全称命题与存在性命题
学案2全称与存在性命题的否定
路漫漫其修远兮 第 1 页 共 2 页 吾将上下而求索 高一（上）数学学案2——全称命题与存在性命题的否定【知识目标】1.命题的否定：对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作p ⌝，读作 或 .2.p ⌝的真假判定：p ⌝与p 的真假恰好相反.3.（1）命题p ：若r ，则t 的否定p ⌝是 .（2）=⌝⌝)(p .（3）}|{)}(|{A x U x A x U x A C U ∉∈=∈⌝∈=（命题的否定就是它对应集合的补集）4.两种命题的否定5.写出命题的非（否定），需要对其正面叙述的词语进行否定，常用正面叙述词语及它的否 定列举如下：（但有时也需看语言环境）例1写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）23:<p ；（2）p ：空集是非空集合A 的真子集；（3）p ：关于x 的函数c bx ax y ++=2一定是二次函数；（4）p ：正整数集*N 中的元素一定是无理数；（5）p ：正方形都是矩形；（6）p ：整数集Z 中的元素至少有五个是自然数；（7）p ：自然数集N 中的元素都不是负数；（8）p ：若A C x U ∈，则A x ∉.路漫漫其修远兮 第 2 页 共 2 页 吾将上下而求索例2写出下列命题的非，并判定真假：（1）p ：0>∀x ，02>x ；（2）p ：R x ∈∃，0222≤++x x ；（3）p ：有的三角形是等边三角形；（4）p ：有一个素数含三个正因数；（5）p ：任意两个等边三角形都是相似的；（6）p ：所有的正方形都是矩形；（7）p ：至少有一个实数x ，使013=+x ；（8）p ：x a R a x 2,,2>∈∃≥∀.【A 组训练题】1.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）p ：整数集Z 中的元素至少有一个是自然数；（2）p ：整数集Z 中的元素都是自然数；（3）p ：整数集Z 中的元素不都是自然数；（4）p ：整数集Z 中的元素都不是自然数；（5）p ：11<；（6）p ：2是质数；（7）p ：过一点有唯一一条直线与已知直线垂直且相交；（8）p ：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（9）p ：若B A B A I Y =，则B A =；（10）p ：若A B A =Y ，则A B ⊆.2.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）q ：23,x x N x >∈∀；（2）r ：R x ∈∃，是方程0232=+-x x 的根；（3）s ：x x R x =∈∀2,；（4）t ：5≥∃x ，01032≥--x x .【B 组训练题】3.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）每个二次函数的图像都与x 轴相交；（2）存在一个四边形没有外接圆；（3）在实数范围内，有一些一元二次方程无解；（4）不是每一个人都会开车.4.写出下列命题的非（否定），并判定真假：（1）p ：1023,,=-∈∃y x Z y x ；（2）q ：R b a ∈∀,，方程0=+b ax 恰有一个解；（3）r ：x a R a x 2,],2,1[>∈∃∈∀.5.已知命题021:2>--x x p ，则p ⌝对应的x 的集合为（ ） A.}21|{<<-x x B .}21|{≤≤-x xC.}12|{<<-x x .D.}12|{≤≤-x x。
命题的四种形式
知识点复习: 一、知识点复习: 1. 命題 2.全称命题 存在性命题, 全称命题, 2.全称命题,存在性命题 怎样判断真假 3、且，或，非的含义 、 及由且与或构成新命题的真假
判断下面的语句是否为命题?若是命题， 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出 它的真假。 它的真假。
写出命题“ x y =0,则 =0且 =0”的逆命 例2：写出命题“若 2 +2 =0,则x=0且y=0 的逆命 题, 否命题,逆否命题. 否命题,逆否命题. 逆命题:若x=0且y=0，则x 2 +y 2 =0 逆命题: =0且 =0， 否命题： 0， =0或 否命题：若 x 2 +y 2 = 0，则 x=0或y=0 逆否命题：若x=0或y=0，则x 2 +y 2 =0 =0或 =0， 逆否命题： “或”的否定是“且”,“且”的否定是“或” 或 的否定是“ 且 的否定是“
四种命题定义，关系： 四种命题定义，关系： 1. 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命 交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命 题. 2. 同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的 同时否定原命题的条件和结论， 否命题. 否命题 3. 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 题是原命题的逆否命题 逆否命题. 题是原命题的逆否命题
空集是任何集合的子集. (1) 空集是任何集合的子集.
(2)若整数a是素数, (2)若整数a是素数,则a是奇数. 若整数 是奇数. (3)对于任意的实数a,都有 对于任意的实数a,都有a (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行. (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行. 若平面上两条直线不相交 (5)x2+x>0. (6)91是素数 是素数. (6)91是素数. (7)指数函数是增函数吗 指数函数是增函数吗? (7)指数函数是增函数吗? (8) ( − 2 ) 2 = − 2 (9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. (9)若|x-y|=|a-b|,则 y=a-
第六讲 全称量词命题与存在量词命题-(解析版)
第六讲 全称量词命题与存在量词命题【学习目标】1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.【基础知识】1.全称量词和全称量词命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.(3)全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x ). 2.存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.(3)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为∃x ∈M ，p (x ). 3.命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 4.全称量词命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∃x ∈M ，p ⌝ (x ). 全称量词命题的否定是存在量词命题. 5.存在量词命题的否定存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )， 它的否定p ⌝：∀x ∈M ，p ⌝ (x ). 存在量词命题的否定是全称量词命题.4.常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【考点剖析】考点一：全称量词命题与存在量词命题的识别例1．下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x R∈，总有211 1x+．存在量词命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x R∈，总有211 1x+，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选B．考点二：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断例2．下列命题为真命题的是()A ．0x R ∃∈，使200x <B ．x R ∀∈，有20xC ．x R ∀∈，有20x >D ．x R ∀∈，有20x <【答案】B【解析】因为x R ∈，所以20x ，所以x R ∀∈，有20x ， 故选B ．考点三：依据含量词命题的真假求参数取值范围例3．已知命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．[0，4] C ．[4，)+∞ D ．(0,4)【答案】D【解析】命题“x R ∀∈，使214(2)04x a x +-+>”是真命题， 即判别式△21(2)4404a =--⨯⨯<， 即△2(2)4a =-<，则222a -<-<，即04a <<， 故选D ．考点四：全称量词命题的否定例4．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．考点五：存在量词命题的否定例5．设命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为( )A ．(0,)x ∀∈+∞，33x x <B ．(0,)x ∀∈+∞，33x x >C ．(0,)x ∀∈+∞，33x xD ．(0,)x ∃∈+∞，33x x【答案】C【解析】命题0:(0,)p x ∃∈+∞，0303x x <，则命题p 的否定为：(0,)x ∀∈+∞，33x x ． 故选C ．考点六：根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数例6．已知命题:p x R ∃∈，使220ax x a ++，当a A ∈时，p 为假命题，求集合． 【解析】当a A ∈时，p 为假命题， 则当a A ∈时，x R ∀∈，使220ax x a ++<， 若0a =，不等式等价为0x <，不满足条件． 若0a ≠，要使不等式恒成立，则20440a a <⎧⎨=-<⎩，即011a a a <⎧⎨><-⎩或，则1a <-， 即(,1)A =-∞-．【真题演练】1．下列命题是全称量词命题的是( ) A ．有一个偶数是素数B ．至少存在一个奇数能被15整除C ．有些三角形是直角三角形D ．每个四边形的内角和都是360︒ 【答案】D【解析】A ，有一个，存在性量词，特称命题， B ，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C ，有些，存在性量词，特称命题，D ，每个，全称量词，全称命题， 故选D ．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A ．x R ∀∈，2210x x ++> B ．所有菱形的4条边都相等 C ．若2x 为偶数，则x N ∈ D ．π是无理数【答案】B【解析】对于:A x R ∀∈，2221(1)0x x x ++=+，故A 错误； 对于B ：所有菱形的4条边都相等，满足两个条件，故B 正确； 对于C ：若2x 为偶数，则x N ∈或N -，故C 错误； 对于:D π是无理数不是全称命题，故D 错误． 故选B ．3．已知对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >，则m 的取值范围为( ) A ．3m B ．3m > C ．1m > D ．1m【答案】A【解析】对{|13}x x x ∀∈<，都有m x >， 3m ∴，故选A ．4．下列命题含有全称量词的是( ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数C ．方程2250x x ++=有实数解D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】A ：某些函数图象不过原点，不是全部的意思，不是全称量词命题；B ：实数的平方为正数即是所有实数的平方根都为正数，是全称量词命题；C ：方程2250x x ++=有实数解，不是全称量词命题；D ：素数中只有一个偶数，不是全称量词命题；故选B ．5．有下列四个命题：①x R ∀∈10>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④x Q ∃∈，22x =．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】对于①，x R ∀∈10>，是真命题，2010>； 对于②，x N ∀∈，20x >，是假命题， 因为0x =时，x N ∈，20x =；对于③，x N ∃∈，[3x ∈-，1)-，是假命题， 由x N ∈知0x ，所以[3x ∉-，1)-； 对于④，x Q ∃∈，22x =，是假命题， 因为x Q ∀∈，22x ≠．所以真命题的序号是①，共1个． 故选A ．6．全称命题：x R ∀∈，254x x +=的否定是( ) A ．x R ∃∈，254x x += B ．x R ∀∈，254x x +≠ C ．x R ∃∈，254x x +≠ D ．以上都不正确 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，x R ∴∀∈，254x x +=的否定是：x R ∃∈，254x x +≠．故选C ．7．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <B ．3a -，或3aC ．33aD ．a <a >【答案】C【解析】命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，即“x R ∀∈，23210x ax ++成立”是真命题， 故△24120a =-，解得33a ．故选C ．8．命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是 ．【答案】x R ∀∈，210x x -+≠【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以x R ∃∈，210x x -+=的否定是：x R ∀∈，210x x -+≠． 故答案为：x R ∀∈，210x x -+≠．9．设命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=，命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠．若p ，q 都为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】若命题:p x R ∃∈，2230x x m -+-=为真命题， 则△44(3)0m =--，解得4m ；若命题:q x R ∀∈，222(5)190x m x m --++≠为真命题， 则△224(5)4(19)0m m =--+<，解得3(5m ∈，)+∞，又p ，q 都为真命题，∴实数m 的取值范围是33{|4}{|}(55m m m m >=，4]．【过关检测】1．命题“x N +∃∈使230x x m -+”的否定是( ) A ．x N +∃∈使230x x m -+< B ．不x N +∃∈使230x x m -+<C ．对x N +∀∈都有230x x m -+D ．对x N +∀∈都有230x x m -+<【答案】D【解析】命题“存在x N +∈，使230x x m ++”为特称命题， ∴命题的否定为：对任意x N +∈，使230x x m ++<，故选D ．2．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若430x -=，则34x = D ．x M ∀∈，()p x 成立【答案】B【解析】命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词存在， 故B 是特此命题， 故选B ．3．设a 为常数，对任意x R ∈，210ax ax ++>，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0，4) C ．(0,)+∞ D ．(,4)-∞【答案】B【解析】①当0a =时，10>恒成立，即0a =时满足题意， ②当0a ≠时，由对任意x R ∈，210ax ax ++>，则有： 240a a a >⎧⎨-<⎩，解得：04a <<， 综合①②得：a 的取值范围是[0，4)，故选B ．4．命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>，则p ⌝是( )A ．0x R ∃∈，使70070x x +B ．0x R ∃∈，使70070x x +C ．x R ∀∈，使770x x +D ．x R ∀∈，使770x x +【答案】B【解析】根据题意，命题p ：任意的x R ∈，使770x x +>， 这是全称命题，其否定为特称命题， 即0x R ∃∈，使70070x x +， 故选B ．5．若存在x 使2()1x a ->成立．则a 的取值范围是( ) A ．(-∞．)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(0．)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】A【解析】由2()1x a ->得12x a >+， 若存在x 使2()1x a ->成立， 则(a ∈-∞．)+∞，故选A ．6．若命题“[1x ∀∈，2]，22430x ax a -+”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．2(,1]3B ．2[,1)3C ．2[,1]3D ．2(,1)3【答案】C【解析】设22()43f x x ax a =-+，对[1x ∀∈，2]，22()430f x x ax a =-+是真命题， ∴22(1)1430(2)4830f a a f a a ⎧=-+⎨=-+⎩，∴113223a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴213a ． 故选C ．7．已知命题：“[1x ∃∈，2]，使220x x a ++”为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3-，)+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[8-，)+∞ D ．(8,)-+∞【答案】C【解析】设2()2f x x x a =++， 要使[1x ∃∈，2]，使220x x a ++， 据二次函数的图象与性质得： 只要：f （2）0即可， 22220a ∴+⨯+，8a ∴-．故选C ．8．若“存在[1x ∈，2]，使0x a -”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(,1)-∞【解析】由题转化为命题“[1x ∀∈，2]，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立， 又y x =在[1，2]上单调递增，所以1min y =，故1a <． 故答案为：(,1)-∞．9．若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】2λ【解析】若“0(0,)x ∃∈+∞，21x x λ>+”是假命题， 则“(0,)x ∀∈+∞，21x x λ+”是真命题； 所以，(0,)x ∈+∞时，1x xλ+恒成立， 又1122x x x x+=，当且仅当1x =时取“=”； 所以实数λ的取值范围是2λ． 故答案为：2λ．10．已知命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”．试问p 是q 什么条件？【解析】因为命题p ：“x R ∀∈，220x x a +->”所以△0<，440a +<，解得：(,1)a ∈-∞-因为命题:q x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<，所以△0>，即2(1)40a -->，解得(a ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞ 所以，p 是q 充分不必要条件．。
1.5 全称量词命题、存在量词命题和同步练习
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
2.命题“存在实数 ,使关于 的方程 有实数根”的否定是【】
（A）存在实数 ,使关于 的方程 无实数根
（B）不存在实数 ,使关于 的方程 有实数根
（C）对任意实数 ,关于 的方程 都有实数根
（D）至多有一个实数 ,使关于 的方程 有实数根
知识点二 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素 , 成立”可用符号表示为:
.
读作:存在M中的元素 ,使 成立.
对存在量词命题的理解:
（1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.
解析:本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
该命题的否定为: ≥3, ≥ .
由题意可知,该命题的否定为真命题.
∴只需 ≥ 即可.
∴ ≤5,即实数 的最大值是5.
例9.若对 ≤ ≤2,有 ≤0恒成立,则实数 的取值范围是__________.
3.命题“ ,都有 ”的否定是【】
（A） ,都有 ≤0（B） ,使得 ≤0
（C） ,使得 ≤0（D） ≤1,使得 ≤0
4.已知命题 R, ,则 是【】
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
5.判断下列命题的真假,并写出命题的否定.
（1） Z, ;
（2）在实数范围内,有些一元二次方程无解;
例7.已知命题 : ,方程 有解,则 为【】
第五课时：全称量词与存在量词
全称命题与存有性命题教学目标：1．理解量词在日常生活中和数学命题中的作用，准确区分全称量词和存有量词的概念，并能准确使用和理解两类量词.2．利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否认，使学生进一步理解全称量词、存有量词的作用.教学重点难点：全称量词与存有量词命题间的转化；隐蔽性否认命题的确定. 教学过程：一、全称命题与存有性命题问题1：请你给以下划横线的地方填上适当的词 答案：①张②头③匹④户⑤艘.问题2：以下命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x ，都有x 2≥0； （2）存有实数x ，满足x 2≥0；（3）至少有一个实数x ，使得x 2－2＝0成立； （4）存有有理数x ，使得x 2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n ，有一个自然数s 使得 s = n × n ； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n ，有 s = n × n . 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等.含有全称量词的命题称为全称命题存有量词：如“有”、“有的”、“有些”等.含有存有量词的命题称为存有性称命题含有量词的命题通常包括存有性命题和全称命题二种. 问题3：判断以下命题是全称命题，还是存有性命题？ （1）方程2x =5只有一解； （2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x 2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数；（5）假如两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A ∩B 是集合A 的子集. 分析：（1）存有性命题；（2）全称命题；（3）存有性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；全称命题的格式：“对M 中的所有x ，p (x )”的命题，记为：,()x M p x ∀∈.存有性命题的格式：“存有集合M 中的元素x ，q (x )”的命题，记为：,()x M q x ∃∈.注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语"all "中的首字母.存有量词就是“存有”、“有”，写成左右反过来的大写字母E ，实际上就是英语"exist "中的首字母.存有量词的“否”就是全称量词. 例1判断以下命题的真假：（1）2,x R x x ∃∈>; （2）2,x R x x ∀∈>; （3）2,80x Q x ∃∈-=; （4）2,20x R x ∀∈+>.上述命题中含有：“所有的”、“存有”、“至少”、“任何”等表示全体和局部的量词.命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词.命题的量词，表示的是主词数量的概念.在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存有量词.分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真.例2判断以下语句是不是全称命题或者存有性命题，假如是，用量词符号表达出来. （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向.分析：（1）全称命题，∀河流x ∈{中国的河流}，河流x 注入太平洋；（2）存有性命题，∃0∈R ，0不能作除数；（3）全称命题，∀ x ∈R ，1xx =；（4）全称命题，∀a ，a 有方向.二、存有性命题和全称命题的否认问题4：指出以下命题的形式，写出以下命题的否认. （1）∀x ∈R ，x 2-1≥0（2）所有的矩形都是平行四边形； （3）每一个素数都是奇数； 分析：（1）,()x M p x ∀∈，否认：∃x ∈R ，x 2-1<0；形如：,()x M p x ∃∈⌝.（2）,()x M p x ∀∈，否认：存有一个矩形不是平行四边形；,()x M p x ∃∈⌝. （3）,()x M p x ∀∈，否认：存有一个素数不是奇数；,()x M p x ∃∈⌝. 这些命题和它们的否认在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否认都变成了存有性命题. 问题5：写出命题的否认：（1）p ：∃x ∈R ，x 2-1<0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；有的矩形不是平行四边形 （3）p ：存有一个四边形，它的对角线互相垂直且平分. 分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x +2>0；,()x M p x ∀∈（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分. 从集合的运算观点剖析：()UUUA B AB =,()UUUA B AB =.1.全称命题、存有性命题的否认一般地，全称命题:p ,()x M p x ∀∈成立，其否认:,()p x M p x ⌝∃∈不成立,即:,()p x M p x ⌝∃∈⌝.存有性命题:,()p x M p x ∃∈成立；其否认为:,()p x M p x ⌝∀∈不成立，即:,()p x M p x ⌝∀∈⌝.用符号语言表示：:p ,()x M p x ∀∈否认为:,()p x M p x ⌝∃∈⌝； :p ,()x M p x ∃∈否认为 :,()p x M p x ⌝∀∈⌝.在具体操作中就是从命题P 把全称性的量词改成存有性的量词，存有性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围实行否认.即须遵循下面法则：否认全称得存有，否认存有得全称，否认肯定得否认，否认之否认得肯定. 2.关键量词的否认词语是 一定是 都是 大于 小于 且 词语的否认 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或词语 必有一个 至少有n 个至多有一个所有x 成立 所有x 不成立词语的否认一个也没有至多有n -1个 至少有两个存有一个x 不成立存有有一个x 成立例3 写出以下全称命题的否认： （1）p ：所有人都晨练； （2）p ：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；（3）p ：平行四边形的对边相等；（4）p ：∃ x ∈R ，x 2－x +1＝0。
例析全称量词命题与存在量词命题的常见题型
ʏ宋秀华全称量词命题与存在量词命题是一类特殊的问题,下面就这类问题的常见题型,进行举例分析㊂一㊁全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号 ∀ 或 ∃ 表示㊂(1)自然数的平方大于或等于零(2)有的幂函数图像经过点(1,1)(3)所有的二次函数的图像的开口都向上(4)有些直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B解:(1)全称量词命题㊂表示为∀nɪN, n2ȡ0㊂(2)存在量词命题㊂∃幂函数,它的图像过点(1,1)㊂(3)全称量词命题㊂∀二次函数,它的图像的开口都向上㊂(4)存在量词命题㊂∃直角三角形的两锐角A,B,使得s i n A=c o s B㊂评注:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词㊂由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题㊂二㊁全称量词命题与存在量词命题的否定例2(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3>0 的否定为()㊂A.∀xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0B.∃xɪR,e x+s i n2x-3ɤ0C.∃xɪR,e x+s i n2x-3<0D.∀xɪR,e x+s i n2x-3<0(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 的否定是()㊂A.∀xɪR,2x>3xB.∀xɪR,2xɤ3xC.∃xɪR,2xɤ3xD.∃xɪR,2x<3x解:(1)命题 ∀xɪR,e x+s i n2x-3> 0 为全称量词命题,其否定为:∃xɪR,e x+ s i n2x-3ɤ0㊂应选B㊂(2)命题 ∃xɪR,2x>3x 为特称命题,其否定为:∀xɪR,2xɤ3x㊂应选B㊂评注:全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题㊂三㊁全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3(多选题)有四个关于三角函数的命题,其中真命题是()㊂A.∃xɪR,s i n x+c o s x=2B.∃xɪR,s i n2x=s i n xC.∀xɪ-π2,π2,1+c o s2x2=c o s xD.∀xɪ0,π,s i n x>c o s x解:对于A,s i n x+c o s x= 2s i n x+π4ɤ2,A错误㊂对于B,由s i n2x=s i n x=2s i n x c o s x,可得s i n x=0或c o s x=12,所以∃xɪR,使得s i n2x=s i n x, B正确㊂对于C,∀xɪ-π2,π2,c o s x>0,所以1+c o s2x2=c o s x=c o s x,C正确㊂对于D,∀xɪ0,π4,s i n x<c o s x成立,D错误㊂应选B C㊂评注:熟练掌握三角函数的图像与性质是解答本题的关键㊂3知识结构与拓展高一数学2023年7 8月Copyright©博看网. All Rights Reserved.四㊁由全称量词命题与存在量词命题的真假,确定参数的取值范围例4 (1)若命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0为假命题,则实数a 的取值范围是( )㊂A .-ɕ,4 B .-ɕ,4 C .-ɕ,-4D .-4,+ɕ(2)若命题 ∃x ɪR ,(a 2-3a +2)x 2+(a -1)x +2<0 是真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:(1)因为命题 ∀x ɪR ,x 2-4x +a ʂ0 为假命题,所以 ∃x 0ɪR ,x 20-4x 0+a =0 是真命题,所以方程x 2-4x +a =0有实根,所以Δ=(-4)2-4a ȡ0,解得a ɤ4㊂应选A ㊂(2)①若a 2-3a +2=0,则a =1或a =2㊂当a =1时,不等式为2<0,显然不成立;当a =2时,不等式为x +2<0,显然∃x ɪR ,使x +2<0成立,即a =2符合题意㊂②若a 2-3a +2<0,则1<a <2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向下,符合题意㊂③若a 2-3a +2>0,则a <1或a >2,此时不等式对应的一元二次函数的图像开口向上,要使符合题意,只需方程(a 2-3a +2)㊃x 2+(a -1)x +2=0有两个不相等的实根,所以Δ=(a -1)2-4ˑ2(a 2-3a +2)>0,解得1<a <157,所以2<a <157㊂由①②③得实数a 的取值范围为1<a <157,即a ɪ1,157㊂评注:根据命题真假求参数的方法:利用题目条件,推出每个命题的真假(有时不一定只有一种情况);求出每个命题是真命题时参数的取值范围;根据每个命题的真假情况,确定出参数的取值范围㊂五㊁由全称量词命题与存在量词命题的否定的真假,确定参数的取值范围例5 命题:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为真命题,则实数a 的最大值为㊂解:由特称命题的否定可知:∃x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4<0的否定为∀x ɪ[1,4],x 2-(a 2-4a -1)x +4ȡ0,且为真命题,所以a 2-4a -1ɤx 2+4x在x ɪ[1,4]上恒成立㊂对于∀x ɪ[1,4],x 2+4x =x +4xȡ24=4,当且仅当x =2时等号成立,所以a 2-4a -1ɤ4,所以-1ɤa ɤ5,即a ɪ[-1,5]㊂故所求实数a 的最大值为5㊂评注:解答这类问题的关键是利用命题的含义,结合函数的性质求得参数的取值范围㊂六㊁全称量词命题与存在量词命题的综合应用例6 命题p :∃x ɪ{x |-1ɤx ɤ1},使得x 2+1<a 成立;命题q :任意的x ɪ(0,+ɕ),不等式a x <x 2+1恒成立㊂若命题p 与q 只有一个为真命题,则实数a 的取值范围为㊂解:若命题p 为真命题,则存在x ɪ[-1,1],使得x 2+1<a 成立㊂令f (x )=x 2+1,则x ɪ[-1,1],a >f (x )m i n ㊂因为f (x )m i n =f (0)=1,所以a >1㊂若命题q 为真命题,则对任意的x ɪ(0,+ɕ),a x <x 2+1恒成立,即a <x 2+1x恒成立㊂令函数g (x )=x 2+1x =x +1x,则x ɪ(0,+ɕ),a <g (x )m i n ㊂因为g (x )=x +1x ȡ2x ㊃1x =2,当且仅当x =1时等号成立,所以g (x )m i n =2,所以a <2㊂当命题p 与命题q 只有一个为真命题时,若命题p 为真命题且命题q 为假命题,则a >1且a ȡ2,所以a ȡ2;若命题p 为假命题且命题q 为真命题,则a ɤ1且a <2,所以a ɤ1㊂故实数a 的取值范围为(-ɕ,1]ɣ[2,+ɕ)㊂评注:利用分离法求函数不等式恒(能)成立问题,遵循以下原则:∀x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m i n ;∀x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ɤf (x )⇔m ɤf (x )m a x ;∃x ɪD ,m ȡf (x )⇔m ȡf (x )m i n ㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
全称量词与存在性量词知识点总结
全称量词与存在性量词知识点总结
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题
③全称命题的格式：“对M中任意一个x，有p（x）成立”的命题，记为？x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”。
2、存在量词与特称命题：
①存在量词：短语“存在一个”，“至少有一个”在陈述中表示个别或者一部分的含义，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
②特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题；
③“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”的命题，记为？x0∈M，p（x0），读作“存在一个x0属于M，使p（x0）成立”。
3、全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：，它的否命题4、特称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：，其否定命题高中数学全称量词与存在性量词知识点总结（二）全称量词与存在性量词
1、全称量词与全称命题：
①全称量词：短语“对所有的”，“对任意的”在陈述中表示整体或全部的含义，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；
②全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。
152 全称量词命题和存在量词命题的否定
空集不是{1,2}的子集
3.所有的平行四边形是矩形 有的平行四边形不是矩形
以上命题有何关系？
对一个命题进行否定，可以得到一个
新的命题，这一个新命题称为原命题
的否定。
讲 命题的否定的真假与原来的命题 相反 .
课
人
：
邢
启 强
5
学习新知
全称量词命题的否定
思考1：你能写出下列命题的否定吗？
（1）本教室内所有学生都是男生；
如何利用规律实现更好记忆呢？
讲
课
人
：
邢
启 强
35
超级记忆法-记忆
规律 记忆后
选择巩固记忆的时间
艾宾浩斯遗忘曲线
讲
课
人
：
邢
启 强
36
超级记忆法-记忆 规律 TIP1：我们可以选择巩固记忆的时间！
TIP2：人的记忆周期分为短期记忆和长期记忆两种。 第一个记忆周期是 5分钟 第二个记忆周期 是30分钟 第三 个记忆周期是 12小时
需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立；
讲 课
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，
人 ： 邢
那么这个全称量词命题就是假命题
启 强
2
复习回顾
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题
存在量词命题:“存在M中的一个x,使p(x)成立”
符号简记为： x∈M ,p(x)
读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”
17
小案例—哪个
是你 忙忙叨叨，起早贪黑，
上课认真，笔记认真， 就是成绩不咋地……
小A
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂，
但一考试就挺好…… 小B
2.3.1 全称量词命题与存在量词命题
2.3全称量词命题与存在量词命题2.3.1全称量词命题与存在量词命题课标要求素养要求1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假. 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.新知探究有下列几个命题：①有些集合没有子集；②所有三角形都有外接圆；③有些四边形有内切圆.问题在这些命题中有一些短语“有些，所有的”在逻辑中如何定义？提示短语“所有的，全部，任一个”等在逻辑中通常叫做全称量词.而“有些”“有一个”“有的”是存在量词.1.全称量词和全称量词命题(1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：∀x∈M，p(x).2.存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，它的一般形式可表示为：∃x∈M，p(x).拓展深化[微判断]1.存在量词命题“∃x∈R，x2＜0”是真命题.(×)2.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(√)3.“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(√)4.“对每一个无理数x，x2也是无理数”是真命题.(×)提示3是无理数，但(3)2＝3是有理数.[微训练]用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0成立；(2)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(3)所有的梯形都不是平行四边形；(4)任意x∈R，都有－x2＋2x－4<0.解(1)∃(x，y)∈{(x，y)|x∈R，y∈R}，2x＋3y＋3<0.(2)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.(3)∀x∈{x|x是梯形}，x不是平行四边形.(4)∀x∈R，－x2＋2x－4<0.[微思考]1.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.2.在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？提示在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.题型一全称量词与存在量词命题的识别【例1】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.规律方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.【训练1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.∃一次函数，它的图象过原点.(3)全称量词命题.∀二次函数，它的图象的开口都向上.题型二命题真假的判断【例2】判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0. 解 (1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)是真命题.(3)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在，所以存在量词命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋3＝0”为假命题.规律方法 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x ，使p (x )成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x ，p (x )都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x ，使p (x )不成立即可.【训练2】 判断下列命题的真假： (1)有一些二次函数的图象过原点； (2)∃x ∈R ，2x 2＋x ＋1<0； (3)∀x ∈R ，x 2>0.解 (1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y ＝x 2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题. ∵2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78≥78>0，∴不存在x ∈R ，使2x 2＋x ＋1<0.故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题.x ＝0时，x 2＝0，故该命题是假命题. 题型三 由命题的真假求参数范围【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围. 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.规律方法 根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围. 【训练3】 (1)已知命题“∃x ∈[－3，2]，3a ＋x －2＝0”为真命题，求实数a 的取值范围.(2)∀x ∈[1，5]，1x －2m ＋3≥0恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由3a ＋x －2＝0得－x ＝3a －2.∵x ∈[－3，2]，∴－2≤－x ≤3，∴－2≤3a －2≤3， 即0≤a ≤53.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53.(2)令y ＝1x ，由图象可知y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1，∴2m －3≤15，∴m ≤85，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，85.一、素养落地1.通过学习命题、全称量词命题与存在量词命题的概念提升数学抽象素养.通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养逻辑推理素养.2.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.3.要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.4.要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题. 二、素养训练1.下列命题中全称量词命题的个数是( ) ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n 边形的内角和是(n －2)×180°. A.0 B.1 C.2D.3解析 ①③是全称量词命题. 答案 C2.下列存在量词命题是假命题的是( ) A.存在x ∈Q ，使4－x 2＝0 B.存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0 C.有的素数是偶数 D.有的实数为正数解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0恒成立.答案 B3.对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3. 答案 (－∞，3]4.给出下列四个命题：①有理数是实数；②矩形都不是梯形； ③∃x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1； ④凡是三角形都有内切圆.其中全称量词命题是________(填序号).解析 在④中含有全称量词“凡是”为全称量词命题；③为存在量词命题；①的实质为：所有的有理数都是实数；②的实质是：所有的矩形都不是梯形，故①②④为全称量词命题. 答案 ①②④5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假： (1)∃x ，x －2≤0；(2)三角形两边之和大于第三边； (3)有些整数是偶数.解 (1)存在量词命题.x ＝1时，x －2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x ，x －2≤0”是真命题.(2)全称量词命题.三角形中，任意两边之和大于第三边.故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题.(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数.故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.基础达标一、选择题1.下列命题中存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.答案 B2.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.0<a<4B.a>4C.a<0D.a≥4解析∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4. 答案 B3.下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R，使得x2>3成立B.对有些x∈R，使得x2>3成立C.任选一个x∈R，都有x2>3成立D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析“任选一个”“任意一个”是全称量词.答案 C4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为()A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D.存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立解析 B ，D 有存在量词“存在”，C 中，x ，y 的范围与原命题不符. 答案 A5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a ，b ，若a －b ≤0，则a ≤b D.存在一个实数x ，使等式x 2－2x ＋1＝0成立解析 B ，D 是存在量词命题，故应排除；对于A ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象开口向下，也应排除，故应选C. 答案 C 二、填空题6.命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2>0”用“∃”写成存在量词命题为________.解析 存在量词命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”.答案 ∃x <0，(1＋x )(1－9x )2>07.若命题“∃x ∈R ，使x 2＋2x －3m ＝0”为真命题，则m 的取值范围为________. 解析 由方程有实根，即Δ＝4＋12m ≥0，∴m ≥－13. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞8.下列全称量词命题中真命题的个数为________. ①∀x ∈R ，x 2＋2>0； ②∀x ∈N ，x 4≥1；③对任意x ，y ，都有x 2＋y 2≠0.解析 ①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2>0，即x 2＋2>0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2>0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.答案 1三、解答题9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)矩形有一个外接圆.(2)非负实数有两个平方根.(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.解(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”是全称量词命题.(2)原命题改写为“任意的非负实数都有两个平方根”是全称量词命题.(3)原命题改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”是存在量词命题.10.用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断其真假.(1)实数都能写成分数形式；(2)有一个实数x，使1x－1＝0；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}.解(1)∀x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.(2)∃x∈R，1x－1＝0.因为不存在x∈R，使1x－1＝0，所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}.存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.能力提升11.已知命题p：∃x≥3，使2x－1<m是假命题，则实数m的最大值为________. 解析命题p为假命题，则任意x≥3，2x－1<m不成立，因为当x≥3时，2x－1≥5，故m≤5.答案 512.若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈{a|－1≤a≤1}.创新猜想13.(多选题)下列说法错误的是()A.对所有的正实数t，有t<tB.存在实数x，使x2－3x－4＝0C.不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0D.任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4解析t＝14时，t>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.答案ACD14.(多选题)下列命题中的真命题是()A.∀x∈R，|x|＋1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x∈R，1x<1 D.∃x∈R，5x－3＝2解析A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故B错误；C项，当x>1时，1x<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确. 答案ACD。
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)2.3全称量词命题与存在量词命题（解析版）在数理逻辑中，全称量词命题和存在量词命题是重要的概念。
本文将详细解析这两种命题的含义、特点以及它们在推理和证明中的应用。
全称量词命题是表示一个命题对于某一特定论域中的所有个体都成立。
通常用符号∀x 来表示全称量词，其中 x 是论域中的个体。
举例来说，全称量词命题 "对于所有的学生x，x是努力学习的" 表明在论域中的每个学生都是努力学习的。
全称量词命题具有以下特点：1. 它对论域中的每个个体都进行了普遍的断言，因此涵盖了整个论域。
2. 全称量词命题通常用于进行普遍性的推理和推广，能够从一个特例得出普遍结论。
3. 当全称量词命题能够通过具体的例证或数学证明得到验证时，我们可以得出它的真值。
存在量词命题则表示在论域中存在至少一个个体使该命题成立。
用符号∃x 表示存在量词，其中 x 仍然是论域中的个体。
例如 "存在一个学生x，x是优秀的" 表明论域中至少存在一个优秀的学生。
存在量词命题的特点如下：1. 它只需要论证至少存在一个使命题成立的个体，而不需要考虑其他个体。
2. 存在量词命题通常用于证明问题的存在性，例如存在一个解，存在一个答案等。
3. 能否验证存在量词命题的真值取决于具体的情境和论域。
全称量词命题与存在量词命题在推理和证明中具有不同的应用。
全称量词命题可以用于推理和推广，通过观察和验证特例来得出普遍性结论。
它也可以用于证明某个性质对于论域中的每个个体都成立。
而存在量词命题则可以用于证明问题的存在性，例如存在一个解或存在一个满足条件的对象。
在解析命题时，我们需要根据命题的具体形式和要求来确定是应该使用全称量词还是存在量词。
通过正确地使用全称量词和存在量词，我们能够准确地表达命题的意思，并进行有效的推理和证明。
总结起来，全称量词命题和存在量词命题是数理逻辑中重要的概念。
全称量词命题表示对于论域中所有个体都成立的命题，而存在量词命题表示在论域中存在至少一个个体使命题成立。
《全称量词命题与存在量词命题》 说课稿
《全称量词命题与存在量词命题》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《全称量词命题与存在量词命题》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教 A 版高中数学选修 1-1 第一章常用逻辑用语中的内容。
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理和论证的工具。
而全称量词命题与存在量词命题作为这一章的重要概念，不仅是后续学习充分条件、必要条件等知识的基础，也为进一步理解数学中的推理和证明提供了有力的支持。
教材通过丰富的实例引入全称量词和存在量词，让学生在具体情境中感受和理解这两个概念，进而掌握全称量词命题和存在量词命题的形式与真假判断。
这样的安排有助于培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前的学习中已经接触过一些简单的命题及其真假判断，具备了一定的逻辑思维基础。
但对于全称量词和存在量词这两个较为抽象的概念，可能会存在理解上的困难。
而且，在判断命题的真假时，需要学生进行严谨的推理和分析，这对学生的思维能力也提出了较高的要求。
然而，高中生的思维已经逐渐从形象思维向抽象思维过渡，他们具备一定的自主探究和合作学习的能力，只要引导得当，能够较好地掌握本节课的内容。
三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解全称量词与存在量词的含义。
（2）掌握全称量词命题和存在量词命题的形式，并能判断其真假。
2、过程与方法目标（1）通过对具体实例的分析，经历从具体到抽象的思维过程，培养学生的数学抽象能力。
（2）在判断命题真假的过程中，提高学生的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过小组合作学习，培养学生的团队合作精神和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点（1）全称量词与存在量词的含义。
全称命题与存在性命题
今天的上课内容为量词相关的知识，主要帮助学生建立全称命题与存在性命题的知识体系。
现将这节课的备课内容和大家分享一下。
课题：量词课型：新授课课时：1课时教学目标：1、通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的含义；2、能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容教学重点：理解全称量词与存在量词的含义，会利用全称量词和存在量词表示数学命题教学难点：学生能准确判断含有全称量词和存在量词的命题的真假教学过程：一、知识梳理1、全称量词表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，常见的短语形式有“所有”、“任意”、“每一个”，用符号“x∀”表示“对任意x”。
2、存在量词表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，常见的短语形式有“有一个”、“有些”、“存在一个”，用符号“x∃”表示“存在x”。
3、全称命题含有全称量词的命题称为全称命题，一般数学语言表示形式：“,()∀∈”。
x M p x4、存在性命题含有存在量词的命题称为存在性命题，一般用数学语言的表示形式为：“,()∃∈”。
x M p x二、自主探究探究一：判断下列命题是全称命题还是存在性命题：（1） 任何实数的平方都是非负数；（2） 任何数与0相乘都等于0；（3） 任何一个实数都有相反数；（4） 有些三角形的三个内角都是锐角。
解析：判断命题是全称命题还是存在性命题的题目重在观察命题语句中是否含有全称量词或存在量词；简言之，找一找命题中是否含有表示全体的短语还是含有表示部分的短语。
在该题中，命题（1）（2）（3）含有“任何”这些表示全体的量词，而命题（4）含有“有些”这表示部分的量词，因此，（1）（2）（3）是全称量词，（4）是存在性命题。
探究二：用量词符号“∀”、“∃”表示下列命题（1） 存在实数2,12x x x +<；（2） 任一个实数乘以1-都等于它的相反数；（3） 对任意角α，都有22sin cos 1αα+=；（4） 凸n 边形的外角和等于2π解析：首先全称命题、存在性命题的数学符号语言表示形式为：全称命题：,()x M p x ∀∈存在命题：,()x M p x ∃∈其中，M 为给定的集合，()p x 是一个含有x 的语句因此，解决这样的习题的方法可总结为：① 先找到命题中的量词，将表示全体的量词换为“x ∀”，将表示部分的量词换为“x ∃”；② 搞定M ，将汉语表示集合语言转换为数学符号语言“{}”； ③ 将结论改写成()p x 的形式采用上述三个步骤可以将该题中的命题顺利转换为符号语言：① 2,12x R x x ∃∈+<② ,(1)x R x x ∀∈-=-③ 22,sin cos 1R ααα∀∈+=④ {}x x x ∀∈是凸多边形，x 的外角和等于2π探究三：判断下列命题的真假（1）2,x R x x ∃∈>（2）2,x R x x ∀∈>（3）2,80Q x α∃∈-=（4）2,20x R x ∃∈+>解析：判断全称命题和存在性命题的真假跟判断普通命题是一样的，对于全称命题只需认准()p x 对集合M 中的所有元素都成立即可，而存在性命题只需在集合M 中找到一个元素满足()p x 即可。
1.5.1 全称命题与存在命题 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一
存在一个、至少有一个、有一个，有些、有的 _∃__
含有存在量词 的命题 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 “∃x∈M，p(x) ”
4 例题解析
【例1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题
(1)任何实数的平方都是非内角中有锐角; (2)任何数与0相乘，都等于0; (3)任何一个实数都有相反; (4)△ABC的内角中有锐角; (5) 有的偶数是合数； (6)在同一平面内，与同一直线垂直的两条直线平行； (7)有的三角形两边长相等； (8)和圆没有公共点的直线与圆相离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2 m 4或2 m 3 2 m 4
m {m | 2 m 4}。
4 例题解析
【例5】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p:“∀x∈A，x∈B”， 是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
所以它们不是命题.
语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；
语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定；
从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
2 全称量词与全称量词命题
知识点1
全称量词 符号表示
所有的、任意一个、一切、每一个、任给 _∀__
2 全称量词与全称量词命题
问题1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数.
【解析】语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，
2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)
§2.3 全称量词命题与存在量词命题 题型一：全称命题的否定及其真假判断1．已知命题p ：∃n ∃N ，n 2>3，则﹁p 为（ ）A ．∃n ∃N ，n 2≤3B ．∃x ∃N ，n 2≤3C ．∃n ∃N ，n 2>3D ．∃n ∃N ，n 2＝3【答案】A【点拨】根据特称命题的否定形式，即可判断选项.【详解】根据特称命题的否定形式，可知:p x N ⌝∀∈，23n ≤.故选：A2．命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是（ ）A ．x ∀∈R ，12y <≤B ．x ∃∈R ，1y <或2y >C ．x ∀∈R ，1y ≤或2y >D ．x ∃∈R ，1y ≤或2y >【答案】C【点拨】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是x ∀∈R ，1y ≤或2y >.故选：C.3．命题“∃实数x ，使1x >”的否定是（ ）A ．∀实数x ，都有1x >B ．∃实数x ，使1x <C ．∀实数x ，都有1x ≤D ．∃实数x ，使1x ≤【答案】C【点拨】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案．【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃实数x ，使1x >”的否定是“∀实数x ，都有1x ≤”.故选：C ．4．命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是（ ）A ．0x ∃≤，2230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．0x ∃>，2230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥一维练基础【答案】D【点拨】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是“0x ∀>，2230x x -+≥”，故选：D5．命题:p x Z ∃∈，0x <，则p ⌝是（ ）A ．x Z ∀∈，0x ≤B ．x Z ∀∈，0x ≥C ．x Z ∃∈，0x ≤D ．x Z ∃∈，0x ≥【答案】B【点拨】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题:p x Z ∃∈，0x <，为特称量词命题，其否定为x Z ∀∈，0x ≥；故选：B题型二：特称命题的否定及其真假判断1．命题“0x ∀>，220x +≥”的否定是（ ）A ．0x ∃>，220x +<B ．0x ∀>，220x +<C ．0x ∃≤，220x +<D ．0x ∀≤，220x +<【答案】A【点拨】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】0x ∀>，220x +≥的否定是0x ∃>，220x +<．故选：A ．2．命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，210x -B ．x ∃∈R ，210x -C ．x ∃∈R ，210x -D ．x ∀∈R ，210x -<【答案】B【点拨】全称量词命题的否定，是把全称量词改成存在量词，并把后面的结论否定.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是“x ∃∈R ，210x -”. 故选：B.3．命题p ：(0,),310x x ∀∈+∞+<则命题p 的否定为（ ）A ．(0,),310x x ∀∈+∞+>B ．(0,),310x x ∃∈+∞+>C ．(0,),310x x ∀∉+∞+≥D ．(0,),310x x ∃∈+∞+≥【答案】D【点拨】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p 的否定为(0,),310x x ∃∈+∞+≥.故选：D.4．命题“20,10x x x ∀>-->”的否定是（ ）A ．20,10x x x ∃>--≤B ．20,10x x x ∀>--≤C ．20,10x x x ∃≤--≤D ．20,10x x x ∀≤--≤【答案】A【点拨】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，命题“20,10x x x ∀>-->”是全称量词命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“2“0,10x x x ∃>--≤”.故选：A.5．命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是（ ） A ．0x ∀≠，222x x +<B ．0x ∃=，222x x +≥ C ．0x ∃≠，222x x +<D ．0x ∃=，222x x+< 【答案】C【点拨】全称命题的否定是特称命题，按规则否定即可【详解】命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是： 0x ∃≠，222x x+<， 故选：C1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）A ．矩形的两条对角线垂直B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2 ≥ 2（a ﹣b ﹣1）C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤ 2成立二维练能力【答案】B【点拨】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误. C,D 选项是特称量词命题，故错误.B 选项是全称量词命题，用反证法证明，因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确. 故选:B.2．下列选项中，可以作为a b >的必要不充分条件的是（ ）A ．0x ∃≤，a x b +>B ．0x ∃<，a x bC ．0x ∀≥，a b x >-D ．0x ∀≥，a b x -≥【答案】D【点拨】根据充要条件和必要条件的概念，直接判定即可.【详解】A ，B ，C 选项均等价于a b >，D 选项等价于a b ≥，而a b ≥是a b >的必要不充分条件. 故选:D.3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ）．A ．实数都大于0B ．有些菱形是正方形C ．三角形内角和为180°D ．有小于1的自然数【答案】C【点拨】B 、D 不是全称命题，A 、C 是全称命题而A 显然错误.【详解】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误；有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B 选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C 选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D 选项错误.故选：C.4．下列四个命题中的真命题为（ ）A ．0x Z ∃∈，0143x <<B ．0x Z ∃∈，0410+=xC ．∃x ∃R ，210x -=D ．∃x ∃R ，2220x x -+≥【答案】D【点拨】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可．【详解】若1＜04x ＜3，得14＜0x 34＜，则0Z x ∉，故A 错误， 由0410+=x 得0x 14=-，则0Z x ∉，故B 错误， 由210x -=得1x =±，故C 错误，()2222110-+=-+≥x x x 恒成立，故D 正确，故选：D ．5．已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，如果命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),3-∞【点拨】先由题意得到“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题，讨论0a <和0a ≥两种情况，即可求出结果.【详解】命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题.当0a <时，集合A =∅，符合A B =∅.当0a ≥时，因为230m +>，所以由m ∀∈R ，A B =∅，得23a m <+对于任意m ∈R 恒成立，又233m +≥，所以03a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(),3-∞.故答案为：(),3-∞.6．已知命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m【点拨】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到x ∃∈R ，220x x m -+≤为真命题，则0∆≥，从而求出参数的取值范围；【详解】解：因为命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，所以命题“x ∃∈R ，220x x m -+≤”为真命题，所以()2240m ∆=--≥，解得1m ；故答案为：1m7．若命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则p 的否定为_____________．【答案】2R,21x x x ∀∈-<-【点拨】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出p 的否定作答.【详解】命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则命题p 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p 的否定是：2R,21x x x ∀∈-<-.故答案为：2R,21x x x ∀∈-<-8．已知命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立；2:,10q x R x ax ∃∈-+<，若p ，q ⌝均为真，则实数a 的取值范围__________．【答案】[]1,2【点拨】根据题意得到命题p 为真命题，q 为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】根据题意，命题p ，q ⌝均为真命题，可得命题p 为真命题，q 为假命题，由命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立，可得21240a ∆=-≤，解得1a ≥；又由命题2:,10q x R x ax ∃∈-+<为假命题，可得22()40a ∆=--≤，解得22a -≤≤，所以12a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]1,2.故答案为：[]1,2.9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形的四个顶点在同一个圆上；(2)x ∀∈Q ，211123x x -+∈Q ； (3)所有能被3整除的数都是奇数；(4)1∃<a ，12a a+=； (5)不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根．【答案】(1)所有四边形的四个顶点不在同一个圆上(2)x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q (3)有些能被3整除的数不是奇数(4)1a ∀<，12a a+≠ (5)存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根【点拨】首先分析命题是全称命题还是特称命题，再根据全称命题和特称命题的否定形式，即可求解.【详解】（1）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“所有四边形的四个顶点不在同一个圆上”；（2）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q ”； （3）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“有些能被3整除的数不是奇数”；（4）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“1a ∀<，12a a+≠”； （5）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根”. 10．判断下列命题的真假：(1)Z x ∃∈，22x =；(2)R x ∃∈，22x =；(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(4)平面上任意两条直线必有交点．【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题；(4)假命题【点拨】解方程，即可判断（1）（2），根据垂直平分线的性质判断（3），根据平面内两直线的位置关系判断（4）；【详解】（1）解：若22x =，解得2x =±，因为2±不是整数，故命题“Z x ∃∈，22x =”为假命题； （2）解：若22x =，解得2x =±，因为2R ±∈，故命题“R x ∃∈，22x =”为真命题；（3）解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；（4）解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；1．命题“[]1,2x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【点拨】根据不等式恒成立求出命题为真命题时a 的范围，再选择其真子集即可求解.【详解】若“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题，得23a x ≤对于[]1,2x ∈恒成立，只需()2min 33a x ≤=，三维练素养所以2a ≤是命题“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”，则p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”B ．已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充要条件D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】C【点拨】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”，则，p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”满足命题的否定形式，所以A 正确；对于B 选项，已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”能够推出“1ab >，“1ab >”不能推出“1a >且1b >”，所以B 正确；对于C 选项，1x =时，2320x x -+=成立，反之，2320x x -+=时，1x =或2x =，所以C 不正确；对于D 选项，若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D 正确．故选：C ．3．给出下面四个命题：∃x R ∀∈，11x +≥；∃x R ∀∈，0x x +≥；∃x R ∃∈，2x 的个位数字等于3；∃x R ∃∈，210x x -+=.其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【点拨】∃根据不等式性质和全称命题定义判断；∃根据不等式性质和称命题定义判断；∃用例举法判断；∃用一元二次方程根的判断式判断.【详解】对于∃，因为0x ≥，所以x R ∀∈，11x +≥，所以∃对；对于∃，当0x ≥时，20x x x +=≥，当0x <时，00x x +=≥，所以x R ∀∈，0x x +≥成立，所以∃对；对于∃，设10x a b =+，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9b ∈，()22210102x a ab b =++，2x 的个位数字等于2b 的个位数字， 所以2x 的个位数字都不等于3，所以∃错；对于∃，因数()2141130∆=--⨯⨯=-<，所以方程210x x -+=无实数解，所以∃错.故选：B. 4．下列四个命题中，假命题是（ ）A ．1,2x R x x∀∈+≥B ．2,5x R x x ∃∈-> C ．,|1|0x R x ∃∈+<D ．,|1|0x R x ∀∈+>【答案】ACD【点拨】取0x <，可判断A ；取3x =，可判断B ；根据绝对值的定义，可判断C ；取1x =-，可判断D【详解】对于A 中，当0x <时，10x x+<不成立，所以命题“1,2x R x x ∀∈+≥”是假命题； 对于B 中，取3x =时，265x x -=>，所以命题“2,5x R x x ∃∈->”为真命题；对于C 中，根据绝对值的定义，可得10x +≥恒成立，所以命题“,10x R x ∃∈+<”是假命题；对于D 中，当1x =-时，10x +=，所以命题“,10x R x ∀∈+>”为假命题.故选：ACD5．下列命题中，真命题的是（ ）A ．0a b +=的充要条件是1a b=- B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”D ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件【答案】BCD【点拨】根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断．【详解】0a b 时，0a b +=，但a b无意义，A 错； 1,1a b >>时一定有1ab >，而当2,3a b =-=-时，61ab =>，但1,1a b <<，充分性正确，B 正确； 由存在命题的否定是全称命题，命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”，C 正确；22(1)(2)0x x x x +-=-+>，2x <-或1x >，因此D 正确．故选：BCD ．6．下列语句是假命题的是______（填序号）．∃所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃存在一个实数0x ，使200360x x -+<成立； ∃存在一个实数0x ，使200360x x -+=． 【答案】∃∃【点拨】由二次方程2360x x -+=的判别式可得二次函数的性质，进而可判断∃∃∃是否正确，可得正确答案.【详解】因为在2360x x -+=中，()2346150=--⨯=-<∆，所以2360x x -+=无解，2360x x -+>恒成立．所以所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃是真命题，不存在实数0x ，使200360x x -+<成立，∃是假命题， 不存在实数0x ，使200360x x -+=，∃是假命题，所以∃∃是假命题．故答案为：∃∃.7．命题“对2,210x R ax x ∀∈++≥”为真命题，则实数a 的最小值是_______.【答案】1【点拨】分两种情况讨论a ，根据不等式恒成立，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.【详解】当0a =时，210x +≥不恒成立，为假命题，不符合题意；当0a ≠时，要使x R ∀∈，2210ax x ++≥为真命题，则需201440a a a >⎧⇒≤⎨∆=-≤⎩， 综上可得实数a 的最小值是1.故答案为：18．已知命题:p {|620}x x x ∃∈≤≤，2x a < ，命题:q 2R,20x x x a ∀∈+->.(1)若命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[1,3]-;(2)(,1)(3,)-∞-⋃+∞.【点拨】(1)先分别解出当命题p 、q 均为真时，实数a 的范围,再分p 真q ⌝为假和p 假q ⌝为真两种情况分别求解后取并集即可；(2)运用补集思想，结合(1)中p 假q 假的结论，即可求得结论.【详解】（1）解：当命题p 为真时有：26a >，解得3a >;当命题q 为真时有：440a ∆=+<，解得：1a <-，又命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，当p 真时，q ⌝为假，即p 真q 真，所以31a a >⎧⎨<-⎩，无解； 当p 假时，q ⌝为真，即p 假q 假，所以31a a ≤⎧⎨≥-⎩，解得13a -≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为：[1,3]-;（2）解：由(1)可知当p 假q 假时，13a -≤≤.所以当命题p 和命题q 至少有一个为真命题时，实数a 的取值范围为：(,1)(3,)-∞-⋃+∞。
2.3 全称量词命题与存在量词命题
2.3 全称量词命题与存在量词命题“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．1．全称量词与全称量词命题(1) “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．2．存在量词与存在量词命题(1) “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M, p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．全称量词命题与存在量词命题的否定语句p(x)是对语句p(x)的否定．一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否p：∃x∈M，p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否p：∀x∈M，p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，对全称量词命题的否定，主要对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．4．全称量词命题与存在量词命题的真假的判定(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C2．下列全称量词命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 [答案] B3．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2 019<1 D．∃x∈R,2x＞2B [当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．] 4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是( ) A．p：∃x∈R，sin x≥1B．p：∀x∈R，sin x≥1C．p：∃x∈R，sin x＞1D．p：∀x∈R，sin x＞1[答案] C全称量【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝．[解] (1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0．[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．全称量词命题和存在量词命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C．(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．[解] (1) p：∃x∈R，＜0，假命题．因为∀x∈R，≥0恒成立，所以p是假命题．(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3) r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．全称量词命题与【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m｜m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax．3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．m≥1B．m＞1C．m＜1 D．m≤1B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m ＞1．故选B．]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，条件不变，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x R，x2－3x＋3≤0． ( )[答案] (1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C [A中，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C．] 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3．[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．2.3 全称量词命题与存在量词命题“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词．2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：‘前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．’”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．1．全称量词与全称量词命题(1) “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．2．存在量词与存在量词命题(1) “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M, p(x)．其中M为给定的集合，p(x) 是一个关于x的语句．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．[提示] 是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．全称量词命题与存在量词命题的否定语句p(x)是对语句p(x)的否定．一般地，全称量词命题与存在量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否p：∃x∈M，p(x)；存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否p：∀x∈M，p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．一般地，对全称量词命题的否定，主要对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．4．全称量词命题与存在量词命题的真假的判定(1)判定全称量词命题为真，需要严格证明，判定全称量词命题为假，列举反例即可．(2)判定存在量词命题为真，只要列举特例，判定存在量词命题为假，需要严格证明．(3)对一个命题进行否定，就得到一个新命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”．1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C2．下列全称量词命题为真命题的是( )A．所有的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5[答案] B3．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，x＋2 019<1 D．∃x∈R,2x＞2B [当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．]4．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其否定是( )A．p：∃x∈R，sin x≥1B．p：∀x∈R，sin x≥1C．p：∃x∈R，sin x＞1D．p：∀x∈R，sin x＞1[答案] C全称量词命题和存在量词命题的判断【例1】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＝．[解] (1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”.2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0．[解] (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．全称量词命题和存在量词命题的否定【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C．(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]含有一个量词的命题的否定的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．2．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p：∀x∈R，≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．[解] (1) p：∃x∈R，＜0，假命题．因为∀x∈R，≥0恒成立，所以p是假命题．(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3) r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以r是真命题．(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．全称量词命题与存在量词命题的应用【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m｜m<－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax．3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．m≥1B．m＞1C．m＜1 D．m≤1B [命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．故选B．]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，条件不变，并把命题的结论加以否定．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x R，x2－3x＋3≤0． ( )[答案] (1)√(2)×(3)×2．下列存在量词命题中，是假命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C [A中，x＝－1或x＝3满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，所有的三角形都有外接圆，是假命题；D中，只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C．] 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．]4．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3．[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。
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今天的上课内容为量词相关的知识，主要帮助学生建立全称命题与存在性命题的知识体系。
现将这节课的备课内容和大家分享一下。
课题：量词
课型：新授课
课时：1课时
教学目标：
1、通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的含义；
2、能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容
教学重点：
理解全称量词与存在量词的含义，会利用全称量词和存在量词表示数学命题教学难点：
学生能准确判断含有全称量词和存在量词的命题的真假
教学过程：
一、知识梳理
1、全称量词
表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，常见的短语形式有“所有”、“任意”、“每一个”，用符号“x
∀”表示“对任意x”。
2、存在量词
表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，常见的短语形式有“有一个”、“有些”、“存在一个”，用符号“x∃”表示“存在x”。
3、全称命题
含有全称量词的命题称为全称命题，一般数学语言表示形式：
“,()
∀∈”。
x M p x
4、存在性命题
含有存在量词的命题称为存在性命题，一般用数学语言的表示形式为：“,()
∃∈”。
x M p x
二、自主探究
探究一：
判断下列命题是全称命题还是存在性命题：
（1） 任何实数的平方都是非负数；
（2） 任何数与0相乘都等于0；
（3） 任何一个实数都有相反数；
（4） 有些三角形的三个内角都是锐角。
解析：判断命题是全称命题还是存在性命题的题目重在观察命题语句中是否含有全称量词或存在量词；简言之，找一找命题中是否含有表示全体的短语还是含有表示部分的短语。
在该题中，命题（1）（2）（3）含有“任何”这些表示全体的量词，而命题
（4）含有“有些”这表示部分的量词，因此，（1）（2）（3）是全称量词，（4）是存在性命题。
探究二：
用量词符号“∀”、“∃”表示下列命题
（1） 存在实数2,12x x x +<；
（2） 任一个实数乘以1-都等于它的相反数；
（3） 对任意角α，都有22sin cos 1αα+=；
（4） 凸n 边形的外角和等于2π
解析：首先全称命题、存在性命题的数学符号语言表示形式为：
全称命题：,()x M p x ∀∈
存在命题：,()x M p x ∃∈
其中，M 为给定的集合，()p x 是一个含有x 的语句
因此，解决这样的习题的方法可总结为：
① 先找到命题中的量词，将表示全体的量词换为“x ∀”，将表示部分的量词换为“x ∃”；
② 搞定M ，将汉语表示集合语言转换为数学符号语言“{
}”
； ③ 将结论改写成()p x 的形式
采用上述三个步骤可以将该题中的命题顺利转换为符号语言：
① 2,12x R x x ∃∈+<
② ,(1)x R x x ∀∈-=-
③ 2
2,sin cos 1R ααα∀∈+=
④ {}x x x ∀∈是凸多边形，x 的外角和等于2π
探究三：
判断下列命题的真假
（1）2,x R x x ∃∈>
（2）2,x R x x ∀∈>
（3）2,80Q x α∃∈-=
（4）2,20x R x ∃∈+>
解析：判断全称命题和存在性命题的真假跟判断普通命题是一样的，对于全称命题只需认准()p x 对集合M 中的所有元素都成立即可，而存在性命题只需在集合M 中找到一个元素满足()p x 即可。
三、自主练习
1、 指出下列语句中的全称量词或是存在量词
（1） 每个人都喜欢体育锻炼；
（2） 有的等差数列是等比数列；
（3） 有些相似三角形是全等三角形；
（4） 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
答案：（1）每个人 （2）有的 （3）有些 （4）任意
1、 判断下列命题是全称命题还是存在性命题 （1） 有的质数是偶数；
（2） 与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
（3） 有的三角形三个内角成等差数列；
（4） 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
答案：全称命题有（2）（4）；存在性命题有（1）（3）
3、用量词符号“∀”、“∃”表示下列命题
（1）所有的正方形都是矩形；
（2）所有的一元二次方程都有实数解；
（3）至少存在一个锐角α，使得1sin 2
α=
答案：（1）{},x x x x ∀∈是正方形是矩形
（2）{},x x x x ∀∈是一元二次方程有实数解 （3）{}1,sin 2
x x αα∃∈=是锐角 4、判断下列命题的真假
（1）2,20x R x ∀∈+>；
（2）4,1x N x ∀∈≥
（3）2,320x R x x ∀∈-+=
（4）3,1x Z x ∃∈<
（5）2,3x Q x ∃∈=
（6）2,10x R x ∃∈+=
答案： 真命题的有：（1）（4）
假命题的有：（2）（3）（5）（6）
这就是我今天这一节关于全称命题和存在性命题的备课、讲课内容。
敬请各位读者批评指正。