九年级数学上册 第01课 一元二次方程方程解法及根与系数的关系同步提高讲义 练习(pdf,无答案)(新版)新
新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(共30张PPT)
①本题中的a 是一次项系数，而不是二次项系数。
②使用根与系数关系来方程的系数时，要注意它
的重要条件 0 ，一定要检验。
总
（2）、在
结
c ． , x 1 x2 a
0 （1）、理解两根存在的前提是
b x1 x2 a
中,
是知三求二。
（3）、渗透数学转换 思想。
巩固练习
1、求下列方程两根的和与积：（教科书第43 页第7题） 两根的和 两根的积 3 2 （1） x 2 3x 2 0 1 －1 （2） 5x 2 x 5 0 5 （3） x 2 x 5x 6 －6 4 13 1 （4） 7 x 2 5 x 8 7 7
例1（教材中的例4） 根据一元二 次方程的根与系数的关系，求下 2 x x 15 x x 6 x 6 x 15 0 （ 1） 列方程两根的和与积： 7
1 2
1 2
（ 2）
（ 3）
3x 7 x 9 0
2
x1 x 2
5 4
3
x1 x2 3
1 4
5x 1 4 x
索发现——知识应用”的教学策略， 鼓励学生动脑、动口、动手，参与
教学活动，感悟知识的形成过程，
说教法学法
3、学 法
为了体现课标中“以学生为主体”的
教育理念，所以让学生采用了自主学习、
探究学习、合作学习的学习方式，帮助学
生思考，从而使学生长知识、长智慧，学
得生动、活泼，肯学、学会、会学。
说教法学法
交流展示
（1）得出 x1 x2 b 、 x1 x2 c
（2）获取知识过程，情感体验
学习主题
二次项系数不为1的一元二次方程根 与系数的探索
初中数学一元二次方程(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(苏科版)
第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程课程标准课标解读1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.1、理解并掌握一元二次方程的定义.2、正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数知识点01 一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【微点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．10x += B ．11x x-= C ．223x y +=D ．2310x x -+=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．目标导航知识精讲【详解】解：A 、10x +=是一元一次方程，故错误； B 、11x x-=不是整式方程，故错误； C 、223x y +=是二元二次方程，故错误； D 、2310x x -+=是一元二次方程，故正确． 故选：D ．知识点02 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【微点拨】 (1) 只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.【即学即练2】2．下列方程中，常数项为0的是（ ） A ．210x x ++= B ．221212x x --= C ．()2213(1)x x -=- D ．()2212x x +=+【答案】D 【分析】要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：A 、x 2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； B 、2x 2-x -24=0，常数项为-24，故本选项不符合； C 、2x 2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； D 、2x 2-x=0，常数项为0，故本选项符合． 故选：D ．知识点03 一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】3．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式22m m --的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．5【答案】A 【分析】把x=m 代入210x x --=即可求解． 【详解】解：把x=m 代入210x x --=，得210m m --=，∴221m m --=-， 故选A ．知识点04 一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.【即学即练4】4．已知2x =-是关于x 方程2530bx ax ++=的根，则代数式17208a b -+的值为（ ） A ．11 B ．14C ．20D ．23【答案】A 【分析】将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+=，然后适当整理变形即可求解． 【详解】解：将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+= ∴1043a b -=∴17208a b -+()172104a b =-⨯-1723=-⨯11=故选：A考法01 一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．620x -+= B ．2210x y C ．212x x+= D ．220x x +=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、是二元二次方程，故B 不符合题意； C 、是分式方程，故C 不符合题意； D 、是一元二次方程，故D 符合题意； 故选：D ．考法02 一元二次方程的解方程的解的定义：使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。
人教初中数学九上《一元二次方程根与系数的关系》教案 (公开课获奖)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标 知识技能1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题.3.提高学生综合运用根底知识分析解决较复杂问题的能力. 数学思考与问题解决通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.情境态度通过学生探索一元二次方程根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.重点难点 重点一元二次方程根与系数的关系 难点对根与系数的关系的理解与推导. 教学设计活动1 引入新课我们知道，方程的根是由一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的各项系数c b a 、、决定的，我们还知道根是由ac b 42-c b a 、、有怎样的关系？活动2 思考归纳归纳：(1)形如的一元二次方程两根的和、积分别与系数有如下关系：q x x p x x =-=+2121，(2) 形如)0(02≠=++a c bx ax 的一元二次方程两根的和、积分别与系数有如下关系：acx x a b x x =-=+2121，.活动3 推理验证验证)0(02≠=++a c bx ax 的两根21x x ，与c b a 、、的关系.设)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21x x ，.那么aacb b x a ac b b x 24242221---=-+-=，.由此可知=+21x x aba b a ac b b a ac b b -=-=---+-+-22242422 a ac b b x x 24221-+-=·a ca acb b a ac b b =---=---22224)4()(24 活动4例4 教材第16页.补充例题：不解方程，假设知道01252=++kx x 的一个根为4，你能求出方程的另一个根吗？教材第16页练习.活动5 课堂小结与作业布置 师生小结1. 一元二次方程根与系数有怎样的关系？2.对本节课你还有什么困惑？ 布置作业1.教材第17页第7题.0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线． [师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系． [生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕． 〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩D CA BD CAB所以△BAD ≌△CAD ． 所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角． [师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？DC A BD CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题．〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ．EDCABPD C A B∴DE=EC．同理可证：AE=DE．∴AE=C E．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(b a a b b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
精品_2014年九年级数学上册暑期讲义--一元二次方程_第01课_根与系数的关系
一元二次方程第01课 根与系数的关系知识点：一元二次方程解法：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 求根公式：根与系数的关系式：一元二次方程的根与系数的关系 ：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_________，x 1x 2=____________ (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=________ (3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ______________________． 变形公式：(1) 2221x x += ; (2)2111x x += ; (3)221)(x x -= ; (4)21x x -= ; (5))1)(1(21--x x = ; (6))1)(1(21x x --= ; 例1.设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +； （2）1221x x x x +（3）221221x x x x +（4）2221)1()1(+++x x（5）)3)(3(21--x x（6）||21x x -（7）3622121+--x x x （8）3621222+--x x x例2.若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 例3.若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.例4.不解方程，判别方程07322=-+x x 两根的符号。
例5.若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.例6.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.例7.已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，求αα22++ap 的值。
苏科版数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系同步课件
b
x1 x2
a
根与系数的关系
（韦达定理）
c
x1 x2
a
方程要先化成一般式
注意
利用公式的前提条件为 b2-4ac≥0
在计算两根系数之和时不要丢掉负号
(2)利用公式的前提条件为 b2-4ac≥0；
b
(3)在使用 x1 x2 时，注意“－”不要漏写.
a
例3：已知方程 5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：∵ a=5,b=,c=−6，
设方程的两根分别是x1、2.
∴ x1 + 2= − = −
5
6
2x1 = = − .
当二次项系数不为1时，
两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的商的相反数；
两根之积等于常数项c除以二次项系数a所得的商.
特别地，二次项系数为1时，方程变为x2＋bx＋c＝0
两根之和等于一次项系数b的相反数；
两根之积等于常数项c.
例题讲授
例1：求下列方程两根的和与两根的积：
（1）x2＋2x－5＝0；
2
2
这两根的和、两根的积与系数有什么关系？
5
x1 x2
2
3
x1 x2
2
5
5
2
2
3
3
2Hale Waihona Puke 25x1 x2
2
3
x1 x2
2
3.先求出方程 3x 2 7 x 4 0 的解，再验证这个方程的两
根与系数是否具有你刚刚发现的关系.
思考：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），
人教初中数学九上《一元二次方程根与系数的关系》教案 (公开课获奖)
21.2.5 一元二次方程根与系数的关系【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中表达，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式根本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发，针对本班学生的特点，本课在(a ≠0 , b 2–4ac ≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.教学目标：1、理解根系关系的推导过程；2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路 教学重点：应用根系关系解决问题； 教学难点：根系关系的推导过程教学流程：引入新知，推导新知，稳固新知，应用新知， 教学过程： 一、 前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗？ 董：什么秘密？郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？ 董：哦？郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x 2–12x +35 =0的两根的积，回去你把2根求出来就知道了.董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x 2-35x -200=0的2根的和呢.郑：哈哈，你太有才了。
对了，咱们应该也让同学猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄.【设计意图】创设一个情境：学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活泼，他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣. 二、 求出以下方程的2根，计算2根和与2根积的值，并猜测2根和、2根积与一元二次方【设计意图】二次项系数为1有1题；二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜测2根和、2根积与系数之间的关系. 三、 引导学生独立证明：x 1和x 2 是一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 (a ≠0 , b 2–4ac ≥0)x 1+x 2 = - b a , x 1x 2 = ca注意：负号不能漏写【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识根底上，可以最快速度说出x 1和x 2的值，接下来将字母系数表示的x 1和x 2的值代入相应的代数式 x 1+x 2 和x 1x 2 得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀. 四、 应用第一组习题：不解方程，求以下方程的2根和与2根积（1） x 2– 3x +1 =0（2） 3x 2– 2x - 2=0（3） 2x 2–3x =0（4） 3x 2=1【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最根本的知识目标，这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2稳固知识奠定根底.例2：：x 1和x 2 是一元二次方程x 2-4x +1=0的2根, 求以下代数式的值 〔1〕1x 1 + 1x 2〔2〕x 12 + x 22〔3〕〔x 1 - x 2〕2学生练习：〔1〕x 2x 1 + x 1x 2〔2〕〔x 1+1〕〔x 2+1〕【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 . 五、 本课小结： 六、 课后作业：15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A 点可以取直线L 上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为D CA B,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．D CABDC A B(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结．Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的D C A B性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，那么其腰长为〔x+2〕cm ，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算.E DC A B P3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。
人教版初中数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(1)(共26张PPT)
在什么情况下，一元二次方程有解?有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
当 0 时，方程有两个不相等的实数根。
当 0 时，方程有两个相等的实数根。
当 0 时，方程没有实数根。
上述定理也可以逆向应用。 在应用判别式之前，要把方程化为一般形式， 以便得出a,b,c 的值
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。202 1年8月 4日星 期三下 午2时3 7分4秒 14:37: 0421. 8.4
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。 2021 年8月下 午2时 37分21 .8.414 :37Au gust 4, 2021
16、业余生活要有意义，不要越轨。 2021 年8月4 日星期 三2时3 7分4秒 14:37: 044 August 2021
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解： （ 3）2 45（ 2） 49
原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为
25y2 20y 4 0
认为自己ppt的缺点： 1、版本不够漂亮
2、动画制作不 够华丽
3、内容的排版不够紧凑
9、有时候读书是一种巧妙地避开思 考的方 法。21. 8.421. 8.4We dnesd ay, August 04, 2021
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。14 :37:04 14:37: 0414: 378/4/2021 2:37:04 PM
9 4k 0 解得 k 9
一元二次方程根与系数的关系 数学人教版九年级上册PPT课件
解：设方程的另一个根是x1 ，
2 x1
6 5
x1
3 5
ห้องสมุดไป่ตู้
x1
+2
k 5
即 3 +2 k
5
5
k= 7
另一个根是- 3 ,k的值是-7. 5
3、已知方程2x2 +4x 3 0的两个根分别为x1和x2 ，
求下列各式的值：
11 x1 1 x2
2 1 1
x1 x2
3 x12 x22
4 x1 x2 2
5 x1 x2
6 x2 x1
x1 x2
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
1、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c是常数，a 0)
当 0时，方程的实数根可写为x b b2 4ac 2a
的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
2、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c是常数，a 0) 当=b2 4ac 0时，方程有实根，
4a2
4ac 4a2
c a
3、一元二次方程ax2 bx c 0(a、b、c是常数，a 0) 当=b2 4ac 0时，方程根与系数关系，
1 x1+x2
b a
2 x1
x2
c a
1、不解方程，求下列方程两根积与和：
1 x2 3x 15
解：化为一般式，x2 3x 15 0
x1+x2
b a
x1 b+
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
1 x1+x2 b+
b2 4ac + b 2a
b2 4ac 2a
b+ b2 4ac b+ b2 4ac 2a
华师大版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系同步课件
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系， 可得这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的 关系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)． 利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案：
x1
x2
3 2
3 2
,
x1
x2
5 5 . 22
例3 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值.
x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5.
(2) 方程两边同除以2，得
x2－ 3 x－ 5＝0. 22
设两根为x1、x2，可得
x1＋x2＝－
－
3 2
＝
3 2
，x1
x
＝－
2
5 2
.
例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2-4ac≥0) 的根与系数的关系．
解：方程两边同除以a，得 x2 b x c ＝0.
4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根， 且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.
解：(1)根据根与系数的关系 x1 x2 k
所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7；
,
k
x1x2
1 (k 2
3. x1 x2 x2 x1
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 ; x1x2
求与程的根有关的代数式 的值时,一般先将所求的代数 式化成含两根之和,两根之积 的情势,再整体代入.
总结常见的求值:
1. 1 1 x1 x2 ;
人教版九年级数学上册一元二次方程的根与系数的关系课件
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，
x2的和与积：
(1) x2 - 6x - 15 = 0 ； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0；(3) 5x - 1 = 4x2.
解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 已知关于 x 的一元二次方程 x²＋ax＋a - 5 = 0，若该方程的一
个根为 1，求 a 的值及该方程的另一个根.
解: 将 x = 1 代入方程得，1 + a + a - 5 = 0，
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
随堂练习
1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = 1
2
1
1 x1 x2 x1 x2
1
x1 x2
x1 x2
16
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数
根x1,x2.
(1)求k的取值范围；
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0有两个不相等
人教版九年级数学上册一元二次方程根与系数的关系课件
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0 m 1 x1x2 m 0
{ 即
m>0 m-1<0
∴0<m<1
总结规律：
两根均为负的条件： X1+X2
且X1X2
。
两根均为正的条件： X1+X2
且X1X2
。
两根一正一负的条件： X1+X2
且X1X2
。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。
∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0, ∴两根之积2m10 m 且 10, ∴ m时 ,1方程有一根为零.2
2
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1
•
x2
b a
3 4 3
a与c 之间 关系
c
a
4
x2 5x 6 0 2 3 5
65
6
2x2
3x 1 0
1 2
1
3 2
1 3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
初中数学一元二次方程根与系数的关系(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第05课 一元二次方程根与系数的关系课程标准课标解读掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.知识点01 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.知识点01 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；知识精讲目标导航⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数12,x x 为根的一元二次方程是21212()0xx x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 当△≥0且120x x >时两根同号 当△≥0且120x x >，120x x +>时 两根同为正数 当△≥0且120x x >，120x x +<时 两根同为负数 当△＞0且120x x <时两根异号当△＞0且120x x <，120x x +>时 两根异号且正根的绝对值较大 当△＞0且120x x <，120x x +<时两根异号且负根的绝对值较大【知识拓展】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．能力拓展考法01 一元二次方程的根与系数的关系【典例1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【分析】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【点睛】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值．【即学即练1】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】另一根为-1；c 的值为-3．【典例2】已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根； （2）解方程得，x=2(2)2m m m，x 1=2m，x 2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．考法02 一元二次方程的根与系数的关系的综合应用【典例3】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．【答案】4【分析】根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案．【详解】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴（x1+x2）2-2x1x2=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4，故答案为4．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．【即学即练2】设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.【答案】5 【详解】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m 是方程的根，所以可得m 2+2m ﹣7=0，最后可将m 2+3m+n 变成m 2+2m+m+n ，最终可得答案． ∵设m 、n 是一元二次方程x 2+2x ﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，∵m 是原方程的根， ∴m 2+2m ﹣7=0，即m 2+2m=7， ∴m 2+3m+n=m 2+2m+m+n=7﹣2=5 考点：根与系数的关系【典例4】已知实数a ，b 满足条件2720a a -+=，()2720b b a b -+=≠，则b aa b+=________． 【答案】452【分析】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】由实数a ，b 满足条件a 2﹣7a +2＝0，b 2﹣7b +2＝0，且a ≠b ，∴可把a ，b 看成是方程x 2﹣7x +2＝0的两个根，∴a +b ＝7，ab ＝2，∴22224944522b a a b a b ab a b ab ab ++--+====（）． 故答案为452． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a ，b 看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．【典例5】关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x 1=﹣，x 2=﹣1或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b 2﹣4ac 的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=ca，表示出两根的关系，得到x 1，x 2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1x25．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根12,x x．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根12,x x满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．【答案】（1）k﹥34；（2）k=2．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，代入求得k的取值范围即可；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根∴ Δ＝（2k+1）2－4（k2+1）=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0解得：k ﹥；（2）∵k ﹥，∴x1+x2 =－（2k+1）＜0又∵x1·x2=k2+1﹥0∴x1＜0，x2＜0，∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－（x1+x2）=2k+1∵｜x1｜+｜x2｜=x1·x2∴2k+1=k2+1，∴k1=0,k2=2又∵k ﹥∴k=2．考点：根的判别式；根与系数的关系．题组A 基础过关练1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．0 【答案】D【详解】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．故选D．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．2．已知1x、2x是一元二次方程220x x-=的两个实数根，下列结论错误．．的是( ) 分层提分A ．12x x ≠B ．21120x x -= C ．122x x += D ．122x x ⋅=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可. 【详解】x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两个实数根， 这里a=1，b=-2，c=0， b 2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，所以方程有两个不相等的实数根，即12x x ≠，故A 选项正确，不符合题意；21120x x -=，故B 选项正确，不符合题意；12221b x x a -+=-=-=，故C 选项正确，不符合题意； 120cx x a⋅==，故D 选项错误，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 3．已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ） A ．3 B ．1C ．﹣1D ．﹣3【答案】B 【解析】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【详解】∵α，β是方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a是解题的关键．4．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ） A ．5 B ．﹣1C ．2D ．﹣5【答案】B 【分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决． 【详解】∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m ， ∴-2+m=−31， 解得，m=-1， 故选B ．5．设a ，b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009【答案】C 【详解】分析：由于a 2+2a+b=（a 2+a ）+（a+b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2+a ）的值，由根与系数的关系得到（a+b ）的值，即可求解．解答：解：∵a 是方程x 2+x-2009=0的根， ∴a 2+a=2009；由根与系数的关系得：a+b=-1，∴a 2+2a+b=（a 2+a ）+（a+b ）=2009-1=2008． 故选C ．6．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程2x 3x a 0-+=的两个解，若()()m 1n 16--=-，则a 的值为（ ） A ．﹣10 B ．4C ．﹣4D ．10【答案】C 【详解】解：∵m ，n 是关于x 的一元二次方程2x 3x a 0-+=的两个解，∴m+n=3，mn=a ． ∵()()m 1n 16--=-，即()mn m n 16-++=-，∴a 316-+=-，解得：a=﹣4． 故选C ．7．一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【分析】利用方程根的定义可求得21131x x ∴=-，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】1x 为一元二次方程2310x x -+=的根， 21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系12b x x a +=-，12cx x a=是解题的关键．题组B 能力提升练1．设m 、n 是一元二次方程x 2+3x ﹣7＝0的两个根，则m 2+4m +n ＝（ ） A ．﹣3 B ．4C ．﹣4D ．5【答案】B 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵m +n ＝﹣3，mn ＝﹣7，m 2+3m ＝7， ∴原式＝m 2+3m +m +n＝7﹣3＝4，故选B ．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．2．若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14 B ．1 C ．.4D ．3 【答案】B【解析】【详解】解：由22410,410a a b b -+=-+=得：2214,14a a b b ++== ∴22111111444a b a b a b ab++=+=++ 又由22410,410a a b b -+=-+=可以将a ，b 看做是方程 2410x x -+=的两个根∴a+b=4，ab=1 ∴4=144a b ab +=⨯1故答案为B.【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。
一元二次方程根与系数的关系课件湘教版数学九年级上册
∵ (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 1
2.4 一元二次方程根与系数的关系
7.已知关于x的一元二次方程 mx2-2mx+ m -2 = 0
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1，x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
解：(1)方程有实数根
做一做
2.4 一元二次方程根与系数的关系
（2）方程 x2 - 5x + 6 = 0的两个根为 x1 = 2 ，x2 = 3 ，
根据节例8下面的一段话，得 x2 - 5x + 6 = (x - 2 )(x - 3 ).
若我们能把方程 x2 + bx + c = 0的左边进行因式分解后，写成 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) = 0，
当Δ ≥ 0时，设ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两个根为x1，x2，则 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = a[x2 - (x1 + x2)x + x1x2]，
2.4 一元二次方程根与系数的关系
根据七年级上册教科书节关于两个多项式相等的规定，得
即
解：根据根与系数的关系可知：
练习
2.4 一元二次方程根与系数的关系
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积：
(1) x2 - 6x + 1 = 0；
(2) 2x2 – x = 6.
2.4 一元二次方程根与系数的关系 2.已知方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根为1，求它的另一个根及m的值．
人教部初三九年级数学上册 一元二次方程根与系数的关系 名师教学PPT课件
9
所以-31 =2
3
得1 =
2
3
则
2
+（-3）=−
2
得k=3
例2：已知方程2 2 + kx − 9 = 0的一个根
为-3，求另一个根及k的值。
解法一：
∵方程2 x 2 kx 9 0的一个根为 3
∴
2 ( 3) 2 k ( 3) 9 0
∴k 3，把k 3代入原方程得：
b b 2 4ac
x1
2a
X1+x2=
b b 2 4ac
x2
2a
b b 2 4ac
2a
+
b b 2 4ac
2a
2b
=
= 2a
X1x2=
=
b b 2 4ac
2a
·
(b) 2 ( b 2 4ac ) 2
4a 2
b b 2 4ac
知识点回顾
1.一元二次方程的一般形式
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式
b b 2 4ac 2
x
(b 4ac 0)
2a
3.一元二次方程的根的情况
b 4ac
2
0 两个不相等的实数根
0 两个相等的实数根
0 没有实数根
2 x 2 3x 9 0
3
解之得：x1＝ 3，x2＝
2
3
∴k 3，方程的另一个根为
2
课堂小结：
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》课件(共16张PPT)
设方程ax2 bxc 0(a 0)的两根
为x1, x2,试求出x1 x2, x1 •x2的值. 你能看出 x1 x2, x1 •x2的值与方程 的系数有何关系？
b b24ac x1
2a
b b24ac x2
2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
2a
=
-b a
b b2 4ac
+
2a
X1x2=
b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2( b24ac)2 4a2
=
4 ac 4a 2
c =a
一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程 ax2 bxc 0(a0)的两根x为 1, x2,
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
的两个实数根，且x1、x2满足不等式
x 1x 2 2 (x 1 x 2) 0
求实数m的取值范围。
课堂小结
若方程 ax2 bxc 0(a0)的两根x为 1, x2,
则x1
x2
b, a
x1
•x2
c a
推 以两个数x1, x2为根的一元二次 论 方程（二次项系数1） 为是
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.
11.如果关于 x 的一元二次方程 k x ﹣(2k+1）x+1=0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是 12.关于 x 的方程 x 2 2k 1x k 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 13.若方程 x -3x+1=0 的两根为 a 和 b，则 a -2a+b= 14.设 a, b 是一个直角三角形两条直角边的长,且 (a 2 b 2 )(a 2 b 2 1) 12 ,则这个直角三角形的斜边长为 15.若一元二次方程 ax +bx+c=0 一个根是 1，且 a、b 满足 b a 3 3 a 3 ，则 c=
19.已知 CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x -6x+4=0 的两根，求△ABC 的面积.
2
第 8 页 共 8 页
2 2 2．。 Nhomakorabea第 3 页 共 8 页
1.已知 a、b、c 分别是三角形的三边，则方程(a+b)x +2cx +(a+b)=0 的根的情况是（ A.没有实数根 C.有两个相等的实数根
2
2
）
B.可能有且只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根 ）
2.若关于 x 的一元二次方程 nx -2x-1=0 无实数根，则一次函数 y=(n+1)x-n 的图象不经过（ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ． D.第四象限
(5) 3 x(2 x 1) 4 x 2
(6) x 2 11x 10 0
(7) x 2 6 x 1 0
(8) 2 x 2 4 x 1 0
(9) 3 x 2 5 x 1 0
第 1 页 共 8 页
【例 3】(1)已知方程 kx 2 4 x 2 0 有两个不相等是实数根，则 k 的取值范围为 (2)已知方程 kx 2 4 x 2 0 有实数根，则 k 的取值范围为 【例 4】若 m 是方程 x x 1 0 的一个根，试求代数式 m 3 2 m 2 2016 的值.
2
； 。
【例 5】已知 m 是方程 x 2 3 x 1 0 的一个根，求 m 2 2m
3 m 1
2
的值.
【例 6】已知 , 是方程 x 2 3 x 5 0 的两根.
求:(1) 2 2 ;(2)
;(3) 3 3 ;(4) 2 2 2 3 的值．
2
(6) ( x 3)( x 7) 9
17.已知 a、b、c 均为实数，且 a 1 | b 1 | (c 3) 2 0 ，求方程 ax 2 bx c 0 的根。
18.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 (2m 1) x m 2 0 有两个实数根 x1 和 x2． （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 x12 x2 2 0 时，求 m 的值．
2
B.2
5.一元二次方程 x -2x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( A.m>1 B.m=1 C.m<1
6.方程 x 2 9 x 18 0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ A.12 B.12 或 15
2
C.15
D.不能确定 ） D.无法确定
7.已知一个三角形的两边长是方程 x -8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（ A.y<8 B.3<y<5
第 6 页 共 8 页
时间:20 分钟
满分:100 分
姓名:
)
得分:
1.将方程 3x(x-1)=5(x＋2)化为一元二次方程的一般式，正确的是( A.4x －4x＋5=0
2 2
B.3x －8x－10=0
2
C.4x ＋4x－5=0 ) C.2
2
D.3x ＋8x＋10=0
2
2.已知关于 x 的方程 x - kx-6=0 的一个根为 x=3，则实数 k 的值为( A.1 B.-1
） D.只有②③④
4.一元二次方程 x2-3x-1=0 与 x2- x+3=0 的所有实数根的和等于 5.若 a b c 0 ,一元二次方程 (a b)x2 (b c)x (c a) 0 的两个实数根中,较大的一个实根等于________ 6.已知关于 x 的方程 x ＋(4k＋1)x＋2k－1=0. （1）求证：此方程一定有两个不相等的实根；（2）若方程的一根大于 1，另一根小于 1，求 k 的取值范围．
第 01 课 一元二次方程方程解法及根与系数的关系
1.一元二次方程表达式： 2.四种解法： (1) (2) (3) (4) 法： 法： 法： 法： ； ； ； ； ;(2) ;(2) . ;(3) .
3.根与系数的关系：(1) 4.根的判别式:(1)
【例 1】关于 x 的方程 (m 3) x m
2.若关于 x 的一元二次方程 ax +bx+5=0（a≠0）的解是 x=1，则 2015﹣a﹣b 的值是( A.2017 B.2018
2
C.2019
3.已知关于 x 的一元二次方程 x -kx-4=0 的一个根为 2，则另一根是（ A.4
2
B.1 ）
C.2
4.用配方法解方程 x +10x+20=0，则方程可变形为（ A.（x+5）
第 2 页 共 8 页
1.下列关于 x 的方程：①ax +bx+c=0；②3(x-9) -(x+1) =1；③ x 3
2 2 2
1 2 2 ；④(a +a+1)x -a=0；⑤ x 1 x 1 .其 x
中一元二次方程有（ A.1 个
） B.2 个
2
C.3 个
D.4 个 ) D.2020 ） D.-2
2 2 2
．
第 7 页 共 8 页
16.用适当的方法解下列方程： (1) 2 x 2 7 x 4 0 (2) 3 x 2 4 4 x (3) 9 x 2 6 2 x 2 0
(4) 3 y 5 y 1 0
2
(5) ( 4 x 2) x ( 2 x 1)
2
C.2<y<8
8.已知 a，b，c 是△ABC 的三条边长，且方程(c-b)x +2(b-a)x+(a-b)=0 有两个相等的实数根，那么这个三角形 是（ ） B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形
A.等边三角形 9.方程 x 6 x 的根是_______
10.设α、β是方程 x 2 2 x 1 0 的两根，则代数式 =
D.-2 ) D.0
3.若关于 x 的一元二次方程 (m 1) x 2 5 x m 2 3m 2 0 的常数项是 0，则 m 的值是( A.1
2
B.2
C.1 或 2 ) C.-1 ) D.m≤1 ） D.-2
4.一元二次方程 x +px-2=0 的一个根为 2，则 p 的值为( A.1
2
7.已知 3x +2(a+b+c)x+ab+bc+ac＝0 有两个相等的实数根，其中 a,b,c 是一个三角形的三条边.求证:这个三角形 是等边三角形．
2
8.已知△ABC 两边 AB,AC 的长是关于 x 的方程 x2 -(2k+3)x+k2 +3k+2=0 的两个实根,第三边 BC 的长为 5. (1)k 为何值时,△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形; (2)k 为何值时,△ABC 是等腰三角形,并求△ABC 的周长.
2
,另一根为
11.用适当的方法解下列方程. (1)x +4x-1=0.
2
(2)3x +3x-2=0.
2
(3)3x(x-2)=2(2-x).
12.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 2 3 x m 0 有两个不相等的实数根． (1)求实数 m 的取值范围； (2)在(1)的条件下，化简: m 3 (4m) 2 ．
2
m4
(2m 1) x m 0 是一元二次方程，则 m=
．
【例 2】用适当的方法解下列方程： (1) 2 x 2 12 0 (2) (3 x 1) 2 4( x 3) 2 (3) 4 x 2 12 x 9 7
(4) 3 x 2 12 x 0
2 2
. ．
7.若方程 x 2 10 x 26 0 的两根恰好是某直角三角形的两边，则这个直角三角形的斜边长是 8.已知 x1，x2 是方程 x ＋6x＋3＝0 的两实数根，则
2 2
x2 x1 的值为________． x1 x2
2 2
9.已知 x=1 是一元二次方程 x +mx+n=0 的一个根，则 m +2mn+n 的值为 10.已知 3- 2 是方程 x +mx+7=0 的一个根,则 m=
3.一元二次方程(x+1)(3x﹣2)=10 的一般形式是
4.若 (m 1) x m ( m 2) 1 2mx 1 0 是关于 的一元二次方程，则 m 的值是________． 5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a,b)进入其中，会得到一个新的实数 a -2b+3，若将实数(x,-2x)放入 其中，得到-1，则 x=_______ 6.若 b 1 a 4 0 ，且一元二次方程 kx +ax+b=0（k≠0）有实数根，则 k 的取值范围是
2