第10章 函数
C++第10章习题参考答案
四、综合题3 综合题3
答案: 答案: 调用d.vf2() 是错误的:对象将直接调用本类函数,但是 是错误的:对象将直接调用本类函数,但是DD 调用 类的vf2 函数需要一个参数。 函数需要一个参数。 类的 调用dp->vf2() 是错误的:由于 是错误的:由于DD 类的 类的vf2 函数和基类 函数和基类vf2 调用 的参数不一致,虚函数关系不成立,调用将指向DD 类 的参数不一致,虚函数关系不成立,调用将指向 函数,仍然出现参数的不一致。 的vf2 函数,仍然出现参数的不一致。 这两个语句注释掉后,运行的结果是: 这两个语句注释掉后,运行的结果是: DD::vf1 被调用 BB::vf2 被调用 EE::vf4 被调用 EE::vf3 被调用 联编的方式分别是:动态联编、静态联编、动态联编、 联编的方式分别是:动态联编、静态联编、动态联编、动 态联编。 态联编。
四、综合题2 综合题2
class Circle : public Shape { public: public: Circle( int = 0, int = 0, double = 0.0 ); const; virtual double getArea() const; const; void print() const; private: private: x,y; int x,y; radius; double radius; }; class Rectangle : public Shape { public: public: Rectangle( int = 0, int = 0); virtual double getArea() const const; void print() const; private: private: int a,b; a,b; };
第10章ARM官方DSP库的FastMathFunctions的使用
printf("%f\r\n", arm_sin_f32(i * PI / 128));
}
printf("***************************************************************\r\n");
for(i = 0; i < 256; i++) {
/* 这里是0 - 32767 对于[0 2*pi) */ printf("%d\r\n", arm_sin_q15(i*128)); } printf("***************************************************************\r\n");
注意输入参数 x 是弧度制即可,也就是说 sine 函数的一个周期对应于弧度[ 0 2*PI)。下面我们先通过 Matlab 绘制一个周期的 sine 曲线。新建一个.m 格式的脚本文件,并写入如下函数: x = 0:0.01:2*pi; plot(x, sine(x)) 运行后显示效果如下:
点击上面截图中的Tools->Data statistics,获取数据的分析结果,我们主要看Y轴。
10.2.3 arm_sin_q15
函数定义如下: q31_t arm_sin_q15(q15_t x) 使用中只需注意参数x的数值范围[0 2^15)相当于弧度[0 2*PI)即可。
10.3 平方根 sqrt
浮点数的平方根计算只需调用一条浮点指令即可,而定点数的计算要稍显麻烦。
10.3.1 arm_sqrt_f32
for(i = 0; i < 256; i++) {
经济学原理 第10章
I I (r )
式中,I表示利率r为零时的投资量,称为自主投 资,d是系数,表示利率每上升或下降一个百分点, 投资会减少或增加的数量,可称为利率对投资需求的 影响系数或投资需求的利率敏感系数。
如果用横坐标表示投资,纵标表示利率,投 资函数可以用投资曲线表示出来,如下图所示:
上图表明,当利率较高为r1时,投资量较小为 I1,当利率降低到r2时,投资量增大为I1。
下图为非线性的储蓄曲线。随着收入的增加, 非线性储蓄曲线的斜率越来越大,即非线性储蓄曲 线上各点的切线越来越陡峭,各点的切线的斜率越 来越大,非线性消费曲线越来越以递增的速率向右 上方倾斜,这表现出边际储蓄倾向递增的状况。
三、消费函数和储蓄函数的关系 从前面关于消费函数与储蓄函数的分析出发, 可以得到两者之间的三个重要关系: (1)消费函数和储蓄函数互为补数,二者之 和等于总收入。 (2)APC和MPC都随着收入增加而递减,但 APC>MPC。APS和MPS都随收入增加而递增,但 APS<MPS。 (3)MPC和MPS互为补数, APC和APS也互为 补数,即MPC+MPS=1、APC+APS=1。
一、两部门国民收入的决定 (一)消费函数与均衡国民收入的决定 在两部门经济社会中,总需求由消费与投资构 成,即Y=C+I,其中消费C=a+bY。 为了使分析简化,在国民收入决定的简单模型 中,把投资看作一个外生变量,是一个不随着利率 和国民收入水平变化而变化的常量。
根据这个假定,可设I=I0(I0为一个常量), 此时,均衡国民收入决定模型如下:
其中,S代表储蓄;Y代表收入;-a为自发储蓄; 1-b 的经济含义指增加的每单位收入中用于储蓄部 分的比率,(1-b)Y 是随着收入变化而变化的储蓄 量,也被称为引致储蓄。
完整版青岛版八年级下册数学第10章 一次函数含答案
青岛版八年级下册数学第10章一次函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,一次函数的图像经过,两点,则解集是()A. B. C. D.2、点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0),设△OPA 的面积为S.当S=12时,则点P的坐标为()A.(6,2)B.(4,4)C.(2,6)D.(12,﹣4)3、已知反比例函数y=(b为常数),当x>0时,y随x的增大而增大,则一次函数y=x+b的图象不经过第几象限()A.一B.二C.三D.四4、若点(a,y1)、(a+1,y2)在直线y=kx+1上,且y1>y2,则该直线所经过的象限是()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限5、关于的二元一次方程组的解满足,则直线与双曲线在同一平面直角坐标系中大致图象是()A. B. C. D.6、一次函数y=ax+b和反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是()A. B. C.D.7、下列各图中,表示y是x的函数的是()A. B. C.D.8、小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练,他们从同一地点出发,先到达终点的人原地休息,已知小明先出发2秒,在跑步的过程中,小明和小亮的距离(米)与小亮出发的时间(秒)之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是()A.小明的速度是4米/秒;B.小亮出发100秒时到达终点;C.小明出发125秒时到达了终点;D.小亮出发20秒时,小亮在小明前方10米.9、在同一坐标系内,一次函数与二次函数 y=ax2+8x+b 的图象可能是 ( )A. B. C.D.10、在动画片《喜羊羊与灰太狼》中,有一次灰太狼追赶喜羊羊,在距羊村40m处追上了喜羊羊.如图中s表示它们与羊村的距离(单位:m),t表示时间(单位:s).根据相关信息判断,下列说法中错误的是()A.喜羊羊与灰太狼最初的距离是30mB.灰太狼用15s追上了喜羊羊 C.灰太狼跑了60m追上了喜羊羊 D.灰太狼追上喜羊羊时,喜羊羊跑了60m11、若把函数y=2x-3图象向上平移3个单位长度,得到图象对应的函数解析式为( )A.y=2xB.y=2x-6C.y=4x-3D.y=-x-312、函数y=(k2﹣1)x+3k是一次函数,则k的取值范围是()A.k≠﹣1B.k≠1C.k≠±1D.k为一切实数13、如图,已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2,根据图象有下列3个结论:①a>0;②b>0;③x>﹣2是不等式3x+b>ax﹣2的解集.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.314、甲、乙两车从A地出发,匀速驶向B地.甲车以80km/h的速度行驶1h 后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达B地并停留1h后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离y(km)与乙车行驶时间x (h)之间的函数关系如图所示.下列说法:①乙车的速度是120km/h;②m=160;③点H的坐标是(7,80);④n=7.5.其中说法正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个15、1﹣7月份,某种蔬菜每斤的进价与每斤的售价的信息如图所示,则出售该种蔬菜每斤利润最大的月份是()A.3月份B.4月份C.5月份D.6月份二、填空题(共10题,共计30分)16、已知一次函数y= x+m﹣1(其中m是常数),如果函数值y随x的增大而减小,且与y轴交于点P(0,t),那么t的取值范围是________.17、复习课中,教师给出关于x的函数y=−2mx+m−1(m≠0).学生们在独立思考后,给出了5条关于这个函数的结论:①此函数是一次函数,但不可能是正比例函数;②函数的值y 随着自变量x的增大而减小;③该函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上;④若函数图象与x轴交于A(a,0),则a<0.5;⑤此函数图象与直线y=4x−3、y轴围成的面积必小于0.5.对于以上5个结论是正确的有________个.18、小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票,小雨买邮票后所剩钱数y (元)与买邮票的枚数x(枚)之间的关系式为________.19、已知直线的解析式为y=ax+b,现从﹣1,﹣2,﹣3,4四个数中任选两个不同的数分别作为a、b的值,则直线y=ax+b同时经过第一象限和第二象限的概率是________.20、如图,在平面直角坐标系中,点M是直线y=﹣x上的动点,过点M作MN⊥x轴,交直线y=x于点N,当MN≤8时,设点M的横坐标为m,则m的取值范围为________.21、一条笔直的公路上依次有A,B,C三地,甲,乙两人同时从A地出发,甲先使用共享单车,经过B地到达停车点C地后再步行返回B地,此时直接步行的乙也恰好到达B地.已知两人步行速度相同,两人离起点A的距离y(米)关于时间x(分)的函数关系如图,则________.22、已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1,则直线y=(m-2)x-3一定不经过第________象限.23、函数与的图象如图所示,这两个函数的图象交点在y轴上,则使得的值都大于零的x的取值范围是________.24、如果每盒钢笔有10支,总售价100元,那么购买钢笔的总钱数y(元)与所买支数x之间的关系式为________.25、已知□ABCD的顶点B(1,1),C(5,1),直线BD,CD的解析式分别是y=kx,y=mx-14,则BC=________,点A的坐标是________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知函数y=(2m+1)x+m-3(1)若函数图象经过原点,求m的值;(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围;(3)若这个函数是一次函数,且图象不经过第四象限, 求的取值范围.27、已知函数y=(2m+1)x+m﹣3;(1)若函数图象经过原点,求m的值;(2)若函数图象在y轴的截距为﹣2,求m的值;(3)若函数的图象平行直线y=3x﹣3,求m的值;(4)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.28、从甲地到乙地,先是一段上坡路,然后是一段平路,小明骑车从甲地出发,到达乙地后休息一段时间,然后原路返回甲地.假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进,已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km,下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km,设小明出发xh后,到达离乙地ykm的地方,图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系.(1)小明骑车在平路上的速度为多少km/h,他在乙地休息了多少小时.(2)分别求线段AB、EF所对应的函数关系式.(3)从甲地到乙地经过丙地,如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h,求丙地与甲地之间的路程.29、世界上大部分国家都使用摄氏温度,但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度.两种计量之间有如下对应:摄氏温度/℃0 10 20 30 40华氏温度/℉32 50 68 86 104(Ⅰ)如果两种计量之间的关系是一次函数,设摄氏温度为x(℃)时对应的华氏温度为y(℉),请你写出华氏温度关于摄氏温度的函数表达式;(Ⅱ)求当华氏温度为0℉时,摄氏温度是多少℃?(Ⅲ)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有可能相等吗?若可能,求出此值;若不可能,请说明理由.30、已知一次函数y1=-2x+1,y2=x-2.⑴当x分别满足什么条件时,y1=y2, y1<y2, y1>y2?⑵在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象,并用自己的话归纳出⑴中的答案与函数图象之间的关系.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、C2、B3、B4、B5、E6、A7、C8、D9、C10、D11、A12、C13、D14、B15、A二、填空题(共10题,共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)26、30、。
c++程序设计教程 第十章 构造函数和析构函数
10.1.2 构造函数重载
在一个类中可以定义多个构造函数,以便对类 对象提供不同的初始化方法。这些构造函数的函数 名完全相同,都没有返回值,而参数的类型或参数 的个数各不相同。对于一般的重载函数,系统是根 据参数列表来决定调用哪个函数,对重载的构造函 数而言,系统是根据创建对象时提供的参数来确定 调用哪个构造函数来初始化对象的。
return s;
4
}
2.使用参数初始化列表的构造函数
使用参数初始化列表的构造函数的形式为:
类名::构造函数名(<形参1,形参2,……>)<:数据成员1(形参1),数据成员2(形参2 ),………>
{函数体} 例10.1 中定义类Tri 的构造函数可以写成如下形式:
Tri(double x , double y , double z ):a(x),b(y),c(z){}
return s;
cout<<"Tria的周长"<<Tria.Peri()<<endl;
}
cout<<"tria的面积为: "<<tria.Area()<<endl;
};
}
7
10.1.3 默认的构造函数
默认的构造函数又称缺省的构造函数,有两种形式:
(1)参数为缺省值的构造函数,如在类体中说明以下形式 的构造函数:
函数,并不是用函数名调用的,而是隐式调用的
2
定义构造函数的两种方法
构造函数有不带参数的和带参数的两种,其定义的 形式都是一致的。 1.在构造函数体内对数据成员赋值: 在类体中定义构造函数的形式如下: 类名(<形参1,形参2,……>) {函数体} 其中,尖括号< >中的内容可以省略。
青岛版八年级下册数学第10章 一次函数含答案
青岛版八年级下册数学第10章一次函数含答案一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,矩形ABCD的周长是28cm,且AB比BC长2cm.若点P从点A出发,以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动,同时点Q从点A出发,以2cm/s的速度沿A→B-→C方向匀速运动,当一个点到达点C时,另一个点也随之停止运动.若设运动时间为t(s),的面积为S(cm2),则s(cm2)与t(s)之间的函数图象大致是()A. B. C.D.2、一次函数y=1.5x+b(b<0)的图象可能是A. B. C. D.3、甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480km的某地,甲匀速行驶一段时间出现故障,停车检修后又继续行驶,图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y(km)与甲车出发时间x(h)间的函数关系,以下结论中错误的有()①乙车比甲车晚出发2h;②乙车的平均速度为60km/h;③甲车检修后的平均速度为l20km/h;④两车第二次相遇时,它们距出发地320km.A.1个B.2个C.3个D.44、函数y=的图象与函数y=x的图象没有交点,那么k的取值范围是( )A.k>1B.k<1C.k>-1D.k<-15、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=AD=5,BC=4,M、N、E分别是AB、AD、CB上的点,AM=CE=1,AN=3,点P从点M出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动,同时点Q从点N出发,以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动,当其中一个点到达后,另一个点也停止运动.设△APQ的面积为S,运动时间为t秒,则S与t函数关系的大致图象为()A. B. C. D.6、若正比例函数y=mx(m是常数,m≠0)的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2B.﹣2C.4D.﹣47、如图,在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面,剩余的矩形作为立方体的侧面,刚好能组成立方体.设矩形的长和宽分别为y和x,则y 与x的函数图象大致是()A. B. C. D.8、如图,在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面,剩余的矩形作为圆柱的侧面,刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x,则y与x的函数图象大致是()A. B. C. D.9、如图,一个函数的图像由射线BA,线段BC,射线CD组成,其中点A(-1,2),B(1,3),C(2,1),D(6,5),则此函数()A.当x<1,y随x的增大而增大B.当x<1,y随x的增大而减小C.当x>1,y随x的增大而增大D.当x>1,y随x的增大而减小10、等腰三角形周长为20cm,底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是)A. B. C. D.11、若函数y=(m-2)x n-1+n是一次函数,则m,n应满足的条件是()A.m 2且n=0B.m=2且n=2C.m 2且n=2D.m=2且n=012、下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是()A.y=xB.y=x+2C.y=-x+2D.y=x 213、在下列四组点中,可以在同一个正比例函数图象上的一组点是()A.(2,﹣3),(﹣4,6)B.(﹣2,3),(4,6)C.(﹣2,﹣3),(4,﹣6)D.(2,3),(﹣4,6)14、如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是()A. B. C.D.15、“漏壶”是一种古代计时器,在它内部盛一定量的水,不考虑水量变化对压力的影响,水从壶底小孔均匀漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间,用x表示漏水时间,y表示壶底到水面的高度,下列图象适合表示y 与x的对应关系的是()A. B. C. D.二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,点A的坐标为(﹣5,0),直线y= x+t与坐标轴交于点B,C,连结AC,如果∠ACD=90°,则t=________.17、如图,已知一次函数y1=x+b与一次函数y2=mx﹣n的图象相交于点P(﹣2,1),则关于不等式x+b≥mx﹣n的解集为________.18、某个函数具有性质:当x<0时,y随x的增大而减小,这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可).19、已知y=kx+b,当-1≤x≤4时,3≤y≤6,则k,b的值分别是________.点M (a-1,2-a)不在第________ 象限.20、如图,已知长方形ABCD顶点坐标为A(1,1),B(3,1),C(3,4),D(1,4),一次函数y=2x+b的图像与长方形ABCD的边有公共点,则b的变化范围是________.21、若一次函数y=kx﹣(2k+1)是正比例函数,则k的值为________22、如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过圆心P,则k=________ .23、在同一直角坐标系中,点A,B分别是函数y=x-1与y=-3x+5的图像上的点,且点A,B关于原点对称,则点A的坐标为________.24、如图,点的坐标为(-2,0),点在直线上运动,当线段最短时,点的坐标是________.25、已知一次函数的图象经过点,则不等式的解是________.三、解答题(共5题,共计25分)26、如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系的图象.(1)写出y与t•之间的函数关系式.(2)通话2分钟应付通话费多少元?(3)通话7分钟呢?27、老师在同一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象以及正比例函数y=﹣x的图象,请同学们观察,并说出来.同学甲:与直线y=﹣x有两个交点;同学乙:图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5.请根据以上信息,写出反比例函数的解析式.28、解方程组(1)(2)(用作图方法求解)29、从甲地到乙地,先是一段上坡路,然后是一段平路,小明骑车从甲地出发,到达乙地后休息一段时间,然后原路返回甲地.假设小明骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进,已知小明骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km,下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km,设小明出发xh后,到达离乙地ykm的地方,图中的折线ABCDEF表示y与x之间的函数关系.(1)小明骑车在平路上的速度为多少km/h,他在乙地休息了多少小时.(2)分别求线段AB、EF所对应的函数关系式.(3)从甲地到乙地经过丙地,如果小明两次经过丙地的时间间隔为0.85h,求丙地与甲地之间的路程.30、已知 y1=2x+4,y2=5x+10,当x取哪些值时,y1<y2?参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、A2、A3、A4、A5、D6、B7、B8、A9、A10、B11、C12、C13、A14、D15、A二、填空题(共10题,共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)27、30、。
大学物理A第十章 波函数
第十章 波函数一、填空题(每空3分)10-1 A,B 是简谐波同一波线上两点,已知B 点的相位比A 点超前2π,且波长4m λ=,波速2u m s =,则两点相距 ,频率为 。
(1,12m Hz )10-2 A,B 是简谐波同一波线上两点,已知B 点的相位比A 点超前2π,且波长4m λ=,波速2u m s =,则两点相距 。
(1m )10-3 一列横波沿X 正向传播,波速u=1m/s,波长λ=2m,已知在X=0.5m 处振动表达式为Y=2cos πt(SI),则其波函数为_______.( y=2cos(πt-πx+2π) (SI )) 10-4波源位于x 轴的坐标原点,运动方程为t y π240cos 100.43-⨯=,式中y 的单位为m ,t的单位为s ,它所形成的波形以 1s m 30-⋅ 的速度沿x 轴正向传播,则其波动方程为___ _____。
())(8240cos(100.43m x t y ππ-⨯=-)10-5机械波的表达式为()()0.05cos 60.06y t x m ππ=+,则该波的周期为 。
(13s ) 10-6一平面简谐波的波动方程为)2 4cos(08.0x t y ππ-=,式中单位为SI 制 。
则:(1)对于某一平衡位置,2=t s 与1.2=t s 时的相位差为 ;(2)对于同一时刻,离波源0.80 m 及0.30 m 两处的相位差为 。
(0.4π;π)10-7 一列横波在x 轴线上沿正向传播,在t 1=0和t 2=0.5s 时波形如图所示,设周期12t t T ->,波动方程为 。
()42cos(2.0xt y πππ-+=)10-8 某波线上有相距2.5cm 的A 、B 两点,已知振动周期为2.0s ,B 点的振动落后于A 点的相位为π/6,则波长λ = ,波速u = 。
(λ=0.3m ,u=0.15m/s ) 10-9一横波沿x 轴正向传播,波速u = 1m/s, ,已知在 x = 0.5m 处振动表达式为t yπcos 5=(SI) ,o242.0m y /mx /01=t s 5.02=t则其波函数为___ 。
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数【考试要求】1.理解级数收敛、发散的概念.掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质.2.掌握正项级数的比值审敛法.会用正项级数的比较审敛法.3.掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性.4.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念,会使用莱布尼茨判别法.5.了解幂级数的概念,收敛半径,收敛区间.6.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分).7.掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法.【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1.常数项级数的定义一般地,如果给定一个数列 1u ,2u,,n u,,则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数,简称常数项级数或级数,记为1nn u∞=∑,即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑,其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 2.常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑,ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和,当n 依次取1,2,3,时,它们构成一个新的数列11s u =,212s u u =+,3123s u u u =++,,1n s u =,. 如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ,即lim n n s s →∞=,则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛,这时极限s 叫做这级数的和,并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑;如果{}n s 没有极限,则称无穷级数1n n u ∞=∑发散.3.收敛级数的基本性质(1)如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ,则级数1nn ku ∞=∑也收敛,且其和为ks .一般地,级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不变. (2)如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ,则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛,且其和为s σ±. (3)在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.(4)如果级数1nn u ∞=∑收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变. (5)如果级数1nn u ∞=∑收敛,则它的一般项n u 趋于零,即lim 0n n u →∞=. 说明:此条件称为级数收敛的必要条件.由原命题成立逆否命题一定成立可得,如果lim n n u →∞不为零,则级数1n n u ∞=∑一定发散.4.几个重要的常数项级数(1)等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数,其中q 叫做级数的公比.其收敛性为:当1q <时,级数收敛;当1q ≥时级数发散. (2)调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数,此级数是一个发散级数. (3)p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数,其中常数0p >.其收敛性为:当1p >时,级数收敛;当1p ≤时级数发散.二、正项级数的审敛法 1.比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数,且存在正数N ,使当n N ≥时有n n u v ≤成立.若级数1nn v ∞=∑收敛,则级数1n n u ∞=∑收敛;如果级数1nn u ∞=∑发散,则级数1nn v ∞=∑也发散. 2.比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数.(1)如果lim nn nu l v →∞=,0l ≤<+∞,且级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑收敛;(2)如果lim nn nu l v →∞=,0l <≤+∞,且级数1n n v ∞=∑发散,则级数1nn u ∞=∑发散.说明:极限形式的比较审敛法,在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下,其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶.上述结论表明,当n →∞时,如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小,而级数1n n v ∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑收敛;如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小,而级数1nn v ∞=∑发散,则级数1nn u ∞=∑发散. 3.比值审敛法(达朗贝尔判别法)设1nn u∞=∑为正项级数,如果1lim n n nu u ρ+→∞=,则当1ρ<时级数收敛;1ρ>(或1limn n nu u +→∞=+∞)时级数发散;1ρ=时级数可能收敛也可能发散.4.根值审敛法(柯西判别法)设1nn u ∞=∑为正项级数,如果lim n ρ→∞=,则当1ρ<时级数收敛;1ρ>(或lim n →∞=+∞)时级数发散;1ρ=时级数可能收敛也可能发散.三、交错级数及其审敛法1.交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,从而可以写成下面的形式:1234u u u u -+-+=,或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ,其中1u ,2u,都是正数.2.交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件:(1)1n n u u +≥ (1,2,3,n =);(2)lim 0n n u →∞=.则级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛 1.绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ,它的各项为任意实数.如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛,则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛;如果级数1n n u ∞=∑收敛,而级数1nn u ∞=∑发散,则称级数1n n u ∞=∑条件收敛.例如,级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数,而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数.对于绝对收敛级数,我们有如下结论:如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛,则级数1nn u ∞=∑必定收敛.这说明,对于一般的级数1nn u ∞=∑,如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛,则此级数一定收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题,转化为正项级数的收敛性 判定问题. 2.重要结论一般说来,如果级数1nn u ∞=∑发散,我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散.但是,如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散,则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散(这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零,从而n →∞时n u 也不趋于零,因此级数1nn u ∞=∑发散). 五、幂级数 (一)函数项级数1.函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数,简称函数项级数.2.收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈,函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++.如果该常数项级数收敛,就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点;如果该常数项级数发散,就称点0x 是发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域,发散点的全体称为发散域.对应于收敛域内的任意一个常数x ,函数项级数成为一收敛的常数项级数,因而有一确定的和s .这样,在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ .(二)幂级数及其收敛性1.幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数,即所谓幂级 数,形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,叫做幂级数的系数. 2.阿贝尔定理 如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =(00x ≠)时收敛,则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛.反之,如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散.由上述定理可以推出,如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R 存在,使得当x R <时,幂级数绝对收敛;当x R >时,幂级数发散;当x R =或x R =-时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R 叫做幂级数的收敛半径,开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间.3.求收敛半径及收敛区间的方法 (1)对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑,有如下方法:如果1lim n n na a ρ+→∞=,其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ .(2)对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑(如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑),方法如下:令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<,得到x 的范围,然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可.(三)幂级数的和函数 1.幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续.性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积,并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ (x I ∈),逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径.性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导,并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑(x R <),逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径. 2.幂级数和函数的求法(“先导后积”或“先积后导”)当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时,可用先求导后求积分的方法求其和函数;当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式,可用先求积分后求导的方法求其和函数.3.常用的幂级数展开式 (1)2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑,11x -<<;(2)21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑,11x -<<.【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性. 1.11n ∞=∑. 解:因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==,而调和级数11n n∞=∑发散,故原级数发散.2.213n n ∞=-∑ .解:因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-,而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数,故原级数收敛.3.1352nn nn ∞=-∑ .解:因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭,而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数,故原级数收敛.4.11sin n n ∞=∑ .解:因 1sin lim 11n n n→∞=,而调和级数11n n ∞=∑发散,故原级数发散. 5.11(1cos )n n ∞=-∑ .解:因 211cos1lim 12n n n→∞-=,而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数,故原级数收敛.6.32tan n nn π∞=∑ .解:因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==,而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数,故原级数收敛.7.312(1)n n n n ∞=++∑ .解:因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+,而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数,故原级数收敛.8.111nn a∞=+∑ (0a >). 解:当1a =时, 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+,故原级数发散;当01a <<时,11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++,故原级数发散;当1a >时,因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+,而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数,故原级数收敛.【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性.1.1(1)!2nn n ∞=+∑ . 解:因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++,故原级数发散.2.213n n n∞=∑ .解:因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<,故原级数收敛.3.1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ .解:因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅,故原级数收敛.4.110!nn n ∞=∑ .解:因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+,故原级数收敛.5.1212nn n ∞=-∑ . 解:因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--,故原级数收敛. 6.21sin2nn nπ∞=∑ . 解:因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅,故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同.对于级数212n n n∞=∑,因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<,故级数212n n n∞=∑收敛,所以原级数也收敛.【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性.1.12(1)2nnn ∞=+-∑ . 解:111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==,故原级数收敛.2.11[ln(1)]nn n ∞=+∑ . 解:lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==,故原级数收敛.【例10-4】判定下列级数的敛散性,如果是收敛的,判定是绝对收敛还是条件收敛. 1.111(1)n n ∞-=-∑ . 解:因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散,但由莱布尼茨定理可知,原级数满足111n n u u +=>=,且1lim 0n →∞=,所以原级数收敛且为条件收敛. 2.1211(1)n n n∞-=-∑ .解:因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛,所以原级数绝对收敛.3.11(1)1n n nn ∞+=-+∑ .解:因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在,故原级数发散.4.11sin 27n n n π∞=∑ .解:11sin 272n n n π≤,而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数,故根据比较审敛法可知,级数11sin 27n n n π∞=∑收敛,故原级数绝对收敛.【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域. 1.11(1)nn n xn∞-=-∑. 解:因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===,所以收敛半径11R ρ==,故收敛区间为(1,1)-.又当1x =-时,原级数即为11()n n ∞=-∑,发散;当1x =时,原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑,收敛,故原级数的收敛域为(1,1]-.2.0!nn xn ∞=∑ .解:因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+,所以收敛半径R =+∞,故级数的收敛域为(,)-∞+∞.3.0!nn n x ∞=∑. 解:因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞,所以收敛半径0R =,即级数仅在点0x =处收敛.4.2121n nn x n ∞=+∑ . 解:因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+,所以收敛半径112R ρ==,故收敛区间为11(,)22-.又当12x =-时,原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑,收敛;当12x =时,原级数即为2111n n ∞=+∑,收敛,故原级数的收敛域为11[,]22-.【例10-6】求下列幂级数的收敛域.1.1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ .解:这是非标准形式的幂级数,我们用比值审敛法.令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅,则12x -<,故当13x -<<时级数收敛,当1x <-或3x >时级数发散.当1x =-时,原级数即为1(1)n n n ∞=-∑,收敛;当3x =时,原级数即为11n n∞=∑,发散.因此原级数的收敛域为[1,3)-.2.211(1)21n nn xn +∞=-+∑ .解:这是非标准形式的幂级数,我们用比值审敛法.令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+,则当11x -<<时级数收敛,当1x <-或1x >时级数发散.当1x =-时,原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑,收敛;当1x =时,原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑,也收敛.因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数. 1.11n n nx∞-=∑ .解:先求幂级数的收敛域.令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<,可得收敛区间为(1,1)-.当1x =-时,原级数即为1(1)nn n ∞=-∑,发散;当1x =时,原级数即为1n n ∞=∑,也发散.因此原再求和函数.设和函数11()n n s x nx ∞-==∑,则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑, (1,1)x ∈-.2.2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ . 解:先求幂级数的收敛域.令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--,可得收敛区间为(1,1)-.当1x =-时,原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑,收敛;当1x =时,原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑,也收敛.因此原级数的收敛域为[1,1]-.再求和函数.设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑,则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑, 故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰, [1,1]x ∈-.3.111(1)n n x n n ∞+=+∑. 解:先求幂级数的收敛域. 令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+,可得收敛区间为(1,1)-.当1x =-时,原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑,收。
数理经济学第10章具有约束方程的最优化
第10章具有约束方程的最优化10.1基本约束优化问题10.2 一阶必要条件10.3二阶充分条件10.4最优解的比较静态分析10.5 Lagrange 乘子的数学含义10.6目标函数最优值的比较静态分析10.1基本约束优化问题般标准的极大化问题:max f (人,乂2,川,乂" 或者:max f (x)s.tg(X1,X2,ill,X n)乞b j s.t g(x)乞bh j(X1,X2」li,X n)二a i h(x)工a一般标准的极小化问题:min f (石公2」||风) 或者:min f (x) s.tg(X1,X2」ll,X n) - b j s.t g(x) - bh j(X1,X2,lli,X n)二a i h(x)二a10.2+10.3 :—阶必要条件和二阶充分条件1、等式约束优化问题(1 )两个变量一个等式约束的情形极大化问题:max f (x, y)s.t h(x, y) = c例:消费者的效用最大化问题maxU (x1, x2)s.t p/ + p2x2= I构造拉格朗日函数:L(x, y,)二f (x,y)- [h(x, y)- c] 二f (x, y) [c- h(x, y)]一阶必要条件:c- h(x,y)二0L x = f x - h x = 0L y 二f y - h y= 0注:通过将L视为三个选择变量的自由函数,将约束优化转化为了无约束优化。
拉格朗日乘数的解释:*是Z*(最优值)对约束变化敏感性的度量。
特别的,c增加(预算增加)的影响表明约束条件的放宽如何影响最优解。
设:根据一阶必要条件得到的最优解为*,X*,y*,贝,*,x*, y*满足:L = c _ h(x*, y*)二0L x = f x(x*, y*r * h x(x*, y*)二0L厂f y(x*, y*) - *h y(x*, y*) = 0最优值为:L* 二f (x*, y*) *[ c- h(x*, y*)]由三个必要条件,可以确定:X* = x*( c), y*二y*(c)因此,L*对c的导数:dL * dx * dy * d *丁二f xL f y-^ ux *y, *-)+dc dc dc dcJi 一hx^-h y 竽)dc dc= (f x- *h x)乎(f y- *h y)d y* dc dc弘*[c- h(x*, y*)] *dc=■ *结论:拉格朗日乘数的解值是由参数c引起的约束条件变化对目标函数最优值影响的度量。
数学分析(第三册)目录
数学分析讲义目录第一册第1章集合与映射1.1 集合1.2 集合运算及几个逻辑符号1.3 映射1.4 映射的乘积(或复合)1.5 可数集1.6 习题1.7 补充教材一:关于自然数集合N1.8 补充教材二:基数的比较1.9 补充习题进一步阅读的参考文献第2章实数与复数2.1 实数的四则运算2.2 实数的大小次序2.3 实数域的完备性2.4 复数2.5 习题2.6 补充教材一:整数环z与有理数域Q的构筑2.7 补充教材二:实数域R的构筑进一步阅读的参考文献第3章极限3.1 序列的极限3.2 序列极限的存在条件3.3 级数3.4 正项级数收敛性的判别法3.5 幂级数3.6 函数的极限3.7 习题进一步阅读的参考文献第4章连续函数类和其他函数类4.1 连续函数的定义及其局部性质4.2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质4.3 单调连续函数及其反函数4.4 函数列的一致收敛性4.5 习题4.6 补充教材:半连续函数及阶梯函数进一步阅读的参考文献第5章一元微分学5.1 导数和微分5.2 导数与微分的运算规则5.3 可微函数的整体性质及其应用5.4 高阶导数,高阶微分及Taylor公式5.5 Taylor级数5.6 凸函数5.7 几个常用的不等式5.8 习题5.9 补充教材一:关于可微函数的整体性质5.10 补充教材二:一维线性振动的数学表述5.10.1 谐振子5.10.2 阻尼振动5.10.3 强迫振动进一步阅读的参考文献第6章一元函数的Riemann积分6.1 Riemann积分的定义6.2 Riemann积分的简单性质6.3 微积分学基本定理6.4 积分的计算6.5 有理函数的积分6.6 可以化为有理函数积分的积分6.6.1 R(x,根号(αx+β)/(γx+δ))的积分6.6.2 R(x,根号ax2+bx+c)的积分6.6.3 R(sinx,cosx)的积分6.7 反常积分6.8 积分在几何学,力学与物理学中的应用6.8.1 定向区间的可加函数6.8.2 曲线的弧长6.8.3 功6.9 习题6.10 补充教材一:关于Newton—Leibniz公式成立的条件6.11 补充教材二:Stieltje8积分6.12 补充教材三:单摆的平面运动和椭圆函数6.12.1 一维的非线性振动的例:单摆的平面运动6.12.2 描述单摆平面运动的椭圆函数6.13 补充教材四:上、下积分的定义进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第二册第7章点集拓扑初步7.1 拓扑空间7.2 连续映射7.3 度量空间7.4 拓扑子空间,拓扑空间的积和拓扑空间的商7.5 完备度量空间7.6 紧空间7.7 Stone-Weierstrass逼近定理7.8 连通空间7.9 习题7.10 补充教材:Urysohn引理进一步阅读的参考文献第8章多元微分学8.1 微分和导数8.2 中值定理8.3 方向导数和偏导数8.4 高阶偏导数与T aylor公式8.5 反函数定理与隐函数定理8.6 单位分解8.7 一次微分形式与线积分8.7.1 一次微分形式与它的回拉8.7.2 一次微分形式的线积分8.8 习题8.9 补充教材一:线性赋范空间上的微分学及变分法初步8.9.1 线性赋范空间上的重线性映射8.9.2 连续重线性映射空间8.9.3 映射的微分8.9.4 有限增量定理8.9.5 映射的偏导数8.9.6 高阶导数8.9.7 Taylor公式8.9.8 变分法初步8.9.9 无限维空间的隐函数定理8.10 补充教材二:经典力学中的Hamilton原理8.10.1 Lagrange方程组和最小作用量原理8.10.2 Hamilton方程组和Hamiltom原理进一步阅读的参考文献第9章测度9.1 可加集函数9.2 集函数的可数可加性9.3 外测度9.4 构造测度9.5 度量外测度9.6 Lebesgue不可测集的存在性9.7 习题进一步阅读的参考文献第10章积分10.1 可测函数10.2 积分的定义及其初等性质10.3 积分号与极限号的交换10.4 Lebesgue积分与Riemann积分的比较10.5 Futfini-ronelli定理10.6 Jacobi矩阵与换元公式10.7 Lebesgue函数空间10.7.1 LP空间的定义10.7.2 LP空间的完备性10.7.3 Hanner不等式10.7.4 LP的对偶空间10.7.5 Radon-Nikodym定理10.7.6 Hilbert空间10.7.7 关于微积分学基本定理10.8 二次微分形式的面积分10.8.1 一次微分形式的外微分10.8.2 二次微分形式和平面的定向10.8.3 二次微分形式的回拉和积分10.8.4 三维空间的二次微分形式10.8.5 平面上的Green公式10.9 习题进一步阅读的参考文献参考文献名词索引第三册第11章调和分析初步和相关课题11.1 Fourier级数11.2 Fourier变换的L1-理论11.3 Hermite函数11.4 Fourier变换的L2-理论11.5 习题11.6 补充教材一:局部紧度量空间上的积分理论11.6.1 C0(M)上的正线性泛函11.6.2 可积列空间L111.6.3 局部紧度量空间上的外测度11.6.4 列空间L1中的元素的实现11.6.5 l-可积集11.6.6 积分与正线性泛函的关系11.6.7 Radon泛函与Jordan分解定理11.6.8 Riesz-Kakutani表示定理11.6.9 概率分布的特征函数11.7 补充教材二:广义函数的初步介绍11.7.1 广义函数的定义和例11.7.2 广义函数的运算11.7.3 广义函数的局部性质11.7.4 广义函数的Fourier变换11.7.5 广义函数在偏微分方程理论上的应用11.8 补充习题进一步阅读的参考文献第12章复分析初步12.1 两个微分算子和两个复值的一次微分形式12.2 全纯函数12.3 留数与Cauchy积分公式12.4 Taylor公式和奇点的性质12.5 多值映射和用回路积分计算定积分12.6 复平面上的Taylor级数和Laurent级数12.7 全纯函数与二元调和函数12.8 复平面上的Г函数12.9 习题进一步阅读的参考文献第13章欧氏空间中的微分流形13.1 欧氏空间中微分流形的定义13.2 构筑流形的两个方法13.3 切空间13.4 定向13.5 约束条件下的极值问题13.6 习题进一步阅读的参考文献第14章重线性代数14.1 向量与张量14.2 交替张量14.3 外积14.4 坐标变换14.5 习题进一步阅读的参考文献第15章微分形式15.1 Rn上的张量场与微分形式15.2 外微分算子15.3 外微分算子与经典场论中的三个微分算子15.4 回拉15.5 Poincare引理15.6 流形上的张量场15.7 Rn的开集上微分形式的积分15.8 习题进一步阅读的参考文献第16章欧氏空间中的流形上的积分16.1 流形的可定向与微分形式16.2 流形上微分形式的积分16.3 流形上函数的积分16.4 Gauss散度定理及它的应用16.5 调和函数16.6 习题16.7 补充教材一:Maxwell电磁理论初步介绍16.8 补充教材二:Hodge星算子16.9 补充教材三:Maxwell电磁理论的微分形式表示进一步阅读的参考文献结束语进一步阅读的参考文献参考文献关于以上所列参考文献的说明名词索引。
高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分: (1)LI xds =⎰,其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧;解: L AB =的参数方程为:cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤,于是2cos I ππθ-=⎰4cos (1d ππθθ-==+⎰.(2)(1)Lx y ds ++⎰ ,其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界;解: L 是分段光滑的闭曲线,如图9-2所示,根据积分的可加性,则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰,由于OA :0y =,01x ≤≤,于是ds dx ===,故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA, 而:AB 1y x =-,01x ≤≤,于是ds ==. 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰,同理可知:BO 0x =(01y ≤≤),0d s =,则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰. xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ (3)⎰,其中L 为圆周22x y x +=;解 直接化为定积分.1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=(02θπ≤≤), 且12ds d θθ==.于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰.(4)2 Lx yzds ⎰,其中L 为折线段ABCD ,这里(0,0,0)A ,(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ;解 如图所示, 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰.线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤,则ds =2dt ==,故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB.线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤,则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰,线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ,则ds ==,故1122012(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LBB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心,设曲线的密度1ρ=。
第10章第1节无穷限反常积分
2019年10月26日星期六
3
§10.1 无穷限反常积分
引例:
问题:求曲线y
1 x2
,
x轴及直线x
1,y
右边所围成的“开口
y
1 x2
曲边梯形”的面积。
01
解: 由于这个图形不是封闭的曲边梯 形,而在x轴的正方 向是开口的,
bx
即这是积分区间为[1,+∞)的积分。
2019年10月26日星期六
例2 : 计算广义积分 te ptdt ( p是常数,且p 0). 0
加
解: te pt dt lim b te pt dt
0
b 0
lim
b
t p
e pt
b 0
1 p
b
e
pt
dt
0
t p
e
2019年10月26日星期六
5
§10.1 无穷限反常积分
一、无穷积分的概念.
定义: 设函数 f (x)在区间[a, +)上连续, 任取b > a,
如果极限 lim b f(x)dx 存在, b a
则称此极限为函数 f (x)在无穷区间[a, +)上
的广义积分, 记作 f (x)dx, 即 a
o 12345
x
26
§10.1 无穷限反常积分
四. 无穷积分收敛的判别法
在 A fdx( A a)存在条件下,有以下基本判别方法. a
这些方法类似于级数收敛性判别法(注意对比).
1.比较判别法: 设定义在[a, )上的两个函数f 和,
都在任何有限区间a,A上可积,
第10章 国民收入决定理论
1.消费:一个国家(或地区),一定时期内,居民 个人(或家庭),为满足消费欲望,而用于购买消 费品和劳务的所有支出。
影响消费的因素很多,如收入、消费品价格、消费者偏好、 消费者预期、消费信贷、利率水平等等。 其中最重要的是个人收入。 宏观经济学假定消费与收入水平存在着稳定函数关系。
2.消费函数:指消费支出与决定消费诸因素之间的依存关 系。(广义上的概念) 消费函数(consumption function)是用来描述消费与 收入之间依存关系的函数,在其他条件不变的情况下,消 费随着收入的增加而增加,但是随着人们收入的增加,增 量收入中用于消费的比重将逐渐递减,也就是说随着人们 收入的增加,消费以递减的速度增加。
即
GDP=NDP=NI=Y
若生产与消费均 衡:生产=消费
从GDP的计算得出国民收入公式
假设:一国内所有收入都用以支出。即总支出=总收入
从总支出的需求角度看,GDP=消费支出C+投资支出I 从总收入的去向角度看,GDP=消费用途C+储蓄用途S
GDP=总支出=总需求(AD)= C + I GDP=总收入=总供给(AS)= C + S 都=国民收入Y 国民收入均衡时,存在恒等式:总需求=总供给
收入 1 2 3 4 5 6 9000 10000 11000 12000 13000 14000
消费 9110 10000 10850 11600 12240 12830
储蓄 -110 0 150 400 760 1170
MPS
APS -0.01
MPC
APC 1.01
0.11 0.15 0.25 0.36 0.41
同理, 有Δy = Δc + Δs; 两边同除Δy,则 Δy/Δy = Δc/Δy +Δs/Δy 即: MPC + MPS = 1
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
所以 + ∈W, ∈W,即证 W 是 V 的一个子空间。
2)设 W 1 是 V 的任一子空间,且 dim(W 1 )=m,则当 m=n 时,只要取 f 为 V 的零函数 ,就有
2
故
3
P1(x)=1+x-
x2
2
同理可得
p2(x)=-
11
+
x2
62
11
p3(x)= - +x-
x2
32
7.设 V 是个 n 维线性空间,它得内积为( , ),对 V 中确定得向量 ,定义 V 上的
一个函数 * :
* ( )=( , )
1) 证明 * 是 V 上的线性函数
2) 证明 V 到 V * 的映射是 V 到 V * 的一个同构映射(在这个同构下,欧氏空间可看成 自身的对偶空间。)
f m1 ( )= f m2 ( )=… =f n ( )=0
因而 ∈U1,即 W1 U1。
反之, =b 1 1+b 2
2 +…+b m
m +b m1
m1 +…b n
n ∈U1,
由 f m1 ( )= f m2 ( )= … =f n ( )=0 , 可 得 b m1 = b m2 = … =b n =0, 因 而 =
fi( )≠0 (i=1,2…,s)
证:对 s 采用数学归纳法。
当 s=1 时,f1≠0,所以 ∈V,使 fi( )≠0,即当 s=1 时命题成立。 假设当 s=k 时命题成立,即 ∈V,使 fi( )= i≠0 (i=1,2…,k)
高等数学第10章 拉普拉斯变换
e st f (t)dt 0
对于 s在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一
个参数
s
的函数,记为 F(s)
,即 F (s) est f (t)dt 0
,函数 F(s)
称为 f (t) 的拉普拉斯变换,简称拉氏变换。
拉氏变换通常用符号 L 表示,即
F (s) L[ f (t)] est f (t)dt 0
且常常将
y
f
(t), 0,
t 0 t0
简记为 y f (t);
2. 积分F(s)
0
e st
f
(t)dt
中的 s
一般情况下为复数,
但我们只讨论 s 是实数的情况。
3. 函数 f (t) 的拉氏变换 F(s) ,当且仅当积分
F (s) est f (t)dt 时才存在,但一般说来,科技、 0
解:由 L[ (t)] 1 及 L[ f (t )] esF(s) 可得:
L[ (t a)] eas L[ (t)] eas
同理可得:
L[I (t a)] eas s
同理可算得余弦函数的拉氏变换
L[cos t ]
s2
s
2
二 两个重要函数
1. 单位阶梯函数I (t)
单位阶梯函数
I (t)
0 1
t0 t0
由例1知,它的拉氏变换 L[I
的图像如下页左图所示, (t)] 1 ,将 I (t) 的图像向右
s
平移 a
个单位,即得
0 I (t a) 1
若 F(s) 是 f (t) 的拉氏变换,则称 F(s) 是 f (t) 的像 函数,拉氏变换是可逆的积分变换,称 f (t) 是 F(s) 的像
第10章MATLAB特征值与特征向量的计算
第10章MATLAB特征值与特征向量的计算MATLAB是一种非常强大的数值分析和科学计算工具,可以用于计算矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵分析中非常重要的概念,具有广泛的应用。
在MATLAB中,计算矩阵的特征值和特征向量有多种方法。
下面将介绍其中两种常用的方法。
一种方法是使用eig函数。
该函数可以计算矩阵的特征值和特征向量。
用法如下:```MATLAB[A, D] = eig(B)```其中,B是要计算特征值和特征向量的矩阵,A是一个由特征向量组成的矩阵,D是一个由特征值组成的对角矩阵。
特征值和特征向量的对应关系是D的对角线上的值与A的列是一一对应的。
另一种方法是使用eigs函数。
该函数可以计算矩阵的部分特征值和特征向量。
用法如下:```MATLAB[V, E] = eigs(A, k)```其中,A是要计算特征值和特征向量的矩阵,k是要计算的特征值和特征向量的数量。
这两种方法的计算结果是一样的,只是使用的方法略有不同。
eig函数计算所有的特征值和特征向量,而eigs函数只计算部分特征值和特征向量。
计算矩阵的特征值和特征向量在很多领域中都有重要的应用。
例如,在图像处理中,特征值和特征向量可以用于图像压缩和识别;在控制系统中,特征值和特征向量可以用于分析系统的稳定性和性能等。
虽然MATLAB提供了方便的函数来计算特征值和特征向量,但在实际应用中,需要注意以下几点:1.确保输入的矩阵是方阵,否则将无法计算特征值和特征向量。
2.需要注意计算所得的特征值和特征向量的精度。
MATLAB中的计算结果可能存在误差,因此在应用中需要进行适当的误差处理。
3.特征值和特征向量的计算量较大,如果矩阵的维度较大,可能会导致计算时间过长。
对于大规模问题,可以考虑使用近似方法来计算特征值和特征向量。
总之,MATLAB提供了方便的函数来计算矩阵的特征值和特征向量,这对于很多领域的数值分析和科学计算都非常有用。
在使用这些函数时,需要注意输入矩阵的维度和计算结果的精度,并选择适当的方法来计算特征值和特征向量。
第10章二叉树法期权定价及其Python应用
第10章二叉树法期权定价及其Python应用本章精粹蒙特卡罗模拟法便于处理报酬函数复杂、标的变量多等问题,但是在处理提前行权问题时却表现出明显的不足。
本章将要介绍的二叉树法可以弥补蒙特卡罗模拟法的这种不足。
二叉树的基本原理是:假设变量运动只有向上和向下两个方向,且假设在整个考察期内,标的变量每次向上或向下的概率和幅度不变。
将考察期分为若干阶段,根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径,并由后向前以倒推的形式走过所有结点,同时用贴现法得到在0时刻的价格。
如果存在提前行权的问题,必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比下一个结点上更有利,然后重复上述过程。
10.1 二叉树法的单期欧式看涨期权定价假设:(1) 市场为无摩擦的完美市场,即市场投资没有交易成本。
这意味着不支付税负,没有买卖价差(Bid-Ask Spread)、没有经纪商佣金(Brokerage Commission)、信息对称等。
(2) 投资者是价格的接受者,投资者的交易行为不能显著地影响价格。
(3) 允许以无风险利率借入和贷出资金。
(4) 允许完全使用卖空所得款项。
(5) 未来股票的价格将是两种可能值中的一种。
为了建立好二叉树期权定价模型,我们先假定存在一个时期,在此期间股票价格能够从现行价格上升或下降。
下面用实例来说明二叉树期权定价模型的定价方法。
1. 单一时期内的买权定价假设股票今天(t =0)的价格是100美元,一年后(t =1)将分别以120美元或90美元出售,就是1年后股价上升20%或下降10%。
期权的执行价格为110美元。
年无风险利率为8%,投资者可以这个利率放款(购买这些利率8%的债券)或借款(卖空这些债券)。
如图10-1所示。
今天 1年后t =0 t =1u S 0=120 上升20% 1000=Sd S 0=90 下降10%u 0max(u ,0)max(120110,0)10C S X =-=-=?0=Cd 0max(d ,0)max(90110,0)0C S X =-=-=图10-1 买权价格图10-1表示股票买权的二叉树期权定价模型。
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数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
例:在Northwind库上创建自定义函数 my_function1,该函数实现输入代表商品年销售 额的money类型参数的值后返回字符串,如果年销 售额大于10000,返回“热销商品”,否则返回 “非热销商品”
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数 据 库 技 术 与 应 用
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10.2.2 查看用户自定义函数
自定义函数的名称保存在sysobjects系统表中 创建自定义函数的源代码保存在syscomments系 统表中
22Leabharlann 数 据 库 技 术 与 应 用
1. 使用系统存储过程查看
EXEC sp_help | sp_helptext 函数名 例:用系统存储过程sp_helptext 查看用户自 定义函数my_funciton1的定义文本信息
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数 据 库 技 术 与 应 用
10.3 用户自定义函数类型
标量函数
自定 义函 数有 三种 类型 内嵌表值函数
数 据 库 技 术 与 应 用
多语句表值函数
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例:创建标量函数,要求将当前系统日期转化为年 月日格式的字符串并返回,且默认的分隔符为 ‘ :: ’ ,并允许用户自行定义分隔符
convert(数据类型,字段名,日期样式编号)
41
数 据 库 技 术 与 应 用
下面举例说明使用多语句表值函数my_function4分 别获取来自Paris的所有客户和供应商的信息。
42
数 据 库 技 术 与 应 用
本次课主要内容
第十章 • 10.1 • 10.2 • 10.3 • 10.4 用户自定义函数 用户自定义函数概述 创建用户自定义函数 用户自定义函数类型 修改和删除用户自定义函数
数 据 库 技 术 与 应 用
12
10.2.1
创建步骤与方法
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数 据 库 技 术 与 应 用
例:创建一个自定义函数,计算某人到现在为止 的工龄工资
思路: 工龄工资=已工作年数 * 工作一年的工龄工资 已工作年数=当前时间 – 开始参加工作时间
工龄工资=(当前时间-开始参加工作时间) *年工龄工资
数 据 库 技 术 与 应 用
这些信息架构视图也是基于系统表sysobjects和 syscomments实现的
25
例:使用系统表sysobjects查看数据库 Northwind上存在的所有用户自定义函数的相关 信息。 USE Northwind SELECT * from sysobjects WHERE type='FN' go
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例: 在Northwind数据库上建立一个可以根据输入
的城市名返回所有该城市的客户和供应商的信息的
内嵌表值函数my_function3
如果已有一个视图(城市中客户与供应商列表) “Customer and Suppliers by City”
数 据 库 技 术 与 应 用
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37
数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
10.4.2
删除
DROP FUNCTION [所有者.]函数名 例:删除在Northwind库上创建的自定义函数 my_function1 DROP FUNCTION my_function1
数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
函数类型: • 内置函数 • 用户定义函数 内置函数 • 是一组预定义的函数,是 SQL语言的一部 分,按 SQL参考中定义的方式运行且不能 修改。
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数 据 库 技 术 与 应 用
USE Northwind go EXEC sp_helptext my_function1 go
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数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
2. 使用系统表或系统信息架构视图
在SQL Server中存在 三个信息架构视图 报告有关用户自定 义函数的信息
ROUTINES PARAMETERS ROUTINE_COLUMNS
数 据 库 技 术 与 应 用
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10.4 修改和删除用户自定义函数
10.4.1 修改
ALTER FUNCTION [ower-name,] function-name ([{ @parameter-name scalar-parameter-datetype [=default]}[,…n]]) RETURNS scalar-return-datatype [WITH <function-option> [,…n] ] [AS] BEGIN sql-statement RETURN scalar-expression END
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数 据 库 技 术 与 应 用
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数 据 库 技 术 与 应 用
CREATE FUNCTION my_function2 (@DATE datetime, @separator nvarchar(2)='::') RETURNS nvarchar(20) BEGIN DECLARE @returnstring nvarchar(20) SET @returnstring='今天是' +CONVERT(nvarchar(5),datepart(year,@date)) +‘年’+ @separator + CONVERT(nvarchar(5),datepart(month,@date)) +‘月’+ @separator + CONVERT(nvarchar(5),datepart(day,@date)) +'日' RETURN @returnstring END
• 是一组编译好的 SQL 语句,他们可以带一个或一 组数值做参数,也可以不带参数,它返回一个数 值、数值集合,或执行一些操作。 • 函数能够重复执行一些操作,从而避免不断重写 代码。
数 据 库 技 术 与 应 用
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getdate() 得到当前系统日期时间 year() 得到日期参数的年份
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下面示例使用新建立的内嵌表值函数 my_function3来获取“巴黎”市的所有客户和供 应商的信息
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10.3.3 多语句表值函数
赋值 控制流 DECLARE SELECT 游标操作 INSERT UPDATE DELETE EXECUTE
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允许 使用 的语 句
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例: 在Northwind库上利用视图Customer and Suppliers by City(某一城市的客户 与供应商),建立一个可以根据输入的 城市名和用户,要求返回所有该城市的 客户或供应商的信息的多语句表值函数 my_function4,并将其与上例建立的内 嵌表值函数my_function3对比
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如何调用新建立的标量函数呢?
可以运行如下命令: SELECT dbo.my_function2(GETDATE(),’--‘)
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10.3.2 内嵌表值函数 Inline Table-valued Functions •在内嵌表值函数中,RETURN子句中包含有一条 单独的SELECT语句,该语句的结果构成了内嵌 表值函数所返回的表
可替代视图,可用在T-SQL 查询中允许表或视图表达 式的地方
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视图:受限于单个 SELECT 语句,不允许包含用户 自己提供的参数
内嵌表值函数:可包含附加的语句,使函数所包含 的逻辑比视图的逻辑更强
返回表的内嵌表值函数还可替换返回单个结果集的 存储过程
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例:修改在Northwind库上创建的自定义函数 my_function1,将区分商品是否热销的年销售额由 当初的10000提高到20000 ALTER FUNCTION my_function1 (@moneyinput money) RETURNS nvarchar(5) BEGIN DECLARE @returnstring nvarchar(5) IF @moneyinput<20000 SET @returnstring='非热销商品' ELSE SET @returnstring='热销商品' RETURN @returnstring END
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本次课主要内容
第十章 • 10.1 • 10.2 • 10.3 • 10.4 用户自定义函数 用户自定义函数概述 创建用户自定义函数 用户自定义函数类型 修改和删除用户自定义函数
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10.3.1 标量函数 Scalar functions 标量函数返回在 RETURNS子句中定义 的数据类型的单个数据值