动点与函数图像问题

合集下载

动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)

动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．【解题过程】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，此时AM=x cm，AN=2x cm，y=S△AMN=12×AM×AN=x2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当1≤x<3时，M、N分别在线段、CD上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，y=S△AMN=12×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm，y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S△BPQ=y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ，∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x ．∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中，∠ECQ =45°，∴QE ==―x )=2―，∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，证明四边形ACFD 为平行四边形，可得AD =CF =x ，BF =4―x ，求解CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．【解题过程】解：如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，由题意可得：AD∥CF ，DF∥AC ，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴AD =CF =x ，∴BF =4―x ，∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，AD∥CF ，∴∠D =∠DFB =60°，而∠B =60°，∴△BGF 为等边三角形，同理：△CFH 为等边三角形，∵HT ⊥BC ，∴CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4，到CD 的距离等于6，求出点Q 到达点C 的时间为6s ，点P 到达点C 的时间为12s ，点Q 到达点D 的时间为14s ，然后分①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，表示出CP 、CQ ，然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解；③12<t ≤14时，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解：∵矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离=12AB =4，到CD 的距离=12AD =6，∵点M 是BC 的中点，∴CM =12BC =6，∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，点P到达点C的时间为12÷1=12s，点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×4=12；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP=12―t，CQ=t―6，SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ，=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6)，=12t2―8t+42，=12(t―8)2+10，③12<t≤14时，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×6=18；纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ，然后分①点Q 在CD 上时，表示出BP 、CP 、CQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，列式整理即可得解；②点Q 在AD 上时，表示出BP 、AQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．【解题过程】解：∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位，∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E 为AB 中点，∴AE =BE =12AB =12×4=2，①如图1，点Q 在CD 上时，0≤x ≤4，则BP =x,CP =6―x,CQ =x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2，点Q 在AD 上时，4<x ≤6，则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10，综上所述，y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6)，函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段，只有A 选项符合．故选：A ．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC 中，∠B =60°，点D 从点B 出发，沿BC 运动，速度为1cm/s ．点P 在折线BAC 上，且PD ⊥BC 于点D ．点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示，E 是函数图象的最高点．当S (cm 2)取最大值时，PD 的长为（）A ．B ．(1+cm C ．(1+cm D ．(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．从而求得PD ==，再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ，从而求得DC =BC ―BD =2+2=，得出PD =DC ，然后根据由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解：由题意知，点D 运动2s 时，点P ，D 的位置如图1所示．此时，在Rt △PBD 中，BD =2cm ，∠B =60°，PD ⊥BC ，∴PB =2BD =4(cm)，∴PD ==．由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ，∴DC =BC ―BD =2+2=，∴PD =DC ．由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．当2≤t ≤2+P 在AC 边上，如图2，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t ．∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0，∴当t =1+S △PBD 的值最大，此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm ．故选：B ．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°, AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分当0≤x <2时，点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ，∴QN ==，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2，∴BM ==∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD =，D 为AC 上一点，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ，设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点C 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等，当t 3=5t 1时，则正方形DPEF 的面积为（）A ．3B ．349C ．4D ．5【思路点拨】由题意可得：CD =CP =t ，当点P 在BC 上运动时S =t 2+2，由图可得，当点P 与点B 重合时，S =6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，t1+t2=4①，t2+t3=8②，结合t3=5t1③，求出t的值即可得出答案．【解题过程】解：由题意可得：CD=CP=t，当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，∴t2+2=6，∴t=2或t=―2（不符合题意，舍去），∴BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2，将2，6代入得：a(2―4)2+2=6，∴a=1，∴抛物线的表达式为：S=(t―4)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，∴t1+t2=4①，t2+t3=8②，∵t3=5t1③，由①③③解得t1=1，∴S=t2+2=1+2=3，故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC 中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ，先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ，然后再根据勾股定理求得函数解析式，最后确定函数图像即可．【解题过程】解：如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°，∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时，y =0―+274=63当x =152时，y =―+274=274当x =12时，y =12+274=27则函数图像为．故选C ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t ≤6时，得MN =AE =6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t ≤12时，得AM ，MC ，CN 和BN ，结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ；（3）当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，结合DF 和MN 求面积即可．【解题过程】解：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，∴DF ∥AC ，DF =12AC =6∵点D 、E 是中点，∴DE =12BC =4，DF ∥CB ，∵∠C =90°，∴四边形DECF 为矩形，当0<t ≤6时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，MN =AE =6，∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12；如图，当6<t ≤12时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，∵AM =t ，∴MC =12―t ，CN =t ―6，BN =14―t ，∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42；如图，当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点，∠A =60°．现有两个机器人(看成点)分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C 和C→D→A ．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．【解题过程】解：①设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=∴AE=t，CF=2―t，∴FK=2―t―1=1+t，∴ET=2―t―(1+t)=1+2t，∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴BM=t―2，CM=2―(t―2)=4―t，CP=1，PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t，∴在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=∴AC=2AE=∴BD<AC，∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形，∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时，在Rt △HCE 中，∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ，∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2，所以，S 关于x 的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x ≤1内的一段；当1<x ≤2时，如图，设AB 与DE 交于点P ，∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得，PE =x ―2)，∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以，图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索；当2<x ≤3时，如图，S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=<x≤3)，故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1，然后分情况讨论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于M，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴ AB =BC ，设AB =BC =2，∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1，当0<x ≤1时，设B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交BD 于N ，∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ，由平移知B 1G ∥BD ，∠AB 1G =∠ABD ，∴ △AB 1G 是等腰直角三角形，∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2，又∵ S △ABD =12×12×2×2=1，S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ，当x =―=23时取得最大值，故排除A 、B 选项当1<x ≤2时，B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交AC 于点H ，∵ B 1H ∥BC ，∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°，又∵ ∠D 1B 1C 1=45°，∴ △B 1GH 为等腰三角形，∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ，∴ AB 1G 为等腰三角形，∴ B 1G =1=―x )，∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2，即当1<x ≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C 选项故选：D ．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，①当0≤x≤1时，点P在BC上时，过点P作PE⊥BA，，∵根据题知：∠B =60°，PB =3x,BQ =x ，∴BE =32x ，PE =，∴y =12BQ·PE =12x·=2；②当1<x ≤2时，点P 在CD 上时，过点P 作PH ⊥BA ，，∵根据题知：∠B =60°，BC =3,BQ =x ，∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=；③当2<x ≤3时，点P 在AD 上时，过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ，，∵根据题知：∠B =60°，即∠FAD =60°，∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ，BC +CD +DP =3x ，∴AP =(9―3x)cm ，∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2；∴结合三种情况，图像如下所示：，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【解题过程】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，∴ AB =AD =2，OA=∴ OB===1，∴ OC =OB +BC =1+2=3，∴ A ，B (1,0)，C (3,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A ，B (1,0)代入，得：k +b = ，解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴，∴N 的横坐标为x ，（1）当M 的横坐标x 在0∼1之间时，点N 在线段AB 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，∴ N (x,―+，∴ MN=(―+=，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+，∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M 的横坐标x 在1∼2之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线；（3）当M 的横坐标x 在2∼3之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，由D ，C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+，N (x,0)，∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，故选A ．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (2,0)，点B，点C (―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t 的关系图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM =BM CM =3，∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形，∠BOC =60°，∴点P 在OA 上运动用时2s ，在AB 上运动用时4s ，点Q 在OC 上运动用时2s ，在OC 上运动用时2s ，即点P 和点Q 共运动4s 后停止；由此可排除D 选项．当点P 在线段OA 上运动时，点Q 在线段OC 上运动，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，由点P ，点Q 的运动可知，OP =t ，OQ ，∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0＜t ＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A ，C ．故选：B ．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，BC＝2，AM＝∴BM＝CM＝12BC•AM＝∴S△ABC＝12①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DGCD•DG2；∴S＝12②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG4﹣x），×（4﹣x）4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝﹣12∴S＝2﹣x﹣4）2③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =5cm ，然后由5<t <7时，y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，AE ==4cm ，可以判定A ；当0<t ≤5时，根据y =25t 2得到y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2，设QH =x cm ，根勾股定理计算QH =1cm ，可计算PQ =根据AB =CD =4cm ，得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，确定直线HN 或475秒；当t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y =at 2，当t =5时，y =10，∴10=25a ，解得a =25，∴y =25t 2，由图2中的函数图像得当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =BE =5cm ，∵5＜t ＜7时，y =10，∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ，∴AB:AD =4:5，故A 正确，不符合题意；当0<t ≤5时，∵y =25t 2，t =2.5，∴BP =BQ =2.5cm ，y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2，设QH =x cm ，则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ，∴2.52=22+(2.5―x )2，解得x =1,x =4（舍去），∴QH =1cm ，∴PQ==故B 正确，不符合题意；根据AB =CD =4cm ，∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，设直线HN 的解析式为y =kt +b ，根据题意，得11k +b =07k +b =10 ，解得k =―52b =552 ，∴直线HN 的解析式为y =―52t +552，∵△BPQ 的面积为4cm 2，故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475，故D 正确，不符合题意；∵t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，当t =294时，y =―52×294+552=758，12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43．故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【解题过程】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，∵EG∥AC，∴∠MAD=∠AGE=30°，∴∠NAD=∠AGE=30°，∴AE=EG=x，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，∴EF==，∴S=2；②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，x=6，解得x=4，则x+12由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，∴EQ=EB=BQ=6―x，∴GQ=x―(6―x)=2x―6，而∠PQG=60°，∴PG==2x―6)，∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时，x =6，由图3到图6，此时4<x ≤6，如图5，同理△EKB 是正三角形，∴EK =KB =EB =6―x ，FC =AC ―AF =6―12x ，EF =， ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2，因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t （秒），菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示，由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当0≤t ≤2时；②当2<t <4时；③当4≤t ≤6时；④当t >6时；四种情况，作图求解S 关于t 的函数解析式，作出图像即可得到答案．【解题过程】解：过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，∴OE =2,OB =4，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =60°，BE =①当0≤t ≤2时，如图（1）所示：S =12OA ⋅OF =12×t ×=2；②当2<t <4时，如图（2）所示：S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时，如图（3）所示：∵∠C =60°，OD =OA ―AD =t ―4，∴∠KDO =60°,OK=t ―4)，∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2，∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6，S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时，S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ，∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于x轴的射线，故选：A．。

数学动点问题实用解题技巧总结

数学动点问题实用解题技巧总结动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等。

下面是小编为大家整理的关于数学动点问题解题技巧，希望对您有所帮助!动点问题解题技巧归纳解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解。

1、仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。

2、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

3、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况。

动点问题解题技巧1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。

即数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数。

2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。

这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。

即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a-b;向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3.数轴是数形结合的.产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

例1.已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位?⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C 两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

问甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能，求出相遇点;若不能，请说明理由。

中考数学【压轴题全揭秘(河南专版)】专题01_动点与函数图象(原卷版)_

专题01 动点与函数图象【例1】（2019·郑州外国语测试）如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图象为（）A B C D【变式1-1】（2019·洛阳二模）如图，点P是边长为2 cm的正方形ABCD的边上一动点，O是对角线的交点，当点P由A→D→C运动时，设DP=x cm，则△POD的面积y（cm2）随x（cm）变化的关系图象为（）A B C D【变式1-2】（2019·叶县一模）如图，在△ABC中，△ABC＝60°，△C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE△BC，BD＝DE＝2，CE＝52，BC＝245．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ△BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【例2】（2019·省实验一模）如图，正方形ABCD，对角线AC和BD交于点E，点F是BC边上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF的垂线交CD于点G，连接FG交EC于点H．设BF＝x，CH＝y，则y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2019·名校模考）如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF△BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（）A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点，且△APD =60°，PD 交AC 于点D ，设线段PB 的长度为x ，图1中某线段的长度为y ，y 与x 的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（）图1 图2 A ．线段ADB ．线段APC ．线段PDD ．线段CD【例3】（2019·周口二模）如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE -ED -DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2 cm /s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则CDBE的值为（） ABCD图1 图2【变式3-1】（2019·枫杨外国语三模）如图 1，动点 K 从△ABC 的顶点 A 出发，沿 AB ﹣BC 匀速运动到点 C 停止．在动点 K 运动过程中，线段 AK 的长度 y 与运动时间 x 的函数关系如图 2 所示，其中点 Q 为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则 a 的值为图1 图2图1图2【变式3-2】（2019·中原名校大联考）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN△AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．91. （2019·濮阳二模）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM△x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．2.（2019·南阳模拟）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE△AC，交BC于E点；过E点作EF△DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y 与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．3.（2019·平顶山三模）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．4.（2017·预测卷）如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ 的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：△当0＜t≤5时，y=25t2 △tan△ABE=34△点H的坐标为（11，0）△△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）5.（2019·焦作二模）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设xAP ，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为.6.（2019·三门峡一模）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（）ABCD7.（2019·许昌月考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8.（2019·信阳模拟）如图1，在△ABC 中，△C =90°，动点P 从点C 出发，以1cm /s 的速度沿折线CA →AB 匀速运动，到达点B 时停止运动，点P 出发一段时间后动点Q 从点B 出发，以相同的速度沿BC 匀速运动，当点P 到达点B 时，点Q 恰好到达点C ，并停止运动，设点P 的运动时间为t s ，△PQC 的面积为S cm 2，S 关于t 的函数图象如图2所示（其中0＜t ≤3，3≤t ≤4时，函数图象均为线段（不含点O ），4＜t ＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：△AC =3cm ；△当S =65时，t =35或6．下结论正确的是（）A ．△△都对B ．△△都错C ．△对△错D ．△错△对9.（2018·新乡一模）如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，△ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动，到达点A 为止，设运动时间为t (s )，△ABP 的面积为S (cm 2)，则S 与t 的函数表达式为.10.（2019·郑州外国语模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，△B =30°，点P 从点Bcm /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为：.11.（2019·安阳一模）如图，在四边形ABCD 中，AD △BC ，DC △BC ，DC =4 cm ，BC =6 cm ，AD =3 cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ，点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发t s 时，△BPQ 的面积为y cm 2，则y 与t 的函数图象大致是（）ABCDBBC12.（2019·开封模拟）如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，△B =60°，动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了t s ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．13. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以lcm /s 的速度沿线段AB 向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2cm ／s 的速度沿折线AD →DC →CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（）14.（2019·信阳一模）如图,锐角三角形ABC 中,BC =6,BC 边上的高为4,直线MN 交边AB 于点M ,交AC 于点N ,且MN △BC ,以MN 为边作正方形MNPQ ,设其边长为x (x >0),正方形MNPQ 与△ABC 公共部分的面积为y ,则y 与x 的函数图象大致是( )A B C D15.（2018·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D。

动点问题与函数图象

动点问题与函数图象1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（）A B C D【知识点】动点问题的函数图象【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．故选B．2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【知识点】动点问题的函数图象【分析】分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．xByPA DClxsA.…xsB.xsxs3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。

4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A B C D【知识点】动点问题的函数图象【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．故选A．5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是【解析】：AD＝13，sinA＝1213，当P在AD上运动时，△PEF的高h＝1213t，y = S△EPF＝152⨯⨯1213t，是一次函数关系，当点P在CD上运动时，高不变，底不变，三角形的面积不变，当点P在C上运动时，同样也是一次函数关系，故选A。

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习(含答案解析)

中考数学复习----《动点问题的函数图像》压轴真题练习（含答案解析）1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】 A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA 方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，∴，S弓形QBF＝﹣S△QOF，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.14，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBF＝﹣＝﹣，y＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN 的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，∴S△ADM＝AD•h，∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，此时S＝S△HAE+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM，∴S△HAE＝AE•AH＝；∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，∴S△EOM＝，∴S＝2S△HAE﹣2S△EOM＝，此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，此时，S＝S△HAE+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，即S＝2S△HAE+2S△EO1M1，与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，∴S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE+2S△EO1M1＝，此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB 运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6 cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3 cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P 的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y 关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。

动点问题解题总结

解题关键是动中求静
一．建立动点问题的函数解析式（特点：动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?）
1.应用勾股定理建立函数解析式
2.应用比例式子建立函数解析式
3.应用求图形面积的方法建立函数关系式
二.动态几何型压轴题（特点：问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性，如特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

）此类题型一般考察点动问题、线动问题、面动问题。

解题方法：1、特殊探路，一般推证。

2、动手实践，操作确认。

3、建立联系，计算说明。

三.双动点问题。

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。

主要分一下四种。

1.以双动点为载体，探求函数图像问题
2.以双动点为载体，探求结论开放性问题
3.以双动点为载体，探求存在性问题
4.以双动点为载体，探求函数最值问题
四.函数中因动点产生的相似三角形问题
五. 以圆为载体的动点问题。

中考数学必考动点类型一：动点与函数图象问题

中考数学必考动点类型一：动点与函数图象问题
动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。

一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y 的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。

第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

动点类型一：动点与函数图象问题
动点与函数图象问题常见的四种类型
1、三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

2、四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

3、圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

4、直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

典型例题：
解题反思：
（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了函数解析式的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．。

中考压轴——二次函数图像中的动点、极值与存在问题

中考压轴——⼆次函数图像中的动点、极值与存在问题n两点，移，直到点O与点E（P）重合时停⽌，设运动的时间为t，平移后的△O1C1P1与△CEM的重叠部分的⾯积为S，求S与t之间的函数表达式．5.如图，抛物线C1：y=ax2+2ax+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M为此抛物线的顶点，若△ABC的⾯积为12．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终⽌运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD 的中点．①直接写出点P所经过的路线长为；②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最⼩值；（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF=AC，求直线MN的解析式．6.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知抛物线y=-49(x-2)2+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，sin∠MOH=255．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂⾜分别为E，F，若HEHF =12时，求点P的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的⼀动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．7.已知，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点E是线段OB上⼀动点，过点E作DE⊥x轴，交抛物线于点D，若直线CD与以OE为直径的⊙M相切，试求出点E的坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在⼀点P，过点P作x轴的垂线，垂⾜为F，过点F作FG∥BC，交线段AC于点G，连接FC，使△BCF∽△CFG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知：抛物线y=-（x+1）（x-k）（k＞0）与x轴交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上位于第⼀象限上⼀动点，过D作DE⊥x轴于点E．（1）如图⼀，当OC=4时，求此抛物线解析式；（2）如图⼆，过点A作直线l⊥x轴，点F为x轴下⽅直线l上⼀点，连接EF、BD，当∠BDE=∠FEO时，求点F 的坐标．（3）如图三，在（1）的条件下，DE与BC交于点H，过D作DK⊥CH于点K，若点P为x轴上⽅抛物线上⼀动点，连接PC、PE，当DK=12CH，且∠PCO+∠PED=90°时，求点P的坐标．9.如图，在平⾯直⾓坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=-x+4交于另⼀点B，且点B的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上⼀个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第⼀象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，①求MN与t之间的函数关系式（不要求写出⾃变量t的取值范围）；②当MN取最⼤值时，连接ON，直接写出sin∠BON的值．10.如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=12x2+bx+c向上平移72个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，直接写出m的取值范围；（3）点P为x轴下⽅的抛物线上的⼀个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的⾯积为S，求出当S取何值时，相应的点P有且只有2个？（4）设点M在x轴上，∠OMA+∠OAB=∠ACB，求BM的长．11.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最⼩，并求出点P的坐标；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平⾏四边形？如果存在，求出所有满⾜条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．12.如图，抛物线y=33x2+233x-3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求该抛物线的对称轴及△ABC的⾯积．（2）如图1，已知点Q（0，3），点P是直线AC下⽅抛物线上的⼀动点，连接PQ交直线AC于点K，连接BQ、BK，当点P使得△BQK周长最⼩时，请求出△BQK周长的最⼩值和此时点P的横坐标．（3）如图2，线段AC⽔平向右平移得线段FE（点A的对应点是F，点C的对应点是E），将△ACF沿CF翻折得△CFA′，连接A′E，是否存在点F，使得△CEA′是直⾓三⾓形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三⾓形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E时线段BC上的⼀个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的⾯积最⼤？求出△CBF的最⼤⾯积及此时E点的坐标．14.如图，在平⾯直⾓坐标系中，以A（3，0）为圆⼼，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．（1）若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另⼀个交点E的坐标；（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正⽅向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时，MN?OP的值最⼤，并求出最⼤值；MN+OP（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三⾓形与△OCD相似，求实数t的值．15.如图，已知直线l：y=1x+2与y轴交于点D，过直线l上⼀点E作EC丄y轴于点C，且C点坐标为（0，4），过2x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）．C、E两点的抛物线y=-13（1）求抛物线的解析式：（2）动点Q从点C出发沿线段CE以1单位/秒的速度向终点E运动，过点Q作QF⊥ED于点F，交BD于点H，设点Q运动时间为t 秒，△DFH的⾯积为S，求出S与t的函数关系式（并直接写出⾃变量t的取值范围）；（3）若动点P为直线CE上⽅抛物线上⼀点，连接PE，过点E作EM⊥PE交线段BD于点M，当△PEM是等腰直⾓三⾓形时，求四边形PMBE的⾯积．16.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直⾓三⾓形时，求m的值；（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为⼀边的平⾏四边形时，求m的值．17.如图所⽰，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正⽅向运动，动点B沿y轴正⽅向运动，以OA、OB为邻边建⽴正⽅形OACB，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒：（1）直接写出直线OC的解析式；（2）当t=3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在⼀点D，使得S△BCD=6？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，有⼀条平⾏于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F 四个点构成的四边形是平⾏四边形，求点F的坐标；（4）在动点A、B运动的过程中，若正⽅形OACB内部有⼀个点P，且满⾜OP=2，CP=2，∠OPA=135°，直接写出此时AP的长度．18.如图，抛物线y=1x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的⼀个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求△PCE⾯积的最⼤值；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上⼀点，当△OMD为等腰三⾓形时，连接MP、ME，把△MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，求点N的坐标，并判断点N是否在抛物线上．19.如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点别为A（1，0），B（3，0）（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）设点P在该抛物线上滑动，若使△PAB的⾯积为1，这样的点P有⼏个？并求出满⾜P点的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，在该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最⼩？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，P是直线BC上⼀动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作y轴的平⾏线交直线BC下⽅的抛物线于点E，当PE达到最长时，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上⼀动点，当△PAQ是以PQ为斜边的等腰直⾓三⾓形时，求点P的坐标．21.如图，在平⾯直⾓坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂⾜为x2+bx+c过点O、A两点．A，OA=5，抛物线y=16（1）抛物线的解析式为；（2）点C是抛物线上的⼀点，且BC=10，连接AC交OB于点D，以BC为直径的⊙O1经过点D，连接DC，求证：OC是的⊙O1切线；（3）设点P是OB上的⼀个动点，是否存在⼀点P，使△PCD与△ABD相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，O为坐标系原点，AD为等腰三⾓形AOC底边OC上的⾼，直线OA的解析式为y=x，抛物线y=a（x-4）2+k的顶点为A，且经过坐标原点．（1）求此抛物线的解析式；（2）有⼀动点P从点O出发，沿射线OA⽅向以每秒2个单位长度的速度运动，连接PD，设△APD的⾯积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的解析式，并直接写出⾃变量t的取值范围；（3）在（2）的情况下，过点D作PD的垂线交射线AC于点E，过点E作OC的垂线交抛物线于点F，问当t为何值时，CE的长为2，并求出此时点F的坐标．23.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），点C为抛物线上⼀点，且点C的横坐标为2，抛物线的对称轴EF交x轴于点E，交直线AC于点F．（1）求点A、B 的坐标和直线AC的解析式；（2）若G是y轴上⼀个动点，当∠AGC=90°时，求点G的坐标；（3）在直线EF上是否存在点P，使⊙P与直线AC和y轴都相切，若存在，求出圆⼼P的坐标，若不存在，请说明理由．24.如图，O为坐标原点，点A在x正半轴上，OA=2，将线段OA绕点O逆时针旋转150°⾄OB的位置，若经过点A、O、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三⾓形是等腰三⾓形？若存在，求出满⾜条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点D是线段OB下⽅抛物线上的动点，求四边形ABDO⾯积的最⼤值．25.如图1，已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H，（1）求⼆次函数的表达式；（2）如图2，若E是线段AD上的⼀个动点（E与A、D不重合），过E点作平⾏于y轴的直线交抛物线与点F，交x轴与点G，设点E的横坐标为m，△ADF的⾯积为S，①求S与m的函数表达式；②S是否存在最⼤值？若存在，求出最⼤值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若M为对称轴上的点，且△MAB的⾯积是4，求M点的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，在第⼀象限的抛物线上是否存在点N，使得△NCD是等腰三⾓形？若存在，求出符合条件的N点的坐标；若不存在，请说明理由．27.如图，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=52x-4经过B，C两点．（1）求该抛物线的关系式；（2）若在对称轴右侧的抛物线上有⼀点P，过点P作PD⊥直线BC，垂⾜为点D，当∠PBD=∠ACO时，求出点P的坐标；（3）如图2，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，连接AE，点F是线段CE上的动点，过点F作FG⊥x轴，交AE 于H，垂⾜为点G，将△EFH沿直线AE翻折，得到△EMH，连接GM，是否存在这样的点F，使△GHM是等腰三⾓形？若存在，求出对应的EF的长度；若不存在，请说明理由．28.已知：⼆次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有⼀动点P，求出PA+PD的最⼩值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平⾏四边形？如果存在，求出所有满⾜条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．29.如图，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AD的解析式；（2）点Q是抛物线⼀象限内⼀动点，过点Q作QN∥AD交BC于N，QH⊥AB交BC于点M，交AB于点H（如图1），当点Q坐标为何值时，△QNM的周长最⼤，求点Q的坐标以及△QNM周长的最⼤值；（3）直线AD与y轴交于点F，点E是点C关于对称轴的对称点，点P是线段AE上⼀动点，将△AFP沿着FP所在的直线翻折得到△A′FP（如图2），当三⾓形A′FP与△AED重叠部分为直⾓三⾓形时，求AP的长．30.如图1，在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．（1）求该抛物线解析式；（2）点P是第⼀象限内抛物线上的⼀个动点，设点P的横坐标为m，记△PCD的⾯积为S，是否存在点P使得△PCD的⾯积最⼤？若存在，求出S的最⼤值及相应的m值；若不存在请说明理由．（3）如图2，连接CD得Rt△COD，将△COD沿x轴正⽅向以某⼀固定速度平移，记平移后的三⾓形为△C′O ′D′，当点D′到达B 时运动停⽌，直线BC与△C′O′D′的边C′O′、C′D′分别相交于G、H，在平移过程中，当△O ′GH变为以O′H为腰的等腰三⾓形时，求此时BD′的长．31.如图．在平⾯直⾓坐标系中，直线y=-12x+3的图象与x釉、y轴分别交于点A、点B．抛物线y=14图象经过点A，并且与直线相交于点C，已知点C的横坐标为-4．（1）求⼆次函数的解析式以及cos∠BAO的值；（2）点P是直线AC下⽅抛物线上⼀动点（不与点A、点C重合），过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，作PF⊥AC于点F．当△PEF的周长与△ADE的周长之⽐等于5：2时，求出点D的坐标并求出此时PEF的周长；（3）在（2）的条件下，将△ADE绕平⾯内⼀点M按顺时针⽅向旋转90°后得到△A1D1E1，点A、D、E的对应点分别是A1、D1、E1．若△A1D1E1的两个顶点恰好落在抛物线上，求出点A1的坐标．32.如图，在平⾯直⾓坐标系Oxy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式．（2）设直线AB与（1）中抛物线的另⼀个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的⼀个动点，当△PAE的⾯积最⼤时，求点P的坐标．（3）若过点F（-6，0）的直线L上有⼀动点M，当以A，D，M为顶点所作的直⾓三⾓形有且只有三个时，请直接写出点M的坐标．33.如图1，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=12x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=x-2与y轴的交点，连接AC．（1）点B的坐标是；点C的坐标是；（2）求抛物线的解析式；（3）设点E是线段CB上的⼀个动点（不与点B、C重合），直线EF∥y轴，交抛物线与点F，问点E运动到何处时，线段EF的长最⼤？并求出EF的长的最⼤值；（4）如图2，点D是抛物线的顶点，判断直线CD是否是经过A、B、C三点的圆的切线，并说明理由．34.如图，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象于x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，连接BC、BD、AC、CD，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得△MOB．（1）求抛物线解析式及直线BD的解析式；（2）①操作⼀：动点P从点M出发到x轴上的点N，⼜到抛物线的对称轴上的点Q，再回到y轴上的点C，当四边形MNQC的周长最⼩时，则四边形MNQC的最⼩周长为；此时，tan∠OMN=；②操作⼆：将△AOC旋转的过程中，A的对应点为A′C的对应点为C′，当OA′⊥AC时，求直线OC′与抛物线的交点坐标；（3）将△BOM沿y轴的负半轴以每秒1个单位的速度平移，当BM过点D时停⽌平移，设平移的时间为t秒，△BOM与△BCD的重叠部分的⾯积为S，请直接求出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．35.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-5）三点，点P是直线BC下⽅2的抛物线上⼀动点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有⼀点M，使MA+MC的值最⼩，求点M的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，△PBC的⾯积最⼤，并求出此时P点的坐标和△PBC的最⼤⾯积．36.如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．（1）求A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三⾓形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E（m，n）是线段BC上的⼀个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的⾯积最⼤？求出△CBF的最⼤⾯积及此时E点的坐标．37.平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点K是直线AC下⽅的抛物线上⼀点，且S△KAC=S△DAC求点K的坐标；（3）如图2若点P是线段AC上的⼀个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．38.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式；（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向⽽⾏，当点M到达原点时，点H⽴刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B⽅向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停⽌运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的⾯积S的函数关系式，并求出S的最⼤值．39.如图，已知⼀次函数y1=12x+b的图象l与⼆次函数y2=-x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2-5，0）．（1）求⼆次函数的最⼤值；（2）设使y2＞y1成⽴的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的⽅程(1+1a-1)x+3x-3=0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为5的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平⾏于y轴，当四边形DEFG的⾯积最⼤时，在x轴上求点P，使PD+PE最⼩，求出点P的坐标．40.如图，已知抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴交于A （-2，0）、B 两点，与y 轴交于C 点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）把线段AC 沿x 轴向右平移，设平移后A 、C 的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x 轴和抛物线上是否还分别存在点E 、F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．41.如图，已知抛物线经过点A （-2，0）、B （4，0）、C （0，-8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）直线CD 交x 轴于点E ，过抛物线上在对称轴的右边的点P ，作y 轴的平⾏线交x 轴于点F ，交直线CD 于M ，使PM=15EF ，请求出点P 的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM 总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．42.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，点B （2，-43）和点C （-3，-3）两点均在抛物线上，点F （0，-34）在y 轴上，过点（0，34）作直线l 与x 轴平⾏．（1）求抛物线的解析式和线段BC 的解析式．（2）设点D （x ，y ）是线段BC 上的⼀个动点（点D 不与B ，C 重合），过点D作x 轴的垂线，与抛物线交于点G ．设线段GD 的长度为h ，求h 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD 的长度h 最⼤，最⼤长度h 的值是多少？（3）若点P （m ，n ）是抛物线上位于第三象限的⼀个动点，连接PF 并延长，交抛物线于另⼀点Q ，过点Q 作QS⊥l ，垂⾜为点S ，过点P 作PN⊥l ，垂⾜为点N ，试判断△FNS 的形状，并说明理由；（4）若点A （-2，t ）在线段BC 上，点M 为抛物线上的⼀个动点，连接AF ，当点M 在何位置时，MF+MA 的值最⼩，请直接写出此时点M 的坐标与MF+MA 的最⼩值．43.如图，在平⾯直⾓坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆⼼的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的⼀个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的⾯积最⼤？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最⼤⾯积．。

动点与函数图像问题剖析

动点问题的函数图象解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看” 、“写” 、“选”。

“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点（时刻）是特殊点（时刻），这是准确解答的前提和关键；“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值；“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案，多用排除法。

首先，排除不符合函数类形的图像选项，其次，对于相同函数类型的函数图像选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案。

一、选择题（共30小题）1．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；④图1中的DE长是3cm；⑤图2中的Q点表示第8秒时y的2y=2．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC→CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（）的面积是×运动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（）． C ． 2a+2BD=y=））时，y=）2+22+21+4．（2012•绥化）如图，点A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OC ﹣﹣DO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y （度）与t （秒）之间函数关系最恰当的是（）．BD 上运动时，∠上运动时，∠5．（2010•宜昌）如图，在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN ⇒⇒KM 运动，最后回到点M 的位置．设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是（）．6．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）于是他只好从家出发，乘车沿A⇒B⇒C⇒D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）BE==BE•MN=x x xPQ为一边作正方形PQRS，若BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部份的面积为y，则y与x的函数的大致图象是（）动的路程x为自变量，△ABP面积y为函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是（）的面积是（向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）y=回至点O停止，点P在运动过程中速度大小不变，以点O为圆心，线段OP长为半径作圆，则该圆的周长l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）．B D13．（2007•泰安）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，动点P在ABCD的边上沿A﹣B﹣C﹣D的路径以1cm/s的速度运动（点P不与A，D重合）．在这个运动过程中，△APD的面积S（cm）2随时间t（s）的变化关系用图象表示，正确的为（）1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（）S=S=此题主要考查了直角梯形的面积求法，以及动点函数的应用，由动点找特殊点，是解决问题的关键．15．（2010•綦江县）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的图形面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是（）时，所围成的面积为梯形，时，所围成的面积为三角形，驶到景点B，然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C．假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速，则下面各图中能反映旅游船与景点D的距离随时间变化的图象大致是（）17．（2010•十堰）如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）时间t的关系可能是下列图形中的（）19．（2005•兰州）四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，若直线L⊥AB，直线L截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y，点A到直线L的距离为x，则y与x关系的大致图象为（）CD=BC=BCCD=BC=xy=数图象的描述问题．此题主要考查正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，梯形的面积以及动点分段函20．如图，BC是⊙D的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，沿运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是（）21．在▭ABCD中，对角线AC=4，BD=6，P是线段BD上一动点，过P作EF∥AC，与▱ABCD的两边分别交于E、F．设BP=x，EF=y，则反映y与x之间关系的图象是（）得，化简可得y=时，根据平行线的性质，可得=x+9动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）=+t24．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=13，AB=12，E是BC边上一点，过点E作DE⊥BC交AC所在直线于点D，若BE=x，△DCE的面积为y，则y与x的函数图象大致是（）直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是（）运动时间为t，∠APB的度数为y，则y与t之间函数关系的大致图象是（）∠向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）y=×自左向右匀速穿过正方形．下图反映了这个运动的全过程，设正三角形的运动时间为t，正三角形与正方形的重叠部分面积为s，则s与t的函数图象大致为（）．B D29．如图，腰长为1和2的两个等腰直角三角形，其一腰在同一水平线上，小等腰直角三角形沿该水平线自左向右匀速穿过大等腰直角三角形，设穿过的时间为x ，大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的面积为y （各个图中的阴影部分），则y 与x 的大致图象为（）． BDB 点匀速运动，那么表示△PAB 的面积S （厘米2）与点P 运动时间t （秒）之间的函数关系的图象为图（）。

动点问题的函数图像

动点问题的函数图像复习指要【典例分析】例1（2014•贵阳，第9题，3分）如图，三棱柱的体积为10，其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止，过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分，它们的体积分别为x、y，则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．）D．C．考点：动点问题的函数图象．分析：根据截成的两个部分的体积之和等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式，再根据一次函数的图象解答．解答：?解：∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y，∴x+y=10，∴y=﹣x+10（0≤x≤10），纵观各选项，只有A选项图象符合．故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象，比较简单，理解分成两个部分的体积的和等于三棱柱的体积是解题的关键．例2 （2014年•河南省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）】A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分；②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分．故C错误；②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=，则其函数图象是y随x的增大而增大，且不是线段．故B、D错误；③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一部分．'综上所述，A选项符合题意．故选：A．点评：本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题．例3（2014•广西桂林，第12题，3分）如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿BADC和BCD方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（）A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23tD．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积考点：动点问题的函数图象．}分析：根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案．解答：解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：（1）OE段，函数图象为抛物线，运动图形如答图1﹣1所示．此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动．△BPQ为等边三角形，其边长BP=BQ=t，高h=t，∴S=BQ•h=t•t=t2．由函数图象可知，当t=4秒时，S=4，故选项A正确．（2）EF段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣2所示．此时点P在线段AD上、点Q在线段BC上运动．由函数图象可知，此阶段运动时间为4s，—∴AD=1×4=4，故选项B正确．设直线EF的解析式为：S=kt+b，将E（4，4）、F（8，8）代入得：，解得，∴S=t，故选项C错误．（3）FG段，函数图象为直线，运动图形如答图1﹣3所示．此时点P、Q均在线段CD上运动．设梯形高为h，则S梯形ABCD=（AD+BC）•h=（4+8）•h=6h；当t=9s时，DP=1，则CP=3，∴S△BCP=S△BCD=××8×h=3h，·∴S△BCP=S梯形ABCD，即BP平分梯形ABCD的面积，故选项D正确．综上所述，错误的结论是C．故选：C．点评：本题考查了动点问题的函数图象分析，有一定的难度，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．例4（2014•黄冈，第8题，3分）已知：在△ABC 中，BC=10，BC 边上的高h=5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ．点D 为BC 上一点，连接DE 、DF ．设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（）A ．》B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象．$ 分析：判断出△AEF 和△ABC 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF ，再根据三角形的面积列式表示出S 与x 的关系式，然后得到大致图象选择即可．解答：解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴=，∴EF=•10=10﹣2x ，∴S=（10﹣2x ）•x=﹣x 2+5x=﹣（x ﹣）2+， ∴S 与x 的关系式为S=﹣（x ﹣）2+（0＜x ＜10），纵观各选项，只有D 选项图象符合．~ 故选D ．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S 与x 的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．例5（2014•山东菏泽，第8题，3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是考点：动点问题的函数图象．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2（x-1）2，配方得到y=-（x-2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，￥CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=，（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，故选A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．例6（2014年•福建漳州，第10题，4分）世界文化遗产“华安二宜楼”是一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．解答：解：如图所示，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．点评：主要考查了动点问题的函数图象．此题首先正确理解题意，然后根据题意把握好函数图象的特点，并且善于分析各图象的变化趋势．。

中考数学复习课件：动点与函数图像(共26张PPT)

一、点动
• 1、点在三角形边上动 • 2、点在四边形边上动
答案：B
答案A

2、点在四边形边上动
AB与F,可得DF=BC=4,所以解析：作DF1 AF=3，FB=CD=2，先看特殊点， 1 当t=2时S= 2x3x4=6，当t=5时，S= 2 x2x5=5,所以A,C错误；B、D的区别就是第一段不同，所以需要求出第一段的函数关系式，选AP为底， 4t 1 4t AP=1+t，可根据相似求出高为 3 ，S= 2 （1+t） 3 ，可看出是抛物线应开口向上，所以选C
答案：A
答案：A
• 2.如图1，已知A、B是反比例函数(k>0,x>0)图象上的两点，BC//x轴，交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C (图中“→”所示路线) 匀速运动，终点为C.过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴，垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S，P 点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为
B 60 ，动点p以1cm/s的 1、如图，菱形ABCD的边长是4cm，
0
速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2cm/s的速度自B点出发沿折线BCD运动到D点停止，若P,Q同时出发运动了t秒，记 BPQ 的面积为S cm2 ，下面图像中能表示S与t之间函数关系式的是（）
3
答案：D
O 图1 图2
x
五、点在一些特殊情况下运动与函数的图像
• 1.如图，菱形 ABCD 中，∠BAD：∠ADC=1:2，对角线 AC=20cm，点 O 沿 A 点以 1cm/s 的速度运动到 C 点（不与 C 重合），以点 O 为圆心的圆始终与菱形的两边相切，设圆 O 的面积为 S，则 S 与点 O 运动的时间 t 的函数图像大致是

2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义

几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。

设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。

设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。

14.函数图像中的动点问题

１２T
G F C' x
O
综合应用——探究题
1.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10. 3）在（2）的条件下设T（x,y），探求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围
y
（3）∵T（X，Y） A' E' ∴A′D′=X,TG=A′E′=Y，D′T=D′E′= OE′=6－Y． O 由勾股定理，得:
F（1，0）∴AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45°
∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45° ∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°
90°<∠EBA<135°
则点P只 ∽△EAB ，则 AB AE AB BD 5 3 2 15 BP1 AE 7 7 2 15 13 OP1 4 7 7 13 P1 ， 0 7
1 x O 1
例2.在直角梯形ABCD中，∠C＝90°，高CD=6cm（如图）.动点 P，Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q 沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P，Q同时从点B出发，经过的时间为t （s）时，△BPQ的面积为ycm2（如右中图）.分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是右下图中的线段MN. （1）分别求出梯形中BA，AD的长度；（2）写出右下图中M，N两点的坐标；（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在右下图中补全整个运动中y关于t 的函数关系的大致图象.
bx 2
1 2 3 y＝ x x 2 2 2

2020中考专题复习：动点函数图像问题

2020中考专题复习：动点函数图像问题一、解题方法归纳：函数图象问题为广东中考的高频考点,2016年和2018年广东中考数学第10题都曾考到,预计2020年中考还会考到此类题型.其中由几何图形中的某些元素(点或线段或其他图形)的变化,从而导致相应的线段长度、线段比值或图形面积发生变化,进而分析两个变量之间的函数关系, 判断函数图象大致形状是这类题型的一个难点。

解决此类问题的关键是“化动为静,以静探动”即首先把动态问题按运动路径分类，每类形成相对静态问题，然后通过对各类相对静态问题的解决从而探究整体问题的解决。

解决这类题目通常按下面的步骤来进行:(1)根据点运动或图形运动的路径的特点进行分类讨论, 得到自变量的取值范围;(2)在某一个确定的范围内,用含自变量x(或t)的代数式表示出所需的线段长,利用面积公式或三角形相似的性质等,表示出所求图形的面积或线段比,化简得出y(或s)关于x(或t)的关系式;(3)根据关系式,结合自变量的取值范围,判断出函数图象.典型例题讲解：类型一：点动问题例1.如图,一只蚂蚁从O点出发,沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周,当蚂蚁运动的时间为t 时,蚂蚁最终与O点的距离为s,则s关于t的函数图象大致是( )针对性练习：1. (青海)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P 从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A 和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为( )2. (资阳)如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是( )3. 如图，等边△ABC的边长为2 cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点C移动，同时点Q从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C移动，若△APQ的面积为S(cm2)，则下列最能反映S(cm2)与移动时间t(s)之间函数关系的大致图象是( )4. (泰安)如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点(不与点B、C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )5. 如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH.设小正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则y关于x的函数图象大致是( )类型二：线动，面动问题例2. 如图，正方形ABCD的顶点A(0，22)，B(22，0)，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t，(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分(阴影部分)的面积为S，则函数S与t的图象大致是( )针对性练习：1. (鄂州)如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是( )2. (莆田)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD，设PD＝x，△PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是( )3. (钦州)如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，tan∠B＝43.点D是边BC上的一个动点(点D与点B不重合)，过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF.设△AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是( )。

动点问题的函数图象

【考点精讲】动点问题是中考的常考点，对于解决动点问题中，点动会牵扯到线动、面动，解决这类题目要“以静制动”，即把动态的问题转化为静态问题来解决，一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。

而对于动点问题的图象问题的解决，要抓住图形中的关键点，例如与x 轴、y 轴的交点，图象上的转折点、图象中与x 轴、y 轴平行的线等图象。

【典例精析】例题1 （贵州贵阳中考）如图，在直径为AB 的半圆O 上有一动点P 从A 点出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到B 点，然后再以相同的速度沿着直径回到A 点停止，线段OP 的长度d 与运动时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（）（A ．Ｂ． C ． D ．思路导航：情境分三段，点P 在圆周上、在OB 上，在AO 上，因此图象分三段，根据在每一段上线段OP 的长度d 随运动时间t 的变化来确定。

答案：点P 在圆周上时，d 不随t 的变化而变化，故第一段图象平行x 轴，点P 在OB 上，d 随t 的增加而减小，直到0，故此段图象呈下降趋势，点P 在AO 上，d 随t 的增加而增大，直到增加到半径的长度，即与第一段图象齐平，故选A 。

点评：先根据运动过程理解函数与自变量的变化规律以及分段情况，然后对照所给图象找到满足问题情境变化的规律。

注意弄清函数图象中横轴和纵轴意义，以及每段图象的起始点。

例题2 矩形ABCD 中，AB ＝20cm ，BC ＝10cm ，有一点P 沿着矩形从A 向B 再向C 以2cm/s 的速度移动。

（1）求△APC 的面积S 与时间t 的函数解析式，并指出自变量的取值范围。

（2）当面积为20cm2时，求点P的位置。

思路导航：△APC的面积为12AP BC⋅或12AP AB⋅，只要利用含t的代数式表示AP和PC即可。

答案：解：（1）1210(010)21(302)20(1015) 2t tSt t⎧⨯⨯<≤⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯<<⎪⎩，化简得：10(010)30020(1015)t tSt t<≤⎧=⎨-<<⎩。

几何画板动点与函数问题

第七节动点与函数问题这类问题主要探究动点在移动过程中，相关线段的长或相关图形的面积随点的移动距离的变化而变化的情况，大多可以通过建立直角坐标系，构造出动态的函数图象，结合图象的动态演示过程，来寻找解题思路，明晰各种情况，使问题得到解决。

一、双直线型双动点与函数问题例1如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=3。

动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动。

当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

分析：由条件易知，两个动点运动4秒时，同时到达终点。

可将点M设置为主动点，利用点M的点值构造出点N。

画图时要注意线段的方向，构造动态函数图象时要注意将测量得到的实际长度和面积转化为特定长度和面积。

作法：⑴构造水平线段AO，双击点A标记中心，将点O按固定比43缩放，得到点C；再将点C按—90°旋转，得到点B。

连接OB，AB，得到Rt△OAB。

将点C隐藏。

在OA上构造任意一点M，选定点M，度量其点值；选定点M的点值及线段OB，点击“绘图”菜单中的“在线段上绘制点”，得到点N。

⑵用“线段直尺工具”连接MN，AM，选定点O，M，N，点击“构造”菜单→“构造三角形的内部”，得到△OMN的内部。

度量点A，O的距离，得到线段AO的长；计算AO长与4的商，得到单位长度。

度量点A，M的距离，得到线段AM的长，计算AM长与单位长度的商，得到线段AM的特定长度，修改其标签为x。

选定△OMN的内部，度量其面积，再用面积除以单位长度的平方，得到△OMN的特定面积，修改其标签为y。

⑶建立直角坐标系并标记坐标系。

选定x及y的值，点击“绘图”菜单→“绘制点（x，y）”，在坐标系中得到对应的点D。

函数图象上的动点问题

● 探究三
二次函数上的动点
例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，
已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．
(1)求此抛物线的解析式；【分析】已知三点，如何求二次函数的解析式？
9a－3b＋c＝0，解：(1)由题意得c＝3， a＋b＋c＝0，
函数图象上的动点问题
平海中学王建福
知识探索
● 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点
型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这一类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。
● 求解函数图象中的动点问题时,首先要抓住动点的瞬间状
P
F
H
M N
● 探究三
二次函数上的动点
解题过程：
ⅱ)当点 N 在对称轴上时，如图，设对称轴与 x 轴的交点为 K，则△APF≌△NAK， ∴PF＝AK＝2. 设 F 点的横坐标为 x，则点 P 的坐标为（x，2） ∴－x2－2x＋3＝2，解得 x1＝－1－ 2，x2＝－1＋ 2(舍去)， ∴P(－1－ 2，2)．
∵直线y=-x+1交x轴、y轴于A、B两点解： ∴ A（1,0）、B（0,1） ∴ OA=OB=1，∠OAB=∠OBA=45°，AB= 2 ∵ PM⊥OA，PN⊥OB，P（a，b） ∴ AM=1-a，BN=1-b，△AEM、△BFN均为等腰直角三角形 ∴ AE=
2（1-a），BF= 2 （1-b）
∴ ab=1/2
AF=AB-BF= 2 b，BE=AB-AE= 2 a ∵ 点P在双曲线上 ∴ AF·BE= 2a 2b 2ab 1

专题02 动点问题的函数图象(解析版)

专题02动点问题的函数图象【考点1】随时间变化的函数关系【例1】（2018•东城区二模）有一圆形苗圃如图1所示，中间有两条交叉过道AB，CD，它们为苗圃Oe 的直径，且AB CD⊥．入口K位于¶AD中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为x，与入口K的距离为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则该园丁行进的路线可能是()A．A O D→→→→→D．O D B C→→→C．D O C→→B．C A O B【分析】采用排除法解题，注意由圆的对称性，D O A-路线呈现对称性，图象应用对称特征．--、B C【解析】解：按选项A中路线，图象应呈现对称性，故A错误；按选项C，距离K最近点应靠近D，故C错误；选项D中路线，B到C段图象应呈现对称性，故D排除．故选：B．【点拨】本题是动点函数图象问题，解答时注意动点到达临界点前后图象的变化趋势．【变式1-1】（2017•顺义区二模）如图，木杆AB斜靠在墙壁上，30∠=︒，4OABAB=米．当木杆的上端A 沿墙壁NO下滑时，木杆的底端B也随之沿着地面上的射线OM方向滑动．设木杆的顶端A匀速下滑到点O停止，则木杆的中点P到射线OM的距离y（米)与下滑的时间x（秒)之间的函数图象大致是( )A．B．C．D．【分析】作PQ OB⊥，根据三角函数求得OA的长，从而得出其中位线PQ的最大值，再由OA长度与下滑时间满足一次函数关系即可得出答案．【解析】解：如图，过点P作PQ OB⊥于点Q，//∴，PQ OAQ为AB中点，PPQ ∴为AOB ∆的中位线，即12PQ OA =， 30OAB ∠=︒Q ，4AB =，cos 4OA AB OAB ∴=∠==则OP =，当点A 匀速向下滑动时，OA 的长度随时间x 的变化满足一次函数关系，由于12PQ OA =，PQ ∴的长度与下滑时间满足一次函数关系，且PQ B 选项，故选：B ．【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据点A 下滑是匀速得出一次函数关系及由中位线得出PQ 长度的最大值是解题的关键．【考点2】线段间的变量关系【例2】（2019•顺义区一模）如图，点A 、C 、E 、F 在直线l 上，且2AC =，1EF =，四边形ABCD ，EFGH ，EFNM 均为正方形，将正方形ABCD 沿直线l 向右平移，若起始位置为点C 与点E 重合，终止位置为点A 与点F 重合．设点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于矩形MNGH 内部的长度为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象，从而可以解答本题．【解析】解：由题意可得，点C 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而增大，函数解析式为2sin 45x y =⨯=︒，函数图象是一条线段，当点D 从点H 运动到点G 的过程中，y 随x 的增大不会发生变化，此过程函数图象是一条线段，当点A 从点E 运动到点F 的过程中，y 随x 的增大而减小，函数图象是一条线段，故选：A ．【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】（2017•朝阳区一模）如图1，在ABC ∆中，AB BC =，AC m =，D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点P 为AC 边上的一个动点，连接PD ，PB ，PE ．设AP x =，图1中某条线段长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是( )A ．PDB ．PBC ．PED ．PC【分析】观察图2，确定x 为何值取得最小值即可一一判断．【解析】解：A 错误，观察图2可知PD 在4m x =取得最小值． B 、错误．观察图2可知PB 在2m x =取得最小值． C 、正确．观察图2可知PE 在34m x =取得最小值． D 、错误．观察图2可知PC 在x m =取得最小值为0．故选：C ．【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解决问题，属于中考常考题型．【考点3】周长的变化【例3】（2017•东城区二模）如图，点E为菱形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF，设AF x=，BEF∆的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的大致图象是()A．B．C．D．【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值，可知图象有最低点，再根据距离最低点x的值的大小>可判断正确的图形．AM MC()【解析】解：如图，连接DE与AC交于点M．则当点F运动到点M处时，三角形BEF∆的周长y最小，且AM MC>．通过分析动点F的运动轨迹可知，y是x的二次函数且有最低点，利用排除法可知图象大致为：故选：B．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象．解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．【变式3-1】（2017•平谷区二模）如图，正方形ABCD中，动点P的运动路线为AB BC，动点Q的运动路线为对角线BD，点P，Q以同样的速度分别从A，B两点同时出发匀速前进，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止．设点P的运动路程为x，PQ的长为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为()A．B．C．D．【分析】分两种情况：P点在AB上运动时，点P在BC上运动时；分别判定即可．【解析】解：P点在AB上运动时，y先变小再增大；点P在BC上运动时，y逐渐增大；故选：B．【变式3-2】（2017•石景山区二模）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y 与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是()A ．20B ．24C ．48D ．60【分析】根据点P 的移动规律，当OP BC ⊥时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．【解析】解：如图2所示，当OP BC ⊥时，4BP CP ==，3OP =，所以26AB OP ==，28BC BP ==，所以矩形ABCD 的面积6848=⨯=．故选：C ．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出4BP CP ==，3OP =．【考点4】面积的变化【例4】（2019•东城区二模）如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D ．设点P 的运动时间为()s ，PAB ∆的面积为2()y cm ．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为( )A B ．52 C ．2 D ．【分析】由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC ，则对角线BD 为P在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，即可求解．【解析】解：由图2知，菱形的边长为a ，对角线AC =，则对角线BD 为= 当点P 在线段AC 上运动时，111222y AP BD =⨯=，由图2知，当x =y a =，即12a = 解得：52a =，故选：B ．【点拨】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．【变式4-1】（2018•大兴区一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点P 在矩形的边上沿B C D A →→→运动．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．【解析】解：根据题意和图形可知：点P 按B C D A →→→的顺序在边长为1的正方形边上运动，APB ∆的面积分为3段；当点P 在BC 上移动时，底边不变高逐渐变大，故面积逐渐变大；当点P 在CD 上移动时，底边不变，高不变，故面积不变；当点P 在AD 上时，高不变，底边变小，故面积越来越小直到0为止．故选：B ．【点拨】考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图象，图象需分段讨论．1．（2018•顺义区二模）已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从A 出发，沿AD 边以1/cm s 的速度运动，动点Q 从B 出发，沿BC ，CD 边以2/cm s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x （秒)，BPQ 的面积为2()y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，Q 点分别在BC 、CD 上运动时，形成不同的三角形，分别用x 表示即可．【解析】解：（1）当02x 剟时，2BQ x =14242y x x =⨯⨯=当24x 剟时，如下图2111(44)4(4)(82)4(24)28222y x x x x x x =-+⨯-⨯---⨯⨯-=-++由上可知故选：B ．2．（2018•朝阳一模）如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90A ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上一动点（点P 与点A 不重合），以AP 为边作正方形APDE ，设AP x =，正方形APDE 与ABC ∆重合部分（阴影部分）的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】如图1，当点D 落在BC 上，利用BPD ∆为等腰直角三角形得到3x =，所以当03x <…时，2y x =，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ，表示出26DF x =-，所以221(26)2DFG APDE y S S x x ∆=-=-⋅-正方形，然后利用所得的解析式对各选项进行判断．【解析】解：如图1，当点D 落在BC 上，ABC ∆Q 为等腰直角三角形，四边形APDE 为正方形， BPD ∴∆为等腰直角三角形，PB PD x ∴==， 26x ∴=，解得3x =，当03x <…时，2APDE y S x ==正方形，当36x <…时，如图2，正方形APDE 与BC 相交于F 、G ，易得BPF ∆和DGF ∆都是等腰直角三角形，6PF PB x ∴==-，(6)26DF x x x ∴=--=-，22221(26)1218(6)182DFG APDE y S S x x x x x ∆∴=-=-⋅-=-+-=--+正方形，综上所述，22(03)(6)18(36)x x y x x ⎧<=⎨--+<⎩……．故选：C ．3．（2018•东城一模）如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），A 为入口，F ，G 为出口，其中直行道为AB ，CG ，EF ，且AB CG EF ==；弯道为以点O 为圆心的一段弧，且¶BC，¶CD ，¶DE 所对的圆心角均为90︒．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以10/m s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离()y m 与时间()x s 的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是( )A ．甲车在立交桥上共行驶8sB ．从F 口出比从G 口出多行驶40mC ．甲车从F 口出，乙车从G 口出D ．立交桥总长为150m【分析】根据题意、结合图象问题可得．【解析】解：由图象可知，两车通过¶BC，¶CD ，¶DE 弧时每段所用时间均为2s ，通过直行道AB ，CG ，EF 时，每段用时为3s ．因此，甲车所用时间为3238s ++=，故A 正确；根据两车运行路线，从F 口驶出比从G 口多走¶CD，¶DE 弧长之和，用时为4s ，则走40m ，故B 正确；根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G 口驶出，故C 错误；根据题意立交桥总长为(3233)10150m ⨯+⨯⨯=，过D 正确；故选：C ．4．（2018•海淀一模）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y ．定义(,)x y 为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线1x =，3y =将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是( )A ．点A 的横坐标有可能大于3B ．矩形1是正方形时，点A 位于区域②C ．当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D ．当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【分析】A 、根据反比例函数k 一定，并根据图形得：当1x =时，3y <，得3k xy =<，因为y 是矩形周长的一半，即y x >，可判断点A 的横坐标不可能大于3；B 、根据正方形边长相等得：2y x =，得点A 是直线2y x =与双曲线的交点，画图，如图2，交点A 在区域③，可作判断；C 、先表示矩形面积22()S x y x xy x k x =-=-=-，当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D 、当点A 位于区域①，得1x <，另一边为：2y x ->，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：1x >，3y >，即另一边0y x ->，可作判断．【解析】解：设点(,)A x y ， A 、设反比例函数解析式为：(0)ky k x=≠，由图形可知：当1x =时，3y <， 3k xy ∴=<， y x >Q ，3x ∴<，即点A 的横坐标不可能大于3，故选项A 不正确；B 、当矩形1为正方形时，边长为x ，2y x =，则点A 是直线2y x =与双曲线的交点，如图2，交点A 在区域③，故选项B 不正确；C 、当一边为x ，则另一边为y x -，22()S x y x xy x k x =-=-=-， Q 当点A 沿双曲线向上移动时，x 的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C 不正确；D 、当点A 位于区域①时，Q 点(,)A x y ，1x ∴<，3y >，即另一边为：2y x ->，矩形2落在区域④中，1x >，3y >，即另一边0y x ->，∴当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选：D ．5．（2018•延庆县一模）某游泳池长25米，小林和小明两个人分别在游泳池的A ，B 两边，同时朝着另一边游泳，他们游泳的时间为（秒)，其中0180t 剟，到A 边距离为y （米)，图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系．下面有四个推断：①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度； ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③小明游75米时小林游了90米游泳； ④小明与小林共相遇5次；其中正确的是( ) A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【分析】利用图象信息，一一判断即可；【解析】解：①错误．小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度； ②正确．小明游泳的距离大于小林游泳的距离； ③错误，小明游75米时小林游了50米； ④正确．小明与小林共相遇5次；故选：D ．6．（2018•通州一模）如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当3t 时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断34t 剟图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【解答】解：由图象可知，机器人距离点1A 个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t 在34-之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当3t =时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确；所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误．故选：C ．7．（2017•东城一模）图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边ADE ∆和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点O ，在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x ，与主摄像机的距离为y ，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A ．A O D →→B ．E AC →→C ．A ED →→D ．E A B →→【分析】根据各个选项中的路线进行分析，看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题．【解析】解：由题意可得，当经过的路线是A O D →→时，从A O →，y 随x 的增大先减小后增大且图象对称，从O D →，y 随x 的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A 符号要求；当经过的路线是E A C →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B 不符号要求；当经过的路线是A E D →→时，从A E →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C 不符号要求；当经过的路线是E A B →→时，从E A →，y 随x 的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D 不符号要求；故选：A ．8．（2017•房山区一模）如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，6AB =，8BC =，动点M 从点E 出发，沿E F G H E →→→→匀速运动，设点M 运动的路程x ，点M 到矩形的某一个顶点的距离为y ，如果表示y 关于x 函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【分析】由图2得出始点E 到顶点的距离为3，只有顶点A ，B 满足，又由开始时先增大，得出只有顶点B 满足．【解析】解：由图2得出始点E 到顶点的距离为3， 6AB =Q ，∴只有顶点A ，B 满足，又Q 沿E F G H E →→→→匀速运动开始时先增大，∴只有顶点B 满足，故选：B ．9．（2018秋•朝阳期末）如图，在ABC∆中，AB AC=，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且12MN BC=，MD BC⊥交AB于点D，NE BC⊥交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM x=，BMD∆的面积减去CNE∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是()A．B．C．D．【分析】设：12a BC=，B Cα∠=∠=，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用BMD CNES S S∆∆=-，即可求解．【解析】解：过点A作AH BC⊥，交BC于点H，则12BH HC BC==，设12a BC=，B Cα∠=∠=，则MN a=，2CN BC MN x a a x a x=--=--=-，tan tan DM BM B x α==g ，tan tan AH BH B a α==g ，tan ()tan EN CN C a x α==-g ，21tan tan ()(2)tan 222BMD CNEa a S S S BM DM CN EN x a a x ααα∆∆=-=-=-=-g g g g ，其中，tan a αg 、2tan 2a α均为常数，故上述函数为一次函数，故选：A ．10．（2017秋•海淀区期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点 B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿O e 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB =．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点DD ．在4.84秒时，两人的距离正好等于O e 的半径【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解析】解：A 、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等，故本选项不符合题意；C 、当小红运动到点D 的时候，小兰还没有经过了点D ，故本选项不符合题意； D 、当小红运动到点O 的时候，两人的距离正好等于O e 的半径，此时9.684.842t ==，故本选项正确；故选：D．。