第十一章 多元函数微分学 信息类高等数学课件
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多元函数微积分(课件)
3 V 为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
D {(r,h) | r＞0,h＞0} 。
二元以及二元以上的函数统称为多元函数。
5
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
2．二元函数的定义域 二元函数的定义域比较复杂，可以是坐标系中全部的区域，也可以是由曲线所围成的 部分区域。围成区域的曲线称为区域的边界。不包括边界的区域称为开区域，连同边 界在内的区域称为闭区域；开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界点。 如果一个区域 D 内任意两点之间的距离都不超过某一正常数 M ，则 D 称为有界区域， 否则称为无界区域。
、
【例 3】 求二元函数 z ln(x y) 的定义域 D 。 解 由对数函数性质可知 x 、 y 必须满足 x y＞0 。直线 x y 0 是它的边界，定义域 为不包括边界在内的开区域。
D {(x, y) | x y＞0}
二、多元函数的极限
定义 5.2 设二元函数 z f (x, y) ，如果当点 P(x, y) 以任意方式趋向于点 P0 (x0 , y0 ) 时，f (x, y) 总趋向于一个确定的常数 A ，则称 A 是二元函数 f (x, y) 当 (x, y) (x0, y0 ) 时的极限，记为
4
第、 一节 多元函数的概念、极限与连续性
、
一、多元函数的概念 1．二元函数的定义
定义 5.1 设 D 是平面上的一个非空点集，如果对于每个点 (x, y) D ，变量 z 按照一定的法 则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y 的二元函数，记为 z f (x, y) 。其中 x、y 称 为自变量， z 称为因变量，自变量 x、y 的取值范围 D 称为函数的定义域。 【例 1】设圆锥体的底面半径为 r ，高为 h ，则体积V 1 πr2h 。这是一个以 r 、h 为自变量，
第十一章 多元函数微分学 信息类高等数学课件
3.常用二元函数及其相应曲面 （1） z R2 x2 y2 ，上半球面；
（2） z x2 y2，旋转抛物面；
z
Z
o y
o
Y
x 图 11.10
X
图 11.11
（3） z x2 y2 ，上半圆锥面；（4）z x2 y2 ，双曲抛物面.
z
z
z x2 y2
o
y
x 图 11.12
o
y
x
例 11.5 求下列极限：
（1） lim sin(xy) ; ( x,y)(0,2) x cos y
1
(2) lim (1 xy) x . ( x, y)(0,1)
解 根据两个重要极限，得
（1） lim sin(xy) =lim sin(xy) y lim sin(xy) .lim y
( x,y)(0,2) x cos y x0 xy cos y
xy0 xy y2 cos y
y2
1 2 2 ； cos 2 cos 2
1
1 y
（2） lim (1 xy) x =lim (1 xy) xy e1.
( x, y)(0,1)
x0 y1
例 11.6 讨论下列函数在点(0,0)处的极限：
（1） f (x, y)=（ x2 y2）sin 1 ； （2） f (x, y)= 2xy .
动点(x, y)趋向于定点(x0 , y0 )的方向有任意多个、路径有 任意多条，如图 11.14.
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
图 11.14(1)
图 11.14(2)
1. 二元函数极限的定义
（2） z x2 y2，旋转抛物面；
z
Z
o y
o
Y
x 图 11.10
X
图 11.11
（3） z x2 y2 ，上半圆锥面；（4）z x2 y2 ，双曲抛物面.
z
z
z x2 y2
o
y
x 图 11.12
o
y
x
例 11.5 求下列极限：
（1） lim sin(xy) ; ( x,y)(0,2) x cos y
1
(2) lim (1 xy) x . ( x, y)(0,1)
解 根据两个重要极限，得
（1） lim sin(xy) =lim sin(xy) y lim sin(xy) .lim y
( x,y)(0,2) x cos y x0 xy cos y
xy0 xy y2 cos y
y2
1 2 2 ； cos 2 cos 2
1
1 y
（2） lim (1 xy) x =lim (1 xy) xy e1.
( x, y)(0,1)
x0 y1
例 11.6 讨论下列函数在点(0,0)处的极限：
（1） f (x, y)=（ x2 y2）sin 1 ； （2） f (x, y)= 2xy .
动点(x, y)趋向于定点(x0 , y0 )的方向有任意多个、路径有 任意多条，如图 11.14.
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
y
(x, y) (x 0 , y0 )
o
x
图 11.14(1)
图 11.14(2)
1. 二元函数极限的定义
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
高等数学基础第十一章
形如 y'' +py' qy f (x)
（11-2）
的方程(其中p，q为常数)，称为二阶常系数非齐次线性微分方
程。称 y'' +py' qy 0为方程（11-2）所对应的齐次方程。
定理11.2 (非齐次线性方程解的结构) 若 yp是线性非齐次方程(2)的 某个特解， yc 为对应的齐次线性方程的通解，则 y yp yc 为
以 s t
t0 0
，ds
dt
t0 0
。代入上式得
C1 C2=0
所以
s t 1 gt2
2
二、微分方程的基本概念
定义11.1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微 分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶
把初始条件y x0 2 代入上式,得C 2
所以方程的特解为
y (x2 2)ex2
第三节 可降阶的高阶微分方程
一、y(n) f (x) 型的微分方程
例1 求微分方程 y 2x sinx 的通解。
解
因为 y 2x sinx，所以
y' x2 cosx C1
y
1 3
x3
sinx
C1x
x3
1 5
x5 )
+
C2
例4 求微分方程(1 ex ) y'' y' 0 的通解。
解
设 y' p(x) ，代入方程，得
(1 ex ) p' p 0
分离变量得
dp p
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
高等数学课件 同济四版
∂z ∂z 计算公式 dz = dx + dy ∂x ∂y f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) ∂f = lim 6、方向导数 、 ρ ∂l ρ→0 ∂f ∂f ∂f = cos α + sin α 计算公式 ∂l ∂x ∂y ∂f ∂f i+ j 7、梯度 gradf ( x , y , z ) = 、 ∂x ∂y 方向导数取最大值方向， 最大值为 gradf ( x , y ) 意义 方向导数取最大值方向，
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
高等数学之多元函数微分学
′ 1 ;
2. 全微分形式不变性
′ 2 x y v
x y
不论 u , v 是自变量还是因变量,
d z = fu (u , v) d u + fv (u, v) d v
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思考与练习
1. 求函数 答案： u = f1 ′ x u u = f1′ y u ′ = f2 z 的一阶偏导数.
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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z z 例3. 设 z = e sin v, u = xy , v = x + y , 求 , . x y z z v + 解: x v x
u
= eu sin v
+ eu cos v 1
z
u v
z y
u
z v + v y
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z
u v
x
y x
y
教材P81： 1; 2.
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又如, z = f (x, v) , v =ψ (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有
z= f
z f = x x
z y
′ ′ = f1′ + f2ψ1
′ ′ = f2ψ2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 注意 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
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dz . 例1. 设 z = e , u = sin x , v = cos x , 求 dx
uv
解:
dz z du z dv = + dx u dx v dx
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
多元函数微分学基础PPT课件
rhvrhvrhrh这里是随着的变化而变化的当在一定范围内内取定一对数值时的对应值就随之确定611三角形面积见图其面积依赖于三角形的两条边及其夹角图611例2示意图xyzxy设有变量如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时变量按照一定法则总有惟一确定的数值与之对应则称是的二元函数记作xy式中叫作自变量叫作因变量
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．
(b)有界区域
(c)有界区域
图6-12 区域示意
若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如 图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中 心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图612(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.
闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.
同样,函数z f (x, y)在点(x0,y0 )处对y的偏导数定义为
lim f ( y0 y, y0 ) f (x0 ,y0 )
x0
y
记作 z , f , z (x ,y )或f (x ,y )等.
y x (x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
y 00
y 00
如果函数z f (x, y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数 都有存在,那么这个偏导数就是x, y的函数,称为函数z f (x, y) 对自变量x的偏导函数.记作
y
a x2 y2 a2
O ax
例 5 求二元函数z ln(x y)的定义域．
解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x y 0 , 即定义域为
D (x, y) | x y 0.
点集D 在 xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x y 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域．
(如右图所示)．
《高等数学教学课件》2011. ch8.(1)多元函数的微分学 microsoft powerpoint 演示文稿
y)( x
y)x
( x y)y ( x y) ( x y)(x y)y (x y)2
x y x y
(x
y) (x (x y)2
y)
(x
y) (x (x y)2
y)
x x
y y
2y (x y)2
2x (x y)2
x y x y
2 y(x
y) 2x(x (x y)3
二阶偏导数 2 z .
解 x 2 令 : F ( x, y, z) z 3 3xz y 3;Fz ( x, y, z) (z 3 3 xz y 3 )z
3z 2 3 x; Fx ( x, y, z) (z 3 3 xz y 3 )x 3z;
z x
Fx Fz
3z
3z2 3x
2y x2
2x y2 ;
2x 2y
2y 2x
Fx
x2
; y2
Fy x2 y2 ;
dy Fx dx Fy
2x 2y
x2 y2
2y 2x x y
.
x2 y2 x y
d2y dx 2
d dx
x x
y y
x
x x
y y
y
x x
y y
dy dx
(x
y)x ( x
y) (x (x y)2
2u x 2
2r 2 sin cos
2u xy
r 2 sin2
. 2u
y 2
2u 2
r2
2u r 2
r cos
u x
r sin
u y
r (2 2u x 2
) 2u
y 2
2u 2
r2
2u r 2
高等数学微积分课件--82多元函数的概念
方向导数与梯度
方向导数的定义
方向导数是函数在某点处沿某一特定方向的 变化率。
梯度的几何意义
梯度在几何上表示函数值在空间中上升最快 的方向。
梯度的定义
梯度是方向导数的最大值，表示函数在某点 处沿某一方向的最大变化率。
方向导数与梯度的关系
方向导数是梯度的组成部分，但方向导数的 值可能小于梯度。
07
多元函数的极值与最 值
多元函数的自变量x的取值范围。
值域
多元函数因变量y的取值范围。
多元函数的表示方法
1 2
解析法
使用数学表达式来表示多元函数，如z = f(x,y)。
图示法
通过图形来表示多元函数，可以直观地观察函数 的变化趋势和形状。
3
表列法
列出函数在不同点上的取值，便于计算和比较。
多元函数的图形表示
平面图
在二维平面上表示多元函数，通过绘制等高线、 等值线等方式来表现函数的值。
三维图
在三维空间中表示多元函数，通过绘制立体图形 来表现函数的值和变化趋势。
参数方程
通过参数方程来表示多元函数，便于分析和计算 。
03
多元函数的性质
连续性
总结词
连续性是多元函数的基本性质，表示 函数在某点的极限值等于该点的函数 值。
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某点 的所有方向上的极限都存在且相等， 则称该函数在该点连续。连续性是函 数光滑、可微的重要前提。
VS
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的 特殊形式，用于计算定积分的值。
重积分与曲面积分
重积分
重积分是多元函数积分的扩展，用于计算多 元函数在区域上的积分。
高数多元函数微分法及其应用共24页文档
罗
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高数多元函数微分法及其应用
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
高数多元函数微分法及其应用
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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X
图 11.11
（3） z x2 y2 ，上半圆锥面；（4）z x2 y2，双曲抛物面.
z
z
z x2 y2
o
y
x
图 11.12
o
y
x
图 11.13
例 11.4 设 f (x y, x y) (2x2 2 y2 )ex2y2 , 求 f (x, y). 解法 1 （凑出法）因为 f (x y, x y) (2x2 2 y2 )ex2y2 (x y)2 (x y)2 e(xy)(xy)，
由图11.5（b）， D左右 (x, y) | 0 y 1, y2 x y .
例 11.2 区域D由直线 y x和 x 2及双曲线 y 1 共 x
同围成，试用两类不同的边界表示区域 D .
解 由图 11.6(a)，交点为(1,1),(2, 2)和（2, 1 ）. 所以 2
D上下
第十一章 多元函数微分学
11.1 多元函数的极限与连续 11.2 偏导数 11.3 全微分 11.4 复合函数的求导法则 11.5 多元函数微分学的几何应用 11.6 多元函数的极值 11.7 多元函数的最大值与最小值
11.1 多元函数的极限与连续
11.1.1 平面区域 11.1.2 二元函数 11.1.3 二元函数的极限 11.1.4 二元函数的连续性 11.1.5 内容小结
(x,
y)
|1
x
2,
1 x
y
x；
又由图 11.6(b)，得
D左右 D1 D2 (x, y) 1 y 2, y x 2
(x,
y)
1 2
y
1,
1 y
x
2.
显然，由于左边界曲线不单一（是一个分段函数），
致使后一种表示不得不将 D 拆分而复杂化.
同一区域的两类不同表示之间，可通过图形这个桥梁实 现相互转化（这在下一章的交换积分次序中用到）
例 11.1 区域D由抛物线 y x2和 x y2围成，试用两类 不同的边界表示 D .
y y x2
y y x2
y上 x
y下 x2
o
1
x
1 x左 y 2
x右 y
o
x
x y2
图11.5(a)
解
x y2
图11.5(b)
由图11.5（a），交点为(0, 0)和(1,1). 所以
D上下 (x, y) | 0 x 1, x2 y x ；
二元函数 z f x, y，( x, y)D在几何上表示空间直
角坐标系中的一张空间曲面，且该曲面在 xOy平面上的投 影区域就是该函数的定义域 D .
3.常用二元函数及其相应曲面 （1） z R2 x2 y2 ，上半球面；
（2） z x2 y2，旋转抛物面；
z
Z
o y
o
Y
x 图 11.10
二元函数，记作z f x, y，( x, y)D.
x和 y称为自变量, z 称为因变量；数对集D 称为函数
的定义域. 易见，函数的值域 Z=z | z f (x, y),(x, y) D；
函数在点( x0 , y0)D处的函数值为 f (x0, y0 )或记作 z |(xo,yo ) .
注意：一元函数 y f (x), x D的定义域D是实数 x的 集合，对应于数轴上的点集图一般为区间；二元函数
z f x, y，( x, y)D的定义域D是实数对(x, y)的集合，
对应于 xOy平面上的点集图一般为区域.
例 11.3 求出并画出二元函数 z ln(4 x2 y2 ) x2 1的定义域 D.
解
由
4 x2 y2 0
x2 1 0
得
x2 y2 4
x
1或 x
1
所以 D= (x, y) | x2 y2 4, x 1或x 1 ，
11.1.1 平面区域
1. 平面区域 平面区域是由 xOy 平面上的一条或几段光滑曲线所围成的 （没有空洞的）部分平面或整个平面，用 D 表示.围成区域的曲 线称为区域的边界，边界上的点称为边界点. （1）分类：
有界区域：区域内任意两点之间的距离都不超过某一常 数M (M 0).
无界区域：可延伸到平面无限远处的区域.
(x, y) | (x x0)2 ( y y0)2 ， 如图 11.7.
11.1.2 二元函数 1.定义
定义 11.1 设 x、y、z 是三个变量，D是非空数对集. 若对 D中每一数对( x, y )，按某对应法则 f ， z 总有惟一确 定的值与其对应，则称变量 z 是定义在D上的变量 x与 y的
11.1.3 二元函数的极限
动点(x, y)趋向于定点(x0, y0 )的方向有任意多个、路径有 任意多条，如图 11.14.
y
(x, y) (x 0 , y0)
o
x
y
(x, y) (x 0 , y0)
o
x
图 11.14(1)
图 11.14(2)
1. 二元函数极限的定义
定义 11.2 设 z f x, y在点 P0 (x0, y0 )的某 邻域( 0)
所以 f (x, y) (x2 y2 )exy.
解法 2
（换元法）
令
x x
y y
u v
代换原式并整理，得
解得
x y
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 2
(u (u
v) v)
f
(u, v)
2
( u
2
v )2
(u
2
v)2
( uv )2 ( uv )2
e2
2
= (u 2
v2
)euv
所以 f (x, y) (x2 y2 )exy.
内有定义.若动点 P(x, y)沿任意路径趋向于定点 P0 (x0, y0 )时， 函数 f (x, y)都趋向于一个确定的常数 A，则称 f (x, y)当( x, y)
y
x2
yx
D
y 1
x
o
1
2
x
图 11.6 (a)
y
x2
yx
2
D1
1 1
D2
y 1
2
x
o
1
2
x
图 11.6 (a)
y
p0 (x0 , y0 )
o
x
图 11.7
2.点P0的 邻域 xOy平面上，以点P0( x0, y0)为中心，以（ 0）为半径
的 开 域 ， 称 为 点 P0 ( x0, y0 ) 的 邻 域 ， 即
如图 11.8.
y
z
z f (x, y)
M(x, y, z)
2
1 o
1
2
x
y
x
o
p
y
x
图 11.8
图 11.9
同样，可定义三元函数 u f (x, y, z) ，(x, y, z) D . 二元以及二元以上的函数统称为多元函数.
2.几何表示
一般的，一元函数 y f (x), x D的图象为平面直角坐标 系中的一条平面曲线，且该曲线在 x轴上的投影区间就是该 函数的定义域 D. 同理，由图 11.9 可以看出：