数学归纳法教案新部编本(张晓斌)
4.4数学归纳法教学设计
数学归纳法教学设计一、教学目标1.理解数学归纳法的原理和步骤，掌握其基本形式和证明方法。
2.能够运用数学归纳法解决一些典型的组合数学问题，如排列、组合、计数等。
3.培养学生的逻辑思维能力，让学生感受到数学归纳法的实用性和美感。
二、教学内容1.数学归纳法的原理和基本形式2.数学归纳法的证明方法3.应用数学归纳法解决实际问题三、教学重点与难点重点：数学归纳法的原理和基本形式，以及如何进行证明。
难点：如何应用数学归纳法解决一些复杂的组合数学问题。
四、教学方法与手段1.通过实例引入数学归纳法的概念和原理，帮助学生理解其意义和应用。
2.通过讲解和演示，让学生掌握数学归纳法的基本形式和证明方法。
3.通过小组讨论和案例分析，让学生实际运用数学归纳法解决实际问题。
4.利用多媒体教学工具，提高教学效果和学生的学习兴趣。
五、教学过程设计1.导入新课：通过引入一些有趣的排列组合问题，激发学生的兴趣，引出数学归纳法的概念和原理。
2.讲解原理：通过讲解数学归纳法的原理和基本形式，让学生理解其意义和应用。
同时，通过实例演示，让学生掌握如何进行证明。
3.小组讨论：让学生分组讨论一些典型的组合数学问题，如何应用数学归纳法解决这些问题。
通过讨论，加深学生对数学归纳法的理解和掌握。
4.案例分析：通过分析一些实际案例，让学生了解数学归纳法在解决实际问题中的应用，感受其实用性和美感。
5.课堂小结：通过总结本节课的主要内容和重点难点，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。
6.课后作业：布置一些典型的练习题，让学生巩固所学知识，提高应用数学归纳法解决实际问题的能力。
同时，鼓励学生自己寻找一些有趣的排列组合问题，进行自主探究和学习。
7.教学评价：通过学生的表现和作业情况，对学生的学习效果进行评价和分析。
及时反馈学生的学习情况，帮助学生发现自己的不足之处并加以改进。
同时，根据学生的反馈意见和建议，不断优化教学方法和手段，提高教学质量和效果。
8.拓展延伸：对于学有余力的学生，可以进一步拓展数学归纳法的应用范围，介绍一些更高级的组合数学问题和证明技巧。
2.3数学归纳法教学设计教案（最终定稿）
2.3数学归纳法教学设计教案（最终定稿）第一篇：2.3数学归纳法教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)2、过程与方法（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率．3、情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯．2.教学重点/难点重点：数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握．难点：数学归纳法中递推思想的理解3.教学用具多媒体、板书4.标签教学过程一、课堂探究【问题导思】问题1 在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．1．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】（1）第一辆自行车倒下；（2）任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．利用这种思想方法能解决哪类数学问题？【提示】一些与正整数n有关的问题．问题2多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答（1）第一张牌被推倒；（2）任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件（2）给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．数学归纳法的定义 1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立；②(归纳递推)假设____________________________．答案：第一个值n0(n0∈N*)，当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．应用数学归纳法时特别注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．一、数学归纳法的步骤原理例1.用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：（1）n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．（2）假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立．【答案】从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，第二步证明时，未用到归纳假设．因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列的求和公式．【变式训练】用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:（1）当n=1时左＝1，右＝12＝1 ∴n=1时，等式成立（2）假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k-1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立N*都成立由(1)、(2)可知等式对任何nÎ【小结】数学归纳法证明步骤的框图展示二、用数学归纳法证明等式综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立．【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．【变式训练】 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是_________；当n＝2时，左边所得项是__________；n=1时，左边是（）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 答案：1.1+2+3 1+2+3+5 2.C 三．用数学归纳法证明不等式【小结】用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．四、用数学归纳法证明数列问题下面我们用数学归纳法证明这个猜想．变式训练】数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．解：由a1＝2－a1，【小结】归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．“归纳—猜想—证明”的一般环节五、当堂检测1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有（）A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是______________．解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n ＋1)2(其中n∈N*)．4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．证明(1)当n＝1时，左边＝1×(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．课堂小结在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：（1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；（2）递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；（3）利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．第二篇：机械制造教案(数3)（二）计划（30学时）教学步骤：1、要求学生收集与典型零件加工有关的图书与资料；2、利用多媒体课件或现场教学等手段，讲解典型零件加工方法，了解轴类零件、套筒类零件、箱体类零件的加工工艺；了解机床夹具设计的方法，学会设计一种机床专用夹具。
《2.3.1数学归纳法》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.3数学归纳法理》导学案学法指导：认真自学，激情讨论，愉快收获.●为必背知识教学目标：1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．教学重点与难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.教学过程：一：回顾预习案1.阅读课本92页-93页2.完成下列填空a n1=这个猜想用多米诺骨牌原理解决数学问题.思考：你认为证明数列的通过公式是n与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？行：(1)(归纳奠基) ；(2)(归纳递推) .只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做 . 注意：(1)这两步步骤缺一不可.(2)用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n =k +1时命题成立”.(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析.4、例题讲解 例1 课本P 94例2 课本P 94当堂检测： 1．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为( )Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<L ≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥ 2．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n Λ过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 ( )A .2)2(kB .2)32(+kC . 2)12(+kD . 2)22(+k 3．用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n Λ的过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边 ( )A .增加了一项)1(21+k B .增加了一项)1(21121+++k kC .增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D .增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”4．若f (k )=++-+-Λ4131211 ,21121kk --则)1(+k f = )(k f + _______． 二 ，讨论展示案 合作探究，展示点评 展示一，课本96页A 组1(1)展示二，课本96页A 组1(2)展示三，课本96页A 组1(3)展示四，课本96页A 组2。
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图
数学归纳法教案优秀数学归纳法教案设计意图一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第七章第四节《数学归纳法》。
详细内容包括：1. 数学归纳法的概念与基本步骤；2. 数学归纳法在数列、不等式中的应用；3. 数学归纳法在函数、方程中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤；2. 能够运用数学归纳法证明数列、不等式、函数、方程等相关问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、基本步骤及运用。
难点：如何引导学生运用数学归纳法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：课本、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个与数学归纳法有关的实际问题，如“如何计算1+2+3++n的和”，激发学生兴趣，引导学生思考。
2. 例题讲解：选取一道数列求和的例题，讲解数学归纳法的概念和基本步骤，分析解题思路。
3. 随堂练习：让学生尝试用数学归纳法解决几个类似的数列求和问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展：引导学生思考数学归纳法在证明不等式、函数、方程等问题中的应用。
5. 课堂小结：六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与基本步骤；（2）数学归纳法在数列、不等式中的应用；（3）数学归纳法在函数、方程中的应用。
七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2；（2）用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有2^n > n；2. 答案：（1）略；（2）略；（3）略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了数学归纳法的概念、基本步骤及其应用。
但在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生疑问。
2. 拓展延伸：（1）探索数学归纳法在其他数学领域（如组合数学、数论等）中的应用；（2）研究数学归纳法的推广形式，如“第二数学归纳法”、“反向归纳法”等。
数学归纳法的教学设计
数学归纳法的教学设计一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是向学生传授数学归纳法的基本原理和应用。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，主要用于解决与自然数有关的数学问题。
通过本节课的学习，学生应掌握数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤，并能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、教学对象本教学设计的对象为我国高中一年级的学生，他们在先前的数学学习中已经接触过一些简单的数学证明，具备一定的逻辑推理能力。
此外，学生在初中阶段已经学习了数列的相关知识，这为学习数学归纳法奠定了基础。
但在实际运用数学归纳法时，学生可能对如何找到归纳假设和如何运用归纳假设进行推理感到困惑。
因此，本节课将针对这些难点进行讲解和练习。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解数学归纳法的概念、原理和步骤，掌握数学归纳法的基本证明方法。
（2）能够运用数学归纳法解决一些简单的数学问题，如数列求和、不等式证明等。
（3）掌握数学归纳法中的两个关键步骤：基础步骤和归纳步骤，并能够灵活运用。
（4）通过练习，提高逻辑推理能力和数学表达水平。
2、过程与方法（1）通过实例分析，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用，培养学生从特殊到一般的思维方法。
（2）引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解数学归纳法的基本原理，提高学生的自主学习能力。
（3）设计不同难度的练习题，使学生在解答过程中逐步掌握数学归纳法的运用，提高解题技巧。
（4）通过课堂讲解、互动问答等形式，让学生在实践中学会如何找到归纳假设，并运用归纳假设进行推理。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学归纳法的兴趣，激发学生学习数学的热情，增强学生的自信心。
（2）培养学生严谨、踏实的科学态度，让学生认识到数学证明的重要性，遵循逻辑推理的规律。
（3）通过数学归纳法的学习，让学生认识到事物发展的一般规律，培养学生的辩证唯物主义观念。
（4）鼓励学生积极参与课堂讨论，学会倾听他人意见，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
教学设计2：2.3数学归纳法
《数学归纳法》教学设计【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到： 221+1=5 222+1=17, 223+1=257, 224+1=65537归纳猜想：任何形如22n +1 （n ∈N ∗）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。
半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质670041764112525⨯=+=F数,从而推翻了费马的猜想。
——“不完全归纳有时是错误的”（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）情境2 、数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N )通过对n=1,2,3,4前4项归纳，猜想a n =1n ——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。
数学归纳法教案
数学归纳法教案教案标题：数学归纳法教案教案目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和原理。
2. 学习如何使用数学归纳法解决数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教师准备：黑板/白板、彩色粉笔/白板笔、教材、练习题、示意图等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、橡皮等。
教学过程：引入活动：1. 教师向学生介绍数学归纳法的概念，并给出一个简单的例子，引发学生对数学归纳法的兴趣。
知识讲解：2. 教师详细解释数学归纳法的原理和步骤，强调归纳法的逻辑性和有效性。
3. 教师通过示意图或实例，展示数学归纳法的具体应用过程。
示范演练：4. 教师给出一个适当的数学问题，并引导学生使用数学归纳法解决问题的步骤。
5. 教师与学生一起完成问题的解答过程，注重解答思路和逻辑推理的讲解。
合作探究：6. 学生分组合作，选择一道适当的数学问题，并运用数学归纳法进行解答。
7. 学生在小组内讨论，互相检查和纠正彼此的解答过程，确保正确性和合理性。
巩固练习：8. 学生个人或小组完成一些练习题，巩固数学归纳法的应用能力。
9. 教师及时给予学生反馈和指导，帮助他们纠正错误和提高解题能力。
拓展延伸：10. 学生尝试解决一些更复杂的数学问题，如数列、数学关系等，运用数学归纳法进行推理和证明。
11. 教师鼓励学生思考和探索，引导他们发现数学归纳法在其他领域的应用。
总结回顾：12. 教师对本节课进行总结，强调数学归纳法的重要性和实用性。
13. 学生回顾本节课的学习内容，提出问题和疑惑，教师进行解答和澄清。
教学反思：14. 教师对本节课的教学效果进行评估和反思，总结经验，为下一节课的教学做准备。
教学扩展：教师可以组织学生进行数学归纳法的拓展探究活动，如设计数学游戏、编写数学归纳法的应用题等，激发学生的学习兴趣和创造力。
数学归纳法实用教案
数学归纳法实用教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学归纳法》章节，详细内容包括数学归纳法的定义、原理和运用。
重点讲解数学归纳法的基本步骤，并通过实例分析，让学生掌握数学归纳法的证明方法。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的定义、基本步骤及证明方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 导入：通过一个实践情景引入数学归纳法，如“爬楼梯问题”，引导学生思考如何用数学方法解决此类问题。
2. 新课讲解：（1）讲解数学归纳法的定义，解释其原理。
（2）介绍数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤。
（3）通过例题讲解，让学生了解数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
（2）教师点评，指出学生存在的问题，并进行讲解。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的定义（2）数学归纳法的基本步骤：基础步骤、归纳步骤（3）例题及证明过程（4）课堂练习题七、作业设计1. 作业题目：（1）用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）用数学归纳法证明：2^n > n (n为正整数)2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解程度，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：（1）让学生了解数学归纳法在其他数学领域的应用，如数列、组合数学等。
（2）探讨数学归纳法与递归思想的关系，提高学生的逻辑思维能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计3. 板书设计4. 作业设计5. 课后反思及拓展延伸一、教学难点与重点的确定教学难点与重点的确定是教学过程中的关键环节。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《数学归纳法及应用举例》第一课教学设计重庆市教育科学研究院张晓斌教学目标：一、知识目标1．了解归纳法的意义.2．理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明有关正整数的命题.二、能力目标1．通过探索关于正整数命题的证明方法的过程，让学生体验严密的逻辑推理的数学思想.2．学生经历对问题的探究过程，让学生感知科学的研究方法，并培养学生提出问题、思考问题、分析问题、解决问题的能力.三、情感目标1．在学生经历问题的探究过程中，激励学生的好奇心和求知欲.2．在教学中，通过师生、学生之间的平等交流，使学生感受民主的氛围和团结合作的精神.教学重难点：一、重点1．初步理解数学归纳法的原理.2．初步会用数学归纳法证明简单的数学命题.二、难点1．对数学归纳法原理的理解.2．为何要利用假设证明n=k+1时命题正确.教学过程：一、创设情景师：同学们，我们先一起来分析三个问题情景：情景一：从麻布口袋里（无放回）逐一摸球.师演示：摸出第一个球，红色；第二个球，红色；第三个球，红色；第四个球，红色.师：根据这四个特殊事例，你能得出什么猜想？生甲：全为红色. 生乙：不一定.师演示：摸出一个白色球.师：说明由有限个特殊事例归纳出的结论不一定正确.情景二：给出一个数列的通项公式.板书：a n=(n2-5n+5)2.学生分组计算：a1, a2, a3, a4.师：请同学们猜想a n=? (n∈N*).生齐答：a n=1.师生一起计算：a5=25，否定结论.情景三师：请同学们回忆等差数列通项公式是如何推导的？生：根据前四项的规律，归纳出来的.板书：观察等差数列的前几项：112131410,1,2,3,a a d a a d a a d a a d =+=+=+=+你发现了什么规律？试用1a 、n 和d 表示n a .生：a n = a 1+（n-1）d (n ∈N*).师：以上三个情景说明一个什么问题？（师生共同观察、分析、讨论）生甲：结论有的正确，有的不正确.生乙：都是由几个事例得出的结论，有的正确，有的不正确.师：还有什么补充？生丙：这些问题与自然数有关.生丁：这种由有限个事例推出一般结论的方法不能作为证明方法.师：象这样由有限多个特殊事例归纳出一般结论的方法叫归纳法（板书归纳法），得出的结论不一定正确,也不能作为论证方法.师：用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但得出的一般结论并不一定可靠.再如法国著名数学家费尔马曾由0,1,2,3,4n =得到221n +均为质数而推测：n 为自然数时，221n +都是质数，但这一结论是错误的.因为瑞士大数学家欧拉发现，5n =时，221n+是一个合数： 22142949672976416700417n+==⨯.师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办法对所得到的结论进行证明.对于由归纳法得出的某些与正整数有关的命题()P n ，能否通过一一验证的办法来加以证明呢？生：不能.因为这类命题中所涉及的正整数有无限多个，所以无法一个一个加以验证.二、探索发现师：前面学习的等差数列通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确.一旦错误，我们已经建立的数学大厦必将倒塌，必须对它进行抢救性证明.如何证明这类有关正整数的命题呢？生甲：一一列出各项.生乙：不可能全部列出.师：人精力有限，不可能也不必要一一列出各项,我们一起来探索新的证明方法.我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下.这种传递相推的方法，就是递推.师：要使n 块多米诺骨牌全体依次倒下，须满足什么条件？生甲：摆放距离要恰当.生乙：牌的大小、重量要合适.师：我们只研究数学方面的条件，应找出数学模型.生丙：第一块倒下，后面接着倒下.师：总结同学的发言，需要条件如下：（1）第一块要倒下.（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下.再如：前面从一个袋子里第一次摸出的是一个红球，接着，如果我们有这样的一个保证：“当你这一次摸出的是红球，则下一次摸出的一定也是红球”，能否断定这个袋子里装的全是红球？生：能断定.师：类似地，证明一个关于正整数n 的命题需要证明哪几条？（通过学生充分探索、讨论3分钟）生甲：第一条，n=1时，命题成立；第二条，n 取前面一个值成立时，n 取后面一个值也成立.师：关于一个正整数n 的命题，n 一定可以取1吗？生乙：不一定，如多边形内角和定理(2)180(3)n n -⋅≥o.师：所以第一条是n 取第一个值n 0时，命题正确.师：如何用数学语言来刻画n 取前面一个值命题成立时，n 取后面一个值也成立呢？ 生丙：n=1命题成立时，n=2命题也成立；n=2命题成立时，n=3命题也成立.以此类推. 生丁：证明不完，前面一个n 值用一个字母表示.师：对.就用k 表示吧.生丁：若当n=k 时，命题成立，则n=k+1命题也成立.师：归纳同学们的意见，总结如下：板书：第一条：证明当n 取第一个值n 0（如n 0=1或2等）时，命题成立.第二条：假设当n=k （k ∈N*，且k ≥n 0，）时命题成立.证明当n=k+1时，命题成立. 师：证明了这两条命题一定成立吗？生：一定成立.师：为什么？生思考后，由第一条，n 取第一个值命题成立了，由第二条n 从第一个值开始，取后面的值一个接着一个都成立了.这两步实质上具有递推性.师：很好，这种证明命题的方法叫做数学归纳法.需证明的两条就是证明的两个步骤.（1）是递推的始点；（2）是递推的依据.步骤（1）是一次验证，步骤（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程.步骤（2）用的是演绎推理.板书：第一步n=1时命题成立 n=2时命题成立 由第二步n=1+1也成立 n=3由第二步n=2+1也成立由第二步n=3+1也成立时命题成立 ……即n ∈N *时，命题均成立师：上述无穷“链条”一环扣一环，形象地说明了用数学归纳法证明命题正确性的过程，它的两个步骤保证了命题无限递推是正确的.师：同学们，从以上推理链你们发现了什么？生甲：只要完成了证明的两个步骤，就完成了证明.生乙：两个步骤缺一不可.师：同学们的发现很好！第一步是递推的基础,第二步是递推的依据.（用展示平台展示用数学归纳法证明命题的两个步骤.）下面尝试用数学归纳法证明等差数列的通项公式.三、尝试证明板书：已知{a n }是等差数列，公差为d.求证：a n =a 1+(n-1)d.在教师的组织下，师生共同完成证明.师进行叙述示范.在证明过程中，教师适时提出两个问题让学生思考讨论.问题一：假设n=k 时等式成立，如何翻译成数学式子？这个式子是作为已知利用或是需要证明的？问题二：证明n=k+1时等式成立需证明的目标是什么？四、应用举例例1：用数学归纳法证明：1+3+5+……+（2n-1）=n 2 .此例的教学过程为：（1）学生先独立完成，在完成过程中师生之间、生生之间可以相互交流讨论.（2）教师在适当时候提出两个问题：①如何造成利用假设的条件？②证明n=k+1等式成立的证明目标是什么？（3）学生基本完成后，教师用平台展示学生的证明过程，师生共同点评.用实物展示平台展示学生的错误做法：（1）1n =时，左＝1，右＝1，等式成立.（2）假设n k =时等式成立，即2135(21)k k +++⋅⋅⋅+-=.则1n k =+时，2[12(1)1](1)135(21)[2(1)1](1)2k k k k k ++-++++⋅⋅⋅+-++-==+ ∴当1n k =+时等式成立，由（1）和（2）可知对任何*n N ∈等式都成立.师：上面的证明方法是数学归纳法吗？学生讨论.师：从形式上看用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明1n k =+正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式，数学归纳法的核心是证明命题的正确具有递推性.仅有第一步骤验证而没有第二步骤递推性的证明是不行的.那么，没有第一步行吗？学生讨论.师：让我们看一个例子：试问等式224621n n n +++⋅⋅⋅+=++成立吗？设n k =等式成立，即224621k k k +++⋅⋅⋅+=++，则 2224622(1)122(1)(1)1k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=++++=++++.∴当1n k =+时等式成立，故对任何*n N ∈等式都成立.师：对吗？学生讨论.师：事实上，当1n =时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边.左边总是偶数，右边总是奇数，该等式不可能对*n N ∈都是成立的.师：因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据.缺了第一步，递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去.五、练习反馈课堂练习：用数学归纳法证明：1+2+3+……+n=21n （n+1） 根据学生练习情况教师随时加入讨论.学生基本完成后,在平台上学生自愿展示自己的作品,师生共同点评.七、归纳小结师：通过本课学习，同学们学到了哪些知识或方法？有什么体会？在同学充分思考、讨论的基础上，用平台展示小结：1.数学归纳法是科学的证明方法,利用它可以证明一些关于正整数n 的命题.2.数学归纳法证明命题的两个步骤:(1)当n 取第一个值n 0(例如n 0=1或2等)时命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，利用它证明当n=k+1时命题也成立.3.用数学归纳法证明命题的两个步骤缺一不可.4.证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设.5.证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标.6.归纳法是一种推理的方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察――猜想――证明”是解答与正整数有关命题的有效途径.八、布置作业1．用数学归纳法证明：（1）1+2+22+……+2n-1=2n -1（2）首项是a 1,公比是q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1qn-1 2．思考题用数学归纳法证明命题为什么两个步骤缺一不可？【教学设计说明】本课采用交往式的教学方法,师生之间,学生之间在整个学习活动中相互交流,相互促进.教师在本课中的主要作用是提出研究课题,组织学生参加探究学习并以学习者的角色参与学习活动.师生一起提出问题让学生充分探究解决问题,并让学生对解决问题的方法、过程、结论进行判断,使学生主动参与知识的发生、发展全过程,在探究问题、解决问题中学习.通过分组讨论,使学生在合作学习中明辨是非,对就对、错就错,从中学会尊重人、理解人,培养了学生求真务实和科学人文精神.基本教学环节是:创设情景―探索发现―尝试证明―升华理解―应用举例―归纳小结.这种教学方法充分体现了以学生为中心,以学生和教师为主体的双主体教学理念.本课教学过程的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开.这样设计有利于在探究解决问题方法的过程中激发学生的好奇心和强烈的求知欲望,使学生主动地、积极地、全身心地投入到学习活动之中；有利于学生发现问题、提出问题、分析问题和创造性地解决问题，使教学过程成为学生再创造、再发现的过程，从而培养学生解决问题的能力和创新意识。