福建省福州市2016届高三下学期第二次综合质量检测理数试题Word版含答案.doc

理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-，2{|23}N x x x =->，则()R M C N = （ ） A ．{1,1,2}- B ．{1,2} C ．{4} D ．{|12}x x -≤≤2.复数z 满足(1)|1|z i i -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，则（ ）A ．()3f x π+是奇函数B ．()3f x π+是偶函数C ．()3f x π-是奇函数 D ．()3f x π-是偶函数 4.在ABC ∆中，5AB AC ∙= ，4BA BC ∙=，则AB =（ ）A ．9B ．3C ．2D ．15.已知某工程在很大程度上受当地降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ） A ．0.1 B ．0.3 C ．0.42 D ．0.56.若,x y 满足约束条件1020220x x y x y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于（ ）A ．-2B ．32-C ．12-D ．127.执行如图的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为（ ） A ．8 B ．21 C ．34 D ．558. 51(2)x x++的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1209.正项等比数列{}n a 满足126351,128a a a a a =+=，则下列结果正确的是（ ） A ．*12,n n n n N a a a ++∀∈≤ B ．*21,2n n n n N a a a ++∃∈+= C ．*1,n n n N S a +∀∈< D ．*312,n n n n n N a a a a +++∃∈+=+10.双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是E 左支上一点，112||||PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为（ ）A ．54 B C ．53 D 11.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（ ）A ．2BCD ．312.设m R ∈，函数222()()(2)xf x x m e m =-+-. 若存在0x 使得01()5f x ≤成立，则m =（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数1,02()1,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，若()(),[2,2]g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = .14.所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 .15.抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= .16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112,(1)2n n n a S S n +=+-=，则100S = . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=. （1）求A ；（2）若BC 边上的中线AM =AH =，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）.（1）（ⅰ）请根据图示，将22⨯列联表补充完整；（ⅱ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关？”（2）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 19. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ，AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===. （1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-，记点P 的轨迹为Γ. （1）求Γ的方程；（2）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求||||MQ NQ 的值. 21. （本小题满分12分）已知a R ∈，函数1()x f x e ax -=-的图象与x 轴相切. （1）求()f x 的单调区间；（2）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是弧BAC 的中点，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点,E F .（1）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线； （2）若3,2AB AC ==，求22DB DA -的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C 的极坐标方程；（2）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换''12x xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩后得到曲线3C ，曲线3πθ=(0)ρ>分别与1C 和3C 交于,A B 两点，求||AB . 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >. （1）求m 的值；（2）设关于x 的方程1||||(0)x t x m t t-++=≠有实数根，求实数t 的值.2016年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15） （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， 2分即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， 因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠， 所以1cos 2A =，4分 又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅ ，所以2232c b bc ++=，① 7分 由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，=，即2bc a =，② 9分 又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③10分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：2分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率． 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ，9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=．12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． 1分因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ， 所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A = ， 所以DF ⊥平面PAB ． 3分因为点E 是PB 中点， 所以//EF AB ，且2AB EF =． 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =， 所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形， 所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ．6分（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． 7分因为EC DF 又因为4AB =，所以2AD =，所以22,AP AF === 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥， 因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以AB PO ⊥．又因为AD AB A = ，所以PO ⊥平面ABCD ． 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，1(,2E ，所以(1,0,PD =-，(1,2,PC =-，3(,0,2EC =- ，9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,20,x x y ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(=n ， 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin |cos ,|2EC α=<>==n ， 11分因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则 直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）； 直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． 2分 由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， 3分化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）．4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+；6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-；7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=．8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，9分 所以切线方程为()00004x y y x x y -=--． 令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．10分设MQ QN =λ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． 11分所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ． 将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQ NQ=． 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+；6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-；7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=．8分 由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-，9分 所以切线方程为()00004x y y x x y -=--． 令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---，11分 所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=．12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． 5分（Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >． 则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-， 令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+，6分（ⅰ）若12m …， 因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增． 又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>， 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． 9分（ⅱ）若12m >， 可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++， 所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减， 又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<， 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立． 纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞．12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以 =BFFC ，所以FBE BAE ∠=∠， 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径， 因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-．7分因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅， 所以22AB AC AF BF ⋅=-， 所以226BD DA AB AC -=⋅=．10分（23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， 2分将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．7分3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos23OA ==， 所以||||||1AB OA OB =-=． 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩2分解得2x >． 依题意2m =．5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号，7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． 8分另一方面，12t t+…， 所以12t t+=， 9分 所以1t =或1t =-． 10分。