甘肃省兰州市2012届高三诊断性考试数学(理)试题

甘肃省兰州市2012届高三4月实战考试(兰州二诊)(数学理)

1
（B）[ln 2 , ln 2 ]
3
24
81 （C）[ln 2 , ]
33
1 （D）[ , ln 2]
3
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

4
13. 已知 ( , ), tan( 2 ) ，则 tan
（D） 1
1 2. 函数 y log2 (x 0) 的反函数是
x
（A） y (1 )x (x R) 2
（B） y (1 )x (x 0) 2
（C） y (1 )x (x R) 4
（D） y (1 )x (x 0) 4
3. 已知命题“ p ：双曲线 C 的离心率为 2 ”，命题“ q ：双曲线 C 为等轴双曲线”.则 p 是 q 的
P( 2) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)
311 311 211 8 2
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20 5
311 3 P( 3) P( A)P(B)P(C)
5 2 2 20
18. （本小题 12 分）将编号为 1、2、3 的三个小球放入编号为甲、乙、丙的三个盒子中，每盒放入一个小球，已知 1
311 号小球放入甲盒，2 号小球放入乙盒，3 号小球放入丙盒的概率分别为 , , ，记 1 号小球放
522 入甲盒为事件 A，2 号小球放入乙盒为事件 B，3 号小球放入丙盒为事件 C，事件 A、B、C 相
甘肃省兰州市 2012 届高三 4 月实战考试（兰州二诊）数学（理科）（2012 年 4 月 12、13 日）

甘肃省2012届高三第二次高考诊断理科综合试题.pdf

甘肃省 2012年第二次高考诊断试卷理科综合能力测试考生注意：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间l50分钟。

所有试题均在答题卡上作答。

其中，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 Fe -56 Ba-137 第I卷（选择题共21题，每小题6分，共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。

每小题只有一个选项符合题意。

） 1．下列与细胞有关的叙述中，正确的是 A．衰老细胞与新产生的癌细胞内酶的活性都降低 B．黑藻细胞和蓝藻细胞光合作用的场所都是叶绿体 C．用无氮培养基可选择性培养根瘤菌等固氮微生物 D．家鸽每个分裂中期的囊胚细胞与初级精母细胞中染色体上的DNA分子总数都相同 2．下图为细胞间信息传递的几种模式示意图（旁分泌指细胞分泌的信号分子通过细胞间隙扩散作用于邻近的细胞），下列分析错误的是 A．a模式为激素调节，其调节作用是通过催化靶细胞的新陈代谢来实现 B．人体处于寒冷环境中代谢产热增加主要是通过b模式（神经一体液调节）实现 C．c模式为神经调节，其调节过程是通过神经冲动的传导和神经递质的释放来实现 D．体液免疫中T细胞产生淋巴因子作用于B细胞属于d模式（旁分泌） 3．下列与植物代谢有关的示意图中，正确的是 A．A图表示玉米根系CO2释放量的变化与氧含量的关系 B．B图表示洋葱表皮细胞在0.3 g/mL的蔗糖溶液中原生质体积的变化与时间t的关系 C．C图表示当轮藻细胞外K+浓度大于0且小于m时，轮藻细胞内浓度K+与时间的关系 D．D图表示小球藻内含碳化合物的变化（0~m期间光照，m~n期间黑暗） 4．下列有关叙述正确的是 A．母亲的色盲基因一定传给儿子 B．蛔虫为雌雄异体动物，区分蛔虫的核、质遗传可采用正交和反交实验方法 C．人体皮肤细胞中，线粒体的数量少于肝细胞，因而皮肤细胞的基因，总数少于肝细胞 D．不同的限制性内切酶处理目的基因和质粒产生的黏性末端一定不能互补配对 5．右图为某一区域M、N两物种的资源利用曲线，从图中可以得出的结论是 A．曲线不重叠时，M与N不存在竞争 B．b越大，生物适应环境能力越弱 C．d越小，M与N种间竞争越激烈 D．M、N两物种存在捕食关系 6．化学与生活、社会密切相关。

兰州市二诊数学答案

高三实战数学答案第1页2012年高三实战考试数学参考答案与评分参考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.理科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 文科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）（理、文）2 （14）42 （15）R 3π（16）22525(2)()24x y +++=三、解答题：本大题共6小题，共70分. （17）理科解：(Ⅰ)∵24cos cos 9sin b A B a B =∴4cos cos 9sin sin A B A B = ……………………3分显然cos cos 0A B ≠ ∴4tan tan 9A B ⋅=……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，4tan tan 09A B ⋅=>，故有tan 0A >，tan 0B >∴4tan tan 3A B +≥= ……………………6分∵tan tan 9tan tan[()]tan()(tan tan )1tan tan 5A B C A B A B A B A Bπ+=-+=-+=-=-+-91255≤-⨯=-……………………8分当且仅当tan tan A B =，即A B =时，tan C 取得最大值125-，此时A B C ∆为等腰三角高三实战数学答案第2页形． ……………………10分文科解：设数列{}n a 的公差为d ，首项为1a∵60S = ∴1250a d += ① ……………………3分又∵77S = ∴131a d += ② ……………………6分由①②解得15a =-，2d = ……………………8分所以数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-…………………10分（18）理科解：（Ⅰ）事件A 、B 、C 中至少有两件发生的概率为()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+211522⨯⨯+3111152220⨯⨯= ………………6分（Ⅱ）ξ取的可能结果为0,1,2,3,则(0)()()()P P A P B P C ξ===211215222010⨯⨯==(1)()()()()()()()()()P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ξ==++311522=⨯⨯+211522⨯⨯+211752220⨯⨯=(2)()()()()()()()()()P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ξ==++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+21182522205⨯⨯==3113(3)()()()52220P P A P B P C ξ===⨯⨯= ……………………10分数学期望E ξ=1010⨯+7120⨯+225⨯+383205⨯=……………………12分文科解：(Ⅰ)∵24cos cos 9sin b A B a B =高三实战数学答案第3页∴4cos cos 9sin sin A B A B = ……………………3分显然cos cos 0A B ≠ ∴4tan tan 9A B ⋅=……………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，4tan tan 09A B ⋅=>，故有tan 0A >，tan 0B >∴4tan tan 3A B +≥= ………………8分∵tan tan 9tan tan[()]tan()(tan tan )1tan tan 5A B C A B A B A B A Bπ+=-+=-+=-=-+-91255≤-⨯=-……………………10分当且仅当tan tan A B =，即A B =时，tan C 取得最大值125-，此时A B C ∆为等腰三角形． ……………………12分（19）理科解法一（Ⅰ）证明：∵A E ⊥平面ABC ，B D ⊥平面ABC∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D∴A E ∥平面BC D ………………5分（Ⅱ）∵B D ⊥平面ABC∴平面BC D ⊥平面ABC在平面BC D 中过点M 做M N B C ⊥，垂足为N ，则有M N ⊥平面ABC ， M N ∥B D ，∴2E M N π∠=且M N ∥A E过N 做N G A B ⊥于G ，连接M G 则M G AB ⊥，所以M G N ∠为二面角M A B C--的一个平面角 ………………7分在四边形A E M N 中CAEDBMNG高三实战数学答案第4页∵ 2E A N A N M N M E π∠=∠=∠=∴四边形A E M N 为矩形 ∴M N =1A E =∴M 为C D 的中点，N 为B C 的中点 ………………10分在Rt M N G ∆中，1M N =，sin 2N G BN ABC =⋅∠=∴tan 32M N M G N N G∠===………………12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则(,0,0,0)A，(1,0)B ，(2,0,0)C，(1,2)D (0,0,1)E（Ⅰ）∵(0,0,1)AE =uuu r(11,20)BD =---=uuu r∴2BD AE =uuu r uuu r∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC ∴A E ∥平面BC D （Ⅱ）∵M 在D C 上∴C M C D λ=uuu r uuu r设(,,)M x y z ，则有2x λ=-，y =，2z λ=∴(2,21)EM λλ=--uuu r∵EM BD ⊥∴(2)00(21)20EM BD λλ⋅=-⨯+⨯+-⨯=uuu r uuu r解得：12λ=高三实战数学答案第5页∴3(22M依题意(0,0,1)AE =uuu r 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z '''=r为平面M A B 的一个法向量，则有n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuur r即03022x x y z ⎧''+=⎪⎨'''++=⎪⎩令x '=1y =-，z '=∴1,n =-r∴cos ,||||n AE n AE n AE ⋅<>===-⋅uuu r r uuu r r uuu r r显然，二面角M A B C --为锐二面角，所以二面角M A B C --∴二面角M A B C --3文科解：（Ⅰ）事件A 、B 、C 中至少有两件发生的概率为()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+211522⨯⨯+3111152220⨯⨯= ……………………6分（Ⅱ）依题意有2()()()()()()()()()5P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++≥……………………9分即3131(1)5252p p ⨯⨯-+⨯⨯+212525p ⨯⨯≥解得12p ≥………………11分所以p 的取值范围是1[,1]2…………………12分（20）理科高三实战数学答案第6页解：(Ⅰ)由12121nna a a n =++++ 得：12(21)n a a a n n +++=+ ，即22n S n n =+ ……………………3分 ∴当2n ≥时，1(21)(1)(21)41n n n a S S n n n n n -=-=+---=-又1n =时，113a S ==∴41n a n =-()n N *∈ ……………………6分(Ⅱ)假设存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切n N *∈都有()0f x ≤成立，即有1102ni i x b =+-≤∑成立∴当x λ≤时，对一切n N *∈都有112nii x b=+≤∑成立…………8分∵161616(1)(5)(411)(415)4(44)n n n b a a n n n n ===++-+-++111(1)1n n nn ==-++∴111111111()()()112231112ni i n b nn n n ==-+-++-=-=≥+++∑ ………10分∴当x λ≤时，对一切n N *∈都有1122x +≤成立，解得0x ≤∴可取0λ=，当x λ≤时，对一切n N *∈都有()0f x ≤成立…………12分文科解法一（Ⅰ）证明：∵A E ⊥平面ABC ，B D ⊥平面ABC∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D∴A E ∥平面BC D ………………5分高三实战数学答案第7页（Ⅱ）∵B D ⊥平面ABC∴平面BC D ⊥平面ABC在平面BC D 中过点M 做M N B C ⊥，垂足为N ，则有M N ⊥平面ABC ， M N ∥B D ，∴2E M N π∠=且M N ∥A E过N 做N G A B ⊥于G ，连接M G 则M G AB ⊥，所以M G N ∠为二面角M A B C--的一个平面角 ………………7分在四边形A E M N 中∵ 2E A N A N M N M E π∠=∠=∠=∴四边形A E M N 为矩形 ∴M N =1A E =∴M 为C D 的中点，N 为B C 的中点 ………………10分在Rt M N G ∆中，1M N =，sin 2N G BN ABC =⋅∠=∴tan 32M N M G N N G∠===………………12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则(,0,0,0)A，(1,0)B ，(2,0,0)C，(1,2)D (0,0,1)E（Ⅰ）∵(0,0,1)AE =uuu r(11,20)BD =---=uuu r∴2BD AE =uuu r uuu r∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D ∴A E ∥平面BC D （Ⅱ）∵M 在D C 上CAEDBMNG D高三实战数学答案第8页∴C M C D λ=uuu r uuu r设(,,)M x y z ，则有2x λ=-，y =，2z λ=∴(2,21)EM λλ=--uuu r∵EM BD ⊥∴(2)00(21)20EM BD λλ⋅=-⨯+⨯+-⨯=uuu r uuu r解得：12λ=∴3(22M依题意(0,0,1)AE =uuu r 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z '''=r为平面M A B 的一个法向量，则有n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuur r即03022x x y z ⎧''+=⎪⎨'''++=⎪⎩令x '=1y =-，z '=∴1,n =-r∴00(1)1(AE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=uuu r r∴cos ,||||n AE n AE n AE ⋅<>===-⋅uuu r r uuu r r uuu r r显然，二面角M A B C --为锐二面角，所以二面角M A B C --∴二面角M A B C --3（21）理科高三实战数学答案第9页解：（Ⅰ）依题意有：2c a=，22231ab-=且222c a b =+所以21a =，23b =双曲线C 的方程为2213yx -= ………4分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线l 不存在．②若直线l 的斜率为0，则线段A B 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在． ③若直线l的斜率为，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线l 不存在．④若直线l 的斜率存在，且不为0不为时设为k ，则直线l 的方程为1y kx =- ………6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22113y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2(3)240k x kx -+-=22416(3)0k k ∆=+->22k ⇒-<< ………7分2)3k x k --若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以2222133k k k k =⋅---解得21k =-，这矛盾． ………11分综上，不存在满足条件的直线 ………12分高三实战数学答案第10页文科解：（Ⅰ）∵22224()343()33a a f x x axb x b '=++=+-+∴2433a -=24133a b -+=-解得2a =- 5b = ………3分∴32()452f x x x x =-+- 2()385(35)(1)f x x x x x '=-+=-- ∴当1x <或53x >时，()0f x '>，故函数()y f x =在(,1]-∞或5[,)3+∞上单调递增当513x <<时，()0f x '<，故函数()y f x =在5[1,]3上单调递减∴1x =时，函数()y f x =取得极大值(1)14520f =-+-=53x =时，函数()y f x =取得极小值3255554()()4()52333327f =-+⨯-=-……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-∴ 32()()392f x g x x x x m +=--+-令()()()h x f x g x =+，则2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-∴函数()h x 在(,1]-∞-上单调递增，在[1,3]-上单调递减，在[3,)+∞上单调递增 ∴()(1)3h x h m =-=+极大值，()(3)-29h x h m ==极小值 ………9分 ∵方程()()0f x g x +=只有一个实根∴30290m m +>⎧⎨->⎩ 或30290m m +<⎧⎨-<⎩ 解得3m <-或29m >∴m 的取值范围是(,3)(29,)-∞-⋃+∞ ………12分（22）理科解：（Ⅰ）依题意()21f x x '=-∴232()ln ()()ln ()(21)23ln g x x f x f x x x x x x x x x '=-=---=-+-+高三实战数学答案第11页∴221(1)(61)()661x x g x x x xx-+'=-+-=………3分∵()g x 的定义域为(0,)+∞ ∴0162>+xx∴当01x <<时，()0g x '>；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '<． ∴()g x 在(0,1]上是增函数，在[1,)+∞上是减函数．∴当1x =时，()g x 取得最大值(1)0g = ………6分(Ⅱ)∵ )1(2)1(11)1()(222xx xx xxx x xf x f +--+=-+-=+∴不等式11()()()ln f x f x m xx+≥+⋅可化为2111()2()()ln x x x m xx x+--+≥+⋅∵0x > ∴21≥+xx (当且仅当1x =时取“=”)设t xx =+1(2t ≥)则可得22ln t t t m --≥∴ 2ln 1m t t≤--(2t ≥) ………10分∵12--t t 在[2,)+∞上是增函数 ∴12--tt 的最小值为01222=--∴ln 0m ≤∴01m <≤ ………12分文科解：（Ⅰ）依题意有：2c a =，22231ab-=且222c a b =+所以21a =，23b =双曲线C 的方程为2213yx -= ………4分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线l 不存在．高三实战数学答案第12页②若直线l 的斜率为0，则线段A B 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在． ③若直线l的斜率为，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线l 不存在．④若直线l 的斜率存在，且不为0不为时设为k ，则直线l 的方程为1y kx =- ………6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22113y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2(3)240k x kx -+-=22416(3)0k k ∆=+->22k ⇒-<< ………7分2)3kx k -- 若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以2222133k k k k =⋅---解得21k =-，这矛盾． ………11分综上，不存在满足条件的直线 ………12分。

甘肃省兰州市2012届高三理综诊断性考试试题

甘肃省兰州市2012届高三诊断考试理科综合能力测试注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

2．本卷满分300分，考试用时150分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

4．可能用到的相对原子质量：H-l C-12 O-16 Al - 27 Fe-56 Cu-64第I卷（选择题，共126分）一、选择题（本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．在下列生物体或细胞中，不能独立合成蛋白质的是A．蛙的红细胞B．霍乱弧菌C． HIN1病毒D．皮肤癌细胞2．如图为植物体内某物质跨膜运输的部分示意图，下列有关叙述错误的是A．物质A逆浓度梯度通过细胞膜，故属于主动运输B．物质B为载体蛋白，具有专一性且能循环利用D．该过程能够体现细胞膜具有控制物质进出细胞的功能D．图示中T主要来自光合作用的光反应3．下列与绿色植物新陈代谢有关的叙述中，正确的是A．阳生植物的暗反应可以在有光的条件下进行，阴生植物的暗反应只能在黑暗的条件下进行B．小麦、水稻等C3植物的叶肉细胞和维管束鞘细胞都具有叶绿体C．水果储存时充入N2和CO2的主要目的是抑制无氧呼吸，减少有机物的消耗，延长水果的仓储时间D．离体的叶绿体基质中添加ATP、NADPH和CO2后，可完成碳反应4．下列有关生态系统的叙述，正确的是A．流经生态系统的能量是单向的，而且可以循环利用B．同一生态系统中的某一种生物可以处于不同的营养级C．同一生态系统中的相邻两种生物之间一定是捕食关系D．向某生态系统大量引入外来物种，可增强该生态系统的抵抗力稳定性5．给人体注射疫苗可以预防疾病的最主要的原因是A．疫苗促使人体产生毒素，杀死病原体B．疫苗具有抗原性和致病性C．疫苗促使人体产生与病原体对应的记忆细胞D．疫苗可以固定病原体，有利于白细胞的胞吞作用6．下列判断错误的是A．熔点：Si3N4>NaCl>Na B．沸点：NH3>PH3>AsH3C．酸性：HClO4>H2SO4>H3PO4D．热稳定性：HF> HCI>HBr>HI7．下列有关化学实验的叙述正确的是A．从碘水中提取单质碘时．可用无水乙醇代替四氯化碳B．用等浓度（0.5 mol·L-1）等体积（50 mL）的NaOH溶液与盐酸混合测定中和热C．酸碱滴定时，若加入待测液前用待测液润洗锥形瓶，将导致测定结果偏高D．检验某溶液是否含有SO2—4时，应取少量该溶液，依次加入BaCl2溶液和稀盐酸8．已知：其中，KMnO4和一般浓度的盐酸即可反应，K2Cr2O7需和较浓盐酸（>6 mol/L）反应，MnO2需和浓盐酸（>8 mol/L）反应。

甘肃省西北师大附中2012届高三数学诊断考试试题理

西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷数学（理科）。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意。

）1. 若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为A.-7B.17-C.7D.7-或17-2．抛物线22y x =-的准线方程是A.12x =B. 18x =C.12y =D . 18y =3. 设函数32()331f x x x x =-+-，则)(x f 的反函数)(1x f-为A. 13()1()f x x x R -=+∈B. 13()1(0)f x x x -=+≥C.13()1()f x x x R -=-∈ D. 13()1(0)f x x x -=-≥4. “cos α =35”是“cos2α= -725”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为 A ．022=-+y x B ．012=-+y xC ．012=+-y x D ． 022=+-y x6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于A.16B.8C.22 D.47.△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0 ， ||||OA AB =，则CA CB ⋅ 等于A.32B.3 C.3 D.238. 函数x x x f sin co s )(-=, 把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ=a (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为A ．2π B ．23π C ．π D ．43π9. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有A.5858A A 种 B. 812A 种 C. 8188A C 种 D.8189A C 种 10．已知偶函数f ( x )对任意的x ∈R 满足f ( 2 + x ) = f ( 2 – x )，且当20x -≤≤时，f ( x ) = log 2( 1– x )，则f ( 2011 )的值是A ．2012B ．2C ．1D ．011．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为 A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：112．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是A.(0,)+∞B.1(,)3+∞ C. 1(,)5+∞ D. 1(,)9+∞ 二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。

甘肃省兰州一中2012届高三第三次诊断考试数学理(附答案)

甘肃省兰州一中2012届高三第三次诊断考试数学理第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则311i i++=（）A ．i -B ．iC ．1i -D ．12．等差数列{}n a 中，若75913a a =，则139SS =( )A ．913B ．139C ．1D ．23．函数sin(2)3y x π=+的图象可由cos 2y x =的图像经过怎样的变换得到 ( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位4. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 ( )A. 1-=x yB. 1+=x y C .8821+=x y D. 176=y 6．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题① 若αα//,,//m n n m 则⊂； ② 若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③ 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④ 若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是 ( ) A ．:p a b >，22:q a b > B ．:p a b >，:22a b q >Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x++>8. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为 ( ) AB. 15 C ．D ． 359. 将编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号， B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有 ( )A ． 42 B. 34 C ． 30 D ．2810．数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a ( ) A ．8081- B ．181C ．127D ．2627-11. 点P 是双曲线12222=-b y a x (0a >, 0b >)左支上的一点，其右焦点为F (,0)c ，若M 为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为c 81，则双曲线的离心率e 范围是 ( )A ．]8,1( B. ]34,1( C ．)35,34( D ．]3,2(12．在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在ABCD 内运动(含边界)，设AP AD AB αβ=⋅+⋅，则αβ+的最大值是 ( )A ．43 B. 14C ．1D ．13第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上． 13．已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直， 090=∠=∠BCD ABC ，a AB =b BC =，c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .14.在2012(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于 .15. 若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -= 与直线l 一定有公共点的曲线的序号是．（写出你认为正确的所有序号）16. 对于连续函数()f x 和()g x ，函数()()f x g x -在闭区间[,]a b 上的最大值称为()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为((),()).a x bf xg x ≤≤∆则322311(, 2)32x x x x -≤≤+=∆ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若 ())124sin ,31tan f παααα-++=+ 的值．18.（本题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，1=BD，2=AF ，3=CE ，O 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：OC DF ⊥；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅲ）在DE 上是否存在一点P ，使CP ⊥平面DEF ？如果存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．19．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点, 乙盒中放一球,若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设x , y z 分别表示甲, 乙,丙3个盒中的球数.(Ⅰ) 求x , y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率；(Ⅱ) 记y x +=ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望． 20．（本题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）.（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .22．（本题满分12分）设函数()ln f x x x =(0)x >． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小值；(Ⅱ) 设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；（Ⅲ）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<．参考答案三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：()()()()(1)sin sin ,2sin cos 0cos 00,.22,,21,cos 2f x x x x TT T f x x ωϕωϕωϕϕππϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤∴==∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则______________5分()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999αααααααααααααααα-++===+++=∴+=∴=-∴=-原式又原式 ______________10分18. 解:如图，以O 为原点，OB ，OC ，Oz 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，)0,3,0(C ，)1,0,1(D ，)3,3,0(E ，)2,0,1(-F ．……2分（Ⅰ）），，（030=，)1,0,2(-=，所以0=⋅OC DF ，即DF OC ⊥． ……4分（Ⅱ）平面ABC 的法向量为)1,0,0(=1n ．设平面DEF 的法向量为),,(z y x =2n ，)2,3,1(-=DE ．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF 22n n 得⎩⎨⎧=+-=++-,02,023z x z y x 所以⎩⎨⎧-==.3,2x y x z 取1=x ，得)2,3,1(-=2n ．所以222212,cos =⨯=⋅>=<212121n n n n n n ，所以平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为22．……8分（Ⅲ）假设在DE 存在一点P ，设),,(z y x P ，因为DE DP λ=，故)2,3,1()1,,1(-=--λz y x ，所以)12,3,1(++-λλλP ，所以)12,33,1(+-+-=λλλCP ．因为CP ⊥平面DEF ，所以与平面DEF 的法向量2n 共线，所以21233311+=--=+-λλλ ，解得41=λ，所以41==，所以22=DP ． ……12分19解：(Ⅰ) x ,y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率,即甲, 乙,丙3个盒中的球数.分别为0,1,2,此时的概率41)21(31213=⨯⨯=C p ____________5分 (Ⅱ)ξ的取值为0,1,2,3 ____________6分81)21()0(3===ξp ______________7分834181)21(31)21(61)1(213213=+=⨯⨯+⨯⨯==C C p ξ _ ____________8分8321)61(21)31(213161)2(22322333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯==C C A p ξ ______________9分81)31(6131)61()31()61()3(22322333=⨯⨯+⨯⨯++==C C p ξ ______________10分随机变量ξ的概率分布列数学期望为23=ξE _______________12分法二:把两盒的球合并成一盒.则每次掷骰子后球放入该盒中的概率213161=+=p ,且 ξ～B （3，21）,分布列见法一, 23213=⨯=ξE 20解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a . …………………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ………………………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①-②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………5分 1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………6分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =. 那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k 0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ， ∵01>+k a ，k ≥2，∴0)1(1>-++k a k ， ∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）. 显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ………………………………………8分证法二：猜想： n a n =， …………………………………4分1）当1=n 时，11=a 成立； …………………………………5分 (Ⅱ)假设当k n =时，k a k =. ………………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k)1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………………………………8分（Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ， ………………9分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ， …………………10分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………11分 ∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………12分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+nnx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. …………………………………9分∴121+⋅+n ny ≤2121+++nny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. …………………………………10分①+②，得（++1nx 1+ny ）12+n≤24)(n y x n +++2+=n ，当且仅当21==y x 时取“=”号. ……………………………………11分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ………………………………………12分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ………………………………………9分 ∵ab b a b a 2)(2++=+，b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2， ……………………………10分 ∴b a 22+≥ab b a 2++，∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………11分令1+=nx a ，1+=ny b ，即得11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………12分 21解：（I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=，得 .012)31(222=-+-+a y k y k ① ………………………… 3分由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得，即.313222k k a +>…………………………………………………… 5分（II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312kky y +=+ 因为212,2y y CB AC -==得，代入上式，得.31222k ky +-=……………8分于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=.23||32||331||32=<+=k k k k ………………10分其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即 ……………………11分由.33,312222±=+-=y k k y 可得将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………………12分 22. 解：(Ⅰ)()ln 1f x x '=+(0)x >，令()0f x '=，得1x e=. ………2分∵当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>， ………3分 ∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e==-. ……4分 (Ⅱ)2()ln 1F x ax x =++(0)x >，2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>. ……5分 ① 当0≥a 时，恒有()0F x '>，()F x 在),0(+∞上是增函数； ……6分 ② 当0<a 时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x <<……7分令()0F x '<，得2210ax +<，解得x > ………8分综上，当0≥a 时，()F x 在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，()F x在上单调递增，在)+∞上单调递减. 8分（Ⅲ）证：21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--. 要证121x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于证21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，。

2012甘肃高考理科数学试题答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. m}，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2B 3C 2D 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100第1/4页（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

理综卷_2012届甘肃省兰州市高三第一次诊断考试

2012 年高三诊疗考试一试卷理科综合能力测试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

2．本卷满分300 分，考试用时150 分钟。

3.答题所有在答题纸上达成，试卷上答题无效。

4.可能用到的相对原子质量： H—1 C 一 12 O 一 l6 A1 — 27 Fe 一 56 Cu 一 64第 I 卷( 选择题，共 126 分)一、选择题 ( 此题共 13 小题，每题 6 分，共 78 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。

)1.在以下生物体或细胞中，不可以独立合成蛋白质的是（）A. 蛙的红细胞B.霍乱弧菌C. HIN1病毒D.皮肤癌细胞2. 如图为植物体内某物质跨膜运输的部分表示图，以下有关表达错误的选项是（）A.物质 A 逆浓度梯度经过细胞膜，故属于主动运输B．物质 B 为载体蛋白，拥有专一性且能循环利用C．该过程能够表现细胞膜拥有控制物质出入细胞的功能D. 图示中ATP主要来自光合作用的光反响3. 以下与绿色植物新陈代谢有关的表达中，正确的选项是（A.阳生植物的暗反响能够在有光的条件下进行，）阴生植物的暗反响只好在黑暗的条件下进行B.小麦、水稻等C3植物的叶肉细胞和维管制鞘细胞都拥有叶绿体C.水果储藏时充入 N2和 C02的主要目的是克制无氧呼吸，减罕有机物的耗费，延伸水果的仓储时间D.离体的叶绿体基质中增添 ATP、 NADPH和 C02后，可达成碳反响4．以下有关生态系统的表达，正确的选项是（）A．流经生态系统的能量是单向的，并且能够循环利用B.同一世态系统中的某一种生物能够处于不一样的营养级C.同一世态系统中的相邻两种生物之间必定是捕食关系D.向某生态系统大批引入外来物种，可加强该生态系统的抵挡力稳固性5. 给人体注射疫苗能够预防疾病的最主要的原由是（）A.疫苗促进人体产生毒素，杀死病原体B.疫苗拥有抗原性和致病性C.疫苗促进人体产生与病原体对应的记忆细胞D．疫苗能够固定病原体，有益于白细胞的胞吞作用6.以下判断错误的选项是（）A. 熔点： S3N4＞ NaCl＞NaB.沸点： NH3＞ PH3＞AsH3C. 酸性： HCl04＞ H2S04＞ H3P04D．热稳固性： HF＞HCl＞ HBr＞ HI7.以下有关化学实验酶表达正确的选项是（）A．从碘水中提取单质碘时，可用无水乙醇取代四氯化碳B.用等浓度 (O. 5mol·L-1 ) 等体积 (50mL) 的 Na0H溶液与盐酸混淆测定中和热C.酸碱滴准时，若加入待测液前用待测液润洗锥形瓶，将致使测定结果偏高2-D. 查验某溶液能否含有S04时，应取少许该溶液，挨次加入BaCl2溶液和稀盐酸②K 2Cr2O7＋ 14HCl=2KCl＋2CrCl 3＋ 3Cl2＋ 7H20，③ Mn02＋ 4HCl MnCl2＋C12↑＋ 2H20。

2012年数学高考试题(甘肃卷)(理工农医类)

B A ，则 m
D.1 或 3
C.1 或 3
B A B A ，因为 A {1,3, m}, B {1, m} ，
m ，所以 m 3, m 0, m 1 （舍去），
所以 m A m 3或m
所以 m 3, m 0 ，故选 B. 【点评】本题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论的思想. 3．椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x 4 ，则该椭圆的方程为 A．
作者：曹亚云
2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（大纲卷）
一.选择题 1.复数
1 3i 1 i A. 2 i B. 2 i
C. 1 2i
D. 1 2i
【答案】C 【解析 1】i 2 4i 1 2i ，故选 C. 1 i 2 1 i 1 i
【解析 2】Excel2013 1.A1 单元格输入公式=IMSUM(-1,"3i")； 2.B1 单元格输入公式=IMSUM(1,"i")； 3.C1 单元格输入公式=Imdiv（A1,B1），回车得复数 1+2i。
【解析 3】Mathematica9.0 In[1]:=
−1+3ⅈ 1+ⅈ
Out[1]=1 + 2ⅈ 【点评】本题主要考查了复数的四则运算，通过利用除法运算求解复数. 2.已知集合 A {1,3, m} ， B {1, m} ， A A.0 或 3 【答案】B 【解析】由题意得， A B.0 或 3
【解析】由题意得，椭圆的一条准线方程为 x 4 ，即【点评】本题主要考查了椭圆的方程以及椭圆的几何性质的运用，通过椭圆的准线方程确定焦点的位置，然后借助于焦距和准线求解参数 a, b, c 从而得到椭圆的方程. 4．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 ， CC1 2 2 ，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为

甘肃省兰州市2012年高三诊断考试

甘肃省兰州市2012年高三诊断考试数学（理科）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，题号后标注“理科”的试题为理科考生解答，标注“文科”的试题为文科考生解答，未作标注的试题文、理科考生均解答．2.本试卷满分150分，考试用时120分钟。

3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.（理科）已知复数z 满足(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），则z =（）() (B) (C)2 (D)2+A i i i i --2.函数()2)f x x =-„的反函数为（）1111() ()0) (B) ()) (C) ()0) (D) ())A f x x f x x R f x x f x x R ----==∈==∈……3．设等比数列n a {}的前n 项和为n S ，若843S S =，则128SS =（） 78() 2 (B) (C) (D)333A4．已知点(,)P x y （,x y R ∈），则“2x …且2y …”是“点(,)P x y 在圆224x y +=”外的（）() (B) (C) (D) A 充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件5．（理科）已知向量(cos ,sin )a θθ=r 与(cos ,sin )b θθ=-r互相垂直，且θ为锐角，则函数()sin(2)f x x θ=-的一条对称轴是（）7() (B) (C) (D) 248A x x x x ππππ====6．曲线2122y x x =-- 在点(0,2)-处的切线与直线0x =和2y x =+所围成的区域内（包括边界）有一动点(,)P x y ，若2z x y =-，则z 的取值范围是（）() [-2,2] (B) [-2,4] (C) [-4,-2] (D) [-4,2]A 7．（理科）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ＞时，2()23f x x x =--，则不等式()0f x ＞的解集是（）() 13 (B)33(C) 33 (D)03A x x x x x x x x x x x x x x x x ---﹛﹜∪﹛﹜﹛﹜∪﹛﹜﹛﹜∪﹛﹜﹛﹜∪﹛﹜|＜|＞|＜|0＜＜|＜|＞|-3＜＜|＞8．（理科）在三棱柱111ABC A B C -中，各侧面均为正方形，侧面11AAC C 的对角线相交于点M ，则BM 与平面11AAC C 所成的角的大小是（）() 30 (B)45 (C)60 (D)90A o o o o9．（理科）若函数()sin ,,()()2f x x x x R f f ωωαβ=+==∈又，且αβ-的最小值等于3π，则正数ω的值为（）1243()(B) (C) (D)3332A 10．（理科）过点(2,0)M -的直线l 与椭圆2222x y +=交于12P P 、，线段12P P 的中点为P ．设直线l 的斜率为1k （1(0)k ≠，直线OP （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k 等于（）11() 2 (B)2 (C) (D) 22A --11．正棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．若一个正n 棱柱有10条对角线，那么n =（）() 4 (B)5 (C)6 (D)7A12．已知F 为双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线2a x c=-上一点，O 为坐标原点，已知OP OF OM =+u u u r u u u r u u u u r 且OF OM =u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（）1() 2 (B)2A 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．cos73cos13cos17sin13+=oooo。

甘肃省兰州一中2012届高三年级期末考试试题(数学理)

兰州一中2011—2012学年度高三期末考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．在复平面内，复数1ii+＋（1＋3i ）2对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知25,2(),1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩则下列结论正确的是（）A ．()f x 在2x =处连续B ．(2)1f =-C ．2lim ()1x f x →= D ．2lim ()1x f x →=-3．下列命题中错误的是（）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么直线⊥l 平面γ4．已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为（）A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,a b ϕ=是a 与b 互补的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（）A ．222a b ab +>B．a b +≥C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 7．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为,1)，则z O M O =⋅的最大值为（）A ．3B ．4C．D．8．sin(2)3y x π=+的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12π-中心对称（）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位9．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（）10．有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25D ．1511．已知圆O ：221x y +=，点P 是椭圆C ：2214x y +=上一点，过点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ∆的面积的最小值是（）A ．12 B ．1 C ．14D12．已知球的直径SC = 4，A ，B是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S -ABC的体积为（）A． B． CD ．19二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +-=-，则a 与b 的夹角为． 14．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是．16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c ．18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4， E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（I ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；（II ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．19．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0．6,0．5,0．5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数/1()f x x=，/()()().g x f x f x =+（I ）讨论()g x 与1()g x的大小关系；（II ）求a 的取值范围，使得1()()g a g x a-<对任意0x >成立．21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n +=2，且11+-=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ．（I ）求证：}1{-n a 为等比数列；（Ⅱ）求n T ；（III ）设*()(21)ln(21)1,()nnf x x x x n N =-+-+-+∈，求证：().2(1)nn T f x T ≥+22．（本小题满分12分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)00(1:2222>>=b a by a x E ，-上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为.51（I ）求双曲线的离心率；（II ）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E 于B A ，两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．A 12．C 二、13．3π14．2- 15．)1(21e e + 16．②③④ 三、17．由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C +=，∴cossin224sin cos 22C CC C +=， ∴14sin cos 22C C =，∴1sin 2C =，又(0,)C π∈，∴566C C ππ==，或． ∴B C =，6B C π==，2()3A B C ππ=-+=．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得1sin 2sin Bb c a A ====．18．解法一：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF ．（I ）如图1，连结NF 、1AC ，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1A C ．又底面ABC侧面1A C =A C ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面1A C ，∴NF 为EF 在侧面1A C 内的射影，在Rt CNE ∆中，cos60CN CE =︒=1，则由114CF CN CC CA ==，得NF //1AC ，又11,AC AC ⊥故1NF A C⊥，由三垂线定理知1.EF A C ⊥（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME ，由（I ）知EN ⊥侧面1A C ，根据三垂线定理得EM AF ⊥,所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=．设,045FAC αα∠=︒<≤︒则，在Rt CNE ∆中，sin 60NE EC =⋅︒=在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ∆=⋅=中故tan NE MN θ==又0,0sin 42παα<≤∴<≤sin 2α=即当45α=时，tan θ达到最小值，tan θ==，此时F 与1C 重合．解法二：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥（II ）设(04)CF λλ=<≤平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =，则由（I ）得(0,4,)F λ，(3,3,0),(0,4,),AE AF λ== 于是由,m AE mAF ⊥⊥可得0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θtan θ，由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ 19．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ==+=，()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ∴==+=．红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35P P DEF P DEF P DEF ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.5P P D E F ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+==所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.43 1.5 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解：（I ）∵/1()f x x=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =，∴1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴/21()x g x x-=，令/()0g x =得1x =，当x ∈（0，1）时，/()0g x <，()g x 是减函数，故（0,1）是()g x 的单调减区间。

甘肃兰州一中高三数学第三次诊断考试试题理【会员独享】

甘肃省兰州一中2012年高三第三次诊断数学（理）试题第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则311i i++=（）A ．i -B ．iC ．1i -D ．12．等差数列{}n a 中，若75913a a =，则139SS =( )A ．913B ．139C ．1D ．23．函数sin(2)3y x π=+的图象可由cos 2y x =的图像经过怎样的变换得到( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位4. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 ( )A. 1-=x yB. 1+=x y C .8821+=x y D. 176=y 6．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题① 若αα//,,//m n n m 则⊂； ② 若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③ 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④ 若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是 ( ) A ．:p a b >，22:q a b > B ．:p a b >，:22a b q > Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x++>8. 已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为 ( ) AB. 15 C ．D ． 359. 将编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号， B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有 ( )A ． 42 B. 34 C ． 30 D ．2810．数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a ( )A ．8081-B ．181C ．127D ．2627-11. 点P 是双曲线12222=-by a x (0a >, 0b >)左支上的一点，其右焦点为F (,0)c ，若M为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为c 81，则双曲线的离心率e 范围是 ( )A ．]8,1(B. ]34,1(C ．)35,34(D ．]3,2(12．在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在ABCD 内运动(含边界)，设A P A D αβ=⋅+⋅，则αβ+的最大值是( )A ．43 B. 14 C ．1 D ．13第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．13．已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直， 090=∠=∠BCD ABC ，a AB =b BC =，c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .14.在2012(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于 .15. 若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -= 与直线l 一定有公共点的曲线的序号是．（写出你认为正确的所有序号）16. 对于连续函数()f x 和()g x ，函数()()f x g x -在闭区间[,]a b 上的最大值称为()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为((),()).a x bf xg x ≤≤∆则322311(, 2)32x x x x -≤≤+=∆ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图像上相邻的一个最高(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若 ())124sin ,31tan f παααα-++=+ 的值．18.（本题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，1=BD ，2=AF ，3=CE ，O 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：OC DF ⊥；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅲ）在DE 上是否存在一点P ，使CP ⊥平面DEF ？如果存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．19．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点, 乙盒中放一球,若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设x , y z 分别表示甲, 乙,丙3个盒中的球数.(Ⅰ) 求x , y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率；(Ⅱ) 记y x +=ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望． 20．（本题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）.（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .FE DP CB O A21. （本题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(Ⅰ) 证明：222313kk a +>； (Ⅱ) 若OAB CB AC ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. 22．（本题满分12分）设函数()ln f x x x =(0)x >． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小值；(Ⅱ) 设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；（Ⅲ）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<．参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上) 13. π 14. 30172- 15. ① ③ 16 .103三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：()()()()(1)sin sin ,2sin cos 0cos 00,.22,,21,cos 2f x x x x TT T f x x ωϕωϕωϕϕππϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤∴===∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则______________5分()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999αααααααααααααααα-++===+++=∴+=∴=-∴=-原式又原式 ______________10分18. 解:如图，以O 为原点，OB ，OC ，Oz 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，)0,3,0(C ，)1,0,1(D ，)3,3,0(E ，)2,0,1(-F ．……2分（Ⅰ）），，（030=，)1,0,2(-=，所以0=⋅OC DF ，即DF OC ⊥． ……4分（Ⅱ）平面ABC 的法向量为)1,0,0(=1n ．FEDP CBOA设平面DEF 的法向量为),,(z y x =2n ，)2,3,1(-=DE ．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF DE 22n n 得⎩⎨⎧=+-=++-,02,023z x z y x 所以⎩⎨⎧-==.3,2x y x z 取1=x ，得)2,3,1(-=2n ．所以222212,cos =⨯=⋅>=<212121n n n n n n ，所以平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为22． ……8分（Ⅲ）假设在DE 存在一点P ，设),,(z y x P ，因为DE DP λ=，故)2,3,1()1,,1(-=--λz y x ，所以)12,3,1(++-λλλP ，所以)12,33,1(+-+-=λλλCP ．因为CP ⊥平面DEF ，所以与平面DEF 的法向量2n 共线，所以21233311+=--=+-λλλ ，解得41=λ，所以DE DP 41==，所以22=DP ． ……12分19解：(Ⅰ) x ,y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率,即甲, 乙,丙3个盒中的球数.分别为0,1,2,此时的概率41)21(31213=⨯⨯=C p ____________5分 (Ⅱ) ξ的取值为0,1,2,3 ____________6分81)21()0(3===ξp ______________7分834181)21(31)21(61)1(213213=+=⨯⨯+⨯⨯==C C p ξ _ ____________8分8321)61(21)31(213161)2(22322333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯==C C A p ξ ______________9分81)31(6131)61()31()61()3(22322333=⨯⨯+⨯⨯++==C C p ξ ______________10分随机变量ξ的概率分布列数学期望为23=ξE _______________12分法二:把两盒的球合并成一盒.则每次掷骰子后球放入该盒中的概率213161=+=p ,且 ξ～B （3，21）,分布列见法一, 23213=⨯=ξE 20解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a . …………………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ………………………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①-②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………5分 1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………6分2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =. 那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k 0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ， ∵01>+k a ，k ≥2，∴0)1(1>-++k a k ，∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）. 显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ………………………………………8分证法二：猜想：n a n =， …………………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； …………………………………5分 (Ⅱ)假设当k n =时，k a k =. ………………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k )1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………………………………8分（Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ， ………………9分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ， …………………10分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………11分 ∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………12分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+nnx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. …………………………………9分∴121+⋅+nny ≤2121+++n ny ②当且仅当21=y 时取“=”号. …………………………………10分①+②，得（++1nx 1+ny ）12+n≤24)(n y x n +++2+=n ，当且仅当21==y x 时取“=”号. ……………………………………11分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ………………………………………12分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ………………………………………9分 ∵ab b a b a 2)(2++=+，b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2， ……………………………10分 ∴b a 22+≥ab b a 2++，∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………11分令1+=nx a ，1+=ny b ，即得11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………12分 21解：（I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=，得 .012)31(222=-+-+a y k y k ① ………………………… 3分由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得，即.313222kk a +> …………………………………………………… 5分（II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312kky y +=+因为212,2y y -==得，代入上式，得.31222k k y +-=……………8分于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=.23||32||331||32=<+=k k k k ………………10分其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即 ……………………11分由.33,312222±=+-=y k k y 可得将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………………12分22. 解：(Ⅰ)()ln 1f x x '=+(0)x >，令()0f x '=，得1x e =. ………2分 ∵当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>， ………3分 ∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e==-. ……4分 (Ⅱ)2()ln 1F x ax x =++(0)x >，2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>. ……5分① 当0≥a 时，恒有()0F x '>，()F x 在),0(+∞上是增函数； ……6分② 当0<a 时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x <<……7分令()0F x '<，得2210ax +<，解得x >………8分综上，当0≥a 时，()F x 在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，()F x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 8分（Ⅲ）证：21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--. 要证121x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于证21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，则只要证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln (1)t t t t t <-<> (*). ① 设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数， ∴ 当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>.② 设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()l n 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数，∴ 当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>.由①②知(*)成立，得证. ……12分。

2012甘肃高考理科数学试题

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BC D 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100第1/4页（6）△ABC中，AB边的高为CD ，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=(A) （B）(C)（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2012年甘肃省高三第一次诊断考试数学试卷分析

2012年甘肃省高三第二次诊断考试数学试卷分析一、试卷分析：(一)试卷整体评价试卷贯彻了《考试大纲》的基本要求，试卷中试题分值完全按照《考试大纲》中规定的选择题、填空题、解答题的分值分别占40%、13.3%、46.7%的比例设置。

题目难、中、易比例适当，贴近高考，较好的体现了试卷的评价功能及导向功能。

试卷结构与近年全国高考数学试卷（Ⅱ）完全一致，共有22道题，满分150分。

其中12道选择题共60分，4道填空题共20分，6道解答题共70分，理科试题难度与2011年高考题相当,文科略高于于2011年高考试题难度.（二）试卷内容评析本次数学试卷注重基础，突出重点．试题选材新颖，联系实际，重视对通性、通法的考查，重视对数学思想和数学方法的考查，重视对学生的数学能力考查。

12道选择题中理科第11.12题稍有难度，其他都属于基础题，只要概念清楚，公式熟，入手容易，稍加思考便知。

4道填空题 (14)(15) (16)是中档题，第(13)题需要对复数的模的概念有所掌握.大部分学生不知道概念而得零分.6道解答题文理科试题对知识点的考察顺序一致,但都在主干知识上命制，全面考察了历年高考考察的重点知识,体现了既全面又重点的原则，考查主线把握得当。

(三)与2011年省二模试题比较今年省二模试卷中试题分值与2011年省二模试题分值一致,选择题、填空题、解答题的分值分别占40%、13.3%、46.7%的比例设置，共有22道题，满分150分。

其中12道选择题共60分，4道填空题共20分，6道解答题共70分，文科试题难度略高于2011年,理科于2011年试题难度相当.今年的试题对知识的考察更灵活,尤其文科解答题考查知识的次序发生了很大的变化,能更好的检验学生的知识能力及临场的应试能力.理科题对学生的要求高于去年,对知识的细节考察更多点,要求学生不仅会做题还要做对做全.理科试卷得分情况与去年同期考试相当稍多一些,文科及格人数则有所减少.二.考生答卷情况分析(一)试卷抽样成绩分析表(文理各100份的平均得分,取近似整数)理科文科客观题解答题小计客观题解答题小计集合复数 1 1 4 4函数、不等式、导数8 6 14 11 9 20平面向量、三角9 6 15 6 6 12数列 6 5 11 5 8 13立体几何 9 9 18 8 7 15解析几何 8 1 9 8 2 10概率.二项式定理 6 0 6 5 0 5(二) 学生存在的主要问题第一轮复习刚结束，开始了二轮专题复习，计划的六个专题只有做了两个，这对学生成绩的提高来说，比第一阶段有所提高但是还是很不理想，没有对前面复习过的内容系统复习巩固，这样就造成这次考试学生成绩提高不是十分理想，而且文科试题偏难,导致及格率较低.从试卷中反映出以下几个问题:1.和前次一样学生对一些基本的概念,公式要么没记住，即便记住了，不能够灵活运用,导致复数,数列问题及部分选择题没做对.平时对已学知识复习巩固不够,一部分知识及解题方法含糊不清导致出错.2.熟练程度不够。

2012年高三诊断考试_2

2012年高三诊断考试理科综合能力测试参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共126分）一、选择题（本题包括13小题，每小题6分，共78分。

每小题只有一个选项符合题意）1．C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.D 10.B 11.C 12. B 13.A二、选择题（本题包括8个小题，每小题6分，共48分。

每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有不选或错选的得0分）14．ACD 15.AD 16.D 17.BD 18.A 19.C 20.A 21.AD第Ⅱ卷（共174分）22.（6分，每空2分） (1)0.05mm 31.25mm （2）0.920mm23.（14分，每空2分）（1）偏小；甲 (2)0.70 ，11.7（近似即可） (3)①保持R P 不变，S 2接1，记录此时两表的示数U 2、I 2 ②U 1I 1－U 2I 2 ③两次测量可消去(R A ＋R P )，避免了电表的内阻对测量结果的影响24.（15分）（1）gR v mv mgR 2,21121== ……………………………………………………………4′ （2）122121,2v v mv mv ==，Rmv mg N 2222=-，N=3mg ……………………………6′ （3）t v x gt h 22,21==， x=R 2………………….5′ 25．（17分）（1）AB l mg mg mv mv )2.0(2121202+-=-μ……………………………….….….3′ 解得：v B =m/s 10； ..………………………………………………………3′（2）ma mg mg mg =++)2.0cos (sin θμθ…………………………….….3′解得：a = 8.5m/s 2；………………………………………………………..…...3′（3）因为2100.590.8228.5B v m m a ==<⨯ 故滑不出BC,…………………………………2′ 又因为下滑加速度0/5.3)2.0cos (sin 2>=+-=s m mg mg mg a θμθ……….1′所以能第二次到达B 点。

兰州市二诊数学答案

高三实战数学答案第1页2012年高三实战考试数学参考答案与评分参考一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.理科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 文科（1）B （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）A （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）（理、文）2 （14）42 （15）R 3π（16）22525(2)()24x y +++=三、解答题：本大题共6小题，共70分. （17）理科解：(Ⅰ)∵24cos cos 9sin b A B a B =∴4cos cos 9sin sin A B A B = ……………………3分显然cos cos 0A B ≠ ∴4tan tan 9A B ⋅=……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，4tan tan 09A B ⋅=>，故有tan 0A >，tan 0B >∴4tan tan 3A B +≥= ……………………6分∵tan tan 9tan tan[()]tan()(tan tan )1tan tan 5A B C A B A B A B A Bπ+=-+=-+=-=-+-91255≤-⨯=-……………………8分当且仅当tan tan A B =，即A B =时，tan C 取得最大值125-，此时A B C ∆为等腰三角高三实战数学答案第2页形． ……………………10分文科解：设数列{}n a 的公差为d ，首项为1a∵60S = ∴1250a d += ① ……………………3分又∵77S = ∴131a d += ② ……………………6分由①②解得15a =-，2d = ……………………8分所以数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-…………………10分（18）理科解：（Ⅰ）事件A 、B 、C 中至少有两件发生的概率为()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+211522⨯⨯+3111152220⨯⨯= ………………6分（Ⅱ）ξ取的可能结果为0,1,2,3,则(0)()()()P P A P B P C ξ===211215222010⨯⨯==(1)()()()()()()()()()P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ξ==++311522=⨯⨯+211522⨯⨯+211752220⨯⨯=(2)()()()()()()()()()P P A P B P C P A P B P C P A P B P C ξ==++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+21182522205⨯⨯==3113(3)()()()52220P P A P B P C ξ===⨯⨯= ……………………10分数学期望E ξ=1010⨯+7120⨯+225⨯+383205⨯=……………………12分文科解：(Ⅰ)∵24cos cos 9sin b A B a B =高三实战数学答案第3页∴4cos cos 9sin sin A B A B = ……………………3分显然cos cos 0A B ≠ ∴4tan tan 9A B ⋅=……………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，4tan tan 09A B ⋅=>，故有tan 0A >，tan 0B >∴4tan tan 3A B +≥= ………………8分∵tan tan 9tan tan[()]tan()(tan tan )1tan tan 5A B C A B A B A B A Bπ+=-+=-+=-=-+-91255≤-⨯=-……………………10分当且仅当tan tan A B =，即A B =时，tan C 取得最大值125-，此时A B C ∆为等腰三角形． ……………………12分（19）理科解法一（Ⅰ）证明：∵A E ⊥平面ABC ，B D ⊥平面ABC∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D∴A E ∥平面BC D ………………5分（Ⅱ）∵B D ⊥平面ABC∴平面BC D ⊥平面ABC在平面BC D 中过点M 做M N B C ⊥，垂足为N ，则有M N ⊥平面ABC ， M N ∥B D ，∴2E M N π∠=且M N ∥A E过N 做N G A B ⊥于G ，连接M G 则M G AB ⊥，所以M G N ∠为二面角M A B C--的一个平面角 ………………7分在四边形A E M N 中CAEDBMNG高三实战数学答案第4页∵ 2E A N A N M N M E π∠=∠=∠=∴四边形A E M N 为矩形 ∴M N =1A E =∴M 为C D 的中点，N 为B C 的中点 ………………10分在Rt M N G ∆中，1M N =，sin 2N G BN ABC =⋅∠=∴tan 32M N M G N N G∠===………………12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则(,0,0,0)A，(1,0)B ，(2,0,0)C，(1,2)D (0,0,1)E（Ⅰ）∵(0,0,1)AE =uuu r(11,20)BD =---=uuu r∴2BD AE =uuu r uuu r∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC ∴A E ∥平面BC D （Ⅱ）∵M 在D C 上∴C M C D λ=uuu r uuu r设(,,)M x y z ，则有2x λ=-，y =，2z λ=∴(2,21)EM λλ=--uuu r∵EM BD ⊥∴(2)00(21)20EM BD λλ⋅=-⨯+⨯+-⨯=uuu r uuu r解得：12λ=高三实战数学答案第5页∴3(22M依题意(0,0,1)AE =uuu r 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z '''=r为平面M A B 的一个法向量，则有n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuur r即03022x x y z ⎧''+=⎪⎨'''++=⎪⎩令x '=1y =-，z '=∴1,n =-r∴cos ,||||n AE n AE n AE ⋅<>===-⋅uuu r r uuu r r uuu r r显然，二面角M A B C --为锐二面角，所以二面角M A B C --∴二面角M A B C --3文科解：（Ⅰ）事件A 、B 、C 中至少有两件发生的概率为()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++311311522522=⨯⨯+⨯⨯+211522⨯⨯+3111152220⨯⨯= ……………………6分（Ⅱ）依题意有2()()()()()()()()()5P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++≥……………………9分即3131(1)5252p p ⨯⨯-+⨯⨯+212525p ⨯⨯≥解得12p ≥………………11分所以p 的取值范围是1[,1]2…………………12分（20）理科高三实战数学答案第6页解：(Ⅰ)由12121nna a a n =++++ 得：12(21)n a a a n n +++=+ ，即22n S n n =+ ……………………3分 ∴当2n ≥时，1(21)(1)(21)41n n n a S S n n n n n -=-=+---=-又1n =时，113a S ==∴41n a n =-()n N *∈ ……………………6分(Ⅱ)假设存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切n N *∈都有()0f x ≤成立，即有1102ni i x b =+-≤∑成立∴当x λ≤时，对一切n N *∈都有112nii x b=+≤∑成立…………8分∵161616(1)(5)(411)(415)4(44)n n n b a a n n n n ===++-+-++111(1)1n n nn ==-++∴111111111()()()112231112ni i n b nn n n ==-+-++-=-=≥+++∑ ………10分∴当x λ≤时，对一切n N *∈都有1122x +≤成立，解得0x ≤∴可取0λ=，当x λ≤时，对一切n N *∈都有()0f x ≤成立…………12分文科解法一（Ⅰ）证明：∵A E ⊥平面ABC ，B D ⊥平面ABC∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D∴A E ∥平面BC D ………………5分高三实战数学答案第7页（Ⅱ）∵B D ⊥平面ABC∴平面BC D ⊥平面ABC在平面BC D 中过点M 做M N B C ⊥，垂足为N ，则有M N ⊥平面ABC ， M N ∥B D ，∴2E M N π∠=且M N ∥A E过N 做N G A B ⊥于G ，连接M G 则M G AB ⊥，所以M G N ∠为二面角M A B C--的一个平面角 ………………7分在四边形A E M N 中∵ 2E A N A N M N M E π∠=∠=∠=∴四边形A E M N 为矩形 ∴M N =1A E =∴M 为C D 的中点，N 为B C 的中点 ………………10分在Rt M N G ∆中，1M N =，sin 2N G BN ABC =⋅∠=∴tan 32M N M G N N G∠===………………12分解法二依题意建立如图所示空间直角坐标系，则(,0,0,0)A，(1,0)B ，(2,0,0)C，(1,2)D (0,0,1)E（Ⅰ）∵(0,0,1)AE =uuu r(11,20)BD =---=uuu r∴2BD AE =uuu r uuu r∴A E ∥B D 而A E ⊄平面BC D B D ⊂平面BC D ∴A E ∥平面BC D （Ⅱ）∵M 在D C 上CAEDBMNG D高三实战数学答案第8页∴C M C D λ=uuu r uuu r设(,,)M x y z ，则有2x λ=-，y =，2z λ=∴(2,21)EM λλ=--uuu r∵EM BD ⊥∴(2)00(21)20EM BD λλ⋅=-⨯+⨯+-⨯=uuu r uuu r解得：12λ=∴3(22M依题意(0,0,1)AE =uuu r 为平面ABC 的一个法向量，设(,,)n x y z '''=r为平面M A B 的一个法向量，则有n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuur r即03022x x y z ⎧''+=⎪⎨'''++=⎪⎩令x '=1y =-，z '=∴1,n =-r∴00(1)1(AE n ⋅=⨯+⨯-+⨯=uuu r r∴cos ,||||n AE n AE n AE ⋅<>===-⋅uuu r r uuu r r uuu r r显然，二面角M A B C --为锐二面角，所以二面角M A B C --∴二面角M A B C --3（21）理科高三实战数学答案第9页解：（Ⅰ）依题意有：2c a=，22231ab-=且222c a b =+所以21a =，23b =双曲线C 的方程为2213yx -= ………4分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线l 不存在．②若直线l 的斜率为0，则线段A B 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在． ③若直线l的斜率为，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线l 不存在．④若直线l 的斜率存在，且不为0不为时设为k ，则直线l 的方程为1y kx =- ………6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22113y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2(3)240k x kx -+-=22416(3)0k k ∆=+->22k ⇒-<< ………7分2)3k x k --若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以2222133k k k k =⋅---解得21k =-，这矛盾． ………11分综上，不存在满足条件的直线 ………12分高三实战数学答案第10页文科解：（Ⅰ）∵22224()343()33a a f x x axb x b '=++=+-+∴2433a -=24133a b -+=-解得2a =- 5b = ………3分∴32()452f x x x x =-+- 2()385(35)(1)f x x x x x '=-+=-- ∴当1x <或53x >时，()0f x '>，故函数()y f x =在(,1]-∞或5[,)3+∞上单调递增当513x <<时，()0f x '<，故函数()y f x =在5[1,]3上单调递减∴1x =时，函数()y f x =取得极大值(1)14520f =-+-=53x =时，函数()y f x =取得极小值3255554()()4()52333327f =-+⨯-=-……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-∴ 32()()392f x g x x x x m +=--+-令()()()h x f x g x =+，则2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-∴函数()h x 在(,1]-∞-上单调递增，在[1,3]-上单调递减，在[3,)+∞上单调递增 ∴()(1)3h x h m =-=+极大值，()(3)-29h x h m ==极小值 ………9分 ∵方程()()0f x g x +=只有一个实根∴30290m m +>⎧⎨->⎩ 或30290m m +<⎧⎨-<⎩ 解得3m <-或29m >∴m 的取值范围是(,3)(29,)-∞-⋃+∞ ………12分（22）理科解：（Ⅰ）依题意()21f x x '=-∴232()ln ()()ln ()(21)23ln g x x f x f x x x x x x x x x '=-=---=-+-+高三实战数学答案第11页∴221(1)(61)()661x x g x x x xx-+'=-+-=………3分∵()g x 的定义域为(0,)+∞ ∴0162>+xx∴当01x <<时，()0g x '>；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '<． ∴()g x 在(0,1]上是增函数，在[1,)+∞上是减函数．∴当1x =时，()g x 取得最大值(1)0g = ………6分(Ⅱ)∵ )1(2)1(11)1()(222xx xx xxx x xf x f +--+=-+-=+∴不等式11()()()ln f x f x m xx+≥+⋅可化为2111()2()()ln x x x m xx x+--+≥+⋅∵0x > ∴21≥+xx (当且仅当1x =时取“=”)设t xx =+1(2t ≥)则可得22ln t t t m --≥∴ 2ln 1m t t≤--(2t ≥) ………10分∵12--t t 在[2,)+∞上是增函数 ∴12--tt 的最小值为01222=--∴ln 0m ≤∴01m <≤ ………12分文科解：（Ⅰ）依题意有：2c a =，22231ab-=且222c a b =+所以21a =，23b =双曲线C 的方程为2213yx -= ………4分（Ⅱ）①若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线C 没有交点，故满足条件的直线l 不存在．高三实战数学答案第12页②若直线l 的斜率为0，则线段A B 为y 轴平行；不满足条件，直线l 不存在． ③若直线l的斜率为，则直线l 与双曲线C 的渐近线平行，故满足条件的直线l 不存在．④若直线l 的斜率存在，且不为0不为时设为k ，则直线l 的方程为1y kx =- ………6分设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由22113y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得2(3)240k x kx -+-=22416(3)0k k ∆=+->22k ⇒-<< ………7分2)3kx k -- 若四边形APBQ 为菱形，则线段PQ 的中点在直线l 上，所以2222133k k k k =⋅---解得21k =-，这矛盾． ………11分综上，不存在满足条件的直线 ………12分。

甘肃省西北师大附中2012届高三诊断考试数学理试题

西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）＝P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)kn k n n P k C P -=-球的表面积公式24S R π=, 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球半径。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意。

） 1. 若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为 A.-7 B.17-C.7D.7-或17- 2．抛物线22y x =-的准线方程是A.12x =B. 18x =C.12y = D . 18y = 3. 设函数32()331f x x x x =-+-，则)(x f 的反函数)(1x f-为A. 1()1)f x x R -=+∈ B. 1()10)f x x -=+≥C. 1()1)f x x R -=-∈ D. 1()10)f x x -=≥4. “cos α =35”是“cos2α= -725”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为 A ．022=-+y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ． 022=+-y x6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于7.△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA AB AC ++=0， ||||OA AB =，则CAC B ⋅等于A.323 D.8. 函数x x x f sin cos )(-=, 把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ= (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 A ．2πB ．23πC ．πD ．43π9. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有A.5858A A 种 B. 812A 种 C. 8188A C 种 D.8189A C 种10．已知偶函数f ( x )对任意的x ∈R 满足f ( 2 + x ) = f ( 2 – x )，且当20x -≤≤时，f ( x ) =log 2( 1 – x )，则f ( 2011 )的值是A ．2012B ．2C ．1D ．011．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为 A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：112．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是A.(0,)+∞B.1(,)3+∞ C. 1(,)5+∞ D. 1(,)9+∞ 二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。

甘肃兰州一中2012届高三第三次诊断考试数学理试题

甘肃省兰州一中 2012年高三第三次诊断数学（理）试题第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则311i i++=（）A ．i -B ．iC ．1i -D ．12．等差数列{}n a 中，若75913a a =，则139SS =( )A ．913B ．139C ．1D ．23．函数sin(2)3y x π=+的图象可由cos 2y x =的图像经过怎样的变换得到 ( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位4. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为 ( )A. 1-=x yB. 1+=x y C .8821+=x y D. 176=y6．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题① 若αα//,,//m n n m 则⊂； ② 若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③ 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④ 若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47. 下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是 ( ) A ．:p a b >，22:q a b > B ．:p a b >，:22abq >Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x++>8. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为 ( ) A．10 B. 15 C ．10 D ． 359. 将编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号， B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有 ( )A ． 42 B. 34 C ． 30 D ．2810．数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a ( ) A ．8081- B ．181 C ．127 D ．2627-11. 点P 是双曲线12222=-by a x (0a >, 0b >)左支上的一点，其右焦点为F (,0)c ，若M为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为c 81，则双曲线的离心率e 范围是 ( )A ．]8,1(B. ]34,1(C ．)35,34(D ．]3,2(12．在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在ABCD 内运动(含边界)，设AP AD AB αβ=⋅+⋅，则αβ+的最大值是 ( )A ．43 B. 14 C ．1 D ．13第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．13．已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直， 090=∠=∠BCD ABC ，a AB =b BC =，c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .14.在2012(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于 .15. 若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是．（写出你认为正确的所有序号）16. 对于连续函数()f x 和()g x ，函数()()f x g x -在闭区间[,]a b 上的最大值称为()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为((),()).a x bf xg x ≤≤∆则322311(, 2)32x x x x -≤≤+=∆ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图像上相邻的一个最高(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)若 ())124sin ,31tan f παααα-++=+ 的值．18.（本题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，1=BD ，2=AF ，3=CE ，O 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：OC DF ⊥；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值；（Ⅲ）在DE 上是否存在一点P ，使CP ⊥平面DEF ？如果存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．19．（本题满分12分）在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点, 乙盒中放一球,若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设x , y z 分别表示甲, 乙,丙3个盒中的球数.(Ⅰ) 求x , y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率；(Ⅱ) 记y x +=ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．（本题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）.（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .FEDP CB O A21. （本题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．(Ⅰ) 证明：222313k k a +>；(Ⅱ) 若OAB ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.22．（本题满分12分）设函数()ln f x x x =(0)x >． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小值；(Ⅱ) 设2()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；（Ⅲ）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<．参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上)13. π 14. 30172- 15. ① ③ 16 .103三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：()()()()(1)sin sin ,2sin cos 0cos 00,.22,,21,cos 2f x x x x TT T f x x ωϕωϕωϕϕππϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤∴===∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则______________5分()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999αααααααααααααααα-++===+++=∴+=∴=-∴=-原式又原式 ______________10分18. 解:如图，以O 为原点，OB ，OC ，Oz 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，)0,3,0(C ，)1,0,1(D ，)3,3,0(E ，)2,0,1(-F ． ……2分（Ⅰ）），，（030=，)1,0,2(-=DF ，FEP所以0=⋅，即DF OC ⊥．……4分（Ⅱ）平面ABC 的法向量为)1,0,0(=1n ．设平面DEF 的法向量为),,(z y x =2n ，)2,3,1(-=DE ．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF DE 22n n 得⎩⎨⎧=+-=++-,02,023z x z y x 所以⎩⎨⎧-==.3,2x y x z 取1=x ，得)2,3,1(-=2n ．所以222212,cos =⨯=⋅>=<212121n n n n n n ，所以平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为22． ……8分（Ⅲ）假设在DE 存在一点P ，设),,(z y x P ，因为DE DP λ=，故)2,3,1()1,,1(-=--λz y x ，所以)12,3,1(++-λλλP ，所以)12,33,1(+-+-=λλλCP ．因为CP ⊥平面DEF ，所以与平面DEF 的法向量2n 共线，所以21233311+=--=+-λλλ ，解得41=λ，所以DE DP 41==，所以22=DP ． ……12分19解：(Ⅰ) x ,y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率,即甲, 乙,丙3个盒中的球数.分别为0,1,2,此时的概率41)21(31213=⨯⨯=C p ____________5分 (Ⅱ)ξ的取值为0,1,2,3 ____________6分81)21()0(3===ξp ______________7分834181)21(31)21(61)1(213213=+=⨯⨯+⨯⨯==C C p ξ _ ____________8分8321)61(21)31(213161)2(22322333=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯==C C A p ξ ______________9分81)31(6131)61()31()61()3(22322333=⨯⨯+⨯⨯++==C C p ξ ______________10分随机变量ξ的概率分布列数学期望为23=ξE _______________12分法二:把两盒的球合并成一盒.则每次掷骰子后球放入该盒中的概率213161=+=p ,且 ξ～B （3，21）,分布列见法一, 23213=⨯=ξE20解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22)(212233212221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a . …………………………3分（Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ………………………………4分由 n a S n n +=22 ① 可知，当n ≥2时，)1(2211-+=--n a S n n ②①-②，得 12212+-=-n n n a a a ，即12212-+=-n n n a a a . ………………5分1）当2=n 时，1122222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………6分 2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =.那么当1+=k n 时，122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k 0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ， ∵01>+k a ，k ≥2，∴0)1(1>-++k a k ， ∴11+=+k a k .这就是说，当1+=k n 时也成立，∴n a n =（n ≥2）. 显然1=n 时，也适合.故对于n ∈N*，均有n a n =. ………………………………………8分证法二：猜想：n a n =， …………………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； …………………………………5分 (Ⅱ)假设当k n =时，k a k =. ………………………………6分那么当1+=k n 时，12211++=++k a S k k .∴1)(2211++=+++k a S a k k k ，∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(221+-++=+k k k a k )1(221-+=+k a k（以下同证法一） ………………………………………8分（Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ， ………………9分即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ， …………………10分将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………11分 ∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤212=+y x , 即xy ≤41，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………12分证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴121+⋅+nnx ≤2121+++n nx ①当且仅当21=x 时取“=”号. …………………………………9分∴121+⋅+n ny ≤2121+++nny ② 当且仅当21=y 时取“=”号. …………………………………10分①+②，得（++1nx 1+ny ）12+n ≤24)(n y x n +++2+=n ，当且仅当21==y x 时取“=”号. ……………………………………11分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ………………………………………12分证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ………………………………………9分∵ab b a b a 2)(2++=+，b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2， ……………………………10分 ∴b a 22+≥ab b a 2++，∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………11分令1+=nx a ，1+=ny b ，即得11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，当且仅当1+nx 1+=ny 即21==y x 时取等号. ………………………12分 21解：（I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=，得 .012)31(222=-+-+a y k y k ① ………………………… 3分由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得，即.313222k k a +> …………………………………………………… 5分（II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312kk y y +=+ 因为212,2y y -==得，代入上式，得.31222kk y +-= ……………8分于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅= .23||32||331||32=<+=k k k k ………………10分其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即 ……………………11分由.33,312222±=+-=y k k y 可得将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………………12分22. 解：(Ⅰ)()ln 1f x x '=+(0)x >，令()0f x '=，得1x e =. ………2分 ∵当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>， ………3分 ∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e==-. ……4分 (Ⅱ)2()ln 1F x ax x =++(0)x >，2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>. ……5分① 当0≥a 时，恒有()0F x '>，()F x 在),0(+∞上是增函数； ……6分② 当0<a 时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << ……7分令()0F x '<，得2210ax +<，解得x >. ………8分综上，当0≥a 时，()F x 在),0(+∞上是增函数；当0<a 时，()F x在上单调递增，在)+∞上单调递减. 8分（Ⅲ）证：21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--. 要证121x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于证21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，则只要证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln (1)t t t t t <-<> (*). ① 设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数， ∴ 当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>.② 设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()l n 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数， ∴ 当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>. 由①②知(*)成立，得证. ……12分。

甘肃省西北师大附中高三数学诊断考试试题理

西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B）＝P （A ）·P（B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)kn k n nP k C P -=- 球的表面积公式24S R π=, 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球半径。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意。

） 1. 若34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan()4πθ-的值为 A.-7 B.17-C.7D.7-或17- 2．抛物线22y x =-的准线方程是A.12x =B. 18x =C.12y = D . 18y = 3. 设函数32()331f x x x x =-+-，则)(x f 的反函数)(1x f-为A. 1()1)f x x R -=∈B. 1()10)f x x -=≥C. 1()1)f x x R -=∈D. 1()10)f x x -=≥ 4. “cos α =35”是“cos2α= -725”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 过点（0,1）且与曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为 A ．022=-+y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ． 022=+-y x6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于7.△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2O A A B A C ++=0， ||||OA AB =，则C AC B ⋅等于A.323 D.8. 函数x x x f sin cos )(-=, 把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ= (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为 A ．2πB ．23πC ．πD ．43π9. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有A.5858A A 种B. 812A 种C. 8188A C 种D.8189A C 种10．已知偶函数f ( x )对任意的x ∈R 满足f ( 2 + x ) = f ( 2 – x )，且当20x -≤≤时，f ( x ) = log 2( 1 – x )，则f ( 2011 )的值是 A ．2012 B ．2 C ．1 D ．011．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为 A. 3 ：1 B . 4 ：1 C . 5 ：1 D. 6 ：112．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是A.(0,)+∞B.1(,)3+∞ C. 1(,)5+∞ D. 1(,)9+∞ 二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分。

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