[精品]2019届高三数学上学期第四次模拟考试试题 理 新人教 版
2019-2020年高三第四次模拟考试数学(理)含答案
答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
．
14．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是
__________
15．已知函数的部分 图像如图，令
则
．
16．给出下列四个命题：
①圆与圆相交；
② 总体的概率密度函数 f(x)=，x∈R 的图象关于直线 为.
A．
B．
C．
D．
12．已知方程在（ 0， +∞）上有两个不同的解 a， b（ a＜ b），则下面结论正确的是
A． sina=acosb B． sina=－ acosb
C ． cosa=bsinb
D． sinb=－ bsina
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做
24.(本小题满分 10 分 ) 选修 4－ 5：不等式选讲 ⑴ 已知都是正数，且，求证： ； ⑵ 已知都是正数，求证： .
银川一中 xx 届高三第四次模拟考试数学 (理科 )参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
D
A
A
C
B
A
B
C
C
D
B
B
二、填空题：
13. 6 14. . 15、 0．
16、①②③
17、【解】 （Ⅰ） f ( x)
3 sin( x) 2 1 cos( x) m 2sin( x ) 1 m.
0) 的最小正周期为 ,当 时，函数的最小
2019届高三上学期第四次月考数学试卷
2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷一、选择题（60分）1.已知全集R U =， 集合{}022>-=x x x A ，{()}11lg +-==x y y B ， 则()=BA CUIA.[]2,0B.()2,1C.(]2,1D. ()2,02.若复数z 满足()i i z -=+⋅112（i 是虚数单位），则z 的虚部为A ．21B ．21-C ．i 21D ．i 21-3.已知θ为锐角,212cos 12cos 1=+-θθ ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πθ的值为A.462+ B.663+ C.6323+ D.42-6 4.几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积为 A.32 B.34 C.1 D. 38 5.已知球O 的半径为R ，A ,B ,C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 距离为1R2，AB AC 2==,BAC 120∠=o ,则球O 的表面积为 A.643π B.163π C.649π D.169π6.三棱锥A −BCD 的棱长全相等，E 是CD 中点，则直线AE 与直线BD 所成角的正弦值为 A.63 B.23 C. 21 D. 6337.函数xx x y --=226cos 的图象大致为A. B. C. D.8.已知整数按如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是A ．(4,8)B ．(7,5)C ．(6,6)D ．(5,7) 9.已知1243==ba,则a ,b 不可能满足的关系是A. a +b >4B. ab >4C.a 2+b 2<3D.(a −1)2+(b −1)2>2 10.若函数()()06sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx x f 在区间()ππ2，内没有最值,则ω的取值范围是 A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛32411210，，Y B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3231， C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3241， D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎝⎛3231610，，Y11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11=a ,22=a ，()*211N n a a S n n n ∈-=+++，记()()11121--=+++n n n n a a a b ，数列{}n b 的前n 项和为nT ，若对*N n ∈∀，nT k >恒成立，则k 的取值范围为A. ()1+∞， B.[)1+∞， C. ()0+∞， D. [)2∞， 12.已知函数()x f 的导函数为()x f '，且对任意的实数x 都有()()x f x e x f x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+='-252（e 是自然对数的底数），且()10=f ，若关于x 的不等式()0<-m x f 的解集中恰有唯一一个整数，则实数m 的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2-e B.⎥⎦⎤ ⎝⎛0,43-e C.⎥⎦⎤ ⎝⎛e e 29,43- D.⎥⎦⎤⎝⎛0,2-e 二、填空题（20分）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 ．14.若y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x , 则6122+++=x x y z 的最大值为 ．15.在ABC ∆中,记=，= 且2=BC ,4=BA ,=,21=,则BE 与CD 的夹角为__________．16. 在ABC ∆中, D 是边BC 上的一点, 2=AD ,DC BD 2=,21tan =∠BAD , 31tan =∠DAC ,则=AB __________．三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17.已知向量()2cos ,sin m a x x =v，()cos ,cos n x b x =v，函数()32f x m n =⋅-v v，且()f x 在y 轴上的截距为32，与y 轴最近的最高点的坐标是,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求a 和b 的值； （2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数sin y x =的图象，求ϕ的最小值．18.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若639S S =，2536a a +=，数列{}n b 满足2log n n nb a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和nT .19.如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4． （1）求∠ACP ； （2）若△APB 的面积是233，求BAP ∠sin 的值．20.如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为平行四边形，DP DA =,BP BA = ． （1）求证：BD PA ⊥；（2）若DP DA ⊥,060=∠ABP ，2===BD BP BA ， 求平面DPC 与平面BPC 所成角的余弦值．21.已知函数()x ax x f -=ln ，a 为常数.（1）判断()x f 在定义域内的单调性;（2）若()x f 在[]e ,1上的最小值为23，求a 的值.22.已知()11,y x A ，()22,y x B 是函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=21,121,212x x x x x f 的图像上的任意两点（可以重合），点M 在直线21=x 上，且MB AM =, (1)求21x x +的值及21y y +的值;(2)已知01=S ,当2≥n 时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n f n f n f S n1321Λ,求n S 的表达式； (3)在（2）的条件下，设nSn a 2=，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若存在正整数c 、m ，使得不等式211<--+c T c T m m 成立，求c 和m 的值。
2019年高考数学四模试题 理(含解析)新人教 版新版
2019高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣15．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.99876．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K 的值为10，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．x ＞50？B ．x ＞90？C ．x ＞100？D ．x ＞200？9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（ ） A ．96里 B ．48里 C ．12里 D ．6里10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a ，在（2，4]上的最小值为b ，则a+b=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．212．P 是双曲线C ：x 2﹣y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 2是双曲线C 的右焦点，则|PF 2|+|PQ|的最小值为（ ）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= ．15．下列命题中，正确的命题有．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f （n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．2017年辽宁省实验中学高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．故选：B．2．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可得p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．【解答】解：p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．5．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞2300），从而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故选D．6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×3=6，由题意可知： ==，∴S阴影==．∴=S阴影=．故选B．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设PA=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），P（2，2，2）．所以E（3，1，），F（3，3，），所以=（3，1，），=（﹣1，3，），所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为： =；故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？B．x＞90？C．x＞100？ D．x＞200？【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，K=0执行循环体，x=3，K=2不满足条件，执行循环体，x=9，K=4不满足条件，执行循环体，x=21，K=6不满足条件，执行循环体，x=45，K=8，不满足条件，执行循环体，x=93，K=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出K的值为10．可得判断框内可填入的条件是：x＞90？故选：B．9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为： =；故选C．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．12．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为10 ．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的半径，进而得到直径．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0）圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），可得，解方程可得d=﹣2，e=4，f=﹣20，即圆的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即为（x﹣1）2+（y+2）2=25，即有圆的半径为5，直径为10．故答案为：10．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：15．下列命题中，正确的命题有②④．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n﹣1，相减求得b n=n，可得a n•b n=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n}满足，由b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，①令n=1，则b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，当n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+…+b n﹣2a2+b n﹣1a1=2n﹣1﹣（n﹣1）﹣1，将上式两边同乘公比2得，b1a n+b2a n﹣1+…b n﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：b n a1=n，（n≥2），由a1=2，可得b n=n，对n=1也成立，则a n•b n=n•2n，T n=（1•2+2•22+3•23+…+n•2n），可得2T n=（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1），两式相减可得﹣T n=（2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1）=（﹣n•2n+1），化简可得T n=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得；（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．【解答】解：（1）在△BCP中，在△ABC中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米．（2）在△BCD中，由余弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，所以，山顶位于D处南偏东1350．18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f （n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴g（n）=．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45×1=115（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC⊥BB1．（2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1⊂平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：（2）过点A作AY∥A1B，∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），由，得B1（4，0，2），C1（2，2，2），M为B1C1的中点，M（3，1，2），，设平在ABM的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得平面ABM的法向量，，平面ABA1的法向量，∴，设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角，∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x=﹣的距离为，所以C：y2=4x．（2）设，①设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，②由①②可得4m2==λ++2，由2≤λ≤3可得y=λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点（2m2﹣1，2m），所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在[0，π]上的增减性；（2）由（Ⅰ）的单调性，设，推导F（x）的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f（x）的导数为f′（x）=2﹣2ax﹣bsinx，可得⇔⇔，所以，①当时，1﹣x ≥0，1﹣sinx ≥0，可得f′（x ）＞0，所以f （x ）在为增函数；②当时，，所以f （x ）在为减函数；（2）由（1）得f （x ）在为增函数，在上为减函数，所以，由f'（x ）在恒为负，，设，则，所以F'（x ）＞0，所以F （x ）在递增，，当时，f （x ）＜f （π﹣x ），所以f （x 1）＜f （π﹣x 1），又f （x 2）=f （x 1），所以，又f （x ）在上为减函数，所以x 2＞π﹣x 1，所以x 1+x 2＞π，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ．（1）若曲线为参数）与曲线C 1相交于两点A ，B ，求|AB|；（2）若M 是曲线C 1上的动点，且点M 的直角坐标为（x ，y ），求（x+1）（y+1）的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，代入化简即可得出．【解答】解：（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，得，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，则，∴．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数）则（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，那么，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；（2）求出x+y=1﹣z，根据z的范围，求出u的最小值即可．【解答】解：（1）|ax﹣1|≤2⇒﹣2≤ax﹣1≤2⇔﹣1≤ax≤3，当a＞0时，，当a＜0时，，此时无解，当a=0时，也无解．（2）由x+y+z=1⇒x+y=1﹣z，z∈（0，1），则，所以，此时．。
高三数学第四次考试试题 理(含解析)(新版)人教版
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————2019届高三第四次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则下列命题中错误的是（）A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应点再第一象限【答案】C【解析】=故A对；故B对；的虚部为1，故C错；在复平面上对应点为在第一象限，故D对；故选C2. 集合，则的子集个数是（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】集合A={x|x2-7x＜0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}， ={1，2，3，6}，故B有16个子集，故选 C．3. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B.....................故选B4. 命题：“若，则且”的逆否命题是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】C【解析】根据逆否命题的写法可得命题：“若，则且”的逆否命题是若或，则故选C5. 已知向量，则是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件故选C6. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（）小时.A. B. C. D.【答案】D故选D7. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得或，因为所以，，所以=故选C8. 函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A，B。
当时，，所以，排除D。
选C。
9. 已知点的坐标满足不等式，为直线上任一点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点M的坐标(x,y)满足不等式组的可行域如图：N为直线y=−2x+2上任一点,则|MN|的最小值,就是两条平行线y=−2x+2与2x+y−4=0之间的距离：故选B10. 若函数的图象关于直线对称，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】又且关于点对称，从而本题选择A选项.11. 已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】曲线右焦点为，周长要使周长最小，只需最小，如图：当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.12. 已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当n=2时，的所有非空子集为：{, ∴和为S=当n=3时，∴和为S=当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2n-1-1个非空子集，S1=当最小值为不含含共n-2个元素，有2n-2-1个非空子集，S2=∴=S1+S2+S3+…+S n=+则的最小正整数为13故选B点睛：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，则的最大值为__________．【答案】-2【解析】当时取等号故答案为-214. 已知向量满足且，则的最小值为__________．【答案】【解析】=所以的最小值为故答案为15. 若，则的解集为__________．【答案】【解析】，令所以在递减，在递增，且即为,所以故解集为故答案为16. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___．【答案】【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,则，设PA的倾斜角为α,则sinα，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1,代入,可得=4(kx−1)，即−4kx+4=0，∴△=16−16=0，∴k=±1，∴P(2,1)，∴双曲线的实轴长为PA−PB=2所以双曲线的离心率为故答案为点睛：本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角中，.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出由此能求出角A．（2）由，利用余弦定理求出AB=3，由此能求出△ABC的面积．试题解析：（1）因为，所以，则，即，由为锐角三角形得.（2）在中，，即，化简得，解得（负根舍去），所以.18. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若在区间上的最大值为，求的值.【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）。
2019届山东高三第四次模拟数学（理）试题
2019届山东师范大学附属中学高三第四次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由A与B，求出两集合的交集即可．【详解】集合，，则，故选：A．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设复数是虚数单位，则A．B．C．D．【答案】B【解析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．命题，的否定是A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案【详解】全称命题的否定为特称命题，命题，的否定是，，故选：C．【点睛】本题考查了命题的否定，属于基础题．4．在等差数列中，，则数列的前11项和( )A．8 B．16 C．22 D．44【答案】C【解析】本道题利用,得到,再利用,计算结果,即可得出答案.【详解】利用等差数列满足,代入,得到,解得,故选C.【点睛】本道题考查了等差数列的性质,利用好和,即可得出答案. 5．在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则A．1 B．C．D．【答案】D【解析】通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值．【详解】在中，又所以为AD的中点故选：D．【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．6．如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由三视图可知高为,应选B7．设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则A．2 B．1 C．D．【答案】C【解析】根据题意，由函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性可得的值，则有，结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，当时，，则，又由函数为奇函数，则，，故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数值的计算，关键掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8．定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数（），的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为；又函数为偶函数，∴，，解得，；当时，取得最小值是，故选B.9．已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：说明S在底面上的射影是AB的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．详解：由题意，点S在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，由于AD=1，SD==，则（﹣R）2+12=R2，解得R=，则S球=4πR2=故选：A．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.10．函数的图象大致是A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D．【详解】，函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故排除B ，C ， 当时，，，单调性是增减交替出现的，故排除，D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题． 11．已知抛物线2:4C y x =上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且2AF >，则A 点到原点的距离为（ ） A ．3 B ．42 C ．4 D ．43 【答案】 B【解析】试题分析：设(,)A x y ，则2115544144y x y y y y ++=⇒=⇒==或（舍AF>2），所以(4,4)A ，到原点的距离为42，选B ．【考点】抛物线定义【方法点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标． 2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋2p；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 12．已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是A ．B ．2C ．D ．2【答案】B【解析】根据题意，设圆心到直线的距离为d；由直线与圆相交的性质可得，则有；设与的夹角即，由数量积的计算公式可得，变形可得，则，结合直线与圆的位置关系分析可得，解可得，综合可得答案．【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为d；若直线与圆交于不同的两点A，B，则，则有；设与的夹角即，若，即，变形可得，则，当时，，若，则，解可得，则k的取值范围为；故选：B．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．二、填空题13．设是等比数列的前n项和，若，则______．【答案】【解析】根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列前n项和的性质可得，解可得，进而可得，相比即可得答案．【详解】根据题意，设等比数列的公比为q，若，则，解可得，则，则；故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n项和公式，属于基础题．14．设实数x、y满足约束条件，，则的最大值是______．【答案】【解析】先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可【详解】由约束条件画出可行域如图：目标函数可化为：得到一簇斜率为，截距为z的平行线要求z的最大值，须满足截距最大当目标函数过点C时截距最大又，点C的坐标为的最大值为：故答案为：5【点睛】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度属简单题15．若正数x，y满足，则的最小值是______．【答案】【解析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．16．已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，设，，即有，且，，，，由，可得，则，可得，即有，则，即有．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知，设.（1）求的解析式及单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）利用数量积的坐标运算可以得到，再逆用二倍角公式和两角和的正弦得到，最后令解出的范围即为的单调递增区间.（2）根据可以得到，再用余弦定理求出，故面积为.解析：（1）因为，令，解得，所以的单调递增区间为.（2）由可得，又，所以，，解得.由余弦定理可知，所以，故，所以.18．数列的前项和为，已知，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) 2n−1；（2）Tn=6+(2n−3)×．【解析】试题分析：（1）因为，变形后为也即是，所以是一个等差数列且公差为2，再利用成等比数列可以得到，所以的通项为.（2）计算可得，它是等差数列和等比数列的乘积，用错位相减法求其前项和.解析：（1）因为，所以，故数列是公差为的等差数列；又成等比数列，所以，解得，故.（2）由（1）可得：，故，又，由错位相减法得：，整理得：.19．四边形是菱形,是矩形,,是的中点（I）证明:（II）求二面角的余弦值.【答案】（I）略；（II）【解析】试题分析：（I）利用中点的性质进行分析即可；（II）以为原点，所在直线为x轴，所在直线为Y轴，所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，通过向量有关知识进行计算即可.试题解析：（I）证法一: 设,的中点为，因为是的中点，是平行四边形证法二：因为是的中点，；（II）设的中点为，是矩形，，，四边形是菱形，]以为原点，所在直线为x轴，所在直线为Y轴，所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为令，设二面角的大小为则【考点】空间向量在立体几何中的应用 【方法点睛】利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．20．如图，设椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 28y x=的焦点F 重合，且椭圆1C 的离心率是3．（Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；（Ⅱ）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ， B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ，求ABC ∆面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）2214x y +=; （Ⅱ）ABC ∆面积的最小值为9， 52x y =+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a ，再由离心率可求得c ，从而得b 值，得标准方程；（Ⅱ）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线l 方程为2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，把直线方程代入抛物线方程，化为y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，由弦长公式得AB ，同样过F 与直线l 垂直的直线方程为()2y m x =--，同样代入椭圆方程，利用韦达定理得1212,x x x x +，其中12x =， 2x是C 点的横坐标，于是可得FC ，这样就可用m 表示出ABC ∆的面积，(2216141m S m +=+t =，用换元法把S 表示为t 的函数，利用导数的知识可求得最大值. 试题解析：（Ⅰ）∵椭圆1C ： 22221(0)x y a b a b+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ： 28y x =的焦点F 重合， ∴2a =，又∵椭圆1C的离心率是2，∴c =， 1b =， ∴椭圆1C 的标准方程为2214x y +=． （Ⅱ）过点()2,0F 的直线l 的方程设为2x my =+，设()11,A x y ， ()22,B x y ， 联立22,{8,x my y x =+=得28160y my --=，∴128y y m +=， 1216y y =-， ∴()281AB m ==+．过F 且与直线l 垂直的直线设为()2y m x =--，联立()222,{1,4y m x x y =--+=得()222214161640m x m x m +-+-=，∴2216214C m x m +=+，故()2224141C m x m -=+，∴2441C F CF x m =-=+， ABC ∆面积()221611241m S AB CF m +=⋅=+t =，则()321643t S f t t ==-， ()()()42221649'43t t f t t -=-， 令()'0f t =，则294t =，即2914m +=时， ABC ∆面积最小，即当5m=±时，ABC∆面积的最小值为9，此时直线l的方程为52 x y=±+．21．已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即，有且只有一个根，令，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设，因为在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围试题解析：（1）当时,, 故在上单调递减,上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上．（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范围是．（3）不妨设,则恒成立．因此恒成立, 即恒成立,且恒成立, 因此和均在上单调递增,设,则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此．综上述,．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为上任意一点,求的最小值,并求相应的点M的坐标.【答案】（1），；（2）当M为或时原式取得最小值1.【解析】试题分析：（1）由直线的参数方程为，消去参数即可求得直线的方程；由即可求得圆的方程为；（2）先跟据伸缩变换得到曲线的方程，然后设点为带入，再根据三角函数的性质即可求得结果. 试题解析：（1），故圆的方程为 直线的参数方程为，直线方程为（2）由和得设点为则所以当或时，原式的最小值为.【考点】极坐标方程；参数方程的应用. 23．选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3． （1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围． 【答案】(1) 3a b +=；(2)132a <<． 【解析】试题分析：(1)由绝对值不等式()()x a xb x a x b a b --+≤--+=+可得max ()3f x a b =+=；（2）对于x a ∀≥均有()()g x f x <等价于max min ()()g x f x < ，分别求()g x 的最大值与()f x 的最小值，解不等式即可．试题解析：（1）()()()f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，……2分 所以()f x 的最大值为a b +，∴3a b +=，……4分（2）当x a ≥时，()()3f x x a x b x a x b a b =--+=--+=--=-，……6分 对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于()max ,3x a g x ∀≥<-成立， ∵()g x 的对称轴为2ax a =-<，∴()g x 在[),x a ∈+∞为减函数，∴()g x 的最大值为()22223g a a a b a a =---=-+-，……8分∴2233a a -+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为,0,3a ob a b >>+=，所以132a <<．……10分 【考点】1．绝对值不等式的性质；2．函数与不等式．。
高三数学上学期第四次模拟考试试题 理 新人教 版(1)
2019学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ︒600sin 的值为（ ）A.21 B.23 C. 21- D . 23-2. 已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且b a ρρ⊥，则x =( )A. –3B. –1C. 1 D . 33. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．1B ．5C ．7D ． 9 4.函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B. (34,∞) C.（1，+∞）D. (34,1)∪（1，+∞） 5. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“函数xxae e a x f +-=1)(在定义域上是奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6. 函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A.10B.47 C.87D.87. 设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．23 B ．1 C ．32D ．3 8. 设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；9. 如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=o，45ABD ∠=o，CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的值为（ ）A ．13- B． C ．23D．10. 04cos50tan 40-= （ ）ABCD．1 11. 已知等比数列{}n z 中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且0>y ），则数列{}n z 的前2019项的和为（ ）第9题图A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+ 12. 直线m y l =:（m 为实常数）与曲线E ：|ln |x y =的两个交点A ，B 的横坐标分别为21,x x ，且21x x <，曲线E 在点A ，B 处的切线PA ，PB 与y 轴分别交于点M ，N ，有下面5个结论：①212x x +的取值集合为),22(+∞; ②△PAB 可能为等腰三角形；③若直线l 与y 轴的交点为Q ，则1||=PQ ；④当1x 是函数x x x g ln )(2+=的零点时，||（O 为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13. 抛物线24y x =的准线方程为_____________14. 设数列}{n a 的通项公式为12-⋅=n n n a )(*N n ∈，则其前5项的和为______15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为______________16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 21，则当c b b c +取得最大值时，角A 的值为______________三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）设函数x x x x f 2cos cos sin 32)(+⋅=，R x ∈（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）保持函数)(x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数)(x g 的图象。
2019届高三数学上学期第四次模拟考试试题 理 新人教 版(1)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ︒600sin 的值为（ ）A.21 B.23 C. 21- D . 23-2. 已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且b a⊥，则x =( )A. –3B. –1C. 1 D . 33. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．1B ．5C ．7D ． 9 4.函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B. (34,∞) C.（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞） 5. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“函数xxaee a xf +-=1)(在定义域上是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6. 函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A.10B.47C.87D.87. 设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．23 B ．1 C ．32D ．3 8. 设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D .若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；9. 如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为（ ） A ．13- B．C ．23D．10. 04cos50tan 40-= （ ） ABC．1 11. 已知等比数列{}n z 中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且0>y ），则数列{}n z 的前2019项的和为（ ）A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+ 12. 直线m y l =:（m 为实常数）与曲线E ：|ln |x y =的两个交点A ，B 的横坐标分别为21,x x ，且21x x <，曲线E 在点A ，B 处的切线PA ，PB 与y 轴分别交于点M ，N ，有下面5个结论： ①212x x +的取值集合为),22(+∞;第9题图②△PAB 可能为等腰三角形；③若直线l 与y 轴的交点为Q ，则1||=；④当1x 是函数x x x g ln )(2+=的零点时，||（O 为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13. 抛物线24y x =的准线方程为_____________14. 设数列}{n a 的通项公式为12-⋅=n n n a )(*N n ∈，则其前5项的和为______15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围为______________16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 21，则当c b b c +取得最大值时，角A 的值为______________三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）设函数x x x x f 2cos cos sin 32)(+⋅=，R x ∈（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）保持函数)(x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数)(x g 的图象。
2019届高三上学期四模考试数学(理)试卷
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.） 1．设i 为虚数单位，复数z 满足错误！未找到引用源。
，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ． 1-iB ． -1-iC ． 1+iD ． -1+i2.下列说法不正确的是 （ ）A. 若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题B. 命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C. “2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D. 0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减3. 数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
的大小为（ ）．A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
5. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c .若角,,A B C 依次成等差数列,且1,a b ==则ABC S ∆=（ ）A ．．．． 26. 某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为 则正视图中x 的值为（ ）A ．5B ． 4C ．3D ． 27．椭圆错误！未找到引用源。
和直线错误！未找到引用源。
，若过错误！未找到引用源。
的左焦点和下顶点的直线与错误！未找到引用源。
平行，则椭圆错误！未找到引用源。
的离心率为A ． 错误！未找到引用源。
B ． 错误！未找到引用源。
C ． 错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值 是2513，则（ ） A ． a=11 B ． a=12 C ． a=13 D ． a=14 9．已知ABC ∆中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅的最小值为（ ）A ． 4-B ． 2-C ． 1-D ． 010. 已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x)，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x)，f(x)＝a ·b ，要得到y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( ) A ．向左平行移动π6个单位B ．向右平行移动π6个单位C ．向左平行移动π12个单位D ．向右平行移动π12个单位11．三棱锥错误！未找到引用源。
最新2019届高三四模考试数学(理)试题
第I卷（选择题)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|}．则M∩N=（）A．{0,1} B．{-1,0} C．{1,2} D．{-1,2}3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年减少C．各年的月接待游客量高峰期大致在月D．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定5．在等差数列{a n}中，若2a8＝6+a11，则a4+a6＝（）A．6 B．9 C．12 D．186.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋47．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤ B ．2x ≤ C ．3x ≤D ．4x ≤8. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.310109. 已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） A ．2xx y =B ．22xy =- C ．e xy x =- D ．|2|2x y x =﹣10．将函数f （x ）＝2sin （2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）为偶函数，则函数y ＝f （x ）在的值域为（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣1，1]C ．D ．11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,抛物线24y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ,若212||||PF F F =,则双曲线的离心率为 A ．B ．1+C ．D ．12．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（ ）A ．-3B ．-4C ．-5D ．第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知，，与的夹角为，则__________．14．若，则__________．15．数列满足：的前项和为，则 _______.16．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ，则111a b++的最小值为_______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17.(本小题满分12分)已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127．6,140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．附：．若，则，．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．（1）若，求证：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且．求椭圆C 的标准方程；若直线l ：交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 直线l 的极坐标方程为244sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 4y x （α为参数），（1）将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线错误！未找到引用源。
全国通用-2019年最新数学理科第四次高考模拟检测试题及答案解析
最新高三四模考试数学（理科）试卷一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每小题5分，共60分） 1、设集合A={}2|4,x x > B={}2|230x x x +-< ，则A ∩B=（） A.R B.(2,3) C.(-3,-2) D.(-3,-2)∪(2,+∞) 2、已知i 为虚数单位，（2+i ）z =1+2i ，则z 的共轭复数z =( )A.4355i + B. 4355i - C. 43i + D. 43i - 3、已知1cos()33πα+= ，则cos(2)3πα-=（ ）A. 79B.79- C.19 D.19-4、下列说法正确的是（ ）A ． 在ABC ∆中，AB <是sin sin A B <的充要条件B ． 0a b ⋅< 是 a 与b 夹角为钝角的充要条件 C ． 若直线,a b ，平面,αβ满足,a ααβ⊥⊥，,b b αβ⊄⊄则a b ⊥能推出b β⊥ D. 在相关性检验中，当相关性系数r 满足||0.632r >时，才能求回归直线方程5、设,x y 满足约束条件202400x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3x+2y的最大值为（ ） A.-1 B.4 C.223D.8 6、若输出的i=5,则k 的最小正整数值为（ ）A.88B.89C.8095D.80967、已知1，2，3，4，5，6， 六个数字，排成2行3列，且要求第一行的最大数比第二行的最大数要大，第一行的最小数要比第二行的最小数也要大，则所有的排列方法种数有（ ）A. 144B.480C.216D.432 8、一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.112B.16C.14D.139、已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ） A.33 B. 43 C. 6 D. 810、已知函数(1)f x +为定义在R 上的偶函数，且当()f x 在[)1,+∞上为增函数，若0.10.1,21,12a b -=-=-，则()f a 与()f b 的大小关系为（）A. ()f a >()f bB. ()f a <()f bC. ()f a =()f bD. ()f a 与()f b 的大小不确定 11、三棱锥S-ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，若SB=SC ，AB=AC=1且∠BAC=120︒,SA 与底面ABC 所成角为60︒,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为（）A. 2πB.3πC. 4πD.5π12、已知函数()ln 1xf x e mx ex x =--+，且定义域为(]0,e ，若函数()f x 在定义域内有两个极值点，则m 的取值范围为（）A.0,2ee e ⎡⎤-⎣⎦B. (0,2e e e ⎤-⎦C.()0,2ee e -D. ()2,e e e -+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知等边ABC ∆的边长为2，M 为AC 中点，N 为BC 中点，AN BM ⋅ =___________ 14、已知函数()sin cos f x a x b x =+ ，若()()4f x f π≤对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间为_________________ ()k Z ∈15、已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点分别记为12,F F ,若P 为双曲线的渐近线上一点，若1212||||PF PF PF PF +=- ,且2||PF a =（a 为实半轴长），求双曲线的离心率____________ 16、在曲线xy=1上，横坐标为1n n +的点为n A ，纵坐标为1nn +的点为n B ，记坐标为 （1，1）的点为M ，n P (,)n n x y 是n n A B M ∆的外心，n T 是{}n x 的前n 项和，则n T =_______________三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17、已知{}n a 的前n 项和为n S ,且1321n n S S n +=++ ，11a =， （1）求n a （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，且12AA AB =，D 、M 分别为AB ，1CC 的中点，求证：（1）CD 平面1A BM （2）求二面角1A BM D --的大小的余弦值B 1DMC 1BACA 1第18题图19、2015年2月27日，中央全面深化改革小组审议通过了《中国足球改革总体方案》，中国足球的崛起指日可待！已知有甲、乙、丙三支足球队，每两支球队要进行一场比赛，比赛之间相互独立.（1）若甲、乙、丙三支足球队实力相当，每两支球队比赛时，胜、平、负的概率均为13， 求甲队能保持不败的概率（2）若甲、乙两队实力相当，且优于丙，具体数据如下表若获胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，记X 表示甲队的积分，求X 的分布列和数学期望20、已知椭圆C:22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F过1F 作不与x 轴重合的直线1l ，与椭圆C 交于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为42. （1） 求椭圆C 的标准方程（2） 过1F 作与直线1l 垂直的直线2l ，且2l 与椭圆C 交于点,N M 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围甲胜乙 甲平乙 甲输乙概率 13 13 13甲胜丙 甲平丙 甲输丙 概率23 16 16乙胜丙 乙平丙 乙输丙概率23 16 16事件 概率事件 概率事件概率21、已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+-- ，a R ∈ （1）若0a =时，求()f x 在1x =处的切线（2）若函数()0f x > 对(1,)x ∀∈+∞恒成立. 求a 的取值范围（3）从编号为1到2015的2015个小球中，有放回地连续取16次小球 （每次取一球），记所取得的小球的号码互不相同的概率为p ，求证：12020111e p>请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ( 22 ) 选修 4- l ：几何证明选讲己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数的最小正周期为 .【知识点】三角函数的周期性及其求法. 【答案解析】解析 ：解：函数的最小正周期为. 【思路点拨】根据的周期等于，求得结果．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数满足（为虚数单位），∴()()211223i i i z i i i -++=+=+=--，∴，故答案为：．【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】解析 ：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：．故答案为. 【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析 ：解：因为,所以，，则. 所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ 7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为， ∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率． 故答案为：．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则 . 【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域第5题将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得33k xk y， 代入− +3×(−)＝8，∴． 故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若, 则AB 的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法. 【答案解析】解析 ：解：∵1,,2AC AB AD BEBC CE ADAB ∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ， ∴，＞0，解得＝．故答案为：．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：， ∴棱长为的正四面体的外接球半径为． 所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________． 【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】解析 ：解：当x ＞0时，与题意不符， 当时，又∵是定义在上的奇函数，∴1221x x f x f x f x f x ，，，1121<222x x ，＜，不等式的解集是．故答案【思路点拨】是指定义在R 上的函12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ． 33b 解得为：．33，求13．已知实数满足，则的最大值为 ． 【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析 ：解：∵， ∴41322x y xy x y ,则 解得：∴的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求． 14．数列满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ． 【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1 则,由累加法得：2n1nn1a a 22222解得,显然，当n=1时也适合，故．故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为, 故121222201412n n nS ，解得，则满足的值为的最小正整数n s n 2014 10，故答案为10. 【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示⑵若,,弦函数．【答案解析】⑴ ⑵解析 ：解：⑴由三角函数的定义知 ∴.又由三角函数线知,为第一象限角，，24116177tan 224173177. (2) ，∵，ABCFE D∴． ∵sinsin cos cos sin ＝＝．又∵，∴＝．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求； （Ⅱ）由，求出的正弦值，根据，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a 3 解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △CEF ＝DC •CF ＝×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PCEF ＝V P −CEF ＝PQ •S △CEF ＝•4a 2•2a ＝a 3．（注：本题亦可利用V P −CEF ＝V B −CEF ＝V E −BCF ＝V D −BCF ＝DC •BC •CF ＝a 3求得） 【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S △CEF ＝DC •CF 的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点恰B好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程． 【答案解析】（1）（2）解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由, 解得F （3,0）…………… 2分设椭圆的方程为, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.…………… 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以,…………… 8分 从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, …………… 10分 又直线被圆截得的弦长为L ===分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝，AB ＝1，BC ＝．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△MN ，使顶点落 在边BC 上(点和B 点不重合).设∠AMN ＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：解：（1）设，则．…………2分 在Rt △MB 中，，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，点和B 点不重合，∴…7分 (2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= ,∴根据正弦定理得：2sinsin3ANMA ，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t ，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当时，有最大值,则θ=60°时，AN 有最小值为，即线段长度的最小值为．【思路点拨】（1）设，则，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数（），．(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）（2）（3） 解析 ：解：（1）因为，所以，令 得：，此时，…………2分 则点到直线的距离为，即=4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个， 等价于（1-a 2）x 2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a 2＜0，令h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a 2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得． 解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2） x 2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a 2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a 2） x 2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0， 所以 ，又因为 0＜＜1， 所以 −3≤＜−2，解之得．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点． …………12分 设与存在 “分界线”，方程为， 由，对x ∈R 恒成立， 则在x ∈R 恒成立．所以成立，因此 k=．…（10分） 下面证明恒成立． 设，则．所以当 时，G ′（x ）＞0；当 x ＞ 时，G ′（x ）＜0． 因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则成立． 故所求“分界线”方程为：．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F (x )＝f (x )−g (x )＝x 2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出时，F （x ） 取得最小值0．设f （x ）与g （x ）存在“分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，求得k=．再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析 ：解：（1）………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由，得……………………………………………………7分 当时，，由，所以数列为等差数列………9分（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列 中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=即………………………………………………………………13分 记则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+2+…………+2=，所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分25130 622A 截37186 9142 酂31381 7A95 窕F 21112 5278 剸433444 82A4 芤21558 5436 吶25939 6553 敓27809 6CA1 没x}30765 782D 砭q。
2019届高三数学第四次模拟考试试题 理(无答案)新 人教
2019届高三数学第四次模拟考试试题 理（无答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则AB =（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．若实数x ，y 满足不等式组，则x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．44．设函数f （x ）=，则f （27）+f （﹣log 43）的值为（ ）A ．6B ．9C ．10D ．125．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列， 设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10的值为（ ）A ．110B ．90C ．55D ．45 6．执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S 值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞9．则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,010．已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=3，对角线AC 与BD 的交点为O ，把菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的表面积为（ ）A ．15πB ．C ．D ．7π12．已知函数f （x ）在定义域R 内是增函数，且f （x ）＜0，则g （x ）=x 2f （x ）的单调情况一定是（ ） A ．在（﹣∞，0）上递增 B ．在（﹣∞，0）上递减 C ．在R 上递减 D ．在R 上递增二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．621⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为__________．14．已知2,1==b a ，且()b a a -⊥，则向量a与向量b 的夹角为15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为16．已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上的两点A ，B 满足=3，若弦AB 的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角A 的值；（2）若∠B=，BC 边上中线AM=，求△ABC 的面积．18．某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失．（Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率；（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率； （Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1ABC △为边长为2的等边三角形，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，四边形11AAC C 为菱形，1160AAC ∠=︒，1AC 与1A C 相交于点D ．（1）求证：1BD A C ⊥；（2）求二面角1C AB C --的余弦值．20．椭圆C ：过点P （，1）且离心率为，F 为椭圆的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，定点A （﹣4，0）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若△AMN 面积为3，求直线MN 的方程．21．已知函数()()2ln 0f x x a x a =->．（1）讨论函数()f x 在(),a +∞上的单调性；（2）证明：322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线（t 为参数），以原点为极点，以x 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）写出曲线C 1的普通方程，曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若M （1，0），且曲线C 1与曲线C 2交于两个不同的点A ，B ，求的值．[选修4-5：不等式选讲] 23．设f （x ）=|3x ﹣2|+|x ﹣2|． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤8；（Ⅱ）对任意的非零实数x ，有f （x ）≥（m 2﹣m+2）•|x|恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.【解析】根据集合的交集的概念得到{}|01A B x x =<<，故答案为：D ．2.【解析】()2212i 12i 144i 34iz z =+⇒=+=-+=-+，所以复数2z 对应的点为()3,4-，故选A ．3．【解答】解：由z=x ﹣2y 得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A 时，直线y=的截距最小，此时z 最大，由，得，即A （4，0）代入目标函数z=x ﹣2y ，得z=4，∴目标函数z=x ﹣2y 的最大值是4．故选：D ．4．【解答】解：f （27）=log 927==， f （﹣log 43）=+=3+，则f （27）+f （﹣log 43）=+3+=6，故选：A5．【解答】解：∵等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴，∴（a 1+3×2）2=（a 1+2）（a 1+7×2），解得a 1=2，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10=10a 1+=10×2+=110．故选：A ．6．【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=5，S=1，i=1 执行循环体，S=6，i=2不满足条件i ＞5，执行循环体，S=，i=3 不满足条件i ＞5，执行循环体，S=4，i=4不满足条件i ＞5，执行循环体，S=，i=5不满足条件i ＞5，执行循环体，S=，i=6满足条件i ＞5，退出循环，输出S 的值为．故选：C ．7．【解答】解：根据题意，双曲线C：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，则e==2，即c=2a ，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有b=，又由c 2=a 2+b 2，即4a 2=a 2+3， 则有a 2=1，则双曲线的方程为：x 2﹣=1；故选：B ．8．【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点， 且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ． 9．【解析】由题意得A =()26282ωωππ=⨯+⇒=把点(2,-代入方程可得34ϕπ=-()g x 的一个对称中心为()10,0，故选C ．10．【解答】解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y 那么就会有： 0≤x ≤60， 0≤y ≤60， |x ﹣y|＜30，就是等待事件，否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待， 外面的两个三角形面积是不等待， ∴至少有一辆车需要等待装货物的概率 p=；故选：D ．11．【解答】解：菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=3，三角形ABD 的外接圆的半径为： =，内切圆的半径为：，对角线AC与BD的交点为O ，把菱形ABCD 沿对角线BD 折起，使得∠AOC=90°，则折得的几何体的外接球的半径为： =．外接球的表面积为：4=15π．故选：A ．12．【解答】解：∵函数f （x ）在定义域R 内是增函数∴f'（x ）＞0在定义域R 上恒成立∵g （x ）=x 2f （x ）∴g'（x ）=2xf （x ）+x 2f'（x ）当x ＜0时，而f （x ）＜0，则2xf （x ）＞0，x 2f'（x ）＞0所以g'（x ）＞0即g （x ）=x 2f （x ）在（﹣∞，0）上递增当x ＞0时，2xf （x ）＜0，x 2f'（x ）＞0，则g'（x ）的符号不确定，从而单调性不确定故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．36621661C C2r rrr r rrT x x--+⎛⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎝，令3602r-=，得4r=，∴常数项为446115216C⎛⎫-=⎪⎝⎭．14．因为，所以即15．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积S=4×8=32，高h=4，故体积V==，故答案为：16．【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣，y2），由=3，则﹣x1=3（x2﹣），则3x2+x1=2p，①，整理得：k2x2﹣（k2+2）px+=0，由韦达定理可知：x1+x2=，②x1x2=，③由①②解得：x1=，x2=，代入③，解得：k2=3，则x==，M到准线的距离d=x+=，∴=，解得：p=4，∴抛物线的方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．三、解答题：本大题共5小题，共70分．17．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．【解答】解：（I）设一天生产的2件产品都为一等品为事件A，则P（A）=0.52=0.25，∴在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率P=0.25×0.25×0.75×=．（II）设一天中生产的2件产品中，有一件是一等品为事件B，另一件是一等品为事件C，则P（BC）=P（A）=0.25，P（B）=0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75，∴该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为P（C|B）==（III）ξ的可能取值为8000，7000，6000，2000，1000，﹣4000，ξ的分布列为：E （ξ）=8000×+7000×+6000×+2000×+1000×+（﹣4000）×=6000．19．【解析】（1）已知侧面11AAC C 是菱形，D 是1AC 的中点，∵1BA BC =，∴1BD AC ⊥，··2分 因为平面1ABC ⊥平面11AAC C ，且BD ⊂平面1ABC ，平面1ABC 平面111A A C C A C =， ∴BD⊥平面11AAC C ，∴1BD A C ⊥．···········4分 （2）如图，以D 为原点，以DA ，DB ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知可得12AC =，1AD =，1BD A D DC ===BC = ∴()0,0,0D ，()1,0,0A ，(B ，()11,0,0C -，()C ·····6分 设平面ABC 的一个法向量(),,x y z =m ，(1,0,AB =-，(0,BC =由0AB ⋅=m ，0BC ⋅=m ，得···········8分因为平面1ABC ⊥平面11AACC ，11AC AC ⊥，∴CD ⊥平面1ABC ，所以平面1ABC的一个法向量是(0,DC =5,>5DC BD DC⋅==m···········11分即二面角1C AB C --···········12分 20．【解答】解：（1）由题意可得：=1， =，又a 2=b 2+c 2，联立解得：a 2=6，b 2=2，c=2．∴椭圆C 的方程为：．（2）F （2，0）．①若MN ⊥x 轴，把x=2代入椭圆方程可得： +=1，解得y=±．则S △AMN ==2≠3，舍去．②若MN 与x 轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN 的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m 2+3）y 2+4my ﹣2=0．∴y 1+y 2=﹣，y 1•y 2=，∴|y 1﹣y 2|===．则S △AMN ==3×=3，解得m=±1．∴直线MN 的方程为：y=±（x ﹣2）．21．【解析】（1）解：()2ln f x x a x =-，得20x a =>，· 1分 ①当2a a ≤，即01a <≤时，则()0f x '>，()f x ∴在(),a +∞上单调递增；···········3分②当2a a >，即1a >时，令()0f x '>，得2x a >；令()0f x '<，得2a x a <<．()f x ∴在()2,a a 上单调递减，在()2,a +∞上单调递增．综上，当01a <≤时，()f x 在(),a +∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()2,a a 上单调递减，在()2,a +∞上单调递增．···········5分 （2）证明：先证322ln x x x x -≥．当1a =时，()ln f x x x =-， 由（1）可得当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．()()min 11f x f ∴==，ln 1x x ∴-≥，322ln x x x x ∴-≥． 8再证322ln 16200x x x x --+>．设()322ln 1620g x x x x x =--+，则()()33232ln 16201620g x x x x x x x x x =+--++-+≥，当且仅当1x =时取等号． 设()321620h x x x x =+-+(0)x >，则()()()23216382h x x x x x '=+-=+-，∴当2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增；令()0h x '<，得02x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减．()()min 20h x h ∴==．()()0g x h x ∴≥≥，又此不等式中两个等号的成立条件不同，故()0g x >，从而322ln 16200x x x x --+>得证．综上可得322ln x x x x -≥且322ln 16200x x x x --+>．···········12分22．【解答】解：（Ⅰ）将y=t ，代入x=1+t ，整理得x ﹣y ﹣1=0，则曲线C 1的普通方x ﹣y ﹣1=0；曲线，则1=+ρ2sin 2θ．由，则曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）由，整理得：3x 2﹣4x=0，解得：x=0或x=，则A （0，﹣1），B （，），∴丨MA 丨==，丨MB 丨==，∴丨AB 丨==，∴==，∴的值．23．【解答】解：（Ⅰ）当x ≤时，原不等式可化为﹣（3x ﹣2）﹣（x ﹣2）≤8，解得x ≥﹣1，故此时﹣1≤x ≤；当＜x ≤2时，原不等式可化为3x ﹣2﹣（x ﹣2）≤8，解得x ≤4，故此时＜x ≤2；当x ＞2时，原不等式可化为3x ﹣2+x ﹣2≤8，即x ≤3，故此时2＜x ≤3． 综上可得，原不等式的解集为{x|﹣1≤x ≤3}．（Ⅱ）对任意的非零实数x ，有f （x ）≥（m 2﹣m+2）•|x|恒成立，则不等式可化为：m 2﹣m+2≤|3﹣|+|1﹣|恒成立．因为|3﹣|+|1﹣|≥|3﹣+﹣1|=2，所以要使原式恒成立，只需m 2﹣m+2≤2即可，即m 2﹣m ≤0．解得0≤m ≤1．。
高三数学上学期第四次模拟考试试题 理 新人教 版(1)
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————2019学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. ︒600sin 的值为（ ）A.21 B.23 C. 21- D . 23-2. 已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且b a⊥，则x =( )A. –3B. –1C. 1 D . 33. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．1B ．5C ．7D ． 9 4.函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B. (34,∞) C.（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞） 5. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“函数xxaee a xf +-=1)(在定义域上是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6. 函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A.10B.47C.87D.87. 设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．23 B ．1 C ．32D ．3 8. 设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D .若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；9. 如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为（ ） A ．13- B．C ．23D．10. 04cos50tan 40-= （ ） ABC．1 11. 已知等比数列{}n z 中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且0>y ），则数列{}n z 的前2019项的和为（ ）A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+ 12. 直线m y l =:（m 为实常数）与曲线E ：|ln |x y =的两个交点A ，B 的横坐标分别为21,x x ，且21x x <，曲线E 在点A ，B 处的切线PA ，PB 与y 轴分别交于点M ，N ，有下面5个结论： ①212x x +的取值集合为),22(+∞;第9题图②△PAB 可能为等腰三角形；③若直线l 与y 轴的交点为Q ，则1||=；④当1x 是函数x x x g ln )(2+=的零点时，||（O 为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13. 抛物线24y x =的准线方程为_____________14. 设数列}{n a 的通项公式为12-⋅=n n n a )(*N n ∈，则其前5项的和为______15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围为______________16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 21，则当c b b c +取得最大值时，角A 的值为______________三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）设函数x x x x f 2cos cos sin 32)(+⋅=，R x ∈（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）保持函数)(x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数)(x g 的图象。
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2019学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ︒600sin 的值为（ ）A.21 B.23 C. 21- D . 23-2. 已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且b a⊥，则x =( )A. –3B. –1C. 1 D . 33. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )A ．1B ．5C ．7D ． 9 4.函数y =的定义域为（ ）A.(34,1) B. (34,∞) C.（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞） 5. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“函数xxaee a xf +-=1)(在定义域上是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6. 函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（ ）A.10B.47C.87D.87. 设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为（ ）A ．23 B ．1 C ．32D ．3 8. 设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D .若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；9. 如图，AB 是圆O 的直径，C D 、是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为（ ） A ．13- B．3-C ．23D．10. 04cos50tan 40-= （ ） ABCD．1 11. 已知等比数列{}n z 中，11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且0>y ），则数列{}n z 的前2019项的和为（ ）A ．i 2321+ B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+ 12. 直线m y l =:（m 为实常数）与曲线E ：|ln |x y =的两个交点A ，B 的横坐标分别为21,x x ，且21x x <，曲线E在点A ，B 处的切线PA ，PB 与y 轴分别交于点M ，N ，有下面5个结论： ①212x x +的取值集合为),22(+∞; ②△PAB 可能为等腰三角形；③若直线l 与y 轴的交点为Q ，则1||=PQ ；第9题图④当1x 是函数x x x g ln )(2+=的零点时，||（O 为坐标原点）取得最小值.其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13. 抛物线24y x =的准线方程为_____________14. 设数列}{n a 的通项公式为12-⋅=n n n a )(*N n ∈，则其前5项的和为______15. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围为______________ 16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为a 21，则当c b b c +取得最大值时，角A的值为______________三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）设函数x x x x f 2cos cos sin 32)(+⋅=，R x ∈（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）保持函数)(x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数)(x g 的图象。
在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足A c a sin 23=，求)(A g 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为31，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立。
假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。
（Ⅰ）第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；（Ⅱ）第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）第三小组进行实验，到成功了四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率。
19. （本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1=AB =AC =1，且AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线．．A 1B 1上，且满足111B A A λ=。
（Ⅰ）证明：AM PN ⊥；（Ⅱ）当平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角为4π时，试求直线PM 与平面ABC 所成角的正弦值大小。
20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0）的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线交椭圆于M 、N 两点且MN 的中点坐标为（1，22) ． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过点P （0，b ）且与C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线 l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.B A MPNB 1CC 1A 121. （本小题满分12分）已知关于x 的函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）请考生在第 （22） ~ （23） 二题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分.做答时， 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中. 22. （本小题满分10分） 选修4-4： 坐标系与参数方程在极坐标系中， 已知圆C 的圆心C 4π)， 半径r（Ⅰ） 求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ） 若 α ∈ 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 直线l 的参数方程为2cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数）， 直线l 交圆C 于A 、 B 两点， 求弦长|AB |的取值范围．23. （本小题满分10分） 选修4-5： 不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．吉林省实验中学2019届高三模拟考试题数学（理）试题 参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 1-=x 14. 129 15. ]2,0[ 16. 4π三、解答题17.解：（Ⅰ）x x x x f 2cos cos sin 32)(+⋅=)62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x……………………4分 所以函数)(x f 的最小正周期为ππ=22………………6分 （Ⅱ）由于A c a sin 23=，故由正弦定理得A C A sin sin 2sin 3=，由于0sin >A ，所以23sin =C ，又在锐角△ABC 中，所以3π=C ……………8分由（Ⅰ）知)6sin(2)(π+=x x g ，所以)6sin(2)(π+=A A g ，……………10分又因为26ππ<<A ，所以3263πππ<+<A ，从而2)(3≤<A g ，所以)(A g 的取值范围为]2,3(……………12分18.解（Ⅰ）该小组恰有两次失败的概率2788124)32()31(24224===-C P ……………4分 （Ⅱ）由题可知X 的取值集合为}4,2,0{。
……………1分则2788124)32()31()0(24224====-C X P814081832)32()31()32()31()2(3433414114=+=+==--C C X P811781116)31()32()4(444404=+=+==C C X P ……………6分故其分布列为8114881174814022780=⨯+⨯+⨯=EX ，即所求数学期望为81148……………8分（Ⅱ）由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有2036=C 个基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有1224=A 个基本事件从而由古典概型可得所求概率为5320123624===C A P ……………4分 可以根据实际情况适当赋分。
如第一问2分，加重第二问的合理赋分。
19. 解：以1、、分别作为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系xyz A -，如图，则)0,0,0(A )1,0,1(),1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(11B A C B ,M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点)0,21,21(),21,1,0(N M ∴ 111B A A λ=)1,0,(λP ∴)21,21,21(),21,1,(-=-=∴MN MP λ,设平面PMN 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n n ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-∴0212121021z y x y x λ令2=z ，则⎪⎩⎪⎨⎧--=-=11211λλλy x )2,112,11(---=∴λλλn 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(=m，平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角为4π||||||4cos m n m n⋅=∴π21)22()12(1)]1(2[222=-+-+-∴λλλ解得21-=λ，此时)1,0,21(-P)21,1,21(--=∴MP 6614114121,cos =⨯++>=<m MP所以直线PM 与平面ABC 所成角的正弦值为66。