七年级数学相交线知识点及习题
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课 题 5.1 相交线
教学目标
1.能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手,理解对顶角、邻补角的概念,掌握对顶角的性质,并能依据概念及性质进行简单的计算;
2.了解垂线、点到直线的距离的定义,理解垂线和垂线段的性质;会用三角板过一点画已知直线的垂线,并会度量点到直线的距离;
3.理解三线八角的意义,并能从复杂图形中识别它们,培养抽象概括问题的能力.
教学内容
知识回顾
1.什么是余角?什么是补角?
新课知识
知识点1:邻补角的概念及判别
1.如图,∠1和∠2有一条公共边OC ,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补
角.
邻补角必须满足:(1)相邻,两角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线; (2)互补,这两个角的和为180°.
注:(1)邻补角是成对的,是具有特殊位置关系的两个互补的角. (2)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定是邻补角. 规律小结
判断两个角是否为邻补角,关键是看这两个角的两边,其中一边是公共边,另外一边互为反向延长线.
例1.下列关于邻补角的说法正确的是( )
A.只是和为180°的两个角
B.有公共顶点且互补的两个角
C.有一条公共边且相等的两个角
D.有公共顶点且有一条公共边,另一条边互为反向延长线的两个角
定义 两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角。 性质
邻补角互补
几何语言
∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,
∠3+∠4=180°,∠1+∠4=180°,
例2.如图所示,直线a 、b 相交于点O ,若∠1
等于40°,则∠2等于( ) A.50° B.60° C.140° D. 160°
知识点2:对顶角的概念及性质
2.如图,∠1和∠3有一个公共顶点,并且 ∠1的两边分别是∠3的两边的 反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
掌握对顶角的概念应抓住其本质特征:(1)两个角有公共顶点;
(2)两个角的边互为反向延长线,两个角无公共边. 注:(1)只有两条直线相交才产生对顶角;
(2)对顶角相等,但是相等的角不一定是对顶角. 规律小结
(1)判断两个角是否是对顶角,要看两个角是否是两条直线相交所得到的; (2)对顶角是成对的,两条直线相交所构成的四个角中,共有两对对顶角.
例3.如图所示,AB ,CD ,EF 交于点O ,则图中共有对顶角 对.
例4.如图所示,直线AB 、CD 相交于点O,OE 平分∠AO C,∠BOC-∠BOD=20°,求∠BOE的度数.
定义
两个角有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角. 性质
对顶角相等 几何语言
∠1=∠3,∠2=∠4
知识点3:垂线的概念与画法
1.当两条直线相交所成的四个角中,有一个是时,就说这两条直线互相,其中的一条直线叫做另一条直线的,它们的交点叫做 .
画法:“一重”:把直角三角板的一条直角边与已知直线重合;
“二移”:沿着已知直线移动三角板,使其另一条直角边经过已知点;
“三画”:沿着另一条直角边画经过已知点的直线.
延伸拓展
1.垂直的理解
(1)垂直是相交的一种特殊情形;
(2)垂直是一种相互关系,即a⊥b,同时b⊥a;
(3)如遇到线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线、射线与直线相互垂直,是指它们所在的直线互相垂直.
2.垂直定义的应用格式
(1)如果直线AB,CD相交于点O,∠AOC=90°,那么AB⊥CD.
这个推理过程可以写成:因为∠AOC=90°(已知)。所以AB⊥CD(垂直的定义).
(2)如果AB⊥CD,那么所得的四个角中,必有一个是直角.
这个推理过程可以写成:因为AB⊥CD(已知),所以∠AOC=90°(垂直的定义).
例5.如图所示,三条直线相交于点O,若CO⊥AB于O,∠1=56°,则∠2等于()
A.30°
B.34°
C.45°
D.56°
知识点4:垂线的性质
性质:①在同一平面内,过一点一条直线与已知直线垂直;
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,最短,简单说成:垂线段最短.
规律小结、
(1)在同一平面内,画已知直线的垂线可以画出无数条,但过一点画已知直线的垂线,只能画出一条.
(2)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条,而斜线段却有无数条.
注:垂线是直线,垂线段是线段.
例6.如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC=3cm,则BD的长度的取值范围是()
A.大于3cm
B.小于5cm
C.大于3cm或小于5cm
D.大于3cm且小于5cm
随堂巩固
8.已知:如图,AO BO ⊥∠=∠,12。求证:CO DO ⊥。
证明: AO BO ⊥(
)
∴∠=︒AOB 90(
)
∴∠+∠=︒1390 ∠=∠12( )
∴∠+∠=︒2390
∴⊥CO DO (
)
9. 已知:如图,COD 是直线,∠=∠13。求证:A 、O 、B 三点在同一条直线上。 证明: COD 是一条直线(
) ∴∠+∠=12___________(
)
∠=∠13(
)
∴__________+∠=3__________ ∴_______________(
)
B C D
2 3 1
O A
A
C
1 2 O 3
D
B