角的概念的推广
任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠ 可以简记成α; 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了;可以将角分为正角、零角和负角;正角：按照逆时针方向转定的角; 零角：没有发生任何旋转的角; 负角：按照顺时针方向旋转的角; 3、 “象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴;角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角; 例1、1A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B= 填序号. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对2已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、 C 关系是A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：1终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和; 2所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一; 例1、1若θ角的终边与58π角的终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 ;2若βα和是终边相同的角;那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角： 1 210-； 2731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角的终边相同,且[]1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是 ;A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角;如图：AOB=1rad ,AOC=2rad , 周角=2rad 注意：1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是02、角的弧度数的绝对值 rl=αl 为弧长,r 为半径 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同都是0 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用;2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度例3、将下列各角从弧度化成角度 136πrad 2 rad3 rad π533、弧长公式和扇形面积公式orC 2rad1rad rl=2r oAABr l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°0°≤α＜360°, k ∈Z 的形式是A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题的是Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是 A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限的角是A.①B.①②C.①②③D.①②③④ 7、若α是第一象限的角,则-2α是 A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在轴的正半轴上 轴的正半轴上轴或y 轴上 轴的正半轴或y 轴的正半轴上 10、α是一个任意角,则α与-α的终边是A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=2n+1·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=4k ±1·180°,k ∈Z}之间的关系是C.Ｘ=Y ≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β的范围是 °＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0° °＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k πk ∈Z 14、设k ∈Z ,下列终边相同的角是A ．2k +1·180°与4k ±1·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 16、设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于 A ．5πB ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α的终边A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19、“21sin =A ”“A=30o”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°的扇形,它的弧长为2π,则它的内切圆半径为A ．2B ．3C ．1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+－1k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确的是A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角的终边在 . 23、与－1050°终边相同的最小正角是 . 24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α的范围是 .任意角的三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负的有 A. ① B. ② C. ③ D. ④3. 02120sin 等于 A. 23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于 A. 43-B. 34- C. 43D.345．若θ∈错误!,错误!,则错误!等于θ－sin θ θ＋cos θθ－cos θ D.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝错误!,则cos 2θ＋sin θcos θ的值是A.－错误!B.－错误!C. 错误!D.错误!二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确的是_____________________________.3．若角α的终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ . 4．使tan x －xsin 1有意义的x 的集合为 . 5．已知α是第二象限的角,且cos 错误!＝－错误!,则错误!是第 象限的角.三、解答题1. 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +的值.2. 设cos θ＝错误!m ＞n ＞0,求θ的其他三角函数值.3．证明1 错误!＝错误!2tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求1x x 33cos sin +；2x x 44cos sin +的值.。
角的概念的推广概念
角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。
它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。
然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。
首先，角可以分为几何角和平面角。
几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。
平面角则是指在一个平面上的角。
几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。
角的概念可以推广到三维空间中。
在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。
三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。
角的概念也可以推广到曲线上。
在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。
曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。
此外，角的概念还可以应用于三角函数中。
三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。
在物理学中，角的概念也有广泛的应用。
例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。
角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。
在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。
例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。
因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。
总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。
理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
角的概念的推广
角的概念的推广引言角是几何学中重要的概念之一，它在实际生活和学术领域中有着广泛的应用。
本文将介绍角的定义、性质以及与其他几何概念的关系，从而推广角的概念。
角的定义在几何学中，角是由两条射线公共端点所围成的部分。
我们可以把射线看成是一根直线，并延长它们，当两条射线共线时，所围成的角度为零。
根据角的凸度，角可以分为锐角、直角和钝角。
•锐角：角度小于90度的角称为锐角；•直角：角度等于90度的角称为直角；•钝角：角度大于90度但小于180度的角称为钝角。
角的性质除了不同凸度的分类，角还有一些重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。
直角的性质直角是一种特殊的角，它有一些独特的性质。
•直角可以被等分成两个相等的角，每个角的度数为45度。
•直角的两条边相互垂直。
锐角和钝角的性质锐角和钝角也有一些特殊的性质。
•锐角的度数总是小于90度，而钝角的度数总是大于90度。
•锐角和钝角的正弦、余弦和正切值的大小具有不同的关系。
角与其他几何概念的关系角与其他几何概念之间存在着紧密的联系，下面将介绍角与直线、多边形以及圆的关系。
角与直线的关系直线可以被看成无数个角的集合，两条直线之间的夹角就是这两条直线所围成的角。
夹角可以分为对顶角、同位角和内错角等。
•对顶角：两条相交的直线所围成的角，称为对顶角，对顶角的度数相等。
•同位角：两条平行直线被一条交错直线切割形成的相对应的内错角。
•内错角：平行直线被一条截线分成两段，则截线处的内错角相等。
角与多边形的关系多边形是有多个边和角组成的图形，角是多边形内角和外角的基本单位。
•多边形内角和为180度，每个内角的大小取决于多边形的边数。
•多边形外角和为360度，每个外角的大小与多边形内角之和相等。
•多边形的对角线可以划分内部成多个角。
角与圆的关系角与圆的关系是通过圆周角来描述的。
•圆周角：圆周角是以圆心为顶点的任意两条射线所围成的角，圆周角的度数等于对应的圆心角的度数。
•圆心角：圆心角是以圆心为顶点的两条射线所围成的角，圆心角的度数是对应的圆周角的一半。
角的概念与推广
30°＋K·360°，K ∈ Z
与 终边相同的角的一般形式为
＋K · 360°，K ∈ Z 注:
（1）K ∈ Z
（2）是任意角
（3）K·360°与 之间是“+”号，如 K·360°－30 °，应看成K·360 °+（－30 °）
（4）终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同，终边相同的角有无数 多个，它们相差360°的整数倍。
Ⅱ y Ⅰ
终边
x
o
始边
终边
Ⅲ
终 边
终
Ⅳ
边
象限角
置角的顶点于原点
始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
y 终边
x
o
始边
终边
坐标轴上的角
终边
置角的顶点于原点
始边重合于X轴的非负半轴
终边落在坐标轴上
例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°等都是界限角．
练习：
（1）请用集合表示下列各角;
①0°～90°间的角 ②第一象限角
③锐角
④小于90°角．
（2）分别写出： ①终边落在x轴负半轴上的角的集合； ②终边落在y轴上的角的集合； ③终边落在第一、三象限角平分线上的角 的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集 合．
小结：
1.任意角 的概念
正角：射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
练习：判定下列角是第几象限的角？
30°，120°，-60°，390°， -100°， 200°，-460°
y
-330° 390°
o
30°
x
角的概念的推广
角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。
角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。
本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。
根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。
锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。
角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。
首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。
其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。
此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。
这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。
角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。
例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。
例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。
在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。
此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。
例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。
此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。
例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。
这些信息对于导航和地图制作非常关键。
5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。
角的概念的推广
角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法:类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面，以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义：角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形，而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
角的大小与边的长短没有关系，而决定于角的两条边张开的程度。
2. 角的种类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。
3. 角的符号：角的符号是以角度为单位的，通常用符号“°”
表示，例如 90°表示一个直角。
4. 角的测量：角的测量通常使用角度计或量角器等工具，其中
角度计可以测量任意角度，而量角器只能测量固定角度。
5. 角在物理中的应用：角在物理学中有许多应用，例如在几何
学中，角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中，角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
6. 角在地理中的应用：角在地理学中也有许多应用，例如在地
图上，角可以用来描述两个地点之间的夹角，以及地图上各种线条的夹角。
7. 角的文化意义：角在中国传统文化中具有重要的象征意义，
例如在古代社会中，角被广泛用于装饰和祭祀活动中，代表着权力、荣誉和信仰等意义。
角的概念的推广涉及到多个学科领域，需要从多个角度进行思考和理解，有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。
角的概念的推广——任意角
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 2100 如α=210º.
负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º.
-1500
零角：没有作任何旋转的角.记作α=0º.
角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角 和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
90°+k∙360° y x 0
270°+k∙360°
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+2k·180°,k∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}
00 3600 k 900 3600 k k Z
第二象限角的表示方法：
900 3600 k 1800 3600 k k Z
第三象限角的表示方法：
1800 3600 k 2700 3600 k k Z
第四象限角表示方法：
2700 3600 k 3600 3600 k k Z
◆
10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。09:29:5509:29:5509:291/5/2022 9:29:55 AM
◆
11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。22.1.509:29:5509:29Jan-225-Jan-22
◆
12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。09:29:5509:29:5509:29Wednesday, January 05, 2022
下学期 4.1 角的概念的推广
下学期 4.1 角的概念的推广引言角的概念是几何学中的重要内容之一，在数学教学中扮演着至关重要的角色。
本文旨在推广下学期 4.1 角的概念，通过对角的基本概念、角的分类以及角的性质等方面深入探讨，帮助读者更好地理解和应用角的相关知识。
一、角的基本概念角是由两条射线共享一个公共点而形成的图形。
其中，公共点称为角的顶点，两条共享的射线称为角的边。
角可以用大写字母表示，常用符号包括∠ABC、∠PQR 等。
角的顶点位于角所在的平面上。
二、角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。
1.锐角：角的大小小于 90 度（即 90°）的角被称为锐角；2.直角：角的大小为 90 度（即 90°）的角被称为直角；3.钝角：角的大小大于 90 度（即 90°），但小于 180 度（即 180°）的角被称为钝角。
三、角的性质角的性质涉及到角的度数、角的相等以及角的补角和余角等方面。
1.角的度数：角的大小通常用度数来表示，一个完整的圆周共有 360 度（即360°）。
因此，一个直角是 90 度（即 90°），一个钝角是大于 90 度（即 90°）但小于 180 度（即 180°）。
2.角的相等：如果两个角的度数相等，则这两个角是相等的。
表示相等的符号为“=”。
例如，∠ABC = ∠DEF 表示角 ABC 和角 DEF 是相等的。
3.角的补角和余角：两个角的度数之和等于 90 度（即 90°）的角被称为互补角，互补角之间的度数比例为1:1。
两个角的度数之和等于 180 度（即 180°）的角被称为余角，余角之间的度数比例为1:1。
四、角的应用角的概念在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是角的一些应用：1.幾何形狀的描述：角可以用来描述和区分不同的几何形状，例如直角三角形、等边三角形等；2.方向指示：角可以用来表示方位和方向，例如在地图上表示风向；3.视角计算：在物理学中，角可以用来计算物体的可见度和视角；4.旋转和转动：在运动学中，角可以用来描述物体的旋转和转动状态。
角的概念的推广高一知识点
角的概念的推广高一知识点角是我们在几何学中经常遇到的概念之一，它在高一阶段具有重要的地位。
本文将对角的概念进行推广，探讨其在不同领域的应用，并结合例子进行解释。
首先，我们来回顾一下角的基本定义。
在几何学中，角是由两条射线公共端点而形成的图形部分。
通常，我们以大写字母来表示一个角，如∠ABC，其中A和C是两条射线共有的端点，B是这两条射线之间的点。
角的度量通常使用度（°）作为单位。
一个完整的角度是360°，这意味着角度的度量在360°之内。
此外，一个直角角度是90°，一个钝角是大于90°但小于180°的角，一个锐角是小于90°的角。
因此，角的度量不仅可以用来描述角的大小，还可以用来分类角。
在实际生活中，角的概念广泛应用于不同的领域。
其中一个示例是建筑设计。
建筑师在设计房屋时需要考虑建筑物之间的角度关系，以达到美观和结构稳定的目的。
例如，在两个相邻房屋之间形成的夹角可能会影响采光和通风。
因此，建筑师会根据角的度量和分类来进行合理的布局和设计。
另一个领域是自然科学，尤其是物理学。
角的概念与物体的运动和力学有关。
例如，在机械学中，轴承的角度对于机器的运转非常重要。
若角度超出了工作范围，机器可能会发生故障。
此外，在热学中，角的度量被用来描述物体受热时的变化。
了解角的度量有助于预测物体的热膨胀和冷缩，从而在工程设计中起到重要的作用。
除了在实际领域中的应用，角的概念还在数学中起着重要的作用。
角度的概念是几何学的基础，也是其他几何概念的重要组成部分。
例如，三角函数是数学中一个重要的分支，它涉及到角的度量和三角形的关系。
正弦、余弦和正切等三角函数都是通过角的度量来定义的，它们在数学和物理中有广泛的应用。
此外，角的概念也在计算机科学中扮演着重要的角色。
计算机图形学、计算机视觉等领域都需要通过角来计算和描述物体的位置、姿态和运动。
例如，计算机游戏中的三维模型运动，物体的旋转等都涉及到角的概念。
高中数学专题 角的概念的推广 弧度制
1. 主要内容：角的概念的推广，弧度制2. 知识点：①角的定义：初中：是从一点出发的两条射线形成的几何图形。
现在：角是一条射线绕其端点旋转而成的。
规定按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，称它形成的角叫做零角。
②象限角：在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴非负半轴重合，这时角的终边（端点除外）在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，则认为此角不在任何象限。
③终边在x轴非负半轴上角的集合是{α|α=k·360°，k∈Z}，终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ，k∈Z}，终边在第一象限的角的集合是：④若α是锐角，则角α终边在第一象限，角180°－α终边在第二象限，角180°＋α终边在第三象限，角360°－α终边在第四象限。
⑤弧度制：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
（其中α为圆心角的弧度数）【典型例题】例1. 写出与－1840°终边相同的角的集合M（2）把－1840°的角写成k·360°+α（0°≤α<360°）的形式。
（3）若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α解：小结：在0°到360°角范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行，因为任意一个角α均可写成k·360°+α1（0°≤α1＜360°）形式，所以与α终边相同的角的集合也可写成{β|β=k·360°+α1，k∈Z}，如本题M={β|β=k·360°+320°，k∈Z}，由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k=－1和0即可。
角的概念的推广知识点
角的概念的推广知识点摘要：本文旨在探讨数学中角的概念及其在不同数学分支中的推广和应用。
文章首先回顾了角在平面几何中的基本定义和性质，随后介绍了角在立体几何、三角学、解析几何以及更高级数学领域中的推广形式，包括复数平面上的角、线性代数中的向量角以及微积分中的角概念。
1. 平面几何中的角角是最基本和直观的几何概念之一。
在平面几何中，角是由两条射线（或线段）的公共端点（顶点）所定义的图形。
根据这两条射线的相对位置，角可以分为：- 邻角：两条射线共享一个公共端点，并且射线在一个方向上相邻。
- 对角：两条射线共享一个公共端点，但射线在两个相反的方向上。
- 直角：两条射线垂直相交，形成一个90度的角。
- 钝角：大于直角但小于180度的角。
- 平角：两条射线在端点处重合，形成一个180度的角。
- 周角：两条射线重合，形成一个完整的360度的圆周。
2. 立体几何中的角在立体几何中，角的概念扩展到了三维空间。
立体角是由三个平面在一点相交形成的图形，其大小由这三个平面所围成的球面区域的大小决定。
立体角的度量单位是球面度，与平面角的度量单位（度）不同。
3. 三角学中的角三角学是研究三角形的边和角之间关系的数学分支。
在三角学中，角的概念与平面几何中的类似，但更加关注角度的测量和三角函数的关系。
例如，直角三角形中的一个关键概念是余弦、正弦和正切函数，它们将角度与三角形的边长联系起来。
4. 解析几何中的角在解析几何中，角可以通过向量来表示和计算。
两个向量之间的夹角可以通过它们的点积和模长来确定。
向量夹角的余弦值定义为两个向量点积与它们模长乘积的比值。
这种方法使得角的计算可以应用于物理学中的力的合成和分解等问题。
5. 线性代数中的角在线性代数中，角的概念进一步推广到了n维空间。
在这种情况下，两个向量之间的夹角可以通过它们的内积来确定。
此外，线性代数中的旋转矩阵可以用来描述和计算任意维度空间中的旋转和角。
6. 微积分中的角在微积分中，角的概念与曲线的切线方向有关。
角的概念的推广
角的概念的推广1. 引言角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。
本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。
2. 角的定义角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。
在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。
通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。
3. 角的分类根据角的大小，可以将角分为以下几类：3.1 零角（Zero Degree Angle）零角是指两条重合的射线所形成的角。
零角的度数为0度或0弧度。
3.2 直角（Right Angle）直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。
直角的度数为90度或π/2弧度。
3.3 锐角（Acute Angle）锐角是指小于90度的角。
锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。
3.4 钝角（Obtuse Angle）钝角是指大于90度、小于180度的角。
钝角的度数大于90度，弧度大于π/2。
3.5 正角（Oblique Angle）正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。
正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。
4. 角的应用角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用：4.1 几何学在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。
例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。
角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。
4.2 物理学在物理学中，角的概念被广泛运用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度和角加速度是衡量旋转运动的重要物理量，角度在电路中也是电流和电压之间的重要参数。
4.3 工程学角的概念在工程学中也具有重要意义。
例如，在建筑工程中，工程师需要通过计算角度来确定墙壁的垂直度和水平度。
在电子工程中，角的概念被应用于天线的定向和辐射角度的测量。
角的概念的推广
五 、已知角二α的终边在x轴的上方那么α是
A C第一象限角
B 第一、二象限角
C 第一、三象限角 D 第一、四象限角
六、若α是第四象限角则一八0º－α是 C
A 第一象限角
B 第二象限角
C 第三象限角
D 第四象限角
七、在直角坐标系中若α与β终边互相垂直那么
α与β之间的关系是
D
A. β=α+九0o
B β=α±九0o
一.一.一角的概念的推广
一、角的概念
初中是如何定义角的 从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理
解但它是从图形形状来定义角因此角的范围 是[0º三六0º
这种定义称为静态定义其弊端在于“狭 隘”.
生活中很多实例会不在该范围 体操运动员转体七二0º跳水运动员向内、 向外转体一0八0º； 经过一小时时针、分针、秒针各转了多 少度 这些例子不仅不在范围[0º三六0º而且方 向不同有必要将角的概念推广到任意角 想想用什么办法才能推广到任意角 关键是用运动的观点来看待角的变化
思考八：如果α是第二象限的角那么二α、α/二 分别是第几象限的角
九0°＋k·三六0°<α<一八0°＋k·三六0° 一八0°＋k·七二0°<二α<三六0°＋k·七二0°
四五°＋k·一八0°<α/二<九0°＋k·一八0°
课堂练习
一．锐角是第几象限的角第一象限的角是否 都是锐角小于九0º的角是锐角吗区间0º九0º内 的角是锐角吗
2100
6600
-1500
特别地当一条射线没有作任何旋转时我 们也认为这时形成了一个角并把这个角叫做 零度角0º．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
角的概念的推广
1.1.1角的概念的推广【概念形成】1、在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：和习惯上规定，按照旋转而成的角叫做正角；按照旋转而成的角叫做负角；当时，我们也把它看成一个角叫做零角。
2、角的概念经过这样的推广之后，就应该包括、、；为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为 .3、一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，所形成的角为；旋转开始时的射线OA叫做，OB叫，射线的端点O叫做。
4、象限角：角的顶点与重合，角的始边与重合。
那么，角的终边（除端点外）在，我们就说这个角是；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角。
5、终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身所构成的集合是S=【例题选讲】360间找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角例1、在︒0～︒（1）；（2）；（3）．例3、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）41︒，363'例4．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的正半轴上 (2)x轴的负半轴上（3）y轴正半轴上(4) y轴的负半轴上 (5)终边落在x轴上 (6)终边落在y轴上(7)终边落在坐标轴上例5 （1）分别写出终边落在第一、二、三、四象限的角的集合。
（2）写出终边落在第一或三象限的角的集合（变式：二或四象限呢）【巩固提高】1、表示辨析下列各角：①︒0～︒90间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于︒90的角．2、分别写出：（1）终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合（2）终边落在第四象限角平分线上的角的集合3、将角︒30的终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 ；如果改为顺时针旋转则角的度数为【课后作业】1、若α与β的终边角相同，则α-β的终边角一定在（ ）A 、x 的非负半轴上B 、x 的非正半轴上C 、y 的非正半轴上D 、y 的非负半轴上2、若α与β的终边关于直线x-y=0对称，且α=-300，则β= _______。
角的概念的推广
【典型热点考题】 典型热点考题】 例1 若α是第二象限的角,则180°α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解:∵k360°+90°<α< k360°+180°(k∈Z). ∴-k360°-180°<-α<-k360°90° ∴-k360°<180°-α<k360°+90° ∵180°-α是第一象限角 ∴应选A.
【生活实际运用】 生活实际运用】 自行车大链轮有48齿,小链轮 有20齿,当大链轮转过一周时, 小链轮过的角度是多少? 解:∵当大链轮转过一周时, 转过了48个齿,这时小链轮也 48 必须同步转过48齿,有=2.4(周), 20 也就是说小链轮转过2.4周. ∴小链轮转过的角度是 360°×2.4=864°
(2)∵k120°< 3 <30°+k120°(k∈Z), 当k=3n(n∈Z)时, α α n360°< 3 <30°+n360°,是第一象限的角;当 3 n=3n+1(n Z) n=3n+1(n∈Z)时, α α 120°+n360°< <150°+n360°, 是第二象限的角;当 3 3 k=3n+2(n∈Z)时, α α 240°+n360°< 3<270°+n360°, 是第三象限的角. 3 α ∴ 3 是第一象限或第二象限或第三象限的角. 评析 对(1)不可遗漏终边落在y轴正半轴上的情况;对(2) α 可以于k120°< 3 <30°+k180°(k∈Z)中令k=0,1, α α 2来确定 所在的象限.并且要注意所求的所在的 象限 3 3 并不是整个象限出与下列各角终 边相同的角,并判定下列各角是哪个象限 的角? (1)908°28′;(2)-734° 分析 将题给角x化成α+k360°,(k∈Z),α 在0°～360°间的形式即可. 解 (1)908°28′=188°28′+2×360°,则 188°28′即为所求角,因它是第三象限的 角,从而908°28′也是第三象限的角. (2)-734°=346°-3×360°,则346°即为 所求角,因它是第四象限的角,从而734°也是第四象限的角. 评析 一般地化角x为α+k360°,(k∈Z)时, 可由x除以360°来定k及α的值.对不符合 要求的α可以通过修正k值来进一步求解. 例如(2)中-734°=-14°-2×360°,完全可 以由-14°来判定-734°是第四象限角,但 -14°不在0°～360°,不合题设,虚修 正.
《角的概念的推广》 说课稿
《角的概念的推广》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《角的概念的推广》。
接下来，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“角的概念的推广”是高中数学必修 4 第一章“三角函数”中的重要内容。
在此之前，学生已经学习了角的基本概念，如锐角、直角和钝角等。
而本节课将角的概念进行推广，引入正角、负角和零角的概念，为后续学习三角函数的周期性、诱导公式等知识奠定了基础。
从教材的编排来看，本节课通过实际生活中的例子，如钟表指针的转动、车轮的旋转等，引导学生观察和思考角的变化，从而自然地引出角的概念的推广。
这样的编排既符合学生的认知规律，又能激发学生的学习兴趣。
二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们在初中阶段已经对角有了初步的认识，但对于角的概念的推广可能会感到抽象和难以理解。
然而，这个阶段的学生思维活跃，具有较强的好奇心和求知欲，已经具备了一定的观察、分析和抽象概括能力。
在教学过程中，要充分利用学生已有的知识和经验，通过实例引导、问题驱动等方式，帮助学生逐步理解和掌握角的概念的推广。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正角、负角和零角的概念，掌握角的终边相同的角的表示方法。
（2）能够正确地画出给定角的终边，会进行角的度量与换算。
2、过程与方法目标（1）通过观察实例、分析问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
（2）经历角的概念推广的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
四、教学重难点1、教学重点（1）正角、负角和零角的概念。
（2）终边相同的角的表示方法。
2、教学难点理解角的概念的推广，掌握终边相同的角的集合的表示。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习积极性和主动性。
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【典型例题】 例 1 （1）钟表经过 10 分钟，时针和分针分别转了多少度？ （2）若将钟表拨慢了 10 分钟，则时针和分针分别转了多少度？
寄语
好的开端是成功的一半
1
教学设计 导 学 设 计 （学生总结）
说明：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？ （3）象限角、轴线角的概念 我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的 ________ 与 __________ 重 合 ， 角 的 ___________ 与 __________________ 重 合 。 那 么 ， 角 的 _________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。 （4） 终边相同的角 思考: （1）下列角分别是第几象限角？
0
300 ,1500 , 600 ,3900 , 3900 , 1200
（5）象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ （6）轴线角的集合 （1）终边在 x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在 x 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在 y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在 y 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在 x 轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在 y 轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________
0
2
,2 是第几象限角。
4
教学设计 导 学 设 计 （学生总结）
五．随堂测试 1.画出求一个数绝对值的程序框图。
2.画出在 a,b,c 三数中找出最大数的程序框图
3.画出一个判断任意正整数奇偶性的程序框图
5
715 终边相同的最大负角是_______________;
0
4 、 与 15
0
终 边 相 同 的 在 10800 3600 之 间 的 角 为
_______________________. 5、已知角 , 的终边相同，则 的终边在___________________________. 6、若集合 A { | k 1800 300 k 1800 900 , k Z} ， 集合 B { | k 3600 450 k 3600 450 , k Z} ，
例 5． 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1）
（2）
（3）
【拓展延伸】 已知角 是第二象限角，试判断
为第几象限角？ 2
3
随堂测试 1、 分针走 10 分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________. 2 、 若 900 1350 ， 则 的 范 围 是 _________ ， 的 范 围 是 ________. 3、 （1）与 35 30' 终边相同的最小正角是________;
2
例 2． 在 0 到360 的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是 第几象限角。 （1） 650
0
0
0
（2） 150
0
（3） 240
0
（4） 990 15
0
'
例 3． 已知 与240 角的终边相同，判断
0
是第几象限角。 2
例 4． 写出终边落在 y x 上的角的集合。
300 ， 150 ， 60 ，-660 ， 60 ， 210 ，300 ，420 ，780 ，
这当中一些角有什么共同特征？
（2） 具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与 60 角终边相同的角的集 合吗？ 所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个_________，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成 。 练习 1.在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
2014 级高一导·学·练一体化
学科 课型 数学 新授课 编制人 课题 审核人 编号 1
1.1.1
导 学 设
角的概念的推广
教学设计 计 （学生总结）
一、 【学习目标】 1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的 角的集合表示 二、 【重点难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 三、自主学习 1.复习引入 问题 1： 回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？ 问题 2：在体操、跳水中，有“转体 720 ”这样的动作名词，这里的“ 720 ” ，怎 么刻画？ 2.建构数学 （1）角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从 一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和 ______。 （2）角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个 _________ ，它的 ______ 和 _______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________ 和________。 问题 3：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定， 角的范围就扩展到了任意大小对于α ＝210°，β ＝－150°，γ ＝－660°，你能 用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？
___. 则 A B __________
7、已知集合 M {锐角 } ， N {小于900的角 } ，下列 } ， P {第一象限的角 说法： （1） P N ， （2） N P M ， （3） M P ， （4） ( M N ) P 其 中正确的是____________. 8、已知 与 60 角的终边相同，分别判断