高中数学-棱柱、棱锥和棱台的结构特征练习

高中数学-棱柱、棱锥和棱台的结构特征练习1过正棱台两底面中心的截面一定是()

A.直角梯形

B.等腰梯形

C.一般梯形或等腰梯形

D.矩形

答案：C

2如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为()

A.6

B.7

C.8

D.9

解析：还原几何体,如图.由图观察知,该几何体有7个顶点.

答案：B

3一个正四面体的各条棱长都是a,则这个正四面体的高是()

A.a

B.a

C.a

D.

解析：因为正四面体底面外接圆半径为a,所以正四面体的高为h= a.

答案：B

4有四种说法:

①底面是矩形的平行六面体是长方体;

②棱长相等的直四棱柱是正方体;

③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.

以上说法中,正确的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;

④正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体,故选A.

答案：A

5如果正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm,那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为()

A.2 cm2

B.16 cm2

C.25 cm2

D.4 cm2

解析：如图,取A'A,B'B的中点分别为E,F,

所以EF=×(3+5)=4(cm).

则S中截面=42=16(cm2).

答案：B

★6如图,几何体①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,几何体⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从几何体①~⑤中选出三个放到几何体⑥上,使得几何体⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列几何体中,能够完成任务的为()

A.几何体①②⑤

B.几何体①③⑤

C.几何体②④⑤

D.几何体③④⑤

解析：本题主要考查正方体的结构特征等知识,同时考查分析问题和解决问题的能力.

观察得先将⑤放入⑥中的空缺处,然后上面可放入①②,其余可以验证不合题意.故选A.

答案：A

7一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱的长为.

解析：n棱柱有2n个顶点,由于此棱柱有10个顶点,那么此棱柱为五棱柱.

又棱柱的侧棱长都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱的长为12 cm.

答案：12 cm

8下列关于四棱柱的四个命题:

①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;

③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;

④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.

其中真命题的序号是.

解析：根据直四棱柱的性质判断.

答案：②④

9在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,则这些几何形体是.(写出所有正确结论的序号)

①矩形;

②不是矩形的平行四边形;

③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;

④每个面都是等边三角形的四面体;

⑤每个面都是直角三角形的四面体.

解析：如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABC1D1、四边形A1B1CD等都是矩形,故①正确;A1-ABD 是有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,故③正确;A1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体,故④正确;B1-BCD是每个面都是直角三角形的四面体.因此①③④⑤都符合条件.

答案：①③④⑤

10已知长方体的表面积为11,12条棱的长度之和为24,求这个长方体的对角线长.

解设长方体从同一顶点出发的3条棱长分别为a,b,c,对角线长为l,则有

即

由②平方,得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=36,

所以a2+b2+c2=25,

即=5,所以l=5.

所以这个长方体的对角线的长为5.

★11如图,正六棱锥的底面周长为24,O为底面中心, H是BC的中点,∠SHO=60°.

求:(1)斜高;(2)棱锥的高;(3)侧棱长.

解因为正六棱锥的底面周长为24,所以正六棱锥的底面边长为4.在正六棱锥S-ABCDEF中, 因为H是BC的中点,所以SH⊥BC.

(1)在Rt△SOH中,OH=BC=2,

因为∠SHO=60°,所以SH cos 60°=OH,

所以斜高SH==2OH=4.

(2)在Rt△SOH中,高SO=SH sin 60°=6.

(3)如图,连接OB,在Rt△SOB中,SO=6,OB=BC=4,所以侧棱长SB==2.

★12一个棱台的上、下底面面积之比为4∶9,若棱台的高是4 cm,求截得这个棱台的原棱锥的高.

解如图,将棱台还原为棱锥,设PO是原棱锥的高,O1O是棱台的高.

∵棱台的上、下底面面积之比为4∶9,∴它们的底面对应边之比A1B1∶AB=2∶3,∴PA1∶PA=2∶3.

∵A1O1∥AO,∴,

即.

∴PO=12 cm,即原棱锥的高是12 cm.