中考数学证明角相等

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中考数学专题测试-四边形的证明与计算(答案解析)

【考点分析】一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

备战2023年中考数学一轮复习考点08 全等三角形

考点08 全等三角形全等三角形主要包括全等图形、全等三角形的概念与性质，全等三角形的判定和角平分线的性质。

在中考中，全等三角形的直接考查主要以选择和填空为主，有时也会以证明的形式考查，难度一般较小；但大多数情况下，全等三角形的知识多作为工具性质与其他几何知识结合，用于辅助证明线段相等、角相等，考查面较广，难度较大，需要考生能够熟练运用全等三角形的性质和判定定理。

一、全等三角形的性质；二、全等三角形的判定；三、角平分线的线的性质。

考向一：全等三角形的性质1.全等三角形的对应边相等，对应角相等；2.全等三角形的周长相等，面积相等；3.全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．1．下列四个图形中，属于全等图形的是（）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（）2cm ．A．40B．24C．48D．645．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．1．在如图所示33⨯的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC 全等的格点三角形（不含ABC ）．A ．3B ．4C ．7D ．82．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（）A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部D ．三角形的任意两边之和大于第三边2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm3．（2022·上海徐汇·二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P ．其中一把直尺边缘恰好和射线OA 重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB 重合，上边缘与射线OA 于点M ，联结OP ．若∠BOP ＝28°，则∠AMP 的大小为（）A ．62°B ．56°C ．52°D ．46°4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知AOB ∠是一个任意角，在边,OA OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M N ，重合，则过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线．在证明MOC NOC ≌时运用的判定定理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS5．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，用尺规作图法作出射线AE ，AE 交BC 于点D ，CD =5，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．51．下列命题错误的是（）A ．三角形的三条高交于一点B ．三角形的三条中线都在三角形内部C ．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处D ．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等2．如图，已知ABC A BC ''≌，A C BC ''∥，∠C ＝25°，则ABA '∠的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3．（2022·福建·模拟）如图，AD 是AEC △的角平分线，2AC AB =，若4ACD S =，则ABD △的面积为（）A ．3B ．2C ．32D ．14．如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（）A ．1BF =B ．3DC = C ．5AE =D ．9AC =5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟）如图，已知ABC ，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AB ，AC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 的内部相交于点P ；③作射线AP 交BC 于点D ．下列说法一定成立的是（）A ．BD AD =B ．BD CD >C ．>BD AC D ．2BD CD =6．（2022·河南·一模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD 平分BAC ∠的是（）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图37．（2022·山东威海·一模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为M ．若∠ABC ＝30°，∠C ＝38°，则∠CDE 的度数为（）A ．68°B ．70°C ．71°D ．74°8．（2022·福建三明·模拟）如图，BD 平分∠ABC ，F ，G 分别是BA ，BC 上的点（BF BG ≠），EF EG =，则∠BFE 与∠BGE 的数量关系一定满足的是（）A ．90BFE BGE ∠+∠=B ．180BFE BGE ∠+∠=C ．2BFE BGE ∠=∠D ．90BFE BGE ∠-∠=9．（2022·重庆十八中两江实验中学一模）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ．下列条件中，不一定能推得ABD △与ACD 全等的条件是（）A ．AB AC = B ．BD CD =C ．B DAC ∠=∠D ．BAD CAD ∠=∠ 10．（2022·安徽滁州·二模）如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ； ③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，D 为Rt ABC △中斜边BC 上的一点，且BD AB =，过D 作BC 的垂线，交AC 于E ．若6cm AE =，则DE 的长为 __cm ．12．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ︒∠===．点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 点运动；点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 点运动．点P 和Q 分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．点P 运动________秒时，PEC ∆与QFC ∆全等．13．如图，在ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，①ABE 的面积＝BCE 的面积；②∠F AG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．以上说法正确的是_____．14．如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．15．如图，E ABC AD ≅∆∆，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，105AED ∠=︒，10CAD ∠=︒，50B ∠=︒，则EAB ∠=__︒．16．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在△ABC 中，高AE 交BC 于点E ，若1452ABE C ∠+∠=︒，5CE =，△ABC 的面积为10，则AB 的长为___________．17．（2022·山东济南·三模）如图，正方形ABCD 的边长为3，P 、Q 分别在AB ，BC 的延长线上，且BP=CQ ，连接AQ 和DP 交于点O ，分别与边CD 和BC 交于点F 和E ，连接AE ，以下结论：①AQ ⊥DP ；②AOD S =OECF S 四边形；③OA 2=OE•OP ；④当BP =1时，tan ∠OAE =1316，其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）18．（2022·贵州铜仁·一模）如图，在ABC 中，8BC =，6AC =按下列步骤作图：步骤1：以点C 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交BC 、AC 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线CM 交AB 于点F ，若 4.5AF =，则AB =______．19．（2022·湖北襄阳·一模）如图，已知AC BD =，A D ∠=∠，添加一个条件______，使AFC DEB △≌△（写出一个即可）．20．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．21．已知：如图所示，PC PD C D =∠=∠，．求证：PCB PDA ≌．22．如图所示，点E 在线段BC 上，12∠=∠，AD AB AE AC ==，，求证：DE BC =23．（2022·江苏淮安·中考真题）已知：如图，点A 、D 、C 、F 在一条直线上，且AD CF =，AB DE =，BAC EDF ∠=∠．求证：B E ∠=∠．24．如图，己知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接DE．(1)请用尺规作图法，在CD的延长线上截取线段DF，使=DF CE；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接AF．求证：△AFD≌△DEC．25．（2022·陕西延安·二模）如图，已知ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得点E到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）AB AC26．如图，已知等边ABC，AD是BC边上的高，请用尺规作图法，在AD上求作一点O，使∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法）60BOD，，，与MN分别交于点27．如图，已知直线MN与▱ABCD的对角线AC平行，延长DA DC AB CB，，，．E H G F(1)求证：EF GH =；(2)若FG AC =，试判断AE 与AD 之间的数量关系，并说明理由．28．如图（1）所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．29．如图，已知EB CF ∥，OA ＝OD ，AE ＝DF ．求证：(1)OB=OC ；(2)AB ∥CD ．30．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①ADC △≌CEB ；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）A ．,,AB BC CA B ．,,AB BC B ∠ C ．,,AB AC B ∠D ．,,∠∠A B BC4．（2021·江苏盐城·中考真题）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件是________．（只需添一个）6．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点D 、E ．②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ． ③作射线BF 交AC 于点G ．如果8AB =，12BC =，ABG 的面积为18，则CBG 的面积为________．7．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．8．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ，求证：BD =CE9．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．1．（2022·江苏南京·二模）如图，在ABC 中，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠，延长BA 到点E ，使得BE BC =，连接DE ．若38ADE ∠=︒，则ADB ∠的度数是（）A ．68°B ．69°C ．71°D ．72°2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且BAC DAC ∠=∠，15AB =，12AD =．过顶点C 作CE AB ⊥于E ，则AE BE的值为（）A B ．9 C ．6 D ．7．23．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为10，BD 平分∠ABC ，若M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值为（）A ．4B ．5C ．4.5D ．64．（2022·江苏盐城·一模）如图，点E ，F 在AC 上，AD =BC ，DF =BE ，要使△ADF ≌△CBE ，还需要添加的一个条件是（）A ．∠A =∠CB ．∠D =∠BC ．AD ∥BC D ．DF ∥BE5．（2022·江苏南通·二模）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，BC 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠的内部交于点F ； ③作射线BF ，交AC 于点G ．如果6AB =，9BC =，ABG 的面积为9，则ABC 的面积为______．6．（2022·江苏·模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD ＝2，则点D 到AB 的距离是_________．7．（2022·江苏·南通市陈桥中学一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，5AB =，则ABD △的面积是________．8．（2022·江苏·苏州市振华中学校二模）已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1)ABC BAD ≌．(2)AE BE =．9．（2022·江苏镇江·模拟）如图，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△CAF ；(2)若CF ＝5，BE ＝2，求EF 的长．10．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，BD ∥AC ，直线OD 交AC 于点E ．(1)求证：△BDO≌△CEO；(2)若AC=6，BD=4，求AE的长．11．（2022·江苏徐州·模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）2（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关2系，并证明．12．（2022·江苏盐城·一模）【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内一点P，P A=3,PB=4,PC=5．求∠APB的度数？小明提供了如下思路：如图2，将△APC绕A点顺时针旋转60°至△AP'B ,则AP'=AP=3,P'C=PB=4,∠P'AC=∠P AB ,所以∠P'AC+∠CAP=∠P AC+∠BAP ,即∠P'AP=∠BAC=60° ,所以△AP'P为等边三角形,所以∠A P'P=60° ,……按照小明的解题思路，易求得∠APB= ；【尝试应用】如图3，在等边三角形ABC外一点P，P A=6,PB=10,PC=8．求∠APC的度数？【解决问题】如图4，平面直角坐标系xoy中，直线AB的解析式为y=－x+b(b>0),在第一象限内一点P，满足PB:PO:P A=1:2:3，则∠BPO= 度（直接写出答案）1．下列四个图形中，属于全等图形的是（）A ．③和④B ．②和③C ．①和③D ．①和②【答案】D【分析】根据全等图形的定义逐一判断即可．【详解】①和②，是全等图形，将①顺时针旋转180°即可和②完全重合，其它两个图形不符合故选D ．2．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：故选B ．3．如图，ABC DBC ∆∆≌，45A ∠=︒，86ACD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A ．102︒B ．92︒C ．100︒D ．98︒【答案】B【分析】根据全等三角形的性质得出ACB DCB ∠=∠，求出ACB ∠，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：ABC DBC ∆∆≌，ACB DCB ∴∠=∠，86ACD ∠=︒， 43ACB ︒∴∠=，45A ∠=︒，18092ABC A ACB ∴︒--∠︒∠=∠=；故选：B ．4．如图，将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △，若AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =，则四边形HCFD 的面积为（）2cm ．A ．40B ．24C ．48D ．64【答案】C【分析】根据平移的性质可得ABC ≌DEF △，则四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH SSSSS -=-=梯形即可求解．【详解】解：∵将ABC 沿着BC 方向平移6cm 得到DEF △， ∴ABC ≌DEF △，6BE =cm ， ∴ABC 的面积等于DEF △的面积，又AB BC ⊥，10cm AB =，4cm DH =， ∴1046HE DE DH AB DH =-=-=-=（cm ）， ∴四边形HCFD 的面积等于DEFEHCABCEHCABEH S SSSS -=-=梯形()12AB HE BE =+⋅ ()11066482=+⨯=（2cm ）故选C ．5．如图，△ABC ≌△ADE ，若∠B ＝80°，∠E ＝30°，则∠C 的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：△ABC≌△ADE，∠E＝30°，∠C=∠E＝30°，故选：D．考向二：全等三角形的判定（一）三角形全等的判定定理：1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；5.对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．（二）灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上．这样1．在如图所示33的三角形叫做格点三角形，图中能画出（）个与ABC全等的格点三角形（不含ABC）．A．3B．4C．7D．8【答案】C【分析】根据SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】如图所示大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去ABC 外有7个与ABC 全等的三角形．故选C ．2．如图，B C ∠=∠，要使ABE ACD △△≌．则添加的一个条件不能是（）A ．ADC AEB ∠=∠ B ．AD AE =C ．AB AC =D ．BE CD =【答案】A【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可得．【详解】解：在ABE 和ACD 中，AEB ADC A BB C ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴无法证明ABE ACD △△≌，选项A 说法错误，符合题意；在ABE 和ACD 中， A AB C AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项B 说法正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，A A AB AC BD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE ACD △△≌（ASA ），选项C 说法正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中， A AB C BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACD △△≌（AAS ），选项D 说法正确，不符合题意；故选A ．3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A ．带其中的任意两块去都可以B ．带1、4或2、3去就可以了C ．带1、4或3、4去就可以了D ．带1、2或2、4去就可以了【答案】C【分析】带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案【详解】解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A 、B 、D 不符合题意，C 符合题，故选：C ．4．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM ＝ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）A ．SSAB ．HLC ．ASAD ．SSS【答案】B【分析】根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法，即可求解．【详解】解：根据题意可得OP OP =，OM ON =，90PMO PNO ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定方法可得()POM PON HL △≌△ 故选B5．如图，△ABC ≌△EBD ，∠E =50°，∠D =62°，则∠ABC 的度数是（）A ．68°B ．62°C ．60°D ．50°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBD ，根据全等三角形的性质解答．【详解】∵∠E ＝50°，∠D ＝62°， ∴∠EBD ＝180°−50°−62°＝68°， ∵△ABC ≌△EBD ， ∴∠ABC ＝∠EBD ＝68°，故选：A ．考向三：角平分线的线的性质1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线：三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1．（2022·重庆八中模拟）下列命题是真命题的是（） A ．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C ．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D ．三角形的任意两边之和大于第三边【答案】D【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意；C 、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意；D 、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意；故选：D2．如图，在ABC 中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25cm AB =，20cm BC =，15cm AC =，且2150cm =ABC S △，那么OD 的长度是（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】D【分析】作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，证明OD OE OF ==，再利用2150cm =++=ABC BOC AOB AOC S S S S △△△△即可求出OD 的长度．【详解】解：作OE AC ⊥交于点E ，作OF AB ⊥交于点F ，连接OA ，。

中考数学复习指导：聚焦中位线定理的运用

聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC,即DE∥BC（三角形的中位线定理）.二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AC=BD,M,N分别是AD、BC 的中点，MN与AC、BD分别交于E、F点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMC D分析：可取CD或AB的中点构造中位线. 证明：可取AB的中点P，连接PM、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC,所以MPBD21,PNAC21(三角形中位线定理).所以∠1=∠3，∠2=∠4.又因为AC=BD,所以MP=NP,∠3=∠4,所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM（等角的补角相等）.三、用于证明线段相等例3如图3，△ABC的AB、AC向形外作正三角形ABD和ACE,分别取BD、BC、CE的中点P、M、Q.求证：PM=QM.图3M D分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD,所以EH AD 21.同理FG AD 21.所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.。

2020年中考数学专题24相似三角形判定与性质

【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到 AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD， ∴ ＝＝，
∴BF＝ AD＝ BC， ∴BF＝CF；（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，
C．4
D．
【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．由 S△ABC＝16.S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE＝ S△A′EF＝，S△ABD＝ S△ABC＝8，根据△
DA′E∽△DAB 知（
专题 24 相似三角形判定与性质
专题知识回顾
1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角

二次函数角度问题（角相等，45°角，二倍角）【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P (1，－3)、B (4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax 2+c ，得⎩⎨⎧-=+=+3016c a c a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==51651c a ，∴抛物线的解析式为y=51x 2−516；②如图1，当点D 在OP 左侧时，由∠DPO=∠POB ，得DP ∥OB ， ∴D 与P 关于y 轴对称，且P(1，−3)， ∴D(−1，−3)；当点D 在OP 右侧时，延长PD 交x 轴于点G. 作PH ⊥OB 于点H ，则OH=1，PH=3. ∵∠DPO=∠POB ， ∴PG=OG.设OG=x ，则PG=x ，HG=x −1.在Rt △PGH 中，由x 2=(x −1)2+32，得x =5. ∴点G(5，0).∴直线PG 的解析式为y=43x −415，∴MF=1，BF=2， ∴M （2，1）…（5分） ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，设ON=x ，则CN=BN=4-x ，在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，依题意，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k ．∴直线DE 的解析式为y=2x -3．解法二：如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线， ∴CN=BN ，CM=BM ．设ON=x ，则CN=BN=4-x ，在Rt △OCN 中，CN 2=OC 2+ON 2， ∴（4-x ）2=22+x 2，解得：x =23，∴N （23，0）． ∴BN=4-23=25．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM=∠BNM ． ∵∠CMF=∠BMN ，∴△CMF ≌△BMN ．∴CF=BN ．∴F （25，2）．设直线DE 的解析式为y=kx +b ，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02312b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==32b k∴直线DE 的解析式为y=2x -3．（3）由（1）得抛物线解析式为y=21x 2-25x +2，【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a解得x 1=a ，x 2=1由图象知：a <0 ∴A(a ，0)，B(1，0) ∵S △ABC =6 ∴21(1−a )(−a )=6 解得：a =−3，(a =4舍去)； (2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴线段AC 的垂直平分线过原点， ∴线段AC 的垂直平分线解析式为：y=−x ， ∵由A(−3，0)，B(1，0)， ∴线段AB 的垂直平分线为x =−1 将x=−1代入y=−x ，解得：y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(−1，1)(3)如图②，作PM ⊥x 轴交x 轴于M ，则S △BAP =21AB ⋅PM=21×4d ∵S △PQB =S △PAB∴A 、Q 到PB 的距离相等， ∴AQ ∥PB设直线PB 解析式为：y=x +b ∵直线经过点B(1，0)所以：直线PB 的解析式为y=x −1 联立y=−x 2−2x +3；y=x −1. 解得：x =−4；y=−5. ∴点P 坐标为(−4，−5) 又∵∠PAQ=∠AQB ，∴∠BPA=∠PBQ ，∴AP=QB ，在△PBQ 与△BPA 中，AP=QB ，∠BPA=∠PBQ ，PB=BP ， ∴△PBQ ≌△ABP(SAS)， ∴PQ=AB=4设Q(m ，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ ≠∠AQB ，故应舍去) ∴Q 坐标为(−4，−1).练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x 轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的表达式.（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．(1)求二次函数解析式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M 到y轴的距离；若不存在，请说明理由．练习1-4.抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的解析式；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使∠APB=∠ABC ，利用图1求点P 的坐标；（3）点Q 在y 轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ 与∠OCA 的大小，并说明理由．练习1-5如图(1)，直线y=−34x +n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y=32x 2+bx +c 经过点A ，交y 轴于点B(0，−2).点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD ⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图(2)，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC ，且点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标。

中考数学证明角相等

中考数学考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型

证明三角形全等的关键：解题 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；思路 (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD；证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型【模型归纳】
有公模型共边展示有公共
顶点Leabharlann 模型所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线特点折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°，又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角

2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角

相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

中考数学圆周角相等知识点

中考数学圆周角相等知识点在中考数学中，我们经常会遇到关于圆周角相等的题目。

了解圆周角相等的知识点对于解题非常重要。

本文将带你一步一步了解圆周角相等的概念和相关性质。

1. 圆周角的定义首先，我们需要了解什么是圆周角。

圆周角是指以圆心为顶点的角。

当我们在一个圆的周长上选择两个非邻接的点，这两个点和圆心之间形成的角就是圆周角。

2. 圆周角相等的概念当两个圆周角的度数相等时，我们称它们为“圆周角相等”。

换句话说，如果两个圆周角的度数相同，它们就是相等的。

3. 圆周角相等的性质了解圆周角相等的性质对于解题非常有帮助。

以下是圆周角相等的一些重要性质：•若两个角为圆周角，则它们的度数相等。

•若两个圆周角的度数相等，则它们是相等的。

4. 圆周角相等的证明为了证明两个圆周角相等，我们可以使用各种方法和定理。

以下是一些常见的证明方法：•利用等弧长弧所对的圆周角相等的性质进行证明。

•利用同一个圆上的两个弦所对的圆周角相等的性质进行证明。

•利用圆心角与所对弧的关系进行证明。

5. 圆周角相等的应用了解圆周角相等的概念和性质，我们可以将其应用于解题过程中。

以下是一些常见的应用场景：•利用圆周角相等的性质求解未知角度的大小。

•利用已知角度与圆周角相等的性质求解其他未知角度的大小。

•利用圆周角相等的性质解决几何问题，如证明两条弧相等、判断两个角是否相等等。

6. 练习题为了更好地掌握圆周角相等的知识，以下是一些练习题供你练习：1.已知圆的半径为3cm，弧AB的长度为4cm，求角AOB的度数。

2.若两个圆周角的度数相等，它们的角度是否一定相等？请给出证明或反例。

3.在一个半径为5cm的圆中，弧XY的度数为120°，求角XOY的度数。

7. 总结通过本文的介绍，我们了解了圆周角相等的概念和性质，并学会了如何运用这些知识解题。

希望通过不断练习和应用，你能够熟练掌握圆周角相等的相关知识，提高数学解题的能力。

中考数学解答题之四边形的有关证明与计算

E A D M B C N
考点 4
平行四边形、特殊的平行四边形
【例 4】（梅州）如图，在△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过点 P 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． (1)求证：PE＝PF； (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且 AP 3 ＝．求此时∠A 的大小． BC 2 A E P F
重点、难点
2.线角的证明与计算. 难点：证明与计算的综合运用
考点及考试要求
会解决中考之第 20 或 21 题---有关于四边形的有关证明与计算（以及三角形）
教学内容
【考点链接】
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

中考数学：相似三角形的判定和判定方法

中考数学：相似三角形的判定和判定方法
2019年中考数学：相似三角形的判定和判定方
法
相似三角形的判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例，且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。

(对应边成比例，对应边的夹角相等)
1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)
相交，所构成的三角形与原三角形相似;
(这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
相等，那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似;
5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

中考数学几何证明题分类讲解

中考数学几何证明题分类讲解一、【知识要点】1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

二、【分类讲解】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1.已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。

是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。

从而不难发现∆∆DCF DAE≅证明：连结CDAC BCA BACB AD DBCD BD AD DCB B AAE CF A DCB AD CD=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，∴≅∴=∆∆ADE CDFDE DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。

人教版八年级上册数学专题复习证明三角形全等的常见题型

证明三角形全等的常见题型全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。

而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。

在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。

证明∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。

例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。

在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明∵ FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。

求证：△ABD≌△ACE.证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合题类型四：与角度有关的几何问题

2，CA＝5，则AD的长度为 13；
(2)如图②，当点D在△ABC外部ห้องสมุดไป่ตู้，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延长到点G，连接EG，若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA；
(2)证明：延长GF到点H，使FH＝FD，连接EH. ∵EF＝AF，∠EFH＝∠AFD，∴△EFH≌△AFD(SAS)， ∴∠FDA＝∠H，AD＝EH. ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE.∵BE＝EG，∴EH＝EG，∴∠EGF＝∠H，∴∠EGF＝∠FDA.
(3)如图③，当点D在△ABC中线CF上时，在线段BF上取一点Q(不与点F重合)，连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F′DQ，连接BF′，EF′，若CD ＝2，AC＝3 2，当BF′最小时，求△DEF′的面积．
(3)解：连接BD，∵△ABC是等腰直角三角形，CF是中线，∴CF⊥AB，
∵AC＝3 2，∴CF＝BF＝3，∵CD＝2，∴DF＝1，DE＝2 2，
②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由； ②解：∠DEC＋∠EDC＝90°，理由：∵DB＝DC，DA⊥BC， ∴∠BDA＝12∠BDC＝30°，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等边三角形BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCD＝90°， ∴∠DEC＋∠EDC＝90°.
∴∠BDA＝∠CDA＝12∠BDC＝30°，在△BDA中，DB＝DA， 180°－∠BDA
∴∠BAD＝ 2 ＝75°，在△DAC中，DA＝DC， 180°－∠ADC
∴∠DAC＝ 2 ＝75°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝75°＋75°＝150°；
②当点A在线段DF上时， ∵以点B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE， ∠ABE＝60°，在等边三角形BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC－∠ABC＝∠ABE－∠ABC，即∠DBA＝∠EBC， ∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC， ∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°.

中考数学证明角相等

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[单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪类微生物是非细胞型微生物（）A.细菌B.放线菌C.真菌D.病毒E.立克次体 [单选,A1型题]提出“风从外入，令人振寒，汗出头捕，身重恶寒”的医著是（）。A.《黄帝内经》B.《难经》C.《金匮要略》D.《伤寒论》E.《诸病源候论》 [填空题]复杂高层结构包括（），（），（），（）。 [单选]对于不同系列的烃类，在相对分子质量相近的情况下，其氢碳原子比大小顺序是（）。A、烷烃>环烷烃>芳香烃B、烷烃>芳香烃>环烷烃C、芳香烃>环烷烃>烷烃D、芳香烃>烷烃>环烷烃 [单选]VCO电路中，通过改变回路电抗元件参数改变频率，此可变器件为（）。A.电感B.电容C.变容二极管 [单选]（）金字塔前的狮身人面像是埃及最大、最古老的室外雕刻巨像。A.胡夫B.哈夫拉C.孟卡尔D.左塞尔 [单选]下列各项中，不会引起事业结余发生增减变动的是()。A.从事经营活动取得的收入B.附属单位按规定缴纳的款项C.开展专业业务活动取得的收入D.外单位捐赠未限定用途的财物 [单选]道德存在于人们的内心当中，具有及时性和超前的警示性、（）的特点，可以随时调控人的不良行为。A、启示性B、防范性C、总结性D、暗示性 [填空题]油品的沸程是指（）温度范围。 [单选]对于大型人员密集场所或特殊工程外的一般建设工程，其消防验收方式为()。A.施工单位应当向公安机关消防机构申请消防验收B.建设单位应当先行备案后进行消防验收C.可以不经消防验收，由公安机关消防机构进行抽查D.在验收后应当报公安机关消防机构备案 [问答题,案例分析题]背景材料：某道路改建工程A合同段，道路正东西走向，全长973.5m，车行道宽度15m，两边人行道各3m与道路中心线平行且向北，需新建DN800mm雨水管道973m。新建路面结构为150mm厚砾石砂垫层，350mm厚二灰混合料基层，80mm厚中粒式沥青混凝土，40mm厚SMA改性沥青混 [判断题]如果某档位的动力传动路线上有单向离合器工作，则该档位没有发动机制动。（）A.正确B.错误 [单选]慢性消化性溃疡穿孔多见于（）A.胃前壁溃疡B.胃后壁溃疡C.十二指肠球前壁溃疡D.十二指肠球后壁溃疡E.十二指肠球后溃疡 [单选,A1型题]首次产前检查的内容不包括()A.血、尿常规检查B.心肺检查C.测量基础血压D.常规妇科检查E.常规胸片检查 [问答题,简答题]简述汽油机和柴油机的着火和燃烧方式。 [单选times;×医院关于要求改变拨款方式的报告B.××省财政厅关于同意××大学新建教学楼的批示C.××大学关于举行春季运动会决定的通知D.××市人民政府关于开展财务大检查的通知 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于湿热类温病证论述，正确的是？（）A.多由于风热、燥热等病邪所致B.病理特点为温邪犯表，肺卫失宣C.辨证要点为发热、咳嗽、头痛、无汗D.不可采用汗法治疗E.病变层次表浅，病情一般较轻 [问答题,简答题]为什么巴比妥C5次甲基上的两个氢原子必须全被取代才有疗效？ [单选,A2型题,A1/A2型题]抗着丝点抗体对何种自身免疫病的诊断具有很高的敏感性和特异性（）。A.CREST综合征B.进行性系统性硬化症C.硬皮症D.混合性结缔组织病E.干燥综合征 [单选]下列关于校对在出版工作中的作用和地位的表述正确的是（）。A.校对工作是编辑工作的重要先决条件B.为提高效率，校对工作也可由作者负责C.校对不包括从事校对工作的专业人员D.校对工作是出版物内在质量的把关环节之一 [单选,共用题干题]患者，女，29岁，白化病。欲与一患白化病男性结婚，婚前前来进行咨询。如已结婚并妊娠，以下恰当的处理是（）。A.产前诊断B.男胎、女胎均可保留C.建议终止妊娠D.保留男胎E.保留女胎 [单选]常规神经传导速度检查要求皮肤温度为（）A.26℃B.28℃C.34℃D.20℃E.无要求 [单选]男性，40岁，多年咳嗽、咳脓痰史，5小时前突然大咯血，考虑病因可能为（）A.胸腔积液B.支气管扩张症C.肺炎D.肺癌E.胸膜增厚 [单选]下列对于狂犬病的叙述中，错误的是()A．狂犬病病毒是有包膜的RNA病毒B．内基小体有诊断意义C．及时接种减毒活疫苗可预防发病D．患病动物为传染源E．病死率几乎达100% [问答题]一架装载如下的飞机的地板的最小承载限制是多少？货盘尺寸－长98.7宽78.9货盘重量－161磅系留装置－54磅货物重量－9，681.5磅 [单选]机舱失火，现场指挥是()。A.轮机长B.大副C.大管轮D.二管轮 [多选]施工单位取得《许可证》后，当（）发生变化时，须重新申请、办理新的《许可证》。A.作业项目B.作业地点C.作业范围D.作业单位E.施工作业人员 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于疼痛康复治疗叙述不正确的是（）A.药物治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法B.物理治疗是疼痛治疗中最基本、最常用方法C.神经病理性疼痛是急性疼痛中治疗较差的疼痛D.神经病理性疼痛需要合并使用抗痉厥药和三环类抗抑郁药E.镇痛药是主要作用于中枢神经 [填空题]安全生产的“三同步”是指安全生产与经济建设、（）、（）、同步发展、同步实施。 [单选,A1型题]与矿物、金石类药物同用，赋形并助消化的药物是（）A.麦芽B.山楂C.神曲D.莱菔子E.鸡内金 [问答题,简答题]哪些设备的抽空气管排至凝汽器？ [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪种蛋白不是由肝细胞合成的（）.A.白蛋白B.凝血酶原C.免疫球蛋白D.纤维蛋白原E.前白蛋白 [单选]下列各项中，属于行政责任的是()。A.停止侵害B.罚款C.返还财产D.支付违约金 [单选]图示圆弧曲梁MK（内侧受拉为正）影响线在C点的竖标为：（）A.0B.4mC.（8-4×1.732）mD.4×（1-1.732）m [单选]确诊气胸最有价值的项目是（）A.胸部X线或CTB.症状C.体征D.病史E.动脉血气分析 [名词解释]分乘 [单选]电动机的多地控制，其线路上控制按钮的连接原则是（）。A.启动按钮要并联B.停止按钮要并联C.启动按钮要串联D.都可以 [名词解释]备用信用证 [单选,A2型题,A1/A2型题]护理管理实施控制应注意的问题包括（）A.建立完善的护理质量控制系统B.控制方法应具有科学性、实用性C.质量控制应标准化、数据化D.加强综合、系统地控制，实行全程质量控制E.以上都是 [单选]带蒂的子宫浆膜下肌瘤常易误诊为()A．子宫腺肌瘤B．阔韧带肿瘤C．双子宫D．卵巢肿瘤E．残角子宫

中考数学几何证明题汇编

AMNEFP几何证明题分类汇编一、证明两线段相等1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点，BAE MCE =∠∠，45MBE =∠．〔1〕求证：BE ME =．〔2〕假设7AB =，求MC 的长．2、〔8分〕如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. 〔1〕求证：AG=C ′G ；〔2〕如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长.2、类题演练3如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．∠BAC =30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ．〔1〕试说明AC =EF ；〔2〕求证：四边形ADFE 是平行四边形．4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ；(2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由；(3)*假设在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝32．求此时∠A 的大小．图3A BCDMEA B CD E F第20题图二、证明两角相等、三角形相似及全等1、〔9分〕AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点〔点E 与点A 、B 都不重合〕，点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。

〔1〕〔5分〕求证：△AHD ∽△CBD〔2〕〔4分〕连HB ，假设CD=AB=2，求HD+HO 的值。

2、〔此题8分〕如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。

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