6章弹性与塑性力学的基本解法

合集下载

6弹塑性力学基本求解方法

d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得

弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

w ij ij Eijkl kl 线性关系各向同性 ij
指标符号表示
ij 2G ij ij kk
E ( ij ij kk ) (1 ) 1
2019/1/3 7
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
X l x m yx n zx n1 11 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n1 12 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n1 13 n2 23 n3 33
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内
力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，
从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）
所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
2019/1/3
1
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题；
当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题；当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
2019/1/3
11
§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、 ij 、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由物理量所满足的方程组中显示出来）。
2
yz
xy
y yz zx xy ( )2 y x y z zx
2
2 zx z yz xy ( )2 z x y z yx
2019/1/3
6

(完整word版)弹塑性力学总结

弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。

通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。

求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。

因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的。

就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。

（2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。

而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的。

就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。

这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。

（4）假设物体是各向同性的。

也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

（5）假设物体的变形是微小的。

即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。

弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法

6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构方程的信息，求解时只需补充边界条件。当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：

弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法

#43; v ε ij = σ ij − δ ijσ kk E E
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。

塑性力学和弹性力学的区别和联系

塑性力学和弹性力学的区别和联系固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。

塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。

弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。

大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。

所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。

因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。

塑性材料或塑性物体的含义与此相类。

如上所述。

大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。

本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。

以及相应的“破坏”准则或失效难则。

塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。

一、基本假定1、弹性力学：（1）假设物体是连续的。

就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。

这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。

（2）假设物体是线弹性的。

就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。

而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的。

弹塑性力学-第6章弹塑性平面问题

第六章弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。

因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。

但是，当所考察的物体(结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面（二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标（如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知,弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。

6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的. 1。

1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6.1-1）1.2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε （6.1-2）由式(6.1-2）可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 (6.1—3） 1。

3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同。

(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。

因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 （6.1—4a)或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。

7-弹塑性力学-弹性问题的求解

第六章弹性问题的求解

轴对称问题(axi-symmetrical problem) 的求解
轴对称：几何与载荷场均中心对称。应力函数 (r , ) ，由于轴对称， (r )
1 d r , r dr
2
d 2 2 , dr
2
r r 0
第六章弹性问题的求解
厚壁筒受均压的应力解：讨论： 2 2 qa q 常数（与r无关）（1） r 2 2 2 2 b b / a 1 1 a / b

从而 z ( r ) 常数 E
表明：厚壁筒变形后各载面（垂直z轴）仍为平面。（平面应力与平面应变问题的转换条件）（2）当 qb 0 ，即只受内均压作用时，
其中：
E1
E 1 2
, 1

1
这就是平面应变问题的广义虎克定律。
第六章弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
不难证明：
1 1 1 E1 E ,G E1 E 2(1 1) 2(1 )
x xy X 0 y x y xy Y 0 y x
第六章弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
x 2G x y 2G y 由物理方程可得应力分量 z 2G z G xy xy 0 zx yz
其中

E （拉梅常数）， (1 )(1 2 )
平面应变问题（长轴类问题）(plane strain problem)
ห้องสมุดไป่ตู้
第六章弹性问题的求解

弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件

塑性力学
研究材料在塑性状态下应力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关系由本构方程描述，该方程反映了材料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定物体的边界条件和初始条件，求解物体内部的应力和应变状态的问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程或积分方程来解决，具体方法取决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便地处理非线性问题。

弹性与塑性力学基础第六章塑性力学解题方法及应用举例

§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
作用于最大剪应力面上的正应力13恰等于平均应力m或中间主应
力2 ，即
1 3 m 2 1 2 (13 ) 1 2 (xy)
任一点应力状态可用静水压(平均
应力)与最大剪切力K相叠加来表
2020/10/16
弹性与塑性
力学基础第六章塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
2020/10/16
弹性与塑性
力学基础第六章塑性力学解题方法及应用举例
压力容器、管道、挤压凹模等) 2020/10/16轴对称平面问题
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化；平衡微分方程：
dr r 0 (6-1)
dr r
弹性与塑性
力学基础第六章塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
弹性与塑性力学基础
第六章
塑性力学解题方法及应用举例
2020/10/16
弹性与塑性
力学基础第六章塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
代入式(6-12)得
z =s

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的单元，并对每个单元进行数学建模，从而将复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变形阶段提供依据，是弹塑性力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与塑性范围内应力应变关系的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能够恢复到原始状态的性质。

弹塑性力学弹性力学求解方法

2 I1 0 2 x 2 I1 0 2 y 2 I1 0 2 z
2 I1 2 xy 0 1 xy 2 I1 2 yz 0 1 yz 2 I1 2 zx 0 1 xz

以应力分量表示的控制方程

弹性力学求解方法弹性力学解的基本性质
• 叠加原理两组不同外力同时作用在同一物体上的解，等于这两组外力分别单独作用时的解的叠加，且与作用顺序无关。叠加原理用于位移边界时要求总位移满足给定的位移边界条件，而单独的位移不一定满足边界条件叠加原理是线弹性理论中普遍适用的一般性原理，对于非线性问题不成立，如：大变形情况、非线性弹性或弹塑性材料以及荷载随变形而变的非保守力系或边界用非线性弹簧支承的情况。
xy l y m zy n T y xz l yz m z n T z
xl yx m zx n T x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ux u x uy u y uz u z
混合边界条件一部分边界给定表面力作用，而另一部分边界上给定已知位移约束。
弹性力学求解方法弹性力学解的基本性质
• 解的唯一性定理在给定荷载作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如果物体的整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解；涉及到温度荷载时解的唯一性定理依然成立；无如果弹性体存在初应力，则解就不是唯一的。
• 几何方程 u x u x u y xy yx x x y x u y u y u z yz zy y y y z u z u z u x zx xz z z x z

弹塑性力学定理和公式

应力应变关系弹性模量 |｜广义虎克定律1。

弹性模量对于应力分量与应变分量成线性关系的各向同性弹性体,常用的弹性常数包括：a 弹性模量单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比，即b 切变模量切应力与相应的切应变之比，即c 体积弹性模量三向平均应力与体积应变θ(=εx+εy+εz）之比,即d 泊松比单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比，即此外还有拉梅常数λ。

对于各向同性材料，这五个常数中只有两个是独立的。

常用弹性常数之间的关系见表3-1 弹性常数间的关系。

室温下弹性常数的典型值见表3—2 弹性常数的典型值。

2。

广义虎克定律线弹性材料在复杂应力状态下的应力应变关系称为广义虎克定律。

它是由实验确定，通常称为物性方程，反映弹性体变形的物理本质.A 各向同性材料的广义虎克定律表达式（见表3—3 广义胡克定律表达式）对于圆柱坐标和球坐标，表中三向应力公式中的x 、y、z分别用r、θ、z和r、θ、φ代替。

对于平面极坐标，表中平面应力和平面应变公式中的x、y、z用r、θ、z代替。

B 用偏量形式和体积弹性定律表示的广义虎克定律应力和应变张量分解为球张量和偏张量两部分时，虎克定律可写成更简单的形式,即体积弹性定律应力偏量与应变偏量关系式在直角坐标中，i，j=x，y，z;在圆柱坐标中，i,j=r，θ，z，在球坐标中i，j=r，θ，φ。

弹性力学基本方程及其解法弹性力学基本方程｜| 边界条件｜｜按位移求解的弹性力学基本方法｜｜按应力求解的弹性力学基本方程｜| 平面问题的基本方程 || 基本方程的解法 || 二维和三维问题常用的应力、位移公式1.弹性力学基本方程在弹性力学一般问题中,需要确定15个未知量,即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定,即(1）3个平衡方程[式（2-1—22)］，或用脚标形式简写为（2）6个变形几何方程［式（2—1—29）］，或简写为(3）6个物性方程［式（3-5）或式（3—6）］,简写为或2.边界条件弹性力学一般问题的解，在物体内部满足上述线性方程组，在边界上必须满足给定的边界条件。

6章弹性与塑性力学的基本解法

6弹塑性力学基本求解方法

弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

(完整word版)弹塑性力学总结

弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法

弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法

塑性力学和弹性力学的区别和联系

弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题

7-弹塑性力学-弹性问题的求解

最新弹塑性力学第六章PPT课件

弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件

弹性与塑性力学基础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例

弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件

弹塑性力学 弹性力学求解方法

弹塑性力学定理和公式

弹塑性力学-第6章弹塑性平面问题

弹性与塑性力学基础第六章塑性力学解题方法及应用举例

弹塑性力学弹性力学求解方法