2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 直线和圆的位置关系 (第2课时)
新人教版九年级数学上册第24章《圆》单元教学设计
第二十四章圆单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用． 12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：24．1 圆 3课时24．2 与圆有关的位置关系 4课时24．3 正多边形和圆 1课时24．4 弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章24.2.2 直线和圆的位置关系教案-word文档资料
《直线和圆的位置关系》教学设计一、教学目标：（1）知识目标：a、知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
b、根据定义来判断直线和圆的位置关系，会根据直线和圆相切的定义画出已知圆的切线。
c、根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置。
2）能力目标：让学生通过观察、看图、列表、分析、对比，能找出圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系，揭示直线和圆的关系。
此外，通过直线与圆的相对运动，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点，通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和归纳的思想的认识。
3）情感目标：在解决问题中，教师创设情境导入新课，以观察素材入手,像一轮红日从海平面升起的图片，提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象出几何图形，再表示出来。
让学生感受到实际生活中，存在的直线和圆的三种位置关系，便于学生用运动的观点观察圆与直线的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆的公共点的变化。
二、教材的重点难点直线和圆的三种位置关系是重点，本课的难点是直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
三、教学设计（一）、创设情境，引入新知：师：上课生：起立，老师好！师：同学们好，请坐。
太阳每天从东方升起，给地球万物带来蓬勃生机，也引发了许多文人墨客的纷纷赞美，而巴金先生的一篇《海上日出》，更是脍炙人口，下面请欣赏一下海上日出的壮丽景色。
（课件演示：海上日出）师：同学们就像早晨的太阳，充满朝气，富有青春活力。
那么，我们能否从数学的角度来观察，你能发现哪些所熟悉的几何图形呢？生：太阳就像一个圆。
师：那么，海平面呢？生：像一条直线。
（教师在多媒体上画圆和直线）师：那么直线和圆有什么样的关系呢？这节课我们便来研究一下直线和圆的位置关系。
（板书课题）师：在学习新内容之前，请先看一下本节课的学习目标。
谁能来读一下。
（一学生读学习目标）师：目标是我们前进的动力和力量的源泉，让我们带着目标动手操作一下。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时教案
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时教案一. 教材分析本节课主要讲述的是点和圆、直线和圆的位置关系。
通过学习，让学生了解点和圆、直线和圆之间的相互关系，掌握判断点和圆、直线和圆位置关系的方法，为后续解决相关问题打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了点、直线、圆的基本概念，对本节课的内容有一定的认知基础。
但学生对于点和圆、直线和圆的位置关系的判断方法还需要进一步引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生掌握点和圆、直线和圆的位置关系及其判断方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：掌握点和圆、直线和圆的位置关系及其判断方法。
2.难点：如何判断直线和圆的位置关系，以及如何运用这些知识解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，从而达到对本节课内容的理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关课件、教学素材。
2.布置预习任务，让学生提前了解本节课的内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾之前所学的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，我们已经学习了点、直线、圆的基本概念，那么点和圆、直线和圆之间有什么关系呢？”2.呈现（10分钟）展示PPT，介绍点和圆、直线和圆的位置关系。
通过具体案例分析，让学生了解点和圆、直线和圆之间的相互关系，以及如何判断它们的位置关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，判断实例中点和圆、直线和圆的位置关系，并说明判断方法。
教师巡回指导，纠正错误，解答疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验对点和圆、直线和圆位置关系的掌握程度。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。
5.拓展（10分钟）引导学生运用所学知识解决实际问题。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章 圆直线和圆的位置关系 (第1课时)教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第1课时）一、教学目标【知识与技能】掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.【过程与方法】通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】直线与圆的三种位置关系及其数量关系.【教学难点】通过数量关系判断直线与圆的位置关系.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？（出示课件2）解决这个问题要研究直线和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一用公共点个数判断直线与圆的位置关系教师问：如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？（出示课件4）学生交流，回答问题：有三种位置关系.教师问：如图，在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点的个数吗？（出示课件5）学生交流，回答问题：0个，1个，2个.教师问：请同学在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？（出示课件6）学生交流，回答问题：公共点个数最少时0个，公共点个数最多时2个.出示课件7：教师展示切割钢管过程，学生观察并填表.出示课件8：填一填：（教师引导学生构建并填写表格，帮助学生理清知识脉络）教师归纳：（出示课件9）直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）.练一练：判断正误.（出示课件10）（1）直线与圆最多有两个公共点.（2）若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.（3）若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.（4）若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.（5）直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.学生独立思考后口答：⑴√⑵×⑶×⑷×⑸×探究二用数量关系判断直线与圆的位置关系教师问：同学们用直尺在圆上移动的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？（出示课件11）学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.教师问：怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？（出示课件12）学生讨论，归纳总结答案后教师归纳：根据直线和圆相交、相切、相离的定义：直线和⊙O d＜r；直线和⊙O d＞r；直线和⊙O d = r.教师演示：根据直线和圆相切的定义，经过点A用直尺近似地画出⊙O的切线.（出示课件13）学生根据教师演示进行操作.教师归纳：（出示课件14）直线和⊙O d＜r 两个直线和⊙O d＞r 0个直线和⊙O d=r 1个位置关系公共点个数出示课件15-17：例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．教师分析：要了解AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心C 到AB 的距离d 与r 的关系．已知r ，只需求出C 到AB 的距离d.师生共同解决如下：解：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D.在△ABC 中，==5（cm ）.根据三角形的面积公式有1122CD AB AC BC ⨯=⨯.∴342.4(cm),5AC BC CD AB ⨯⨯===即圆心C 到AB 的距离d=2.4cm.所以(1)当r=2cm 时,有d>r,因此⊙C 和AB 相离.(1) （2） （3） （2）当r=2.4cm 时,有d=r ，因此⊙C 和AB 相切. （3）当r=3cm 时，有d<r ，因此⊙C 和AB 相交. 巩固练习：（出示课件18-20）1.Rt △ABC,∠C=90°AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心画圆，当半径r 为何值时，圆C 与直线AB 没有公共点？学生独立思考后独立解答.解：当0cm＜r＜2.4cm或r＞4cm时,⊙C与线段AB没有公共点.2.Rt△ABC,∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心画圆，当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？学生独立思考后独立解答.解：当r=2.4cm或3cm＜r≤4cm时,⊙C与线段AB有一个公共点.当2.4cm＜r≤3cm时,⊙C与线段AB有两公共点.3.圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是（1）4.5cm ；（2）6.5cm；（3）8cm；那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？学生独立思考后一生板演.解：如图所示.（1）圆心距d=4.5cm＜r=6.5cm时，直线与圆相交，有两个公共点；（2）圆心距d=6.5cm=r=6.5cm时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）圆心距d=8cm＞r=6.5cm时，直线与圆相离，没有公共点.出示课件21：例2 如图，Rt △ABC 的斜边AB=10cm,∠A=30°.学生独立思考后师生共同解答. 解：过点C 作边AB 上的高CD. ∵∠A=30°，AB=10cm,15cm.2BC AB ==在Rt △BCD 中，有1 2.5cm,2BD BC CD ====时，AB 与☉C 相切. 巩固练习：（出示课件22）如图，已知∠AOB=30°，M 为OB 上一点，且 OM=5cm ，以M 为圆心、r 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2cm ；(2)r=4cm ；(3)r=2.5cm.学生思考后自主解答.解：(1)相离；(2)相交；(3)相切. （三）课堂练习（出示课件23-29）1.已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O 的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定2.已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为________．3.看图判断直线l与☉O的位置关系？4.直线和圆相交，圆的半径为r,且圆心到直线的距离为5，则有（）A.r<5B.r>5C.r=5D.r≥55.☉O的最大弦长为8，若圆心O到直线l的距离为d=5，则直线l与☉O______.6.☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（）A.相交或相切B.相交或相离C.相切或相离D.上三种情况都有可能7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为( )A．(－1，－2) B．(1，2)C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)8.已知☉O的半径r=7cm,直线l1//l2,且l1与☉O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.参考答案：1.B2.13m0<<23.解:⑴相离；⑵相交；⑶相切；⑷相交；⑸相交.4.B5.相离6.A7.A8.解：（1）l2与l1在圆的同一侧：m=9-7=2cm；（2）l2与l1在圆的两侧：m=9+7=16cm.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从生活中的常见情况引出了直线和圆的位置关系，并且从两个不同方面去判定直线与圆的三种关系，让学生讨论并归纳总结常用的直线和圆位置关系的判定方法，让学生领会该判定方法的实质是看直线到圆心的距离与半径的大小.对于该判定方法，学生一般能够熟记图形，以数形结合的方法理解并记忆.。
人教版九年级数学上册24.2直线与圆的位置关系(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调几何法和代数法判断直线与圆位置关系这两个重点。对于难点部分，比如圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直线与圆位置关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示直线与圆相切、相交的基本原理。
其次，实践活动中的小组讨论非常热烈，大家积极参与，提出了不少有见地的观点。但在实验操作环节，我发现有些小组在进行操作时，对一些基本原理掌握得并不是很牢固。这说明我在教学中还需要加强对基本概念和原理的强调，确保学生能够扎实掌握。
此外，在小组讨论中，我也发现了学生之间的交流合作能力有待提高。有些同学在讨论中显得比较被动，这可能是因为他们对问题的理解不够深入，或者是对如何表达自己的观点感到困惑。针对这一点，我打算在接下来的课程中，多组织一些小组活动，鼓励学生主动参与，提高他们的表达能力和团队合作精神。
3.探索圆的切线方程的求法。
4.应用直线与圆的位置关系解决实际问题。
本节课旨在帮助学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，并能运用相关知识解决实际问题，提高学生的几何逻辑思维和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识分析问题的能力，通过探究直线与圆的位置关系，提高学生的空间想象力和几何直观。
人教版九年级数学上册24.2直线与圆的位置关系（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册第24.2节，本节课主要教学内容包括：
最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案(第2课时)
第2课时切线的判定和性质教学目标1．理解并能熟练运用切线的性质定理和判定定理．2．掌握切线长定理及其应用．3．会作三角形内切圆并能够解决一些数学问题．教学重难点切线的判定定理，切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的问题，切线长定理的初步运用．教学过程导入新课〈方式1〉下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们要研究的直线和圆相切的情况．〈方式2〉1．复习、回顾直线和圆的三种位置关系．2．如图所示的图形，请学生判断直线和圆的位置关系．学生判断的过程中，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线和圆是否只有一个公共点？根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其他方法．推进新课一、合作探究(一)切线的判定定理1．做一做：任意画⊙O，作⊙O的一条半径OA，过点A作OA的垂线l，观察并确定直线l和⊙O的位置关系．2．议一议：由以上做法讨论如何判定一条直线是圆的切线．3．结论：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．4．议一议：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，应该如何证明？归纳：应分为两步：(1)直线经过半径的外端点；(2)直线垂直于这条半径．(二)切线的性质定理议一议：如果知道直线是切线，有什么性质呢？分析：实际上，如图，CD是切线，A是切点，连接AO与⊙O交于点B，那么直线AB 是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC＝∠BAD＝90°.因此，我们有切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．(三)切线长定理1．做一做：我们知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B．议一议：这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系．2．结论：(1)切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．思考：如何证明以上定理？(四)三角形的内切圆1．做一做：已知△ABC，作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质？2．议一议：若以△ABC内角平分线的交点为圆心，以该交点到三角形一边的距离为半径画圆，这个圆与△ABC的三边有什么关系？3．相关概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．二、应用迁移1．切线的判定与性质如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．(1)CD和⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．(2)若CD和⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．分析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，因为C点已在圆上，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C．(2)由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°，得BC=BD=10.解：(1)CD和⊙O相切．理由：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠OCA+∠OCB=90°.∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A，∴∠OCA=∠DCB．∴∠OCD=90°.又C点在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．(2)在Rt△OCD中，∠D=30°，∴∠COD=60°.∴∠A=30°.∴∠BCD=30°.∴BC=BD=10.∴AB=20.∴r=10.点拨：证明一条直线是圆的切线时，若已知直线和圆的交点，则证明直线和过交点的半径垂直；若不知道交点，则过圆心作直线的垂线段，然后证明垂线段是半径．2．切线长定理如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6，求内切圆的半径r.分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，就需添加辅助线，如果连接AO ，BO ，CO ，就可把三角形ABC 分为三块，那么就可解决．解：连接AO ，BO ，CO.∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D ，E ，F 是切点，∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2.∴AB=4，BC=5，AC=3.又∵S △ABC =6， ∴1(453)2r ++=6. ∴r =1.三、巩固提高1．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则这点到圆的最短距离为( )．A ．93B ．9(3－1)C ．9(5－1)D ．9答案：C2．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，过点P 的任一直线交⊙O 于B ，C ，连接AB ，AC ，连接PO 交⊙O 于D ，E.(1)求证：∠PAB ＝∠C ．(2)如果PA 2＝PD·PE ，那么当PA ＝2，PD ＝1时，求⊙O 的半径．(1)证明：作直径AF ，连接BF.∴∠FBA ＝90°.∴∠F ＋∠BAF ＝90°.又∵PA 是⊙O 的切线，AF 为直径，∴FA ⊥PA ．∴∠PAB ＋∠BAF ＝90°.∴∠PAB ＝∠F.又∵∠F ＝∠C ，∴∠PAB ＝∠C ．(2)解：把PA ＝2，PD ＝1代入PA 2＝PD·PE ，得PE ＝4.∴DE ＝PE －PD ＝3.∴⊙O 的半径为32＝1.5. 本课小结1．本节课所学的定理是：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2．应用上面的知识解决实际问题．。
24.2.2 直线和圆的位置关系(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.2.2 直线和圆的位置关系（第一课时），内容包括：直线和圆的位置关系.2.内容解析本节课是在学生已经学习了点和圆的位置关系后，对直线和圆的位置关系进行探索．为后续学习切线判断定理打好基础．直线与圆的位置关系从两个方面去刻画：一是通过再现海上日出的过程中，探索直线与圆的公共点的个数，将直线与圆的位置分为相交、相切、相离三种情况；二是通过比较直线与圆心的距离与半径，对直线与圆的位置进行分类，二者之间相互对应，相互联系．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：探索直线和圆的位置关系.二、目标和目标解析1.目标1)理解直线和圆的三种位置关系．2)经历类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系，体会类比思想，分类思想以及数形结合思想．2.目标解析达成目标1）的标志是：会根据交点个数及数量关系判断直线和圆的位置关系会运用它解决一些实际问题．达成目标2）的标志是：经历类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系.三、教学问题诊断分析在研究直线和圆的位置关系中，学生不容易想到去类比探索点和圆位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系．此外，在对直线和圆的位置关系进行分类时，需要学生具备运动的观点和一定的分类标准，部分学生可能也会存在困难．本节课的教学难点是：类比点和圆的位置关系的过程，探索直线和圆的位置关系.四、教学过程设计（一）复习巩固【提问】点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断呢？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．【设计意图】通过回顾点和圆的位置关系，为本节课探究直线和圆的位置关系打好基础.（二）探究新知[诗词欣赏]晓日天际霞光入水中，水中天际一时红。
直须日观三更后，首送金乌上碧空。
【问题一】古诗前两句的意思是什么？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．【问题二】如果从数学的角度来分析，把水面当作一直线，太阳当作一个圆，请同学们利用手中的纸片圆和笔，再现海上日出过程？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体展示海上日出过程，加深学生理解.【问题三】再现海上日出过程中，你认为直线和圆有几种位置关系吗？分类依据是什么？师生活动：教师提出问题，学生认真观察后得出答案．教师根据情况适当提示学生通过观察圆与直线的公共点的数量判断直线和圆的位置关系.【问题四】通过预习，你能根据直线与圆之间公共点个数下定义吗？师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过多媒体给出答案：1）直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.2点和圆直线和圆的位置关系》第4课时，主要讲述了点和圆、直线和圆的位置关系。
通过本节课的学习，学生能够掌握点和圆、直线和圆的位置关系，并能够运用这些知识解决实际问题。
教材通过丰富的实例和图示，引导学生探索和发现规律，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对点和直线的位置关系有了初步的了解。
但是，对于点和圆、直线和圆的位置关系的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，采取合适的教学方法，引导学生主动探索和发现规律，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解和掌握点和圆、直线和圆的位置关系，并能够运用这些知识解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、思考和探索，培养观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，增强对数学学习的信心。
四. 教学重难点1.重点：点和圆、直线和圆的位置关系。
2.难点：点的圆、直线和圆的位置关系的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例和图示，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生主动探索和发现规律，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：学生分组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学素材：准备相关的实例和图示，用于引导学生观察和思考。
2.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，用于板书和讲解。
3.学习任务单：准备学习任务单，用于引导学生主动探索和发现规律。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实例，引导学生观察和思考，提出问题和引导学生思考问题。
例如，教师可以提出一个问题：“在平面上有三个点，它们与一个圆的位置关系是什么？”让学生观察和思考。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：直线和圆的位置关系及其判定》优课教案_0
24.2.2 直线与圆的位置关系(第1课时)教学内容1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆相离、直线和圆没有公共点等概念．2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d直线L和⊙O相交⇔d<r；直线和⊙O相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r．3．会用定义法和性质法判断直线与圆的位置关系教学目标（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念．（2）理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：直线L和⊙O相交⇔d<r；直线L和⊙O相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r．重难点、关键1．重点：直线与圆的位置关系的判断．2．难点与关键：由上节课点和圆的位置关系类比并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．教学过程一、情境引入1、教师利用几何画板演示：已知平面内一条直线和一个圆：（1）当直线进行平移时，直线与圆的位置关系的变化情况以及交点情况；（2）当直线进行平移时，直线与圆的位置关系的变化情况以及交点情况；（3）当圆的半径大小发生变化时，直线与圆的位置关系的变化情况以及交点情况。
2、提出问题：直线与圆有哪些位置关系？二、探索一2、练习判断：1、已知点A是⊙O内一点，过点A的直线一定与圆相交。
（）2、已知点A是⊙O上一点，过点A的直线一定与圆相切。
（）3、已知点A是⊙O外一点，过点A的直线一定与圆相离。
（）3、如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．三、探索二 1、复习同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d>r ，如图（a ）；点P 在圆上⇔d=r ，如图（b ）；点P 在圆内⇔d<r，如图（c ）．2、提出问题类比点与圆的位置关系的判断方法，是否有类似的方法判断直线与圆的位置关系呢？3、探究归纳结论：我们知道，点到直线L 的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D 的距离，按照这个定义，作出圆心O 到L 的距离的三种情况？（学生分组活动）：设⊙O 的半径为r ，圆心到直线L 的距离为d ，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评：直线与圆相离⇔d>r ，如图（a ）；直线与圆相切⇔d=r ，如图（b ）；直线与圆相交⇔d<r ，如图（c ）．(c)(b)_(b ) _P _(c ) _P_l_( a )_( b )_ 相离_ 相切_ 相交_( c )例题．如图，已知Rt△ABC的斜边AC=3cm，BC=4cm．以点C为圆心作圆，r为半径作圆。
人教版数学九年级上册第二十四章圆单元教学设计
（2）判断以下图形中圆与直线、圆与圆的位置关系：
A.两个半径分别为3cm和5cm的圆。
B.一个半径为4cm的圆与一条直线。
2.提高拓展题：
（1）在草稿纸上画一个半径为6cm的圆，并标出圆心、半径、直径、弧、弦、切线等元素。
（2）解决12m的圆形花坛，请你计算花坛的面积，并设计一条小路围绕花坛，小路的宽度为1m。
2.学生分享自己的学习心得和收获。
3.教师总结：本节课我们学习了圆的相关知识，希望大家能够将这些知识运用到生活实际中，解决实际问题。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请运用圆的周长和面积公式，计算以下问题：
A.半径为5cm的圆的周长和面积。
（2）提高题：涉及圆与直线、圆与圆的位置关系，提高学生的几何推理能力。
（3）拓展题：结合实际情境，培养学生解决复杂问题的能力。
7.注重课堂小结，引导学生总结本节课的知识点，提高学生的归纳总结能力。
8.强化课后反馈，了解学生的学习情况，针对问题进行个别辅导，确保每个学生都能掌握本章节内容。
在教学过程中，教师要关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在积极参与中提高数学素养。同时，注重培养学生的团队合作精神，提高他们的人际沟通能力，为学生的全面发展奠定基础。
（3）在本节课的学习中，你觉得有哪些收获和不足？
请同学们按时完成作业，并认真检查，确保解题过程清晰、答案准确。通过作业的完成，希望大家能够进一步巩固圆的知识，提高解决问题的能力。同时，鼓励同学们在课后阅读和思考中，积极探索数学的奥秘。教师将根据作业情况，给予针对性的指导和反馈，助力学生成长。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：直线和圆的位置关系及其判定》公开课获奖教案_0
《直线与圆的位置关系及其判定》教学设计一、教材分析1、教学内容：本节课主要学习（1）直线和圆相交、相切、相离的有关概念（2）直线和圆三种位置关系的判定与性质（3）相关应用。
2、教材的地位和作用：直线和圆的位置关系是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，为后面的圆与圆的位置关系作了铺垫．起着承上启下的作用．二、教法与学法分析蔡旗中学“四双五环”高效导学模式在课堂上充分体现学生的主体地位和教师的主导作用，课堂大部分时间留给学生自主探究、合作释疑和展示交流，教师只用很少时间进行引导和点拨。
这种导学模式下的课堂气氛热烈融洽，学生自觉投入，在此种课堂模式下，课堂就成了学生展示自我、张扬个性、快乐成长的舞台。
课堂教学的高效性就是通过课堂教学活动，学生在学业上有超常收获，有超常提高，有超常进步。
具体表现在：学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。
蔡旗中学“四双五环”高效导学模式要求课堂教学要充分体现以学生发展为本的精神，因此，在本节课的教学设计中，我采用了“情景问题——学生体验——合作交流”教学模式，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识和基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。
三、教学设计思路：本节课我首先通过现实生活中的例子，激发学生对探索直线与圆的位置关系是兴趣。
然后让学生动手操作，参与学习活动，用运动变化的观点观察直线与圆的位置关系的变化及它们之间的公共点个数的变化情况，在共同合作利用数形结合的方法量化了直线与圆的位置关系的性质和判定。
接着通过小组探讨、交流、发现，和老师的引导，点拨，让学生利用所学知识判断直线和圆的位置关系。
在整个活动中，学生是实践者、探索者、发现者，老师是引导者、启发者、帮助者，把发现的主动权交给学生，让学生成为学习的主人。
四、教学目标：知识技能1.探索并掌握直线与圆的三种位置关系，知道直线和圆相交、相切、相离的定义。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：直线和圆的位置关系及其判定》公开课教案_2
《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学目标：1.知识与技能：经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会科学地思考问题。
2．过程与方法：理解直线和圆的三种位置关系—相交、相离、相切。
3．情感、态度与价值观：会正确判断直线和圆的位置关系。
二、教学重难点：重点：理解直线和圆的三种位置关系。
难点：会正确判断直线和圆的位置关系。
三、教学过程设计：（一）、创设情境引入新课：“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝的著名诗句，它描述了黄昏落日时分，塞外沙漠寂寞的景象，你欣赏过日出或落日的美景吗？如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，你能根据直线与圆公共点的个数来思考直线与圆有哪几种位置关系吗？本节我们研究直线与圆有哪几种位置关系。
（展示多媒体课件，让学生观察太阳升起的过程）（设计意图：由著名的诗句和熟悉的落日引入课题，既能激发学生的兴趣，也感受到教学知识渗透到生活的各个领域。
）（二）、新知探究：1.动手做一做：请同学们在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作图，在纸上移动硬币。
你能发现直线与圆的公共点个数的变化吗？公共点个数量少时有几个？最多时有几个？然后让一位学生上讲台，用一个圆圈和一根胶棒来演示直线和圆的位置关系。
（设计意图：通过一个非常容易操作的实验，让学生从运动变化的观点直观感知直线与圆的位置关系。
）讨论结果：从以上例子可以看到，直线与圆有三种位置关系，是用直线与圆的公共点的个数来定义的。
这也是判断直线与圆的位置关系的重要方法。
直线和圆的位置关系1（图形特征——用公共点的个数来区分）：直线和圆有两个公共点时，该直线和圆相交，该直线叫圆的割线；直线和圆有唯一的公共点时，该直线和圆相切，该直线叫圆的切线；直线和圆有没有公共点时，该直线和圆相离。
2. 动手做一做：除了用公共点的个数来区分直线与圆的位置关系外,能否像点和圆的位置关系一样用数量关系的方法来判断直线与圆的位置关系呢？学生活动：给学生充分的探究时间，可以量一量，也可综合定义及点与圆的位置关系的判别方法来分析。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 直线和圆的位置关系 (第3课时)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第3课时）一、教学目标【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度与价值观】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力.二、课型新授课三、课时第3课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间,你能从中抽象出什么样数学图形？（出示课件2）（二）探索新知探究一切线长定理及应用教师问：上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线,可以作几条？（出示课件4）学生思考,尝试作图并解答．出示课件5:出示定义:切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．教师问：切线长与切线的区别在哪里？学生思考后师生共同总结：①切线是直线,不能度量.②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量．教师问：PA为☉O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？PA、PB有何关系？∠APO 和∠BPO有何关系？（出示课件6）学生思考后,尝试利用图形轴对称性解释.教师归纳：（出示课件7）切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:∵PA、PB分别切☉O于A、B,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.出示课件8：已知,如图PA、PB是☉O的两条切线,A、B为切点.求证：PA=PB,∠APO=∠BPO.学生观察分析,合作交流后师生共同解答.证明：∵PA切☉O于点A,∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.教师问：若连接两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件9）学生操作后观察得：OP垂直平分AB.师生共同证明如下.证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线∴OP垂直平分AB.教师问：若延长PO交⊙O于点C,连接CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.（出示课件10）学生操作后观察得：CA=CB.师生共同证明如下.证明：∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点,∴PA=PB,∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB,∴AC=BC.出示课件11：例1 已知：如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.学生独立思考后师生共同解决如下.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H,∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.巩固练习：（出示课件12）PA、PB是☉O的两条切线,A,B是切点,OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若∠BPA=60°,则OP= .学生自主思考后口答：⑴5；⑵6.出示课件13：例2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径,若三角板与圆相切且测得PA=5cm,求铁环的半径．教师分析：欲求半径OP,取圆的圆心为O,连OA、OP,由切线性质知△OPA 为直角三角形,从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．师生共同解答.（出示课件14）解：过O作OQ⊥AB于Q,设铁环的圆心为O,连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线,∴AO为∠PAQ的平分线,即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°,∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°,∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中,PA＝5,∠POA＝30°,OP即铁环的半径为巩固练习：（出示课件15）如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为cm(AD<BE).学生思考后独立解决.解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,∵AD<BE,∴AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.探究二三角形的内切圆及作法出示课件16：小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？教师问：如果最大圆存在,它与三角形三边应有怎样的位置关系？（出示课件17）学生答：最大的圆与三角形三边都相切.教师问：如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r 的☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件？（出示课件18）学生答：圆心I到三角形三边的距离相等,都等于r.教师问：(2)在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢？学生答：圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.教师问：为什么？学生答：三角形三条角平分线交于一点,这一点与三角形的三边距离相等.出示课件19：做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.引导学生分析作图的关键,师生共同作图如下：作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.教师归纳总结：（出示课件20）1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.如图,☉I是△ABC的内切圆,点I是△ABC的内心,△ABC是☉I的外切三角形.出示课件21：例已知:△ABC(如图),(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.学生观察思考交流后,师生共同解答.（出示课件22,23）解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;②分别以H、G为圆心,以大于12HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为∠BAC的平分线;③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.(2)∵∠BAC=88°,∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,∴∠IBC+∠ICB=12(∠ABC+∠ACB)=12×92°=46°,∴∠BIC=180°-46°=134°.巩固练习：（出示课件24）△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.（提示：设内心为O,连接OA、OB、OC.）学生思考交流后自主解决.解：设AB=c,BC=a,AC=b.则S△OBC=12ar,S△OBA=12cr,S△OAC=12br,S△ABC=S△OBC+S△OBA+S△OAC=1 2ar+12cr+12br=12r（a+c+b）=12lr.探究三三角形的内心的定义和性质教师问：如图,☉I是△ABC的内切圆,那么线段IA,IB,IC有什么特点？（出示课件25）学生答：线段IA,IB,IC分别是∠A,∠B,∠C的平分线.教师问：如图,分别过点作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？（出示课件26）学生答：IE=IF=IG.教师归纳：三角形内心的性质（出示课件27）三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.出示课件28：例 如图,△ABC 中,∠B=43°,∠C=61°,点I 是△ABC 的内心,求∠BIC 的度数.教师分析后学生独立解答.解：连接IB,IC.∵点I 是△ABC 的内心,∴IB,IC 分别是∠B,∠C 的平分线,在△IBC 中,180()BIC IBC ICB ∠=-∠+∠1180()2B C =-∠+∠ 1180(4361)2=-+128.= 巩固练习：（出示课件29）如图,在△ABC 中,点P 是△ABC 的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= .学生自主思考后独立解答.解析：∵点P 是△ABC 的内心,∴PB 平分∠ABC,PA 平分∠BAC,PC 平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.出示课件30,师生共同总结深化认知.（三）课堂练习（出示课件31-36）1.如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A 为60°角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是（ ）A ．3B ．C ．6D ．2.如图,菱形ABOC 的边AB 、AC 分别与⊙O 相切于点D 、E ．若点D 是AB 的中点,则∠DOE= ．3.如图,PA、PB是☉O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO= ,PB= .4.如图,已知点O是△ABC的内心,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC= .5.如图,在△ABC中,点I是内心,（1）若∠ABC=50°,∠ACB=70°,∠BIC=_____.（2）若∠A=80°,则∠BIC=_____度.（3）若∠BIC=100°,则∠A=_____度.（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？6.如图所示,已知在△ABC中,∠B＝90°,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC相切于点D.求证：DE∥OC.7.如图,△ABC中,I是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案：1.D解析：设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,∴∠OAB=60°,在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=∴光盘的直径为．2.60°解析：连接OA,∵四边形ABOC是菱形,∴BA=BO,∵AB与⊙O相切于点D,∴OD⊥AB,∵点D 是AB 的中点,∴直线OD 是线段AB 的垂直平分线,∴OA=OB,∴△AOB 是等边三角形,∵AB 与⊙O 相切于点D,∴OD ⊥AB,∴∠AOD=12∠AOB=30°, 同理,∠AOE=30°,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60° ．3.20°；44.110°5.解：⑴120°；⑵130；⑶20；⑷190.2BIC A ∠=+∠ 6.证明：连接OD,∵AC 切⊙O 于点D,∴OD ⊥AC,∴∠ODC=∠B=90°.在Rt △OCD 和Rt △OCB 中,OD ＝OB ,OC ＝OC ,∴Rt △ODC ≌Rt △OBC （HL ）, ∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED,∵∠DOB=∠ODE+∠OED,∴∠BOC=∠OED,∴DE∥OC.7.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBI+∠CBD, ∴∠BID=∠IBD,∴BD=ID．（四）课堂小结这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？（五）课前预习预习下节课（24.3第1课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续,从探究切线长定理开始,通过如何作一个三角形的内切圆,引出三角形的内切圆和三角形内心的概念,经历这些探究过程,能使学生掌握图形的基本知识和基本技能,并能解决简单的问题.。
人教版九年级数学上册第二十四章：圆(教案)
-圆与直线、圆与圆的位置关系：识别并理解相离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，以及对应的几何特征和计算方法。
-实际应用题：运用圆的相关知识解决实际问题，如计算弓形面积、弧长和扇形面积等。
-弓形面积和弧长的计算：这部分涉及到圆的扇形和弓形的相关计算，学生需要理解并掌握相应的计算公式。
-解决实际应用题：将圆的知识应用于解决综合性问题，如涉及多个圆或圆与其他几何图形的组合问题。
举例：在讲解圆与圆的位置关系时，难点在于如何通过比较两圆半径之和与圆心距离的大小来判断它们的位置关系。教师需要通过图示和具体例子来帮助学生理解和记忆这个判定方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的基本性质和圆的方程这两个重点。对于难点部分，如圆的一般方程推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如圆的面积和周长的计算。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用绳子画圆，演示圆的基本原理。
最新人教版九年级数学上册第二十四章《点和圆、直线和圆的位置关系》教案
24.2.1 点和圆的位置关系教学设计(一)教学目标1．能够用数量关系判断点和圆的位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．教学重难点重点是点和圆的位置关系的结论，不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用；难点是对反证法的理解．教学过程导入新课〈方式1〉请同学们回答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举两个例子说明圆是如何形成的吗？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．〈方式2〉同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的．如图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹．你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算(击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9,8，…，1环)．这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系．今天我们就来学习点与圆的位置关系．推进新课一、合作探究(一)点和圆的位置关系1．想一想：平面内的点P和⊙O有几种位置关系？设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，那么相对应的d和r的大小关系如何？由上面的画图以及所学知识，我们可知：点P在圆外⇒d＞r；点P在圆上⇒d＝r；点P在圆内⇒d＜r.反过来，也十分明显，如果d＞r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d＜r⇒点P在圆内．2．归纳：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.(二)确定圆的条件1．做一做、议一议：(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使该圆经过已知A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？结论：过一个点A可以作无数个圆；过两个点A，B也可以作无数个圆，但圆心都在线段AB的垂直平分线上；过不在同一直线上的三点A，B，C可以作唯一一个圆，圆心在由三点确定线段的垂直平分线上．即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．相关概念三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．(三)反证法证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上．即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．议一议：以上证明过程有什么特点？结论：它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种证明方法叫做反证法．二、应用迁移1．不在同一直线上的三个点确定一个圆某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示，为复制该瓷盘，需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段，作线段的垂直平分线，交点就是我们所求的圆心．画法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；(2)作两线段的垂直平分线，相交于一点O.则O就为所求的圆心．点拨：该方法也可以用来确定一段弧的圆心．三、巩固提高1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内．其中正确的个数为()．A．1B．2C．3D．4答案：B2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则它的外心与顶点C的距离为()．A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm答案：B3．如图，通过防治甲型H1N1流感，人们增强了卫生意识，大街上随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中．如图所示，A，B，C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在到三个小区距离都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址？提示：作出△ABC的外心，就是所建垃圾站的地点．本课小结1．所学知识：(1)点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r.(2)不在同一直线上的三个点确定一个圆．(3)三角形外接圆和三角形外心的概念．2．所学的方法是反证法．教学设计(二)学习目标1．能够用数量关系判断点和圆的位置关系．2．理解不在同一直线上三个点确定一个圆．3．理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．理解反证法的证明思想．课前预习1．阅读教材，完成下面问题．如图，设⊙O的半径为r，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．容易看出OA＜r，OB=r，OC＞r.2．预习教材，完成下面的问题．经过三角形的三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O是三角形的外接圆．4．反证法与我们以前学过的证明不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．课内探究一、学习新知【目标1】点和圆的位置关系1．根据课前预习的第1题，总结下面的结论．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆上d＝r；点P在圆外d＞r；点P在圆内d＜r.说明：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以得到右端，从右端可以得到左端．牛刀小试1．已知⊙O的半径r＝5厘米，A为线段OP的中点，当OP＝6厘米时，点A在⊙O__________；当OP＝10厘米时，点A在⊙O__________；当OP＝14厘米时，点A在⊙O__________.答案：内上外2．两个圆的圆心都是O，半径分别为r1，r2，且r1＜OP＜r2，那么点P在()．A．大⊙O内B．小⊙O内C．大⊙O外D．小⊙O外，大⊙O内答案：D【目标2】经过不在同一直线上的三点确定一个圆(一)自主探究问题1：经过平面上一点能作圆吗？如果能作，请你说出圆心在哪里？半径是多少？可以作多少个圆？(学生探索，得出结论)问题2：经过平面上两点能作圆吗？如果能作，请你说出圆心在哪里？半径是多少？可以作多少个圆？(学生探索，得出结论)问题3：经过平面上三点能作圆吗？如果能作，请你说出圆心在哪里？半径是多少？可以作多少个圆？(学生探索，得出结论)得出结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆．问题4.三角形的外心都在三角形的内部吗？(在下面的三角形中画出它们的外接圆，观察圆心的位置，得出结论)结论：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心在斜边的中点上；钝角三角形的外心在三角形的外部．(二)牛刀小试1．判断(1)经过三点可以确定一个圆．()(2)到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的外接圆的圆心．()(3)任意三角形都有一个外接圆，并且只有一个．()(4)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．()答案：×√√×2．填空：△ABC的三条边是3,4,5时，△ABC的外接圆的半径是__________．答案：2.5【目标3】反证法1．回顾课前预习的问题4.2．教师对此进行点评：(1)反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作的假设不正确，从而得出原命题成立，这种方法叫做反证法．(2)反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确．3．牛刀小试(1)用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角的第一步是：假设等腰三角形的底角不是锐角．二、课堂小结这节课，我们应该掌握：(1)点和圆的三种位置关系；(2)不在同一直线上三点确定一个圆；(3)三角形外接圆与外心的概念；(4)反证法．三、当堂测试1．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为(2,1)，点Q的坐标为(0,6)，则点Q的位置()．A．在⊙P外B．在⊙P上C．在⊙P内D．不能确定答案：A2．AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，以OC为半径作同心圆，P是线段AB上不同于A，B，C的点，则P点()．A．在大圆上B．在小圆内C．在大圆外D．在小圆外且在大圆内答案：D3．⊙O的半径r＝10 cm，圆心到直线l的距离OM＝8 cm，在直线l上有一点P，且PM＝6 cm，则点P()．A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．可能在⊙O内也可能在⊙O外答案：B4．有一种证明方法，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的__________，经过推理得出__________，由矛盾断定所作的假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做__________．答案：结论不成立矛盾反证法5．已知O为△ABC的外心，若∠A＝80°，则∠BOC＝__________；若∠BOC＝100°，则∠BAC＝__________.答案：160°50°或130°课后拓展A组1．已知⊙O的半径为5，圆心的坐标为(0,0)，点P的坐标为(4,2)，则点P与⊙O的位置关系是()．A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内或点P在⊙O外答案：A2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是()．A．点D在⊙A外B．点D在⊙A上C．点D在⊙A内D．无法确定答案：A3．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以A为圆心，以1为半径画圆，则点__________在圆内，点__________在圆上，点__________在圆外．答案：O B，D C4．已知：点A在以O为圆心，3 cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是__________．答案：0 cm≤d＜3 cm5．用反证法证明下列各命题，写出各命题的第一步假设．(1)三角形中至少有一个角不小于60°.第一步假设为：_________________________________________________________；(2)梯形的对角线不能互相平分．第一步假设为：_________________________________________________________；(3)三角形中，至多只有一个角为钝角．第一步假设为：_________________________________________________________.答案：(1)三角形中三个角都小于60°(2)梯形的对角线能互相平分(3)三角形中有两个钝角B组6．教材练习第2,3题．。
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系教学设计 (2)
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系教学设计一、教学目标知识目标1.了解直线和圆的定义。
2.掌握直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。
3.能够判断直线与圆的位置关系。
能力目标1.学会将理论知识运用到实际问题中。
2.培养分析问题、解决问题的能力。
情感目标1.激发学生的数学兴趣。
2.培养学生的合作与交流能力。
二、教学重难点教学重点掌握直线与圆的位置关系：相离、相切、相交。
教学难点能够判断直线与圆的位置关系。
三、教学过程1. 导入新课通过讲解直线和圆的定义，引出本节课的主题：直线和圆的位置关系。
2. 练习题解析1.画出一条直线和一个圆，分析它们的位置关系。
通过解析这道题，引导学生了解直线与圆的位置关系，包括相离、相切、相交等三种情况。
2.画出两条直线和一个圆，分析它们的位置关系。
通过解析这道题，让学生了解直线与圆的位置关系并加以运用，同时培养学生的分析问题和解决问题的能力。
3. 探究性学习让学生自己设计几道问题，并在小组内相互交流，让学生通过彼此的讨论来加深对直线和圆的位置关系的理解和掌握。
4. 作业布置布置有关直线和圆的位置关系的作业，以检测学生掌握情况。
四、教学评估1. 测试出一份测验，测试学生掌握直线和圆的位置关系的能力。
2. 课堂表现通过学生的课堂表现，如回答问题、举手发言等，来了解学生对直线和圆的位置关系的掌握情况。
3. 作业评查通过检查学生的作业情况，来了解学生是否掌握了直线和圆的位置关系的理论知识并能够应用于实际问题中。
五、教学体会本节课通过设计练习题解析、探究性学习等多种形式，使得学生更加深入地理解和掌握了直线和圆的位置关系，同时培养了学生的分析问题、解决问题的能力和合作交流能力。
2022年人教版九年级数学上册第二十四章 圆教案 点和圆的位置关系
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系一、教学目标【知识与技能】1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2.探求过点画圆的过程,掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系,并提炼出数量关系,从而渗透数形结合,分类讨论等数学思想.【情感态度与价值观】形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课我国射击运动员在奥运会上获金牌,为我国赢得荣誉.如图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆（圆心相同,半径不相同）构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？（出示课件2）解决这个问题要研究点和圆的位置关系．（板书课题）（二）探索新知探究一点和圆的位置关系教师问：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？（出示课件4）学生交流,回答问题.教师点评：点与圆的位置关系有三种：点在圆内,点在圆上,点在圆外.教师问：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r,量一量在点和圆三种不同位置关系时,d与r有怎样的数量关系？（出示课件5）学生答：教师问：反过来,由d 与r 的数量关系,怎样判定点与圆的位置关系呢？ 学生观察思考交流后,师生共同得到结论：（出示课件6）点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：”表示可以由左边推出右边的结论,也可由右边推出左边结论.读作“等价于”.⑵要明确“d ”表示的意义,是点P 到圆心O 的距离.出示课件7,8：例 如图,已知矩形ABCD 的边AB=3,AD=4.（1）以A 为圆心,4为半径作⊙A,则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？（2）若以A 点为圆心作⊙A,使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,求⊙A 的半径r 的取值范围？（直接写出答案）学生独立思考后,师生共同解答.解：⑴AD=4=r,故D点在⊙A上；AB=3<r,故B点在⊙A内;AC=5>r,故C点在⊙A外.⑵3≤r≤5.巩固练习：（出示课件9）1.⊙O的半径为10cm,A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm,则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在_______；点B在_______；点C在_______.2.圆心为O的两个同心圆,半径分别为1和2,若,则点P在（）A.大圆内B.小圆内C.小圆外D.大圆内,小圆外学生独立思考后口答：1.圆内；圆上；圆外 2.D探究二过不共线三点作圆教师问：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？（出示课件10）学生动手探究,作图,交流,得出结论,教师点评并总结.以不与A点重合的任意一点为圆心,以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？（出示课件11）学生动手探究,作图,交流,得出结论,教师点评并总结.作线段AB的垂直平分线,以其上任意一点为圆心,以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.教师问：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？（出示课件12）学生思考后师生共同解答：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.教师归纳：不在同一直线上的三点确定一个圆.（出示课件13）出示课件14：例已知：不在同一直线上的三点A、B、C.求作：⊙O,使它经过点A、B、C.学生动手探究,作图,交流后,师生共同解答.作法：1.连接AB,作线段AB的垂直平分线MN；2.连接AC,作线段AC的垂直平分线EF,交MN于点O；3.以O为圆心,OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.教师问：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？（出示课件15）学生动手探究,交流,在教师指导下作图.作法:1.在圆弧上任取三点A、B、C;2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3.以点O为圆心,OC长为半径作圆.⊙O即为所求.巩固练习：（出示课件16）如图,CD所在的直线垂直平分线段AB,怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．学生独立思考后口答：∵A、B两点在圆上,所以圆心必与A、B两点的距离相等,又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,∴圆心在CD所在的直线上,因此可以做任意两条直径,它们的交点为圆心.探究三三角形的外接圆及外心已知△ABC,用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.（出示课件17）学生复述作法.教师对照图形进行归纳：（出示课件18）1.外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.⊙O叫做△ABC的外接圆,△ABC叫做⊙O的内接三角形.2.三角形的外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：到三角形三个顶点的距离相等.练一练：判断下列说法是否正确.（出示课件19）(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )学生口答：⑴√⑵×⑶×⑷√画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,再画出它们的外接圆,观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.（出示课件20）学生动手探究,作图,交流后,教师总结.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.出示课件21,22:例1 如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,O为原点,∠ABO ＝60°,若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0,3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．学生独立思考后师生共同解答.解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°,∠DOA＝90°,∴∠DAO＝30°；⑵∵点D的坐标是(0,3),∴OD＝3.在Rt△AOD中,∵∠DOA＝90°,∴AD为直径.又∵∠DAO=30°,∴AD＝2OD＝6,OA＝因此圆的半径为3．点A的坐标(∴△AOB外接圆的面积是9π.教师强调：解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时,关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．巩固练习：（出示课件23）如图,已知直角坐标系中,A(0,4),B(4,4),C(6,2).(1)写出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标.(2)判断点D(5,-2)和圆M的位置关系.学生独立解答.解：(1)在方格纸中,线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2,0),所以圆心M的坐标为(2,0).(2)圆的半径AM=所以点D在圆M内.线段DM出示课件24：例2 如图,在△ABC中,O是它的外心,BC＝24cm,O到BC的距离是5cm,求△ABC的外接圆的半径．学生独立思考后师生共同解答.解：连接OB,过点O作OD⊥BC.则OD ＝5cm,112cm 2BD BC ==在Rt △OBD 中,13cm OB ==,即△ABC 的外接圆的半径为13cm.巩固练习：（出示课件25）在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C 的距离为( )A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm学生思考后口答：A探究四 反证法教师问：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（出示课件26）学生动手探究,作图,交流后,师生共同解答.如图,假设过同一条直线l 上三点A 、B 、C 可以作一个圆,设这个圆的圆心为P.那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l 1上,又在线段BC 的垂直平分线l 2上,即点P 为l 1与l 2的交点.而l 1⊥l,l 2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.所以过同一条直线上的三点不能作圆．教师归纳：（出示课件27）1.反证法的定义先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),由矛盾判定假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法．2.反证法的一般步骤⑴假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；⑵从这个假设出发,经过推理,得出矛盾；⑶由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.出示课件28：例求证：在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.师生共同解答.已知：△ABC.求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°.因此∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．因此△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.巩固练习：（出示课件29）利用反证法证明“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一锐角都大于45°学生口答：D（三）课堂练习（出示课件30-36）1.已知△ABC的三边a,b,c,满足a+b2+|c﹣则△ABC的外接圆半径=______．2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则⊙O的直径为______．3.如图,请找出图中圆的圆心,并写出你找圆心的方法?4.正方形ABCD的边长为2cm,以A为圆心2cm为半径作⊙A,则点B在⊙A______；点C在⊙A______；点D在⊙A______.5.⊙O的半径r为5cm,O为原点,点P的坐标为（3,4）,则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.在⊙O上或⊙O外6.已知：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则它的外接圆半径=______.7.如图,△ABC内接于⊙O,若∠OAB＝20°,则∠C的度数是________．8.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M9.画出由所有到已知点的距离大于或等于2cm并且小于或等于3cm的点组成的图形.10.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．参考答案：1.2582.3.解:如图所示.4.上；外；上5.B6.57.70°8.B9.解：如图所示.10.解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.（五）课前预习预习下节课（24.2.2第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材95页练习2.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课通过学生操作,总结出了点与圆的三种位置关系,其中渗透着分类讨论的思想,经过探讨过一点、两点、三点作圆,得出了不在同一直线上三点确定一个圆,从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形的定义,此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的,培养了学生动手的能力.。
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）一、教学目标【知识与技能】能判定一条直线是否为一条切线,会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题。
【过程与方法】经历切线的判定定理及性质定理的探究过程,养成学生既能自主探究,又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度与价值观】体验切线在实际生活中的应用,感受数学就在我们身边,感受证明过程的严谨性及结论的正确性.二、课型新授课三、课时第2课时,共3课时。
四、教学重难点【教学重点】切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】切线的判定定理和性质的应用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程（一）导入新课教师问：转动雨伞时飞出的雨滴,用砂轮磨刀时擦出的火花,都是沿着什么方向飞出的？（出示课件2）学生问：都是沿着圆的切线的方向飞出的．（二）探索新知探究一切线的判定方法教师问：如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系?（出示课件4）学生答：这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径．由d=r得到直线l是⊙O的切线．教师问：已知圆O上一点A,怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？（出示课件5）教师作图,学生观察并思考：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？出示课件6：教师归纳:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式:∵OA为⊙O的半径,BC⊥OA于A,∴BC为⊙O的切线.教师问：下列各直线是不是圆的切线？如果不是,请说明为什么？（出示课件7）学生观察交流后口答：(1)不是,因为没有垂直.(2),(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.教师强调：在切线的判定定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线.教师归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：（出示课件8）1.定义法：直线和圆只有一个公共点时,我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时,直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.出示课件9：例1 如图,∠ABC=45°,直线AB是☉O上的直径,且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.教师分析：直线AC经过半径的一端,因此只要证OA垂直于AB即可.师生共同解答：证明：∵AB=AC,∠ABC＝45°,∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°.∵AB是☉O的直径,∴AC是☉O的切线.巩固练习：（出示课件10）如图所示,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？学生独立思考后板演：解：BD是⊙O 的切线．连接OD,∵OD＝OA,∠A＝30°,∴∠DOB＝60°.∵∠B＝30°,∴∠ODB＝90°.∴BD是⊙O 的切线．出示课件11：例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.学生思考交流后师生共同解答.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.巩固练习：（出示课件12-13）如图,△ABC 中,AB ＝AC ,O 是BC的中点,⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线．教师分析：根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明由点O 向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了,而OE是⊙O的半径,因此只需要证明OF=OE.证明：连接OE,OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E,∴OE⊥AB.又∵△ABC中,AB＝AC,O是BC的中点．∴AO平分∠BAC,又OE⊥AB,OF⊥AC.∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径,OF＝OE,OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．出示课件14：学生对比思考.1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA＝OB,CA＝CB求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：连接OC.2.如图,OA＝OB=5,AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.学生答：作垂直.教师归纳：（出示课件15）证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点,连半径,证垂直;(2)无交点,作垂直,证半径.有切线时常用辅助线添加方法：见切点,连半径,得垂直.切线的其他重要结论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.探究二切线的性质定理教师问：如图,如果直线l是⊙O 的切线,点A为切点,那么OA与l垂直吗？（出示课件16）学生思考后教师总结：切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式：∵直线l是⊙O的切线,A是切点.∴直线l⊥OA.出示课件17-18,教师引导学生进行证明.证法1：反证法.证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M.则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直.证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O,CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点.连接OA,根据垂径定理,则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．教师总结：利用切线的性质解题时,常需连接辅助线,一般连接圆心与切点,构造直角三角形,再利用直角三角形的相关性质解题.（出示课件19）出示课件20：例1 如图,PA为⊙O的切线,A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点,∠P＝30°,连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP求⊙O的半径．教师分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°,由∠P=30°可得出∠AOP=60°,则∠C=30°=∠P,即AC=AP；这样就凑齐了角边角,可证得△ACB≌△APO；(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形,因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长.师生共同解答：（出示课件21-22）(1)证明：∵PA为⊙O的切线,A为切点,∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°,∴∠AOB＝60°,又∵OA＝OB,∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO,∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中,∠BAC＝∠OAP,AB＝AO,∠ABO＝∠AOB,∴△ACB≌△APO（ASA）.(2)解：在Rt△AOP中,∠P＝30°,∴AO＝1,∴CB＝OP＝2,∴OB＝1,即⊙O的半径为1.巩固练习：（出示课件23）如图所示,点A是⊙O外一点,OA交⊙O于点B,AC是⊙O的切线,切点是C,且∠A＝30°,BC＝1.求⊙O的半径．学生独立思考后自主解决.解：连接OC.∵AC是⊙O的切线,∴∠OCA＝90°.又∵∠A＝30°,∴∠COB＝60°,∴△OBC是等边三角形．∴OB＝BC＝1,即⊙O的半径为1.（三）课堂练习（出示课件24-33）1.如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦．过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF、CM．判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由.2.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）3.如下图所示,A是☉O上一点,且AO=5, PO=13, AP=12,则PA与☉O的位置关系是.4.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°5.如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？6.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P,PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.7.如图,O为正方形ABCD对角线AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．8.已知：△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.（1）如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.（2）如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证：EF是☉O的切线.参考答案：1.解：CM与⊙O相切．理由如下：连接OC,如图,∵GD⊥AO于点D,∴∠G+∠GBD=90°,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵M点为GE的中点,∴MC=MG=ME,∴∠G=∠1,∵OB=OC,∴∠B=∠2,∴∠1+∠2=90°,∴∠OCM=90°,∴OC⊥CM,∴CM为⊙O的切线.2.⑴×⑵×⑶√⑷√⑸√3.相切4.C5.解：连接OB,则∠OBP=90°.设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中,OB2+PB2=PO2,即r2+42=(2+r)2. 解得r=3,即⊙O的半径为3.6.证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.7.证明：连接OM,过点O作ON⊥CD于点N,∵⊙O与BC相切于点M,∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD,O为正方形ABCD对角线AC上一点,∴OM＝ON,∴CD与⊙O相切．8.解：⑴①BA⊥EF；②∠CAE=∠B.证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90 °,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.（四）课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流. （五）课前预习预习下节课（24.2.2第3课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本节课从常见的生活情况入手,引入切线的概念,能激发学生的求知欲,接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线,又从另一侧面利用反证法,证明了切线的性质定理,这样,既证明了定理又复习了反证法.。