(整理)高等数学II试题解答
高等数学二(含答案)
高等数学（二）一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 （ D ） ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续，则常数a ，b 应满足的关系是 （ C ）A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += （ D ） A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导，且'00()2,()f x f x ==则 （ B ）221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ，则(x)dx xf =⎰ （ B ）22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ，则在（12，1）内，f （x ）单调（ B ） A 增加，曲线y=f （x ）为凹的 B 减少，曲线y=f （x ）为凹的 C 减少，曲线y=f （x ）为凸的 D 增加，曲线y=f （x ）为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则（ C ） A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ，则k= （ 0 ）9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ B ） A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ，B ，C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为（ A ）A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ，则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f （0）=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解：原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解：原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解：原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解：原式25 设z （x ，y ）是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数，求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解：设则有：26 设sin x y e x =，证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解：27 （1）求曲线x y e = 及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D 的面积S （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解：由题知曲线直线的交点：（1，） 则（1） （2））和（28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间，并求出极值和拐点的坐标。
自考高等数学2试题及答案
自考高等数学2试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(2+x)=f(2-x)的是：A. f(x) = sin(x)B. f(x) = cos(x)C. f(x) = x^2D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)≠0，那么曲线y=f(x)在点(x=a, y=f(a))处的切线斜率为：A. f(a)B. f'(a)C. f(a+1)D. 0答案：B3. 不等式e^x > x^2在区间(0, +∞)上成立的充要条件是：A. x > 0B. x > 1C. x > 2D. x > 3答案：A4. 设数列{an}是等差数列，且a1=1，a2=3，a3=5，则此等差数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的法线方程为：A. y=3x-2B. y=-3x+4C. y=3x+2D. y=-3x-2答案：B6. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若f(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上：A. 有最大值和最小值B. 有最大值或最小值C. 有界但不一定有最大值或最小值D. 无界答案：A7. 二元函数z=xy^2在点(1,1)处的偏导数分别为：A. 1, 2B. 2, 1C. 1, 1D. 2, 28. 设函数f(x)在区间(-∞, +∞)上满足f(x)=f(x+3)，则f(x)的周期为：A. 1B. 3C. 6D. 不确定答案：B9. 利用定积分的几何意义，计算曲边梯形的面积，其公式为：A. ∫[a,b] f(x) dxB. ∫[b,a] f(x) dxC. ∫[a,b] f(x) + g(x) dxD. ∫[a,b] f(x) - g(x) dx答案：A10. 微积分基本定理指出，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则：A. F(b) - F(a) = f(b) - f(a)B. F(b) - F(a) = ∫[a,b] f(x) dxC. F(b) - F(a) = f(a) - f(b)D. F(b) - F(a) = ∫[b,a] f(x) dx答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^2+1在区间[-1,2]上的最大值为M，则M=________。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
高数二专升本真题及答案
高数二专升本真题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间(-∞,-4)上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减2. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,2)处的切线斜率是（）A. 0B. 3C. 6D. 93. 已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2-1，求f(g(x))的表达式是（）A. 2(x^2-1)-1B. 2x^2-3C. x^2-1D. x^2-2x+14. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 函数y=ln(x)的图像与直线y=2x的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知级数∑(1/n^2)（n从1到∞）是收敛的，那么它的和S是（）A. π^2/6B. eC. 1D. 27. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的值域是（）A. [-1,0]B. [0,1]C. [-1,1]D. [1,e]8. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标是（）A. (0,0)B. (2,8)C. (1,4)D. (4,16)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求f'(x)是（）A. 3x^2-6x-9B. x^2-6x-9C. 3x^2-9x+5D. x^3-9x^2+510. 函数y=e^x的图像是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条双曲线D. 一条指数曲线二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^3+2x^2-5x+7，则f'(x)=________________。
12. 函数y=x^2-4的极小值点是x=______________。
13. 定积分∫(1,e) e^x dx的值是________________。
14. 函数f(x)=x/(x+1)的渐近线是x=______________。
《高等数学二》考试题及答案
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高等数学（二）考试题答案
⾼等数学（⼆）考试题答案1单选(3分)已知，复合函数对的导数为，则等于（）．得分/总分A.2B.1C.D.正确答案：D你没选择任何选项2单选(3分)定积分的值为（）.得分/总分A.B.D.正确答案：B你没选择任何选项3单选(3分)设函数在内连续，且满⾜，则（）．得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项4单选(3分)极限的值为（）．B.C.D.正确答案：D你没选择任何选项5单选(3分)设函数，则的值为（）.得分/总分A.-48B.48C.2设是的⼀个原函数，则（）.得分/总分A.B.C.D.设函数在区间上连续，其图形如下图所⽰，，则（）．第28题图得分/总分A.函数的图形在内⽆拐点B.函数在内取到极⼩值C.函数在内取到极⼤值D.函数在上单调增加正确答案：B你没选择任何选项8单选(3分)A.B.C.D.正确答案：D你没选择任何选项9单选(3分)函数的单调增加区间为（）.得分/总分A.B.与C.正确答案：B你没选择任何选项10单选(3分)已知⼆阶可导，且，是它的反函数，则等于（）．得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项11单选(3分)曲线的渐近线条数为（）．得分/总分A.3C.4D.2正确答案：A你没选择任何选项12单选(3分)曲线的拐点个数为（）．得分/总分A.4B.1C.3D.2正确答案：A你没选择任何选项13单选(3分)若不定积分的结果中不含反正切函数，则（）.A.B.C.D.正确答案：D你没选择任何选项14单选(3分)定积分的值为（）.得分/总分A.B.C.正确答案：B你没选择任何选项15单选(3分)设函数在内连续，则函数的导数为（）.得分/总分A.B.C.D.正确答案：A你没选择任何选项16单选(3分)反常积分的值为（）.得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项17单选(3分)设函数在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分条件是（）．得分/总分A.存在B.存在C.存在D.存在正确答案：B你没选择任何选项18单选(3分)已知，则的值为（）.A.1B.-2C.-1D.正确答案：B你没选择任何选项19单选(3分)设函数由⽅程确定，则的值为（）.得分/总分A.-2B.1C.-1正确答案：D你没选择任何选项20单选(3分)设函数⼆阶可导，其图形在处的曲率圆的⽅程为，则函数的⼆阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（）．得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项21多选(4分)设函数是闭区间上可导的偶函数，则下列函数中在上⼀定为奇函数的是（）．得分/总分A.C.D.正确答案：C、D你没选择任何选项22多选(4分)设函数在点处可导，在点处连续但不可导，则（）.得分/总分A.函数点处连续B.函数点处不可导C.是函数点处可导的充分条件D.是函数点处可导的必要条件正确答案：A、C、D你没选择任何选项23多选(4分)A.B.该参数⽅程确定的曲线在原点的曲率半径为C.D.正确答案：A、B、C你没选择任何选项24多选(4分)下列定积分（或反常积分）中，其值为0的有（）.得分/总分A.B.C.D.正确答案：A、B、C你没选择任何选项25多选(4分)已知函数在上连续，在内可导，且，则（）.得分/总分A.存在，使得B.存在，使得C.对任意正数，在内存在相异的两点，使得D.存在，使得正确答案：B、C、D你没选择任何选项26判断(2分)若函数在点处不可导，则函数在点处也不可导.得分/总分A.正确答案：B你没选择任何选项27判断(2分)设函数在内可导，，则.得分/总分A.设函数在上可积，且，则在上恒等于零.A.若函数在点处可导，则曲线在点处存在切线.得分/总分设函数在点处⼆阶可导，且在点处取极⼩值，则必有，.得分/总分A.对任何正整数，⽅程⾄多只有⼀个实数根.得分/总分A.设函数连续，且满⾜，则.得分/总分A..得分/总分A.B.正确答案：A你没选择任何选项34判断(2分)设函数在内具有⼀阶连续导数，且在内A.B.正确答案：A你没选择任何选项35判断(2分)反常积分收敛的充分必要条件是.得分/总分A.B.正确答案：A你没选择任何选项。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案试题一：1. (10分) 在直角坐标系中，曲线 $y = \sqrt{x}$ 与 $y = -\sqrt{x}$ 交于两点 $A$ 和 $B$，且两点的横坐标之差为 $4$，求 $A$、$B$ 两点的坐标。
试题一答案解析：解析：我们可以通过将两个函数相等，来找到交点的横坐标。
$\sqrt{x} = -\sqrt{x}$将等式两边平方，得到$x = x$因此，两个函数相等的条件是 $x=0$。
又因为两个函数在对称轴 $y$ 轴上对称，所以 $A$、$B$ 两点的横坐标之差为 $4$，即 $B$ 点的横坐标是 $4$。
所以，$A$、$B$ 两点的坐标分别为 $(0, 0)$ 和 $(4, 0)$。
试题二：2. (15分) 计算 $\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$。
试题二答案解析：解析：首先，我们需要对被积函数进行积分。
$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$通过对多项式逐项积分，得到$\int_{0}^{1} x^4 \ dx - \int_{0}^{1} 2x \ dx + \int_{0}^{1} 1 \ dx$根据积分的定义，我们可以进行求解：$\frac{1}{5}x^5 \Bigg|_{0}^{1} - x^2 \Bigg|_{0}^{1} + x\Bigg|_{0}^{1}$代入上下限进行计算，结果为：$\frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$所以，$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx = \frac{1}{5}$。
试题三：3. (20分) 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值。
试题三答案解析：解析：对于给定的区间 $[0, 1]$，我们需要找到函数 $f(x) =e^{2x}$ 在该区间上的最小值。
首先，求函数的导数 $f'(x)$：$f'(x) = 2e^{2x}$在 $[0, 1]$ 区间上，我们可以通过求解导数为 $0$ 的点来找到函数的极值点。
高等数学(二)试题及答案
高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。
（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。
自考高数2的试题及答案
自考高数2的试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是奇函数？A. \( y = x^3 \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = x^5 \)D. \( y = \cos(x) \)答案：D2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项是微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的通解？A. \( y = e^x + e^{-x} \)B. \( y = e^x + x \)C. \( y = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( y = x^2 + \sin(x) \)答案：A4. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A5. 以下哪个选项是函数 \( f(x) = x^2 \) 的原函数？A. \( F(x) = x^3 \)B. \( F(x) = x^3 + 1 \)C. \( F(x) = 2x^2 + 1 \)D. \( F(x) = 2x^3 + 1 \)答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是 ________。
答案：\( \frac{1}{x} \)2. 函数 \( y = e^x \) 的不定积分是 ________。
答案：\( e^x + C \)3. 如果 \( \int_{a}^{b} f(x) dx = 3 \)，则 \( \int_{a}^{b} 2f(x) dx = ________。
答案：64. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的拐点是 ________。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3x+1D. x^2+3x+1答案：A2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx的值是（）。
A. 3/2B. 2C. 1D. 1/2答案：A3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值是（）。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C4. 若矩阵A=| 1 2 |，矩阵B=| 3 4 |，则AB的行列式值是（）。
| 5 6 | | 7 8 |A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值是_________。
答案：22. 计算极限lim(x→0) (sinx/x)的值是_________。
答案：13. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f''(x)的值是_________。
答案：6x-64. 设矩阵A=| 1 2 |，求矩阵A的逆矩阵A^-1是_________。
| 2 3 |答案：| -3/2 1/2 || 1/2 -1/3 |三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=1处的切线方程。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，代入x=1得到f'(1)=8，然后求f(1)=6，所以切线方程为y-6=8(x-1)，即8x-y-2=0。
2. 计算定积分∫(0到π) sinx dx。
答案：∫(0到π) sinx dx = [-cosx](0到π) = -cos(π) + cos(0) = 2。
3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=3an-2，求数列的前5项。
答案：a1=1，a2=3a1-2=1，a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，所以前5项为1, 1, 1, 1, 1。
高等数学二试题及完全解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.若()212lim 1x x x e ax bx→++=，则（）（A ）1,12a b ==-（B ）1,12a b =-=-（C ）1,12a b ==（D ）1,12a b =-=【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此，222222001()12lim 0lim 0xx x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故1,12a b ==-，选（B ）.2.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B ）()sin f x x x =（C ）()cos f x x =（D ）()cos f x x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A.000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ，可导；B.000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ,可导； C.20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---===，可导； D.()200011cos 122lim lim limx x x x x x x x x→→→---==，极限不存在。
高等数学II试题C（含答案）
⾼等数学II试题C（含答案）⼀、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其号码写在题⼲后⾯的括号内。
共8⼩题，每⼩题2分，共16分）1、下列命题正确的是（ B ）A.若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛 B.若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散C.若级数1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠ D.级数1n n u ∞=∑发散，则必有lim n n u →∞=∞2、若幂级数0nn n a x ∞=∑收敛半径为R ，则()02nn n a x ∞=-∑的收敛开区间是（ D ）A.（－R ，R ）B.（1－R ，1＋R ）C.(),-∞+∞D.（2－R ，2＋R ）3、微分⽅程32220d y dy x dx dx ??++=的阶数是（ B ）.2 C4、设直线1158:121x y z L --+==-与2L ：515112--。
则1L 与2L 的夹⾓为（ C ）.A ． 6π B.4π C.3π D.2π5、设=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f ，则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是（ B ）A ．连续但偏导也存在 B.不连续但偏导存在 C. 连续但偏导不存在 D.不连续偏导也不存在 6、若函数()y x f ,在点()00,y x 处取极⼤值，则 (B )A.()00,0x f x y =,()00,0y f x y =B ．若()00,y x 是D 内唯⼀极值点，则必为最⼤值点 C.()()()()200000000,,,0,,0xy xx yy xx f x y f x y f x y f x y ??-?<7、下列级数中条件收敛的是（A ）A.n n n 1)1(11∑∞=+- B.211)1(n n n∑∞=- C.1)1(1+-∑∞=n n n n D.)1(1)1(1+-∑∞=n n n n8、⽅程y xdy dx e dx +=的通解是（ C ） A.x y cxe = B.x y xe c =+C.()ln 1y cx =--D.()ln 1y x c =-++⼆、填空题（将正确的内容填在各题⼲预备的横线上，内容填错或未填者，该空⽆分。
高等数学2真题及答案解析
高等数学2真题及答案解析高等数学2作为大学数学课程的一部分，是对高等数学1内容的拓展与深化。
它涵盖了微分方程、多元函数与偏导数、重积分等重要知识点。
许多学生在面对高等数学2的考试时，可能会遇到一些难题，对一些概念和方法有一定的困惑。
为了帮助大家更好地掌握这门课程，以下将对一道典型的高等数学2题目进行详细分析和解答。
【题目】设函数$f(x,y)=x^2+y^2+xy-x-2y+3$，求$f(x,y)$在椭圆$2x^2+4y^2=9$上的最大值和最小值。
【解析】首先，我们需要找到$f(x,y)$在椭圆上的极值点。
根据多元函数极值的判定条件，我们需要求得$f(x,y)$的偏导数。
求得$f(x,y)$的偏导数后，我们将其分别与椭圆方程联立解方程组。
先求$f(x,y)$的偏导数：$f_x=2x+y-1$，$f_y=2y+x-2$。
联立椭圆方程与偏导数方程组，得到方程组：$2x^2+4y^2=9$，$2x+y=1$，$2y+x=2$。
解方程组得到$x=1$，$y=0$，我们需要验证这个点是否是极值点。
计算得$f(1,0)=1$。
接下来，我们需要求出椭圆方程$2x^2+4y^2=9$的参数方程。
设$x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t$，$y=\frac{3}{2}\sin t$。
代入$f(x,y)$中，得到：$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2t+\frac{9}{2}\sin t\cos t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+3$化简，得到$f(t)=\frac{9}{2}\cos^2 t+\frac{9}{4}\sin^2 t-\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t-\frac{9}{2}\sin t+\frac{21}{4}$。
我们需要求得$f(t)$的极值点。
对$f(t)$求导，得到：$f'(t)=-\frac{9}{2}\sin t\cos t+\frac{9}{2}\sin t-\frac{3}{\sqrt{2}}\sin t-\frac{9}{4}\cos t=\frac{1}{2}(9\sin t-6\sin 2t-\sqrt{2}\sin t-9\cos t)$。
大学高等数学试卷2(含答案,结构规整可直接考试)
高等数学一、填空（18分）1 已知22)/,(y x x y y x f -=+，则=),(y x f 。
2 设{}1:),(22≤+=y x y x D ，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Dd y x σ)14(22 。
3 设∑是锥面222z y x =+被平面1=z 所截得立体表面的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 。
4 级数∑∞=--11)1(n n n 的和为 。
5 把函数x +11展开成x 的幂级数得到：=+x11。
6 已知四个函数x x e e x x cos ,sin ,,-是某个四阶齐次线性微分方程的特解， 则该微分方程为 。
二、选择题（18分）1 有且只有一个不连续点的函数是（ ）（A ）xy （B ）)ln(22y x e x + （C ）yx x + （D ）xy arctan 。
2 旋转抛物面42222-+=y x z 在点)0,1,1(-处的法线方程为（ ）（A ）14141-=+=-z y x （B ）14141-=-+=-z y x （C ）14111-=+=--z y x （D ）44111z y x =+=--。
3 改换积分⎰⎰---11122),(y y dx y x f dy的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）⎰⎰--21011),(x dy y x f dx（B ）⎰⎰21/1),(xxdy y x f dx （C ）⎰⎰xxdy y x f dx /131),( （D ）⎰⎰-2121),(x xdy y x f dx4 若L 是抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段，则=⎰Lxds （ ）（A ）)155(121- （B ）155- （C ）121 （D ）)155(81-。
5 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1884n n n n （C ）∑∞=+1824n n n n （D ）∑∞=⋅1842n nnn 。
高等数学二答案
《高等数学（二）》练习题一答案一、是非题1、⨯；2、⨯；3、∨；4、∨；5、∨。
6、∨；7、∨；8、⨯；二、单项选择题1B 2C 3C 4A 5C 6A 7B 8B 三、填空题1、常数；2、减少；3、0；4、13ln 3x； 5、,,2y x 6、0； 7、（0，0）； 8、(4)80y =； 四、解答题1.先求函数()f x 。
因为2(1)35f x x x +=++，令221,1,()(1)3(1)53t x x t f t t t t t =+⇒=-=-+-+=++，故2()3f x x x =++。
再来求函数()f x 的单调区间与极值。
令1()2102f x x x '=+=⇒=-为唯一的驻点。
又()20f x ''=>，故函数有唯一的极小值111()24f -=，从而得单调减少区间为1(,)2-∞-，单调增加区间1(,)2-+∞。
2.00sin 33cos333lim lim 4ln(14)4414x x x x x x→→===-----。
3.设两个直角边长分别是,(,0)x y x y >，则有222x y l y +=⇒=从而周长函数为(0)y x l x l =<<。
令10,y x '==⇒=由此可知，斜边之长为l 的一切直角三角形中，有最大周长的直角三角形是等腰直角三角形。
4.利用换元积分法，有5422sin sin (sin )(1cos )(cos )xdx x xdx x d x ==--⎰⎰⎰， 令cos u x =，就有55222432s i n (1)(12)35u xdx u du u u du u u C =--=--+=-+-+⎰⎰⎰，将cos u x =代入即可得到5532cos sin cos cos 35x xdx C x x =-+-⎰。
5.变形得2dy ydx x y =+， 这是非线性方程。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学II试题解答
一、填空题（每小题3分，共计15分）
1．设由方程确定，则。
2．函数在点沿方向(4,0,-12) 的方向导数最大。
3．为圆周，计算对弧长的曲线积分=。
4．已知曲线上点处的切线平行于平面，则点
的坐标为或。
5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为
，则的傅里叶级数在收敛于。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
1．设连续，交换二次积分的积分顺序。
解：
2．计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。
解：
3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分化为球坐标系下的三次积分。
解：
4．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求。
解：，。
由与路径无关，
得，即。
解微分方程，得其通解。
又，得。
故
5．求微分方程的通解。
解：的通解为。
设原方程的一个特解，代入原方程，得。
其通解为
三、(10分)计算曲面积分，其中∑是球面
的上侧。
解：补上下侧。
四、(10分)计算三重积分，其中由与
围成的区域。
解：
五、(10分)求在下的极值。
解：
令，得。
，为极小值点。
故
在下的极小值点为，极小值为。
六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。
解：的面积为
平面部分的面积为。
故立体的表面积为。
七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。
解：收敛区间为。
设，。
故
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
考试日期：2009年
院（系）别班级学号姓名
成绩
一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线
上）
1、已知向量、满足，，，则．
2、设，则．
3、曲面在点处的切平面方程为
．
4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则
的傅里叶级数
在处收敛于，在处收敛于．
5、设为连接与两点的直线段，则．
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．
二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
1、求曲线在点处的切线及法平面方程．
2、求由曲面及所围成的立体体积．
3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．
5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的
顶部．
三、（本题满分9分）
抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
四、（本题满分10分）
计算曲线积分，
其中为常数，为由点至原点的上半圆周．五、（本题满分10分）
求幂级数的收敛域及和函数．
六、（本题满分10分）
计算曲面积分，
其中为曲面的上侧．
七、（本题满分6分）
设为连续函数，，，其中是由
曲面与所围成的闭区域，求．
-------------------------------------
备注：①考试时间为2小时；
②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；
不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
参考解答与评分标准2009年6月
一、填空题【每小题4分，共20分】1、；2、；3、；4、
3，0；5、.
二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1、解：方程两边对求导，得，从而，
(4)
该曲线在处的切向量为 (5)
故所求的切线方程为 (6)
法平面方程为即
(7)
２、解：，该立体在面上的投影区域为
． (2)
故所求的体积为
(7)
３、解：由，知级数发散 (3)
又,.故所给级数收敛且条件收敛．【7】
４、解：， (3)
【7】
５、解：的方程为，在面上的投影区域为
．
又，…..………【３】
故
..【7】
三、【9分】解：设为该椭圆上的任一点，则点到原点的距离为
(1)
令，
则由，解得，．于是得到两个可能极值点
…………………
【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
故 (9)
四、【10分】解：记与直线段所围成的闭区域为，则由格林公式，得
． (5)
而 (8)
(10)
五、【10分】解：，收敛区间为
(2)
又当时，级数成为，发散；当时，级数成为，收敛． (4)
故该幂级数的收敛域为 (5)
令（），则
, () (8)
于是，（） (10)
六、【10分】解：取为的下侧，记与所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有
(5)
(7)
而
(9)
(10)
七、【6分】解： (2)
(4)
故
【6】。