2016-2017学年上海市金山中学高三(上)期中数学试卷和答案

2016-2017学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜2}，B={x|2＜x＜6}，且A∩B=．2．（4分）已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集是．3．（4分）若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=．4．（4分）在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是．5．（4分）=．6．（4分）若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数对称轴为．7．（4分）在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为．8．（4分）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是．9．（4分）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数图象过，则函数的图象一定过．10．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{a n}的公比q的值等于．11．（4分）已知不等式对于任意xy＞0恒成立，求正实数a的范围．12．（4分）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为．13．（4分）若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为个．14．（4分）若数列{a n}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{a n}为“差非增数列”．给出下列数列{a n}，n∈N*：①a n=2n++1，②a n=n2+1，③a n=2n+1，④a n=ln，⑤a n=2n+．其中是“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号）．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣17．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．218．（5分）已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a||x|﹣b|的图象是（）A．B．C．D．三、简答题（共74分）19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2=4S ．△ABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求a﹣b的取值范围．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1；（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项．21．（14分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？22．（16分）已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a＞0．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x∈[0，3]上的最值；（3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．2016-2017学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={x|log2（x﹣1）＜2}，B={x|2＜x＜6}，且A∩B=（2，4）．【解答】解：∵log2（x﹣1）＜2，∴，解得1＜x＜4，∴A=（1，4），∵B={x|2＜x＜6}=（2，6），∴A∩B=（2，4），故答案为：（2，4）2．（4分）已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集是（﹣，﹣）．【解答】解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b=0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2=﹣，3×2=，解得a=﹣1，b=﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．3．（4分）若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=3．【解答】解：∵tan（α+）=sin2α+cos2α，∴==，整理可得：tan2α（3+t anα）=0，解得：tanα=0，或﹣3，∵α∈（，π），可得：tanα＜0，∴tanα=﹣3，∴tan（π﹣α）=﹣tanα=3．故答案为：3．4．（4分）在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，∴，解得a1=4，d=．故答案为：．5．（4分）=．【解答】解：=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）==，故答案为．6．（4分）若将函数y=cos（2x）的图象向左平移个单位长度，则平移后的函数对称轴为．【解答】解：由题意，函数y=cos（2x的）图象向左平移个单位长度，可得：y=cos[2（x+）]=cos（2x+），∴由2x+=kπ（k∈Z），解得：x=﹣（k∈Z），故答案为：．7．（4分）在△ABC中，a=5，b=8，C=60°，则的值为﹣20．【解答】解：=故答案为：﹣20．8．（4分）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是[5，6] ．【解答】解：令t=2x，则t∈[1，2]，∴方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0，化为：k•t2﹣2k•t+6（k﹣5）=0，根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，整理，得：方程k（t2﹣2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解∴，当t∈[1，2]时存在实数解∵t2﹣2t+6=（t﹣1）2+5∈[5，6]∴故答案为[5，6]9．（4分）若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数图象过，则函数的图象一定过．【解答】解：∵函数的图象过点，∴﹣=tan﹣f（2），即f（2）=，即函数y=f（x）的图象过点（2，），则函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）过（，2）点，∴函数的图象一定过点（，2﹣），故答案为：．10．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{a n}的公比q的值等于﹣2．【解答】解：根据题意，S5、S4、S6成等差数列，则2S4=S5+S6成等差数列，①、当q=1时，S n=na1，则S5=5a1，S4=4a1，S6=6a1，S5、S4、S6成等差数列不成立，故舍去．②、当q≠1时，有2=+，变形可得：2a5=a6+a7，∴2a5=a5q+a5q2，q2+q﹣2=0解得q=﹣2或1（舍）．则数列{a n}的公比为q=﹣2，故答案为：﹣2．11．（4分）已知不等式对于任意xy＞0恒成立，求正实数a的范围a≥4．【解答】解：因为（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2=（+1）2，a＞0，要使原不等式恒成立，则只需（+1）2≥9，即+1≥3，解得a≥4，故答案为：a≥4．12．（4分）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为a i j，则数表中的2015应记为a4579．【解答】解：前1行共有：1个数前2行共有：1+3=4个数前3行共有：1+3+5=9个数前4行共有：1+3+5+7=16个数…由此猜想：前N行共有N2个数，∵442=1936＜2015，452=2025＞2015，故2015应出现在第45行，又由第45行的第一个数为1937，故2015应为第79个数，故答案为：a457913．（4分）若偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数为10个．【解答】解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），即函数f（x）关于x=1对称，即有f（x+2）=f（﹣x）=f（x），则函数y=f（x）的周期为2，构造函数y=f（x），h（x）=|lgx|，画出它们的图象，则函数g（x）=f（x）﹣|lgx|的零点问题转化为图象的交点问题，由于f（x）的最大值为1，所以x＞10时，图象没有交点，在（0，1）上有一个交点，（1，3），（3，5），（5，7），（7，9）上各有两个交点，在（9，10）上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10．故答案为：10．14．（4分）若数列{a n}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{a n}为“差非增数列”．给出下列数列{a n}，n∈N*：①a n=2n++1，②a n=n2+1，③a n=2n+1，④a n=ln，⑤a n=2n+．其中是“差非增数列”的有③④（写出所有满足条件的数列的序号）．【解答】解：①若a n=2n++1为“差非增数列”，则恒成立，即恒成立，此式显然不正确，①不是“差非增数列”；②若a n=n2+1为“差非增数列”，则n2+1+（n+2）2+1≤2（n+1）2+2，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”；③若a n=2n+1为“差非增数列”，则2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，即0≤0恒成立，此式显然正确，③是“差非增数列”；④若a n=ln为“差非增数列”，则ln+ln≤2ln，即恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式显然正确，④是“差非增数列”；⑤若a n=2n+为“差非增数列”，则，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”．故答案为：③④．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“a＜b＜0”则有“a2＞b2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a2＞b2”但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣【解答】解：已知角α的终边经过点P（x，3）（x＜0）所以OP=，由三角函数的定义可知：cosθ=x=，x＜0解得x=﹣1．故选：A．17．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．1 C．0 D．2【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．18．（5分）已知a＞0且a≠1，函数在区间（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a||x|﹣b|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是奇函数，∴f（0）=0∴b=1，又∵函数在区间（﹣∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，所以g（x）=log a||x|﹣1|定义域为x≠±1，且当x＞1递增，当0＜x＜1递减，故选：A．三、简答题（共74分）19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2+b2﹣c2=4S ．△ABC（1）求角C的大小；（2）若c=，求a﹣b的取值范围．【解答】解：（1）由a2+b2﹣c2=4S△ABC得：a2+b2﹣c2=4×absinC=2absinC，即=sinC，即cosC=sinC，即为tanC=1，又角C为△ABC的内角，所以∠C=45°；（2）由正弦定理得：====2，可得a=2sinA，b=2sinB，所以a﹣b=2sinA﹣sinB=2sin A﹣sin（﹣A）=2sinA﹣（cosA+sinA）=sinA﹣cosA=sin（A﹣），又因为0＜A＜π，所以﹣＜A﹣＜，可得﹣＜sin（A﹣）＜1，所以﹣1＜sin（A﹣）＜，故a﹣b的取值范围是（﹣1，）．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1；（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=3+8=11，当n≥2时，，又a n=6n+5对n=1也成立，所以a n=6n+5．又因为{b n}是等差数列，设首项为b1，公差为d，则由a n=b n+b n+1得：6n+5=（2d）n+（2b1﹣d），且该等式恒成立，所以：，所以，所以b n=3n+1；法二：当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d，相减可得d=3，所以数列{b n}的通项公式为．（2）==，由n≥4时，c n递减，且c4=；又c1＜0，c2＜0，c3＜0，所以当n=4的时候取得最大值．21．（14分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3﹣x与t+1成反比例（若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件）；已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入﹣生产成本﹣促销费用）；（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；（2）试问：当2017的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？【解答】解：（1）设反比例系数为k（k≠0），有因为当t=0时x=1，代入得k=2，所以；易得：，化简得：；（2），当且仅当t=7时取等号；所以，当2017年的促销费投入7万元时，工厂的年利润最大为42万元．22．（16分）已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a＞0．（1）若a=1，求f（x）的单调区间；（2）求函数在x∈[0，3]上的最值；（3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围．【解答】解：（1）x≤1时，函数f（x）的对称轴是x=，开口向上，故f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2），当0＜a≤3时，f（x）=2x2﹣ax﹣3a的对称轴是x=＜1，∴f（x）在[0，）递减，在（，3]递增，而f（0）=﹣3a＜f（3）=0，∴f（x）的最小值，最大值f（3）；当3＜a＜6时，对称轴x=，1＜＜3，故f（x）在[0，）递减，在（，3]递增，∴f（x）的最小，最大值f（3），当6≤a＜12时，最小值，最大值f（0）当a≥12时，最小值f（3），最大值f（0）（3）当0＜a＜3时，令f（x）=0，可得，（因为f（a）=a2﹣3a＜0，所以x3＞a舍去）所以，在0＜a＜3上是减函数，所以．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=0，a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，b1=1，点（T n+1，T n）在直线上，若不等式对于n∈N*恒成立，求实数m的最大值．，【解答】解：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+a n+n=a n+1+n﹣1=a n（n≥2），得a1+a2+a3+…+a n﹣1=2a n+1，两式相减得a n+1+1=2（a n+1）（n≥2），变形为a n+1∵a1=0，∴a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），∴{a1+1}是以1为首项，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，T n）在直线上，∵点（T n+1∴，故是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，当n≥2时，，∵b1=1满足该式，∴b n=n．∴不等式，即为，令，则，两式相减得，∴．由恒成立，即恒成立，又，故当n≤3时，单调递减；当n=3时，；当n≥4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是．。