第7节 函数的图像

2
.
x 1, x 1, x 1 解析:y= = x 1, 1 x 1, ,作出函数的图象 x 1 x 1, x 1.
(实线),
如图所示,要使函数的 图象与 y=kx-2 的图象 有两个不同的交点, 则 0<k<4 且 k≠1,即 0<k<1 或 1<k<4. 答案:(0,1)∪(1,4)
反思归纳
应用函数图象解题是数形结
合思想的体现,其关键是根据已知函数画出 图象,从函数图象上发现函数的性质,得出 解题的思路,再根据数式的计算完成解题.
即时突破 3 (2012 年高考天津卷)已知函数 y=
x2 1 x 1
的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是
64 4 27 当 x=4 时,y= = < ,可排除选项 D, 80 5 26
故选 C.
反思归纳
识别函数图象应注意以下三点:
(1)函数的定义域、值域; (2)函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等); (3)函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、经 过的定点等).
即时突破 2 (2014 山东德州一模)已知函数 f(x)=x则函数 y=f(x)的大致图像为( )
考点一
ln x
剖典例 知规律
作函数的图象
【例 1】 作出下列函数的图象 (1)y=e ; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=a|x|(0<a<1);
2x 1 (4)y= . x 1
思维导引:对于(1)、(3)、(4)可先化简函数解析式,再利用图象 的变换作图,(2)可直接利用图象变换作图.
错误,选项 D 正确,因此选 D.
【例 2】函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数, 其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式
f x cos x
<0 的解集 .
为
π π 解析:在 0, 上 y=cos x>0,在 , 4 上 y=cos x<0. 2 2
f x
f x cos x
为偶函数,
命题探究 高考中函数图象应用
【典例】 (2013 年高考安徽卷) 函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b] 上可找到 n(n≥2)个不同的数 x1,x2,…,xn, 使得
f x1 x1
=
f x2 x2)Fra bibliotek=…=
f xn xn
命题意图
本考题是函数的图象与代数式综合应用,
考查了斜率公式等知识,体现了以能力立意的转化思 想,以及高考重理解少计算的指导原则.
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2
B )
4.为了得到函数 f(x)=log2x 的图象,只需将函数
x g(x)=log2 的图象向 8
平移
个单位.
x 解析:g(x)=log2 =log2x-3=f(x)-3, 8
因此只需将函数 g(x)的图象向上平移 3 个单位即可得 到函数 f(x)=log2x 的图象. 答案:上 3
考点突破
即时突破 1 函数 y=
应的图中的序号是
x2 x+2 、y=|lg x|、y=2 的图象对 x 1
.
x2 3 3 解析:y= = +1,由函数 y= 图象平移得 x 1 x 1 x
到,为序号③中的图象;函数 y=|lg x|的图象由函 数 y=lg x 图象翻折得到,为序号①中的图 象;y=2 的图象由函数 y=2 左移 2 个单位得到, 为序号②中的图象. 答案:③①②
备选例题
【例 1】 在同一个坐标系中画出函数 y=a 、y=sin ax 的部分图象,其 中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中正确的是( )
x
2π 解析:当 a>1 时,函数 y=sin ax 的最小正周期 T= <2π,故选项 A、C a 2π 错误;当 0<a<1 时,函数 y=sin ax 的最小正周期 T= >2π,故选项 B a
解:(1)∵函数的定义域为{x|x>0} ln x 且 y=e =x(x>0), ∴其图象如图(1)所示.
(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移一个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图(2)所示.
a x , x 0, (3)∵y= 1 x (0<a<1), , x 0 a
,则 n 的取值
范围为( (A){2,3}
(B){2,3,4}
(C){3,4} (D){3,4,5}
分析:n 表示 f(x)图象上与原点连线斜率相等时点的个数. 解析:由
f x1 x1
=
=
f x2 x2
=… =
f xn xn
得 ,表示
f x1 0 x1 0
f x2 0 x2 0
ln x x
2
,
解析:可判断 f(x)是非奇非偶函数,故排除选项 B、C,又当
ln x 0<x<1 时,f(x)=x- 2 >0,排除选项 D.故选 A. x
考点三 函数图象的应用
【例 3】 (2013 年高考辽宁卷)已知函数 f(x)=x -2(a+2)x+a ,g(x)=-x +2(a-2)x-a +8.设 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q} 表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表示 p,q 中的较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B 等于( ) (A)16 (B)-16 (C)a2-2a-16 (D)a2+2a-16 思维导引:作出函数 f(x),g(x)的图象,结合图象确定 A 与 B,再计算 A-B.
第 7 节 函数的图像
基础梳理
考点突破
基础梳理
知识整合
1.利用描点法作函数图象
抓主干
固双基
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:①确定函数的定义 域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调 性、周期性、对称性等);其次:列表(尤其注意特殊点、零 点、 最大值点、 最小值点、 与坐标轴的交点等),描点,连线.
∴只需作出 0<a<1 时函数 y=a (x≥0)和
x
1 y= (x<0)的图象,合起来即得函数 a
y=a (0<a<1)的图象.如图(3)所示.
|x|
x
1 (4)∵y=2+ , x 1 1 故函数图象可由 y= x
的图象向右平移 1 个单 位,再向上平移 2 个单 位而得,如图(4)所示.
反思归纳
画函数图象的一般方法:
(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉 的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象 经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但 要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的 要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变 换单位及解析式的影响.
2
1 3
1 3
3.(2013 年高考湖南卷)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x -4x+5 的图象的交点个数为( (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 解析:g(x)=x2-4x+5 =(x-2)2+1, 又当 x=e 时,f(x)=2ln e=2>1,g(x)<2, 在同一直角坐标系内画出函数 f(x)=2ln x 与 g(x)=x2-4x+5 的图象, 如图所示,可知 f(x)与 g(x)有两个不同的交点.故选 B.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换 ①y=f(x) ②y=f(x) ③y=f(x) 的图象的对称性如何? 提示:由 y=f(x+a)是偶函数可得 f(a+x)=f(a-x), 故 f(x)的图象关于直线 x=a 对称(由 y=f(x+a)是奇函数可得 f(x+a)=-f(a-x),故 f(x)的图象关于点(a,0)对称). y=-f(x); y=f(-x); y=-f(-x).
2 2 2 2
2 2 y x 2 a 2 x a , 解析:联立 2 2 y x 2 a 2 x a 8,
解得 x1=a-2,x2=a+2. 如图所示,虚线部分为 H1(x)的图象, 实线部分为 H2(x)的图象, 则 A、 B 分别为 x1,x2 处函数值且 A≤B, A=H1(x)min=f(a+2)=-4a-4, B=H2(x)max=g(a-2)=-4a+12, 所以 A-B=-16,故选 B.
质疑探究:若函数 y=f(x+a)是偶函数(奇函数),那么 y=f(x)
双基自测
1 1.函数 y=1的图象是( x 1
B
)
解析:∵x≠1,∴可排除选项 C、D. 又 x=0 时,y=2,可排除选项 A.故选 B.
2.(2013 山东济南模拟)函数 y=x- x 的图象大致为( A )
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解析:函数 y=x- x 为奇函数.当 x>0 时,由 x- x >0,即 x3>x 可得 x >1,即 x>1,结合选项,可知应选 A.
…=
f xn 0 xn 0
函数图象上的点与原点连线的斜率相等, 也可理解为过原点的直线与函数 y=f(x)图象相交,x1,x2,…,xn 是交 点的横坐标,n 则为交点的个数,观察图象可知过原点的直线与函数 可能有 2,3 或 4 个交点,因此 n 的取值范围为{2,3,4}.故选 B.