最新青岛版九年级数学下册5.4二次函数的图像与性质公开课优质PPT课件(1)
合集下载
九年级下册数学课件(青岛版)二次函数的图象和性质
5.4 二次函数的图象和性质（3）
学习目标
1．会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k 的图像； 2．知道抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点坐标.
在同一坐标系中作出二次函数
y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-
1)2+2的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关
x=1
开口向上, 当x=1时y有 最小值，且 最小值= -2.
先想一想,再总结 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性 质.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
几种形式的二次函数的图象之间的关系
1.判断正误: (1)二次函数y=5x2与y=-5(x+1)2+3的图象的开口大小不一样.( ) (2)在二次函数y=a(x-h)2+k中,a决定抛物线的开口方向和开口大 小,k,h决定抛物线的位置.
二次函数y=a（x-h）²+k的性质是什么？它的图 象有何特征？
特殊形式的二次函数之间，如何经过平移得到？
D√ .向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
(图象法):二次函数y=2(x-1)2+k的图象开口向上,对称轴为直线x=1,画出大致图象, 如图.
(甘肃兰州中考)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是
A.y轴
B.பைடு நூலகம்线x=-1
C√.直线x=1
D.直线x=-3
()
已知a,h,k为三数,且二次函数y=a(x-h)2+k在坐标平面上的图形通 过(0,5),(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能是 ( )
学习目标
1．会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k 的图像； 2．知道抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点坐标.
在同一坐标系中作出二次函数
y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-
1)2+2的图象.
二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象有什么关
x=1
开口向上, 当x=1时y有 最小值，且 最小值= -2.
先想一想,再总结 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性 质.
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
几种形式的二次函数的图象之间的关系
1.判断正误: (1)二次函数y=5x2与y=-5(x+1)2+3的图象的开口大小不一样.( ) (2)在二次函数y=a(x-h)2+k中,a决定抛物线的开口方向和开口大 小,k,h决定抛物线的位置.
二次函数y=a（x-h）²+k的性质是什么？它的图 象有何特征？
特殊形式的二次函数之间，如何经过平移得到？
D√ .向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
(图象法):二次函数y=2(x-1)2+k的图象开口向上,对称轴为直线x=1,画出大致图象, 如图.
(甘肃兰州中考)抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是
A.y轴
B.பைடு நூலகம்线x=-1
C√.直线x=1
D.直线x=-3
()
已知a,h,k为三数,且二次函数y=a(x-h)2+k在坐标平面上的图形通 过(0,5),(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能是 ( )
青岛版九年级数学下册二次函数的图象与一元二次方程课件
x＜5内有且只有一个解，直接写出k的范围．
解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴当m＝1时，
图象与x轴只有一个交点，当m≠1时，图象与x轴有两个交点； （2）m＝﹣5时，y＝
x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，当x＝1时，函数有最小值﹣9，当x＝5时，y＝7，
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，即为y＝x2﹣2x﹣8
2
ax +bx+c=0
y=ax2+bx+c
思考回顾
1、若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1
5
a
且
a
1
＝0有实数根，则a的取值范围为
.
4
一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)根的判别式
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
所以一元二次方程x²-2x+3=0没有
实数根
y
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c
转化为
与x轴无公共点
转化为
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
挑战自我
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
已知抛物线 = + + ，当a,b,c满足
什么条件时，
（1）抛物线与x轴有两个公共点？ b²-4ac>0
和函数y＝k只有一个交点，函数y＝x2﹣2x﹣8，与y轴的交点为：（0，﹣8），
函数的顶点坐标为：（1，﹣9），故在0＜x＜5时，y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝
解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（2m+2）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴当m＝1时，
图象与x轴只有一个交点，当m≠1时，图象与x轴有两个交点； （2）m＝﹣5时，y＝
x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，当x＝1时，函数有最小值﹣9，当x＝5时，y＝7，
（3）若方程x2﹣2x﹣8＝k在0＜x＜5内有且只有一个解，即为y＝x2﹣2x﹣8
2
ax +bx+c=0
y=ax2+bx+c
思考回顾
1、若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1
5
a
且
a
1
＝0有实数根，则a的取值范围为
.
4
一元二次方程ax²+bx+c＝0(a≠0)根的判别式
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
所以一元二次方程x²-2x+3=0没有
实数根
y
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c
转化为
与x轴无公共点
转化为
二次方程ax2+bx+c=0
无实根
挑战自我
一元二次方程根的判别式
b 4ac
2
已知抛物线 = + + ，当a,b,c满足
什么条件时，
（1）抛物线与x轴有两个公共点？ b²-4ac>0
和函数y＝k只有一个交点，函数y＝x2﹣2x﹣8，与y轴的交点为：（0，﹣8），
函数的顶点坐标为：（1，﹣9），故在0＜x＜5时，y＝x2﹣2x﹣8和函数y＝
青岛版九年级数学下册《二次函数的图像与性质》PPT课件(3篇)
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36）。
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
得到，当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图
象向 下 平移 |c| 个单位得到，顶点是(0,c)，对
称轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
（4）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数y=ax2的图象和性质》公开课课件.ppt
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y…9 4 1 0 1 4 9…
(2) 描点
y 10
(3) 连线
9
8 7
y=x2
根据表中x,y的数
6
5
值在坐标平面中描点
4
(x,y),再用平滑曲线
3 2
顺次连接各点,就得到
1 -5 -4 -3-2 -1 o 1 2 3 4 5
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?
从图象可以看出,二次函数y=x2和 y=－x2的图像都是一条曲线，这 条曲线叫做抛物线
y=x2的图像叫做抛物线y=x2
y=－x2的图像叫做抛物线y=－ x2 实际上，二次函数的图像都是抛 物线，它们的开口向上或者向下， 一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
5.4 二次函数的图象和性质 第1课时
学习目标
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性 质的过程，进一步获得将表格、表达式、图 象三者联系起来的经验; 2．会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a对二次函数图象的影响; 3．能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标．
2
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=- 1 x2 …
2
-8 9 2
-2 1 0 1
2
2
-2 9 2
-8 …
青岛版九年级数学下册二次函数的图象与一元二次方程课件
一元二次方程ax2 ＋ bx＋c＝0有两个不等的实数根． 抛物线y=ax2 ＋ bx ＋ c 与x轴有两个交点．
一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 有两个相等的实数根． 抛物线y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c与x轴有唯一公共点．
3. b2－4ac＜0
一元二次方程ax2 ＋ bx ＋ c＝0 没有实数根． 抛物线y＝ax2 ＋ bx ＋ c与x轴没有公共点．
y(米） 40
10
O 1 2 3 4 x(百米）
随堂练习
1. 方程 x2＋4x－ 的5根＝ 是0
；－则5函，数1
y＝x2＋4x－ 的5图像与x轴的交点有
是（-5，0）、（1，0） ．
个，其坐2标
2. 方程 x2＋ 10x－ 的2 根5＝ 是0 的图像与x轴y的＝ 交－ 点x有2＋ _ 10x个－ ，2其5坐标是
二次函数与一元二次方程
y＝x2＋2x (－2,0) (0,0)
x2＋2x＝0 x1＝－2 ，x2＝ 0
y＝x2－2x＋1 (1,0)
x2－2x＋1＝0 x1＝x2 ＝1
y＝x2－2x＋2 图象与x轴没有交点．
x2－2x＋2＝0
没有实数根．
归纳总结
二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况： ①有两个交点， ②有一个交点，
5.6 二次函数的图象与一元二次方程 （1）
知识回顾
（1）解一元一次方程x＋1＝0；
（2）画一次函数y ＝x ＋1的图像，并指出函数y ＝
x ＋1的图像与x轴有几个交点；
（3）一元一次方程x ＋1＝ 0与一次函数y ＝x ＋1有
什么联系？
3y
2
1
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数y=ax2的图象和性质》优质公开课课件.ppt
w二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物
y3x122
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
线y=-3x²,y=-3(x+1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 y3x12
y 3x2
称轴和顶点坐标分别是什么?
y3x122
二次函数y=-3(x+1)2+2与 y=-3(x+1)2-2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后
得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 最大值= 2 (或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图 象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2
y 3x2
y3x12
y3x122
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的 图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 下平移2个单位后得到的.
X=1
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似.
开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
青岛版九年级下册数学课件 二次函数的图象和性质
表达式为
.
1.(1)✕ (2)✕ 2.C 3. y=2x2
√
如图,已知二次函数的图象顶点坐标为(2,0),直线y=x+1与二次函
数的图象交于A,B两点,其中点A在y轴上.
(1)二次函数的表达式为y=
.
(2)证明点(-m,2m-1)不在(1)中所求的二次函数的图象上
二次函数y=ax²+c的性质是什么？它的图象有 何特征？
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x+1)2+2 C.y=x2+1 D.y=x2+3
1.(1)✕ (2)✕ (3)✕ 2.C 3.C
在同一直角坐标系中,函数y=ax2+b与y=ax+b(ab≠0)的图象可能 是()
√
函数y=2x2+1,y=x2+1,y=3x2+1的大致图象如图,从外到内的 三条抛物线对应的函数表达式依次是 y=x2+1,y=2x2+1,y=3x2+1.
二次函数y=2x2+1图象可以由 y=2x2 的图象向上平移1个单 位长度得到.
9 y=2x2
8
7 6
5
4
如果将y=ax²的图
3
象向左或右平移
1个单位长度，
2
会得到怎样的图
象？试着画一下
1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
1.判断正误:
(1)把y=x2的图象向上平移3个单位长度得到的抛物线是y=
√
1.判断正误:
(1)二次函数y=-3x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是y=
-3(x+3)2.( )
(2)二次函数y=(x-4)2的最小值是4. ( )
《二次函数》PPT课件2-青岛版九年级数学下册
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
（1）y=3(x-1)²+1
(2)y=x+
_1_ x
(3)s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
(4)y=(x+3)²-x² (6)v=10πr²
说明:
判断一个函数是否是二次函数, 看它是否化简 成y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的形式。
1、二次函数定义:一般地, 形如y=ax²+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
2、判断一个函数为二次函数的方法与步骤: （1）先将函数进行整理, 使其右边是含自 变量的代数式, 左边是应变量; （2）判别含自变量的代数式是否为整式; （3）判别含自变量的项的最高次数是否为2; （4）判别二次项的系数是否为0。
y 1200x 2 2400x 1200
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式．
(a，b，c是常数，a≠0
)
定义:一般地, 形如y=ax²+bx+c(a，b，c是 常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。其
中:a为二次项系数, b为一次项系数, c为常数 项注．意:
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0, c 0
1、下列函数中，（x,t是自变量），哪些是二 次函数？( C )
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件 是( C ) A、m，n是常数，且m≠0 B、m，n是常数， 且n≠0 C、m，n是常数，且m≠n D、m，n为任何实
青岛版九年级数学下册第五章《二次函数》课件
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即 y是x的函数.
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的 函数叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数 解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
为什么a≠0呢?
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
5.3 二次函数
1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式； 2.会列简单的二次函数解析式.
变
量
之 间 的
函 数
关
系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠ 0)≠
正比例函数 y=kx(k≠ 0)
y=k (k≠ 0) x
二次函数
问题1：
正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=＿6x＿2 .
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方 体的长和宽相等,高比长多0.5 m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表 面积S(m,涂漆每个长方 体所需要的费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x；
（2）由题意：-x2+15x＝50，
解得：x1＝5，x2=10， ∵AB＜AD，∴AB＝5米.
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次 数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的 函数叫做二次函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数 解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
为什么a≠0呢?
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
5.3 二次函数
1.了解二次函数的概念，知道二次函数的一般形式； 2.会列简单的二次函数解析式.
变
量
之 间 的
函 数
关
系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠ 0)≠
正比例函数 y=kx(k≠ 0)
y=k (k≠ 0) x
二次函数
问题1：
正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=＿6x＿2 .
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方 体的长和宽相等,高比长多0.5 m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表 面积S(m,涂漆每个长方 体所需要的费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x；
（2）由题意：-x2+15x＝50，
解得：x1＝5，x2=10， ∵AB＜AD，∴AB＝5米.
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx (a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次 数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数的图像与一元二次方程》优质公开课课件.ppt
有两个交点
有两个不相等的实 数根
一元二次方程ax2+2bx+c=0根 的判别式Δ=b -4ac
2 b -4ac
>
0
只有一个交点 没有交点
有两个相等 的实数根
没有实数根
2 b -4ac = 0
2 b -4ac < 0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 有三种情况:
(1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点
情况是( )
A.无交点
C
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.不能确定
2 3.如果关于x的一元二次方程 x -2x+m=0有两个相等的
2 实数根,则m=＿＿＿,此时抛物线 y=x -2x+m与x轴有
1 ＿＿＿＿个交点.
1
2 4.二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A.b2-4ac＞0
B.a＞0
C.c＞0
D D. ＜0
-b 2a
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
解析: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标：
（-1.3，0）、（2.3，0） (3)得出方程的解:
x1=-1.3，x2=2.， 准确答案是什么？
球 的 飞 行 高 度 达 不 到 2 0 .5 米
t
你能结合图形指出为什 么球不能达到20.5m的高 度?
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h
（ 4） 解 方 程
0 = 2 0 t- 5 t2 ，
O
t
t2 - 4 t= 0 ，
《二次函数的图像与性质》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (5)
最||值 当x =0时,y最||小值为0. 当x =0时,y最||大值为0.
y x2
抛物线y =x2与y = -x2 关于x轴对称
抛物线y =x2与y = -x2 关于原点中|心对称
y x2
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =2x²+1的图象与 二次函数y =2x²的图象.
二次函数y =2x²+1的图象与二次函数y =2x²的图象 有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
3.把函数y =3x2 +2的图象沿x轴对折 ,得到的图 象的函数解析式为 y = -3x2 -2.
4.〔m,n)在y =ax2 +a的图象上 ,〔 - m,n 〕 _在____〔在 ,不在〕y =ax2 +a的图象上.
5. 假设y =x2 +〔2k -1〕的顶点位于x轴上方 , 那么＞
k_______
二次项系数为 -2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
位置不同; 最||大值不同: 分别是1和0..
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =3x²-1的图 象与二次函数y =3x²的图象.
二次函数y =3x²一l的图象与二次函数y =3x²的 图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口 方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、 〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -h)2 +2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱 ,这个桥拱的最||大高
度 为16m ,跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里 解：(设如抛以物以线以的下表图达)式,为求y抛物=线ax的2＋表b达x＋式c．,
青岛版九年级数学下册第五章《二次函数的图象和性质(第1课时)》公开课课件
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出 猜想吗？
描点,连线
y
1
-4 -3 -2 -1 -1
0
1 23
4x
-2
-3
-4
y=-x2
二次函数y= -x2 的图象是抛物线.
二次函数y= -x2 的图象与y= x2 的图象关于x轴对称，
3,6 3,6
3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，
AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的
面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2 25
C. y 2 x2 5
B. y 4 x2 25
D. y 4 x2 5
解析：选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作 DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形， 设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，
(1)抛物线y=ax2与y= - ax2(a＞0)关于x __轴对称； (2)当a＞0时，开口向__上___，顶点是抛物线的最低___点； 当a＜0时，开口_向__下__，顶点是抛物线的最高___点； (3)︱a︱越大，抛物线的开口_越__小__. 【点拨】a决定了抛物线y=ax2的开口大小和方向.
图象开口向上， a越大开口越小.
(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还 是最低点？ 图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点.
y=x
2
x
23
当a>0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开
口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口 越小.
你能根据表格中的数据作出 猜想吗？
描点,连线
y
1
-4 -3 -2 -1 -1
0
1 23
4x
-2
-3
-4
y=-x2
二次函数y= -x2 的图象是抛物线.
二次函数y= -x2 的图象与y= x2 的图象关于x轴对称，
3,6 3,6
3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，
AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的
面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A. y 2 x2 25
C. y 2 x2 5
B. y 4 x2 25
D. y 4 x2 5
解析：选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作 DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形， 设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，
(1)抛物线y=ax2与y= - ax2(a＞0)关于x __轴对称； (2)当a＞0时，开口向__上___，顶点是抛物线的最低___点； 当a＜0时，开口_向__下__，顶点是抛物线的最高___点； (3)︱a︱越大，抛物线的开口_越__小__. 【点拨】a决定了抛物线y=ax2的开口大小和方向.
图象开口向上， a越大开口越小.
(3)图象的顶点是什么？顶点是抛物线的最高点还 是最低点？ 图象的顶点都是原点，为抛物线的最低点.
y=x
2
x
23
当a>0时，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，开
口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口 越小.
青岛版九年级下册数学：二次函数知识系统的建构(共14张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
【最新】青岛版九年级数学下册第五章《二次函数y=ax2的图象和性质》公开课课件1.ppt
y都随 x的增大而增大. a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大
而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
2.不同点:
((13))位对置称不轴同不.同(2:分)顶别点是不_同__:_分__别__是___直__和_线_y_轴x__.___和b (0,20ba).，4ac4a
b2
(4)最值不同:分 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
通过图象你能看出当 x取何值时y随x的增 大而减小， 当x取何值时，y随x 的增大而增大吗？
y 3x2 6x 5
当x<1时y随x的增 大而减小;当x>1时， y随x的增大而增大.
● (1，2)
x=1 0
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同 学们，你想到了什么？
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
y
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
O x
3．如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则
函数y＝－ax+b的图象
不经过（ ）A
Y
A．第一象限
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看4a成c yb=2 ax²的图象先沿
4a
x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位
(当______>0时向上平移;当_2b_a___<0时,向下平移)2得ba 到的.
而增大.在对称轴右侧，y都随 x的增大而减小.
2.不同点:
((13))位对置称不轴同不.同(2:分)顶别点是不_同__:_分__别__是___直__和_线_y_轴x__.___和b (0,20ba).，4ac4a
b2
(4)最值不同:分 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
通过图象你能看出当 x取何值时y随x的增 大而减小， 当x取何值时，y随x 的增大而增大吗？
y 3x2 6x 5
当x<1时y随x的增 大而减小;当x>1时， y随x的增大而增大.
● (1，2)
x=1 0
在对称轴的左边图象从左到右斜向下，在对称轴的右边图象从左到右斜向上.同 学们，你想到了什么？
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
y
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
O x
3．如图，二次函数y＝ax2－bx＋２的大致图象如图所示，则
函数y＝－ax+b的图象
不经过（ ）A
Y
A．第一象限
2a
3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看4a成c yb=2 ax²的图象先沿
4a
x轴整体左(右)平移|____|个单位(当___>0时,向右平移;当___
<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|_____|个单位
(当______>0时向上平移;当_2b_a___<0时,向下平移)2得ba 到的.
青岛版九年级数学下册 (二次函数的图像与性质)教学课件(第4课时)
（3 x 1）2 3 5
次项系数绝对值一半的平方
（3 x 1）2 2
步骤3：（整理）前三项化为完 全 平方式,后两项合并同类项
再根据顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
用配方法化成顶点式:y=a(x-h)2+k的形式
步骤如下：
y 3x2 6x 5
（3 x2 2x） 5
步骤1：提取二次项系数
（3 x2 2x11） 5 步骤2：（配方）加上再减去一
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
，4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
b 2a
，4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
断不正确的是（B ）
A．ac<0 B．a-b+c>0
C．b=-4a
y x=2
-1 O 2 5
x
D．关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=5
最新青岛版九年级数学下册精品课件-5.4 二次函数的图象和性质(1)
议一议
观察函数y＝－x2图象，说出图象的特征．
图象有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而减小．
抛物线开口向下．
说一说
比较函数y＝－x2与y＝x2图象，说出图象 特征的异同点．
如果是函数y＝2x2与y＝－2x2 的图象呢？
练一练
5.4 二次函数的图象和性质（1）
想一想
画函数图象步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合
二次函数的图象是怎样的？ 试着画一画吧！
画一画
例1 画出函数y＝x2的图象．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
列表时自变量要 均匀和对称！
议＜0时，y随x增大而减小．
图象有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
画一画
例2 画出y＝－x2图象．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
在同一坐标系上画函数y＝2x²，y＝－2x²，
y＝
1 2
x²和y＝
-
1 2
x²图象，并说出图象特征．
谈一谈
本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？