茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)考研真题精选(多维随机变量及其分布)【圣才出品】

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概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。

茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(参数估计)【圣才出品】

第6章参数估计6.1 复习笔记一、点估计的概念与无偏性 1．点估计及无偏性（1）定义：设x 1，…，x n 是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．（2）定义：设θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的θ∈Θ，有E θ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计．注意：①当样本量趋于无穷时，有E （s n 2）→σ2，称s n 2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，s n 2可近似看作σ2的无偏估计．②若对s n 2作如下修正：则s 2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．③无偏性不具有不变性．即若θ∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g （θ∧）不是g （θ）的无偏估计，除非g （θ）是θ的线性函数．④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，否则称它是不可估的．22211()11nn i i ns s x x n n ===---∑2．有效性定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var （θ∧1）≤Var （θ∧2），且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．二、矩估计及相合性 1．替换原理和矩法估计替换原理指：（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩．（2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．2．概率函数已知时未知参数的矩估计设总体具有已知的概率函数p （x ；θ1，…，θk ），（θ1，…，θk ）∈Θ是未知参数或参数向量，x 1，…，x n 是样本．假定总体的k 阶原点矩u k 存在，则对所有的j （0＜j ＜k ）u j 都存在，若假设θ1，…，θk 能够表示成u 1，…，u k 的函数θj ＝θj （u 1，…，u k ），则可给出θj 的矩估计：θ∧j ＝θj （a 1，…，a k ），j ＝1，…，k ，其中a 1，…，a k 是前k 阶样本原点矩进一步，如果我们要估计θ1，…，θk 的函数η＝g （θ1，…，θ∧k ），则可直接得到η的矩估计η∧＝g （θ∧1，…，θ∧k ）．注：当k ＝1时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果k ＝2，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心矩）出发估计未知参数．11n jj ii a x n ==∑3．相合性定义：设θ∈Θ为未知参数，θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε＞0，有则称θ∧n 为参数θ的相合估计．判断相合性的两个有用定理：（1）设θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若则θ∧n 是θ的相合估计．（2）若θ∧n1，…，θ∧nk 分别是θ1，…，θk 的相合估计η＝g （θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则η∧＝g （θ∧n1，…，θ∧nk ）是η的相合估计．三、最大似然估计与EM 算法 1．最大似然估计定义：设总体的概率函数为P （x ；θ），θ∈Θ，其中θ是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，Θ是参数空间，x 1，…，x n 是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成θ的函数，用L （θ；x 1，…，x n ）表示，简记为L （θ），L （θ）＝L （θ；x 1，…，x n ）＝p （x 1；θ）p （x 2；θ）…p （x n ；θ）ˆlim ()0n n P θθε→∞-≥=ˆlim ()nn E θθ→∞=ˆlim ()0nn Var θ→∞=L （θ）称为样本的似然函数．如果某统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）满足则称θ∧是θ的最大似然估计，简记为MLE ．注意：在做题时，习惯于由lnL （θ）出发寻找θ的最大似然估计，再求导，计算极值．但在有些场合用求导就没用，此时就需要从取值范围中的最大值和最小值来入手．2．EM 算法当分布中有多余参数或数据为截尾或缺失时，其MLE 的求取是比较困难的，这时候就可以采用EM 算法，其出发点是把求MLE 的算法分为两步：（1）求期望，以便把多余的部分去掉；（2）求极大值．3．渐近正态性最大似然估计有一个良好的性质：它通常具有渐近正态性．（1）定义：参数目的相合估计θ∧n 称为渐近正态，若存在趋于0的非负常数序列σn （θ），使得依分布收敛于标准正态分布．这时也称θ∧n 服从渐近正态分布N （θ，σn 2（θ）），记为θ∧n ～AN （θ，σn 2（θ）），σn 2（θ）称为θ∧n 的渐近方差．（2）定理：设总体x 有密度函数p （x ；θ），θ∈Θ，Θ为非退化区间，假定 ①对任意的x ，偏导数∂lnp/∂θ，对所有θ∈Θ都存在； ②∀θ∈Θ有|∂p/∂θ|＜F 1（x ），|∂2p/∂θ2|＜F 2（x ），|∂3lnp/∂θ3|＜F 3（x ）()()ˆmax L L θθθ∈Θ=()ˆn n θθσθ-其中函数F 1（x ），F 2（x ），F 3（x ）满足③∀θ∈Θ，若x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则存在未知参数θ的最大似然估计θ∧n ＝θ∧n （x 1，x 2，…，x n ），且θ∧n 具有相合性和渐近正态性，该定理表明最大似然估计通常是渐近正态的，且其渐近方差σn 2（θ）＝（nI （θ））－1有一个统一的形式，其中，I （θ）称为费希尔信息量．四、最小方差无偏估计 1．均方误差（1）使用条件：小样本，有偏估计．（2）均方误差为：MSE （θ∧）＝E （θ∧－θ）2，常用来评价点估计．将均方误差进行如下分解：MSE （θ∧）＝E[（θ∧－E θ∧）＋（E θ∧－θ）]2＝E （θ∧－E θ∧）2＋（E θ∧－θ）2＋2E[（θ∧－E θ∧）1()d F x x ∞-∞<∞⎰2()d F x x ∞-∞<∞⎰3sup ()(;)d F x p x x ∞-∞∈Θ<∞⎰θθ()()2ln 0;d p p x x ∞-∞∂⎛⎫<I =<∞ ⎪∂⎝⎭⎰θθθ1ˆ~(,)()nAN nI θθθ（E θ∧－θ）]＝Var （θ∧）＋（E θ∧－θ）2由分解式可以看出均方误差是由点估计的方差与偏差|E θ∧－θ|的平方两部分组成．如果θ∧是θ的无偏估计，则MSE （θ∧）＝Var （θ∧）．（3）一致最小均方误差设有样本x 1，…，x n ，对待估参数θ有一个估计类，如果对该估计类中另外任意一个θ的估计θ~，在参数空间Θ上都有MSE （θ∧）≤MSE （θ~），称θ∧（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计．2．一致最小方差无偏估计定义：设θ∧是θ的一个无偏估计，如果对另外任意一个θ的无偏估计θ~．在参数率间Θ上都有Var （θ∧）≤Var （θ~），则称θ∧是θ的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE ．关于UMVUE ，有如下一个判断准则：设X ＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，θ∧＝θ∧（X ）是θ的一个无偏估计，Var （θ∧）＜∞，则θ∧是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E （φ（X ））＝0和Var （φ（X ））＜∞的φ（X ）都有Cov θ（θ∧，φ）＝0，∀θ∈Θ．这个定理表明UMVUE 的重要特征是：θ的最小方差无偏估计必与任一零的无偏估计不相关，反之亦然．3．充分性原则定理：总体概率函数是p （x ；θ），x 1，…，x n 是其样本，T ＝T （x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）；令ˆ()E T θθ=。

概率论与数理统计(茆诗松)第三章讲义

1
Y X x1 x2 M xi M
y1 p11 p21 L pi1 L
y2
L
yj p1 j L pij L
L L L L L
p12 L p22 L L L pi 2 L L L
p2 j L
联合概率分布的基本性质：（1）非负性 pij ≥ 0；（2）正则性 3.1.4
∑∑ p
i j
ij
= 1．
联合密度函数
0 x y 0
1 xy ； dy = 2 2
1
1 x 0 2 dy = y ； 2 x 2 11 11 x 当 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = ；当 x ≥ 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = 1 ． 0 0 0 0 2 2 2
⎧1 ⎪ , 0 < x < 2, 0 < y < 1; 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 p ( x, y ) = ⎨ 2 求 (X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)． ⎪ ⎩0, 其他. y 解：当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = 0；
例当 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫
n! n2 p1n1 p2 L prnr ． n1!n2 !L nr !
定义若 r 维随机变量 (X1, X2, …, Xr) 的全部可能取值是每一个 Xi 的取值 ni 可以是 0, 1, 2, …, n 中某个数，且 n1 + n2 + … + nr = n，概率分布为
P{ X 1 = n1 , X 2 = n2 , L , X r = nr } =

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(参数估计)【圣才出品】

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解第6章参数估计6.1复习笔记一、矩估计及相合性判断相合性的两个定理：（1）设ꞈθn ＝ꞈθn （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若ˆlim ()nn E θθ→∞=，ˆlim Var()0n n θ→∞=，则ꞈθn 是θ的相合估计。

（2）若ꞈθn1，…，ꞈθnk 分别是θ1，…，θk 的相合估计，η＝g（θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则ꞈη＝g（ꞈθn1，…，ꞈθnk ）是η的相合估计。

二、最大似然估计（1）求样本似然函数；（2）求对数似然函数；（3）求导；（4）找到ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）满足()()ˆmax L L θθθ∈Θ=。

三、最小方差无偏估计1．均方误差（1）MSE（ꞈθ）＝E（ꞈθ－θ）2，如果ꞈθ是θ的无偏估计，则MSE（ꞈθ）＝Var（ꞈθ）。

（2）一致最小均方误差如果对该估计类中另外任意一个θ的估计~θ，在参数空间Θ上都有MSE （ꞈθ）≤MSE （~θ），称ꞈθ（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计。

2．一致最小方差无偏估计UMVUE 判断准则：设X＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，ꞈθ＝ꞈθ（X）是θ的一个无偏估计，Var （ꞈθ）＜∞，则ꞈθ是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E（φ（X））＝0和Var（φ（X））＜∞的φ（X）都有Cov θ（ꞈθ，φ）＝0，∀θ∈Θ。

3．充分性原则定理：总体概率函数是p（x；θ），x 1，…，x n 是其样本，T＝T（x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）；令~θ＝E（ꞈθ|T），则ꞈθ也是θ的无偏估计，且Var（ꞈθ）≤Var（ꞈθ）。

4．Cramer-Rao 不等式（1）费希尔信息量I（θ）2()=ln (;)I E p x θθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎣⎦（2）定理（Cramer-Rao 不等式）设总体分布P（X；θ）满足费希尔信息里I（θ），x 1，x 2…，x n 是来自该总体的样本，T ＝T（x 1，x 2…，x n ）是g（θ）的任一个无偏估计，g′（θ）∂g（θ）/∂θ存在，且对Θ中一切θ，对1i 11()...(,,)(;)d d nn ni g T x x p x x x θθ∞∞-∞-∞==∏⎰⎰ 的微商可在积分号下进行，即1111111()...(,...,)((;))d d ...(,,)ln(;)(;)d d nn i ni nnn i i ni i g T x x p x x x T x x p x p x x x θθθθθθ∞∞-∞-∞=∞∞-∞-∞==∂'=∂∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦∏⎰⎰∏∏⎰⎰ 对离散总体，则将上述积分改为求和符号后，等式仍然成立。

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】

，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。

茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (3)

i 0
k

i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2

e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy

| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2

x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其它
2

茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机变量及其分布)【圣才出品】

为随机变量 X 癿数学期望，或称作该分布癿数学期望，简称期望或均值．若级数

xk p xk 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
k =1
（2）连续型随机变量
定义：设连续随机变量 x 癿密度凼数为 p（x）．如果
x p xdx
则称
E

X

xp

x

dx
为 X 癿数学期望，或称作该分布 p（x）癿数学期望，简称期望或均值．若

x p x dx 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．

2．数学期望癿性质按照数学期望 E（X）癿定义，E（X）由其分布唯一确定．若要求随机变量 X 癿一个凼
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数 g（X）癿数学期望，当然要先求出 Y＝g（X）癿分布，再用此分布来求 E（Y）．
lim
xx0
F

x

F

x0

即 F（x0＋0）＝F（x0）
返三个基本性质为判别某个凼数是否能成为分布凼数癿充要条件．
当 F（x）在 a 不 b 处连续时，有 F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）．
3．离散随机变量癿概率分布列
（1）定义：设 X 是一个离散随机变量，如果 X 癿所有可能叏值是 x1，x2，…，xn，…，
则称 X 叏 xi 癿概率 pi＝p（xi）＝P（X＝xi），i＝1，2，…n，…为 X 癿概率分布列或简称为
分布列，记为 X～{pi}．
分布列也可用下表来表示：
X
x1
x2
…
P P（x1） P（x2） …

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第 3 章多维随机变量及其分布 3.1 复习笔记
一、多维随机变量联合分布的性质（见表 3-1-1）表 3-1-1 联合分布的性质
二、边际分布与随机变量的独立性 1．边际分布（见表 3-1-2）
表 3-1-2 边际分布
j
5i
j
100
5
用表格形式表示如下表 3-2-1：
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表 3-2-1
行和就是 X 的分布 h（5，100，50）（超几何分布）。
列和就是 Y 的分布 h（5，100，30）（超几何分布）。
P（X≥2，Y≥1）＝0.66158。
i 1
X2，…，Xn 相互独立。
n
连续随机变量：若 p(x1, x2 ,L , xn ) pi (xi ) ，则 X1，X2，…，Xn 相互独立。 i 1
三、多维随机变量函数的分布 1．最大值与最小值的分布（1）最大值分布：
FY ( y) P( maxX1,X 2,L ,X n y)
n
=P(X1 y, X 2 y,L , X n y)= Fi (y)
1Ex4p(4 )*4E4x4p(2)4*L4 *4Ex4p(43) =Ga(m,)
m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )*L * 2 (nm )= 2(n1+n2 +L +nm)
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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（1）全概率公式：密度函数形式：

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第7章假设检验一、选择题1．在假设检验中，如果待检验的原假设为H0，那么犯第二类错误是指（）。

A．H0成立，接受H0B．H0不成立，接受H0C．H0成立，拒绝H0D．H0不成立，拒绝H0【答案】B【解析】直接应用“犯第二类错误”＝“取伪”＝“H0不成立，接受H0的定义，B项正确。

2．关于总体X的统计假设H0属于简单假设的是（）。

A．X服从正态分布，H0：EX＝0B．X服从指数分布，H0：EX≥1C．X服从二项分布，H0：DX＝5D．X服从泊松分布，H0：DX＝3【答案】D【解析】A、B、C三项的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而D项的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设。

3．设X 1，X 2， …，X 16为正态总体X ～N （μ，4）的简单随机样本，设H 0：μ＝0，H 1：μ≠0的拒绝域为{|X ＿|≥1/2}，则犯第一类错误的概率为（）。

A ．2Ф（1）－1B ．2－2Ф（1）C ．2－2Ф（1/2） D ．2Ф（1/2）－1 【答案】B【解析】由题设可知，X —～N （μ，1/4）()0,1N ，当u ＝0时，2X —～N （0，1）。

犯第一类错误的概率为P{|X —|≥1/2|μ＝0}＝P{|2X —|≥1}＝1－P{|2X —|＜1}＝1－P{－1＜2X —＜1}＝1－Ф（1）＋Ф（－1）＝2－2Ф（1），故选B 。

二、填空题1．设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N （μ，σ2）的简单随机样本，其中参数σ2未知，1ni i X X ==∑，2211()ni i Q X μ==-∑，2221()nii Q X X ==-∑，对假设H 0：σ2＝σ02，在μ已知时用χ2检验统计量为______；在μ未知时使用χ2检验统计量为______。

【答案】22122200Q Q σσ；【解析】这是一个关于正态总体方差σ2的假设检验问题。

在μ已知时选用χ2检验统计量为()()222221122100ni ni i i X X Q n μμχχσσσ==-⎛⎫-===⎪⎝⎭∑∑～在μ未知时选用χ2检验统计量为()()22222122210001ni ni i i X X X X Q n χχσσσ==-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭∑∑～2．假设X 1，X 2，…，X 36是取自正态总体 N （μ，0.04）的简单随机样本，其中μ为未知参数。

茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(多维随机变量及其分布)【圣才出品】

为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数，i＝1，2，…，r．则（X1，X2，…，Xr）取值（n1，
n2，…，nr）的概率，即 A1 出现 n1 次，A2 出现 n2 次，……，Ar 出现 nr 次的概率为
P( X1 n1, X 2 n2 ,
n! , X r nr ) n1!n2!
pi1
pi2
pij
（2）联合分布列的基本性质：
①非负性：Pij≥0；
②正则性：Pij≥0，

pij 1
i1 j1
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求二维离散随机变量的联合分布列，关键是写出二维随机变量可能取的数对及其发生的概率．
中仸意取出 n 个，若记 Xi 为取出的 n 个球中 i 号球的个数，i＝1，2，…，r，则
P( X1 n1, X 2 n2 ,
N1 N2 Nr
,
Xr

nr )

n1

n2

N

nr

n

其中 n1＋n2＋…＋nr＝n
（3）多维均匀分布
故积分区域的边界线是否在积分区域内丌影响概率计算结果．
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5．常用多维分布
十万种考研考证电子书、次独立重复试验，如果每次试验有 r 个互丌相容结果：A1，A2，…Ar，之一发生，
且每次试验中 Ai 发生的概率为 pi＝P（Ai），i＝1，2，…，r，且 p1＋p2＋…＋pr＝1．记 Xi
设 D 为 Rn 中的一个有界区域，其度量（平面的为面积，空间的为体积等）为 SD，如

茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)考研真题精选(统计量及其分布)【圣才出品】

n
根据抽样定理得：
n 1 S 2
2
:
2 n 1
＿
又X与 S2 相互独立，所以
n(X )
(n
1)S 2 2
/
(n
1)
n X : t n 1 S
X 1n X 2．设 X1，X2，…，X（n n≥2）为来自总体 N（μ，1）的简单随机样本，记
n
i， i 1
则下列结论中不正确的是（）。[数一 2017 研]
则（）。[数三 2018 研]
A． n X : t n S
B． n X : t n 1 S
C．
nX
S:t n NhomakorabeaD．
nX
S
:
t n 1
【答案】B
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【解析】因为
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X
:
N
,
2
n
所以
X : N 1,0
＿
＿
D 项，（X－μ）～N（0，1/n），则 n (X ) : N (0,1) ，所以 n（X－μ）2～
χ2（1）。
3．设 X1，X2，X3 为来自正态总体 N（0，σ2）的简单随机样本，则统计量 S
X1 X2 2 X3
服从的分布是（）。[数三 2014 研]
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2
且 X1 X 2 与 X3/σ 相互独立，故 2
X1 X2
2 X1 X 2 ~ t 1
X
2 3
2
X
2 3
2
二、填空题
＿
设 x1，x2，…，xn 为来自总体 N（μ，σ2）的简单随机样本，样本均值x＝9.5，参数 μ

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研]
【答案】2e2
【解析】
E( Xe2X ) xe2x
1
x2
e 2 dx
2
x
e dx
(
x
2 2
)2
2
2
e2
( x2)2
(x 2 2)e 2 dx
2
对上面的积分作换元，令 t＝x－2，则有
E Xe2X
e2
t2
t2
( te 2 dt 2 e 2 dt)
2π
e2E( X ) 2e2 2e2
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第 2 章随机变量与分布
一、选择题 1．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N（μ，σ2），则 P{|X－Y|＜1（} ）。 [数一 2019 研] A．与 μ 无关，而与 σ2 有关 B．与 μ 有关，而与 σ2 无关 C．与 μ，σ2 都有关 D．与 μ，σ2 都无关【答案】A 【解析】因为 X，Y 相互独立且都服从 N（μ，σ2），记 Z＝X－Y，则 Z 服从 N（0，2σ2）分布。P{|Z|＜1}只与 σ2 有关，因此 P{|X－Y|＜1}与 μ 无关，而与 σ2 有关。故选 A。
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3．设随机变量 x 的概率分布为 P（X＝k）＝C/k！（k＝0，1，2，…），则 EX2＝______。
[数一 2010 研]
【答案】2
【
解
析
】
P(X
k) C（k＝0，1，2，）1
P(X k)
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EX xf (x)dx

概率论与数理统计教程茆诗松第3版配套题库

概率论与数理统计教程茆诗松第3版配套题库——才聪学习网茆诗松《概率论与数理统计教程》（第3版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】目录第一部分考研真题精选第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布{第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第二部分章节题库第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验…第8章方差分析与回归分析试看部分内容考研真题精选`第1章随机事件与概率一、选择题设A ，B ，C 为三个随机事件，且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝1/4，P （AB ）＝0，P （A C ）＝P （BC ）＝1/12，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为（）。

[数一2020研]A ．3/4B ．2/3C ．1/2D ．5/12【答案】D 查看答案【解析】只发生A 事件的概率：只发生B 事件的概率：·只发生C 事件的概率：A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率：故选择D 项。

2设A ，B 为随机事件，则P （A ）＝P （B ）的充分必要条件是（）。

[数一2019研]A ．P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）B ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）C ．P （A B ＿）＝P （B A ＿）D ．（【答案】C 查看答案【解析】选项A 只能说明事件A 与事件B 不相容，选项B 只能说明事件A 与事件B 相互独立，并不能说明P （A ）＝P （B ）。

对选项D 来说，若令B ＝A ＿，等式恒成立，亦不能说明P （A ）＝P（B ），故选C 。

3设事件A ，B 相互独立，P （B ）＝，P （A －B ）＝，则P （B －A ）＝（）。

[数一、数三2014研]A ．B ．C ．D ．【答案】B 查看答案【解析】P （A －B ）＝＝P （A ）－P （AB ）＝P （A ）－P （A ）P （B ）＝P （A ）－（A ）＝（A ），故P （A ）＝，P （B －A ）＝P （B ）－P （AB ）＝－（A ）＝。

茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)章节题库(大数定律与中心极限定理)【圣才出品】

E
1 n
n
Yi
i 1
1 n
n i 1
EX 2i EX 2i1
0
D
1 n
n i 1
Yi
1 n2
n
DYi
i 1
1 n2
n i 1
DX 2i DX 2i1
2n 2 n2
2 2 n
2 2
根据切比雪夫大数定律得：
lim
n
P
1 n
n i 1
Yi
E
1 n
n
Yi
i1
lim
n i 1
Xi n n
x
＝______。
x
【答案】
1 et2 dt 2
【解析】因为 X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且 Xi（i＝1，2，...，n）服从
参数为 λ 的泊松分布，所以 EXi＝λ，DXi＝λ 则由列维一林德伯格中心极限定理可得
lim
P
n i 1
Xi
n
x =
5．设随机变量 X1，…，Xn，…相互独立记 Yn＝X2n－X2n－1（n≥1），概括大数定律，
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1 n
当 n→∞时，
n
Yi
i 1
依概率收敛到零，只要{Xn，n≥l}满足（
）。
A．数学期望存在
B．有相同的数学期望与方差
i1
n n
3
lim
P
n
n i1
Xi
n 3
x
x
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取 x

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。

解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >，解得，29a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。

解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-；（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞；（3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。

3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。

解：由(,)X Y 的分布律，得（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=；（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。

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第 4 章大数定律与中心极限定理
一、选择题
设 X1，X2，…，Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P（X＝0）＝P（X＝1）＝1/2，
Φ（x）表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得
P
100 再由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，
n
2 i
，EXi2＝θ。
i 1
故存在常数 a＝θ，使得对任意的 ε＞0，都有
lim
n
P{
ˆn
a
} 0
4/4
的近似值为
i1
（）。[数一 2020 研]
A．1－Φ（1）
B．Φ（1）
C．1－Φ（2）
D．Φ（2）
【答案】B
【解析】E（X）＝1/2，D（X）＝1/4，
E
100 i 1
Xi
50
，
D
100 i 1
Xi
25 ，
100
100
100
Xi 50
Xi 50
5 将 X i 标准化可得 i1 i 1
i 1
，由中心极限定理可知
5
近似服从标准正
态分布，
P
100 i 1
Xi
55
P
100 i 1
Xi 50 5
55 50 5
(1)
，故选 B 项。
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二、解答题
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设总体 X 的分布函数为
x2
F (x, ) 1 e x 0
n 2
i i 1
（Ⅲ）由于 X1，X2，…，Xn 独立同分布，显然对应的 X12，X22，…，Xn2 也独立同分布。

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Y＝y 条件下 X 的条件分布函数为
F x y j P X xi Y y j pi j
xi x
xi x
X＝x 条件下 Y 的条件分布函数为
F y xi P Y y j X xi p j i
yjy
yjy
2．连续随机变量的条件分布
Y＝y 条件下 X 的条件分布函数和条件密度函数： F
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表 3-1-2 边际分布
2．随机变量间的独立性
n
对任意 n 个实数 X1，X2，…，Xn：若 F ( x1, x2,, xn )= Fi ( xi ) ，则 X1，X2，…，
i =1
Xn 相互独立。
n
离散随机变量：若 P( X1=x1, X 2 =x2,, X n xn ) P( Xi xi ) ，则 X1， i 1
xy
x p u, y pY y
du ；
px
y
p x, y pY y
。
F X＝x 条件下 Y 的条件分布函数和条件密度函数：
yx
y p x,v pX x
dv ；
py
x
px, y pX x
。
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Exp()*Exp()**Exp() =Ga(m,) m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )** 2 (nm )= 2 (n1 +n2 + +nm )
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(章节题库多维随机变量及其分布)【圣才出品】

4．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在。记 U＝max{X，Y}， V＝min{X，Y）则 E（UV）等于（）。
A．EU·EV B．EX·EY C．EU·EY D．EX·EV
【答案】B
【解析】UV＝max{X，Y}min{X，Y），而无论 X 与 Y 的关系如何，UV＝XY，从而
2
2
由于
X
与
y
相互独立，故 FZ
(z)
1 2
P{0
z}
1 2
P{X
z}
当
x≤0
时， FZ (z)
1 2
P{X
z}
1 2
X
( z )，
当
x＞0
时， FZ (z)
1 2
1 2
P{X
z}
1 2
1 2
X
(z)
于是
lim
x0
FZ
(z)
1 ，lim 4 x0+
FZ
(z)
3 4
，故
z＝0
为
Fz
（z）的间断点。
【答案】D
【解析】由独立和不相关的性质可知①②正确，而两个变量不相关推不出相互独立，
且仅当 X，Y 的联合分布服从正态分布时，X，Y 的线性组合才服从一维正态分布，所以
③④错误，故选 D。
7．设 X ,Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为
则
Z min( X ,Y ) 的分布函数是（）。
【答案】C 【解析】
B． 1 3
C． 1 4
D．－1
【答案】A
【解析】由于 X Y n ，则Y X n ，故 X 与Y 的相关系数等于 1。

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36
2
52 42 62
9, 36
PX
3
42 32 62
7 ,PX
36
4
32 22 62
5 36
PX
5
22 1 62
3 ,PX
36
6
1 62
1 36
分布列为
表 2-2-2
（2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值，可能取值为 0，1，2，3，4，5。而 P（Y＝0）＝6/36＝1/6，P（Y＝1）＝10/36＝5/18，P（Y＝2）＝8/36＝2/9 P（Y＝3）＝6/36＝1/6，P（Y＝4）＝4/36＝1/9，P（Y＝5）＝2/36＝1/18 分布列为
1．口袋中有 5 个球，编号为 1，2，3，4，5。从中任取 3 个，以 X 表示取出的 3 个球中的最大号码。
（1）试求 X 的分布列；（2）写出 X 的分布函数，并作图。解：（1）从 5 个球中任取 3 个，共有 C53＝10 种等可能取法。X＝“取出的 3 个球中
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的最大号码”，X 的可能取值为 3，4，5。因为 P（X＝i）＝P（X≤i）－P（X≤i－1），且当
i≥3 时，有 P( X i) C3i ，所以 10
P( X 3) P( X 3) P( X 2) C33 0 1 10 10
P( X 4) P( X 4) P( X 3) C43 1 3 10 10 10
表 2-2-3
P X
EX
Var
2
X
或
P
X
EX
<
1
Var
2
X
（2）定理二

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第 1 章随机事件与概率
1.1 复习笔记
一、随机事件பைடு நூலகம்其运算 1．事件间的运算（见表 1-1-1）
表 1-1-1 事件间的运算
注：①对立事件是相互的。必然事件与不可能事件互为对立事件。 ②A 与 B 互为对立事件⇔A∩B＝∅ ，且 A∪B＝Ω。 ③对立事件一定是互不相容的事件，反之不一定。
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P(AB) P( A)P(B) P(AC) P( A)P(C) P(BC) P(B)P(C)
则称 A，B，C 两两独立。若还有 P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），则称 A，B，C
相互独立。
（2）n 个事件的独立性
（2）任意事件 A，B，P（A－B）＝P（A）－P（AB）。
3．概率的加法公式
（1）（加法公式）对任意两个事件 A，B，有
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）
对任意 n 个事件 A1，A2，…，An，有
P
n
U
i 1
Ai
n i 1
P
Ai
P
1i jn
Ai Aj
P Ai Aj Ak L 1 n1 P A1A2 L AN
1.2 课后习题详解
习题 1.1
1．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球先从中取出一个，放回后再取出
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一个；
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