2.2.2椭圆的简单几何性质(4)-直线与椭圆的位置关系

合集下载

3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件(人教版)

讲
课
人
：
邢
启
强
15
高中数学
课堂小结
方程
选择性必修第一册
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2

1
a 2 b2
RJ·A
图形

(, )
(, )

(−, )

o
对称性
顶点
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
(−, )
(, )
(, )
(, −)
范围

a x a,b y b
c
e (0 e 1)
a
16
后研究圆锥曲线的统一性等性质带来
方便。
讲
课
人
：
邢
启
强
4
题型：直线与椭圆的位置关系
2 2
例：已知直线l:y=2x+m,椭圆：4 + 2 = 1，试问当m取何
值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点。
解题提示：联立方程
式判断根的个数
讲
课
人
：
邢
启
强
消元得一元二次方程
得出结论
利用根的判别
5
题型：直线与椭圆的位置关系
= 2 +
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组ቐ 2
2
+
4
2
讲
课
人
：
邢
启
强
=1
,

《椭圆的几何性质》直线与椭圆的位置关系

韦达定理→斜率
讲
课人：
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
邢
启强
11
例题讲评
点作差
讲
课
人：邢
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
启强
12
例题讲评
解法三：利用对称性
设A(x,y),B(4-x,2-y)是位于椭圆上且关于点P(2,1)的对称点，则有
为钝角时，则点 P 的横坐标的取值范围是____________.
设 P(x,y)，则| PF1 | a ex 3
5 3
x，| PF2
|
a
ex
3
5 x
3
由余弦定理,有 cosF1PF2
|
PF1
|2 | PF2 |2 | F1F2 2 | PF1 | | PF2 |
|2
5 x2 1 9 2(9 5 x2)
15
作业
如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交于A、
B两点，AB 2
2, AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是
2 2
，
试求a、b的值。
y
答案：a 1 ,b 2 ， 33
A（1－ 2，2）B（3－ 2，2－2）
A
M
o
x
B
M（2－ 2，2－1）
讲
课
人
：
邢
启强
16
1
1 k2
|
y1
y2
|
(k
0)
这里 | x1 x2 |, | y1 y2 |, 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
| x1 x2 | ( x1 +x2 )2 4x1 x2 ， | y1 y2 | ( y1 +y2 )2 4 y1 y2 .

高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质

心一定是原点吗？ y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴：椭圆与它的对称轴的四个交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾：焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了，但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力（学习新知识速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式
学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清主次
不断更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进入大脑的信息

2.2.2椭圆的简单几何性质习题课

2
θ
θ
2
2
cos
θ
2 cos
θ
2
2 = b 2 tan θ 2
x y 3、已知点 P 是椭圆 + = 1上的一点， 9 7 焦点分别是 F 1、 F 2，且 ∠ PF 1 F 2 = 45 ο , 则 ∆ PF 1 F 2的面积为 _____ 。
2
2
法一：设PF1 = x, 则PF2 = 6 − x. 在∆PF1 F2中，由余弦定理可以 7 1 求出x = ，然后用 S = ab sin C 2 2 求出三角形的面积。
推广：推广：
设 PF 1 = x , PF 2 = y , x 2 + y 2 − 2 xy cos θ = 4 c 2 ; 则 x + y = 2a; ∴ ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 xy cos θ = 4 c 2 2b 2 ∴ xy = cos θ + 1 1 b 2 sin θ ∴ S = xy sin θ = 2 cos θ + 1 = b 2 sin
三、求椭圆的离心率
如图所示，和上顶点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上的点， ) 时， A 、 B 分别为椭圆的右顶点当 PF 1 ⊥ F1 A ， PO // AB ( O 为椭圆中心求椭圆的离心率。
解： ∵ A ( a , 0 ), B ( o , b ) b ∴ k AB = − a b 2 ∵ P (− c, )∴ k a 又 ∵ k AB = k OP b b ∴ − = − a ac ∴ b = c c ∴ e = = a
设出椭圆上 P 点的坐标，写出两个向量的坐标，运算数量积，运用二次函数的有关知识求最值。

专题20椭圆(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破

专题20椭圆【考点命题趋势分析】1专题综述椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.典型例题与解题方法2考点剖析2.1椭圆方程及其几何性质求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.例1设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.例2已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A．√63B．√33C．√23D．132.2直线与椭圆的位置关系在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.例3过椭圆x 216+y 24=1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.例4设椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)，求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示). 2.3与椭圆相关的综合问题在数形结合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题.例5已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1 (I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 在椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证:|AN |⋅|BM |为定值. 3复习对策与建议(1)立足基础，把控规律，回归教材.从宏观上把握椭圆问题的解题要点，注重通性通法、一题多解和多题化归，优化解题过程，淡化特殊技巧，掌握常用的一些解题策略.(2)发掘几何性质，简化代数运算.高度重视对椭圆的定义与几何性质、解析法的理解与运用，既可提高解题效率，又可以提升学生的信心.重视运算能力与运算速度的提高，特别是字母式的变形运算，在平时的训练中要注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，注重整体代换等运算技能的培养.重视椭圆与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇训练.(3)注重数学思想和能力的训练，不断积累解匙经验.重视数形结合、转化化归、分类整合以及函数与方程思想的训练；培养学生善于透过问题背景扣住问题本质的能力；培养学生善于合理简化和量化，建数学模型的能力，培养学生能用精确和简洁的数学语言表达数学问题的能力.积累多方位、多角度探寻解决问题的经验.最新模拟题强化训练1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为()A B ．12C ．14+ D ．142．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．143．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A．12-B．2C．12D14．(2017新课标全国卷Ⅲ文科)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．135．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=6．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为( )AB ．3C ．6D7．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为( )A B ．13C ．12D ．38．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为( )A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，269．已知点(,4)P n 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 是椭圆C 的两个焦点，如12PF F ∆的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为( )A ．57B ．23C ．35D ．4510．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．3411．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12120F PF ∠=，且122PF PF =，则椭圆的离心率为______．12．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.13．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.14．已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．15．已知椭圆22:143x y C +=的左右两焦点为12,F F ,ABC ∆为椭圆的内接三角形，已知2(3A ，且满足2220F A F B F C ++=,则直线BC 的方程为__________．16．已知直线230x y +-=与椭圆()222210x ya b a b+=>>相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线3410x y -+=上，则此椭圆的离心率为______．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．18．如图，在ABC 中，已知120BAC ∠=︒其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE ,设以,E C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则当1221e e +取最大值时，AD DC的值为__．19．设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．20．已知点是抛物线：214y x =与椭圆：()222210x y b a a b+=>>的公共焦点，2F 是椭圆2C 的另一焦点，P 是抛物线1C 上的动点，当12PF PF 取得最小值时，点P 恰好在椭圆2C 上，则椭圆2C 的离心率为_______.21．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ， (1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．22．已知椭圆C ：2222=1x y a b +(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(–1，P 4(1中恰有三点在椭圆C 上. (Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.23．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是()2,0A ，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆交于两点,M N (,M N 不同于点A )，若0AM AN ⋅=，求证:直线l 过定点，并求出定点坐标.25．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3AB =(1)求椭圆的方程；(2)设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 27．已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．28．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>1,2⎛ ⎝⎭在E 上. (1)求E 的方程；(2)设直线:2l y kx =+与E 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅=，求k 的值.29．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为2AP 的方程.30．已知离心率为√22的椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)经过点A(1,√22). (1)求椭圆E 的方程； (2)若不过点A 的直线l:y =√22x +m 交椭圆E 于B,C 两点，求ΔABC 面积的最大值.。

直线与椭圆的位置关系、弦长公式

解：
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法：弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1

2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系

题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1

x2

2b ab
0)
y x1
由

x2 2

y2

1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2

0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1

x2
)2

4 x1 x2

=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2

7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2

6
11 7
练习：已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，

2.2.2 椭圆的几何性质(2)——直线与椭圆的位置关系

2
点与椭圆
1.点与椭圆的位置关系：椭圆上、椭圆外、椭圆内
2.判断方法：
已知点M ( x0 ,
y0
)及椭圆
x2 a2
y2 b2
1
（1）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆上
（2）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆外
y
F1 O
M (x0 , y0 )
F2
x
（3）
x02 a2
y02 b2
1 点M在椭圆内
解：设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2) 将y=x+1代入椭圆方程，得4x2+(x+1)2=8 y
整理得 5x2+2x-7=0
y P1 (x1,y1)
4 4 • 5 • (7) 0
F2
直线y = x 1与椭圆4x2 y2 8相交
解得x1
1, x2
7 5
P2(x2,y2)
2、点差法：
设直线与椭圆交点A( x1, y1), B( x2 , y2 )，将两点坐标代入
椭圆方程，并两式作差，构造一个关于中点( x0 , y0 )和
斜率k AB的式子：k AB
y1 x1
y2 x2
b2 a2
y2 x2
y1 x1
b2 a2
y0 x0
【例5】点M ( x, y)与定点F((c4,,00))的距离和它到直线
| P1P2 || y1 y2 |
1 1 k2
(1
1 k2
)[( y1
y2 )2
4 y1y2 ](k
0)
另：要注意在处理相交问题时 “设而不求”的解题思路

直线与椭圆的位置关系

y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
2
2
y 2 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0)
3x 4x 0
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 = ( x x ) 4 x x 2 1 2 1 3
AB y1 y2
，运用韦达定理来进行
.
x2 y2 1 的左、右例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
解:∵椭圆
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
关于弦长计算:直线与二次曲线相交所得的弦长 k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为直线具有斜率
A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它的弦长
方程组有两解方程组有一解方程组无解两个交点一个交点无交点相交相切相离
x 2 y2 例1：直线y=kx+1与椭圆 1 5 m
恒有公共点,
求m的取值范围。
x2 y2 1 的左、右例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
椭圆的简单几何性质(三)
直线与椭圆的位置关系

2[1].2.2椭圆的简单几何性质(4)

1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ A(1, ), B( , ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB | 5 5 2 2 2 | 弦长公式：AB | 1 k x1 x2 1 k （x1 x2 ) 4 x1 x2
k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标
4 x x2 由韦达定理 1 5 1 x1 x2 5
∆>0
所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
6 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 5
2.2.2 椭圆的简单几何性质(四)
1-----直线与椭圆的位置关系
2-----弦长公式
1直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
1 y x 2
消去y
x2+4y2=2
因为
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
2 2 2 2
解：联立方程组 x x 1 1 1 2 5 y x 消去y 2 2 5 x 4 x 1 0 ----- (1) x2+4y2=2 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根，则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.
1 例2.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2，判断它们4 x1 x2 5 2 由韦达定理的位置关系。
2弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直B | 1 k | xA xB | 1 2 | y A yB | k

椭圆的简单几何性质(第四课时)

2.2.2 椭圆的简单几何性质（4）
知识回顾上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
题中拾贝例1.中心在原点、一个焦点为 F1 (0, 5 2 ) 的椭圆被直线y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求此椭圆的方程.
解法一.(△法)联立方程，判别式，韦达定理. 解法二.(点差法)设点，作差. 解法三？
. B(x2,y2) .
. P(1/2,y )
0
A(x1,y1)
范例分析例题2. 过椭圆x2+2y2=2的右焦点F2作斜率为 1直线与椭圆交于A,B， F1是左焦点 .
(1)求线段AB的长.
(2)求△F1AB的面积.
y
Hale Waihona Puke (3)点P是椭圆上的动点，
求它到直线y=x+3的
F1
A
F2
x
最小值.
B
课堂小结
1.位置关系：相交、相切、相离 2. 弦长公式：
AB 1 k
2
x1 x2
2
4 x1x2
3. 中点弦问题：椭圆方程（a2,b2），直线方程(k)，中点(x0,y0)
解法一.(△法)联立方程，判别式，韦达定理. 解法二.(点差法)设点，作差. 解法三.(相关点法)
一.有什么？三. 什么办？二.干什么？
. B(x2,y2) .
. P(1/2,y )
0
1.c2=50 2.a2=b2+50
突破口联立方程韦达定理
求a2或b2

人教课标版高中数学选修2-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.理解直线与椭圆的位置关系；2.会进行位置关系的判断，计算弦长.（二）学习重点理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用（三）学习难点应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系.二.教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- 若0∆=，则直线和椭圆有唯一公共点，直线和椭圆相切；若0∆>，则直线和椭圆有两个公共点，直线和椭圆相交；若0∆<，则，直线和椭圆没有公共点，直线和椭圆相离 .2.预习自测（1）直线1y kx k =-+与椭圆22123x y +=的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】直线(1)1y k x =-+恒过定点(1,1).由11123+<可知：点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】A（2）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与点(,0)P b ，过点P 可作出该椭圆的一条切线.（）②直线()y k x a =-与椭圆22221x y a b+=的位置关系是相交.（）【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】点(,0)P b 在椭圆22221x y a b+=内部，故过P 不能作出椭圆的切线；直线()y k x a =-恒过点(,0)a ，而(,0)a 为椭圆22221x y a b+=的有顶点，过直线()y k x a =-一定与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】①×；②√.（3）直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =（） A.21 B.32 C.43 D.54 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】联立方程22141y mx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(14)830m x mx +++=. 由条件知：226412(14)0m m ∆=-+=，解得：234m =. 【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】C（4）椭圆13422=+y x 长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为（）A.34-B.43-C.43D.34 【知识点】直线与椭圆.【解题过程】设00(,)P x y ，则，则2200334x y =-，故00003224PM PN y y k k x x ⋅=⋅=-+- 【思路点拨】按照题意直接代入求解即可.【答案】A（二）课堂设计1. 知识回顾（1）椭圆的简单几何性质；（2）直线与圆的位置关系.2. 新知讲解探究一：探究直线与椭圆的位置关系●活动① 复习回顾，类比学习我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识.（1）直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）.（2）判定方法有两种：代数法、几何法.那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？又该如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？【设计意图】由已有的知识类比迁移到新知识.●活动② 思考交流，结论形成通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义.学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论.直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交.通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？例 1.判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系.【知识点】直线与椭圆的位置关系.课堂活动：学生完成练习，根据学生的解题情况引入代数方法.在巡视过程中，大部分学生采用的是代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论.【解题过程】将直线与椭圆方程联立，根据判别式∆判断，123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切.【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.直线与椭圆的位置关系的判定方法：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- （1）0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；（2）0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；（3）0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.【设计意图】以旧带新，学生易于理解.同类训练已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆相切？【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】解方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，整理得225210x mx m ++-=， 222420(1)2016m m m ∆=--=-，由0∆=得220160m -=，解得m =【思路点拨】用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.探究二：计算椭圆的弦长●活动① 互动交流，形成结论例2. 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长.【提出问题】本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？【知识点】直线与椭圆相交【解题过程】由条件知2(1,0)F ，故直线AB 方程为：22y x =-.设1122(,),(,)A x y B x y . 联立方程组2222154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：2350x x -=. 法一：由2350x x -=得：1250,3x x ==，从而54(0,2),(,)33A B -. ||AB ∴== 法二：由2350x x -=得：12125,03x x x x +==. 2||=AB x ∴==-. 【思路点拨】初学者常想到求直线和椭圆的交点，然后利用两点间距离公式求弦长，此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单时，易得交点坐标，一般情况不采用此法.弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路.同类训练已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程.【知识点】直线与椭圆相交弦长公式.【解题过程】由题意2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩得225210x mx m ++-=，由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴弦长l === 当0m =时，l，此时直线方程为y x =. 【思维点拨】当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用弦长公式求得弦长.●活动② 强化提升，灵活应用例3. 已知椭圆2212x y += （1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过(2,1)A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；【知识点】直线与椭圆相交，曲线的方程.【解题过程】解：（1）设斜率为2的直线方程为2y x b =+.由22212y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x bx b ++-=，由22(8)36(22)0b b ∆=-->，得33b -<<.设该弦的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12429x x b +=-，444393b -<-<. 设弦的中点坐标为(,)M x y ，则1249,294x x b x b x +==-=-，代入2y x b =+，得4440()33x y x +=-<<为所求轨迹方程. （2）设l 与椭圆的交点为1122(,),(,)x y x y ，弦的中点为(,)x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=.又12122,2x x x y y y +=+=121212122()4()=0,()20()x x x y y y y y x y x x ∴-+--+⋅=-① 由题意知1212()1()2y y y x x x --=--，代入①得1202y x y x -+⋅=-. 化简得222220x y x y +--=.∴所求轨迹方程为222220x y x y +--=（夹在椭圆内的部分）.【思路点拨】例3（2）解题方法叫做“点差法”，点差法充分体现了“设而不求”的数学思想.【答案】222220x y x y +--=.同类训练已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程. 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y 整理得2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩，由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =，适合(1). 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=.【思维点拨】解决直线和圆锥曲线的相关问题时，韦达定理得应用十分广泛，此题干中涉及中点问题，自然联想到12x x +韦达定理结构.【答案】10x -+=，或10x +=.3.课堂总结知识梳理（1）直线与椭圆的位置关系0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.（2）弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .重难点归纳（1）用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法；（2）涉及弦中点的问题，常用点差法处理.（三）课后作业基础型自主突破1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为（）A.(－233，233)B.(233，＋∞)∪(－∞，－233)C.(43，＋∞)D.(－∞，－43)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.【思路点拨】根据点与椭圆的位置关系建立不等式求解.【答案】B 2.点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（）A.(±152，1)B.(152，±1)C.(152，1)D.(±152，±1)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴12PF F S ∆=12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D.【思路点拨】焦点三角形面积计算以12||F F 为底边.【答案】D3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.12D.13【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a ， ∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33.【思路点拨】利用椭圆定义和几何关系解题.【答案】B4.如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.32B.12C.22D.3－1【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.【思路点拨】利用圆的几何性质和椭圆离心率的定义. 【答案】D5.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_____________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【思路点拨】中点弦问题灵活利用点差法. 【答案】x ＋2y －4＝0.6.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1、F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2. ∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3.∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0). 【思路点拨】把握椭圆的定义解题. 【答案】x 24＋y 23＝1；(±1,0). 能力型师生共研7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)（） A.必在圆x 2＋y 2＝2上 B.必在圆x 2＋y 2＝2外 C.必在圆x 2＋y 2＝2内 D.以上三种情形都有可能【知识点】椭圆的几何性质. 【解题过程】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a2， a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34 ⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a2＝0⇒x 2＋32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C.【思路点拨】简化,,a b c 关系将方程具体化. 【答案】C8.如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得()1b b a c -=-，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e>0，∴e ＝5－12.【思路点拨】利用椭圆几何性质解题. 【答案】e ＝5－12.探究型多维突破9.已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B ，C ，当直线l 绕点A (－1,1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0.∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式.综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 【思路点拨】弦中点问题灵活利用点差法解题. 【答案】x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.10.已知椭圆方程22123x y +=，试确定m 的范围，使椭圆上存在两个不同点关于直线4y x m =+对称.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设点1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上点，且关于直线4y x m =+对称,另设AB 中点坐标为00(,)M x y则22112222123123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得1212121211023y y y y x x x x -++⋅=-+ 01212121203322AB y y y y y k x x x x x -+⇒⋅=-⇒⋅=--+ ① 1122(,),(,)A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，14AB k ∴=-，代入①式得006y x = ②易知点00(,)M x y 必在直线4y x m =+上，004y x m ∴=+ ③ 联立②③解得(,3)2mM m AB 为椭圆的弦，∴中点M 必在椭圆内， 22()(3)2123m m ∴+<，m <<【思路点拨】注意利用弦的中点在椭圆内部建立不等关系解题.【答案】m <<自助餐1.已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为（）A.12B.33C.22D.32【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由已知得⎩⎨⎧2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C.【思路点拨】利用离心率的定义. 【答案】C2.AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是（）A.b 2B.bcC.abD.ac 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .【思路点拨】椭圆几何性质把握图形中的几何关系. 【答案】B3.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝（）A.34B.37C.38D.318 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.【思路点拨】注意转化为椭圆的定义. 【答案】C4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（）A.2B.3C.6D.8 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值.(OP →·FP →)max＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C. 【思路点拨】数量积问题坐标化处理. 【答案】C5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. （1）求椭圆C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得22(3)12525x x -+=，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65).【思路点拨】直线与椭圆相交注意利用韦达定理解题. 【答案】见上6.设12F F 、是椭圆:E 2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列. （1）求||AB ；（2）若直线l 的斜率为1，求b 得值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由椭圆定义知：22||||||4AF AB BF ++=，又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =. （2）l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得222(1)2120b x cx b +++-=，则2121222212,11c b x x x x b b--+==++ 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-，即214||3x x -.则224212122222284(1)4(12)8()49(1)(1)(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++，解得b =【思路点拨】将弦长||AB 从两个不同角度考虑，建立等式解题. 【答案】见上。

新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(学生版)

(1)4x2＋9y2＝36；
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．
[思路点拨]
[题后感悟]已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
变式训练：
1.求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
三、巩固拓展
●必做：教材第49页，习题2.2 A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题
●补充作业：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()
A．8,2B．5,4C．9,1D．5,1
2．已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程是()
，则动点的轨迹是一个椭圆.
2、椭圆的准线方程：若焦点在轴上，则左准线是；右准线是；
若焦点在轴上，则下准线是；上准线是；
3、椭圆上任意一点的焦半径（其中，为左焦点，为右焦点）：
，
（若焦点在轴上，其中，为下焦点，为上焦点，则，
●典例导析：
题型一、椭圆的简单几何性质
例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：
8．(10分)如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，
x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2
相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

高中数学第二章椭圆的简单几何性质第二课时直线与椭圆的位置关系学案含解析

第二课时直线与椭圆的位置关系[导入新知]1．直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，椭圆方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. 设Δ＝b 2－4ac .①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点； ②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点； ③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点． 2．椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．[化解疑难]1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．直线与椭圆的位置关系[例1] 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离． [类题通法]判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离．[活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1，消去y ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， ∴Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)． ∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ≥0对任意k ∈R 都成立． ∵m ＞0，∴5k 2≥1－m 恒成立． ∵5k 2≥0，∴1－m ≤0，即m ≥1. 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜5， ∴1≤m ＜5，即m 的取值范围为[1,5)．弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆5＋4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B两点，求弦AB 的长．[解] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，且直线的斜率为2，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.|AB |＝x A －x B2＋y A －y B2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝ 1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的解．消去y 得，3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 221＋k 2AB＝1＋k 2AB[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. [类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程得到．[活学活用]椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ＞0，得a 2＞32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.中点弦问题[例3] 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．[解] 法一：由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆的方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. ∴x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8， ∴k ＝－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.法二：设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0. [类题通法]解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a2(x 21－x 22)＋1b2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.[活学活用]已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， x 1＋x 2＝12b2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12，即12b 2a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝3b 2. 又c 2＝a 2－b 2＝50，所以得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.2.求解直线和椭圆的综合问题[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[解题流程][活学活用](浙江高考)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k 21＋a 2k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)． ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.所求离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22.[随堂即时演练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－42≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝ 1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线与椭圆的交点，中点M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋4x －2＝0.x 0＝x 1＋x 22＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32(负值舍去)．答案：324．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x 2m ＋y23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点， ∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16m 2－4m 2－12m ＝12m 2－12m ＞0，解得m ＞1或m ＜0.又∵m ＞0且m ≠3，∴m ＞1且m ≠3. 答案：(1,3)∪(3，＋∞)5．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2.因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋[k x 1－x 2]2＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m＞1，∴0＜m＜1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 3．两个正数1,9的等差中项是a ，等比中项是b 且b ＞0，则曲线x 2a ＋y 2b＝1的离心率为( )A.105 B.2105 C.25 D.35解析：选A ∵a ＝9＋12＝5，b ＝1×9＝3，∴e ＝25＝105. 4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．0，12C ．0，22 D.22，1 解析：选C ∵MF 1―→⊥MF 2―→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2， ∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e ＜22. 5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→ |＝( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA ―→＝3FB ―→，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2. 二、填空题6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎨⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 544＋24＝35.答案：357．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM ―→|＝1，且PM ―→·AM ―→＝0，则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0，∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，∴|AP ―→|min ＝2，∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 38．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1，所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2， CF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．答案：63三、解答题 9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3. 所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 相应地y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1， ∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标 x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.。

3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时(直线于椭圆的位置关系及应用)课件(人教版)

3.1.2 椭圆的简单几何性质
第2课时(直线于椭圆的位置关系
及应用)
例析
例5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆
l
绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1 上，片门
位于另一个焦点2 上.由椭圆一个焦点1 发出的光线，经过
练习
方法技巧：
解决椭圆的中点弦问题的3种方法
1.方程组法：通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与
系数的关系及中点坐标公式求解.
2.点差法：设直线与椭圆的焦点(弦的端点)坐标为(1 , 1 )，(2 , 2 )，将这两点
代入椭圆的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦的中点(0 , 0 )和斜率
(2)当∆= 0，即 = ±3 2时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组
相同的实数解.这时直线与有且仅有一个公共点.
(3)当∆< 0，即 < −3 2，或 > 3 2时，方程①没有实数解，可知原方程组没
有实数解.这时直线与没有公共点.
练习
方法技巧：
直线与椭圆位置关系的判定方法
例2.已知椭圆： 2

2
+ 2

= 1( > > 0)的离心率为
6
，焦距为2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.斜率为的直
线与椭圆有两个不同的交点，.
(2)若 = 1，求||的最大值.
解(2)：设直线的方程为 = + ，(1 , 1 )，(2 , 2 ).
= + ，
由
2
= 1.
例析
例6.动点(, )与定点(4,0)的距离和到定直线： =

椭圆的简单几何性质及应用课件

所以 k 的取值范围为－∞，椭－圆2的2∪简单 2几2，何＋性∞.
质及应用
解答
跟踪训练
y
解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0
与椭圆相切，
4x-5y＋k＝0，由
9x2＋25y2＝225，
O
x
得25x2＋8kx＋k2-225＝0，
令Δ＝64k2－4×25(k2-225)=0，
解得：k=25或k=-25，
11．设
F1，F2
分别是椭圆
E ：x 2＋ y2＝1(0＜ b＜1)的左、右焦点，过点 b2
F1
的直线交椭圆
E
于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________________.
椭圆的简单几何性质及应用
本课结束
椭圆的简单几何性质及应用
椭圆的简单几何性质及应用
16
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
椭圆的简单几何性质及应用
17
另解1：
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，又∵A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.
两式相减，得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
显然当k=25时，m与l的距离最小，
椭圆的简单几何性质及应用
9
知识点三弦长公式
如何求圆的弦长？
几何性质 y
O
x
如何求椭圆的弦长？
y
y=kx+m
A(x1, y1)
y=kx+m，

第二章 2.2.2 第1课时椭圆的几何性质

2．2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2) 焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝ca∈(0,1) 知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √ )一、椭圆的简单几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m >0)，因为0<m 2<4m 2，所以1m 2>14m2，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ，离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.二、由几何性质求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴长25，离心率e ＝23；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)由2b ＝25，e ＝c a ＝23，得b 2＝5，a 2－b 2a 2＝49，a 2＝9.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 29＋x 25＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1.(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，所以c ＝b ＝3，所以a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.反思感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为32，经过点(2,0)．解 (1)由题意知a ＝5，c ＝3，b 2＝25－9＝16，焦点所在坐标轴可为x 轴，也可为y 轴，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.(2)由e ＝c a ＝32，设a ＝2k ，c ＝3k ，k >0，则b ＝k . 又经过的点(2,0)为其顶点，故若点(2,0)为长轴顶点，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若点(2,0)为短轴顶点，则b ＝2，a ＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 216＝1.三、求椭圆的离心率例3 (1)如图所示，A ，B ，C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.－1＋52 B ．1－22 C.2－1 D.22答案 A解析由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2＋ac －a 2＝0. 因为e ＝ca，所以e 2＋e －1＝0，所以e ＝－1＋52.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫22，1解析由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形，所以|OP |＝c ≥b ，即c 2≥a 2－c 2，所以a ≤2c ，因为e ＝c a ，0<e <1，所以22≤e <1.反思感悟求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．跟踪训练3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，求椭圆C 的离心率．解由题意知A (a ,0)，B (0，b )，从而直线AB 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，又|F 1F 2|＝2c ，∴aba 2＋b 2＝63c . ∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.椭圆几何性质的应用典例神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2答案 D解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养提升] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．1．椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点(0,13)，(－10，0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13) D ．(0，±69)答案 D解析由题意知，椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故选D.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 C解析依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12，即a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34D.64答案 A解析不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF 1F 2是正三角形． ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ， |BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A.4．椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为( )A ．4B ．－54C ．4或－54D ．不能确定答案 C解析当k ＋8>9，即k >1时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4.当0<k ＋8<9，即－8<k <1时， e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故1m ＝2，解得m ＝14.1．知识清单： (1)椭圆的几何性质． (2)求椭圆的离心率．2．方法归纳：定义法、数形结合、函数与方程．3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0<e <1及长轴长与a 的关系．1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223 答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.故选C.2．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( )A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1答案 C解析椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意，知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.3．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝4.则椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，即有a ＝5，b ＝3.5．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3答案 B解析由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为当x ＝c ＝1时，纵坐标的绝对值的2倍为3. 6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．答案 (2,4] 解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．7．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_____________．答案 x 216＋y 28＝1解析设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16，故a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.8．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 的椭圆的离心率为________．答案 12解析如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12. 9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3. ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2. 又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.11．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( ) A.12B.13C.14D.22答案 A 解析由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22 B.32 C.3－12 D.5－12 答案 D解析在Rt △ABF 中，AB ＝a 2＋b 2，BF ＝a ，AF ＝a ＋c ，由AB 2＋BF 2＝AF 2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12. 13．若将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程是( ) A.x 28＋y 24＝1 B.x 23＋y 25＝1 C.x 26＋y 22＝1 D.x 26＋y 29＝1 答案 A解析由题意，知当b ＝c 时，将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，该椭圆为“对偶椭圆”．选项中只有A 中b ＝c ＝2符合题意，故选A.14．如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B ．2－ 3 C.22 D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 15．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.答案 48解析依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，|F 1F 2|＝2c ＝10.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝100.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝100.即196－2|PF 1|·|PF 2|＝100.解得|PF 1|·|PF 2|＝48.16．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c＝2a . 解得e ＝c a ＝22，则离心率e ＝22.17．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形． ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32，故选A.18.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解 (1)由∠F 1AB ＝90°及椭圆的对称性知b ＝c ，则e ＝c a ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝22. (2)由已知a 2－b 2＝1，A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，则AF 2→＝(1，－b )，F 2B →＝(x －1，y )，由AF 2→＝2F 2B →，即(1，－b )＝2(x －1，y )，解得x ＝32，y ＝－b 2，则94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，因此b 2＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.。

高中数学_椭圆的简单几何性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

（六）教学设计椭圆的简单几何性质（2）教学设计一、基本情况1.面向对象：高二学生2.学科：数学3.课题：椭圆的几何性质4.课时：2课时5.课前准备：（1）学生回顾本节内容，熟悉椭圆的范围、对称性和顶点，离心率等性质（2）教师准备课件。

二、教材分析《椭圆的几何性质》是人教版2-1的内容。

本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。

这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。

本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。

三、教学目标知识目标1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。

2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。

3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

能力目标1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。

2.渗透数形结合、类比等数学思想。

3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。

情感目标1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。

2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。

3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。

四、教学重点与难点重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。

难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。

五、学法、教法与教学用具1.学法：(1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。

2.教法：本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。