北京海淀02-03年高考数学模拟二

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北京西城02-03年高三数学理模拟二

北京西城02-03年高三数学(理)模拟(二)学校___________班级___________姓名___________参考公式：三角函数的和差公积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-圆台的体积公式)(3122r r r r h V '+'+=π圆台其中r ′、r 分别表示上、下底面半径，h 表示圆台的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。

（1）双曲线1222=-x y 的两个焦点坐标分别是（）（A ）)0,3(-，)0,3(（B ）)3,0(-，)3,0(（C ）（-1，0），（1，0）（D ）（0，-1），（0，1）（2）下列四个函数中，在区间（0，1）上为增函数的是（）（A ）x y 2log -=（B ）y=sinx （C ）xy )21(=（D ）y=arccosx（3）如果复数i bi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（）（A ）2（B ）32 （C ）32-（D ）2（4）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）（A ）m ，n 是α内两条直线，且m ∥β，n ∥β （B ）α，β都垂直于平面γ（C ）α内不共线三点到β的距离都相等（D ）m ，n 是两条异面直线，α⊂m ，β⊂n ，且m ∥β，n ∥α（5）函数x x y 2cos 22sin -=的最大值是（）（A ）12-（B ）12+ （C ）3（D ）2（6）在等比数列}{n a 中，)0(65≠=+a a a a ，b a a =+1615，则2625a a +的值是（）（A ）a b（B ）22ab （C ）ab 2（D ）2a b（7）某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。

北京市海淀区2023届高三二模数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知等比数列的各项均为正数，且，，则等于（）A ．11000B ．5050C ．5000D ．100002.等差数列中，，则是的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，算盘表示的数能被5整除的概率是（）A．B．C．D．4. 设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，a 2＝﹣2，a 5＝﹣16，则S 6＝（）A ．﹣63B ．63C ．﹣31D ．315.已知复数，则（）A ．1B．C．D．6. 若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（）A．B．C．D．7. 已知函数，命题：，，若为假命题，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．8. 我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为A ．108石B ．169石C ．237石D ．338石9.在正方形中，设D 是正方形的内部的点构成的集合，，则集合表示的平面区域可能是（）A ．四边形区域B ．五边形区域C ．六边形区域D ．八边形区域10. 已知函数在上恰有三个零点，则（）A ．的最小值为B ．在上只有一个极小值点北京市海淀区2023届高三二模数学试题北京市海淀区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题C ．在上恰有两个极大值点D ．在上单调递增11. 如图，点，，，分别是正方体中棱，，，的中点，则（）A．B．C ．直线，是异面直线D ．直线，是相交直线12. 已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（）A ．双曲线的方程为B．双曲线的两条渐近线所成的锐角为C．到双曲线渐近线的距离为D ．双曲线的离心率为13.若，则a 的值为_________14.已知函数给出下列结论：①在上有最小值，无最大值；②设则为偶函数；③在上有两个零点.其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）15.已知函数，若，函数的单调增区间为__________；若是函数的最小值，则实数a 的取值范围为__________．16. 现有某种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食附赠玩具A ，B ，C 中的一个.对某零售店售出的100袋零食中附赠的玩具类型进行追踪调查，得到以下数据：BBABC ACABA AAABC BABAA CAAAB ABCCC BCBBC CABCA BACAB BCBCB BCCCA BCCAA BCCCB ACCBB BACAB ACCAB BBBAA CABCA BCBBC CABCA（1）能否认为购买一袋该零食，获得玩具A ，B ，C 的概率相同？请说明理由；（2）假设每袋零食随机附赠玩具A ，B ，C 是等可能的，某人一次性购买该零食3袋，求他能从这3袋零食中集齐玩具A ，B 及C的概率.17. 近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为（千元），带动的销量为（千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.334556681012131819212427(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程.(2)（i）若该省城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：.参考数据：.18. 某人通过计步仪器，记录了自己100天每天走的步数（单位：千步）得到频率分布表，如图所示分组频数频率[4，6）50.05[6，8）150.15[8，10）200.20[10，12）[12，14）200.20[14，16]100.10合计1001(1)求频率分布表中的值，并补全频率分布直方图；(2)估计此人每天步数不少于1万步的概率.19.已知四棱柱如图所示，其中底面为梯形，，，，.(1)求证：；(2)若点是线段上靠近点的三等分点，平面，求的最小值.20. 若函数的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为．(1)求的值；(2)若点是图象的对称中心，且，求点的坐标．21. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．(1)求角B的大小；(2)若的面积为，求a，c．。

2022北京市海淀区高三二模数学试卷(含答案)

2022北京市海淀区高三二模数学试卷2022．05本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}01A x x x =<>或，则A =R ð （A ）{}01x x << （B ）{}01x x ≤<（C ）{}01x x <≤（D ）{}01x x ≤≤（2）在()312x −的展开式中，x 的系数为（A ）2−（B ）2（C ）6−（D ）6（3）已知双曲线2222:1x y C a b−=的渐近线经过点（1,2），则双曲线的离心率为（A （B （C ）2（D （4）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（A ）110x y+> （B ）330x y +>（C ）lg()0x y +> （D ）sin()0x y +>（5）若,0()1,0x a x f x bx x +<⎧=⎨−>⎩是奇函数，则（A ）11a b ==−,（B ）11a b =−=, （C ）11a b ==, （D ）11a b =−=−,（6）已知F 为抛物线24y x =的焦点，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上。

若11n n P F P F +−=，则（A ）{}n x 是等差数列（B ）{}n x 是等比数列（C ）{}n y 是等差数列（D ）{}n y 是等比数列（7）已知向量(1,0)a =，(b =−。

若,,c a c b <>=<>，则c 可能是（A ）2a b −（B ）a b +（C ）2a b +（D b +（8）设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+− 无零点”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y 与时间t （单位：s ）的关系符合函数()()sin 100y A wt ϕω=+<。

北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试题(解析版)

海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。

北京海淀区高三二模文科数学试题

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2 已知a =ln21,b=sin 21,c=212-，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.300 5 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x6 在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.1+1D.2俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若m=54，则a 5＝3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C.若m ={}n a 是周期为3的数列 D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 复数ii-12=______ 10 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如右图，则甲乙两人发挥较为稳定的是_____.11 已知数列{a n }是等比数列，且a 1 .a3 =4,a 4=8,a 3的值为____. 12 直线y= x+1被圆x 2-2x +y 2-3 =0所截得的弦长为_____ 13 已知函数f(x)=sin()10)(62<<-ωπωx 的图象经过点[0,π]上的单调递增区间为________14 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-+≥-)1(10401x k y y x y 其中k 0,>∈k R(I)当k=1时的最大值为______； (II)若2x y的最大值为1，则实数a 的取值范围是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15 (本小题满分13分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (I)若a 1=1，S 10= 100，求{a n }的通项公式。

2022-2023学年北京市海淀区北京一零一中学高三上学期统考(二)数学试卷含详解

所以的最大值为，最小值为，
所以①③错误，
因为，
所以
（其中）
因为，
所以，
所以，
所以的最小值为，最大值为14，
所以②正确，④错误，
故选：A
二､填空题共5小题.
11.设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
（1）若，直接写出的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求最小值
北京一零一中2022-2023学年度第一学期高三数学统考二
一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若集合，则下列结论中正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
17.已知函数， .
（1）的周期是，求，并求的解集；
（2）已知，，，，求的值域.
18.已知函数 .
（1）当时，求曲线点处的切线方程；
（2）求证：当时，函数存在极值；
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
19.记为数列的前n项和．已知．
A. B. C. D.
9.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（）
A. B. C. D.
10.在中， . 为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：
① 的最小值为；② 的最小值为；

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北京市海淀区高三第二次模拟试题数学学校班级姓名题号一二三总分（17）（18）（19）（20）（21）（22）分数注意事项：1、答第I 卷前，考生除需将学校、班级、姓名写在试卷上，还务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。

2、每小题选出答案后，除需答在试卷上，还需用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案号.3、考试结束，考生将试卷和答题卡一并交回.第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）不等试9|123|≤-x 的整数解的个数是（）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4（2）抛物线的顶点在坐标系原点，焦点是椭圆1422=+y x 的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为（）（A ）32 （B ）3 （C ）321 （D ）341 （3）已知集合A 、B 、C 为非空集合，,C A M ⋂=,C B N ⋂=N M P ⋃=，则（）（A ）一定有C P C =⋂ （B ）一定有P P C =⋂ （C ）一定有P C P C ⋃=⋂ （D ）一定有=⋂P C φ （4）已知实数a 、b 满足ab>0，则代数式abb a 22+的值（）（A ）有最小值但没有最大值（B ）有最大值但没有最小值（C ）既有最大值也有最小值（D ）没有最大值也没有最小值（5）把函数x a y -=和函数)(log x y a -=的图像画在同一个坐标系中，得到的图像只可能是下面四个图像中的（）（6）函数)sin 3)(cos cos 3(sin x x x x y --=的最小正周期为（A）4π（B）2π（C）π（D）2π（7）如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，ADPDABCDPD=⊥,平面，则P A与BD所成角的度数为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°（8）（理科作）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧θ-θ=θ=ctgtgyx2sin2（θ是参数）所表示的曲线是（）（A）直线（B）抛物线（C）椭圆（D）双曲线（文科作）如果等比数列}{na的首项是正数，公比大于1，那么数列}{log31na（）（A）是递增的等比数列（B）是递减的等比数列（C）是递增的等差数列（D）是递减的等差数列（9）522⎪⎭⎫⎝⎛-yx的展开式中系数大于–1的项共有（）（A）5项（B）4项（C）3项（D）2项（10）已知平面α、β、γ直线l、m满足：ml⊥、γ⊥α、m=α⋂γ、l=β⋂γ，那么在：①γ⊥β；②α⊥l；③β⊥m中，可以由上述已知条件推出的只有（）（A）①和②（B）②和③（C）①和③（D）②（11）（理科作）在极坐标系中，方程12sin2cos322-θ-θ=ρ表示的曲线是（）（A）平行于极轴的直线（B）垂直于极轴的直线（C）圆心在极点的圆（D）经过极点的圆（文科作）设△ABC的三个内角A、B、C的度数成等差数列，则tg(A+C)的值为（）（A）33（B）33-（C）3（D）3-（12）北京某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到两台，不同送法的种数共有（）（A）10种（B）9种（C）8种（D）6种第II卷二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果（13）复数iz521+=，iz312-=，复数324134zx=，则|z|=（14）圆锥的底面和顶点都在同一个球面上，球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为（答案写成分数形式）（15）过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为（16）已知数列}{n a 、}{n b 都是等差数列，01=a 、41-=b ，用k S 、'k S 分别表示数列}{n a 、}{n b 的前k 项和（k 是正整数），若0='+k k S S ，则k k b a +的值为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）设a >0,1≠a .解关于x 的不等式0)1(log )3(log 2<--++x x x xa a （18）（本小题满分12分）（理科作）在△ABC 中a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +⋅-=-⋅+，且B A ≠求证：△ABC 是直角三角形（文科作）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边.（I ）若△ABC 面积为23，c =2，A =︒60，求b ，a 的值；（II ）若a cosA =b cosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论. （19）（本小题满分12分）在如图的三棱锥P –ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A =AC =1，PC =BC ，PB 和平面ABC 所成的角为︒30（I ）求证：平面PBC ⊥平面P AC ；（II ）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小，并说明理由；（III ）求AB 的中点M 到直线PC 的距离（20）（本小题满分12分）某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂瞬间的时间忽略不计），研究开始计时时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究进行时间t 的函数，记作y =f (t ).（I ）写出函数y =f (t )的定义域和值域；（II ）在给出的坐标系中画出y =f (t ) (60≤≤t )的图像；（III ）写出研究进行到第n 小时（Z n n ∈≥,0）时细菌的总数有多少个（用关于n 的式子表示）.（21）（本小题满分12分）设双曲线13222=-x ay 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线`L 、2L 的方程；（II ）若A 、B 分别为1L 、2L 上的动点，且2|AB |=5|1F 2F |，求线段AB 的中点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.（22）（本小题满分14分）已知函数)(1log 2N n xy n∈= （I ）当n =1，2，3，…时，把已知函数的图像和直线y =1的交点的横坐标依次记为321,,a a a …，求证1321<++++n a a a a ；（II ）对于每一个n 的值，设n A 、n B 为已知函数的图像上与x 轴距离为1的两点，求证：n 取任意一个正整数时，以n n B A 为值径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标.参考答案与评分标准二、填空题：（13）227；（14）329；（15）x = 0或15x + 8y – 32 = 0（写出一个方程给2分）；（16）4. 三、解答题：（17）解：原不等式等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+<+>->+,0x 1x3log 0x x 20x 10x 3a…………………………………………………3分即 ⎪⎩⎪⎨⎧>-+<<-.0x 1x3log 0x 2a 当a > 1时，⎪⎩⎪⎨⎧>-+<<-,1x1x 30x 2解得–1< x < 0；…………………………………………………………………………7分当0 < a < 1时，⎪⎩⎪⎨⎧<-+<<<-,1x 1x300x 2 解得–2 < x <–1.………………………………………………………………………11分所以当a > 1时原不等式的解集为{}0x 1|x <<-；当0 < a < 1时原不等式的解集为{}1x 2|x -<<-.……………………………12分（18）（理科）解：由已知得：)]B A sin()B A [sin(b )]B A sin()B A [sin(a 22++-=--+∴B cos A sin b 2B sin A cos a 222=.……………………………………………………3分由正弦定理得a sinB = b sinA, ∴a cosA = b cosB.又由正弦定理得2RsinA=a ，2RsinB=b,∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,……………………………………………………………8分即sin2A=sin2B由已知A 、B 为三角形内角且A ≠B, ∴2A+2B=180°. 即A+B=90°.∴△ABC 为直角三角形.……………………………………………………………12分（文科）解：（Ⅰ）由已知得︒==60sin b A sin bc 2123， ∴b=1.……………………………………………………………………………3分由余弦定理3A cos bc 2c b a 222=-+=∴a=3.……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得2RsinA=a ，2RsinB=b ，∴2RsinAcosA=2RsinBcosB ，……………………………………………………9分即sin2A=sin2B.由已知A 、B 为三角形内角， ∴A+B=90°或A=B ，∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形.………………………………………12分（19）解：（Ⅰ）由已知PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1， ∴△PAC 为等腰直角三角形，且PC=CB=2，在Rt △PAB 中∠PBA=30°， ∴PB=2，∴△PCB 为等腰直角三角形. ∵PA ⊥平面ABC ，PC ⊥BC ，∴AC ⊥BC ，又C PC AC = ，∴BC ⊥平面PAC ， ∵⊂BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC.…………………………………………………4分（Ⅱ）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC 面积值为21，侧面PAB 面积值为23，侧面PCB 面积值为1，底面积值为22. 三个侧面面积的算术平均数为633+.…………………………………7分 ∵6233322633-+=-+, 其中0)23()89()23()223(2333>-+-=-++=-+，∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值.……………………8分（Ⅲ）如图，过M 作MD ⊥AC ，垂足为D. ∵平面PAC ⊥平面ABC 且相交于AC ， ∴MD ⊥平面PAC.过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，连结ME ，则DE 是ME 在平面PBC 上的射影， ∵DE ⊥PC ，∴ME ⊥PC ，ME 的长度即是M 到PC 的距离. 在Rt △ABC 中，MD ∥BC ，MD=21BC=22，在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42∴ME=4108121DE MD 22=+=+，即点M 到PC 的距离为410.…12分（20）解：（1）定义域为),0[+∞，……………………2分值域为{}N n ,2y |y n ∈=.……………4分（2）如图：…………………………………8分（3）n 为偶数时：2n22y ⨯=，……………10分 n 为奇数时：21n 22y -⨯=，……………12分（21）解：（1）由已知得已知双曲线的离心率为2a3a 2=+，解得1a 2=，所以已知双曲线方程为13y x 22=-，它的渐近线1L 、2L 的方程为0y 3x 0y 3x =+=-和.…………3分（2）因为2121F F 5AB 2,4F F ==，所以|AB|=10.设A 在1L 上，B 在2L 上，则可以设A )y ,y 3(11、B )y ,y 3(22-， ∴.10)y y ()y y (3221221=-++①…………………………………………5分设：AB 的中点M （x ，y ），则2y y y ,2y 3y 3x 2121+=-=. ∴y 2y y ,3x 2y y 2121=+=-，………………………………………………9分代入①得1003x 4y 1222=+，即125y 375x 22=+为中点M 的轨迹过程，轨迹为椭圆.…………………………………………………………………12分（22）解：原函数可化为：x log n 1y 21=……………………………………………………2分 (Ⅰ) y = 1时，可求得n21x ⎪⎭⎫⎝⎛=，即1n nn 212121a -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，∴{}n a 是以21为首项，21为公比的等比数列. ∴1211211)211(21a a a a n n n 321<-=--=+++ .………………………………7分（Ⅱ）同理可以求n A 、n B 的横坐标，可得n A 、n B 的坐标分别为)1,2()1,21(n n -和.因此nn22n n n n 2122)212(B A +=+-=. 因此n A n B 中点C 到y 轴距离2B A 2212n n n n =+, ∴以C 为圆点、n A n B 为直径的圆必与定直线y 轴相切，这条定直线的方程为x=0.由点C 的纵坐标为0，可知从点C 到y 轴作垂线的垂足就是原点即切点，所以切点坐标为（0，0）.………………………………………………………………………………………14分（说明：囿于篇幅，本答案只给出一种解法，其他解法可相应给分.）。

2023年北京海淀区高三二模数学试题及答案

2023北京海淀高三二模数学本试卷共6页，150分．考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{12},{0,1}A xx B =−<<=∣，则（） A ．AB B ．B AC ．A B =D ．A B =∅2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点(1,2)P ，则sin α=（）A ．5 B ．5C ．2D ．123．若()*(2)nx n −∈N 的展开式中常数项为32，则n =（）A ．5B ．6C ．7D ．84．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）A ．lg y x =B ．2y x=C ．||2x y = D ．tan y x = 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11233,a a a a =−=，则n S 的最大值为（）A ．7B ．6C ．5D ．46．已知抛物线2:4C y x =，经过点P 的任意一条直线与C 均有公共点，则点P 的坐标可以为（） A ．(0,1) B ．(1,3)− C ．(3,4) D ．(2,2)−7．芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．=100%⨯切割得到的无坏点的芯片数产品良率切割得到的所有芯片数在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的12．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为25%．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（）A ．50%B ．625%．C ．75%D ．875%． 8．已知正方形ABCD 所在平面与正方形CDEF 所在平面互相垂直，且2CD =，P 是对角线CE 的中点，Q是对角线BD 上一个动点，则P ，Q 两点之间距离的最小值为（）A ．1BC ．2D 9．已知a b ，是平面内两个非零向量，那么“a b ∥”是“存在0λ≠，使得||||||a b a b λλ+=+”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知动直线l 与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒．若l 与圆22(2)25x y −+=相交所得的弦长为t ，则t 的最大值与最小值之差为（）A ．10−．1 C ．8 D ．2第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2025届北京市海淀区高考数学二模试卷含解析

2025届北京市海淀区高考数学二模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．2．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（） A 322+B 342+C 322+D 342+ 3．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种4．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 B 5C ．5D ．555．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒6．231+=-ii （） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 7．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．128．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（） A ．152B ．102C ．153D ．10310．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（） A ．7-B ．3-C ．2D ．311．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（）A 22B 5C ．1316D 11 12．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则32y x --的取值范围为（）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试卷(含解析)

北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习（二模）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合，.若，则a 的最大值为( )A.2 B.0 C. D.-22．在的展开式中，x 的系数为( )A.40 B.10 C. D.3．函数是( )A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点4．已知抛物线，则线段的中点的纵坐标为( )C.3D.45．在中，，，的长为( )6．设a ，，，且，则( )C. D.7．在中，，且，则( )A.C.8．设是公比为的无穷等比数列，为其前n 项和，.则“”是“存在最小值”的( ){}1,0,1,2A =-{3}B xa x =≤<∣A B ⊆1-52(x x-40-10-()3,01,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩24x =6AF ABC △4AB =5AC =cos C =+b ∈R 0ab ≠a b ><2a b >()sin a b a b -<-32a b>ABC △C ∠=CB ==()1CA CB λλ=+- 4CP AB ⋅= λ={}n a ()1q q ≠-n S 10a >0q >n SA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．设函数的定义域为D ，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是( )A.C. D.10．设数列的各项均为非零的整数，其前n 项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为( )A.0B.22C.26D.31二、填空题11．若，则12．已知函数.①若，则函数②若函数在区间上的最小值为，则实数13．二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在114．如图，在正方体中，P 为棱上的动点，平面，Q 为垂足.给出下列四个结论：①；()f x ()f x ()00,x y ()(){}00,k k x x y f x x D ∈-+∀∈≤R ∣()f x 0x P 1P ()f x x =-()lg f x x =()3f x x =()πsin 2f x x =-{}n a n S ()*,j i i j -∈N 2j i a a ≥20S =10S ()2(i)2i x x +=∈R x ()2cos sin f x x a x =+0a =(f x ()f x ()0,π2-a ()2*n n ∈N n n ⨯162n n ⨯1111ABCD A B C D -AB DQ ⊥1D PC 1D Q CQ =②线段的长随线段的长增大而增大；③存在点P ，使得；④存在点P ，使得平面.三、双空题15．已知双曲线四、解答题16．已知函数，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定.（1）求的值；（2）若不等式在区间内有解，求m 的取值范围.条件①：；条件②：的图象可由的图象平移得到；条件③：在区间内无极值点，且.17．在三棱锥中，，M 为的中点.（1）如图1，若N 为棱上一点，且，求证：平面平面；（2）如图2，若O 为延长线上一点，且平面，直线与平面与平面所成角的正弦值.DQ AP AQ BQ ⊥//PQ 1D DA 22:4x C y -=2()2cos (0)2xf x x ωωω=>()f x ω()2f x <()0,m (2π)3f =()y f x =2cos2y x =()f x ππ(,36-ππ(2(263f f -=-+P ABC -2AB PB ==AP PC MN AP ⊥BMN ⊥PAC CA PO ⊥ABC 2AC ==PB ABC PBC18．图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为）.现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，.试比较，，的大小.（结论不要求证明）19．已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点A ，C ，与直EX 50%1:11p 2p 3p 1p 2p 3p ()2,0M线交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.20．已知函数.（1）若，①求曲线在点处的切线方程；②求证：函数恰有一个零点；（2）若对恒成立，求a 的取值范围.21．设正整数，，，，这里，2，…，n .若，且，则称，，…，具有性质P .（1）当时，若，，具有性质P ，且，，，令，写出m 的所有可能值；（2）若，，…，具有性质P ：①求证：；②求16x =ABCD PD ()()ln 0)f x x a a =-+>1a =()y f x =()()2,2f ()f x ()ln 2f x a a ≤+(),3x a a ∈2n ≥i a *i d ∈N (){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= 1i =*12n A A A =N ()1i j A A i j n =∅≤<≤ 1A 2A n A 3n =1A 2A 3A 11a =22a =33a =123m d d d =1A 2A n A ()1,2,,i i a d i n ≤= 1n i =参考答案1．答案：C 解析：由于，所以，故a 的最大值为，故选：C.2．答案：A 解析：设的通项，则，化简得，令，则x 的系数为，即A 正确.故选：A.3．答案：B 解析：当时，，则，当时，，则，所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.故选：B.4．答案：C 解析：抛物线的焦点，解得，故线段.故选：C.5．答案：A解析：由余弦定理可得，A B ⊆1a ≤-1-52(x x-1k T +()5115C 2k k k k T x x --+=-()5215C 2k k k k T x -+=⋅-⋅2k =()225C 240-=0x ≤0x ->1()()3()3x x f x f x --===0x >0x -<1()3()()3x x f x f x --===()f x ()f x 24x y =(0,1F 6A y +=5A y =AF 3=222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BC BC +-+-===⋅故选：A.6．答案：C解析：对于A ，取，，故A 错误，对于B ，，，故B 错误，对于C ，由于，，故在单调递减，故，因此，，由于，所以，故，C 正确，对于D ，，，则故选：C.7．答案：B 解析：由题可知，，故，故，解得故选：B.8．答案：A 解析：若且公比，则，所以单调递增，存在最小值，故充分条件成立.若且，当n 为奇数时，，单调递减，故最大值为时，，而15180BC BC +=⇒=2a =b =-122a b =->=-1a =b =-2a b=()sin 0y x x x =->cos 10y x '-≤=sin y x x =-()0,+∞sin 0x x -<sin x x <()0,x ∈+∞a b >0a b ->()sin a b a b -<-3a =-4b =-13227a b =<0CA CB ⋅= CP AB⋅ ()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦ 1684λ-+=λ=10a >0q >110n n a a q -=>n S n S 1S 10a >q =11112211013212n n n a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n S 1n =11S a =，当n 为偶数时，，单调递增，故最小值为，所以，即由，存在最小值得不到公比，故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要条件.故选： A.9．答案：D解析：根据题意，要满足性质，则的图象不能在过点的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：的直线，如下所示：数形结合可知，过点的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：的图象，以及过点的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：的图象，以及过点的直线，如下所示：123n S a <121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n S 2n =2S =S 110a >n S 0q >10a >0q >n S 1P ()f x ()()1,1f ()f x x =-)1,0()1,0()lg f x x =()1,0()1,0()f x ()3f x x =()1,1数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：的图象，以及过点的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线，即，满足题意，故D 正确.故选：D.10．答案：B 解析：因为，所以，互为相反数，不妨设，，为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，由题意知：满足，取的最小值；满足，因为，，故取的最小值；满足，取的最小值；同理，取的最小值；所以，满足，取的最小值；()1,1()f x ()πsin 2f x x =-()1,1-()1,1-1y =-0k =2120S a a =+=1a 2a 10a >20a <10S 3a 312a a ≥3a 12a 5a 51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩10a >1142a a >5a 14a 7a 717317531224248a a a a a a a a a ≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩7a 18a 9a 116a 135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=4a 422a a ≥4a 22a满足，因为，所以，取的最小值；满足，因为，所以，取的最小值；同理，取的最小值；所以，所以，因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22.故选：B.11．答案：1解析：因为，所以，即，所以，解得.故答案为：1.12．答案：①π；②解析：当时，，当时，，且二次函数开口向下，要使得在区间上的最小值为，则需要，且当时取最小值，故，解得，故答案为：π，.13．答案：7解析：由题意可知的二维码共有个，，故，6a 62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩20a <2224a a >6a 12a 8a 828418641224248a a a a a a a a a ≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩20a <222482a a a >>8a 12a 10a 12a 24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=101211131931922S a a a a a =+=-={}n a 11a =10S 2(i)2i x +=222i i 2i x x ++=212i 2i x x -+=21022x x ⎧-=⎨=⎩1x =2-0a =()2cos f x x ==2ππ2==()222cos sin sin sin 1sin 12a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++ ⎪⎝⎭()0,πx ∈(]sin 0,1x ∈()f x ()0,π2-1022a a -≥-sin 1x =112a -++=-2a =-2-n n ⨯22n ≤221615316022602n n -⨯⨯≤⇒≤2231637n n -≥⇒≥由于，所以，故答案为：7.14．答案：①②④解析：在正方体中，令，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，令平面的法向量，则，取，得，由平面于Q ，得，即，，显然，解得于是，对于①，，①正确；对于②，上单调递增，②正确；对于③，而，，，，若，显然，即不存在，使得，③错误；对于④，平面的一个法向量，而，*n ∈N 7n ≥1111ABCD A B C D -1AB =(01)AP t t =≤≤(0,0,0)D (0,1,0)C 1(0,0,1)D (1,,0)P t 1(0,1,1)CD =-(1,1,0)CP t =-1D PC (,,)n x y z = 10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1y =(1,1,1)n t =-DQ ⊥1D PC ((1),,)DQ n t λλλλ==-((1),,)Q t λλλ-((1),1,)CQ t λλλ=-- 2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=λ=222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+1||||D Q CQ ===||DQ ==(1,0,0)A (1,1,0)B ((1)1,,)AQ t λλλ=-- ((1)1,1,)BQ t λλλ=---2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<[0,1]t ∈0AQ BQ ⋅= 1D DA (0,1,0)DC = ((1)1,,)PQ t t λλλ=---由，得，即，令，，显然函数在上的图象连续不断，而，，因此存在，使得，此时平面，因此存在点P ，使得平面，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④.；或（）解析：，即，故焦点与到，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为或，或（）.16．答案：（1）条件选择见解析，（2）解析：（1）依题意，，选条件①，由，得，即，，，显然的值不唯一，因此函数不唯一，不符合题意.选条件②，的图象可由的图象平移得到，因此的最小正周期为函数的最小正周期π，而，0PQ DC t λ⋅=-=t λ=t =322310t t -+-=32()231f t t t t =-+-[0,1]t ∈()f t [0,1](0)10f =-<(1)10f =>(0,1)t ∈()0f t =PQ ⊄1D DA //PQ 1D DA 22(1x y ++=22(1x y +=22:4x C y -==12y x =20x y -=)()2x y -=122(1x y ++=22(1x y -+=221x y +=22(1x y -+=2ω=π(,)3+∞π()cos 12cos(13f x x x x ωωω=+=-+(2π)3f =ππ2cos()1233ω-+=ππcos(33ω-=ππ2π33k -=+k ∈N ππ2π33k -=-+k ∈*N ω()f x ()y f x =2cos 2y x =()y f x =2cos 2y x =ω>π=所以.选条件③，在区间内无极值点，且，则，即函数分别在时取得最大值､最小值，于是的最小正周期，由在区间内无极值点，得的最小正周期，因此，而，所以.（2）由（1）知，由，得，由不等式在区间内有解，即内有解，则有所以m 的取值范围是.17．答案：（1）证明见解析解析：（1）连接，，.因为，M 为的中点，所以.又，，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为平面，平面，平面，所以，，为直线与平面所成的角.2ω=()f x ππ(,36-ππ(2(263f f -=-+ππ(()463f f --=()f x x =π3x =-()f x ππ2[()]π63T ≤⨯--=()f x ππ(,)36-()f x ππ2[(π63T ≥⨯--=πT =0ω>2π2Tω==π()2cos(213f x x =-+(0,)x m ∈πππ2(,2333x m -∈--()2f x <(0,)m πcos(23x -<)m π23m ->>π(,)3+∞BM MN BN AB PB =AP BM AP ⊥MN AP ⊥MN BM M = MN BM ⊂BMN AP ⊥BMN AP ⊂PAC BMN ⊥PAC PO ⊥ABC OB ⊂ABC OC ⊂ABC PO OB ⊥PO OC ⊥PBO ∠PB ABC因为直线与平面所以因为，所以，，所以.又，故.所以.如图建立空间直角坐标系.则，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则即令，则.设与平面所成角为，则所以直线与平面.（2）分布列见解析；（3）PB ABC PBO ∠=2PB =1PO =OB =2=1OA =2AB =222AB OB OA =+OB OA ⊥O xyz -()0,1,0A )B()0,3,0C ()0,0,1P 110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭()0,3,1PC =- ()BC = 510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭PBC (),,n x y z =00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3030y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1y =)n = CM PBC θsin cos ,MC n MC n MC nθ⋅====⋅ CM PBC ()2116E X =231p p p >>解析：（1）根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的（2）设事件输入男性照片且识别正确.根据题中数据，由题意知X 的所有可能取值为1，2，3.所以X 的分布列为.（3）.（2）证明见解析，.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以所以..（2）设直线l 的方程为，令，得.由得.206080+==:A ()P A =()1P X ==()13244X ==⨯=()11344P X ==⨯=312123161616⨯+⨯=231p p p >>216y +=221(0)y a b b+=>>222c a b =-22a c +==a ==26=216y +=()20x ty t =+≠16x =y =1416,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭2234242x y x ty ⎧+=⎨=+⎩()223412120t y ty ++-=设，，则设的中点为，则所以因为四边形为菱形，所以N 为的中点，.所以直线的斜率为.所以直线的方程为.令得.设点D 的坐标为，则，即.所以直线的方程为，即.所以直线过定点.20．答案：（1）①；②证明见解析()11,A x y ()22,C x y 12y y +=12y y =AC ()33,N x y 1232y y y +==332x ty =+=ABCD BD AC BD ⊥BD t -BD 22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭0x =22863434t t y t t =-=++220,34t t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭()44,x y 43216234x x t ==+4322234t y y t =-=+221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭PD ()221414143416161634t t t y x t t ++-=--+()746y x t=-PD ()4,02y =（2）解析：（1）当时，.①所以，.所以曲线在点处的切线方程为.②由①知，.当，所以；当.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为，，，所以函数恰有一个零点.（2）由设，，则.所以是上的减函数.因为，，所以存在唯一，.所以与的情况如下：[)1,+∞1a =()()ln 1f x x =-+()11f x x =-'()22f =()20f '=()y f x =()()2,2f 2y =()()ln 1f x x =-+(]1,3x ∈()11f x x =-'()20f '=()1,2x ∈1>>()0f x '>(2,3x ∈1<<()0f x '<()f x ()1,2()2,3()22f =()3ln20f =>()31e 330f -+=-+<-+<()f x ()()ln f x x a =-+()f x '=()()g x x a =--(),3x a a ∈()10g x -'=<()g x (),3a a ()0g a =>()320g a a =-<()0,3x a a ∈()()000g x x a =-=()f x '()f x.当时，因为，所以.所以.所以，符合题意.当时，因为，所以.所以，不合题意.综上所述，a 的取值范围是.21．答案：（1）27或32引理1：若，，…，具有性质P ，则.引理1的证明：假设结论不成立.不妨设，则正整数，但，故一定属于某个，不妨设为.则由知存在正整数k ，使得.这意味着对正整数，有，，但，矛盾.所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证.引理2：若，，…，具有性质P ，则，且证明：取集合.注意到关于正整数k 的不等式等价于而由引理1有，即.()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-1a ≥()20g a a =-≤02x a ≤()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+()()0ln 2f x f x a a ≤≤+01a <<()20g a a =>02x a >()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+[)1,+∞1A 2A n A ()1,2,,i i a d i n ≤= ()1,2,,i i a d i n ≤= 11a d >111a d A -∉*12n A A A =N 11a d -()2i A i n ≤≤2A 112a d A -∈()11221a d a k d -=+-1112c a d d d =-+()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈12A A =∅ ()1,2,,i i a d i n ≤= 1A 2A n A 111ni i d ==∑1ni i ia d ==∑{}121,2,...,...n T d d d =()1201...i i n a k d d d d <+-≤11i i i i a a k d d -<≤-i i a d ≤011iia d ≤-<这意味着数列而，，…，两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由另一方面，，公差为的等差数列.所以的所有元素之和为.最后，再将这n 个集合的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为.，所以有综上，引理2获证.1i i i i a a k d d -<≤-+12...n i d d d k d ≤()(11,2,...k i i x a k d k =+-=1A 2A n A (1i A i n ≤≤12...A T A T +++ 12......nT T A T A T d +=+++ 211...1nd d +++={121,2,...,...n T d d d =T A i i d i T A 11122i i i i i i i i TT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,2,...,i T A i n = 112ni i i i T T a T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑112ni i i i T T a T d d =⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑()22111111122222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T T Tn TTa a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑1n i i ia d ==∑1ni i i a d ==回到原题.将，，从小到大排列为，则，.若，则，所以每个不等号都取等，从而，故；情况1：若，矛盾；情况2：若.此时如果，矛盾；如果，故；如果，由于，设，，则，.故对于正整数对，有，从而，这与矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当时，；当时，.所以的所有可能取值是27和32.（2）①由引理1的结论，即知；②由引理2的第二个结论，即知1d 2d 3d 123r r r ≤≤123123m d d d r r r ==23123111111r r d d d +=++=13r ≥1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤1233r r r ===12327m r r r ==1r =311110r r +=-=1r =31111r r =-=23221111r r r r =+≤+=24≤2r =21102r =-=2r =2112r =-=34=12332m r r r ==23r =12r =()()123123,,,,i i i r r r d d d ={}{}123,,1,2,3i i i =12i d =23i d =()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩2112231i i k k a a -=--12121223i i i i a k a k A A +=+∈ 12i i A A =∅ ()()123,,3,3,3d d d =27m =()()123,,4,2,4d d d =32m =123m d d d =()1,2,,i i a d i n ≤= 1ni i i a d ==∑。

北京市海淀区高三二模数学理科含答案[1]

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2013.5本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 A.180 B.240 C.276 D.3005.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B. 36 C. 42 D.487.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B.112俯视图8. 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A. 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B.若m ={}n a 是周期为3的数列C.T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D.Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______.10.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从．大到小．．．排列为______. 11.直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为____.12.在ABC ∆中，30,45,2A B a ∠=∠==，则_____;b =C _____.AB S ∆=13.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W . (I) 给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数cos2()1π)4x f x x =--.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； (Ⅱ) 求函数()f x 的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%.(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II ）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p 的取值范围.17. （本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =. 把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置,如图2所示,使得点P 在平面ABC上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ,点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． (I) 求证：平面//EFH 平面PBC ； (II)求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；(III)在棱PA 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明理由.CDBA图1H E CPBAF图218.（本小题满分13分）已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （I ）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（II ）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.（I ）求椭圆M 的方程；（II ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求A O B ∆（O 为原点）面积的最大值.20.（本小题满分13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；(Ⅲ)对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为πsin()04x -≠所以ππ,4x k -≠Z k ∈……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠Z}k ∈……………………4分（II ）因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x -=--……………………6分= 1(cos sin )x x ++1sin cos x x =++π= 1)4x +……………………8分又sin yx =的单调递增区间为 ππ(2π,2π)22k k -+ ，Z k ∈令πππ2π2π242k x k -<+<+解得 3ππ2π2π44k x k -<<+……………………11分又注意到ππ+,4x k ≠9． 2 10．c b a >> 11.12． 13．[0,1]14．②③;2所以()f x 的单调递增区间为3ππ(2π,2π)44k k -+， Z k ∈…………………13分16. 解：（I ）设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=…………………4分(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ 则ξ可以取5,0,45,145--…………………6分ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--…………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p <…………………12分所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC …………………1分因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=，30CAB ∠=，2BC =，4AD =所以4AC =，60CAB ∠=，所以ADC ∆是等边三角形，所以H 是AC 中点， …………………2分所以//HE PC …………………3分同理可证//EF PB 又,HEEF E CP PB P ==所以平面//EFH 平面PBC …………………5分（II ）在平面ABC 内过H 作AC 的垂线如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B …………………6分因为(0,E -，(0,HE =- 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z = 因为(3,1,0)HB =，HP =所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =-所以(3,3,0)n =-…………………8分cos ,||||22n HE n HEn HE ⋅<>===⋅⋅10分所以直线HE 与平面PHB …………………11分 (III)存在，事实上记点E 为M 即可 …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====，…………………13分在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB == 所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等…………………14分 18.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠…………………2分当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2t S t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增，…………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2t S t t =-+，令1'()(1)e 02t S t t =-+>，解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02t S t t =-+<，解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减……………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =-…………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-令21(2)e e 2a -≥，解得22ea ≥+，所以3a ≥…………………10分当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=令11(1)e e 2a S a --=≥，解得ln22a ≥+所以ln223a +≤<…………………12分综上所述，ln22a +≤…………………13分19.解:(I)因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点,所以1a b ==,椭圆M 的方程为2213x y +=…………………4分(II)设1122(,),(,),A x y B x y 因为AB 的垂直平分线通过点1(0,)2-，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时,则AB 的垂直平分线为y 轴,则1212,x x y y =-=所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ∆====2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ∆≤1||x =时，AOB S ∆………………7分当直线AB 的斜率不为0时,则设AB 的方程为y kx t =+所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x ktx t +++-= 当224(933)0k t ∆=+->, 即2231k t +>①方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+…………………8分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t +=② 代入①，得到04t <<…………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆=化简得到AOB S ∆12分因为04t <<，所以当2t =时，即k =时，AOB S ∆综上，AOB ∆…………………14分 20.（I ）解：法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以12a ≤或52a ≥ 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行， 22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a --- 必有2220a -≥，解得0,1a =- 当52a ≥时，则接下来操作第二行 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意. …………………6分 ②如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =- 经检验，0a =或1a =-符合要求综上：0,1a =-…………………9分（III ）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

北京市海淀区年高三二模数学(文科)试卷及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习数学(文科)ﻩﻩ ﻩ２０18.5第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

（1)已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则()U A B ＝(A ）{1} (Ｂ){3,5} (C){1,6} (D ）{1,3,5,6} (2)已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-,则（A) 1i z =-+ （B) 1i z =+ （C) +i z 是实数（D) +i z 是纯虚数 (３)若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴,则a 的值为（A ） 1 (B) 1- （C ） 2 （D ） 2- （4）已知0x y >>，则（A ）11x y> ﻩ（B) 11()()22x y >（C ） cos cos x y >ﻩ(D ） ln(1)ln(1)x y +>+（５）如图,半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，共n 颗,其中落在阴影区域内的豆子共m 颗，则阴影区域的面积约为(A)m n (B) n m （C ）m n π (Ｄ) n mπ（6）设C 是双曲线,则 “C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的（A)充分而不必要条件 (B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (Ｄ)既不充分也不必要条件（７)某校为了解高一年级３00名学生对历史、地理学科的选课情况,对学生进行编号，用1，２,……30０表示,并用(,i i x y ）表示第i 名学生的选课情况．其中01,i i i x ⎧=⎨⎩第名学生不选历史第名学生选历史，,01,i i i y ⎧=⎨⎩第名学生不选地理第名学生选地理.，根据如图所示的程序框图,下列说法中错误的是 (A ）m 为选择历史的学生人数（B)n 为选择地理的学生人数(C)S 为至少选择历史、地理一门学科的学生人数（D)S 为选择历史的学生人数与选择地理的学生人数之和（８）如图，已知直线y kx =与曲线()y f x =相切于两点，函数()(0)g x kx m m =+>,则函数()()()F x g x f x =- （A ）有极小值,没有极大值（Ｂ）有极大值，没有极小值（Ｃ）至少有两个极小值和一个极大值 (Ｄ）至少有一个极小值和两个极大值第二部分（非选择题共１10分）二、填空题共6小题,每小题5分,共３0分。

北京海淀02-03年高考数学模拟(二)答案

北京海淀02-03年高考数学模拟(二)答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共16分） 11．612．)0,5(± 13．}80|{<<x x 14．25三、解答题（共84分）15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，则332101111,111112=⨯+==+-d a S d a a 解得：21211==d a ……4分 221)1(21n n a n =-+=∴…………6分（Ⅱ）)(22)21()21(8)21()21(2122112112N n b b b b n n n n n n nn∈=====-++++ 分}{n b ∴等比数列，公比22221==b q …10分12221221lim 1+=-=-=∞→qb T n n ………12分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由B C A b c a sin )13()sin (sin 2)13(22+=++=+得2分分即分6(*)2sin )13(2cos 202sin )290cos(2cos 4)2cos 2sin 2)(13(2cos 2sin22 B C A C A C A B BB C A C A +=-≠+=+-=+=-⋅+⋅ （Ⅱ）依条件A=2C 得，B=180°－（A+C ）=180°－3C （*）式可以化为C C 23cos )13(2cos2+=………………8分 C C C C C23cos 2sin )13(2cos 2sin2,02sin⋅⋅+=⋅≠ 故)1cos 2(sin )13(21sin -⋅+=C C C ……10分 131321cos 20sin -=+=-∴≠C C则： 180023cos <<=C C 且……12分 ∴C=30°，A=60°，推理B=90°……14分（Ⅱ）（文科）若A+C=90°则C CA B-=-= 452452…………8分（*）式可以化为45sin )13()45cos(2+=-C 即213cos sin +=+C C …12分推得sin2C=23且0°<2C<180°故C=30°或60°…………14分 17．（本小题满分16分）（Ⅰ）证明：设A 1B 1的中点为F ，连接EF ，FC 1 ∵E 为A 1B 的中点 ∴EF ∥21B 1B 又C 1M ∥21B 1B ∴EF ∥MC 1 ∴四边形EMC 1F 为平行四边形∴EM ∥FC 1…………2分 ∵EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1 ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1………………4分（Ⅱ）解：作B 1H ⊥A 1N 于H ，连接BH∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴BH ⊥A 1N ∴∠BHB 1为二面角B —A 1N —B 1的平面角…………7分∵EM ∥平面A 1B 1C 1D 1，EM ⊂平面A 1BMN 平面A 1BMN ∩平面A 1B 1C 1D 1=A 1N ，∴EM ∥A 1N 又∵EM ∥FC 1， ∴A 1N ∥FC 1 又∵A 1F ∥NC 1，∴四边形A 1FC 1N 是平行四边形 ∴NC 1=A 1F ……10分设AA 1=α，则A 1B 1=2α，D 1N=α 在Rt △A 1D 1N 中，A 1N=52sin ,51111121211==∠∴=+N A D A ND A a N D D A在Rt △A 1B 1H 中，a a B HA B A H B 54522sin 11111=⋅=∠=在Rt △BB 1H 中，4554111===∠a a H B BB BHB tg ……12分（Ⅲ）延长A 1N 与B 1C 1交于P ，则P ∈平面A 1BMN ，且P ∈平面BB 1C 1C 又∵平面A 1BMN ∩平面BB 1C 1C=BM ∴P ∈BM 即直线A 1N ，B 1C 1，BM 交于一点P又：∵平面MNC 1//平面BA 1B 1，∴几何体MNC 1—BA 1B 1为棱台（没有以上这段证明，不扣分） )16(1776176722)14(67)4141(2312412121221213323222************分分的高为棱台=∴=-⋅⋅=∴=+⋅+⋅⋅=∴=-=⋅⋅==⋅⋅=∆∆V V a a a a a V a a a a a a V aC B B BA MNC a a a S a a a S MNC BB A （Ⅲ）（文科）21,1,2,111111111=====∴=M C BB NC C B B A A A)16(67)114141(231)14(141111分分=+⋅+⋅===∆∆V S S B BA MNC18．（本小题满分12分）解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列{a n },（2分）故a 1=100+2000×0.01=120(万元) a 2=100+(2000-100)×0.01=119(万元) a 3=100+(2000-100×2)×0.01=118(万元) a 4=100+(2000-100×3)×0.01=117(万元)（4分） … … ….1,120}{)7(),201()(121)1(12001.0)]1(1002000[100的等差数列公差为是首项为因此分万元-∈≤≤-=--=⨯--+=n n a N n n n n n a故a 10=121-10=111（万元）（8分）a 20=121-20=101（万元） 20次分期付款的总和为 )11()(2210220)101120(220)(20120分万元=⨯+=⨯+=a a S实际要付出300+2210=2510（万元）（12分）答：略 19．（Ⅰ）当k =0或k =－1或k =4时，C 表示直线；（1分）（文科2分）当k ≠0且k ≠-1且k ≠4时方程为4220)8)(6(41104101)1()5)(3()1(141122<<<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≠+>-+>+=-+++k k k k k k k k k k kk y k k x 或即是分文科分表示椭圆的充要条件是方程分文科分（Ⅱ）方程（1）表示双曲线充要条件是0411<-+⋅+kk k k)16)(11(12767)14)(10()(6,34,1,41,,01)()12)(8(634,41,1,,41)(4011222222分文科分综上得双曲线方程分文科分舍得其一条渐近线的斜率为轴上双曲线焦点在时当分文科分得其一条渐近线的斜率为轴上双曲线焦点在时或当或或即=-==-=+-=-+=<<-==-=-+=+=>-<><<--<y x k k kb a kk b k k a y k ii k K Kabk k b k k a x k k i k k k （Ⅲ）若存在，设直线PQ 的方程为：y =-x +m1223,,232),,(,)13()2(7244,72600002222--=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--+⎩⎨⎧=-+-=m m l M my m x y x M Q P m mx x y y x m x y 上在直线则的中点是设分得消去解得)16(21,,,0)2(,21分的方程为直线存在满足条件的的方程--=∴>∆-=x y PQ Q P m20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若x<0则-x>0,)5)(3()0(171)()()(7)()(,)(22分文科分是偶函数<+-=+-+---=-=∴x x x xx x x x f x f x f（Ⅱ）设,0,),0[,2121x x x x <≤+∞且上的任意两个实数是区间)1)(1()1)((71717)()(22212121212222121121++++--=++--++-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 则（5分）（文科8分）010101,0,10222121212121>++>++<-<-≤<≤x x x x x x x x x x 及而时当0)()(21>-∴x f x f 上为减函数在即]1,0[)(x f （7分）（文科11分）)14)(9(),1()(,0)()(,1,2121分文科分是增函数在即时当同理+∞<-<<x f x f x f x x（Ⅲ）2)2()(2,),1()(-=≥≥+∞f x f x x f 得由是增函数在)14(2|)()(|2)()(22)(00)(20)(2,2,)11(0)(2,017)(,07,0121212212122分即且分又<-∴<-<-∴≤-<<≤-<≤-∴≥<≤-∴<++-=∴<->++x f x f x f x f x f x f x f x x x f x x xx f x x x囿有篇幅，每题只给出一种解法，若有其它作法，请酌情相应给分.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

北京海淀02-03年高考理综模拟(二)答案

北京海淀02-03年高考理综模拟(二)答案第Ⅰ卷（共132分）本卷共22题，每题6分1.A2.C3.C4.D5.C6.A7.C8.B9.C 10.D 11.D 12.C 13.D 14.B 15.D 16.D 17.D 18.C 19.B 20.B 21.B22.D第Ⅱ卷（共168分）23．（10分）（1）①拟出可行的环境调查课题……2分 ②对选题理由的陈述应包括课题的意义、本人的兴趣、所具备的研究条件等，暂不对学生的答案作过高要求，只要能在某一个方面作出了条理清楚的阐述，便可给分。

……分注：选题的理由必须与所选课题相对应,否则不给分。

（2）调查方案:①调查的对象（或内容）……2分 ②调查方案应与所选课题相对应,否则不给分。

（3）成果形式:调查报告或小论文（答其中之一）……2分24．（12分）（1）①C 6H 12O 6 → 2C 2H 5OH （酒精）+2CO 2+能量……2分注：方程式若不完整（如缺酶），则不能给分。

②由于长期淹水，导致秧苗缺氧，进行无氧呼吸。

长时间无氧呼吸积累的酒精，使组织细胞酒精中毒，导致烂秧……2分注：答案必须明确说明烂秧的原因是酒精中毒，否则不给分。

③n/4……2分 ④答案见图1……2分注：CO 2消耗总量的相交点应基本垂直于横坐标18%的位置（P 点）；曲线的起点不应低于纵坐标1的高度。

其它不作过多要求，但不能画直线或上拱线。

（2）出芽生殖……2分（3）乳酸……2分25．（8分）（1）①体细胞中基因成对存在；②只要有一个A （或显性基因）存在，便可控制合成酪氨酸酶；③a 基因不能控制合成酪氨酸酶……2分注：本题的核心答案是第②点，答出此点即可得满分。

若仅答出第①③点，则不得分。

（2）细胞核（或染色体）……2分DAN （基因）→RNA → 注：答案未写出基因A 、酪氨酸及表达性状—正常肤色，均不给分。

若仅写基因A ，未写DNA ，也不扣分。

其它部分则不得缺少，若缺少，则不给分。

2002年北京海淀区高考理综仿真试题二

试卷种类： A高考理科综合仿真试题 ( 二)本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 ) 和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。

满分为 300 分，考试时间为150 分钟。

第Ⅰ卷 (选择题共 120 分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结2.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

不可以答在试卷上。

本卷共 24 题，每题 5 分，共 120 分。

在以下各题的四个选项中，只有一个选项是切合题1.A.30%B.10%C.5%D.1%2.外界空气中的Ｏ 2 进入人体血液中并与血红蛋白联合要经过几层磷脂分A.10 层B.4C.6 层D.83.要查验绿色植物在呼吸过程放出CO２，以下哪一项实验条件是必需的A. 要用一株叶子多的植物B.C.把植物吞没在水中D.4.人类多指基因 (T) 对正常基因 (t) 是显性，白化基因 (a)对正常基因 (A) 是隐性，都在常染色上，并且都独立遗传，一个家庭中，父亲是多指，母亲正常，他们有一个白化病和手指正常A.3/4,1/4B.1/4,1/4C.3/4,3/8D.1/2,1/85.据报导，我国市场上现销售的冰箱，一半以上是“绿色冰箱”。

到2010年将完全裁减以氯氟化碳为制冷剂的冰箱，代之以“绿色冰箱”。

造成这A.B.C.“绿色冰箱”省电、节俭,D.6.用ＮＡA.35.5 g Cl 2作氧化剂参加反响时，可接受0.5N AB.6.4 g Cu 与 S 反响失掉电子数为 0.2N AC.1 L 、 0.1 mol · L -1的ＣＨ３ＣＯＯＨ溶液中含ＣＨ３ＣＯＯ－和ＣＨ３ＣＯＯＨ粒子数之和为 0.1 N AD.16 g NH 2所含电子数为16N A7.科学家把不一样的原子核称为“核素”。

近来，中国科学院兰州近代物理研究所合成新核素135 135 64 Gd，对于64 GdA. 它是一种元素B. 其原子核内有 135C.它是元素钆 (Gd) 的一种新的同位素D. 它的相对原子质量为 1358.A. 沸点由高到低的次序：Ｈ２Ｏ＞ＮＨ３＞Ｃ２Ｈ＞ＣＨ４６B. 氧化能力由强到弱的次序：Ｃｕ2+＞Ｆｅ３＋＞Ｆｅ２＋＞Ａｌ 3＋C.稳固性由强到弱的次序：ＨＣｌ＞ＨＢｒ＞ＨＦ＞Ｈ2SD. 溶点由高到低的次序：Ｍｇ＞Ａｌ＞Ｋ＞Ｎａ9.邻甲基苯甲酸有多种同分异构体，此中属于酯类、且构造中含有苯环和甲基的同分异构体有A.3 种B.4C.5 种D.610.某同学配制 0.1 mol · L -1 ＮａＯＨ溶液100 mL ，以下操作会造成实质浓度偏高的是A. B.C.定容时俯视容量瓶的D. 使用在空气中部分变质的 NaOH11.有某铁的氧化物样品，用140 mL 5 mol · L -1的盐酸恰巧完整溶解，所得溶液能汲取0.56 L( 标准状况 )氯气，使此中的 2+所有转变为3+Fe FeA. Ｆｅ２Ｏ３B. Ｆｅ３Ｏ４C.Ｆｅ４Ｏ５D. Ｆｅ５Ｏ７12.取 m g 金属钠与 n g 铝分别放入足量盐酸中，在标准状况下产生Ｈ２分别为 2.24 L 和10.08 L ，若把 m g 钠和 n g 铝分别同时投入一盛足量水的烧杯中，充足反响，理论上产生Ｈ２的体积在A.2.24 LB.6.72 LC.8.96 LD.12.32 L222Ｒｎ来自镭称13.氡是放射性元素，某些建筑资料若含有氡，人居住此中将危害健康，为镭射气， 220Ｒｎ来自钍称为钍射气， 219Ｒｎ来自锕称为锕射气。

数学_2003年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2003年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数y=√x+2+lg(2x+1)的定义域是（）A (−2, +∞)B (−2, 0)C (−2, −1)D [−2, +∞)2. 极限limn→∞32n+2⋅3n−13⋅32n−3n+1=()A −1B −2C 13D 03. 函数f(x)=sinx+2cosx的最小正周期为（）A 4πB 2πC πD π24. 已知集合A={x|a−1≤x≤a+2}，B={x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是（）A {a|3<a≤4}B {a|3≤a<4}C {a|3<a<4}D {a|3≤a≤4}5. 奇函数f(x)在[3, 6]上是增函数，在[3, 6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(−6)+f(−3)=( )A 5B −5C −13D −156. 夹在两个平行平面之间的球、圆柱、圆锥在这两个平面上的射影都是等圆，则它们的体积之比为（）A 6:8:3B 2:3:1C 3:6:2D 3:2:17. 已知双曲线C的方程是x24−y29=1，给出下列四个命题（）(1)双曲线C的渐近线方程是y=±32x；(2)双曲线C的准线方程是x=√13(3)双曲线C的离心率是√132；(4)双曲线C与直线y=23x有两个交点其中正确的是（）A (1)(4)B (3)(4)C (1)(3)D (1)(2)(3)(4)8. 条件“复数z=12+√32i”是条件“z+1z∈R的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件9. 已知平面α∩平面β=l，直线m⊂α，且m∩l=P则（）A β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直C β内不一定存在直线与m平行，且不存在直线与m垂直D β内必存在直线与m平行，但不存在直线与m垂直10. 等比数列{a n}中，a1=512，公比q=12，用Πn表示它的前n项之积，则Π1，Π2，…，中最大的是（）A Π12B Π11C Π9D Π8二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．11. 圆锥的侧面积是它的全面积的34，则圆锥侧面展开图的圆心角为________．12. 若过点(m, 2)总可以作两条直线和圆(x+1)2+(y−2)2=4相切，则实数m的取值范围是________．13. 将A、B、C、D、E、F、G七个不同的电子元件在线路上排成一排，组成一个电路，如果元件A及B均不能排在两端，那么，这七个电子元件组成不同电路的种数是________（用数字作答）．14. （1）一个等比数列{a n}中，若存在a k<0，a k+1<0(k∈N)，则对于任意n∈N，都有a n<0；（2）一个等差数列{a n}中，若存在a k<0，a k+1<0(k∈N)，则对于任意n∈N，都有a n<0；（3）一个等比数列{a n}中，若存在自然数k，使a k⋅a k+1<0，则对于任意n∈N，都有a n⋅a n+1<0；（4）一个等差数列{a n}中，若存在a k+1>a k>0(k∈N)，则对于任意n>k，都有a n> 0．其中正确命题的序号是________．三.解答题：本大题共6个小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知关于x的不等式ax−5x2−a<0的解集为M．（1）当a=4时，求集合M；（2）若3∈M，求实数a的取值范围．16. 已知0<α<π2，π2<β<π且tanα2=12，sin(α+β)=513(I)分别求cosα与cosβ的值；(II)求tanα−β2的值．17. 正方形ABCD中，AB=2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED及△DCF折起（如图），使A、C点重合于A′点，（1）证明：A′D⊥EF；（2）求三棱锥A′−EFD的体积；（3）求A′D与平面DEF所成角的正切值．18. 某小区欲建一面积为640平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5米，短边外小路宽8米（如图），求怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小？19. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，数列{b n}是等比数列又a1=b1=1，a2=b2，a4=b4（1）求数列{a n}及数列{b n}的通项公式；（2）设c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项的和S n（写成关于n的表达式）．20. 已知半圆x2+y2=4(y≥0)，动圆与此半圆相切且与x轴相切（1）求动圆圆心轨迹，并画出轨迹图形（2）在所求轨迹曲线上求点P，使得点P与定点Q(0, 6)的距离为5．2003年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. B4. D5. D6. B7. D8. A9. B10. Cπ11. 2312. (−∞, −3)∪(1, +∞)13. 240014. （1）（3）（4）．15. 解：（1）当a=4时，原不等式可以化为4x−5<0…x2−4)(x−2)(x+2)<0…即4(x−54∴ x∈(−∞,−2)∪(5，2)4,2)…故M为(−∞,−2)∪(54<0…（2）由3∈M得：3a−532−a即(3a −5)(a −9)>0…∴ a <53或a >9 因此a 的取值范围是(−∞,53)∪(9,+∞)…16. 解：(I)∵ 0<α<π2<β<π，tg α2=12且0<α2<π4 ∴ cos α2=√5sin α2=√5 ∴ cosα=2cos 2α2−1=35sinα=45… 又sin(α+β)=513，π2<α+β<3π2∴ cos(α+β)=−1213…∴ cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =−1213⋅35+513⋅45=−1665…(II)∵ cosβ=−1665，π2<β<π， ∴ sinβ=√1−(−1665)2=6365…∴ tg β2=1−cosβsinβ=1+16656365=8163=97 ∴ tg α−β2=tg α2−tg β21+tg α2tg β2=12−97⋅=−1123… 17. 证明：（1）∵ A′D ⊥A′E ，A′D ⊥A′F ，∴ A′D ⊥平面A′EF ，∴ A′D ⊥EF…（2）∵ A′D ⊥平面A′EF ，∴ A′D 的长为三棱锥D −A′EF 的高∵ A′E =A′F =1,EF =√2，∴ ∠EA′F =90∘…∴ V A′−EFD =V D−A′EF =13S △A′EF ⋅DA′=13⋅12⋅2=13… （3）取EF 中点G ，连A′G ，DG ，∵ A′E =A′F =1，∠EA′F =90∘，∴ A′G ⊥EF 且A′G =√22．又∵ A′D ⊥EF∴ EF ⊥平面A′DG ，∴ 平面DEF ⊥平面A′DG…作A′H ⊥DG 于H ，得A′H ⊥平面DEF ，∴ ∠A′DG 为A′D 与平面DEF 所成角…在直角三角形A′DG 中，A′G =√22．A ′D =2，∴ tanA′DG=√24…18. 解：设绿地的长边为x米，则宽边为640x米，总占地为S平方米．S=(x+16)(640x+10)．=10x+16×640x+800．≥2√16×6400+800=1440．当且仅当10x=16×640x ，即x=32米，640x=20米时，上式中等号成立．因此，当绿地的长宽分别为32米，20米时，绿地和小路总占地面积最小为1440平方米．19. 解：（1）设等比数列{b n}的公比为q，则{1+d=q①1+3d=q3②，把①代入②，得d3+3d2=0，又d≠0，∴ d=−3，并求得q=−2，∴ a n=−3n+4，b n=(−2)n−1(n∈N∗)；（2）由（1）知c n=a n b n=(−3n+4)⋅(−2)n−1，S n=c1+c2+c3+⋯+c n=1+(−2)⋅(−2)+⋯+(−3n+4)(−2)n−1，则−2S n=(−2)+(−2)(−2)2+⋯+(−3n+7)(−2)n−1+(−3n+4)(−2)n，两式相减得，3S n=1+(−3)[(−2)+(−2)2+⋯+(−2)n−1]−(−3n+4)(−2)n=1+(−3)−2[1−(−2)n−1]3−(−3n+4)(−2)n，∴ S n=(n−1)(−2)n+1．20. 解：（1）设动圆圆心M(x, y)作MN⊥x轴于N①若两圆外切，|MO|=|MN|+2，∴ √x2+y2=y+2x2+y2=y2+4y+4，∴ x2=4(y+1)(y>0)．②若两圆内切，|MO|=2−|MN|，∴ √x2+y2=2−yx2+y2=y2−4y+4∴ x2=−4(y−1)(y>0)．综上，动圆圆心的轨迹方程是x2=4(y+1)(y>0)及x2=−4(y−1)(y>0)其图象为两条抛物线位于x轴上方的部分；作图如右：（2）设点P坐标(x, y)当|x|>2时，|PQ|=√x2+(y−6)2=√4(y+1)+y2−12y+36=√y2−8y+40=5解得：y=3或5，∴ 点P坐标(±4,3),(±2√6，5)当|x|<2时，y∈(0, 1]，|PQ|=√−4(y−1)+y2−12y+36=5解得：y=1或y=15（舍），进而求得x=0，∴ 点P坐标(0, 1)故点P坐标为(±4,3),(±2√6，5)；(0,1)．。