2017年秋九年级数学上册24圆专题课堂十一圆中常见的辅助线归类课件
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人教版九年级数学上册课件：第24章圆2 圆中常用的作辅助线的八种方法(共30张PPT)
又∵OC为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切．
返回
方法
5 遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条 弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( ) C
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
返回
6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于
点H，点P是优弧上一点，若AB＝ ，OH＝1，
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
方法
2 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线CD
与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是 点P，DH⊥BM，垂足是点H. 求证：AP＝BH.
则∠APB的度数是________． 2 3
60°
返回
方法
6 遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如⊙图O分，别在交△BACB，C中AC，于A点B＝D，BCE＝，2，以AB为直径的 且点D是BC的中点．
(Байду номын сангаас)求证：△ABC为等边三角形；
证明：如图，连接AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵点D是BC的中点， ∴AD是线段BC的垂直平分线． ∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC为等边三角形．
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根
(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
解：过点O作OF⊥AD于点F. ∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两根(AD>BC)， ∴AD＝5，BC＝1. 由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，
返回
方法
5 遇弦加弦心距或半径
5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条 弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( ) C
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
返回
6．(中考·贵港)如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于
点H，点P是优弧上一点，若AB＝ ，OH＝1，
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
方法
2 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等
2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线CD
与圆交于点D，DP⊥AC，垂足是 点P，DH⊥BM，垂足是点H. 求证：AP＝BH.
则∠APB的度数是________． 2 3
60°
返回
方法
6 遇直径巧加直径所对的圆周角
7．如⊙图O分，别在交△BACB，C中AC，于A点B＝D，BCE＝，2，以AB为直径的 且点D是BC的中点．
(Байду номын сангаас)求证：△ABC为等边三角形；
证明：如图，连接AD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵点D是BC的中点， ∴AD是线段BC的垂直平分线． ∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC为等边三角形．
∴AD2＋BC2＝4R2.
(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根
(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．
解：过点O作OF⊥AD于点F. ∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两根(AD>BC)， ∴AD＝5，BC＝1. 由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 .. 直线与圆的位置关系PPT精品课件
(2) 无交点，作垂直,证半径. 例1
例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：根据切线的判定定理，
要证明AC是⊙O的切线，只要证
A
E
F
明由点O向AC所作的垂线段OF是
⊙O的半径就可以了，而OE是 B
O
C
⊙O的半径，因此只需要证明
OF=OE.
人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝ B
O
C
OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系
人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直时辅助线的添加方法 (1) 有交点，连半径,证垂直;
O
要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系
人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系
人教版九年级数学上册课件 第二十四章 圆 24.2.2 直线与圆的位置关系
二 切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么 OA与l垂直吗？
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA.
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
九年级数学上册第24章圆教材回归三有关切线的辅助线作法课件 新人教版
[2017·南充]如图 8，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径 作⊙O 交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 CF＝2，DF＝4，求⊙O 直径的长．
图8
(1)证明：如答图，连接 OD，CD.
∵PA＝PD， ∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线．
[2017·资阳]如图 7，AB 是半圆的直径，AC 为弦，过点 C 作直线 DE 交 AB 的延长线于点 E.若∠ACD＝60°，∠E＝30°.
(1)求证：直线 DE 与半圆相切； (2)若 BE＝3，求 CE 的长．
∵OA＝OB，CA＝CB，
图5
∴△OAB 是等腰三角形，OC 是底边 AB 上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB 是⊙O 的切线．
【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，如果该直线与已知圆有公共点， 即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”； 如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到 直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到 “直径所对的圆周角是直角”这一性质．
(1)证明：如答图，连接 OC. ∵∠ACD＝60°，∠E＝30°，∴∠A＝30°. 又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝90°， ∴直线 DE 与半圆相切． (2)解：连接 OB. 在 Rt△OCE 中，∠E＝30°，∴OE＝2OC. 又∵OC＝OB，∴OE＝2BE＝6，∴OC＝3， ∴CE＝ OE2－OC2＝3 3.
图9
(1)证明：如答图(1)，连接 OC.
九年级数学上册 第二十四章 圆 专题课堂(十一)圆中常见的辅助线归类课件上册数学课件
类型三：遇切线连接圆心和切点 8．(枣庄中考)如图，在△ ABC 中，∠C＝90°， ∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC，AB 于点 E，F. (1)试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理 由； (2)若 BD＝2 3 ，BF＝2，求阴影部分的面 积．(结果保留π)
解：(1)BC 与⊙O 相切．证明：连接 OD.
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠CAD＝ ∠ODA.∴OD∥AC.∴∠ODB＝∠C＝90°，即 OD⊥BC.又∵BC 过半径 OD 的外端点 D，∴BC 与⊙O 相切
(2)设 OF＝OD＝x，则 OB＝OF＋BF＝x＋2，根 据勾股定理得 OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2 ＋12，解得 x＝2，即 OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2
第6题图
7．(南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交 AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．
解：(1)如图，连接 OD，CD，
∵AC 为⊙O 的直径，∴△BCD 是直角三角形， ∵E 为 BC 的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠CDE ＝∠DCE，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵ ∠ACB＝90°，∴∠OCD＋∠DCE＝90°，∴∠ ODC＋∠CDE＝90°，即 OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线 (2)设⊙O 的半径为 r，∵∠ODF＝90°， 在 Rt△ODF 中，OD2＋DF2＝OF2，即 r2＋42＝(r ＋2)2，解得 r＝3，∴⊙O 的直径为 6
人教版九年级数学上册《24章 圆 24.1 圆的有关性质 圆周角定理的推论和圆内接多边形》优质课课件_20
2、提问：在圆上固定一条弧，这条弧所对的 圆周角有无数个，怎样分类呢？
方3、法猜：想寻：找同等弧腰所三对角的形圆基周本角模与型圆，心角大小 有圆什心么在关角添的系一加呢边辅？上助圆线心构在造角的基内本部模型圆. 心在角的外部
E
小红旗 D
图1
图2
图3
4、证明：图1中 因为OC=OB，所以∠C=∠B
所以∠C=1/2∠AOB
图2中 同理可得： ∠ACD=1/2∠AOD,∠BCD=1/2∠BOD
所以∠ACD+∠BCD=1/2(∠AOD+∠BOD) 即∠ACB=1/2∠AOB
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角都 相等，都等于这条弧所 对圆心角的一半。
1.求圆中角X的度数
.O C
70° x
A
B
D
C 120°
O.
X B
A
2、如图，△ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
C
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
P
3、如图，∠A=50°， ∠ACD=20 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A
ED O
B
C
畅所欲言：
今天你学到了什么知识？ 体会到了什么？
圆周角定理
1、 认识圆周角 。 2、 探索并证明圆周角定理。 3、 体会分类归纳、构建模型的
数学思想。
1、等腰三角形一底角等于顶点处的一个外角的 一半。 D
小红旗
C
A
B
2、圆心角。
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角． ∠ACB与∠AOB有是什同么弧关所系对呢的？圆我周角 们和怎圆么心研角究这个问题呢？
人教版初中数学九年级上册 第二十四章 圆 单元复习专题 圆中常见辅助线的作法归类课件(14张PPT)
归纳整理 圆中常见辅助线归类
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时间：2024年9月1日
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C
70°
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
5．如图所示，△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.(1)求∠ACB的大小； (2)求点A到直线BC的距离．
解：(1)连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC＝90°.∵D是AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线．∴AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵∠ABC＝120°∴∠A＝∠C＝30° 即∠ACB＝30°
解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1
类型之三 遇切线添加过切点的半径
解：(1)连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD＝90°.由AD ⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC.在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO，∴∠BAC＝∠DAC＝30°
(2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°
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类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
5．如图所示，△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.(1)求∠ACB的大小； (2)求点A到直线BC的距离．
解：(1)连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC＝90°.∵D是AC的中点，∴BD是AC的垂直平分线．∴AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵∠ABC＝120°∴∠A＝∠C＝30° 即∠ACB＝30°
解：(1)证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形
类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角
(3)存在点P使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1
类型之三 遇切线添加过切点的半径
解：(1)连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD＝90°.由AD ⊥l，得∠ADC＝90°.∴AD∥OC，∴∠ACO＝∠DAC.在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO，∴∠BAC＝∠DAC＝30°
(2)连接BF.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°.在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－108°＝72°.由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°.∴∠BAF＝90°－∠B＝18°
人教版数学九年级上册第二十四章.. 圆 完美课件
弦、直径
E
D
C O
A
B
F
弦
E
B
C
O
D
A F
直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
经过圆心的弦叫做直径．
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
A B 探究
⊙O中有没有最长的弦？
证明： 连接OA、OB．
A
在△OAB中，
O
OA＋OB > AB
（三角形两边之和大于第三边）
∵ OA、OB 均是半径
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
观察
观察车轮，你发现了什么？
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
车轮
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
G
F
D
K
5．在图中，找出两条弦，一条优弧，一条劣弧．
弦：GH 、CD；
CHK、CHG、CKH、CKI..优弧： KD 、 GK、 GC、 KC...... 劣弧：
6． 一根5m长的绳子，一端栓在柱子上， 另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域．
5
参考答案：
5m 4m o
5m 4m o
6． 一个8×10米的长方形草地，现要安装自 动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准 备安装几个? 怎样安装? 请说明理由．
静态定义：
圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离 等于定长 r 的点的集合．
人教版数学九年级上册第二十四章24. 1.1 圆 课件
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版九年级上册数学精品课件 第24章 圆 专题训练11 圆中辅助线的作法
• 13．如图，点O在∠APB的角平分线上，⊙O与PA相切于 点C． • (1)求证：直线PB与⊙O相切； • (2)PO的延长线与⊙O相交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝ 4，求弦CE的长．
(1) 证 明 ： 过 点 O 作 OD ⊥ PB 于 点 D ， 连 接
OC．∵PA与⊙O相切于点C，∴OC⊥PA．又∵点O在
• 证明：如图，作直径DG，连接BG．∵点E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．又∵∠G＝∠BAD， ∠BDM＝∠DAC，∴∠BDM＝∠G．∵DG为⊙O的直径， ∴∠GBD＝90°，∵∠G＋∠BDG＝90°，∴∠BDM＋∠BDG ＝90°，即∠MDG＝90°，∴直线DM是⊙O的切线．
(2)解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角 形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED－∠C＝30°，∴∠ EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2 3，∴⊙D的半径为2 3．
• 12．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F， 交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使 ∠BDM＝∠DAC．求证：直线DM是⊙O的切线．
∠ACB的度数为 •
B
()
• A．50°
• B．55°
• C．60°
• D．65°
• 10．(郴州中考)如图，△ABC内接于 ⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切 于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线 段DC，AB的延长线交于点E． • (1)求证：直线DC是⊙O的切线； • (2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中 阴影部分的面积(结果保留π)．
图②
• 类型二 遇直径，常作所对的圆周角 • 4．如图，AD是△ABC的外接圆的直径，若∠BAD＝40°， 则∠5A0CB＝_____°．
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
人教版九年级数学上册第二十四章《圆》课件
算一算：设在例3中，⊙O的半径为10，则正方形
ABCD的边长为 4 5 .
A
D
？2x 10 Ⅱ
M
x B O
C
图4
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
视频：生活中的圆
骑车运动
看了此画,你有何想法?
思考：车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形 可以吗？
车轮为圆形的原理分析：（下图为FLASH动画，点击）
讲授新课
一 探究圆的概念
合作探究
情景：一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排 开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当 排成什么样的队形？
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫 做半径，一般用r表示．
视频：画圆实际操作演示
确定一个圆的要素
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
圆也可以看成是由多个点组成的
到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上吗？
有间隙吗？
圆可以看成到定满点足距什离么等条于件定的长？的所有点组成的.
解：连结OA. ∵ABCD为正方形
N
A
D
xx
∴DC=CO
x
x
MB
C
O
图5
设OC=x,则AB=BC=DC=OC=x 又∵OA=OM=10
∴在Rt△ABO中, AB2 BO2 AO2
人教版九年级数学上册《24章 圆 24.1 圆的有关性质 圆周角定理的推论和圆内接多边形》优质课课件_3
活动2 预习任务
知识点一 圆周角定理的推论
1.同弧或等弧所对的圆周角 相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是 90° ， 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
知识点二 圆内接四边形的性质及推论 圆内接多边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边 形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的推论：圆内接四边形的外角等于它的内角的对
九年级 上册
圆周角定理推论和圆内接多边形
活动1 温习旧知
1．圆周角定理的内容是什么？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一边
︵ 2．如图，若BC的度数为100°，则∠BOC＝__1_0_0_°___， ∠A＝__5_0_°____.
学习目标
1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并 能利用这两个推论进行相关的证明和计算． 2．知道圆内接多边形和多边形的外接圆的概 念，明确不是所有多边形都有外接圆。 3.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个 性质解决简单的计算和证明等问题。
归纳：
推论：９０°的圆周角所对的弦是直径．
活动4 探索圆内接四边形的性质
１．定义：如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形 叫做圆内接多边形, 这个圆叫做多边形的外接圆.
D
A
A
O
B
C
O
B
C
A
F
B
O·
E
C
D
探究
2.圆内接四边形的性质
如图：圆内接四边形ABCD中，四个内角之间有什么关 系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°， 则∠D＝_ _1_3_0_°___，∠B＝__5_0_°____；
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题(十) 圆中常见辅助线的作法
(1)求证：AE＝AB； (2)若AB＝20，BC＝16，求CD的长．
解：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AE∥OC， ∴∠E＝∠OCB，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB (2)如图，连接 AC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，即 AC⊥BE，由(1)知 AB＝AE，∴ EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在 Rt△ACB 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2 ＝
二、遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2020·阜新)如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若 ∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为( B ) A．57° B．52° C．38° D．26°
6．如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若 AC＝6，BD＝5 2 ，则 BC 的长为___8_____．
A．π－1
B．π2 －1
C．π－21
D．π2 －12
14．(2020·重庆 B 卷)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 3 ，以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧， 分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_3__3__－__π__.(结果保留π)
202－162 ＝12，在 Rt△ACE 中，S△ACE＝21 ×
AC×CE＝12 ×AE×CD，∵AE＝AB＝20，∴21
×12×16＝21 ×20×CD，解得 CD＝9.6
五、添加辅助线进行扇形面积的有关计算 13．(2020·苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知∠AOB＝90°，OA＝ 2 ， 过 AB 的中点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，则图中阴 影部分的面积为( B )
解：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AE∥OC， ∴∠E＝∠OCB，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB (2)如图，连接 AC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，即 AC⊥BE，由(1)知 AB＝AE，∴ EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在 Rt△ACB 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2 ＝
二、遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2020·阜新)如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若 ∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为( B ) A．57° B．52° C．38° D．26°
6．如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若 AC＝6，BD＝5 2 ，则 BC 的长为___8_____．
A．π－1
B．π2 －1
C．π－21
D．π2 －12
14．(2020·重庆 B 卷)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 3 ，以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧， 分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_3__3__－__π__.(结果保留π)
202－162 ＝12，在 Rt△ACE 中，S△ACE＝21 ×
AC×CE＝12 ×AE×CD，∵AE＝AB＝20，∴21
×12×16＝21 ×20×CD，解得 CD＝9.6
五、添加辅助线进行扇形面积的有关计算 13．(2020·苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知∠AOB＝90°，OA＝ 2 ， 过 AB 的中点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，则图中阴 影部分的面积为( B )
人教版九年级数学上册第24章圆课件 (共31张PPT)
∴CF= 12．在Rt△COF中，OF= OC2 CF2 ，
24 12 5 ∴EF=EO+OF= ，∴ CE EF2 CF2 . 5 5
9 5
5
【例4】如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一 点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延 长线于点E，则∠E等于( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
C
．
．
A．
点与圆的位置关 系
d与r的关系
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角， 叫做圆周角.
性质: 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半。
D E
O A
1 ADB=∠ ACB = ∠ AEB= AOB 2 在同圆或等圆中，相等的圆周角 C 所对的弧相等 推论： 半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所 B 对的弦是直径
【分析】如图所示，连接OC, ∵∠BOC与∠CDB是弧BC 所对的圆心角与圆周角， ∴∠BOC=2∠CDB。 又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°， 又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°, 则 ∠E=90°﹣40°=50°
人教版数学九年级上册第二十四章《24.2.2 直线和圆的位置关系》课件(共31张PPT)
人教版数学九年级上册
第二十四章 圆的有关性质
24.2.2 直线和圆的位置关系
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
导入新知
A
A
P
O.
P
O
B
B
现在我们学会了过圆上一点作已知圆的切线(如图所示)，如果 点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的 切线，可以作几条？
合作探究
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A
切线长与切线的区别在哪里？
O P
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点，可以度量．
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
A
PB是☉O的切线吗？
A
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点， O. M
P
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB，
B
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
若延长PO交⊙O于点C，连接CA,CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
3.如图，PA, PB, DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上. (1) 若PA=10，求△PDE的周长； (2) 若∠P=50°，求∠DOE的度数.
解：(1) 因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
所以PA=PB，DA=DC， EC=EB，
所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20， 所以△PDE的周长为20.
第二十四章 圆的有关性质
24.2.2 直线和圆的位置关系
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
导入新知
A
A
P
O.
P
O
B
B
现在我们学会了过圆上一点作已知圆的切线(如图所示)，如果 点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的 切线，可以作几条？
合作探究
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长． A
切线长与切线的区别在哪里？
O P
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点，可以度量．
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
A
PB是☉O的切线吗？
A
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点， O. M
P
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB，
B
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
若延长PO交⊙O于点C，连接CA,CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
3.如图，PA, PB, DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上. (1) 若PA=10，求△PDE的周长； (2) 若∠P=50°，求∠DOE的度数.
解：(1) 因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
所以PA=PB，DA=DC， EC=EB，
所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20， 所以△PDE的周长为20.
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2 2 2 2 2 2
类型三：遇切线连接圆心和切点 8．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分 线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求DE的长．
解：(1)连接 OD，∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA ＝ OD ， ∴∠ODA ＝ ∠DAO ， ∴∠ODA ＝ ∠DAE ， ∴OD∥AE ， ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线 (2)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝ AO2－AF2＝ 52－32＝4.∵∠OFE＝ ∠DEF＝∠ODE＝90° ，∴四边形 OFED 是矩形，∴DE＝OF＝4
90°，∴∠BAF＝90°－∠B，又∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四 边形，∴∠AEF＋∠B＝180°，∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18° ＝108°，∴∠B＝180°－108°＝72°，∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－ 72°＝18°
10 ． (2016· 玉林 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径 ， 点 C ， D 在圆上 ， 且四边形 AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线 于点E，F，连接BF. (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)连接 OD，∵四边形 AOCD 是平行四边形，而 OA＝OC，∴四 边形 AOCD 是菱形，∴△OAD 和△ OCD 都是等边三角形，∴∠AOD＝ ∠COD＝60° ，∴∠FOB＝60° ，∵EF 为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90° ， 易证△ FDO≌△FBO(SAS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90° ，∴OB⊥BF，∴BF 是 ⊙O 的切线 (2)在 Rt△ OBF 中，∵∠FOB＝60° ，∴∠OFB＝30° ，∴OF＝ 2OB＝2，由勾股定理可得 BF＝ 3.∵∠E＝30° ，∴EF＝2BF＝2 3
解：(1) 过点O作OE⊥AB于点E，∴AE＝BE， CE＝DE，∴AE－CE＝BE
－DE，∴AC＝BD (2) 连接 OA ， OC ， 在 Rt△AOE 与 Rt△OCE 中 ， OE2 ＝ OA2 － AE2 ， OE2 ＝ OC2 － CE2 ， ∴ OA2 －AE2 ＝ OC2 － CE2 ， ∴ OA2 － OC2 ＝ AE2 － CE2 ， ∵ AB ＝ 8 ， CD ＝ 4 ， ∴ AE ＝ 4 ， CE ＝ 2 ， ∴ OA2 － OC2 ＝ 12 ， ∴圆环的面积为 πOA2－πOC2＝π(OA2－OC2)＝12π
Hale Waihona Puke 类型二：遇直径添加直径所对的圆周角 5 ． 如 图 ， AB 是 半 圆 的 直 径 ， D 是 弧 AC 的 中 点 ， ∠ ABC ＝ 50° ， 则 ∠DAB等于(
C )
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．(2016·牡丹江)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB
9．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大 小； (2)如图② ，当直线l与⊙O 相交于点E，F时，若∠DAE ＝18°，求∠BAF 的大小．
解 ： (1) 连 接 OC ， ∵ 直 线 l 与 ⊙ O 相 切 于 点 C ， ∴ OC⊥l ， ∵ AD⊥l ， ∴ OC∥AD ， ∴∠ OCA ＝∠ DAC ， ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ BAC ＝ ∠ OCA ， ∴∠BAC＝∠DAC＝30° (2)连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝
第二十四章
圆
专题课堂(十一) 圆中常见的辅助线归类
类型一：遇弦加弦心距或半径 1．已知⊙O 过点 B，C，圆心 O 在等腰直角△ ABC 内部，∠BAC＝90° ， OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为( C ) A. 10 B．2 3 C. 13 D．3 2 2．如图，在半径为 10 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足 为 P，且 AB＝CD＝16，则 OP 的长为( B ) A．6 B．6 2 C．8 D．8 2
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线 于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF. (1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由； (2)已知半径为20，AF＝15，求AC的长．
解： (1)如图， 连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90° ， ∵OF∥BC， ∴∠AEO＝90° ，∠1＝∠2，∠B＝∠3，∴OF⊥AC，∵OC＝OB，∴∠B＝ ∠1，∴∠3＝∠2 ，可证△ OAF≌△OCF(SAS) ，∴∠OAF＝∠OCF ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCF＝90° ，∴∠OAF＝90° ，∴FA⊥OA，∴AF 是⊙O 的切线 (2)∵⊙O 的半径为 20，AF＝15，∠OAF＝90° ，∴OF＝ AF2＋OA2＝ 1 15 ＋20 ＝25，∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC＝2AE，△ OAF 的面积＝2
2 2
1 AF· OA＝2OF· AE，∴15×20＝25×AE，解得 AE＝12，∴AC＝2AE＝24
30 度． ＝6，BC＝3，则∠BDC＝____
7．(2016·宁夏)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D， BC于点E，连接ED，若ED＝EC. (1)求证：AB＝AC； (2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长．
3
解：(1)∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC (2)连接 BD，∵AB 为直径，∴BD⊥AC，设 CD＝a，由(1)知 AC＝AB＝4，则 AD＝4－a，在 Rt△ ABD 中，由勾股定理可得 BD2＝AB2 －AD2＝42－(4－a)2，在 Rt△ CBD 中，由勾股定理可得 BD2＝BC2－CD2 3 3 ＝(2 3) －a ，∴4 －(4－a) ＝(2 3) －a ，∴a＝2，即 CD＝2
3．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆 上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外 圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径为 ____cm. 50
4．如图，已知点O为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D
两点．
(1)求证：AC＝BD； (2)若AB＝8，CD＝4，求圆环的面积．
类型三：遇切线连接圆心和切点 8．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分 线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求DE的长．
解：(1)连接 OD，∵AD 平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA ＝ OD ， ∴∠ODA ＝ ∠DAO ， ∴∠ODA ＝ ∠DAE ， ∴OD∥AE ， ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线 (2)过点 O 作 OF⊥AC 于点 F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝ AO2－AF2＝ 52－32＝4.∵∠OFE＝ ∠DEF＝∠ODE＝90° ，∴四边形 OFED 是矩形，∴DE＝OF＝4
90°，∴∠BAF＝90°－∠B，又∵在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四 边形，∴∠AEF＋∠B＝180°，∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18° ＝108°，∴∠B＝180°－108°＝72°，∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－ 72°＝18°
10 ． (2016· 玉林 ) 如图， AB 是⊙ O 的直径 ， 点 C ， D 在圆上 ， 且四边形 AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线 于点E，F，连接BF. (1)求证：BF是⊙O的切线； (2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)连接 OD，∵四边形 AOCD 是平行四边形，而 OA＝OC，∴四 边形 AOCD 是菱形，∴△OAD 和△ OCD 都是等边三角形，∴∠AOD＝ ∠COD＝60° ，∴∠FOB＝60° ，∵EF 为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90° ， 易证△ FDO≌△FBO(SAS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90° ，∴OB⊥BF，∴BF 是 ⊙O 的切线 (2)在 Rt△ OBF 中，∵∠FOB＝60° ，∴∠OFB＝30° ，∴OF＝ 2OB＝2，由勾股定理可得 BF＝ 3.∵∠E＝30° ，∴EF＝2BF＝2 3
解：(1) 过点O作OE⊥AB于点E，∴AE＝BE， CE＝DE，∴AE－CE＝BE
－DE，∴AC＝BD (2) 连接 OA ， OC ， 在 Rt△AOE 与 Rt△OCE 中 ， OE2 ＝ OA2 － AE2 ， OE2 ＝ OC2 － CE2 ， ∴ OA2 －AE2 ＝ OC2 － CE2 ， ∴ OA2 － OC2 ＝ AE2 － CE2 ， ∵ AB ＝ 8 ， CD ＝ 4 ， ∴ AE ＝ 4 ， CE ＝ 2 ， ∴ OA2 － OC2 ＝ 12 ， ∴圆环的面积为 πOA2－πOC2＝π(OA2－OC2)＝12π
Hale Waihona Puke 类型二：遇直径添加直径所对的圆周角 5 ． 如 图 ， AB 是 半 圆 的 直 径 ， D 是 弧 AC 的 中 点 ， ∠ ABC ＝ 50° ， 则 ∠DAB等于(
C )
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．(2016·牡丹江)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB
9．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大 小； (2)如图② ，当直线l与⊙O 相交于点E，F时，若∠DAE ＝18°，求∠BAF 的大小．
解 ： (1) 连 接 OC ， ∵ 直 线 l 与 ⊙ O 相 切 于 点 C ， ∴ OC⊥l ， ∵ AD⊥l ， ∴ OC∥AD ， ∴∠ OCA ＝∠ DAC ， ∵ OA ＝ OC ， ∴∠ BAC ＝ ∠ OCA ， ∴∠BAC＝∠DAC＝30° (2)连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝
第二十四章
圆
专题课堂(十一) 圆中常见的辅助线归类
类型一：遇弦加弦心距或半径 1．已知⊙O 过点 B，C，圆心 O 在等腰直角△ ABC 内部，∠BAC＝90° ， OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为( C ) A. 10 B．2 3 C. 13 D．3 2 2．如图，在半径为 10 的⊙O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足 为 P，且 AB＝CD＝16，则 OP 的长为( B ) A．6 B．6 2 C．8 D．8 2
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线 于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF. (1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由； (2)已知半径为20，AF＝15，求AC的长．
解： (1)如图， 连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90° ， ∵OF∥BC， ∴∠AEO＝90° ，∠1＝∠2，∠B＝∠3，∴OF⊥AC，∵OC＝OB，∴∠B＝ ∠1，∴∠3＝∠2 ，可证△ OAF≌△OCF(SAS) ，∴∠OAF＝∠OCF ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCF＝90° ，∴∠OAF＝90° ，∴FA⊥OA，∴AF 是⊙O 的切线 (2)∵⊙O 的半径为 20，AF＝15，∠OAF＝90° ，∴OF＝ AF2＋OA2＝ 1 15 ＋20 ＝25，∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC＝2AE，△ OAF 的面积＝2
2 2
1 AF· OA＝2OF· AE，∴15×20＝25×AE，解得 AE＝12，∴AC＝2AE＝24
30 度． ＝6，BC＝3，则∠BDC＝____
7．(2016·宁夏)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D， BC于点E，连接ED，若ED＝EC. (1)求证：AB＝AC； (2)若AB＝4，BC＝2 ，求CD的长．
3
解：(1)∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC (2)连接 BD，∵AB 为直径，∴BD⊥AC，设 CD＝a，由(1)知 AC＝AB＝4，则 AD＝4－a，在 Rt△ ABD 中，由勾股定理可得 BD2＝AB2 －AD2＝42－(4－a)2，在 Rt△ CBD 中，由勾股定理可得 BD2＝BC2－CD2 3 3 ＝(2 3) －a ，∴4 －(4－a) ＝(2 3) －a ，∴a＝2，即 CD＝2
3．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆 上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外 圆于点C.测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则这个车轮的外圆半径为 ____cm. 50
4．如图，已知点O为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D
两点．
(1)求证：AC＝BD； (2)若AB＝8，CD＝4，求圆环的面积．