2017苏教版高一数学对数8.doc
苏教版高中数学必修一对数函数对数教案
第23课时 对 数（三）教学目标：使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.教学重点：换底公式及推论.教学难点：换底公式的证明和灵活应用.教学过程：教学过程：Ⅰ.复习回顾对数的运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )Ⅱ.讲授新课1.对数换底公式：log a N ＝log m N log m a(a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0) 证明：设log a N ＝x , 则 a x ＝N两边取以m 为底的对数：log m a x ＝log m N ⇒x log m a ＝log m N从而得：x ＝log m N log m a ∴ log a N ＝log m N log m a2.两个常用的推论:① log a b ·log b a ＝1② log m a b n ＝n mlog a b （ a 、b ＞0且均不为1） 证：①log a b ·log b a ＝lg b lg a lg a lg b＝1 ②log m a b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b Ⅲ.例题分析例1 已知 log 23＝a ， log 37＝b , 用 a , b 表示log 4256解：因为log 23＝a ，则1a＝log 32 , 又∵log 37＝b , ∴log 4256＝log 356log 342 ＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1 ＝ab ＋3ab ＋b ＋1例2计算：① 53log 12.0- ② log 43·log 92－log 21432解：①原式＝15315555531log 3log 52.0===②原式＝12 log 23·12 log 32＋54 log 22＝14 ＋54 ＝32例3设 x 、y 、z ∈（0，＋∞）且3x ＝4y ＝6z1︒ 求证 1x ＋12y ＝1z ； 2︒ 比较3x ，4y ，6z 的大小证明1︒：设3x ＝4y ＝6z ＝k ∵x 、y 、z ∈（0，＋∞） ∴k ＞1取对数得：x ＝lg k lg 3 ， y ＝lg k lg4 ， z ＝lg k lg 6 ∴1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg42lg k ＝2lg 3＋2lg22lg k ＝lg 6lg k ＝1z 2︒ 3x －4y ＝（3lg 3 －4lg 4 ）lg k ＝lg64－lg81lg 3lg4 lg k ＝lg k ·lg 6481 lg 3lg4 ＜0∴3x ＜4y又：4y －6z ＝（4lg 4 －6lg 6 ）lg k ＝lg36－lg64lg 2lg6 lg k ＝lg k ·lg 916 lg 2lg6 ＜0 ∴4y ＜6z ∴3x ＜4y ＜6z例4已知log a x ＝log a c ＋b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式 解法一：由对数定义可知：b c a a x+=log b c a a a⋅=log b a c ⋅= 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ， 即log a x c ＝b由对数定义知：x c ＝a b ∴x ＝c ·a b解法三：∵b ＝log a a b ∴log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b ∴x ＝c ·a bⅣ.课堂练习①已知 log 189＝a , 18b ＝5 , 用 a , b 表示log 3645解：∵log 189＝a ∴log 18182 ＝1－log 182＝a ∴log 182＝1-a ∵18b ＝5 ∴ log 185＝b∴log 3645＝log 1845log 1836 ＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b 2－a②若log 83＝p ，log 35＝q , 求 lg 5解：∵log 83＝p ∴3log 32 ＝p ⇒log 23＝3p ⇒log 32＝13p又∵log 35＝q ∴ lg5＝log 35log 310 ＝log 35log 32＋log 35 ＝3pq 1＋3pq Ⅴ.课时小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论Ⅵ.课后作业1．证明：b xx a ab a log 1log log += 证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log 则：p a x = q q q b a ab x ==)( r a b = ∴)1()(r q q p aab a +== 从而 )1(r q p += ∵ 0≠q ∴r qp +=1 即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2： 由换底公式 左边＝b ab a ab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边 2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n证明：由换底公式 λ====nn a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n。
苏教版数学高一《对数》名师学案 苏教
（4） 变形公式可简化运算。
例2：1）已知 ，试用 表示
（2）已知 ， ，用 、 表示
（3）已知 ，用 表示
【解】（1）
∵
∴
（2）∵ ，
∴
（3）由 ，得
∴
点评:当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，统一到一种表达式上，在求解过程中，根据题目的需要，将指数式转化为对数式，或将对数式转化为指数式，这正是数学数学转化思想的具体表现。
分析：
【解】设经过 年后的残余量是 ，由 的半衰期是5730年，即 时， 得 ，
∴ ， ，∴由 ，知
∴ ，∴
∴古莲子约是1066年前的遗物。
有关增长率问题，满足关系式 ，其中 是增长（降低）前的量， 为增长率（降低率）， 为增长（降低）次数， 是增长（降低）后的量，要求 或 需要对等式两边取对数，选择恰当的底数是关键，在解题过程中，常取常用对数。
对数（3）
例1：计算
（1）
（2）
（3）
分析：这是底不同的对数运算，可考虑用对数换底公式求解。
【解】ห้องสมุดไป่ตู้
（1）原式
（2）原式
另解：原式 （3）原式
点评:利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：
⑴针对具体问题，选择恰当的底数；
⑵注意换底公式与对数运算法则结合使用；
∴
答:约经过19年以后,我国GDP才能实现比2000年番两番.
例4:要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性 .动植物死亡后，停止了新陈代谢， 不再产生，且原有的 会自动衰变.经过5730年（ 的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中 的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代.
4.2 对数 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
2
(3)由lg 1 000=3,可得103=1 000.
(4)由ln x=2,可得e2=x.
反思感悟指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式,只需要将幂作为真数,指数当成对数值,底数不变,
写出对数式;
(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出
指数式.
变式训练2将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
高中数学苏教版必修第一册
第4章 指数与对数
4.2 对数
4.2.1
对数的概念
课标阐释
1.理解对数的概念,能够熟练地进行
对数式与指数式的互化.(逻辑推理)
2.理解常用对数、自然对数的概念
及记法.(数学抽象)
3.掌握对数的性质,能进行简单的对
数计算.(数学运算)
思维脉络
情境导入
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……
.
5.log33+3lo g 3 2 =
.
答案 3
解析 log33+3lo g 3 2 =1+2=3.
6.求下列各式中x的值:
3
2
(1)logx27=2;(2)log2x=-3;
1
(3)x=log27 ;(4)x=log 1 16.
9
2
解 (1)由
3
3
logx27=2,可得 2 =27,
2
2
∴x=273 =(33)3 =32=9.
logay(x>0,y>0,a>0,a≠1),故 C 正确;
loga(xy)=logax+logay(x>0,y>0,a>0,a≠1),故 D 错误.故选 C.
8对数与对数函数.doc
对数与对数函数
要点梳理
1 ?对数的概念
⑴対数的定义
如果a x=N(a>0且占1),那么数兀叫做以a为底W的对数，记作 ______________ ,其中______ 叫做对数的底数，______ 叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式特点记法
一般对数底数为a(a>0且dHl)
常用对数底数为
自然对数底数为
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果QO FLdHl, M>0, N>0,那么
- M
①log“(MN)=_____________ ；②log沪 ___________ ;
@logX- _____________ (用R);④log/"M"= ____________ .
(2)对数的性质
① a,0Srt“ =____ ；②［。
缶/= _____ (Q>0 且 d 工］)
(3)对数的重要公式
①换底公式：___________ (心方均大于零且不等于1)；
②10纟(0=詁肪’推广log(Qlog/01ogM = ______ ?
3.对数函数的图象与性质
a>[Ovxl
图象
『y=lo3
O 应0) X
dr1 《0) -
性质
(1)定义域：
⑵值域：
⑶过点，即x= 时，y=。
苏教版高中数学必修一兴化一案上学期第八周第一课时对数
第八周 第一课时 对数（1）（预习学案）一、预习目标1. 理解对数的概念；2. 能够进行对数式与指数式的互化；3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。
二、课前自我检测1． 对数定义：一般地，如果 （ ）的 次幂等于N , 即 ，那么就称 是以 为底 的对数（logarithm ），记作 ，其中， 叫做对数的底数(base of logarithm)， 叫做真数(proper number)。
注意：着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。
2. 对数的性质：（1）（2）（3）这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。
3. 两种特殊的对数是①常用对数：以10作底， 简记为②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 2.718 28…… ， 简记为 ．4.对数恒等式（1）log b a a b =（2）log a N aN =我思我疑： 第八周 第一课时 对数（1）（教学简案）一、学生课前预习情况分析1.预习情况抽测2. 典型错误剖析二、典型例题探究例1：将下列指数式写成对数式：（1）4216=； （2）31327-=；（3）520a =； （4）10.452b⎛⎫= ⎪⎝⎭．例2：将下列对数式写成指数式：（1）5log 1253=； （2）32=-；（3）lg 0.012=-； （4）ln10 2.303=．例3：求下列各式的值：⑴2log 64； ⑵21log 16； (3)lg10000；（4）31log 273； （5）(2log (2三、当堂训练四、课堂小结五、课后作业布置一中高一2010秋学期第8周第1次当堂训练1．下列关于指数式和对数式的变化，不正确是（1）0101=与10log 10= （2）131273-=与2711log 33=- （3）3log 92=与293= （4）5log 51=与155=2．计算： (1)71log 57-=(2) 9log 27=3．①已知33log 4x =-，则x= ； ②已知()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=，则x= ．一中高一2010秋学期第8周第1次课后作业1．①已知3log 35x =-，则x= ； ②已知7log 28x =，则x= ． 2．若log 2,log 3a a m n ==，求2m n a+的值． 3．证明:log a N aN =．。
高中数学苏教版必修一《对数》word学案
【金版学案】2015-20XX 年高中数学 2.3.1对数学案 苏教版必修11．如果a x＝N (a ＞0，a ≠1)，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数．记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：例如：将指数式化为对数式： ①42＝16，log 416＝2；②102＝100，log 10100＝2； ③412＝2，log 42＝12；④10－2＝0.01，log 100.01＝－2．(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log 10N 简记为lg N ； (2)以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N . 例如：lg 5 ，lg 3.5是常用对数；ln 10，ln 3是自然对数．2．指数与对数的关系：设a ＞0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝x . 对数式与指数式的互化如下表：log a N ＝x ⇔a x＝N 对数式⇔指数式 对数底数←a →幂底数 对数←x →指数 真数←N →幂数3.对数的性质．(1)在指数式中N >0，故零和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0；(2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，∴log a 1＝0，即1的对数为0；(3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，∴log a a ＝1，即底数的对数为1. 4．对数恒等式．(1)如果把a b＝N 中的 b 写成log a N ，则有：a log a N ＝N ；(2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x ，则有：log a a x＝x . 5．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和．(2)log a M N ＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差．(3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．例如：①lg(3×5)＝lg_3＋lg_5；②lg 5＋lg 2＝1；③ln e 2＝2． 6．几点注意：(1)对数的真数是多项式时，需将真数部分加括号，如lg(x ＋y )与lg x ＋y 的含义不同．(2)(lg M )n 与lg M n的含义不同．(3)log 2[(－3)×(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是不成立的．(4)log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．(5)当心记忆错误：log a (MN )≠log a M ·log a N ；log a (M ±N )≠log a M ±log a N .7．对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则．例如：log 35＝log a 5log a 3，其中a ＞0，且a ≠1.8．关于对数换底公式的证明方法有很多，可借助指数式证明对数换底公式． 例如：设a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0.求证：log a b ＝log c blog c a.证明：设log a b ＝x ，则b ＝a x.于是log c b ＝log c a x，即x log c a ＝log c b .∴x ＝log c b log c a .∴log a b ＝log c b log c a.9．设a ＞0，b ＞0，且均不为1，由换底公式可加以求证： (1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n＝n mlog a b .例如：①log 23·log 32＝______________； ②log 89＝______________ .证明：(1)log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg alg b＝1.(2)log am b n＝lg b nlg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b . ①1 ②23log 23一、对数的概念指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 中，a 、b 、N 三者间的关系实质如下(a >0且a ≠1)： 项目 式子 a b N 意 义指数式 a b ＝N 底数 指数 幂a 的b 次幂等于N 对数式 log a N ＝b 底数 对数 真数 以a 为底N 的对数等于b 根式 a ＝b N 方根数 根指数 被开方数 N 的b 次方根等于a得到解决，求某些对数值就可以把它转化为指数问题．二、对数的运算性质(1)对于同底的对数的化简常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(2)对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． (3)对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．(4)在计算真数是“ ± ”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．(5)另外注意性质log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N 及log a N ＝log an N n(n ≠0，a >0，a ≠1，N >0)的应用．注意容易出错的几种现象：(1)对性质成立的条件把握不住．如log 2[(－4)×(－3)]是存在的，但log 2(－4)与log 2(－3)均不存在，故log 2[(－4)×(－3)]不能写成log 2[(－4)×(－3)]＝log 2(－4)＋log 2(－3)．(2)对数的运算性质特征要记牢，不要犯以下错误： log a (M ±N )＝log a M ±log a N ； log a (MN )＝log a M ·log a N ；log a M N＝log a M ÷log a N ； log a (M n)＝(log a M )n.基础巩固1．(2013·浙江卷)已知x 、y 为正实数，则(D )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y2．(log 29)·(log 34)＝(D) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.3．log (2＋1)(3－22)＝(C) A ．2 B ．4 C ．－2 D ．－4解析：∵3－22＝(2－1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝(2＋1)－2，∴原式＝－2.4．设log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5为(C )A ．p 2＋q 2B.15(3p ＋2q )C.3pq 1＋3pqD ．pq 解析：由题知lg 3lg 8＝p ，∴p ＝lg 33lg 2，q ＝lg 5lg 3.∴lg 5＝q lg 3＝q (3p lg 2)＝3pq lg 105＝3pq (1－lg 5)，即：lg 5＝3pq －3pq lg 5，∴lg 5＝3pq1＋3pq.5．若y ＝log 56×log 67×log 78×log 89×log 910，则y ＝(B ) A ．1＋log 25 B ．1＋log 52 C ．1－log 25 D ．1－log 52解析：由题知y ＝lg 6lg 5·lg 7lg 6·lg 8lg 7·lg 9lg 8·lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝log 510＝1＋log 52.6．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N ＋，则下列各式中恒成立的有2个．①(log a x )n ＝n log a x ②(log a x )n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y7．已知0<a <1，0<b <1，如果a log b (x －2)<1，则x 的取值范围是________． 解析：由0<a <1得log b (x －2)>0，由0<b <1得0<x －2<1⇒2<x <3. 答案：(2，3)8．x ＝log 23，4y＝83，则x ＋2y 的值为________．解析：∵4y ＝83，∴22y＝83.∴2y ＝log 283.∴x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：39．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，求a 的值．解析：由f (lg a )＝10得a lg a －12＝10，两边取常用对数得(lg a )2－12lg a ＝lg 10，即2(lg a )2－lg a －1＝0.∴lg a ＝1或lg a ＝－12.故a ＝10或1010.能力提升10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝(A) A ．1 B ．2 C ．5 D ．10解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(D )A.14B.12C ．1D ．2 解析：由韦达定理，lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.12．设a 、b 、c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c，则(B ) A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b解析：设3a＝4b ＝6c＝t ，则a ＝log 3t ，b ＝log 4t ，c ＝log 6t .∴1a ＝log t 3，1b ＝log t 4，1c＝log t 6.∴2a ＋1b ＝log t 9＋log t 4＝2log t 6＝2c.13．若2m ＝3n＝36，则1m ＋1n＝________．解析：∵2m ＝3n＝36，∴m ＝log 236，n ＝log 336.从而：1m ＋1n ＝log 362＋log 363＝log 366＝12.答案：1214．(2013·上海卷)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．解析：去分母整理得32x －2·3x －8＝0⇒3x＝4， ∴x ＝log 34. 答案：log 3415．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝________． 答案：8116．计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64.解析：原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋（1－log 63）（1＋log 63）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.17．甲、乙两人解关于x 的方程：log 2x ＋b ＋c log x 2＝0，甲写错了常数b ，得到根14、18；乙写错了常数c ，得到根12、64.求原方程的根．解析：原方程可变形为log 22x ＋b log 2x ＋c ＝0.由于甲写错了常数b ，得到的根为14和18，∴c ＝log 214·log 218＝6.由于乙写错了常数c ，得到的根为12和64，∴b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 212＋log 264＝－5. 故原方程为log 22x －5log 2x ＋6＝0. 因式分解得(log 2x －2)(log 2x －3)＝0. ∴log 2x ＝2或log 2x ＝3，即x ＝4或x ＝8.点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca .已知二次项系数为1方程的根为x 1、x 2时，方程可写成(x －x 1)(x －x 2)＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.18．已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求lg2xy的值． 解析：由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5·x y ＋4＝0，解得x y ＝4或x y ＝1.又∵x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2.故x y ＝4.∴log 2x y＝log 24＝log 2(2)4＝4.。
苏教版高中数学必修一对数函数文字素材
对数函数一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。
另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828··为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a 〉0，a≠ 1时，ax=N→X=logaN。
由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：负数和零没有对数；loga 1=0 loga a=1对数的定义和运算性质一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1 真数大于0对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）(5) a^(log(b)n)=n^(l og(b)a) 证明：设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n ^(log(b)a)对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N (对数恒等式）对数函数一般地，函数y=log(a)X,(其中a是常数，a>0且a不等于1）叫做对数函数它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。
苏教版高中数学必修一第课——对数教师
第二十一课时 对数（2）学习要求1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2．能较熟练地运用这些法则和联系的观点解决问题；自学评价1．指数幂运算的性质 （1）,mnm na a a+=（2）m m n n a a a-=（3）()m n mna a =（2）log log -log aa a MM N N= （3）log log ()na a M n M n R =∈说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如11025101010==+log log log ；（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义。
)(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的，)(log )(log 1021010210-=-是不成立的（4）当心记忆错误： N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N log M log )N M (log a a a ±≠±，试举反例。
（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。
【精典范例】例1：用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ；（2）log a分析：应用对数运算的性质可直接得出。
【解】（1）原式log log log a a a x y z =+-；（2）原式112log log log 23a a a x y z =+-例2：求下列各式的值：（1）()352log 24⨯； （2）5log 125； （3）lg 32lg 21lg1.2+-；（4）22log log【解】（1）()3535222log 24log 2log 4⨯=+235log 435213=+=+⨯=（2）3555log 125log 53log 53===（3）lg32lg 21lg3lg 41lg1.2lg1.2+-+-=lg1.21lg1.2== （4）22log log2log =22log log 42===点评: 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键。
苏教版高中数学必修一对数教案
2.3.1对数（3）教学目标：1．进一步理解对数的运算性质，能推导出对数换底公式；2．能初步利用对数运算求解一些常见问题的近似值；3．通过换底公式的研究，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神．教学重点：对数的换底公式及近似计算；教学难点：对数的换底公式的引入及推导．教学过程：一、情境创设1．复习对数的定义与对数运算性质；2．情境问题．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，如何求log23的近似值？二、学生探究log23与lg2、lg3之间的关系，并推广到log a N与log b N、log b a的关系．三、数学建构1．对数的换底公式log a N＝loglogbbNa(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0)．2．换底公式的推导3．对数型问题的近似求值．四、数学应用例1计算log89×log332的值．练习：若log34×log25×log5m＝2，则m＝．例2已知x a＝y b＝z c，且111a b c+=．求证：z＝xy．练习：已知正实数a、b、c满足3a＝4b＝6c．（1）求证：212c b a-=； （2）比较3a 、4b 、6c 的大小．例3 如图，2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元， 如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数)．例4 在本章第2.2.2节的开头问题中，已知测得出土的古莲子中14C 的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代(lg2≈0.3010，lg0.879≈－0.0560，结果保留整数)．练习：课本63页练习1，2，3．化简：（1）235111log log log 2589⋅⋅＝ ； （2）345212log 30log 30log 30++＝ ． 证明：235321log 19log 19log 19++＜1． 四、小结1．对数的换底公式．2．对数的运算性质在解决实际问题中的应用．五、作业课本P 64习题6，7，8．课后阅读课本63～64页内容．。
高中数学对数课件 苏教版 必修1
拓展学习：
1填空：（1）如果log8
x
2 3
, 则x
(2)如果logx
27
3 4
,
x
2，如果logx1(2 3x)有意义，
试确定x的取值范围.
3,已知loga 2 x, loga 3 y.求a2x y的值
课外作业：习题2.3(1） 1、2、3、4（63页）
《学习与评价》
54页：1，2，3，4，5 55页：8，9 54页：6，7
在数学手册或数学用表中，还提供 常用对数表和自然对数表
其他底数的对数计算，可参考计算 器的说明书
常用对数 自然对数
log10 N lg N loge N ln N
e 2.71828，它是一个无理数
重点
注意底数和真数的限制-尤其 是真数永远为正
熟悉指数形式和对数形式的 互化，逐步达到熟练的程度
(1) 24 16 (3) 5a 20
(2)
33
1 27
(4)（
1 2
）b
0.4
5
对数式化指数式
(1) log5 125 3 (2) log 1 3 2
3
(3) log10 a 1.699
求值 log2 64
2的多少次方为64？
因为 26 64 得 log2 64 6
求值 log9 27
设 x log9 27 根据对数的定义， 9x 27 32x 33
2x 3
所以
x3 2 3
log9 27 2
个人练习 小组交流
课本58页练习 1，2，3，4，6（1）
归纳---特殊值
loga 1 0 loga a 1 loga aN N
计算问题
高一必修一对数函数知识点的总结苏教版
高一必修一《对数函数》知识点总结苏教版www.5y 1.对数对数的定义：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.对数运算性质:①loga=logam+logaN.②loga=logam-logaN.③logamn=nlogam.④对数换底公式：logbN=.2.对数函数对数函数的定义函数y=logax叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数第二，根据定义运算公式：logam^n=nlogam如果a<0,那么这个等式两边就不会成立4^就不等于*log4;一个等于1/16，另一个等于-1/16对数函数的性质:①定义域：.②值域：R.③过点，即当x=1时，y=0.④当a>1时，在上是增函数;当0xx为大家提供的苏教版高一数学指数函数知识点：上册大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
www.5ywww.5y 1.对数对数的定义：如果ab=N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.对数运算性质:①loga=logam+logaN.②loga=logam-logaN.③logamn=nlogam.④对数换底公式：logbN=.2.对数函数对数函数的定义函数y=logax叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
高中数学苏教版必修一《对数》课件
• 二级
2 • 三•级四级帮助学生理解对数的概念，引导学生认识对数与指
• 数五的级 相互联系，会熟练地进行指数式与对数式的互 化，体会转化与化归的思想；
引导学生发觉关于对数的几个常用结论，了解常用对数
3 和自然对数，了解对数的发明历史，培养学生的探究意
识和发觉问题、分析问题、解决问题的能力．
苏教版 高中数学
对数
单击此处编辑母版标题样概念式 表示 性质
• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级
• 三级 指• 四数级•函五数级
背景
对数函数
函数
运用
幂函数
指数 与指 数幂 运算
指数 函数 及其 性质
对
对数 函数
数
及其 性质
及其
运算
2023/9/15
2
单击此处编辑母版标题样式 通过具体实例使学生认识到引进对数的必要性，让 1 学生在实际背景中了解对数的意义，经历对数概念
•
单击此处编辑母版文本样式
经• 历二级数学概念的产生和发展进程，为学生建构和理解数
学概• 念三•级奠四级定了良好的基础.
• 五级
• 充分发挥了学生的主体地位，通过量种情势的教学活动，
让学生“仔细看”、“动脑想”、“动手写”、“动口
说”，调动了学习的积极性.
2023/9/15
16
单击此处编辑母版标题样式
• 二级
运用结论
• 三级
• 四级 • 五级
◇例3
回扣例3，总结出对数求值问题 的两种方法
◇例1 例2
引导学生，回来定义，将对数式 转化为指数式，体现转化与化归
的思想
2023/9/15
对数[苏教版必修]
![对数[苏教版必修]](https://img.taocdn.com/s3/m/f50b710b2f60ddccda38a087.png)
对数的运算法则
回顾旧知，探究新知
lo g 2
4
2
log 2
16
4
lo g 2
64
6
观察上述式子，你能发现什么规律吗？
4 1 6 ( 4 1 6 ) 6 4 l o gl o g l o g l o g 2 2 2 2
那你能得出更一般性的结论吗？
l o g l o g l o g
课堂小结
1.进一步熟悉对数定义与幂的运算性 质 2.理解对数的运算性质的推导过程. 3.熟悉对数的运算性质的内容. 4.熟练运用对数的运算性质进而化简 求值. 5.明确对数运算性质与幂的运算性质 的区别.
1.基本性质:若a>0且a≠１,N>0,则 1a log N
a N
2 log a a b
b
2.常用性质:若a>0且a≠１,则 (1)loga1=0 (2)logaa=1 3.运算性质:若a>0且a≠１,M>0,N>0,则
1l g M N g l o g o lo a aM aN M g l o g l o g 2l o a aM aN N n g M n l o g 3l o a aM
l o g l o g p q l o gl o g
M a
N a
由以上探究过程你还能得出其它结论吗？
M l o g l o g l o g a aM aN N
l o g n l o g aM aM
n
对数的运算性质:若a>0且a≠１,M>0,N>0,
1l g M N l o g l o g o a aM aN M g l o g l o g 2l o a aM aN N n g n l o g 3l o aM aM
苏教版高一数学对数函数
苏教版高一数学对数函数2．3．6对数函数【学习目标】1、过程目标：（1）通过探索比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生利用化归思想解决问题的能力（2）通过探究、思考，把生活实际问题转化为数学问题，培养学生理性思维能力、观察能力、判断能力。
2、知识技能目标：（1）能根据对数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题。
（2）能运用对数函数的概念和性质解决有关实际问题。
3、情感目标：（1）培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯（2）让学生明确对数函数是一种描述客观世界变化规律的重要数学模型，进一步认识数学在生活中巨大作用。
教学重点难点：对数函数性质的应用，解决与对数函数有关的实际运用问题。
教学工具：多媒体【学前准备】对数函数的性质能解决那些问题？【探究活动】一、创设情境回顾对数函数性质二、活动尝试函数y=log的单调增区间是单调减区间是（若将底数改为时，分别指出其单调区间）三师生探究：函数f(x)=log-ax+3a)在[2，+∞]上是单调减函数，则a的取值范围是四巩固应用：例1 ⑴证明函数在上是增函数⑵函数在上是减函数还是增函数？小结：复合函数的单调性的单调相同，为增函数，否则为减函数例2 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明例3已知函数f(x)满足f(x-3)=log(a0,a≠1)(1) 求f(x)的解析式；(2) 判断f(x)的奇偶性；(3) 解不等式f(x)log(2x)【随堂检测】1.求y=(-2x)的单调递减区间2.求函数y=(-4x)的单调递增区间3.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围. 【问题式小结】1．通过本节课你有什么收获和感受？【思维拓展】（1）证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；（2）判断函数y=（+1)在（-∞,0）上是增减性.（3）设函数①求定义域并证明为增函数；②当a,b满足何关系时，只在上取正值？。
高一数学对数函数苏教版
高一数学对数函数苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 对数函数【教学目标】1. 理解对数的概念及其运算性质，会熟练地进行指数式与对数式的互化，能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数、对数式的化简与计算；了解对数恒等式，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数，会用换底公式进行一些简单的化简与证明。
2. 通过具体的实例，直观了解对数函数的模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。
3. 知道指数函数y a a a x=>≠()01，与对数函数()y x a a a =>≠log 01，互为反函数；能运用对数函数的性质比较两个对数式值的大小；能研究一些与对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等。
4. 感受化归与转化、数形结合的思想。
【教学过程】 （一）对数的概念庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？取多少次，还有0.125尺？（2）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质的剩留量是原来的84%，试问经过多少年，这种物质的剩留量是原来的一半？抽象出：（1）125⎛⎝ ⎫⎭⎪=?，120125⎛⎝ ⎫⎭⎪=⇒=xx .?（2）08412.?xx =⇒= 1. 定义：一般地，如果a a a ()>≠01，的b 次幂等于N ，就是a N b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log ()a N b =logarithm ，a 叫做对数的底数（base of logarithm ），N 叫做真数（proper number ）。
说明：（1）a N b=与log a N b =等价（2）a ，N ，b 的取值X 围各是：①a >0且a ≠1；②N ＞0；③b R ∈ 2. 几个常用的对数等式：log log log log a a a n N a a n a N a 101====，，，3. 常用对数与自然对数：常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
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第22课时 对 数教学目标：使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.教学重点：证明对数运算性质.教学难点：对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.教学过程：Ⅰ.复习回顾1．对数的定义 log a N ＝b 其中 a ∈（0，1）∪（1，＋∞）与N ∈（0，＋∞） 2．指数式与对数式的互化 a b＝N log a N ＝b 3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1＝0，log a a ＝1⑶对数恒等式N aNa log(4) log a a b ＝b Ⅱ.讲授新课1.运算性质：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.证明：(1)设log a M ＝p ，log a N ＝q由对数的定义得：M ＝a p ，N ＝a q ∴MN ＝a p ·a q ＝a p +q再由对数定义得log a MN ＝p ＋q ，即证得log a MN ＝log a M ＋log a N (2)设log a M ＝p ，log a N ＝q 由对数的定义可以得M ＝a p，N ＝a q， ∴ M N ＝a p aq ＝a p －q ，再由对数的定义得 log a MN ＝p －q即证得log a MN＝log a M －log a N(3)设log a M ＝p 由对数定义得M ＝a p ∴M n ＝（a p ）n ＝a np 再由对数定义得 log a M n ＝np 即证得log a M n ＝n log a M评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用. (要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值： ［例1］求下列各式的值（1）log 525 （2）log 0.41（3）log 2(47×25) （4）lg 5100分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式. 解：（1）log 525＝5log 25＝2（2）log 0.41＝0（3）log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19 （4）lg 5100 ＝15 lg102＝25 lg10＝25［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别.［例2］用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xy z （2）log a x 2·y3z解：（1）log a xyz＝log a （xy ）－ log a z ＝log a x ＋log a y －log a z （2）log ax 2·y3z＝log a （x 2·y ）－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2 log a x ＋12 log a y －13 log a z［例3］计算：（1）lg14－2lg 73 ＋lg 7－lg18 （2）lg243lg9 （3）lg 27 ＋lg8－3lg 10 lg1.2说明：此例题可讲练结合.(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg 7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0解法二：lg14－2lg 73 ＋lg7－lg18＝lg14－lg （73 ）2＋lg7－lg18＝lg14×7（73）2×18 ＝lg1＝0评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视. （2）lg243lg9 ＝lg35lg32 ＝5lg32lg3 ＝52（3）lg 27 ＋lg8－3lg 10 lg1.2 ＝lg （33）21＋lg23－3lg （10）21lg 3×2210＝32 （lg3＋2lg2－1）lg3＋2lg2－1＝32评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. Ⅲ.课堂练习课本P 60练习1，2，3，4，5 补充：1.求下列各式的值：（１）log 2６－log 2３ （２）lg ５＋lg ２（３）log 5３＋log 513 （４）log 3５－log 315解：（１）log 2６－log 2３＝log 263＝log 2２＝１（2）lg ５＋lg ２＝lg （５×２）＝lg １０＝１ （3）log 5３＋log 513 ＝log 5 (３×13 )＝log 5１＝０（4）log 3５－log 315＝log 3515 ＝log 3 13＝－log 3３＝－１ 2. 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1) lg （x y z ） （２）lg xy 2z （３）lg xy 3z （４）lg xy 2z解：(1) lg （xyz ）＝lg x ＋lg y ＋lg ｚ (2) lg xy 2z＝lg x y 2－lg z ＝lg x ＋lg y 2－lg z＝lg x ＋２lg y －lg ｚ(3) lg xy3z＝lg x y3－lg z＝lg x＋lg y3－12 lgｚ＝lg x＋３lg y－12 lgｚ(4) lgxy2z＝l g x－lg y2z＝12lg x－（lg y2＋lg z）＝12lg x－2lg y－lg zⅣ.课时小结通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.Ⅴ.课后作业（一）课本P63习题3，5（二）预习内容：课本P61补充作业：1.计算：(1) log a２＋log a 12（a＞０，a≠１）（２）log 318－log 3２(3) lg 14－lg25 (4)２log 510＋log 50.25（5）２log 525＋３log 264 (6) log 2（log 216）解：(1) log a２＋log a 12＝log a（２×12）＝log a１＝０（2）log 318－log 3２＝log 3182＝log 3９＝２（3）lg 14－lg25＝lg（14÷２５）＝lg1100＝lg10－2＝－２（4）２log 510＋log 50.25＝log 5210＋log 50.25＝log 5 (100×0.25)＝log 525＝２（5）２log 525＋３log 264＝２log 525＋３log 226＝２×２＋３×６＝22（6）log 2（log 216）＝log 2（log 242）＝log 2４＝log 222＝２2.已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位) (1) lg６（２）lg４（３）lg12（４）lg 32（５）lg 3 （６）lg32解：（１）lg ６＝lg ２＋lg ３＝0.3010+0.4771＝0.7781(2) lg ４＝２lg ２＝２×0.3010＝0.6020 (3) lg12＝lg(３×4)＝lg ３＋２lg ２＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791(4) lg 32 ＝lg ３－lg ２＝0.4771－0.3010＝0.1761(5) lg 3 ＝12 lg ３＝12 ×0.4771＝0.2386(6) lg32＝５lg ２＝５×0.3010＝1.50503.用log a x ，log a y ，log a z ，log a （x ＋y ），log a （x －y ）表示下列各式：（1）a log zy x 23； （２）a log （423y z x ）； （3）a log （3221-zxy ）； （４）alog 22y x xy -；（5）a log （y y x y x ⋅-+）； （６）a log ［)(y x x y -］３. 解：(1) alog zy x 23＝alog3x －a log 2y ｚ＝13 a log ｘ－（２a log ｙ＋a log ｚ）＝13a log ｘ－２a log ｙ－a log ｚ； (2) a log （ｘ·423y z ）＝a log ｘ＋a log 423y z ＝a log ｘ＋14 （a log 3z －a log 2y ）＝a log ｘ－42a log ｙ＋43a log ｚ＝a log ｘ－a log ｙ＋43a log ｚ； (3) a log （ｘ21y 32-z ）＝a log ｘ＋a log 21y ＋a log 32-z＝a log ｘ＋21a log ｙ－32a log ｚ； (4) alog 22yx xy -＝a log xy －a log （2x －2y ） ＝a log ｘ＋a log ｙ－a log （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝a log ｘ＋a log ｙ－a log （ｘ＋ｙ）－a log （ｘ－ｙ）； (5) a log （y x y x -+·ｙ）＝a log yx yx -+＋a log ｙ ＝a log （ｘ＋ｙ）－a log （ｘ－ｙ）＋a log ｙ； (6) a log ［)(y x x y -］3＝３［a log ｙ－a log ｘ－a log （ｘ－ｙ）］ ＝３a log ｙ－３a log ｘ－３a log （ｘ－ｙ）。