第二章 投影的基本知识和点

X
Z
az
O
●
a
YW
X
Z
V
a
●
az
●
ax
aYW
H
ax
A
●
a W
O
a
●
YH
aY
a
●
ay
Y
H
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz=y=A到V面的距离
（aax= aay=z=A到H面的距离 aay= aaz=x=A到W面的距离）
X
例3：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
房 屋 的 透 视 图
工程上常用的投影图
４.标高投影图—等高线图或地形图，用于表达地形。 在地面等高线的正投影上标注高度。
表 达 物用 体单 三面 维正 量投 。影 图
图2-7
地形的标高投影图
搞清：
1.点的投影与直角坐标的关系？
2.2 点的投影
a’
一、点的单面投影 一个投影不能唯一确定点的空间位置 2.空间点到投影面的距离与直角坐标的关系？ 二、点的两面投影 V
第二章 投影的基本知识和 点、直线、平面的投影
2.1投影的基本知识
投影的形成及分类 平行投影法的投影特性 工程上常用的投影图
的或 投影的形成及分类 方物 法体使 投射中心 称在空 投 为投间 投射线 投影几 影 影面何 物体 法上元 的 投影 。产素 概 投影面 生（ 投点 念 影、 （线 图、 形成投影的三要素：投射线、表达对象（物体或空 象面 间几何元素（点、线、面） ）、投影面。 ））
45°
a”
例5：根据点的两面投影,求第三投影。
Z c' b’ X g’ b d’ d b” e' d” O c e g YH e” g” YW
c”
两点的相对位置
两点的相对位置是指空间 两点在上下、前后、左右的位置 关系。
每个投影面均反映两个方位。
左
上
右
●
a
●
Z a b
●
后
前
下
●
b YW
X
投影（法）的分类
画透视图
中心投影法
投影方法 平行投影法 •工程图样 画 •正轴测图 •地形图 正投影法 画斜轴测图 斜投影法
中心投影法
当投射中心与投影面的距离有限 时，所有投射线均交于投射中心。
投射中心、物体、投影 面三者之间的相对距离对投 影的大小有影响。 优点：具有真实感，图 形符合人的视觉规律； 缺点：作图复杂、度量 性较差。
●
●
●
1、重影点在空间并不重合；
2、会利用不重合的投影，判断 重合投影的可见性； 3、被挡住的投影加( )。
a (c )
被挡住的 投影加( )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
称作：A点在C点的正上方
• 例8：判断投影图中两点的可见性。
Z a’ b’
a” （b” ）
X O YW
YH
小结
1、投影的概念及分类； 2、平行投影法的投影特性；
水平投影面 a’ —— H V 正面投影面 —— V 证明 投
X
不动 投影规律： aa’⊥OX ax aax=Aa’ a’ax=Aa a 两投影面体系的建立
点A的水平投影 —— a 点A的正面投影 —— a
影 a —— OX 轴 x
a
O
X
A A1 A2
向下翻 O
45°
H 两个投影能唯一确定点的空间位置
三、点的三面投影
V
Z
正面投影面（简称正 面或V面） 投 X 水平投影面（简称水 影 平面或H面） 面 侧面投影面（简称侧 面或W面） 投 OX轴 V面与H面的交线 影 OY轴 H面与W面的交线 轴 OZ轴 V面与W面的交线 原点O
a ●
●
A
o
●
a
W
a● H Y
三个投影面 互相垂直
OX轴、OY轴和OZ轴的交点O。
γ有
N
S
无
有
一、 各种位置直线的投影
侧 平 线 （∥W）
投影特征
a’b’ ∥OZ轴，长度缩短 ab ∥OYH轴，长度缩短 a”b” 倾斜，反映实长、α和β角
α有 M 有
倾角 β= 0° 迹点
γ=有
N
S
有
无
二、 直线的倾角和直线段的实长
• 一、倾角和实长
空间直线与某投影面的夹角， 为直线对该投影面的倾角。 对H面的倾角α 对V面的倾角β
X
a b
YH
• 例10：判断投影图中两点的可见性。
d’ Z
c’ X O YW
（c ） d
YH
八个卦角
§2—3 直线的投影
直线可视为点的集合，所以直线的投影就是点的 投影的集合。 1.确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只 需知道直线上两个点的投影，再连线即可。 2. 要求直线的第三投影，先作出直线的两个点的 第三投影，再连线即可
四、两直线的相对位置
二、两直线相交 两直线相交，有一个共有点，即交点。且各投影 的交点是同一点的投影,交点符合点的投影规律。
四、两直线的相对位置
例2—3 试判断 两直线AB和CD 是否相交
后
每个投影均反映两个坐标。 两点中x值大的点 —— 在左； 两点中y 值大的点 —— 在前 ；
两点中z 值大的点 —— 在上；
O
●
a
前
b
●
YH
判断方法和步骤：
1、一般从V面投影入手， 知上下、左右 。 2、在H、W投影中，确定前后关系。
B点在A点之下、 之前、之右。
两点的相对位置
例6：根据投影图，判断两点的相对位置关系。
三、 直线上的点
• 迹点是直线穿越相邻两分角或卦角间的投影面上的 点； 直线在其两相邻迹点之间的部分，必处在同一分角 或卦角中，这部分直线段上所有点的同名坐标值的正、 负号相同。
四、两直线的相对位置
有三种情况：平行、相交、交错（交 叉）
平行
交错 相交
四、两直线的相对位置
一、两直线平行 空间平行的两直线，其所有的同面投影彼此平行.
• 例2-2 已知直线 CD 的 正面投影 c′d′和点 C的水平投影c，且知 直线 CD 对 H 面的倾角 α=30° ， 求 作 线 段 CD的H面投影。
一、直线上的点 直线上的点的投影必在直线的同面投影上。 二、定比定律 直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比， 等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。
例1：根据点的投影图，在给定的投影体系中 画出点的空间位置。
先分析这些点的空间位置？ 其坐标有何特点？ b’ V B b’
X
a’
b
c’ c
O X
a’
b
c’C c
O
a a A 请总结出：投影面及投影轴上 点的投影特点？ 某一投影面上的点，到该投影面的距离为零，故它在该投 影面上的投影与其本身重合，另一投影位于OX轴上；投影轴上 的点，两个投影都与其本身重合。
投影特征
a’b’∥OX轴，长度缩短 ab倾斜，反映实长、β和γ角 a”b”∥OYW轴，长度缩短
α=0° M 无
倾角 β有
γ有
迹点
N
S
有
有
一、 各种位置直线的投影
正 平 线 （∥V）
投影特征
a’b’ 倾斜，反映实长、α和γ角 ab ∥OX轴，长度缩短 a”b”∥OZ轴，长度缩短
α有 M 有
倾角 β= 0° 迹点
一、 各种位置直线的投影
一、直线与投影面的相对位置 “位置” ：指直线在投影面体系中对于投 影面的倾斜态，并非直线的远近、上 下、左右、前后等线性度量关系。
铅垂线 投影面垂直线 正垂线 侧垂线 水平线 投影面平行线 正平线 侧平线
一般位置直线
一、 各种位置直线的投影
二、特殊位置直线的投影特征 • 投影面垂直线和投影平行线， 统称为特殊位置直线。 投影面垂直线的投影特征: 在所垂直的投映面上积 聚成一点，其他两个投影垂 直于相应的投影轴（同时平 行于第三条轴），并且反映 线段的实长。 注意：投影面垂直线指仅垂直 于一个投影面必同时平行于另 外两个投影面的直线。
一、 各种位置直线的投影
铅 垂 线 （⊥H） b b b
α=90° M 有 倾角 β= 0° 迹点 N 无 γ= 0° S 无
一、 各种位置直线的投影
正 垂 线 （⊥V）
α=0°
M
无Hale Waihona Puke 倾角 β= 90° 迹点γ= 0°
N
S
有
无
一、 各种位置直线的投影
侧 垂 线 （⊥W） b b b α=0° M 无
a●
X Z
az
O
●
a
YW
通过作45°线 使aaz=aax
ax
a● 解法二:
YH
Z
a●
X
az
O
●
a
YW
用圆规直接量 取aaz=aax
ax
a●
YH
例4: 已知点A的坐标为（15，5，10）， 画出点A的投影图及空间位置。
a’ ax a YH O aY aY Z az Z a” V a’ A YW X ax a O aY Y X az
倾角 β= 0° 迹点
γ= 90°
N
S
无
有
一、 各种位置直线的投影
投影面平行线
投影特征：在所平行的投影面上反映实长，并且反映于 其他两 个投影面的真实倾角，其他两个投影平行于 相应的投影轴（同时垂直于第三条投影轴）。
注意：投影面平行线 仅平行于一个投影面
一、 各种位置直线的投影
水 平 线 （∥H）