陕西省八校联考2015届高三下学期联考(二)数学(理)试题(扫描版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
陕西省西安八校高三数学下学期年级联考(二) 理
西安八校2012届高三年级联考(二)数学(理)试题本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.若做选考题时,考生应按照题目要求作答,并在答题卡上对应的题号后填写.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5努,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设a 、b 为实数,若12i a bi ++=1+i (i 为虚数单位),则A .13,22a b ==B .3,1a b ==C .31,22a b == D . 1,3a b == 2.计算sin43°cos347°—cos137°sin193°的值为A .12 BCD3.已知数列{n a }满足1a =1,且对任意的正整数m 、n ,都有2011m n m n a a a +=++,则a 2012- a 2011= A .2011 B . 2012 C .2013 D .14.已知函数122,1,()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则不等式()2f x ≤的解集是A .[一l,2]B .[0,2]C .[1,+∞)D .[0,+∞)5.已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题:①α∥l m β⇒⊥;②α//l m β⊥⇒;,;③//l m ⇒αβ⊥;④l m ⊥⇒α//β其中正确的两个命题是 A .①与② B .①与③ C .②与④ D .③与④6.2102sin ,cos a xdx b xdx π==⎰⎰若则a 与b 的关系是 A .a<b B .a>b C .a=b D .a+b=07.已知P 为抛物线24x y =上的动点,Q 是圆22(4)1x y -+=上的动P 点到Q 点的距离与P 点到直线y=-1的距离之和的最小值为A .5B .8 C-1 D8.若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=,且当x ∈[0,1]时,()f x =x ,函数33log ,0,()log (),0,x x g x x x >⎧=⎨-<⎩则函数f (x )-g (x ) 的零点的个数为 A .4 B .3 C .2 D .19.已知点F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点,若△ABF 2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是A .(1B .C .(D .(1,10.若5234501234512345(23)2345x a a x a x a x a x a x a a a a -=+++++++++,则a =A .-10B .10C .5D .—5 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上.11.已知函数ln ()x f x x=在区间[2,3]上任取一点0x 使得0()f x '>0的 概率为 。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式.
18.(本小题满分 12 分)如图1 ,在直角梯形 CD 中, D// C, D , 2
C 1, D 2 , 是 D 的中点, 是 C 与 的交点.将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) , CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ,平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ,平面 A1BC 与
又 sin 0 ,从而 tan A = 3 , 由于 0 A ,所以 A
3 (II)解法一:由余弦定理,得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ,即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ,所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为
.
【答案】 5
【解析】
试题分析:设数列的首项为 a1 ,则 a1 2015 2 1010 2020 ,所以 a1 5 ,故该数列的 首项为 5 ,所以答案应填: 5 .
考点:等差中项.
2015年高考理科数学陕西卷有答案
数学试卷 第1页(共18页) 数学试卷 第2页(共18页)绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N = ( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 ( ) A .93 B .123 C .137D .1673.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x k ϕ=++,据此函数可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为 ( )A .5B .6C .8D .104.二项式*(1)()nx n +∈Ν的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .7B .6C .5D .45.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 ( ) A .3π B .4π C .2π+4D .3π+46.“sin cos αα=”是“cos20α=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( )A .|a b |≤|a ||b |B .|a -b |≤||a |-|b ||C .(a +b )2=|a +b |2D .(a +b )(a -b )=a 2-b 28.根据如图所示的程序框图,当输入x 为2 006时,输出的y =( )A .2B .4C .10D .289.设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .p r q =<C .q r p =>D .p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1 吨甲、乙产品可获利润分别为3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12 万元B .16 万元C .17 万元D .18 万元 11.设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ,若||1z ≤,则y x ≥的概率为( )A .3142π+ B .112π+ 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共18页) 数学试卷 第4页(共18页)C .112π- D .1142π- 12.对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .1-是()f x 的零点B .1是()f x 的极值点C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .14.若抛物线22(0)y p xp =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p = . 15.设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分). 17.(本小题满分12分)ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ()a =与n (cos ,sin )A B =平行. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若a =2b =,求ABC △的面积.18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,π2BAD ∠=,1AB BC ==,2AD =,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将ABE △沿BE 折起到1A BE △的位置,如图2.(Ⅰ)证明:CD ⊥平面1A OC ;(Ⅱ)若平面1A BE ⊥平面BCDE ,求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100(Ⅰ)求T (Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.(本小题满分12分)已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ,原点O 到经过两点(,0)c ,(0,)b 的直线的距离为12c .(Ⅰ)求椭圆E 的离心率;(Ⅱ)如图,AB 是圆M :225(2)(1)2x y ++-=的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.21.(本小题满分12分)设()n f x 是等比数列,x ,2,,n 的各项和,其中0x >,n ∈Ν,2n ≥.(Ⅰ)证明:内有且仅有一个零点(记为n x ),且,其各项和为()n g x ,比较()n f x 与()n g x 的大小,并加以证明.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 切O 于点B ,直线AO 交O 于D , E 两点,BC DE ⊥,垂足为C . (Ⅰ)证明:CBD DBA ∠=∠;(Ⅱ)若3AD DC =,BC =求O 的直径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程数学试卷 第5页(共18页) 数学试卷 第6页(共18页)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C 的极坐标方程为ρθ=.(Ⅰ)写出C 的直角坐标方程;(Ⅱ)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知关于x 的不等式||b x a +<的解集为{|24}xx <<. .2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学答案解析第一部分一、选择题 1.【答案】A【解析】由2{|}{0,1},M x x x M ==⇒=N {|lg 0}N {|01}x x x x =≤⇒=<≤所以[0,1]MN =.【提示】求解一元二次方程化简M ,求解对数不等式化简N ,然后利用并集运算得答案 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】初中部女教师的人数为11070%77⨯=;高中部女教师的人数为40150%60⨯=,∴该校女教师的人数为7760137+=,【提示】利用百分比,可得该校女教师的人数. 【考点】收集数据的方法. 3.【答案】C4.【答案】B【解析】二项式(1)n x +的展开式的通项是1r rr n T C x +=, 令2r =得2x 的系数是2n C , 因为2x 的系数为15,所以215n C =,即2300n n --=,解得:6n =或5n =-, 因为n N +∈,所以6n =【提示】由题意可得215n C =,解关于n 的方程可得.【考点】二项式定理的应用. 5.【答案】D【解析】根据几何体的三视图,得;该几何体是圆柱体的一半,∴该几何体的表面积为2π1π1222V =+⨯⨯+⨯g 几何体3π4=+【提示】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体的一部分,利用图中数据求出它的表面积.【考点】由三视图求面积,体积 6.【答案】A【解析】22cos20cos sin 0ααα=⇒-=(cos sin )(cos sin )0αααα⇒-+=所以sin cos sin =cos αααα=-或【提示】由22cos2cos sin ααα=-,即可判断出.数学试卷 第7页(共18页) 数学试卷 第8页(共18页)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 7.【答案】B【解析】因为||||cos ,||||a b a b a b a b =<>≤r r r r r r r rg ,所以选项A 正确; 当a r 与b r 方向相反时,||||||a b a b -≤-r r r r不成立,所以选项B 错误;向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C 正确;22(a b)(a b)a b +-=-r r r r rr 所以选项D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得. 【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C【解析】解:模拟执行程序框图,可得20062004x x ==,满足条件02002x x ≥=, 满足条件02000x x≥=, ……满足条件00x x ≥=, 满足条件0x ≥, 不满足条件010x y ≥=, 输出y 的值为10【提示】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x 的值,当2x =-时不满足条件0x ≥,计算并输出y 的值为10.【考点】程序框图 9.【答案】B【解析】p f ==,ln22a b a b q f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭, ()11()()ln 22r f a f b ab =+==函数()lnf x x =在(0,)+∞上单调递增, 因为2a b+>2a b f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以q p r >=即每天生产甲乙两种产品分别为2,3顿,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元数学试卷 第9页(共18页) 数学试卷 第10页(共18页)4242π12.【答案】A【解析】假设选项A 错误,则选项B 、C 、D 正确,()2f x ax b '=+, 因为1是()f x 的极值点,3是()f x 的极值,所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩,203a b a b c +=⎧⎨++=⎩,解得23b a c a =-⎧⎨=+⎩,因为点(2,8)在曲线()y f x =上,所以428a b c ++=, 解得:5a =,所以10b =-,8c =, 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠, 所以1-不是()f x 的零点,所以假设成立,选A【提示】可采取排除法.分别考虑A ,B ,C ,D 中有一个错误,通过解方程求得a ,判断是否为非零整数,即可得到结论. 【考点】二次函数的性质.第二部分二、填空题 13.【答案】5【解析】解:设该等差数列的首项为a ,由题意和等差数列的性质可得201510102a +=⨯ 解得5a =【提示】由题意可得首项的方程,解方程可得. 【考点】等差数列 14.【答案】【解析】抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2p x =-, 双曲线221x y -=的一个焦点1(F , 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点,所以p-=p =16.【答案】1.2数学试卷 第11页(共18页)317.【答案】(Ⅰ)3A = (Ⅱ)sin 3又由a b >,知A B >,所以cos B =故sin sin()C A B =+πsin 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33B B =+= 所以ABC ∆的面积为1sin bc A =18.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ),取1)1(0n =,,,m n >==g u r r数学试卷 第14页(共18页)332ET =(分钟)(Ⅱ)0.91(Ⅱ)221x y +=数学试卷 第15页(共18页) 数学试卷 第16页(共18页)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆E 的方程为22244x y b +=,①设出直线AB 的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可得23b =,即可得到椭圆方程.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,曲线与方程22.【答案】(Ⅰ)见解析数学试卷 第17页(共18页)数学试卷 第18页(共18页)【提示】(Ⅰ)根据直径的性质即可证明:CBD DBA ∠=∠; (Ⅱ)结合割线定理进行求解即可求O 的直径.【考点】直线与圆的位置关系 23.【答案】(Ⅰ)22(3x y += (Ⅱ)()3,0P24.【答案】(Ⅰ)31a b =-⎧⎨=⎩。
2015陕西高考数学(理科)试题解析版
2015·陕西卷(理数)1.A1[2015·陕西卷] 设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1) D .(-∞,1]1.A [解析] 由题得集合M ={0,1},N =(0,1],所以M ∪N =[0,1]. 2.I5[2015·陕西卷] 某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图1-1所示,则该校女教师的人数为( )图1-1A .93B .123C .137D .1672.C [解析] 女教师的人数是110×70%+150×40%=137. 3.C4[2015·陕西卷] 如图1-2,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )图1-2A .5B .6C .8D .103.C [解析] 据图可知,-3+k =2,得k =5,所以y max =3+5=8. 4.J3[2015·陕西卷] 二项式(x +1)n (n ∈N +)的展开式中x 2的系数为15,则n =( ) A .7 B .6 C .5 D .44.B [解析] 根据二项展开式的通项公式可得x 2的系数为C n -2n =C 2n=n (n -1)2=15,解得n =6.5.G2[2015·陕西卷] 一个几何体的三视图如图1-3所示,则该几何体的表面积为( )图1-3A .3πB .4πC .2π+4D .3π+4 5.D [解析] 该几何体是底面半径为1、母线长为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱,其表面积为12×2π×1×2+2×12×π×12+2×2=3π+4.6.A2、C6[2015·陕西卷] “sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 6.A [解析] sin α=cos α时,cos 2α=cos 2α-sin 2α=0,反之cos 2α=0时,sin α=±cos α,故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.F3[2015·陕西卷] 对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立的是( ) A .|a ·b|≤|a||b| B .|a -b|≤||a|-|b|| C .(a +b )2=|a +b|2 D .(a +b )·(a -b )=a 2-b 27.B [解析] 根据数量积的定义a·b =|a||b|cos 〈a ,b 〉,所以|a·b|=||a||b|cos 〈a ,b 〉|≤|a||b |,选项A 中的关系式一定成立;如果选项B 中的关系式成立,则|a -b|2≤||a|-|b||2,可得a·b ≥|a||b|,此式只在a ,b 共线且同向时成立;根据向量的运算法则可知选项C ,D 中的关系式是恒成立的.8.L1[2015·陕西卷] 根据下面框图1-4,当输入x 为2006时,输出的y =( )图1-4A .2B .4C .10D .288.C [解析] 输入x 值后循环结构的功能是把输入值逐次减去2.由于2006为偶数,所以最后一次执行循环体后x =-2,故输出的y =32+1=10.9.B7、E6[2015·陕西卷] 设f (x )=ln x ,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( )A .q =r <pB .p =r <qC .q =r >pD .p =r >q9.B [解析] r =12(f (a )+f (b ))=12ln(ab )=ln ab =p .因为b >a >0,所以a +b 2>ab ,又函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以q >p =r ,故选B.10.E5[2015·陕西卷] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B .16万元 C .17万元 D .18万元10.D [解析] 设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨,则x ,y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0, 利润z =3x +4y .约束条件表示的平面区域是以(0,0),(4,0),(2,3),(0,4)为顶点的四边形及其内部,把各点坐标代入目标函数检验可知,目标函数在点(2,3)处取得最大值3×2+4×3=18,即该企业每天的最大利润为18万元.11.K3、L4[2015·陕西卷] 设复数z =(x -1)+y i(x ,y ∈R ),若|z |≤1,则y ≥x 的概率为( ) A.34+12π B.12+1π C.12-1π D.14-12π11.D [解析] 由|z |≤1得(x -1)2+y 2≤1,其表示圆心为(1,0),半径为1的圆及其内部.在此区域内y ≥x 表示的区域为图中的阴影部分,其面积为圆(x -1)2+y 2=1面积的四分之一减去一个等腰直角三角形的面积,即π4-12,故y ≥x 的概率为π4-12π=14-12π.12.B5[2015·陕西卷] 对二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A .-1是f (x )的零点B .1是f (x )的极值点C .3是f (x )的极值D .点(2,8)在曲线y =f (x )上12.A [解析] 若前三个选项中的结论正确,则a -b +c =0,-b2a=1,a +b +c =3,解得a =-34,与a 为非零整数矛盾,故错误的结论一定在前三个选项,选项D 中的结论一定正确;若选项A ,B 正确,则有a -b +c =0,-b 2a =1,4a +2b +c =8,解得a =-83,与a为非零整数矛盾,故错误结论一定在选项A ,B 中,即选项C ,D 的结论正确;若选项A 正确,则a -b +c =0,4ac -b 24a =3,4a +2b +c =8,整理得a 无实数解,与a 为非零整数矛盾,故错误的只能是选项A 中的结论.13.D2[2015·陕西卷] 中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________.13.5 [解析] 设首项为a 1,则a 1+2015=2×1010,解得a 1=5. 14.H6、H7[2015·陕西卷] 若抛物线y 2=2px (p >0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p =________.14.22 [解析] 双曲线x 2-y 2=1的左焦点为(-2,0),所以-p2=-2,故p =2 2.15.B12、H2[2015·陕西卷] 设曲线y =e x 在点(0,1)处的切线与曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为________.15.(1,1) [解析] 对y =e x 求导得y ′=e x ,令x =0,得曲线y =e x 在点(0,1)处的切线斜率为1,故曲线y =1x (x >0)上点P 处的切线斜率为-1,由y ′=-1x 2=-1,得x =1,则y =1,所以P 的坐标为(1,1).16.B10、B13[2015·陕西卷] 如图1-5,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.图1-516.1.2 [解析] 以梯形的底边为x 轴,底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程为y =ax 2,根据已知点(5,2)在该抛物线上,代入抛物线方程得a =225,即抛物线方程为y =225x 2,故抛物线与直线y =2所围成的图形的面积为2⎠⎛052-225x 2d x =⎪⎪22x -275x 350=403,梯形的面积为10+62×2=16.最大流量之比等于其截面面积之比,故比值为16403=4840=1.2.17.C8[2015·陕西卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m =(a ,3b )与n =(cos A ,sin B )平行.(1)求A ;(2)若a =7,b =2,求△ABC 的面积.17.解:(1)因为m ∥n ,所以a sin B -3b cos A =0, 由正弦定理得sin A sin B -3sin B cos A =0, 又sin B ≠0,从而tan A =3, 由于0<A <π,所以A =π3.(2)方法一:由余弦定理得 a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 而a =7,b =2,A =π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c -3=0, 因为c >0,所以c =3.故△ABC 的面积为12bc sin A =332.方法二:由正弦定理得7sin π3=2sin B ,从而sin B =217, 又由a >b ,知A >B ,所以cos B =277.故sin C =sin(A +B )=sin B +π3= sin B cos π3+cos B sin π3=32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C =332.18.G5、G10、G11[2015·陕西卷] 如图1-6(1)所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =π2,AB =BC =1,AD =2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE折起到△A 1BE 的位置,如图1-6(2)所示.(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.图1-618.解:(1)证明:在图(1)中,因为AB =BC =1,AD =2,E 是AD 的中点, ∠BAD =π2,所以BE ⊥AC ,BE ∥CD .即在图(2)中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,又OA 1∩OC =O ,OA 1⊂平面A 1OC ,OC ⊂平面A 1OC , 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1BE C 的平面角, 所以∠A 1OC =π2.如图,以O 为原点,OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,因为A 1B =A 1E =BC =ED =1,BC ∥ED , 所以B22,0,0,E -22,0,0,A 10,0,22,C 0,22,0, 得BC →=-22,22,0,A 1C →=0,22,-22,CD →=BE →=(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ,则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →=0,n 1·A 1C →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧-x 1+y 1=0,y 1-z 1=0,取n 1=(1,1,1);⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →=0,n 2·A 1C →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0,y 2-z 2=0,取n 2=(0,1,1),从而cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=23×2=63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63. 19.K5、K6、K8[2015·陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T 的分布列与数学期望ET ;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.19.解:(1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得从而ET =25×0.2+30(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同. 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.方法一:P (A )=P (T 1+T 2≤70)=P (T 1=25,T 2≤45)+P (T 1=30,T 2≤40)+P (T 1=35,T 2≤35)+P (T 1=40,T 2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.方法二:P (A )=P (T 1+T 2>70)=P (T 1=35,T 2=40)+P (T 1=40,T 2=35)+P (T 1=40,T 2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P (A )=1-P (A )=0.91.20.H5、H8[2015·陕西卷] 已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ,原点O 到经过两点(c ,0),(0,b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图1-7,AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径,若椭圆E 经过A ,B 两点,求椭圆E 的方程.图1-720.解:(1)过点(c ,0),(0,b )的直线方程为bx +cy -bc =0,则原点O 到该直线的距离d =bc b 2+c 2=bca ,由d =12c ,得a =2b =2a 2-c 2,解得离心率c a =32.(2)方法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB |=10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y =k (x +2)+1,代入①得(1+4k 2)x 2+8k (2k +1)x +4(2k +1)2-4b 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2,x 1x 2=4(2k +1)2-4b 21+4k 2. 由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k 2=-4,解得k =12. 从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB |=1+122|x 1-x 2|= 52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2). 由|AB |=10,得10(b 2-2)=10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1. 方法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB |=10.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21+4y 21=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0.易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2,所以AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=12. 因此直线AB 的方程为y =12(x +2)+1,代入②得x 2+4x +8-2b 2=0, 所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2.于是|AB |=1+122|x 1-x 2|= 52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10(b 2-2). 由|AB |=10,得10(b 2-2)=10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1. 21.B9、B12、D2、D3[2015·陕西卷] 设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x >0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在12,1内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n +1n; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.21.解:(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x +x 2+…+x n -2,则F n (1)=n -1>0,F n 12=1+12+122+…+12n -2=1-12n +11-12-2=-12n <0, 所以F n (x )在12,1内至少存在一个零点. 又F n ′(x )=1+2x +…+nx n -1>0,故F n (x )在12,1内单调递增, 所以F n (x )在12,1内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1-x n +1n 1-x n -2=0,故x n =12+12x n +1n . (2)方法一:由题设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2. 设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x +x 2+…+x n -(n +1)(1+x n )2,x >0. 当x =1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h ′(x )=1+2x +…+nxn -1-n (n +1)x n -12. 若0<x <1,h ′(x )>x n -1+2x n -1+…+nx n -1-n (n +1)2x n -1=n (n +1)2x n -1-n (n +1)2x n -1=0.若x >1,h ′(x )<x n -1+2x n -1+…+nx n -1-n (n +1)2x n -1=n (n +1)2x n -1-n (n +1)2x n -1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ).综上所述,当x =1时,f n (x )=g n (x );当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).方法二:由题设,f n (x )=1+x +x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x >0. 当x =1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n =2时,f 2(x )-g 2(x )=-12(1-x )2<0,所以f 2(x )<g 2(x )成立. ②假设n =k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ).那么,当n =k +1时,f k +1(x )=f k (x )+x k +1<g k (x )+x k +1=(k +1)(1+x k )2+x k +1=2x k +1+(k +1)x k +k +12. 又g k +1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12= kx k +1-(k +1)x k +12,令h k (x )=kx k +1-(k +1)x k +1(x >0),则h k ′(x )=k (k +1)x k -k (k +1)x k -1=k (k +1)x k -1(x -1).所以当0<x <1时,h k ′(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减;当x >1时,h k ′(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增.所以h k (x )>h k (1)=0,从而g k +1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12. 故f k +1(x )<g k +1(x ),即n =k +1时不等式也成立.由①和②知,当x ≠1时,对一切n ≥2,n ∈N ,都有f n (x )<g n (x ).综上所述,当x =1时,f n (x )=g n (x );当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).方法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k =1,2,…,n +1. 则a 1=b 1=1,a n +1=b n +1=x n ,所以a k =1+(k -1)·x n -1n(2≤k ≤n ), b k =x k -1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k -1)(x n -1)n-x k -1,x >0(2≤k ≤n ), 当x =1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,m k ′(x )=k -1n·nx n -1-(k -1)x k -2= (k -1)x k -2(x n -k +1-1).而2≤k ≤n ,所以k -1>0,n -k +1≥1.若0<x <1,则x n -k +1<1,m k ′(x )<0;若x >1,x n -k +1>1,则m k ′(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以m k (x )>m k (1)=0,所以当x >0且x ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ),又a 1=b 1,a n +1=b n +1,故f n (x )<g n (x ).综上所述,当x =1时,f n (x )=g n (x );当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).22.N1[2015·陕西卷] 选修4-1:几何证明选讲如图1-8,AB 切⊙O 于点B ,直线AO 交⊙O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C .(1)证明:∠CBD =∠DBA ;(2)若AD =3DC ,BC =2,求⊙O 的直径.图1-822.N3解:(1)证明:因为DE 为⊙O 的直径,则∠BED +∠EDB =90°,又BC ⊥DE ,所以∠CBD +∠EDB =90°,从而∠CBD =∠BED .又AB 切⊙O 于点B ,得∠DBA =∠BED ,所以∠CBD =∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA BC =AD CD=3,又BC =2,从而AB =3 2. 所以AC =AB 2-BC 2=4,所以AD =3.由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE =AB 2AD=6, 故DE =AE -AD =3,即⊙O 的直径为3.23.N4[2015·陕西卷] 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =3+12t ,y =32t (t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ=23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.23.解:(1)由ρ=23sin θ,得ρ2=23ρsin θ,从而有x 2+y 2=23y ,所以⊙C 的直角坐标方程为x 2+(y -3)2=3.(2)设P 3+12t ,32t ,又C (0,3), 则|PC |=3+12t 2+32t -32=t 2+12, 故当t =0时,|PC |取得最小值,此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.[2015·陕西卷] 选修4-5:不等式选讲已知关于x 的不等式|x +a |<b 的解集为{x |2<x <4}.(1)求实数a ,b 的值;(2)求at +12+bt 的最大值.24.解:(1)由|x +a |<b ,得-b -a <x <b -a ,则⎩⎪⎨⎪⎧-b -a =2,b -a =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =1. (2)-3t +12+ t =3·4-t +t ≤ [(3)2+12][(4-t )2+(t )2]=24-t +t =4, 当且仅当4-t 3=t 1,即t =1时等号成立, 故(-3t +12+ t )max =4.。
2015年高考陕西省理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N =( )A .[0,1]B .(0,1]C .[0,1)D .(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A .167B .137C .123D .933.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++,据此函数可知,这段时间水深(单位:m )的最大值为( ) A .5B .6C .8D .104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n =( )A .4B .5C .6D .75.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .3πB .4πC .24π+D .34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ,下列关系式中不恒成立的是( ) A .|?|||||a b a b ≤B .||||||||a b a b -≤-C .22()||a b a b +=+D .22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图,当输入x 为2006时,输出的y =( )A .28B .10C .4D .29.设()ln ,0f x x a b =<<,若()p f ab =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12万元B .16万元C .17万元D .18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈,若||1z ≤,则y x ≥的概率( ) A .3142π+ B .1142π- C .112π- D .112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A .-1是()f x 的零点 B .1是()f x 的极值点 C .3是()f x 的极值D .点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点,则p=15.设曲线x y e =在点(0,1)处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直,则p 的坐标为 16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行.()I 求A ; ()II 若7a =,2b =求C ∆AB 的面积.18.如图1,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,D 2π∠BA =,C 1AB =B =,D 2A =,E 是D A 的中点,O 是C A 与BE 的交点.将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置,如图2.()I 证明:CD⊥平面1CA O;()II若平面1A BE⊥平面CDB E,求平面1CA B与平面1CDA夹角的余弦值.19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:()I求T的分布列与数学期望ET;()II刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20.已知椭圆:E22221x ya b+=(0a b>>)的半焦距为c,原点O到经过两点(),0c,()0,b的直线的距离为12c.()I求椭圆E的离心率;()II如图,AB是圆:M()()225212x y++-=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.21.设()nf x是等比数列1,x,2x,⋅⋅⋅,n x的各项和,其中0x>,n∈N,2n≥.()I证明:函数()()F2n nx f x=-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点(记为nx),且11122nn nx x+=+;()II设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为()ng x,比较()nf x与()ng x的大小,并加以证明.22.如图,AB切O于点B,直线DA交O于D,E两点,C DB⊥E,垂足为C.()I证明:C D D∠B=∠BA;()II若D3DCA=,C2B=,求O的直径.23.在直角坐标系x yO中,直线l的参数方程为13232x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴C ()I 写出C 的直角坐标方程;()II P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案:A 解析过程: 由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦,选A2.答案:B解析过程:由图可知该校女教师的人数为,选B3.答案:C 解析过程:试题分析:由图像得, 当时,求得, 当时,,选C4.答案:B 解析过程:二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=,令2r =得2x 的系数是2n C ,因为2x 的系数为15,所以215n C =,即2300n n --=,解得:6n =或5n =-,11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=因为n N +∈,所以6n =,选C 5.答案:D 解析过程:试题分析:由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半, 所以该几何体的表面积为,选 6. 答案:A 解析过程:ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=,选A 7.答案:B 解析过程:因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤,所以选项A 正确;当a 与b 方向相反时,a b a b -≤-不成立,所以选项B 错误; 向量的平方等于向量的模的平方,所以选项C 正确;22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确,选B8.答案:C 解析过程:初始条件:;第1次运行:;第2次运行:; 第3次运行:;;第1003次运行:; 第1004次运行:.不满足条件,停止运行, 所以输出的,故选 B .9.答案:B 解析过程:()ln p f ab ab ==,()ln22a b a bq f ++==, 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增,21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D 2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=因为2a b ab +>,所以()()2a bf f ab +>, 所以q p r >=,故选C10.答案:D 解析过程:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨,则利润由题意可列,其表示如图阴影部分区域:当直线过点时,取得最大值, 所以,故选D 11.答案:D解析过程:如图可求得,,阴影面积等于 若,则的概率是,故选B . 12.答案:A 解析过程:假设选项A 错误,则选项B 、C 、D 正确,()2f x ax b '=+, 因为1是()f x 的极值点,3是()f x 的极值,所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩,203a b a b c +=⎧⎨++=⎩,解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩,因为点(2,8)在曲线()y f x =上,所以428a b c ++=, 解得:5a =,所以10b =-,8c =, 所以2()5108f x x x =-+x y 34z x y =+32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠,所以1-不是()f x 的零点,所以假设成立,选A 二、填空题 13.答案:5 解析过程:设数列的首项为,则, 所以,故该数列的首项为 14.答案:解析过程:抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-, 双曲线221x y-=的一个焦点1(F , 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点, 所以2p-=p =15.答案:(1,1) 解析过程:因为,所以,所以曲线在点处的切线的斜率,设的坐标为(),则, 因为,所以, 所以曲线在点处的切线的斜率, 因为,所以,即,解得, 因为,所以,所以,即的坐标是1a 12015210102020a +=⨯=15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-211x -=-201x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,116.答案:1.2 解析过程:建立空间直角坐标系,如图所示:原始的最大流量是, 设抛物线的方程为(), 因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即, 所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案:(I );(II ).解析过程:(I )因为,所以,由正弦定理,得 又,从而,由于,所以(II)解法一:由余弦定理,得而得,即因为,所以.故ABC 的面积为()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π332//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22解法二:由正弦定理得72sin sin3Bπ=,从而21sin 7B =,又由a b >,知A B >,所以27cos 7B = 故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+32114=所以ABC ∆的面积为133sin 22bc A = 18.答案:(I )证明见解析;(II )解析过程:(I )在图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,BAD=,所以BE AC 即在图2中,BE ,BE OC 从而BE 平面又CD BE ,所以CD 平面. (II)由已知,平面平面BCDE , 又由(1)知,BE ,BE OC所以为二面角的平面角,所以.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为, 所以 63∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B得 ,.设平面的法向量, 平面的法向量,平面与平面夹角为,则,得,取,,得,取, 从而, 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案:()I T 的分布列为:ET=32(分钟)()II解析过程:从而 (分钟) (II)设分别表示往、返所需时间,的取值相互独立,且与T 的分布列相同.22BC(,,0),22122A C(0,)22CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y yz -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200xy z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟, 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一:.解法二:故.20.答案:()I 2()II 22x y +=1123解析过程:(I )过点(c,0),(0,b)的直线方程为,则原点O 到直线的距离,由, 得,解得离心率. (II)解法一:由(I )知,椭圆E 的方程为. (1) 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB 的中点,且.易知,AB 不与x 轴垂直, 设其直线方程为,代入(1)得设 则 由,得解得. 从而.121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc bcd a ==12d c 2222ab ac 32c a22244x y b |AB |10(2)1yk x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k21282x x b于是. 由,得,解得.故椭圆E 的方程为.解法二:由(I )知,椭圆E 的方程为. (2) 依题意,点A ,B 关于圆心M(-2,1)对称,且.设 则,,两式相减并结合得.易知,AB 不与x 轴垂直,则, 所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为, 代入(2)得 所以,.于是. 由,得,解得.故椭圆E 的方程为.21.答案:(I )证明见解析;(II )当时, ,12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y 12x x ≠12121k .2AB y y x x 1(2)12yx 224820.xx b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x当时,,证明见解析.解析过程: (I )则所以在内至少存在一个零点. 又,故在内单调递增,所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点,所以,即,故.(II)解法一:由题设,设当时,当时,若,1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x 11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22nnn n n n x x若,所以在上递增,在上递减, 所以,即.综上所述,当时, ;当时解法二 由题设,当时,当时, 用数学归纳法可以证明.当时, 所以成立.假设时,不等式成立,即.那么,当时,.又令,则所以当,,在上递减;当,,在上递增. 1x ()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-11110.22nnn n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n2221()()(1)0,2f xg x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1nk 111k+1k 11()()()2kk kk k k x f x f x x g x x x 12112kk x k x k 11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x 1()11(x 0)kk k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞所以,从而故.即,不等式也成立.所以,对于一切的整数,都有.解法三:由已知,记等差数列为,等比数列为,则,,所以, 令当时, ,所以.当时, 而,所以,.若, ,,当,,, 从而在上递减,在上递增.所以,所以当又,,故综上所述,当时, ;当时22.答案:()I 见解析()II 直径为3 解析过程:(Ⅰ)因为是的直径,则,又,所以, 又切于点,得,所以;(Ⅱ)由(Ⅰ)知平分,则, ()(1)0k k h x h 1k+1211()2kk x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k 1,2,, 1.n 111a b 11n n na b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11nk x()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m 01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA ADBC CD==又,从而,由,解得,所以,由切割线定理得,解得, 故,即的直径为3.23.答案:()I 22(-3x y +=()II (3,0)解析过程:(1)由,得,从而有,所以(2)设,又, 则24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.()I 求实数a ,b 的值;()II答案:()I a=-3,b=1()II 4 解析过程:(Ⅰ)由,得,由题意得,解得;,时等号成立, 故BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min4=。
陕西省西安市第八十三中学2015届高三下学期二模考试数学(理)试题及答案
西安市第八十三中学2015届高三年级第二次模拟考试数学(理)试题命题人:唐颖鸿 审题人:韦如成一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合{34}M x x =-<,集合2{0,}1x N x x Z x +=≤∈-,那么M N =( )A.{11}x x -<≤B. {1,0}- C .{0} D .{0,1} 2. 已知→a =(cos40︒,sin40︒),→b =(cos80︒,-sin80︒),则→a ·→b =( )A. 1B. 32 C .- 12 D .223.如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是 边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )A. 36B.423 C 433D 834.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若12852=++a a a ,则9S 等于( )A. 18B. 36 C 72 D 无法确定 5.圆5)2(22=++y x 关于直线10x y -+=对称的圆的方程为( ) A .22(2)5x y -+= B .5)2(22=-+y xC .22(1)(1)5x y -+-=D .22(1)(1)5x y +++=6.已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( )A .255B .41515C .33D 37.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23=S ,186=S ,则=510S S ( ) A .17 B .33 C .-31 D .-38. P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在( )A. ABC ∆内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上俯视图主视图左视图9.定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s 值,则552cos 2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的值为( )A .4B .3C .2D .―1 10.在ABC ∆中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ∆一定是( )A .直角三角形B .等腰三角形 C.等腰直角三角形 D .正三角形11. 两个三口之家,共4个大人,2个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游,每辆车最多只能乘坐4人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是( )A. 40B. 48C. 60D. 6812. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩,若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(-∞,1]D.[0,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.) 13.在291(1)(1)(1)x x x +++++++的展开式中,2x 项的系数是 .(用数字作答)14.在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩给定。
陕西省西安市83中2015届高三下学期二模考试数学(理科)含答案
陕西省西安市83中2015届高三下学期二模考试数学(理科)含答案命题人:唐颖鸿 审题人:韦如成一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合{34}M x x =-<,集合2{0,}1x N xx Z x +=≤∈-,那么M N =( ) A.{11}x x -<≤ B. {1,0}- C .{0} D .{0,1} 2. 已知→a =(cos40︒,sin40︒),→b =(cos80︒,-sin80︒),则→a ·→b =( )A. 1B. 32 C .- 12 D .223.如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是 边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )D 834.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若12852=++a a a ,则9S 等于( )A. 18B. 36 C 72 D 无法确定 5.圆5)2(22=++y x 关于直线10x y -+=对称的圆的方程为( ) A .22(2)5x y -+= B .5)2(22=-+y xC .22(1)(1)5x y -+-=D .22(1)(1)5x y +++=6.已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( )A C 7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23=S ,186=S ,则=510S S ( ) A .17 B .33 C .-31 D .-38. P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在( )俯视图A. ABC ∆内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上 9.定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s值,则552cos 2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的值为( )A .4B .3C .2D .―1 10.在ABC ∆中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ∆一定是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .正三角形 11. 两个三口之家,共4个大人,2个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游,每辆车最多只能乘坐4人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是( )A. 40B. 48C. 60D. 6812. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩,若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(-∞,1]D.[0,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.) 13.在291(1)(1)(1)x x x +++++++的展开式中,2x 项的系数是 .(用数字作答)14.在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩给定。
2015年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学(理科)使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|(1)(2)0}B x x x =-+<,则AB =( )A .{1,0}A =-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{0,1,2} 2.若a 为实数,且(2i)(2i)4i a a +-=-,则a =( )A .1-B .0C .1D .23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A .逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B .2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C .2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D .2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{}n a 满足13a =,135a a a ++=21,则357a a a ++=( )A .21B .42C .63D .845.设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩<≥则2(2)(log 12)f f -+=( ) A .3B .6C .9D .126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B .17C .16D .157.过三点(1,3)A ,(4,2)B ,(1,7)C -的圆交y 轴于M ,N 两点,则||MN =( )A .26B .8C .46D .108.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a =( )A .0B .2C .4D .149.已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB =90°, C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36,则球O 的表面积为( )A .36πB .64πC .144πD .256π10.如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =的图象大致为( )ABCD11.已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A .5B .2C .3D .2 12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围( )A .(,1)(0,1)-∞-B .(1,0)(1,)-+∞C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=________.14.若x ,y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a =________. 16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC △中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,ABD △面积是ADC △面积的2倍.(Ⅰ)求sin sin BC∠∠;(Ⅱ)若1AD =,22DC =,求BD 和AC 的长. 18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,11D C 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>:,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .(Ⅰ)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,请说明理由.21.(本小题满分12分)设函数2()mx f x e x mx =+-.(Ⅰ)证明:()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增;(Ⅱ)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12()()1f x f x e --≤,求m 的取值范围.请考生在第22~24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点. (Ⅰ)证明:EF BC ∥;(Ⅱ)若AG 等于⊙O 的半径,且23AE MN ==,求四边形EBCF 的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,0t ≠),其中0πα≤<.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,3:23cos C ρθ=. (Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标;(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求||AB 最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c ,d 均为正数,且a b c d +=+,证明: (Ⅰ)若ab cd >,则a b c d +>+; (Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<,故,}10{AB -=,故选A .【提示】解一元二次不等式,求出集合B ,然后进行交集的运算即可. 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根. 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-,所以40a =,244a -=-,解得0a =,故选B .【提示】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之. 【考点】复数的四则运算. 3.【答案】D【解析】解:A .从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A 正确;B .2004~2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C .从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C 正确;D .2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D 错误. 故选:D【提示】A .从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多,故A 正确;B .从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C .从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C 正确;D .2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D 错误. 【考点】柱形图信息的获得. 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ,则24111++21a a q a q =,又因为13a =,所以42+60q q -=,解得22q =,所以2357135++(++)42a a a a a a q ==,故选B .【提示】由已知,13a =,135++21a a a =,利用等比数列的通项公式可求q ,然后在代入等比数列通项公式即可求.【考点】等比数列通项公式和性质.5.【答案】C【解析】由已知得2(2)1+log 43f -==,又2log 121>,所以22log 121log 62(log 12)226f -===,故2(2)+(log 12)9f f -=.【提示】先求2(2)1+log (2+2)1+23f -===,再由对数恒等式,求得2(log 12)6f =,进而得到所求和.【考点】函数定义域以及指数对数的运算. 6.【答案】D【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中,截去四面体111A A B D -,如图所示,设正方体棱长为a ,则11133111326A A B D V a a -=⨯=,故剩余几何体积为3331566a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.故选D .【提示】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可.【考点】几何图形的三视图. 7.【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--,2+7341CB k ==-,所以1AB CB k k =-,所以AB CB ⊥,即ABC △为直角三角形,其外接圆圆心为(1,2)-,半径为5,所以外接圆方程为22(1)+(+2)25x y -=,令0x =,得2y =±,所以||MN =,故选C .【提示】设圆的方程为22+++0x y Dx Ey F =,代入点的坐标,求出D ,E ,F ,令0x =,即可得出结论.【考点】直线与圆的相交,距离的计算. 8.【答案】B【解析】程序在执行过程中,a ,b 的值依次为14a =,18b =;4b =;10a =;6a =;2a =;2b =,此时2a b ==程序结束,输出a 的值为2,故选B .【提示】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a ,b 的值,即可得到结论.【考点】程序框图. 9.【答案】C【解析】如图所示,当点C 位于垂直面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -体积最大,设球O 的半径为R ,此时23--11136326O ABC C ABC V V R R R ==⨯⨯==,故R =6,则球O 的表面积为:24π144πS R ==,选C .【提示】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时,三棱锥O ABC -的体积最大,利用三棱锥O ABC -体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O 的表面积.【考点】球面的表面积和锥体的体积. 10.【答案】B【解析】由已知得,当点P 在BC 边上运动时,即π04x ≤≤时,P A +PBtan x ; 当点P在CD边上运动时,即π3π44x ≤≤,π2x ≠时,+PA P B =当π2x =时,+PA PB = 当点P 在AD 边上运动时,3ππ4x ≤≤时,P A +PB=tan +P A P x B =, 从点P 的运动过程可以看出轨迹关于直线π2x =对称,且ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且轨迹非线型,故选B .【提示】根据函数图像关系,利用排除法进行求解即可. 【考点】动点的函数图像. 11.【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(00)x y a b a b-=>>,,如图所示,||||AB BM =,120ABM ∠=︒,过点M 作MN x ⊥轴,垂足为N ,在Rt BMN △中,||BN a =,||MN =,故点M 的坐标为(2)M a ,代入双曲线方程得2222a b c a ==-,即222c a =,所以e 故选D .【提示】设M 在双曲线22221x ya b -=的左支上,由题意可得M的坐标为(2)M a ,代入双曲线方程可得a b =,再由离心率公式即可得到所求值. 【考点】双曲线离心率. 12.【答案】A 【解析】记函数()()f x g x x =,则2()()()xf x f x g x x'-'=,因为当0x >时,()()0xf x f x '-<,故当0x >时,()0g x '<,所以()g x 在(,+)∞0单调递减,又因为函数()f x ()x ∈R 是奇函数,故函数()g x 是偶函数,所以()g x 在(,0)-∞单调递增,且(1)(1)0g g -==.当01x <<时,()0g x >,则()0f x >;当1x <-时,()0g x <,则()0f x >,综上所述,使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-,故选A .【提示】由已知当0x >时总有()()0xf x f x '-<成立,可判断函数()()f x g x x=为减函数,由已知()f x 是定义在R 上的奇函数,可证明()g x 为(,0)(0,+)-∞∞上的偶函数,根据函数()g x 在(0,+)∞上的单调性和奇偶性,模拟()g x 的图像,而不等式()0f x >等价于()0x g x >,数形结合解不等式组即可.【考点】奇函数,导数,定义域的求解.第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】12【解析】因为向量+a b λ与+2a b 平行,所以+(+2)a b k a b λ=,则12k k λ=⎧⎨=⎩,,所以12λ=.【提示】利用向量平行即共线的条件,得到向量+a b λ与+2a b 之间的关系,利用向量相等解析【考点】平面向量的基本定理.14.【答案】32【解析】画出可行域,如图所示,将目标函数变形为+y x z =,当z 取最大时,直线+y x z=的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到11,2D ⎛⎫⎪⎝⎭,则+z x y =的最大值为32.【提示】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y 轴的截距最大值【考点】线性规划问题的最值求解. 15.【答案】3【解析】由已知得4234(1+)1+4+6+4+x x x x x =,故4(+)(1+)a x x 的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ,34ax ,x ,36x ,5x ,其系数之和为4+4+1+6+132a a =,解得3a =. 【提示】给展开式中的x 分别赋值1,1-,可得两个等式,两式相减,再除以2得到答案.【考点】排列组合. 16.【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=,两边同时除以+1n n S S ,得+1111n nS S -=-,故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项,1-为公差的等差数列,则11(1)n n n S =---=-,所以1n S n =-. 【提示】通过111n n n n n a S S S S +++=-=,并变形可得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项和公差均为1-的等差数列,进而可得结论. 【考点】数列的求和运算. 三、解答题 17.【答案】(Ⅰ)12(Ⅱ)BD =1AC =【解析】(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD =∠△,1sin 2ADC S AC AD CAD =∠△. 因为2ABD ADC S S =△△,BAD CAD ∠=∠, 所以2AB AC =. 由正弦定理得:sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.(Ⅱ)因为:ABD ADC S S BD DC ==△△所以BD =.在ABD △和ADC △,由余弦定理知:222+2cos AB AD BD AD BD ADB =-∠,222+2cos AC AD DC AD DC ADC =-∠,故22222+23++26AB AC AD BD DC == 由(Ⅰ)知2AB AC =, 所以1AC =.【提示】(Ⅰ)过A 作AE BC ⊥于E ,由已知及面积公式可得2BD DC =,由AD 平分BAC ∠及正弦定理可得sin sin AD BAD B BD ⨯∠∠=,sin sin AD DAC C DC ⨯∠∠=,从而得解sin sin BC∠∠.(Ⅱ)由(Ⅰ)可求BD =D 作DM AB ⊥于M ,作DN AC ⊥于N ,由AD平分BAC ∠,可求2AB AC =,利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长. 【考点】正弦定理,余弦定理. 18.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)0.48【解析】(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (Ⅱ)记1AC 表示事件:“A 地区用户满意度等级为满意或不满意”; 记2A C 表示事件:“A 地区用户满意度等级为非常满意”; 记1B C 表示事件:“B 地区用户满意度等级为不满意”; 记2B C 表示事件:“B 地区用户满意度等级为满意”.则1A C 与1B C 独立,2A C 与2B C 独立,1B C 与2B C 互斥,1122B A B A C C C C C =,112211221122()()()+()()()+()()B A B A B A B A B A B A P C P C C C C P C C P C C P C P C P C P C ===由所给数据的1A C ,2A C ,1B C ,2B C 发生的概率分别为1620,420,1020,820,故116()20A P C =,24()20A P C =,110()20B P C =,28()20B PC =,101684()+202020200.48P C =⨯⨯=.【提示】(Ⅰ)根据茎叶图的画法,以及有关茎叶图的知识,比较即可; (Ⅱ)根据概率的互斥和对立,以及概率的运算公式,计算即可. 【考点】茎叶图,古典概型的相关运算. 19.【答案】(Ⅰ)见如图(Ⅱ)15【解析】(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM AB ⊥,垂足为M ,则14AM A E ==,18EM AA ==.因为EHGF 为正方形,所以10EH EF BC ===.于是6MH ==,所以10AH =.以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图示空间直角坐标系D xyz -, 则(10,0,0)A ,(10,10,0)H ,(10,4,8)E ,(0,4,8)F .(0,6,8)HE =-,(10,0,0)FE =. 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量,则00n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即1006+80x y z =⎧⎨-=⎩,所以可取(0,4,3)n =又(10,4,8)AF -=.故||45sin |cos ,|=15||||n AF n AF n AF θ==.所以AF 与平面EHGF . 【提示】(Ⅰ)容易知道所围成正方形的边长为10,再结合长方体各边的长度,即可找出正方形的位置,从而画出这个正方形;(Ⅱ)分别以直线DA ,DC ,DD 1为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,考虑用空间向量解决本问,能够确定A ,H ,E ,F 几点的坐标.设平面EFGH 的法向量为(,,)n x y z =,根据n FE n HE ⎧=⎪⎨=⎪⎩即可求出法向量n ,AF 坐标可以求出,可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ,由sin |cos ,|n AF θ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值. 【考点】线面平行、相交,线面夹角的求解. 20.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)能4【解析】(Ⅰ)设直线l :+(00)y kx b k b =≠≠,,11(,)A x y ,22(,)B x y (,)M M M x y .将+y kx b =代入2229+x y m =得2222(+9)+2+0k x kbx b m -=.故122+2+9M x x kb x k -==,29++9M M by kx b k ==, 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,9OM k k =-.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭,所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠.由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x . 由22299+y x k xy m⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22229+81P k m x k =,即P x = 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=,因此()233+9M kk m x k -=()四边形OAPB 为平行四边形且当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x =, 于是()2323+9k k m k =-(),解得14k =-2k =因为0i k>,3i k ≠,12i =,, 所以当l 的斜率为4OAPB 为平行四边形.【提示】(Ⅰ)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论.(Ⅱ)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x =,建立方程关系即可得到结论.【考点】直线的点斜式方程,平行四边形的判定. 21.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)(1,1)-【解析】(Ⅰ)因为2()e mx f x x mx =+-,所以()e 2mx f x m x m '=+-,2()e +20mxf x m ''=≥在R 上恒成立, 所以()e 2mxf x m x m '=+-在R 上单调递增,而(0)0f '=,所以0x >时,()0f x '>; 所以0x <时,()0f x '<.所以()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知min ()(0)1f x f ==,当0m =时,2()1+f x x =, 此时()f x 在[]1,1-上的最大值是2. 所以此时12()()|e 1f x f x -≤-|成立.当0m ≠时,(1)e +1+m f m --=,(1)e +1mf m =-,令()(1)(1)e e 2m mg m f f m -=--=--在R 上单调递增,而(0)0g =,所以0m >时,()0g m >,即(1)(1)f f >-, 0m <时,()0g m <,即(1)(1)f f <-.当0m >时,12|()()|(1)1e e 101mf x f x f m m -≤-=-≤-⇒<<,当0m <时,12|()()|(1)1e +e ()e 110m mf x f x f m m m ---≤--=≤--≤-⇒-<<.所以,综上所述m 的取值范围是(1,1)-.【提示】(Ⅰ)利用()0f x '≥说明函数为增函数,利用()0f x '≤说明函数为减函数.注意参数m 的讨论;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m ,()f x 在[]1,0-单调递减,在[0,1]单调递增,则恒成立问题转化为最大值和最小值问题.从而求得m 的取值范围. 【考点】导数的运算,单调性的判别,分类讨论,运算求解能力. 22.【答案】(Ⅰ)见解析【解析】(Ⅰ)由于ABC △是等腰三角形,AD BC ⊥, 所以AD 是CAB ∠的平分线.又因为O 分别与AB ,AC 相切于点E ,F ,故AD EF ⊥. 所以EF BC ∥.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE AF =,AD EF ⊥, 故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为O 的弦, 所以O 在AD 上.连接OE ,OM ,则OE AE ⊥. 由AG 等于O 的半径的2AO OE =,所以30OAE ∠︒=,因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE = 所以4AO =,2OE =.因为2OE OM ==,12DM MN == 所以1OD =.于是5AD =,AB =.所以四边形EBCF的面积为221122⨯-⨯=⎝⎭(.【提示】(Ⅰ)通过AD 是CAB ∠的角平分线及圆O 分别与AB .AC 相切于点E 、F ,利用相似的性质即得结论;(Ⅱ)通过(Ⅰ)知AD 是EF 的垂直平分线,连结OE 、OM ,则OE AE ⊥,利用ABC AEF S S -△△计算即可.【考点】等腰三角形,线线平行的判别,运算求解能力,面积的求解 23.【答案】(Ⅰ)(0,0)32⎫⎪⎪⎝⎭(Ⅱ)4【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为22+0x y -=.联立2222+20+0x y y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)和32⎫⎪⎪⎝⎭.(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=(0)ρρ∈≠R ,,其中0πα≤<. 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα,B的极坐标为,)αα.所以π|||2sin |4sin 3AB ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.当5π6α=时,||AB 取得最大值,最大值为4. 【提示】(Ⅰ)由曲线C 2:2sin ρθ=,化为22sin ρρθ=,把222s n +i x y y ρρθ⎧=⎨=⎩代入可得直角坐标方程.同理,由C 3:ρθ=,可得直角坐标方程,联立解出可得C 2与C 3交点的直角坐标. (Ⅱ)由曲线1C 的参数方程,消去参数t ,化为普通方程:tan y x α=,其中0πα≤<,其极坐标方程为:θα=(0)ρρ∈≠R ,,利用|||2sin |AB αα=-即可得出. 【考点】极坐标与参数方程,求解交点坐标,最大值的求解24.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ)因为2+a b =2+c d = 由题设++a b c d =,ab cd >得22>>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-则22()()a b c d -<-,即22(+)4(+)4a b ab c d cd -<-.因为++a b c d =,所以ab cd >.>(ⅱ)22>,即2++a b c d >. 因为++a b c d =,所以ab cd >,于是2222()(+)4(+)4()a b a b ab c d cd c d -=-<-=-因此||||a b c d -<-.||||a b c d-<-的充要条件.【提示】(Ⅰ)运用不等式的性质,结合条件a,b,c,d均为正数,且++a b c d=,ab cd>,即可得证;(Ⅱ)从两方面证,>证得||||a b c d-<-,②若||||a b c d-<-,证>【考点】不等式的证明和判定,充分、必要条件.。