（1）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）﹣（a+2b+c）2；（2）（x+y）4（x﹣y）4；（3）（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）．9、化简：（1）（2x﹣y+z﹣2c+m）（m+y﹣2x﹣2c﹣z）；（2）（a+3b）（a2﹣3ab+9b2）﹣（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）；（3）（x+y）2（y+z﹣x）（z+x﹣y）+（x﹣y）2（x+y+z）（x+y﹣z）．10、已知z2=x2+y2，化简（x+y+z）（x﹣y+z）（﹣x+y+z）（x+y﹣z）．11、设f（x）=2x3+3x2﹣x+2，求f（x）除以x2﹣2x+3所得的商式和余式．答案与评分标准初一奥赛培训10：整式的乘法与除法一、解答题（共11小题，满分120分）1、求[x3﹣（x﹣1）2]（x﹣1）展开后，x2项的系数．考点：整式的混合运算。
专题：计算题。
分析：先利用乘法分配律进行乘开，从而看出x2项的系数．解答：解：[x3﹣（x﹣1）2]（x﹣1）=x3（x﹣1）﹣（x﹣1）3，∵x2项只在﹣（x﹣1）3中出现，∴只要看﹣（x﹣1）3=（1﹣x）3中x2项的系数即可．根据乘法公式有（1﹣x）3=1﹣3x+3x2﹣x3，所以x2项的系数为3．点评：本题考查整式的混合运算，注意掌握应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．2、先化简，再求当x=时的值．（x﹣2）（x2﹣2x+4）﹣x（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）2．考点：整式的混合运算—化简求值。
分析：将原式中的括号去掉，完全平方式展开，最后合并同类项可得最简整式，此时代入x的值即可得出答案．解答：解：原式=（x3﹣2x2+4x﹣2x2+4x﹣8）﹣x（x2﹣9）+（4x2﹣4x+1），=（x3﹣4x2+8x﹣8）﹣（x3﹣9x）+（4x2﹣4x+1），=13x﹣7=9﹣7=2．故答案为2．点评：本题考查整式的混合运算，是比较热点的一类题目，注意本例中（x﹣2）（x2﹣2x+4）≠x3﹣8．3、化简（1+x）[1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣x）n﹣1]，其中n为大于1的整数．考点：整式的等式证明。
分析：用小括号里两项分别乘以中括号里每一项，然后合并同类项即可．解答：解：原式=1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣x）n﹣1+x﹣x2+x3+…﹣（﹣x）n﹣1+（﹣x）n=1+（﹣x）n．说明本例可推广为一个一般的形式：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b++ab n﹣2+b n﹣1）=a n﹣b n．点评：本题主要考查整式的证明的知识点，解答本题的关键是进行展开括号里每项因式，再进行合并，此题比较简单．4、计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．考点：平方差公式。
专题：计算题。
分析：根据平方差公式以及完全平方公式即可解答本题．解答：解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=（x2）3﹣3（x2）2（4y2）+3x2•（4y2）2﹣（4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．点评：本题考查了平方差公式以及完全平方公式的运用，难度适中．5、附加题：（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．求的值．考点：分式的化简求值。
②专题：计算题。
分析：先将已知条件化简，可得：（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．将所求代数式中所有y和z都换成x，计算即可．解答：解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．∵x，y，z均为实数，∴x=y=z．∴==1．点评：本题中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，要仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．6、设g（x）=3x2﹣2x+1，f（x）=x3﹣3x2﹣x﹣1，求用g（x）去除f（x）所得的商q（x）及余式r（x）．考点：带余数除法。
分析：设商式q（x）=+a，余式r（x）=bx+c，根据f（x）=q（x）g（x）+r（x），得到一个恒等式，比较两端的系数，即可求出系数a、b、c．试题内容错误，请与客服联系。
9312c52f-0b76-4448-8227-9c6b67044bba7、试确定a和b，使x4+ax2﹣bx+2能被x2+3x+2整除．考点：数的整除性问题。
专题：计算题。
分析：首先把x2+3x+2因式分解，利用整除的性质可知x2+3x+2每一个因式可整除x4+ax2﹣bx+2，每一个因式为0的x的值，同样使x4+ax2﹣bx+2为0，由此联立方程解答即可．试题内容错误，请与客服联系。
a3001f9a-b304-411c-8e59-59c1087e9d4d8、计算：（1）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）﹣（a+2b+c）2；（2）（x+y）4（x﹣y）4；（3）（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）．考点：整式的混合运算。
专题：计算题。
分析：（1）利用平方差公式和完全平方公式求解；（2）利用积的乘方的逆运算和平方差公式、完全平方公式求解；（3）根据多项式乘以多项式的法则，逐项相乘再相加减即可．解答：解：（1）原式=a2﹣（2b﹣c）2﹣（a2+4b2+c2+4ab+4bc+2ac）=a2﹣4b2﹣c2+4bc﹣a2﹣4b2﹣c2﹣4ab﹣4bc﹣2ac=﹣8b2﹣2c2﹣4ab﹣2ac；（2）原式=[（x+y）（x﹣y）]4=（x2﹣y2）4=x8+y8+6x4y4﹣4x6y2﹣4x2y6；（3）原式=a3+ab2+ac2﹣a2b﹣a2c﹣abc+a2b+b3+bc2﹣ab2﹣abc﹣b2c+a2c+b2c+c3﹣abc﹣ac2﹣bc2=a3+b3+c3﹣3abc．点评：此题主要考查多项式的乘法运算，要正确掌握运算法则和公式，也体现了整体思想．9、化简：（1）（2x﹣y+z﹣2c+m）（m+y﹣2x﹣2c﹣z）；（2）（a+3b）（a2﹣3ab+9b2）﹣（a﹣3b）（a2+3ab+9b2）；（3）（x+y）2（y+z﹣x）（z+x﹣y）+（x﹣y）2（x+y+z）（x+y﹣z）．考点：整式的混合运算。
专题：计算题。
分析：（1）观察前后两个括号部分可知，m，﹣2c为相同项，2x，﹣y，z只有符号相反，可运用平方差公式计算，再运用完全平方公式计算；（2）观察两个乘法算式可知，前面使用立方和公式，后面使用立法差公式，再合并同类项；（3）（y+z﹣x）（z+x﹣y），（x+y+z）（x+y﹣z）两部分可先分别使用平方差公式，再整体展开合并化简．解答：解：（1）（2x﹣y+z﹣2c+m）（m+y﹣2x﹣2c﹣z），=[（m﹣2c）+（2x﹣y+z）]•[（m﹣2c）﹣（2x﹣y+z）]，③=（m﹣2c）2﹣（2x﹣y+z）2，=m2﹣4cm+4c2﹣（4x2+y2+z2﹣4xy+4xz﹣2yz），=m2﹣4cm+4c2﹣4x2﹣y2﹣z2+4xy﹣4xz+2yz；（2）（a+3b）（a2﹣3ab+9b2）﹣（a﹣3b）（a2+3ab+9b2），=（a3+27b3）﹣（a3﹣27b3），=54b3；（3）（x+y）2（y+z﹣x）（z+x﹣y）+（x﹣y）2（x+y+z）（x+y﹣z），=（x+y）2[z﹣（x﹣y）][z+（x﹣y）]+（x﹣y）2[（x+y）+z]×[（x+y）﹣z]，=（x+y）2[z2﹣（x﹣y）2]+（x﹣y）2[（x+y）2﹣z2]，=（x+y）2z2﹣（x﹣y）2z2，=4xyz2．点评：本题考查了整式的混合运算，观察算式的特点，合理地使用乘法公式可使运算简便，需要有一定的观察能力和熟练使用乘法公式的能力．10、已知z2=x2+y2，化简（x+y+z）（x﹣y+z）（﹣x+y+z）（x+y﹣z）．考点：整式的混合运算。
专题：计算题。
分析：把符合平方差公式的两个因式相乘，再把z2=x2+y2整体代入即可．解答：解：原式=（x+y+z）（x+y﹣z）（x﹣y+z）（﹣x+y+z）=[（x+y）2﹣z2][z2﹣（x﹣y）2]=（x2+y2+2xy﹣z2）（z2﹣x2﹣y2+2xy）把z2=x2+y2代入得，原式=2xy•2xy=4x2y2．点评：此题主要考查平方差公式的应用，注意结合完全相同的项和只有符号相反的项，同时要掌握整体代入．11、设f（x）=2x3+3x2﹣x+2，求f（x）除以x2﹣2x+3所得的商式和余式．考点：整式的除法。
专题：计算题。
分析：利用竖式除法计算即可．解答：解：如右图所示：（2x3+3x2﹣x+2）÷（x2﹣2x+3）=（2x+7）…（7x﹣19）∴f（x）除以x2﹣2x+3所得的商式是（2x+7），余式是（7x﹣19）．点评：多项式除以多项式类似于多位数除以一位数．④。