分组分解法
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
分组分解法因式分解
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。
解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。
因式分解分组分解法
因式分解分组分解法
因式分解分组分解法是一种求多项式的因式分解的方法。
它的基本思路是将多项式中的项按照某种特定的规则进行分组，使得每一组中的项可以合并成一个公因式，从而简化多项式，方便因式分解。
具体来说，我们可以按照以下几种规则进行分组：
1. 按照指数分组：将多项式中所有指数相同的项放在一起，例如：
$$
3x^2+2x^3-5x^2-7x^3=3x^2-5x^2+2x^3-7x^3=-2x^2-5x^3
$$
2. 按照变量分组：将多项式中所有含有相同变量的项放在一起，例如：
$$
2x+3xy-4x-2xy=2x-4x+3xy-2xy=-2x+xy
$$
3. 混合分组：将多项式中按照指数和变量来进行分组，例如： $$
2x^2y+3xy^2-4xy-2x^2=2x^2y-2x^2+3xy^2-4xy=2x^2(y-1)+3xy(y-1 )=(2x^2+3xy)(y-1)
$$
通过以上的分组方法，我们可以将多项式中的项进行合并，得到
公因式，从而进行因式分解。
因式分解分组分解法在解题中应用广泛，是学习代数基础的重要内容之一。
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
分组分解法
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=222)2(c b ab a -+-=22)(c b a --=))((c b a c b a +---四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
分组分解法 教案
分组分解法教案教案标题：分组分解法教案目标：1. 学生能够理解和运用分组分解法解决数学问题。
2. 学生能够灵活运用分组分解法解决不同难度级别的数学问题。
3. 学生能够通过合作学习和讨论，提高解决问题的能力和思维能力。
教案步骤：引入活动：1. 向学生介绍分组分解法的概念和作用，解释它在解决数学问题中的重要性。
2. 提供一个简单的例子，让学生通过分组分解法解决问题，并引导他们讨论解决过程和思路。
探究活动：1. 给学生分发练习册或工作纸，让他们自己尝试使用分组分解法解决一些数学问题。
2. 学生可以自由组成小组，互相讨论并分享解决问题的方法和策略。
3. 教师巡视并提供必要的帮助和指导，鼓励学生思考和尝试不同的解决方法。
总结活动：1. 邀请几个学生分享他们的解决方法和策略，并与全班进行讨论和比较。
2. 教师总结分组分解法的优点和适用范围，并强调学生在解决问题时要充分发挥自己的想象力和创造力。
3. 提供更多的练习题或挑战题，让学生继续巩固和拓展他们的分组分解法技能。
评估活动：1. 给学生分发一份评估问卷或练习题，检查他们对分组分解法的理解和应用能力。
2. 教师根据学生的表现和答案，给予及时的反馈和指导。
3. 针对学生的不足之处，提供个别辅导和额外的练习机会。
教案扩展：1. 鼓励学生在解决实际问题时运用分组分解法，培养他们的应用能力。
2. 引导学生思考其他解决问题的方法和策略，拓宽他们的思维方式。
3. 鼓励学生参加数学竞赛或活动，展示他们在分组分解法上的技巧和能力。
教案资源：1. 练习册或工作纸2. 分组分解法的例子和练习题3. 评估问卷或练习题4. 小组合作学习的活动指导教案评估：1. 学生在练习中的表现和答案2. 学生在小组讨论和分享中的参与和贡献3. 评估问卷或练习题的结果4. 学生对分组分解法的理解和应用能力的提升程度。
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
因式分解的分组分解方法(一)
因式分解的分组分解方法(一)因式分解的分组分解方法引言因式分解是数学中的重要概念，它能将多项式分解成乘积的形式，帮助我们简化计算和解题。
其中，分组分解方法是一种常用且有效的因式分解方法，本文将介绍一些常见的分组分解方法。
方法一：拆项分组法拆项分组法在因式分解中经常使用，它将多项式的项按照特定的规则进行分组，从而便于我们进行因式分解。
步骤如下： 1. 观察多项式，将其项按照相似的部分进行分组；2. 列出每个组的公因式； 3. 将每个组的公因式提取出来，并写在一起，形成因式分解式。
方法二：配方法配方法也是一种常用的分组分解方法，适用于某些特定的多项式。
步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在两项可以通过配方法相乘得到另一项，那么可以使用配方法； 2. 根据配方法的公式进行运算，并将结果写在一起，形成因式分解式； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
方法三：差的平方分解法差的平方分解法适用于差的平方形式的多项式，它可以将其分解为两个因式的乘积。
步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在差的平方形式，即a2−b2，那么可以使用差的平方分解法； 2. 将差的平方形式分解为两个因式的乘积； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
方法四：公因式提取法公因式提取法是一种简单而常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在公因式的情况。
步骤如下： 1. 观察多项式，找出各个项的公因式； 2. 将公因式提取出来，并写在一起，形成因式分解式； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
方法五：完全平方公式法完全平方公式法适用于多项式中存在完全平方公式的情况。
步骤如下： 1. 观察多项式，如果存在完全平方公式形式，即a2+2ab+b2，那么可以使用完全平方公式法； 2. 将完全平方公式分解为两个因式的乘积； 3. 检查分解后的乘积是否与原多项式相同。
结论分组分解方法是因式分解中常用的方法之一，它能帮助我们将多项式简化成更简单的形式。
分组分解法难得的好资料
分组分解法在计算机 科学中用于处理大规 模数据集，通过分组 和分解的方式提高数 据处理效率。
分组分解法在数据库查 询优化中广泛应用，通 过合理分组和分解查询 条件，提高查询速度。
在机器学习中，分组分 解法常用于特征降维和 矩阵分解，降低计算复 杂度并提高模型训练速 度。
分组分解法在数学教育中的应 用
分组分解法在计算机科学中的 应用
分组分解法在物理学中的应用
分组分解法在经济学中的应用
深度学习与分组 分解法的结合
分组分解法在自 然语言处理领域 的应用
分组分解法在图 像处理领域的应 用
分组分解法的理 论完善与创新
更多的应用场景：随着数学和其他学科的发展，分组分解法有望在更多领域得到应用。
理论体系的完善：随着研究的深入，分组分解法的理论体系将进一步完善。 算法优化：未来将不断优化分组分解法的算法，提高其效率和适用性。 与其他方法的结合：分组分解法有望与其他数学方法结合，形成更强大的工具。
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分组分解法是一种数 学方法，通过分组的 方式将多项式进行分 解，将其转化为几个 简单的因式。
分组分解法通常按照一 定的规律将多项式分组， 然后对每组进行因式分 解，最后得到原多项式 的因式分解结果。
分组分解法在数学中 有着广泛的应用，可 以用于解决各种数学 问题，如代数方程、 几何图形等。
对每组进行因式分解 确定分组分解法的分组方式
将各组的因式相乘，得到原 多项式的因式分解形式
整理得到最简结果
实例名称：分组分解法在因式分解中的应用
因式分解——分组分解法
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。
我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。
通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。
三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。
此题也可以考虑含有y的项分在一组。
如下面法（二）解法。
解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
分组分解法——精选推荐
分组分解法学习目标要求①能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解．能用分组分解法把分组后可以直接提公因式或运用公式的多项式进行因式分解． ②掌握二次三项式x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)的分解原理、特点；的分解原理、特点； ③了解因式分解的一般步骤，能灵活应用提公因式法、能灵活应用提公因式法、公式法、公式法、分组分解法进行多项式的因式分解式分解中考基本要求①熟练掌握并能灵活运用分组分解法．熟练掌握并能灵活运用分组分解法．考查分组分解法常与提公因式、考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主．以对四项式的多项式因式分解为主．②熟练掌握x 2+(p+q)x+pq 的因式分解的原理；能灵活选用恰当的方法因式分解；x 2+(p+q)x+pq 的分解很重要，它与方程、函数等知识有密切联系，函数等知识有密切联系，中考时常常把它融入其它中考时常常把它融入其它知识中去．知识中去．1．为什么要分组分解为什么要分组分解现在我们要分解下面两个多项式：现在我们要分解下面两个多项式：(1)xy-xb+ay-ab (1)xy-xb+ay-ab；；(2)x 2-y 2+ax+ay +ax+ay．．它们都是四项式，对于四项而言，既没有公因式可提，又不能运用四个因式分解公式，那么怎样才能来完成分解过程呢那么怎样才能来完成分解过程呢??为此，让我们来考察一个因式分解的逆过程——多项式的乘法．例如：乘法．例如：(x+a)(y-b)=x(y-b)+a(y-b)=(xy-xb)+(ay-ab)=xy-xb+ay-ad,如果把上述过程反过去，就找到了因式分解的途径．如果把上述过程反过去，就找到了因式分解的途径．xy-xb+ay-ab=(xy-xb)+(ay-ab) ( =(xy-xb)+(ay-ab) (分组分组)) =x(y-b)+a(y-b) =x(y-b)+a(y-b)．．至此，我们分别把x(y-b)x(y-b)、、a(y-b)a(y-b)看成一个整体，看成一个整体，那么在两项之间有公项式y-b 可提．即原式原式==……=(y-b)(x+a)=(y-b)(x+a)．这就是分组分解法．．这就是分组分解法．对于多项式对于多项式(2)(2)，前两项，前两项x 2-y 2，可以用平方差公式分解得，可以用平方差公式分解得(x+y)(x-y)(x+y)(x-y)，后两项，后两项ax+ay ax+ay，，有公因式a ，提出来得a(x+y)a(x+y)，这样原有多项式就变形为，这样原有多项式就变形为(x+y)(x-y)+a(x+y)(x+y)(x-y)+a(x+y)，这时可看到，这时可看到它们又有公因式x+y x+y，提出后得，提出后得(x+y)(x-y+a)(x+y)(x-y+a)，也达到分解的目的．，也达到分解的目的． 由此可见，对于四项或四项以上的多项式，进行恰当的分组，往往可以进行因式分解．2．分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，经过适当的分组以后，转化为已经学过的提公因式法或运用公式来进行因式分解．提公因式法或运用公式来进行因式分解．3．分组分解法的原则是要能继续进行因式分解，这有两种情况：一种情况是分组后能直接提取公因式，一种情况是分组后能直接运用公式．一种情况是分组后能直接运用公式．分组没有固定的形式，分组没有固定的形式，但要确保分组后能但要确保分组后能继续分解．因此，合理地选择分组的方法，是分组分解法的关键．继续分解．因此，合理地选择分组的方法，是分组分解法的关键．4．为了合理地选择分组的方法，要用到加法的交换律和结合律，而提取公因式又运用了分配律，因此，运算律在分组分解中起到很重要的作用．配律，因此，运算律在分组分解中起到很重要的作用．5．二次三项式x 2+(p+q)x+pq 的特点：的特点： ①二次项的系数是①二次项的系数是1; 1;②常数项是两个数之积；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．③一次项系数是常数项的两个因数之和．6．x 2+(p+q)x+pq 的分解原理的分解原理二次项系数是二次项系数是11的二次三项式x 2+(p+q)x+pq,+(p+q)x+pq,用十字相乘法因式分解的原理．用十字相乘法因式分解的原理．我们学习多项式乘法时，学过这样一个公式：我们学习多项式乘法时，学过这样一个公式：(x+p)(x+q)=x 2+(p+q)x+pq 将上式反过来，就得到将上式反过来，就得到x 2十(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)由此可以发现，对于二次项系数是由此可以发现，对于二次项系数是11的二次三项式，因式分解的思考途径是：先把常数项分解成两个因数的积pq pq，，再看这两个因数的和p+q p+q，，是否等于一次项系数，如果相等就可以成功，如果不相等再重新尝试．以成功，如果不相等再重新尝试．其实：按分组分解法其实：按分组分解法x 2+(p+q)x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)因此：因此：x x 2+(p+q)x+pq 型式子的分解即为分组分解法的特殊情形，型式子的分解即为分组分解法的特殊情形，我们称x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)为二次项系数为为二次项系数为11的二次三项式的因式分解公式．的二次三项式的因式分解公式．7．把一个多项式因式分解的一般步骤把一个多项式因式分解的一般步骤1．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；．如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 2．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；．如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；．如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组来分解；4．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．①分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解．分组分解法主要应用于四项或四项以上的多项式的因式分解．②仍应首先考虑公因式的提取，其次才考虑分组．仍应首先考虑公因式的提取，其次才考虑分组．③分组方法的不同，仅仅是因式分解手段的不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解．分解．④对于四项式的两两分组，对于四项式的两两分组，尽管方法不惟一，尽管方法不惟一，但要注意，但要注意，并不是任何两项结合都可以最终达到因式分解的目的．要注意分组的合理性．到因式分解的目的．要注意分组的合理性．⑤对于四项式中的另一种分组方法，则是把其中的某三项组成一组，使其成为完全平方形式，而四项式中剩下的一项是某一个数而四项式中剩下的一项是某一个数((或代数式或代数式))的平方．此项又与完全平方式符号相反，则得到(a (a±±b)2-c 2或c 2-(a -(a±±b)2的形式，然后用平方差公式分解因式．⑥原多项式的项数超过四项时，要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组．原多项式的项数超过四项时，要考虑五项式的三、二分组、六项式的三、二、一分组． ⑦原多项式带有括号，不便直接分组时，要将括号去掉，整理后再分组分解．原多项式带有括号，不便直接分组时，要将括号去掉，整理后再分组分解．⑧在分组分解过程中，渗透着换元思想，掌握好这一点，就能熟练地进行分组分解．在分组分解过程中，渗透着换元思想，掌握好这一点，就能熟练地进行分组分解． ⑨二次三项式x 2+bx+c 在分解时有以下规律和技巧： (1)(1)如果常数项如果常数项c 是正数，那么可把c 分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数b 的符号相同；(2)(2)如果常数项如果常数项c 是负数，那么可把c 分解为两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数b 的符号相同．⑩二次三项式x 2+bx+c 中的x 也可能是其它的字母或者一个较复杂的代数式，遇到此类问题时，要有换元思想．例1．把下列各式分解因式：(1)2ac+3bc+6a+9b (2)2x 3+x 2-6x-3讲解(1)解法解法11：原式：原式=(2ac+3bc)+(6a+9b)=(2ac+3bc)+(6a+9b)=c(2a+3b)+3(2a+3b)=(2a+3b)(c+3) =(2a+3b)(c+3)．．解法2：原式原式=(2ac+6a)+(3bc+9b)=(2ac+6a)+(3bc+9b)=2a(c+3)+3b(c 十3)=(c+3)(2a+3b) =(c+3)(2a+3b)，，(2)解法1：2x 3+x 2-6x-3=(2x 3+x 2)-(6x+3)=x 2(2x+1)-3(2x+1)=(2x+1)(x 2-3)-3)．．解法2：2x 3+x 2-6x-3=(2x 3-6x)+(x 2-3)=2x(x 2-3)+(x 2-3)=(x 2-3)(2x+1)-3)(2x+1)．．例2．把下列各式分解因式：(1)4a 2-9b 2-4a+1-4a+1；；(2)x 2+l0xy-70y-49+l0xy-70y-49；； (3)x 5y-x 3y+2x 2y-xy y-xy；； 分析：这一组是四项式的因式分解，一般采用三、一分组或二、二分组．这一组是四项式的因式分解，一般采用三、一分组或二、二分组．讲解(1)4a 2-9b 2-4a+1=(4a 2-4a+1)-9b 2=(2a-1)2-(3b)2=(2a-1+3b)(2a-1-3b) =(2a-1+3b)(2a-1-3b)．．(2)x 2+l0xy-70y-49=(x 2-49)+(10xy-70y)=(x+7)(x-7)+l0y(x-7)=(x-7)(x+7+10y) =(x-7)(x+7+10y)．．(3)x 5y-x 3y+2x 2y-xy=xy(x 4-x 2+2x-1)=xy[x 4-(x 2-2x+1)]=xy[x 4-(x-1)2]=xy(x 2+x-1)(x 2-x+1)-x+1)．．例3．分解因式x 2-2xy+y 2-3x+3y 分析 这是一个五项式，其中前三项为二次的，后两项为一次的，后两项为一次的，前三项又恰好符合完全平前三项又恰好符合完全平方式，即得方式，即得(x-y)(x-y)2，而后两项提出，而后两项提出-3-3后也产生了因式后也产生了因式(x-y)(x-y)．． 讲解 x 2-2xy+y 2-3x+3y =(x 2-2xy+y 2)+(-3x+3y)=(x-y)2-3(x-y)=(x-y)(x-y-3) =(x-y)(x-y-3)．．例4．分解因式ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2)． 分析 观察要进行观察要进行因式分解因式分解的多项式，按原有的分组无法分解因式，因此想到打乱原有分组，重新分组．重新分组．重新分组后要注意重新分组后要注意联想联想公式或有无公因式可提，要多观察，公式或有无公因式可提，要多观察，勤思考，尽量多想几勤思考，尽量多想几种方法．种方法．讲解方法(1)：ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2)=abc 2+abd 2+a 2cd+b 2cd=(abc 2+b 2cd)+(abd 2+a 2cd)=bc(ac+bd)+ad(ad+ac)=(ac+bd)(bc+ad) =(ac+bd)(bc+ad)．．方法(2)：原式原式=abc =abc 2+abd 2+a 2cd+b 2cd =(abc 2+a 2cd)+(abd 2+b 2cd)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd) =(bc+ad)(ac+bd)．．例5．3x 2-x=1-x=1，求，求6x 6x 3+7x 2-5x+200-5x+200的值．的值． 分析 思路一：由思路一：由3x 3x 2-x=1-x=1，不便于求出，不便于求出x 的值，故可考虑将的值，故可考虑将6x 6x 3+7x 2-5x+200-5x+200用用(3x 2-x)-x)“整“整体”重新表示；思路二：由思路二：由3x 3x 2-x=1-x=1，得，得3x 3x 2=1+x =1+x．利用此式可将．利用此式可将6x 6x 3+7x 2-5x+200,-5x+200,逐步降次，最终达到逐步降次，最终达到化简的目的．讲解方法一：6x 3+7x 2-5x+200=2x(3x 2-x)+9x 2-5x+200=2x(3x 2-x)+3(3x 2-x)-2x+200=(2x+3)(3x 2-x)-2x+200=2x+3-2x+200=203 =203．．方法二：∵∵3x 2-x=1-x=1，∴，∴3x 3x 2=1+x =1+x，则，则 6x 3+7x 2-5x+200=2x =2x··3x 2+7+7··x 2-5x+200 =2x(1+x)+7x 2-5x+200=9x 2-3x+200=3 =3··(1+x)-3x+200=3+3x-3c+200=203 =203．．点拨：方法一中为达到用方法一中为达到用(3x (3x 2-x)-x)整体表示的目的，采用的是从最高次项起逐步提公整体表示的目的，采用的是从最高次项起逐步提公因式因式(3x 2-x)-x)的做法；方法二中始终用的做法；方法二中始终用(1+x)(1+x)替换替换3x 3x 2，这样做可达到将原，这样做可达到将原多项式多项式降次的目的．例6．证明：对任意正证明：对任意正整数整数n ，3n+2-2n+2+3n -2n 一定是l0l0的的倍数． 分析 要想证明原式是要想证明原式是1010的倍数，的倍数，只需将原式只需将原式因式分解因式分解，若有一个若有一个因数因数是1010，，则说明原式可被1010整除整除，即是，即是1010的倍数．的倍数． 证明∵3n+2-2n+2+3n -2n=3n (32+1)-2n (22+1)=3n ·10-2n ·5 =10(3n -2n-1)∴对任意的正整数∴对任意的正整数n ，原式一定是，原式一定是1010的倍数．的倍数．例7．将下列各式将下列各式分解因式分解因式(1)x 2+5x+4+5x+4；； (2)x 2-7x+6-7x+6；； (3)y 2-3y-28-3y-28；； (4)m 2+3m-28+3m-28．． 分析：上列各式均为系数为上列各式均为系数为11的二次三项式，在应用公式x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解进行分解时，关键是要找到某乘积的关键是要找到某乘积的常数项常数项，和为一次项系数的两个数，和为一次项系数的两个数，一般先将常数项分解为两数一般先将常数项分解为两数之积，然后再验证这两个数的和是否为一次项系数，若为，即可利用上述公式进行分解．(1)中有中有4=14=1××4，且，且1+4=51+4=5；；(2)(2)中有中有6=(-1)6=(-1)××(-6)(-6)，且，且(-1)+(-6)=-7(-1)+(-6)=-7；；(3)(3)中有中有-28=4-28=4××(-7)(-7)，，且4+(-7)=-34+(-7)=-3；；(4)(4)中有中有-28=(-4)-28=(-4)××7，且，且(-4)+7=3(-4)+7=3．． 讲解：(1)x 2+5x+4=x 2+(1+4)x+1+(1+4)x+1××4 =(x+1)(x+4) =(x+1)(x+4)．．(2)x 2-7x+6=x 2+[(-1)+(-6)]x+(-1)+[(-1)+(-6)]x+(-1)××(-6)=(x-1)(x-6) =(x-1)(x-6)．．(3)y 2-3y-28=y 2+[(-7)+4]x+(-7)+[(-7)+4]x+(-7)××4=(y-7)(y+4) =(y-7)(y+4)，，(4)m 2+3m-28=m 2+[7+(-4)]m+7+[7+(-4)]m+7××(-4)=(m+7)(m-4) =(m+7)(m-4)．．例8．把下列各式把下列各式分解因式分解因式(1)p 4-7p 2+6+6；； (2)(a+b)2-4(a+b)-21;(3)x 2y 2+2xy-15+2xy-15．． 分析：(1)p 4=(p 2)2，设p 2=y =y，则原，则原多项式多项式可转化为关于y 的二次三项式；的二次三项式；(2)(2)可看成是关于可看成是关于(a+b)(a+b)的二次三项式；的二次三项式；(3)(3)可看成是关于可看成是关于xy 的二次三项式的二次三项式..讲解：(1)方法一设设p 2=y =y，则，则 p 4-7p 2+6=y 2-7y+6=(y-1)(y-6)=(p 2-1)(p 2-6)=(p+1)(p-1)(p 2-6)方法二：p 4-7p 2+6=(p 2)2-7p 2+6=(p 2-6)(p 2-1) =(p 2-6)(p-1)(p+1)-6)(p-1)(p+1)．． (2)(a+b)2-4(a+b)-21=(a+b-7)(a+b-3) =(a+b-7)(a+b-3)．．(3)x 2y 2+2xy-15=(xy)2+2+2··xy-15=(xy+5)(xy-3) =(xy+5)(xy-3)．．说明：(1)(1)中的方法一用的是中的方法一用的是换元法换元法；方法二用的是换元的思想一在意识上将p 2看成一个整体，体，把原多项式看成是关于把原多项式看成是关于p 2的二次三项式，的二次三项式，但并不写出换元的步骤．但并不写出换元的步骤．这样，在书写上较方这样，在书写上较方法一简捷了许多．例9．分解因式a 2-4ab+3b 2．分析 本题所给的本题所给的多项式多项式是一个二齐次式，这类式子可看作是关于某一个字母的二次三项式，把另一个字母看作式，把另一个字母看作常数常数．不妨把a 2-4ab+3b 2看作关于a 的二次三项式，则的二次三项式，则常数项常数项是3b 2，一次项系数是-4b ．∵3b 2=(-b)=(-b)··(-3b)，而(-b)+(-3b)=-4b ．∴a 2-4ab+3b 2可写成a 2+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b)+[(-b)+(-3b)]x+(-b)(-3b)，继而分解为，继而分解为(a-b)(a-3b)(a-b)(a-3b)．． 讲解 a 2-4ab+3b 2=(a-b)(a-3b)=(a-b)(a-3b)．．注意 对于含有两个字母的二齐次式．分解因式时；要防止丢掉后一个字母的错误．对于含有两个字母的二齐次式．分解因式时；要防止丢掉后一个字母的错误．例10．把下列各式分解因式(1)x 4y 2-5x 2y 2-14y 2；(2)x 2-10xy+25y 2+6x-30y+8+6x-30y+8．． 分析：(1)(1)中各项提出公因式中各项提出公因式y 2后，括号内各项为x 2的二次三项式，的二次三项式，可用本节公式分解；可用本节公式分解；(2)(2)中前三项一组，第四、五项一组，第六项一组，原式即可转化为关于中前三项一组，第四、五项一组，第六项一组，原式即可转化为关于(x-5y)(x-5y)的二次三次式，的二次三次式，可继续用本节公式分解．(1)x 4y 2-5x 2y 2-14y 2=y 2(x 4-5x 2-14)=y 2(x 2-7)(x 2+2)(2)x 2-l0xy+25y 2+6x-30y+8=(x-5y)2+6(x-5y)+8=(x-5y+2)(x-5y+4)例11．分解因式：分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1分析 ∵1+4=2+31+4=2+3，，∴可考虑把∴可考虑把(x+1)(x+4)(x+1)(x+4)及及(x+2)(x+3)(x+2)(x+3)分别分别组合组合相乘，所得两个二次三项式的二次项相同，一次项也相同，即含有x 的部分完全相同．以便进一步用的部分完全相同．以便进一步用换元法换元法分解因式．讲解：原式原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x2+5x+6)+1设x 2+5x+4=y +5x+4=y，则，则原式原式=y(y+2)+1=y =y(y+2)+1=y 2+2y+1 =(y+1)2=(x 2+5x+4+1)2=(x 2+5x+5)2说明：本题解散法的关键是：①巧妙结合．②恰当换元本题解散法的关键是：①巧妙结合．②恰当换元例12．已知已知(m (m 2-2)2-9(m 2-2)+14=0-2)+14=0，求，求m 的值． 分析：此题中，此题中，方程方程的左边可以用本节的公式分解，分解后，的左边可以用本节的公式分解，分解后，依据乘积为零则至少有一个依据乘积为零则至少有一个因因式为零，则原方程可转化为几个次数较低的方程，从而可求出m 的值．讲解：由(m 2-2)2-9(m 2-2)+14=0-2)+14=0，得，得 [(m 2-2)-2)][(m 2-2)-7]=0(m 2-4)(m 2-9)=0(m-2)(m+2)(m-3)(m+3)=0∵∵m-2=0m-2=0或或m+2=0m+2=0或或m-3=0m-3=0或或m+3=0 ∴∴m=2m=2或或m=-2m=-2或或m=3m=3或或m=-3m=-3．．答：一、选择题：1．分解因式2a 2+4ab+2b 2-8c 2，正确的是，正确的是( )( ) A ．2(a+b-2c) B ．2(a+b+c)(a+b-c)C ．(2a+b+4c)(2a+b-4c)D ．2(a+b+2c)(a+b-2c)2．x 2-6x-16-6x-16分解因式为分解因式为( )( ) A ．(x-2)(x-8) B ．(x+2)(x+8)C．(x+2)(x-8) D．(x-2)(x+8)3．x 2-13xy-30y2分解因式为( )A．(x-3y)(x-l0y) B．(x+15y)(x-2y)C．(x+l0y)(x+3y) D．(x-15y)(x+2y)4．如果如果多项式多项式x4-3x3-28x2的其中一个因式是x2，则另外两个因式是，则另外两个因式是( )( )A．(x-4)(x+7) B．(x-4)(x-7)C．(x+4)(x-7) D.(x+4)(x+7)5．多项式x2+px-q(p>0-q(p>0，，pq>0)pq>0)分解因式的结果足分解因式的结果足(x+m)(x+n)(x+m)(x+n)，则下列判断正确的是，则下列判断正确的是( )( ) A．mn<0 B．mn>0C．m>0m>0且且n>0 D．m<0m<0且且n<06．多项式a6+7a3-8-8分解因式后含有多少个因式分解因式后含有多少个因式( )( )A．1 B．2 C．3 D．47．如果x2-px+q=(x+a)(x+b)-px+q=(x+a)(x+b)，那么，那么p等于等于( )( )A．ab B．a+b C．-ab D．-(a+b)8．若x2+(5+b)x+5b=x2-x-30-x-30，则，则b的值为的值为( )( )A．5 B．-6 C．-5 D．69．如果多项式x2+ax-6+ax-6可分解为两个整系数的一次因式的积，可分解为两个整系数的一次因式的积，那么a可取的可取的整数整数值为值为( )( ) A．4个B．3个C．2个D．1个二、判断题：10．x2+(a+b)x+ab=________+(a+b)x+ab=________；；x2-(m-n)x-mn=_______11．3ax2+6axy+3ay2=_______12．已知x2-3x-54=(x+a)(x+b)-3x-54=(x+a)(x+b)，则，则a与b的符号的符号____________13．已知x2-5xy+4y2=0=0，则，则x：y=______14．x 2-2x-24-2x-24能被能被(x+a)(x+a)整除整除，则a=______ 三、把下列各式分解因式：15．(1)5m 2+6n-15m-2mn +6n-15m-2mn；；(2)ab-3b+7a 2-2la -2la；；(3)a 3-3b 2+3ab-a 2b ； (4)ax 2+3x 2-4a-12-4a-12．．16．(1)x 3 + x 2y - x 2z - xyz z - xyz；；(2)a 2x + a 2y - b 2x - b 2y ； (3)m 2n 2 - x 2y 2- m 2y 2+ n 2x 2；(4)a 4b+a 3b+ab+b b+ab+b．．17．(1)ax 2+x 2-a-1; (2)x 3-4+x-4x 2；(3)m 3-m-8m 2+8+8；；(4)a 2b 2-a 2-b 2+1+1．． 18．(1)25x 2-4a 2+12ab-9b 2；(2)a 2+2ab+b 2-ac-bc -ac-bc；；(3)a 2+2ab+b 2-m 2+2mn-n 2;(4)x 3 + x 2y - xy 2 - y 3．19．(1)y(y-2)+4x(x-y+1)(1)y(y-2)+4x(x-y+1)；；(2)3(ab+cd)-(bc+9ad)(2)3(ab+cd)-(bc+9ad)；；(3)1-ab(1-ab)-a 3b 3；(4)a(a-1)(a-2)-6(4)a(a-1)(a-2)-6．．20．求值求值(1)(1)已知已知a+b= ，a-b= ，求a 2+ab-3a-3b 的值； (2)(2)已知已知a 2+a+1=0+a+1=0，求，求a 3+2a 2+2a+3+2a+3的值；的值；(3)(3)若若x 2+2x+y 2-6y+10=0-6y+10=0，求，求x ，y 的值；(4)(4)已知已知a+b=0a+b=0，求，求a 3-2b 3+a 2b-2ab 2的值．答案（一）（一）11．D 2D 2．．C 3C 3．．D 4D 4．．C 5C 5．．A 6A 6．．D 7D 7．．D 8D 8．．B 9B 9．．A（二）（二）1010．．(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11(x+a)(x+b),(x-m)(x+n) 11．．3a(x+y)21212．互异．互异 13 13．．1或4 144 14．．4或-6（三）（三）1515．．(1) (m-3)(5m-2n)(2) (a-3)(7a+b)(3) (a-b)(a 2+3b)(4) (a+3)(x+2)(x-2)1616．．(1) x(x+y)(x-z)(2) (x+y)(a+b)(a-b)(3) (m 2+x 2)(n+y)(n-y)(4) b(a+1)2(a 2-a+1)1717．．(1) (a+1)(x-1)(x 2+x+1)(2) (x 2+1)(x-4)(3) (m+1)(m-1)(m-8)(4) (a+1)(a-1)(b+1)(b-1)1818．．(1) (5x+2a-3b)(5x-2a+3b)(1)- (2)2 (3)x=-1,y=3 (4)=0 m 的值为的值为22，-2-2，，3或-3-3．． (2) (a+b)(a+b-c)(3) (a+b+m-n)(a+b-m+n)(4) (x-y)(x+y)2 1919．．(1) (2x-y)(2x-y+2)(2) (3a-c)(b-(2) (3a-c)(b-3d 3d )(3) (1+a 2b 2)(1-ab)(4) (a 2+2)(a-3) 2020．．。
第9讲 运用分组分解法
第9讲 运用分组分解法--分解因式及综合运用一、【基础知识精讲】1、分组分解法：把一个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应用公式来分解.这种分解因式的方法叫分组分解法.（1）运用分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进一步用其他方法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是一种独立的分解因式的方法，而且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运用分组分解法分解因式常用以下一些方法：①分组后能提取公因式； ②分组后能运用公式；③重新分组.注意：另外还有一些方法：如配方法；拆、添项法；换元法；主元法；待定系数法等.2、因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．二、【例题精讲】考点一：分组分解的常见方法与技巧例1、把下列各式分解因式.（1）a 2 +2ab +b 2－c 2 （2）x 2 +3xy +2x +2y 2+4y（3）a 2 +2ab +b 2 +ac +bc （4）a 2－b 2+a －5b －6（5）a 2－b 2+2ax －2by +x 2－y 2 （6）x 2+xy-2y 2-x +7y -6变式：把下列各式分解因式.（1）63223-+-x x x （2）3232ay y ax ax axy +--（3）222444 z y xy x-+- （4）x 2+y 2–2xy +ax-ay（5）()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++考点二：其他方法拓展No1：待定系数法 例2、已知2x nx m +-有因式()()12x x --和，求m= ，n .变式：1、（福建中考）若二次多项式2232k kx x -+能被 x -1整除，试求k 的值为 .2、若34-x 是多项式a x x ++542的一个因式，则a 是 .3、若多项式162--mx x 可以分解因式，则整数m 可取的值共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个4、若多项式65222-++--y mx y xy x 可以分解为)32)(2(-++-y x y x ，则____=m .No2：换元法例3、（希望杯试题）求证：2010×2011×2012×2013+1是一个整数的平方.变式：分解因式(x 2+3x +2)(x 2+7x +12)－120．No3：配方法例4、分解因式（1）444x y + （2）42951x x ++变式：1、（广西中考）已知：4,3-=-=+c b b a ，求bc ac ab c b a -++++222的值.2、已知3,23,1-=+=+=+a c c b b a ，求ca bc ab c b a +++++35222的值.3、已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状.4、已知c b a ,,满足,176,12,72222-=--=-=+a c c b b a 则b c a ++的值是多少？考点三：方法综合例5、（2013四川宜宾）已知P =3xy －8x +1，Q =x －2xy －2，当x ≠0时，3P －2Q =7恒成立，则y 的值为 .例6、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)] =(1+x )2(1+x ) =(1+x )3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.（2）若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2013，则需应用上述方法 次，结果是 .（3）分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数)三、【拓展训练】1、（佛山中考）对于任意的正整数n ，所有形如n n n 2323++的数的最大公约数是什么？2、若51-=+b a ,13=+b a ,则53912322+++b ab a 的值为 .3、已知a ＋b=0，求a 3－2b 3＋a 2b －2ab 2的值．4、已知3223225,20x x y xy y x y +++=+=，则x y +的值是 .5、已知：a=10000，b=9999，求a 2+b 2－2ab －6a +6b +9的值.6、若62222244++-=+b b a a b a ，求22b a +的值.7、已知：n 满足()(),12013201222=-+-n n 求n 的值8、一个自然数减去45后是自然数M 的平方，这个自然数加上44后是自然数N 的平方， （1）求22N M -的值（2）你能求出这个自然数吗？9、已知(),,b a ba b a y b a b a x ±≠+-=-+= 2013191511922=++y xy x 且. 求：（1）y x + （2）若22kb a =，求k10、当x-y=1时，求代数式42233433y xy y x y x xy x ++---的值.望子成龙学校家庭作业完成时间： 作业等级：一、选择、填空题1．（成都中考）把b a ab a 2232-+分解因式的结果是 .2.（大庆中考）若多项式229)1(b ab k a +-+能用完全平方公式进行因式分解，则k= .3.（2010益阳）若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m .4.（2010眉山）把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x -5.（2010济宁）把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -6.（2010北京）分解因式：32232a b a b ab -+= ．7.（2013培优）已知：0125422=+-++y y xy x ，则x=______,y=_________.二、把下列各式分解因式（1）361324+-m m； （2）24)(10)(222----x x x x ；（3）3)22)(2(22--++x x x x； （4）241414)(222++--x x x x ．。
因式分解之分组分解法
因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
注意问题提示：（1）分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。
（2）分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。
（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式 进行因式分解。
常见分组方法方法一：分组后能提取公因式1．按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组， 含有字母b 的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。
2．按系数分组例如：分解因式：a 2-ab+3b-3a ，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好 相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。
3．按次数分组例如：分解因式：x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二：分组后能运用公式例如：x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。
而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组例如：分解因式4x 2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。
4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。
分组分解法的10道例题
分组分解法的10道例题分组分解法是一种常用的解题方法，适用于解决复杂问题时将其分解为若干个简单问题的方法。
下面是10道使用分组分解法解题的例题：1. 问题，将100个苹果分给4个人，每人至少分到几个苹果？解答，假设每人最少分到x个苹果，那么总共分给4个人的苹果数为4x。
根据分组分解法，可得到不等式4x ≤ 100。
解不等式得x ≤ 25，因此每人至少分到25个苹果。
2. 问题，一个矩形的长是宽的3倍，周长为28米，求矩形的长和宽。
解答，设矩形的宽为x，则矩形的长为3x。
根据周长的定义，可得到等式2(x + 3x) = 28。
化简得到8x = 28，解方程得x =3.5。
因此矩形的宽为3.5米，长为10.5米。
3. 问题，某班级男生人数是女生人数的2倍，如果班级总人数为90人，求男生和女生的人数。
解答，设女生人数为x，则男生人数为2x。
根据总人数的定义，可得到等式x + 2x = 90。
化简得到3x = 90，解方程得x = 30。
因此男生人数为60人，女生人数为30人。
4. 问题，一桶油漆足够涂抹房间的四分之三，如果再购买4桶油漆，能涂抹整个房间吗？解答，设房间需要的油漆桶数为x，根据题意可得到不等式x ≤ (1/3 + 4) x。
化简得到x ≤ (7/3) x。
因此购买4桶油漆足够涂抹整个房间。
5. 问题，某商店打折出售商品，原价100元的商品打8折，原价200元的商品打9折，原价300元的商品打95折，求购买这三种商品的总价格。
解答，设购买100元商品的数量为x，购买200元商品的数量为y，购买300元商品的数量为z。
根据折扣和总价格的定义，可得到等式0.8x + 0.9y + 0.95z = 100x + 200y + 300z。
化简得到0.2x + 0.1y + 0.05z = 0。
因此购买这三种商品的总价格为0元。
6. 问题，一个三位数的个位数是十位数的两倍，百位数比十位数大1，求这个三位数。
分组分解的八种技巧
分组分解的八种技巧
分组分解法是多项式不能应用提取公因式、公式法、十字相乘法进行分解的情况下产生的，它是因式分解的基本方法之一，分组是难点.下面介绍八种常见的分组技巧.
一、按公因式分组
【例1】bc ad cd ab +++.
分析：一、三项有公因式a ，二、四项有公因式c ，故把一、三和二、四项分别分为一组.
二、按乘法公式分组
【例2】1222++-x y x .分析：由于一、三、四项合在一起能用完全平方公式，故将其分为一组.
三、同时按公因式和公式分组
【例3】y x y x 2222-+-.分析：由于一、二项能用平方差公式，三、四项有公因式2，故把一、二和三、四项分别分为一组.
四、按系数比分组
【例4】124323+--x x x .分析：由于12:)4()3(:1-=-，故把一、二和三、四分别分为一组.
五、按次数分组
【例5】y x y xy x 824322-+--.分析：因为前三项的次数均为2，后二项的次数为1，所以分别划为一组.
六、先拆项后分组
【例6】 653++x x .
分析：此题难以分组，故可将6拆为5+1，再将一、四和二、三项分别分为一组.
解：原式...)55()1(15533=+++=+++=x x x x
七、先展开后分组
【例7】)()(2222b a xy y x ab +++.
分析：此题直接分组行不通，故把括号展开，再按公因式分组.
八、先添项后分组
【例8】 84+x .分析：此题可添减24x 这一项，使之能按公式分组. 解：原式=)22)(22()2()2(4)44(22222224+-++=-+=-++x x x x x x x x x
2
520t t h -=。
分组分解法
分组分解法知识梳理：很多多项式(四项)不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，就可以先在局部上，进而在整体上运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．所以，“分组”的作用在于促进了提公因式法和公式法的运用，使多项式从不能分解向能分解转化．提公因式：例1 把多项式 分解因式．练习：(1)a 2x ＋a 2y ＋b 2x ＋b 2y (2)mx ＋mx 2－n －nx(3)ac+bc+2a+2b (4)3a-ax-3b+bx(5)2ax-10ay+5by-bx (6)5ax+6by+5ay+6bx构建公式： 例2 把多项式 分解因式．632ax ay bx by -+-mx my x xy y --+-24422例3把多项式a2-2ab+b2-c2分解因式．练习：(1)4a2-b2+6a-3b(2)9m2-6m+2n-n2 (3)x2-y2-z2+2yz(4)x2-4xy+4y2+2x-4y例5 分解二次三项式例6 分解因式： (a ＋2b )2－10(a ＋2b )＋21例7 分解因式(x 2＋2x )2－2(x 2＋2x )－3．练习：1、x x 2691--3)3(+++m m a 3223b ab b a a +++ba b a 2418321822+--2222b ab a x -+-3223b ab b a a +++22144y x x -+-x 2-y 2+ax+ay (z 2-x 2-y 2)2-4x 2y 2a 4－50a 2＋62516x 4－72x 2＋811+--q p pq 46922n m m ---10324--m m 21)3(10)3(2+---b a b a。
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9.16 分组分解法
教学目标
1. 理解分组分解法的意义；
2. 进一步理解因式分解的意义；
3. 初步掌握分组后能直接提公因式分解因式和分组后利用公式法分解因式的方法；
4. 尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦；
教学重点、难点
1. 掌握分组分解法的分组原则；
2. 如何分组才能达到因式分解的目的；
3. 选择分组方法。
教学过程
（一）复习
把下列多项式因式分解
(1)2x 2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)
(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)3-2(x+y) 2+（x+y ）
（二）新课讲解
1．引入
提问：如何将多项式y x y x x 4423-+-因式分解？
分析：很显然，多项式y x y x x 4423-+-中既没有公因式，也不好用公式法。
怎么办呢？
由于)(444),(223y x y x y x x y x x -=--=-,而))(4()(4)(22y x x y x y x x -+=-+-.
这样就有：))(4()(4)()44()(44222323y x x y x y x x y x y x x y x y x x -+=-+-=-+-=-+- 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
例1. 分解因式： y x y x x 4423-+-
方法一： ))(4()
(4)()
44()(44222323y x x y x y x x y x y x x y
x y x x -+=-+-=-+-=-+-（根据次数分组）
说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式，及分组的重点是为了构造公因式。
提问：这道题是根据什么原则分组的？还有其他不同的分组方式吗？学生分组操作
变式：分解因式： x y y x x 442
3-+- )
)(2)(2()
)(4()
(4)()
(4)()
44()(442222323y x x x y x x y x y x x x y y x x x y y x x x
y y x x -+-=--=---=-+-=-+-=-+-（分解后还可以利用平方差再次分解）
分组原则：分组后可以重新构造出公因式，四项式进行两两分组的话，可以利用次数分组，也可以利用系数比例分组。
例2.分解因式： 44422-+-y xy x
22222444
(44)4
(2)4
(22)(22)x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+
总结：四项多项式，还可以进行三项一组，一项一组的分组，其中的三项可以构成完全平方式，之后与另一组再利用平方差公式继续进行因式分解。
练习：
把下列各式分解因式
(1)5m(a+b)-a-b (2)2m-2n-4x(m-n)
(1)ax+bc+3a+3b (2)a 2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y 2-yz+xz
(5)2x 3+x 2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx 2+mx-nx-n
(9)8m-8n-mx+nx (10)x 2-2bx-ax+2ab (11)ma 2+na 2-mb 2-nb 2
(五)、小结
这节课学习了分组后能直接提公因式来因式分解的知识，注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式。
(六)、作业
练习册§9.15。