循环小数
《循环小数》课件
如何将有限小数转换为循环小数
有限小数可以转换为循环小数的方法之一是将有限小数的分子乘以一个适当的数，使得乘积为整数。
循环小数与贝尔特朗悖论
贝尔特朗悖论是指存在一种情况，使得循环小数中的某些数字无法被无限重 复。
循环小数与无理数的关系
循环小数是一种有理数，而无理数不是循环小数。
循环小数的性质及其应用
圆周率和自然对数的循环小数开具有特殊的规律性。
无理数的绝对收敛和条件收敛 的比较
无理数的绝对收敛和条件收敛是分析学中的重要概念，与循环小数的收敛性 相关。
循环小数的无限不循环部分
循环小数的无限不循环部分是指循环部分之后的数字序列，它们不会重复。
循环小数具有周期性和重复性，这使得它们在数学和工程领域有广泛的应用。
循环小数在解决实际问题中的 应用
循环小数在金融、物流和科学研究等领域中可以用于解决实际问题，如计算 利息、预测货物到达时间等。
循环小数的计算方法与技巧
计算循环小数的方法包括割线法、长除法和观察循环节规律等技巧。
割线法求解无理数的循环小数
模n意义下的最小循环节
在模n意义下，循环小数的最小循环节是指能够与原循环节等价的最小整数。
循环小数的分类和基本性质
根据循环小数的规律和性质，可以对其进行分类，并研究其基本性质和特点。
循环小数与尾数重复的关系
循环小数的尾数重复性指循环小数末尾的数字会按照一定的规律不断重复出 现。
规律循环小数和混沌循环小数
《循环小数》PPT课件
欢迎来到我们的《循环小数》PPT课件！今天我们将深入探讨循环小数的定 义、性质和应用，帮助您更好地理解这一数学概念。
什么是循环小数?
循环小数是指无穷不循环小数，其中有一段数字会不断地循环出现。
循环小数一定是无限小数吗
循环小数一定是无限小数吗？
对的，循环小数一定是无限小数。
因为，循环小数的定义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。
循环小数首先是在无限小数的基础上讲的，所以循环小数一定是无限小数。
无限小数
1、定义：指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。
包括分数和无理数。
2、分类：无线循环小数和无限不循环小数，无线小数是说小数点后面的小数是无限多个，如果周期性出现相同的一组小数就叫循环小数，如果没有一个重复的就叫不循环小数。
无理数
也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π。
无理数是无限小数的一种。
《循环小数》
02
循环小数的范围通常表示为 0.ABC（其中ABC是循环部分 ）或ABC（其中ABC是循环部 分）。
03
循环小数一定是无限小数，但 无限小数不一定是循环小数。
循环小数的运算性质
乘法运算
两个循环小数相乘，其结果的小数部分也是一个循环小数。
加法运算
两个循环小数相加，其结果的小数部分也是一个循环小数。
循环小数与分数的转换关系
循环小数可以表示为分数 形式
将循环小数转化为分数，可以通过确定循环 节的长度，将循环节作为分子，然后根据循 环节的长度确定分母，从而将循环小数转化 为分数。
分数可以转化为循环小数
将分数转化为循环小数，可以通过对分子进 行重复运算，从而得到一个循环小数。
循环小数与分数的运算关系
纯循环小数
定义
纯循环小数是一种特定的小数，其小数部分从小数点后 第一位开始循环。例如，1/3=0.333...中的"3"是无限循 环的。
特点
纯循环小数的循环节位数是有限的，且循环节的数字不 重复。
例子
0.333..., 0.444..., 0.555...等。
混循环小数
定义
混循环小数是一种特殊的小数，其小数部分从小数点后某一位开始循环，然后跳过几位后再继续循环。例如， 2/7=0.285714...中的"2857"是循环节，跳过了"3"。
循环小数
2023-11-04
目录
• 循环小数的定义 • 循环小数的性质 • 循环小数的分类 • 循环小数的实例 • 循环小数与分数的关系 • 循环小数的应用
01
循环小数的定义
定义及特性
循环小数是一种小数，其小数点后某一段数字不断重复出现 。
关于什么是循环小数
关于什么是循环小数在数学中，循环小数是基础学习知识之一，下面是unjs小编为您整理关于循环小数，欢迎阅读!循环小数循环小数，是指从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，可分为有限循环小数,如：1.123123123(不可添加省略号)和无限循环小数，如：1.123123123……(有省略号)。
前者是有限小数，后者是无限小数。
循环小数介绍循环小数英文名：circulating decimal两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。
一种，得到无限小数。
从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如 2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，被重复的一个或一节数字称为循环节。
循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。
例如：2.966666... 缩写为 2. 96(6上面有一个点;它读作“二点九六，六循环”)35.232323…缩写为35.23(2、3上面分别有一个点;它读作“三十五点二三，二三循环”)循环小数可以利用等比数列求和(附链接：等比数列)的方法化为分数。
例如图中的化法。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。
循环小数一个“特殊”性质我们熟悉的七分之几化成循环小数为：以第一个分数为例：取它的循环节142857，共六位，从中间分成两段：142和857，对应相加!看看下图，发现了什么吗?没错!999!再试试其他几个循环小数的循环节，也是这样吗?我们再换一个分数。
比如1/11=0.090909……2/11=0.181818……3/11=0.272727…………循环节都是两位，分成两段，对应相加，9!再看一个：1/13=0.0769********……2/13=0.153846153846……3/13=0.230769230769…………第一个：循环节为076923，6位，分成两段， 076和923，对应相加：999!第二个：循环节为153846，6位，分成两段，153和846，对应相加，999!……再看一个长一点的：1/17=0.0588235294117647……2/17=0.1176470588235294……第一个：循环节为0588235294117647，16位，分成两段，05882352和94117647，对应相加，99999999!第二个：循环节为1176470588235294，16位，分成两段，11764705和88235294，对应相加：99999999!……一个调查：没错!7、11、13、17都是质数!其他质数呢?有没有兴趣试一试?特别是，有兴趣拿出一张大一点的纸，计算一下1/109吗?还有，背后的原因是什么呢?您会提出这个问题，并且试图解决吗? [关于什么是循环小数]。
循环小数说课稿10篇
循环小数说课稿10篇循环小数说课稿1一、说教材：1、教材简析《循环小数》是五年级上册第三单元的内容，它是学生在学习除数是整数的除法、除数是小数的除法和商的近似值的基础上教学的。
这部分内容概念多，又比较抽象，是教学的一个难点。
教材的编排意图是：例1让学生直观地认识小数的循环现象，初步探索循环小数的特征，例2让学生进一步理解循环小数，研究循环小数的循环规律，并用描述性的语言归纳循环小数的意义，在此基础上学习循环节、有限小数、无限小数和循环小数的简写方法。
循环小数是小数除法的商的一种特殊情况，可以看成小数除法的深层次的研究，通过对商的研究，学生可灵活的处理小数除法的商，为学生用小数除法的相关知识解决生活中的问题打下坚实的基础。
2、教学目标（1）知识目标：初步理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，能正确区分有限小数和无限小数，了解循环节的概念和循环小数的简写方法。
（2）能力目标：培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，提高观察、分析、比较、判断、抽象概括能力。
（3）情感目标：感受数学与现实生活的紧密联系，激发探究欲望，增强学习数学的信心，初步渗透集合思想。
3、教学重、难点：理解循环小数的意义。
二、说教法：1、依据《数学课程标准》中"变注重知识获得结果为知识获得的过程"的教学理念，以学生的发展为立足点，以自主探索为主线，通过学生动脑、动手、动中、动眼充分感知，然后经过学生观察、比较、小组合作、交流展示来概括循环小数的意义，从而使学生从形象思维逐步过渡到抽象思维。
2、采用多媒体辅助教学，调动学生兴趣，通过趣味性、竞争性等多种形式巩固练习，使学生变苦学为乐学，把数学课上的有趣、有效。
三、说学法：为了更好地突出学生的主体地位，在整个教学过程中，使学生学会运用直观的教学手段理解掌握新知，学会有顺序地观察问题、对比分析问题、概括知识等方法，培养学生自主学习、合作交流、解决问题的能力。
四、说流程：本节课我安排了四个教学环节：（1）从生活现象中感知循环。
循环小数的正确写法
循环小数的正确写法循环小数是一种特殊的小数，它的最大特点是小数点右边的几位数字重复出现多次。
它的出现给我们的数学学习带来了很多的麻烦，也给我们带来了很多的挑战。
因此，了解如何正确书写循环小数具有重要的意义。
一、什么是循环小数循环小数又叫周期小数，是一种特殊的小数，小数点右边的几位数字重复出现多次，其最大特点是循环出现，如0.333...，0.142857...等，它是一种无限不循环小数，出现次数以及重复出现的位置会有变化。
二、循环小数的正确写法1. 使用圆括号。
循环小数可以用圆括号括起来，表示循环部分，如：0.3(3)；0.142857(14)。
2. 使用下划线。
循环小数也可以用下划线表示，表示循环部分，如：0.3_3；0.142857_14。
3. 使用省略号。
循环小数也可以用省略号表示，表示循环部分，如：0.3…；0.142857…。
三、循环小数的应用1. 在微积分中，循环小数可以用来解决一些复杂的数学问题，如求解某一函数的极限等。
2. 在科学计算中，循环小数可以用来解决一些数学问题，如求解某一方程的精确解等。
3. 循环小数也可以用来描述某一系统的状态，如某一物体的运动轨迹等，从而解释某一系统的行为特征。
四、总结循环小数是一种特殊的小数，它的最大特点是小数点右边的几位数字重复出现多次。
正确书写循环小数可以使用圆括号、下划线或省略号，表示循环部分。
应用广泛，循环小数可以用来解决一些复杂的数学问题，也可以用来描述某一系统的状态，从而解释某一系统的行为特征。
因此，了解如何正确书写循环小数具有重要的意义。
五年级数学循环小数
五年级数学循环小数
一、循环小数的定义
循环小数是一种特殊的分数小数，它具有特定的循环特征。
在数学上，循环小数被定义为具有无尽循环模式的数字序列。
例如，1/3=0.333333……是一个循环小数，因为它的小数部分3是不断重复的。
二、循环小数的表示方法
循环小数通常可以用两种方式表示：一般形式和特殊形式。
1.一般形式：通过在数字后面添加一个无穷的小数来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为1.333333……
2.特殊形式：通过在数字后面添加一个循环节来表示循环小数。
例如，
1/3=0.333333……可以表示为0.3（3无限循环）。
三、循环小数的性质
循环小数有一些重要的性质：
1.循环小数的整数部分始终保持不变。
2.循环小数的循环节始终重复出现。
3.循环小数的和、差、积和商都可以表示为循环小数。
4.循环小数的倍数仍然为循环小数。
四、循环小数的简单运算
对于循环小数的简单运算，可以遵循以下步骤：
1.将循环小数转换为分数。
2.对分数进行运算。
3.将结果再转换为循环小数（如果需要的话）。
五、应用循环小数解决实际问题
循环小数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在时间计算中，我们常常会遇到“一刻钟”这样的表述，其中的“一刻”实际上是15分钟，是一个循环
小数的表示。
此外，循环小数也出现在物理学、工程学和其他科学领域中。
通过对循环小数的理解，我们可以更好地解决实际问题。
循环小数点
循环小数点1. 什么是循环小数点？循环小数点是指一个无限循环的小数，它的小数部分会一直重复出现。
循环小数点通常以一个带有括号的数字序列来表示，括号内的数字是会无限重复的。
例如，1/3（读作1除以3）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的0.3333…，可以用1/3=0.3(3)来表示。
2. 循环小数点的表示方法循环小数点可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种方式：2.1 带括号表示法在带括号表示法中，循环小数点的循环部分用括号括起来，括号内的数字表示会无限重复。
例如，2/7（读作2除以7）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的0.285714285714…，可以用2/7=0.(285714)来表示。
2.2 省略号表示法在省略号表示法中，循环小数点的循环部分用省略号表示，省略号前面的数字是循环部分的起始位置。
例如，1/6（读作1除以6）是一个循环小数点，它的小数部分是无限循环的0.166666…，可以用1/6=0.1(6)来表示。
3. 循环小数点的性质循环小数点有一些特殊的性质，下面我们来介绍一些常见的性质：3.1 循环节的长度循环小数点的循环部分的长度称为循环节的长度。
循环节的长度可以通过以下方法来求得：•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度；•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列加上一个非循环部分，那么循环节的长度就是这个数字序列的长度。
例如，1/7（读作1除以7）是一个循环小数点，它的循环部分是142857，循环节的长度是6。
3.2 循环节的起始位置循环小数点的循环部分的起始位置称为循环节的起始位置。
循环节的起始位置可以通过以下方法来求得：•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列，那么循环节的起始位置是1；•如果循环小数点的循环部分是一个数字序列加上一个非循环部分，那么循环节的起始位置是非循环部分的长度加1。
例如，1/6（读作1除以6）是一个循环小数点，它的循环部分是6，循环节的起始位置是1。
循环小数符号
循环小数符号
循环小数是数学中一个重要的概念，它指的是小数部分无限循环出现的一种特殊的小数。
为了简化循环小数的表示，数学家们引入了循环小数符号。
循环小数符号的形式为“1.2345…”，其中“…”表示一个数字序列的循环重复。
循环小数符号的优点在于可以简洁地表示无限循环的小数，而不需要给出具体的循环序列。
例如，0.3333…可以用循环小数符号表示为0.3。
需要注意的是，循环小数符号只适用于纯循环小数，即小数部分完全由一个数字序列循环出现。
对于不纯循环小数，则需要使用其他的表示方法。
在实际应用中，循环小数符号经常出现在分数的表示中。
例如，2/3可以表示为0.6666…，也可以使用循环小数符号表示为0.6。
循环小数符号在数学中的应用非常广泛，尤其是在高中数学和大学数学中。
掌握循环小数符号的使用方法，可以帮助我们更好地理解和运用循环小数的相关知识。
- 1 -。
循环小数知识点
循环小数知识点一、循环小数的定义。
1. 概念。
- 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。
例如：0.333…，1.252525…等。
- 其中依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
如0.333…的循环节是“3”，1.252525…的循环节是“25”。
二、循环小数的表示方法。
1. 简便记法。
- 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。
- 例如：0.333…写作0.3̇；1.252525…写作1.2̇5；如果循环节是三个及以上数字，如3.142857142857…，它的循环节是“142857”，就写作3.1̇42857̇。
2. 一般写法。
- 按照小数的写法，写出若干个循环节，后面加上省略号。
例如，循环节是“3”的循环小数可以写成0.333…；循环节是“25”的循环小数写成1.252525…。
三、循环小数与分数的关系。
1. 纯循环小数化分数。
- 纯循环小数化分数的方法是：用一个循环节组成的数作为分子，分母的各位数字都是9，9的个数与循环节的位数相同。
- 例如：0.3̇=(3)/(9)=(1)/(3)；0.2̇5=(25)/(99)。
2. 混循环小数化分数。
- 混循环小数化分数的方法是：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数减去不循环部分数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的位数相同，0的个数跟不循环部分的位数相同。
- 例如：将0.23̇化为分数，不循环部分是“2”，循环节是“3”。
分子是23 - 2=21，分母是90，所以0.23̇=(21)/(90)=(7)/(30)。
四、循环小数的大小比较。
1. 方法。
- 比较循环小数的大小，先把循环小数的简便形式还原成一般形式（写出若干个循环节加省略号的形式），再按照小数大小比较的方法进行比较。
- 例如：比较0.3̇和0.33的大小。
循环小数的相关知识
循环小数的相关知识循环小数的简便记法：循环小数的一般写法是把循环节写出两到三遍，然后写上省略号。
简便写法是一个循环小数只写出它的不循环的部分和第一个循环节，并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记一个点，这个点叫做循环点．如果循环节只是一个数字，就只在这一个数字上记一个循环点。
纯循环小数：循环节从小数点后的第一位即十分位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。
混循环小数：循环节不是从小数点后第一位开始的，而是在十分位后开始循环的循环小数，叫做混循环小数。
无限循环小数与分数的互化：一、纯循环小数化分数纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
如：0.52525252……循环节为52，所以0.525252……＝52/990.1111……＝1/90.2222……＝2/90.232323……＝23/990.234234234……＝234/9990.333……＝3/9＝1/30.214214214214214……＝214/9990.35……＝35/99二、混循环小数化分数一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
如：0.02222……＝2/900.00222……＝2/900三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
循环小数与周期问题：如：（1）求0.1234（1234循环）的小数点后第2007位的数字是多少？解：这个小数是的循环节是四位，是以1234的顺序为一个周期循环，所以用2007÷4＝501 (3)0.1234（1234循环）的小数点后第2007位的数字是3。
数字的循环小数表示
数字的循环小数表示数字是我们生活中经常接触到的概念，而数字的表达形式也多种多样。
其中，循环小数是一种特殊的表示方式。
本文将介绍数字的循环小数表示以及相关的概念和运算。
一、循环小数的定义循环小数是指在十进制表示下，分数的小数部分是有限位数的数字和无限重复的数字组成的，其中有限位数的数字称为循环节。
例如，1/3 的十进制表示为 0.3333...，其中循环节为 3；1/7 的十进制表示为 0.142857142857...，其中循环节为 142857。
二、循环小数的表示方法在数字的循环小数表示中，可以使用括号将循环节括起来，以明确表示循环的部分。
例如，1/3 可以表示为 0.(3)；1/7 可以表示为0.(142857)。
三、循环小数的运算在进行循环小数的运算时，我们需要注意一些特殊的规则。
1. 加法和减法：当两个循环小数作加法或减法运算时，我们可以先将循环小数的循环节对齐，然后将非循环部分相加或相减，并保持循环节的循环不变。
循环小数的乘法操作可以通过先将循环小数转化为分数，然后进行分数的乘法运算，最后再将结果转化为循环小数形式。
3. 除法：循环小数的除法运算可以使用长除法的方法来进行，然后找出循环节。
四、循环小数的性质和应用循环小数具有一些特殊的性质，这些性质不仅在数学中有应用，而且在物理、工程等领域也有广泛的应用。
1. 有理数：循环小数属于有理数的范畴，即可以表示为两个整数的比值。
这在实际计算中有着重要的意义，能够方便地进行数值计算和精确表示。
2. 近似值：对于循环小数，我们可以截断它的循环部分，得到一个有限长度的小数表示。
虽然这个小数不是完全准确的，但可以作为很好的近似值使用。
3. 迭代方法：循环小数的循环节可以通过迭代的方法计算出来，这使得我们在计算和模拟复杂问题时具有较高的效率和准确性。
数字的循环小数表示是一种特殊的表达形式，它在数学和应用领域都有其重要性。
通过本文对循环小数的定义、表示方法、运算规则以及性质的介绍，我们可以更好地理解和应用循环小数的概念。
循环小数
一个数的小数部分,从某一位起， 一个数字或者几个数字依次不断 重复出现，这样的小数叫做循环 小数。 小数部分的位数是有限的小数,叫 做有限小数.
小数部分的位数是无限的小数,叫 做无限小数.
15 ÷16= 0.9375 1.5 ÷7= 0.2142857… 小数部分的位数是有限的小 数,叫做有限小数.如0.2142857…
议一议:循环小数是有限小数还是无限小数
①0.9375 ③3.12 ⑤8.4778321 ⑦8.854
②0.2156… ④5.473264… ⑥7.3625684… ⑧6.65848…
小数部分的位数是有限的小数, 叫做有限小数.如0.9375 小数部分的位数是无限的小数,叫做 无限小数.如0.2142857…
议一议:循环小数是有限小数还是无限小数
78.6÷ 11＝
7.14545…
一个数的小数部分,从某一 位起，一个数字或者几个 数字依次不断重复出现， 这样的小数叫做循环小数。
辨一辨，哪些是循环小数?
4.272727
5.1363636… 3.1415926 …
用简便方法来表示
7.159159…
5.111111… 5.1363636… 8.01234512345…
循环小数的知识
循环小数的知识循环小数是数学中一个重要的概念，它常常出现在除法运算或计算无理数时。
循环小数指的是一个无限不循环的小数，即小数部分存在一定的规律重复出现的情况。
本文将从循环小数的定义、性质以及应用等方面进行介绍。
一、循环小数的定义循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。
它可以用一个带括号的数字串表示，括号中的数字表示循环的部分。
例如，0.3333...可以表示为0.(3)，0.142857142857...可以表示为0.(142857)。
循环小数可以用有限小数表示，例如1/3=0.3333...可以表示为1/3=0.3。
二、循环小数的性质1. 循环小数是无理数。
循环小数是无限不循环的，它不能被有限小数表示，所以它是无理数。
2. 循环小数可以通过有理数表示。
循环小数可以通过一个有限小数和一个无限循环小数相加得到。
例如，0.25=0.2+0.05，其中0.2是有限小数，0.05是无限循环小数。
3. 循环小数可以通过分数表示。
循环小数可以通过一个整数和一个循环节相除得到。
例如，1/3=0.3333...，其中1是整数，3是循环节。
4. 循环小数可以通过无理数表示。
循环小数可以通过一个无理数和一个无限循环小数相加得到。
例如，π=3.1415926535...可以表示为3+0.1415926535...，其中3是无理数，0.1415926535...是无限循环小数。
三、循环小数的应用1. 循环小数的除法运算。
循环小数可以通过长除法进行计算，找到循环节的规律，从而将循环小数转化为有限小数。
2. 循环小数的近似计算。
循环小数可以通过截断或近似计算得到一个有限小数，使得计算更加简便。
3. 循环小数的转化。
循环小数可以通过分数转化为有理数，或者通过无理数转化为无限循环小数。
4. 循环小数的应用于几何学。
循环小数可以用于计算圆周率、黄金分割等几何学中的问题。
循环小数是指小数部分存在一定的规律重复出现的无限小数。
循环小数
做 一 做
比较下面两个数的大小。 4.55 ＜ 4.5 2.35 ＜ 2.53 1.62 ＞ 1.6222 1.12 ＜1.12
当两个循环小数不能直接比出大小的时候， 可以先把循环小数写成一般形式后再比。
做一做
把循环小数的简便形式改写成一般形式。
2.49= 2.499…
，
7.518 = 7.518518…
做一做
填空
0.2888…= 0.28 ，循环节 8 。 。
… = 0.42 ，循环节 42 0.4242
… = 0.501 ，循环节 501 。 0.501501
想一想
除到哪一步就可以判断商是循环小数？
做一做
按要求填数.
5.2 3.815…… 15.333 9.09
15.333
7.02626 …… 5.66 ……
..
.
28÷18= 1.555… 78.6÷11= 7.14545…
循环小数
可以写作：1.5 可以写作：7.145
.
..Biblioteka 在用简便方法表示循环小数的时候，要找 出这个循环小数的循环节，如果循环节只有一 个数字就在这个数字上点一个点。如果循环节 有几个数字，就在这几个数字的首尾两个数字 上各点一个点。
42.512 = 42.51212…
在改写成一般 形式的时候，只 ， 要把循环节连续 重复两次，再添 ， 上省略号。
8.0479 = 8.0479479… 。
归纳整理
有限小数 如：0.9375
小 数
无限小数
如：5.33… …
循环小数
如:7.14545 ……
不循环小数 如:3.1415926……
知道循环小数的概念，会使用正 确方法表示循环小数。
无限循环小数
无限循环小数无限循环小数是数学中的一个重要概念，也是许多人不太理解的概念之一。
无限循环小数是指一个小数部分有限而整数部分是无限循环的小数。
在学习数学的过程中，我们常常遇到无限循环小数这个概念。
那么，什么是无限循环小数呢？简单来说，无限循环小数是指一个小数部分有限而整数部分是无限循环的小数。
举个例子来说，我们常常使用的1/3=0.3333……这个例子中，小数部分无限循环，所以它叫做无限循环小数。
对于无限循环小数，我们有一种特殊的方式来表示它。
我们通常使用一个括号将循环部分括起来，例如0.3333……可以表示为0.(3)。
这种表示方式简化了无限循环小数的书写，使得我们更加方便地进行计算和推理。
无限循环小数在数学中有着重要的地位。
它是无理数的一种形式，无理数是指不能表示为两个整数的比的数。
在实际生活中，我们常常遇到无理数，例如π和√2。
而无限循环小数是一种特殊的无理数，它的循环部分又具有一定的规律性。
无限循环小数在计算中常常出现。
例如，我们在计算1/7这个分数时，得到的结果是0.142857142857……可以看出，循环部分是142857，也就是说，我们将1/7表示为0.(142857)。
这种循环性使得我们可以方便地进行计算和推理，并且可以将无限循环小数转化为有限循环小数。
在学习无限循环小数的过程中，我们常常面临着一些挑战。
首先，无限循环小数的特殊表示方式使得我们需要花费一定的时间和精力来理解和掌握。
其次，由于无限循环小数的循环部分有一定的规律性，所以在进行计算和推理时，我们需要应用一些特殊的技巧和方法。
这对于初学者来说可能会比较困难。
然而，如果我们能够掌握无限循环小数的特点和计算方法，它将成为我们解决许多数学问题的有力工具。
无限循环小数的出现不仅仅是一个数学问题，更是我们理解数学本质和规律的一种方式。
通过学习无限循环小数，我们可以培养我们的逻辑思维、分析能力和问题解决能力。
总的来说，无限循环小数是一个重要的数学概念，它有着广泛的应用和深远的影响。
循环小数
她说对了吗?
0.2615 用四舍 笑笑说：“我知道 五入法保留四位小数约 是0.2615。”
… 0.2615615
≈0.2616
求下面循环小数的近似数(保留三位小数）。
• 1.29090……≈ 1.2910.0183≈ 0.018 • 0.4444 …… ≈ 0.4447.2756 ≈ 7.276
比较大小
﹥ 0.3 0.33○ ﹦1.45 1.45○ ﹤ 1.233 1.23○
8.736736… 的小数部分第19位 上的数字是多少？
… 0.85454 ≈
0.85
… 0.666
是 是
不是… 1.48383 Nhomakorabea4.2525 … 0.1875875 … 3.1415926 … 0.547745
是
不是 不是
数学万花筒 一个循环小数依次不断重复出现 的数字，叫作这个循环小数的循环节。
0.666… 1.48383…
0.222… 25.4166… 0.16363… 4.2525 没有循环节
商的小数部分, 从第三位起， 一个数字依次不断的重复出现。
… 9÷55＝0.16363
商的小数部分， 从第二位起， 两个数字依次不断的重复出现。
判断
• 1、0.8888是循环小数。( × ) • 2、0.1555……是循环小数。 (√ ) • 3、1.2是循环小数。(× )
如： 就是：
… 0.85454 保留两位小数
循环小数可以只写一个循环节，并 在首位和末位上点两个圆点。 例如：3.2727… 写作 3.27 读作 三点二七，二七循环 0.1875875… 写作0.1875 读作 零点一八七五，八七五循环
你能根据下面的商，很快写出结果吗？
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循环小数
教学目标：
1、理解循环小数的意义，会判断循环小数，认识循环节。
2、会用两种方式表示循环小数。
3、能比较循环小数的大小。
4、在观察和比较循环小数特点的过程中，提高分析与概括能力，同时提高自主学习的能力。
教学重点：理解循环小数的意义。
教学难点：比较循环小数的大小。
教学过程：
一、认识循环
1、故事激趣，揭示循环的概念。
今天老师给大家讲一个故事：从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说，从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说，从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚和一个小和尚，有一天，老和尚对小和尚说，……
同学们也情不止禁地跟着老师讲起来，边讲边笑起来。
师：谁能说说这个故事有什么特点？（这个故事一直重复地出现，所以讲也讲不完。
）
师：是的，这个故事依次不断重复的出现，我们把这种依次不断重复的现象，叫“循环”，（板书：依次不断重复出现）
2、生活中的循环
生活中有那些循环现象？（星期、白天和黑夜、生肖、）
3、数学中的循环
在数学领域里也有这样的循环现象，今天，我们就一起来探究数学中的循环现象。
二、认识循环小数
（一）认识有限小数和无限小数
1、我是计算小能手。
32÷6= 2.7÷11= 11.56÷6= 个别学生黑板板演。
教师帮助完成32÷6，初步感受循环小数。
2、集体评讲：
（1）为什么这两道题目算不尽？（出现相同的余数部分）
（2）算不尽我们的商应该怎么表示？（加省略号）
3、认识无限小数
（1）无限小数和有限小数的区别
师：我们发现这三个小数和我们以前学得小数有什么区别？（数位有无数个）
（2）什么是无限小数
师：像这样的数位有无穷无尽的小数，我们可以给他取一个名字？（无限小数）（只要小数数位无限的小数都是无限小数）
（二）认识循环小数
1、探究循环小数的概念 （1）小组讨论：5.333… 0.24545…和1.9266…的相同点和不同点。
（2）大组交流：
相同点：依次不断重复出现的数 不同点：1、依次不断重复出现的数是从第一位起和从第二位起（从某一位起）
2、依次不断重复出现的数是一个或者两个（一个或者几个） 讨论后板书：从某一位起 一个或几个
（3）概括意义：师指出像这些小数就是我们今天要认识的新朋友循环小数，（出示课题）那么谁能说一说什么叫做循环小数？
2、练习 （1）你能很快说出下面的数哪些是循环小数，哪些不是吗？
0.3333 5.8142142… 1.5353… 4.373737 1.1380413804… 3.1415926…
(2)你能很快写出一个循环小数吗？（学生在本子自己写一个）
（三）探讨循环小数的简便写法 师：循环小数一般写法就是把循环节写两到三遍再加上省略号，有没有更简便的方法呢？自学课本P27页。
1、介绍简便写法和读法。
小组互助，参与讨论。
齐读循环小数概念。
和同学一起用手势表示，
哪些是循环小数。
同桌帮助完成一个循环小数，指名回答。
自学课本，教师个别辅导。
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · 师：（1）要简写循环小数必须要了解一个什么知识？（循环节）
（2）通过自学，你认为如何简写循环小数？有什么要注意？
当循环节只有一个数字时，在循环节上点上一个循环点
当循环节有两个或两个以上的数字，循环点怎么点？
2、练习：你能把上面练习中是循环小数的用简便写法表示出来吗？
（四）新知小结：今天我们学习了循环小数，知道了什么循环小数；了解了循环小数的一般写法和简便写法。
三、巩固知识，内化能力。
1、按要求写出循环小数，并写出循环节。
2.4 7.518…… 42.512 8.0479479…
2、判断
（1）9.666是循环小数。
（ ）
（2）56÷44=1.2727… 用循环小数表示为 1.27（ ）
（3）9.219219……，循环节是921。
（ ）
（4）2.0 5 四舍五入保留三位小数是2.050 （ ）
3、比较大小
4.55（ ）4.5 1.6 2（ ）1.62222 2.35（ ）2.53
0.707（ ）0.7 0
4、拓展练习
（1）3.704704……小数点后面100位上的数是（ ）。
（2）3.70404……小数点后面100位上的数是（ ）。
四、课堂小结。
指名回答，会用两种方式表示循环小数。