5 数列

n
bk f k ( x )
k 1
3、如何定义等比数列？
高中数学教材：“如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个 数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示(q≠0).”
q≠0并不完全由定义推得。如，2, 0是等比数列吗？
为什么一定规定q≠0？下列数列与等比数列本质有 何不同？写出它们的通项公式和求和公式。
等差数列和等比数列的教学应以这两类数列的定 义作为研究其各种性质的出发点，并在处理教学 内容时注意突出基本的思想与方法。特别是，教 学应利用两者相似的特点，采用类比的方法展开 内容，以帮助学生加深对两者内在联系的理解， 发展知识迁移的能力。
等差数列和等比数列的教学还要强调联系日常生 活实例或数学背景，感受这两种数列模型的广泛 应用，并利用它们解决一些实际问题。并注意体 会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数之 间的关系。
有人认为上述解法只是作了归纳，并不严格，还 需用数学归纳法证明，并在教学中要求学生完成。
还有人为追求教法创新，教学中采用如下证法：
由等差数列定义知 a2=a1+d a3=a2+d a4=a3+d …… an=an-1+d 上述式子相加得 an=a1+(n-1)d
由等比数列定义知 a2=a1q a3=a2q a4=a3q …… an=an-1q 上述式子相加得 an=a1qn-1
(n 3) (n 3)
(3)
-(m-2)×(1)+(2)+(3)得 an 1 (m 2)an (m 1)an 1 an1 an (m 1)(an an1)
m(m 1)n 1 (n 3)
an an 1 (m 1)n 3 (a3 a2 ) (m 1) n 3[m(m 1)(m 2) m(m 1)]
与以往大纲相比，中学数列部分的内容没有大的 变动，主要讨论一般数列的概念以及等差数列和 等比数列等两类特殊的数列。其中，数列的通项 公式与前n项和公式是其所研究的两个基本问题。 等差数列和等比数列是两种最常见、最基本的数 列。等差数列和等比数列的概念包括许多重要的 应用，如用于计算存贷款利息，已成为公民的常 识；等差数列和等比数列是讨论更广泛数列的基 础，利用它们可以解决一些综合性的问题。
4. (信封问题)将写给n个人的信装进写有姓名的n 个信封 内,若每封信都装错了,则有多少种不同的装法?
传球问题的解法一
设满足题意的方法数为an.显然a2=m(m-1).
n-1次传球的传球序列总数为m(m-1)n-1，它包含两类： 一是末项与首项相同,这样的传球序列总数为an-1；一是 末项与首项不同,这样的传球序列添上首项即为所求， 总数为an. 因此
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
并把上述求法总结为累加法、累乘法。 这两种观点和方案是否可取呢？
前者尽管观点有某种合理性，因为数学归纳法的形 式化程度确是要高一些。但教学中奉行这样的观念 则显然是错误的，事实上几乎所有数学家都认为这 样的证法也可以算是严格，数学书也有大量这种的 表达。数学教学应强调的是让学生理解什么样的思 考是严格的，什么样的则不严格，并学会用公共的 规范和习惯表达自己的思想。 后者提出的证法自然没错，但并不是教学上的好解 法。数学教学不是只要教正确的就可以了，而是应 优先选择那些基本重要的结论和方法来教。简单地 说，数学教学应促进学生认识和理解数学的基本规 律。
传球问题的解法二
设经过n次传球后球最终回到发球者手中的传球方式数 为an, 而最终不回到发球者手中的传球方式数为bn.则 an bn 1 (n 3) (1)
bn (m 1)an 1 (m 2)bn 1 (n 3) (2)
由(1)得
an 1 bn
(n 3)
教学要强调本质(基本观点)，强调通法。只有这 样，才能把握数学的内在联系，才能做到无法胜 有法，才能发展迁移能力。
等差数列求和——反序相加法
◎反序、重写只是形式，思想本质是合理组合。
等比数列求和——错项相消法
Sn=a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1 =a1+q(a1+…+a1qn-2) =a1+q(a1+…+a1qn-2 +a1qn-1)-a1qn =a1+qSn -a1qn
an (n 1)(an 1 an 2 ) (n 3)
下面对它进行求解
an (n 1)(an 1 an 2 ) an an 1 an 2 an an 1 an 2 (n 1)! ( n 2)! ( n 2)! n(n 1)! n( n 2)! n( n 2)! an an 1 an 1 an 2 an an 1 1 an 1 an 2 ( ) n! ( n 1)! n( n 1)! n( n 2)! n! ( n 1)! n ( n 1)! ( n 2)! an an 1 (1) n 2 a2 a1 (1) n 2 (1) n an an 1 (1) n ( ) n! (n 1)! n3 2! 1! n! n! n! ( n 1)! n! an a1 (1) n (1) n 1 ( 1) 2 ( 1) n ( 1) n 1 ( 1) 2 n! 1! n! (n 1)! 2! n! (n 1)! 2! 1 1 1 n 1 an n!( (1) ) 2! 3! 4! n!
f ( x) b1 ( x a2 )( x a3 ) ( x an ) ( x a1 )( x a3 ) ( x an ) b2 (a1 a2 )( a1 a3 ) ( a1 an ) ( a2 a1 )( a2 a3 ) ( a2 an ) ( x a1 )( x a2 ) ( x an 1 ) (an a1 )(an a2 ) (an an 1 ) bn
染色问题的解法
染色问题与传球问题是等价的。
因为，一个n区域m色染色问题的方法数其实就 是一个m人n次传球的传球问题的方法数。 传球问题与染色问题的其他解法可参见： 1.传球问题的几种递归解法.数学通讯, 2008,(12): 15.
伴舞问题的解法
设按要求为n对夫妻安排舞伴的方案总数为an(n=1,2,…,), 则a1=0, a2=1.当n≥3时，可这样安排：不妨将n对夫妻编 为1-n号,首先安排1号男士，他的舞伴有n-1种可能，假 设他选择了k号女士。接着再为k号男士安排舞伴，他有 两类选择方案：其一，选择1号女士，则剩余问题正好 是为n-2对夫妻安排舞伴，其方案数为an-2；其二，不选 择1号女士，则可将1号女士的编号改为k号，从而问题 正好变为替n-1对夫妻安排舞伴，其方案数为an-1.因此有
5 数列
1.1 内容概述
数列的概念源于现实生活、生产的需要．现实世 界中，有连续的量，也有离散的量．考察事物在 相继发生系列出现的数量变化，就产生了数列的 概念。数列作为一种特殊函数，是描述离散变量 的基本数学模型。 中学数学里的数列内容，起着承前启后的作用。 数列与函数间有着特殊与一般的关系，有利于加 深和巩固对函数概念的理解．无限数列的求和涉 及极限过程，因此数列知识也为以后学习极限打 下基础．
1.2 问题研究
1、为什么不把数列定义为一种特殊函数？
高中教材一般这样定义数列
定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列。
这样定义尽管通俗，但未必真正好懂。它造成了 后续学习数列其他一些概念的困难：通项公式， 数列的图象。
数列的形式化定义： 定义在正整数集或其有限子集{1, 2, „, n}(n为一 个确定的正整数)上的函数f(n)称为数列。数列常 按n的顺序写成一列数的形式 f(1), f(2), „, f(n), „, 并记作 a1, a2, „, an , „, 或简记为{an}
等比数列的通项公式:
n 1 a1 an n 1 n 1 a1q
等比数列的求和公式:
a1 (1 q n ) Sn 1 q na 1 q 1 q 1
4、等差数列、等比数列能否教得自然朴实些？
高中教材对等差数列、等比数列通项公式的求法 是这样的：
2，0，0，0，„ 0，0，0，0，„
等比数列是中国古人说法，英译geometric sequence (几何数列), 其意指每项都是前后两项的几何平均。
在本质不改变前提下，等比数列完全可这样定义： 如果一个数列从第2项起，每一项都是它的前一 项的同一常数倍，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示. 0，0，0，0，…的公比是什么？ 公比是任何数！
5、反序相加法、错项相消法有那么重要吗？
在数列教学中，很多中学教师把等差数列、等比 数列的求和方法总结为反序相加法、错项相消法。
事实上，反序相加法、错项相消法对数列求和并 无一般意义。这样总结，可能有时有某种必要， 但似无多少作用，相反甚至还会产生消极影响： 学生可能认为，数学学习强调记忆而不是理解。
m(m 1)n 1 an 1 an (n 3)
(n 2)
an (m 1)n [an 1 (m 1)n 1 ] (1)n 2[a2 (m 1)2 ]
an (1)n 2 (m 1) (m 1)n
(n 2)
◎公比相乘、错项相消只是形式，思想本质是列方程， 解方程。
6、数列与计数？
任何计数问题都包含着一些自然数参数。如果把 这些参数看作变量，那么计数的结果就是它的函 数(数列)。因此，计数就是求相应数列。 计数问题中求对应数列的常用方法有 ◎寻找数列的递归方程，再去解方程； ◎寻找数列的母函数，再去变形展开；