3 向量组的秩
第四章3 向量组的秩1
a 证明向量组 1 , a2
b1 , 与 b2 , b3
等价.
证明 记 a , a , B b , b , b ，根 A 1 2 1 2 3 据定理 1的推论，只要证 R A R B R A, B , 为此 A, B 把矩阵 化成阶梯形式：
1 1 A, B 1 1 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2 2 2 1 0 1 1 r 0 4 0 2 1 1 1 1 1 0 2 3 3 3 3 1 2 0 0 6
1 2 即 b3 b1 b2 , 3 3 8 7 1 b5 b1 b2 b4 , 9 18 6 而对矩阵的初等行变换并不改变矩阵的列向 量组之间的线性关系，因此，对应地有 1 2 a3 a1 a2 , 3 3 8 7 1 a5 a1 a2 a4 . 9 18 6
容易看出矩阵B中有不等于0 的2 阶子式， 故
R B 2 R B R A, B 2, 又 R R 于是知 B 2 . 因此A R B R A, B , a b1 , 从而向量组 1 , a2 与 b2 , b3 等价.
1 r 0 0 0
一个最大无关组，称数 r 为向量组 A 的秩．
（2）向量组 A 中的任意 r 1 个向量均线性相关，
定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称
为该向量组的秩． 例1 只含零向量的向量组没有最大无关组，
规定它的秩为零．
例2
n 维向量的全体组成的集合记作 R 则 n 维单位坐标向量 e1 , e2 ,, en
无关向量组（简称最大无关组）．
定理2
设有向量组 A :
a1 , a2 ,, as ;
§3向量组的秩
x1 3 4 x 2 2 c c 3 x3 1 1 2 0 0 1 x4
试求全体解向量构成的向量组 S 的秩．
2 1 1 1 1 1 2 1 例：求矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
1 1 2 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 6 7 0 3
1 1 0 0
1 1 B0 1 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
2 1
2 1 1 1 1 1 2 1 例：求矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 的秩，并求 A 的一个 4 9
最高阶非零子式．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 的第一个非零元所在的列 二、四列． 1 1 1 1 2 1 r 0 1 1 1 1 1 B ~ A0 (a1 , a2 , a4 ) 0 4 6 2 0 0 1 6 7 0 0 0 3
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 的第一个非零元所在的列 二、四列． 1 1 1 1 2 1 r 0 1 1 1 1 1 B ~ A0 (a1 , a2 , a4 ) 0 4 6 2 0 0 1 6 7 0 0 0 3
第三节 向量组的秩
返回Байду номын сангаас
k1a 11 k 2 a21 kr ar 1 0, k1a12 k 2a22 kr ar 2 0, k1a1 s k 2 a2 s kr ars 0.
以上述 r 个数 k1 ,k2 , ,kr 作线性组合
又 Ar 线性无关, 由定理五知 r s.
同理可得 s r.
故
r s.
17
证毕.
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注意: 秩相等的向量组未必等价.
例如: A : 1 (1,0,0), 2 (0,1,0).
A的秩=2. B : 1 (0,1,0), 2 (0,0,1). B的秩=2.
1可由1 , 2线性表示,
则称A为T 的一个最大无关组. 例1. 向量组 T : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 试求T 的一个最大无关组, 其中
1 (1,1,1), 2 (0,2,4), 3 (1,1,5), 4 ( 2,0,6), 5 ( 3,1,7).
4
返回
证明: 反证法. 若 r > s . A可由B线性表示, 即 1 a11 1 a12 2 a1 s s , 2 a21 1 a22 2 a2 s s , r ar 1 1 ar 2 2 ars s . (1)式的系数构成 r 个 s 维向量
但 2不能由1 , 2线性表示.
A与B不等价.
18
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思考题 1.已知两向量组
s1 : 1 , 2 m ; s2 : 1 , 2 t
有相同的秩,且 s1能被s2表示 证明：两向量组等价 ２．已知某向量组的秩为r,证明任意r个线性无关的部份向量组都为 该向量组的一个最大线性无关组．
线性代数 2_3向量组的秩
（I） ） （II） ）
β 1 , β 2 ,L , β t
）
线性表示，则必有（ C 线性表示，则必有（
A．s≤t ． B．s>t ． C． r（Ⅰ）≤r（Ⅱ） ． （ （ D． r（Ⅰ）>r（Ⅱ） ． （ （
即课后21题的结论 【注】可以作为结论使用(即课后 题的结论 ： 可以作为结论使用 即课后 题的结论)： 可被(Ⅱ 线性表示 线性表示， 若(Ⅰ)可被 Ⅱ)线性表示，则 r(Ⅰ)≤r(Ⅱ). Ⅰ 可被 Ⅰ Ⅱ
证明: α 1 , L , α s 与 β 1 ,L , β s 有相同的秩. 有相同的秩. 证明: 解析 证两向量组等价,则秩相等. 证两向量组等价,则秩相等.
15
下列两向量组是否等价？ 例3 下列两向量组是否等价？
0 1 1 1 1 0 β1 = 1 , β 2 = 0 , β 3 = 1 α1 = 2 , α 2 = 0 , α 3 = 2 与 1 1 0 3 1 0
11
5、向量组的秩(rank) 、向量组的秩 定义 向量组 α 1 , α 2 , L , α s的极大无关组所 含向量的个数，称为向量组的秩（ 含向量的个数，称为向量组的秩（rank），记做 向量组的秩 ）
r (α 1 , α 2 ,L , α s )
向量的向量组， 【重要结论】(1) 仅含 向量的向量组，秩为 。 重要结论】 仅含O向量的向量组 秩为0。
②等价的向量组有相同的线性关系吗？ 等价的向量组有相同的线性关系吗？
不一定，请举例。 不一定，请举例。
如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍 介绍。 ③如何求一个向量组的秩，将在§2.4介绍。
4.3向量组的秩
向量组的秩向量组秩的定义向量组秩的求法及相关结论向量组秩的定义满足12,,,αααr 定义：设有向量组，A 记作.A R =r 在中选取个向量A r (1) 向量组无关;012:,,,αααr A (2) 向量组中任意个向量(若存在)都线性相关，A 1r +则称向量组是向量组的一个最大线性无关向量0A A 组，简称最大无关组.最大无关组所含向量个数称r 为向量组的秩，A1230ααα，+-=例：向量组123123:303112,,ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 注：全部由零向量组成的向量组没有最大无关组，规定这样的向量组的秩为零.2A R =该向量组的秩为.为最大无关组，12,αα13,αα，23,αα注：1. 一个向量组的最大无关组是向量组中所含向量个数最多的线性无关的子组之一.2.一个向量组的最大无关组不一定是惟一的．3.一个向量组与它的最大无关组是等价的．证：线性相关，12,,,,r αααα向量组是向量组的部分组，0A A 故组可由0A 组线性表示.A 对中任一向量，αA 从而组可由组线性表示.0A A 从而可由线性表示，α12,,,r ααα部分组，且满足推论：（最大无关组的等价定义）线性表示，设向量组是向量组的一个012:,,,r A αααA (1) 向量组线性无关；012:,,,r A ααα(2) 向量组的任一向量都能由向量组A 0A 则向量组是向量组的一个最大无关组.A 0A证：于是有设是中任意个向量，121,,,,r r ββββ+1r +A 它们都能由组线性表示，0A ()()12112,,,,,,,,r r r R R r ββββααα+≤=所以中任意个向量线性相关.A 1r +的一个最大无关组及秩. 例：求维向量的全体构成的向量组n 1212,,,n n n a a a a a a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭α解121000100,0,,0001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e 线性无关，.n R n =维单位坐标向量n 12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αn ∀∈，α1122,n n a a a =+++e e e1234124123422023 0570x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩例：设齐次线性方程组12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的通解是，试求全体解向量构成的向量组的秩．S解2R .S =1122c c ξξx =+{}112212c c c c ξξ,S x ==+∈，线性无关,12ξξ,12123434231001x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭通解是向量组秩的求法及相关结论11121314342122232431323334a a a a a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1234,,,αααα=T1T 2T 3βββ⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭回顾，的列向量组，A 1234,,,αααα的行向量组.T T T 123,,βββA定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于证它的行向量组的秩.设，，()R r A =12(,,)m ααα=A 阶子式.r 0r D ≠所在的列构成的矩阵的秩为,r D r r n r ⨯r 此列线性无关；又因为中所有阶子式均为零，A +1r A 所以中先证明：矩阵的秩等于它的列向量组的秩.任意个列向量构成的矩阵的秩小于，+1r (1)n r ⨯+r+1r 故此列线性相关.所在的列构成的列向r D r A 量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩为.r 也等于它的行向量组的秩.的秩等于的列向量组的秩，TA TA 的列向量组就是的行向量组，TA A 而，()()TR R =AA 所以矩阵的秩例：求向量组的一个最大无关组, 并用最大123451241611314,,,,0002210203ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解无关组表示其它向量.设，12345(,,,,)ααααα=A 并将矩阵化为行最简形.A1020301102~000110000r ⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭12416113140002210203⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭A ()12345βββββ,,,,,B =()3R .A ==B故由所以线性无关，124,,ααα()()124124,,,,rαααβββ可知，()124,,3R ααα=从而是列向量组的一个最大无关组.也就是方程0Ax =因为与同解，0Bx =1122334455x x x x x ααααα++++=01122334455x x x x x βββββ++++=0与同解，因此向量之间的线性关系12345,,,,ααααα与向量之间的线性关系是相同的.12345βββββ,,,,由于，,512432ββββ=+-3122βββ=+因此，.3122ααα=+512432αααα=+-关于向量组秩的结论，可以推广到所含向量个数无限的向量组.线性表示的充分必要条件是定理向量组能由向量组12,,mααα12,,l βββ()()121212,,,,,,,.m m l R R ααααααβββ=向量组的秩矩阵的秩例若向量组可由向量组线性表示，则.B A R R ≤B A 其中等号成立当且仅当向量组与向量组等价.A B 设，,A B R s R t ==证明并设向量组和的最大A B 无关组分别为和.012:,,,αααs A 012:,,,βββt B 由于向量组能由向量组线性表示，0B B 能由向量组线性表示，A B 向量组0A 向量组能由向量组AB A R R ≤.A B R R ≤并且向量组与向量组等价B A 向量组可由向量组线性表示.BA .A B R R=向量组可由向量组线性表示，并且B A 0A 因此向量组能由向量组线性表示.0B 线性表示，即.t s ≤于是，()()1212,,,,,,βββααα≤t s R R证明从而这两个向量组等价.的秩相等，证明：向量组与向量组等价.B A 例向量组可由向量组线性表示，且它们B AC 设向量组是由向量组与合并而成的，AB .AC R R =由向量组可由向量组线性表示知B A 又已知，A B R R =所以有，A B C R R R ==。
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
向量组的秩
[思路] 证两向量组等价,则秩相等.
例2 下列两向量组是否等价？
1
1
0
0
1
1
1
2
,
3
2
0
,
1
3
2
0
与
1
1
,
1
2
0
,
1
3
1
0
[思路] 由两向量组都线性无关且都为3维向量组,则 这两个向量组都为三维向量空间的极大无关组,则这 两个向量组等价.
例如
1
0
,
0
1
,
2
0
,
3
2
与
1
0
,
0
1
是否等价？
【结论】（1）向量组与它的极大无关组等价.
（2）向量组的任意两个极大无关组等价.
【问题】当一个大向量组可由一个小向量组线性表示 , s 可以由 1, 2 , , t 线性表示， 则 s t 1,2 , ,s 线性相关.
推论1 1 ,2 , , s 线性无关，并可由 1, 2 ,L , t
线性表示 s t
推论2 两个等价的线性无关向量组所含向量个数相同.
推论3 向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相同.
极大无关组所含向量个数由向量组决定,与极大无 关组的选取无关,这是向量组自身具有的重要特征.
定义3 向量组的极大无关组中所含向量的个数，
如果向量组(1)、(2)可以互相线性表示，则称向量组 (1)与向量组(2)等价.
记作 (1) (2) 或记作 {1,2 ,L ,s } {1, 2 ,L , t }
同维向量组，但向量个数不一定相同
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法1. 向量秩的定义向量组的秩是指向量组中线性无关的向量的个数，用r(V)表示。
向量秩可以理解为向量组的维数，是一个表示向量组重要性和有效性的指标。
2. 第一种方法：高斯消元法高斯消元法是一种通过初等变换求解线性方程组的方法，也可以用来计算向量组的秩。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
假设向量组V有m个向量，每个向量有n个分量，则矩阵A的大小为n×m。
步骤2：进行初等行变换利用高斯消元法的思想，对矩阵A进行一系列初等行变换，使得矩阵A化为行阶梯形。
步骤3：计算行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数。
统计非零行的个数，即可得到向量组V的秩r(V)。
3. 第二种方法：矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与矩阵的行列式之间存在一定的关系。
根据这个关系，我们可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式和上述方法一样，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
步骤2：计算矩阵的行列式计算矩阵A的行列式|A|。
步骤3：求解向量组的秩向量组的秩r(V)等于矩阵的秩r(A)等于矩阵的行列式|A|不等于零的最大阶数。
4. 第三种方法：向量组的线性相关性向量组的线性相关性也可以用来求解向量组的秩，即判断向量组中是否存在线性相关的向量。
具体步骤如下：步骤1：将向量组表示成矩阵形式同样地，将向量组V表示成一个矩阵A，其中每个向量是矩阵的一列。
步骤2：计算矩阵的秩计算矩阵A的秩r(A)。
步骤3：判断向量组的线性相关性如果矩阵A的秩r(A)等于向量组的维数，则向量组中的向量线性无关，秩r(V)等于向量组的维数。
否则，向量组中的向量线性相关，秩r(V)等于矩阵的秩r(A)。
5. 总结通过以上三种方法，我们可以求解向量组的秩。
高斯消元法通过初等变换得到行阶梯形矩阵，通过统计非零行的个数得到向量组的秩；矩阵的秩与行列式的关系可以通过计算矩阵的行列式来求解向量组的秩；向量组的线性相关性可以通过判断矩阵的秩和向量组的维数之间的关系来求解向量组的秩。
求向量组的秩的三种方法
求向量组的秩的三种方法一、概述向量组的秩，即向量组中线性无关向量的个数。
秩是线性代数中非常重要的概念，涉及到向量组的基、解空间及解的唯一性等概念。
本文将详细介绍求向量组秩的三种方法：高斯消元、矩阵的秩和行列式的秩，同时附上实例说明。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种基本方法，用于消元、求解下三角矩阵和上三角矩阵。
在求向量组秩时，可以将向量组构成增广矩阵，通过高斯消元将其变为简化阶梯形矩阵，然后根据主元的数量，即非零行数，即可得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成增广矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过高斯消元可得简化阶梯形矩阵：\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知主元是1，非零行数是1，因此向量组的秩是1。
三、矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常基础的概念之一，也是求向量组秩的一种方法。
矩阵的秩是指在矩阵的行（或列）空间中，线性无关的向量的个数。
对于一个m\times n矩阵A，如果它的秩为r，则有以下三条性质：1. 行秩：A的行空间的秩为r；2. 列秩：A的列空间的秩为r；3. 行列式：A的任意r\times r子式的行列式不为0，而r+1阶子式的行列式为0。
由此可知，对于一个向量组，可以将其构成矩阵，然后求出矩阵的秩来得到向量组的秩。
对于向量组：\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}2\\4\\6\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}构成矩阵：A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}通过对A做初等行变换，得到简化阶梯形矩阵：R=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}可知A的秩为1，因此向量组的秩也为1。
3-3向量组的秩与矩阵的秩
例如 3维行向量组A :
1 1, 2, 1 , 2 2, 3,1 , 3 4,1, 1
易知向量组A是线性相关的. 但向量组1 , 2 或 2 , 3或 3 , 1都是线性无关的, 因而都是 A 的极大无关组.
说明：极大无关组不唯一.
Ir 例如矩阵 A 0
0 0
不难看出矩阵A的行秩为 r, A的列秩也为 r ， A的行秩等于列秩且等于矩阵A的秩. 下面说明任何矩阵A的行秩与列秩都是相等 的,它们都等于A的秩.
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引理1 两个n维列向量组 α1 ,α2 ,..., αs 与 β1 , β2 ,..., βs ， 若存在可逆的 n n 矩阵P , 使得
T能由A线性表示，而A能由T线性表示显然，因此
极大无关组A与向量组T等价.
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定理3.9 向量组的极大无关组所含向量个数相同.
证明 因向量组的极大无关组都与向量组本身等价， 由等价的传递性知, 任意两个极大无关组也等价，故 所含向量个数相同.
定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与 极大无关组的选取无关，反映了向量组的性质.
定义3.16 向量组T的极大无关组所含向量个数称
为向量组的秩.记为 r(T).
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定理3.10 等价的向量组具有相同的秩. 定理3.11 如果向量组(I)能由向量组(II)线性表示， 则向量组(I)的秩小于或等于向量组(II)的秩. 证 因为向量组（I）可以由向量组（II）线性表示， 利用定理3.1，所以向量组（I）的极大线性无关组 可以由向量组（II）的极大线性无关组线性表示. 进而由推论3可知，向量组（I）的秩不超过向量 组（II）的秩.
线性代数课件-3.3向量组的秩
i , i ,, i 是向量组 1 , 2 ,, m 的一个极大线性无关组 i , i ,, i 满足：
1 2 r 1 2 r
（1） i1 , i2 ,, ir 是 1 , 2 ,, m 的部分组
（2）i1 , i2 ,, ir 线性无关
（3）任意r+1个向量构成的部分组线性相关，
1 , 2 ,, m 的两个极大无关组，则有
因为
i1 ,i 2 ,,ir ≌ j1 , j 2 ,, js i1 ,i 2 ,,ir ≌ 1 , 2 ,, m 1 , 2 ,, m ≌ j1 , j 2 ,, js
• 等价的性质：
（1）反身性：任一向量组与自身等价。
即
1 , 2 ,,பைடு நூலகம் m
≌ 1 , 2 ,, m
（2）对称性：若1 , 2 ,, m ≌ 1 , 2 ,, s
则
1 , 2 ,, s ≌ 1 , 2 ,, m
由于 3可由1， 2线性表示
1 , 2 , 3 线性相关。
定理3· 若向量组1 , 2 ,, m 可由向量组 8 1 , 2 ,, s 线性表示，且m>s, 则向量组 1 , 2 ,, m 线性相关。
证明： 因为1 , 2 ,, m可由 1 , 2 ,, s线性表示
故
1 , 2 ,, m ≌ i1 ,i 2 ,,ir
定理3· 向量组 1 , 2 ,, m 和它的极大无关组 7
i1 , i 2 ,, ir 等价。
推论：同一向量组的任意两个极大无关组等价。 即 若 i1 , i 2 ,, ir 和 j1 , j 2 ,, js 是向量组
二、等价 定义3· 9 设有两个向量组
3.3向量组的秩与矩阵的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的 列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向 量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性 无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同 时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向 量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt
3.3 向量组的秩
推论6 一个向量组中任意两个极大无关组所含的向量的个数相同.
3.3 向量组的秩
11
例3.3.2 判断向量组α1 = (0,1, 2, 3)T ,α 2 = (3,0,1, 2)T , α 3 = (2, 3,0,1)T 与向量组β 1 = (2,1,1, 2)T , β 2 = (0, −2,1,1)T , β 3 = (4,4,1, 3)T 是否等价.
1.
初等变换 A = (α1 , α 2 ,L , α m , β ) B = (γ 1 , γ 2 ,L , γ m ,η ) →
3.3 向量组的秩
1
则 β = k1α1 + k2α 2 + L kmα m ⇔ η = k1γ 1 + k2γ 2 + L km γ m .
2. 定理3.2.1 向量β 可由向量组A线性表示 ⇔ R( A) = R( B ) 其中A = (a1 , a2 ,L , am ), B = ( A β )
9
证 明 必 要 性 . 因 为 β i 可 由 α 1 , α 2 ,L , α m 线 性 表 示 , 所 以 , β s
也可由α 1 , α 2 ,L , α m , β1 , β 2 ,L , β s-1线性表示.于是,由定理 3.2.1, 有 R(α 1 , α 2 ,L , α m , β1 ,L , β s ) = R(α 1 , α 2 ,L , α m , β1 ,L , β s-1 ) = L = R(α1 , α 2 ,L , α m , β1 ) = R(α1 , α 2 ,L , α m ).
§3 向量组的秩、向量空间简介
V { k11 k2 2 km m，k1 , k2 ,, km R}
是一个向量空间，称为由 1 , 2 ,, m 生成的向量空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义3. 设V1, V2是两个向量空间，若 V1 V2， 则称 V1 是 V2 的子空间. 注 向量空间V至少有两个平凡子空间：零空间 {0}及V本身，而其它的子空间称为非平凡子空间． 例5. 若向量组 1 , 2 ,, s 可由 1 , 2 ,, m 线性 表示，则 L(1 , 2 ,, s )是 L(1 , 2 ,, m ) 的子空间.
§3 向量组的秩、向量空间简介
例3.判断下列集合是否为向量空间：
V1 {( x1 , x2 ,, xn1 ,0)T V2 {( x1 , x2 ,, xn1 ,1)T xi R, i 1,2,, n 1} xi R, i 1,2,, n 1}
定理4：V是由n维向量组成的非空集合，则V是向量
④
称③或④为向量α 在基变换下的坐标变换公式．
作业
作业1：习题13，1） 作业2：习题16
§3 向量组的秩、向量空间简介
向量组的秩向量空间简介向量组的秩向量空间简介线性相关性的结论极大线性无关组线性相关性的结论极大线性无关组n维向量的线性相关性维向量的线性相关性向量的内积向量的内积向量组的秩向量空间简介向量组的秩向量空间简介定义1向量组的极大无关组所含向量规定
第三章 向量与向量空间
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
3.3向量组的秩
定义 3.3.1 设有两个 n维向量组 R = {α 1 , α 2 , L, α r }, S = {β 1 , β 2 , L , β s } 若向量组 R中的每个向量 α i 都可以由向量组 S中的向量
β 1 , β 2 , L, β s 线性表出，则称向量组 R可以由向量组 S线 线性表出，
推论
等价的向量组必有相同的秩。
证 ： 当 S 与 T等 价 时 ， 它 们 可 互 相 线 性 表 出 。 于 是 根 据 定义 3.3.3有s ≤ t和t ≤ s， 得s = t。 就证明了等价的向 立 这 量组必有相同 的秩。
3.3.3 向量组的秩及极大无关组的求法 设A是一个m × n矩阵 a11 a12 a13 L a1n a 21 a 22 a 23 L a 2n A= M M M M am1 am2 am3 L amn
证：设R和S是两个等价的线性无关向量组，其中向量 个数分别为r和s，则由定理 3.3.2知必有r ≤ s和是s ≤ r， 因而必有r = s。
推论 2 一个向 量组 的任 意两个 极大 线性 无关 组所含 向量 的 个数 相同 。
证：设向量组S = {α1 , α 2 , L , α s } 的两个极大线性无关组分别为
于是 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = x1 a11 β 1 + a21 β 2） x（a12 β 1 + a22 β 2） x（a13 β 1 + a23 β 2） （ + 2 + 3 （ = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3）β 1 + a21 x1 + a22 x2 + a23 x3）β 2 （ （1）
向量组的秩
因此，可以选取1, 2 , 4 也可选 1, 2 , 5 或 1, 3 , 4 作为极大无关组，现不妨按
1, 2 , 4
从变换后的矩阵可见： x11 x2 2 3
方程的增广矩阵为 (1, 2 , 3 ) 经初等变换得到U的前三列，其等价方程为
T
b (0, b2 ,bm )T V
a b (0, a2 b2 ,am bm ) V 则：
T
a (0, a2 ,am )T V
例2、集合V {x (1, x2 ,xm )T x2 ,xm R} 就不是一个向量空间。 因为，若 a (1, a2 ,am ) V
2 2 1 例5、设 A ( a1 , a2 , a3 ) 2 1 2 1 2 2 1 4 a1 , a2 , a3 是R3 验证 B (b1 , b2 ) 0 3 4 2 的一个基，
并把 b1 , b2 用这个基线性表示。
例2、求向量组 1 , 2 ,, 5 的极大无关组，
并将其余向量用极大无关组来表示。其中
1 (1,1,0,0)、2 (1,2,1,1)、3 (0,1,1,1)
4 (1,3,2,1)、5 (2,6,4,1)
T T A (1T , 2 ,, 5 ) 的秩。
并求矩阵
1 1 0 1 2 1 2 1 3 6 解： A 0 1 1 2 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 经初等变换得：A ~ 0 0 0 0 0 1 2 1 2 4 U 0 1 1 0 0 0
例1、设矩阵
3 2 1 3 A 2 1 3 1 4 5 5 6
3-3向量组的秩
首先 a1 , a2 线性无关， 又 a1 , a2 , a3 线性相关， 所以 a1 , a2 组成的部分组是极大无关组 . 故此向量组的秩为 2 . 还可以验证 a2 , a3 也是一个极大无关组 . 注： 可看出 ： r 唯一，但极大无关组一般情况下不唯一 . r 是 A 中线性无关的向量个数的最大者 .
任何向量组与自己的最大无关组等价. 证明 T ：1 ,, r ,, m T ' ： 1 ,, r ① T ' 可由 T 线性表示; 用 1 ,, r ,, m 线性表示， i 前面系数取1， 其余向量前面系数取0
② T 可由 T ' 线性表示; 当 j 1,2,, r 时， j可由 1 ,, r 表示 当 j r 1,, m 时，1 , , r , j 线性相关， 故 j 可由 1 ,, r 线性表示。
1 2
2 1 , 2 1 , 2 3
故等价。
1 2
2 1 , 2 Leabharlann 1 , 2 34
二、最大线性无关组，向量组的秩 第一节中讨论向量组的线性相关性的时候，矩阵 的秩起到十分重要的作用，为使讨论进一步深入，下
5
注： (1) 只含零向量的向量组没有极大无关组， 因此，零向量组的秩是零 . (2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身. (3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组
线性表出 .
6
例如：向量组
2 4 2 1 2 1 ,a ,a a1 2 3 3 5 4 1 4 1
故T T ' 。
9
3、最大线性无关组的求法 定理2 矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的 线性相关性。
3.3-向量组的秩总结
当 ≠ 0时, 对任意 有
( , )2 ( , )( , ),
F( ) , 0,
而 F() , ,
, 2 , 2 , 0, b2 4ac 2( , )2 4( , ) ( , ) 0
即 ( , )2 ( , ) ( , ).
秩相等, 则向量组A与向量组B等价.
6) 若向量组A的秩为r, 则A中任意r+1个向量必 线性相关.
2
2、向量空间基、维数及坐标 注意区分向量空间V的维数与V中向量的维数.
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是向量空间 Rn的两组基,
1, 2, , n 1,2, ,n P
基变换公式
x1 y1
齐次性 | || || |;
| | , (a1)2 (a2 )2 (an )2 | | .
三角不等式 | || | | | .
7
定理3.15 柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式
| ( , ) || || |,
分 证析明 显然当 = 0时, (, ) = 0, | | = 0,命题成立.
6
2) 向量的模及性质 (1) 向量模定义 定义3.20 令
单位向量 | | 1.
若
0,
则 |
|
0,
且
|
1
|
| | ( , ) a12 a22 an2 ,
称||为n维向量的模(或长度).
(2) 向量的长度具有下述性质：
非负性 | | ( , ) 0 当 ≠0时, 有|| > 0; 当 = 0时, 有|| = 0.
a1
定义3.19
设有n维向量
a2
,
an
b1
b2
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1 2 1 例: 矩阵 A 0 3 1
的秩 R( A) 2
则行向量组 M 1 2 1 , 0 3 1 的秩 R(M ) R( A) 2
1 2 1 列向量组 N , , 的秩 R( N ) R( A) 2 0 3 1
例 对向量组
M {1 4 1 0 , 2 5 1 3 , 1 0 3 4 , 0 2 6 3}
1 2 A 1 0 4 1 0 r2 2r1 5 1 3 0 3 4 r3 r1 2 6 3
作矩阵A
1 4 1 4 r3 r2 0 3 3 3 0 0 0 2 r4 r2 0 0 8 3 故向量组 M {1 4 1 0 , 2 5
定理2 一向量组的任意两个极大无关组的向量个数相同。 证明: 设向量组的的两个极大无关组为
T1 1,2 ,,r T2 1, 2 ,, s
1T rT 构造矩阵 A T 1 T 1T 1T s rT T 化成 又A T r 1 0 阶梯形 T s 0
例1
1 0 1
0 1 1
2 1 1
1 1 1
考察向量组 M , , , 与 N , , 的关系
(3) 向量组M是线性无关的 当且仅当M的极大无关组
1 0 2 1 就是其本身。 例 设 0 , 1 , 1 , 1
向量组 , ,
1 是无关的,且 2
1T rT 构造矩阵 A T r 1 T m
RM r
由前r 行没有零行, 故 R A r.
1T 1T 化成 rT rT 0 阶梯形 0 0 0
1 3 , 1 0 3 4 , 0 2 6 3}
与向量组 N {1 4 1 0 , 0 3 3 3 , 0 0 8 1}等价
注： (1)矩阵A通过行（列）变换变成矩阵B，
则矩阵A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价。 (2) 矩阵A通过列（行）变换变成矩阵B， 矩阵A的行（列）向量组与B的行（列）向量组未必等价。 例
注
rs
由定理的证明过程可得:
矩阵的秩等矩阵行(列)向量的极大无关组中向量的个数
三 向量组的秩
(一) 定义
定义3 一个向量组M的极大无关组中所含向量的个数， 称为向量组M的秩，记为 R( M ). 注: (1)定义合理的,由定理2可知道不会因为极大无关组 的选取而使秩不同 (2) 显然
R(M ) M
为此我们先研究两个向量组之间的关系（一个向量是否
能被一个向量组是否线性表示是一个向量和向量组的关系）
一 等价向量组
（一）定义
定义1 如果向量组A中的每一个向量都能由向量组B中 的向量线性表示，则称向量组A能被向量组B线性表示 或称向量组B能线性表示向量组A。 若向量组B与向量组A 能相互线性表示， 则称向量组A和向量组B等价 注： 一个向量组的任意的子集可以由这个向量组线性表示
即向量组的秩不会超过向量组中的向量个数 (3)
R(M ) M 向量组M线性无关
R(M ) M 向量组M线性相关
(二) 性质
定理3 向量组的秩等于它所构成矩阵的秩。
证明: 不设向量组为 M 1,2 ,,r ,r 1,m ,
1 , 2 ,么）
故向量组N能表示M
又 2 ,
所以两个向量组等价 例2
证明向量组M , , , 和向量组
N , 等价
例3
设向量组 M 1,2 ,3 和向量组 N 1, 2 , 3
其中 1 1 2 , 2 2 3 , 3 1 3 证明它们等价 证明： 显然向量组M能表示N；
1T sT 0 由矩阵A 是B的子块故有 0 R A R B 0 故 0
由矩阵和向量组秩的关系有 故 RM R N
R A R M r R B R N s
是一个线性无关的向量组; 极大的含义是指在向量组M中 找不到一个向量添加进去后新的向量组仍然是无关的
找不到一个无关组真包含它, 即从向量组M剩下的向量中
(2) 极大线性无关组与向量组M等价, 故由向量组M能 线性表示的向量必能由其极大线性无关组线性表示. 故向量组能线性表示的向量取决于其子集 极大无关组
1T sT B T 显然 R A R B 1 T r 1T rT 前r行没有零行(为什么),故 0 R A r 同理 R B s 0 故
第三节 向量组的秩
为研究一个向量是否能被一个向量组是否线性表示, 为此我们引入了描述向量组的自身特征的一个概念 线性相关、线性无关的概念。 并探讨了向量组 线性相关性与向量组表示向量的关系。 为了更深入的研究一个向量是否能被一个向量组是否 线性表示, 我们需要更深入的研究向量组的自身的性质 向量组的极大无关组、向量组的秩
M 1,2 ,,r ,r 1,m , N 1, 2 ,, s , s1,n ,
定理4 若向量组M可由向量组N线性表示，则R(M)R(N)
推论1 若向量组A与向量组B等价，则R(A)=R(B)
推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等 有了向量组秩的概念,我们能给出向量组能表示一个 向量充分必要条件. 定理: 向量 能被向量组M线性表示 R(M ) R(M )
1 2 1 0 3 2 1 例:已知向量组 1 2 3 3 2 的秩为2 6 2 5 1 1 1 1 1 0 1 2 则矩阵 0 2 5 的秩均为2 1 2 3 2 1 3 6 1 5 6 2 2 2 2
定理4 若向量组M可由向量组N线性表示，则R(M)R(N) 证明: 设向量组为 M 1,2 ,,r ,r 1,m ,
1 , 2 ,, r
是其极大无关组.
N 1, 2 ,, s , s1,n ,
1 , 2 ,, s
是其极大无关组.
1 0 0 C2 C3 A 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
向量组 M {1 0 0 , 1 1 0 , 0 1 0} 与向量组 N {1 0 0 , 1 0 1 , 0 0 1} 不等价
定理: 向量 能被向量组M线性表示 R(M ) R(M )
证明: 向量 能被向量组M线性表示, 则
M 与 M 等价 R(M ) R(M ) ; R(M ) R(M ), 设 N 是 M 极大无关组, 则 R(M ) N 且
故有
N 与 M 等价, 故有
二 极大线性无关组
定义2: 给定向量组M,如果中有r 个向量构成的子集
1 , 2 ,, r 满足
(1) 向量组 1 , 2 ,, r 线性无关; (2) M中的任何一个向量都能由 1 , 2 ,, r 线性表示; 则称1 , 2 ,, r 是向量组M的一个线性极大无关组, 简称 极大无关组. 注 (1) 线性极大无关组中无关的含义是: 线性极大无关组
0 3 r4 r3 0 1 r2 1 3
1 4 0 3 0 0 0 0
1 4 1 0 0 3 3 3 0 4 4 4 0 2 6 3 1 0 3 3 8 1 0 0
R N s
故
RM r
构造矩阵
1T A T m
1T sT T s 1 B T n T 1 T m
1
1
1
故 , , 是 , , , 的一个极大无关组 1 又向量组 , , 是无关的,且 故 , ,
2
是 , , , 的另一个极大无关组
注 (1)向量组的极大无关组可能不止一个, 什么样的 向量组其极大无关组只有一个. (2) 向量组的极大无关组可能不止一个,但极大无关组 之间有一个相同的量
1 1 又 1 ( 1 3 2 ) , 2 ( 1 2 3 ) , 2 2 1 3 ( 3 2 1 ) , 2
即向量组N 能表示M ， 故向量组M与N等价
（二）性质 定理1 设有向量组M,N,T 则
（1）自反性
M M
（2）对称性 若 M N , 则 N M （3）传递性 若 M N , N T 则 M T 定理2 设向量组M的向量作为行向量构成的矩阵为A , A的通过行变换其阶梯形矩阵为B，矩阵B的非零行构成的 向量组为N， 则向量组M与N等价。
定理得证
注
(1)矩阵 Amn
M 1 , 2 , m 的秩称为矩阵的行秩.
1T T 2 的行向量形成的向量组 T m
由定理证明可知道:
矩阵的行秩等于矩阵的秩
(2)类似地矩阵列向量形成的向量组的秩称为矩阵的列秩. 因为 R A R AT =矩阵AT的行秩 =矩阵A列秩. 故: 矩阵的列秩也等于矩阵的秩, 进而矩阵的行秩等于其列秩 综上所述: 讨论矩阵的秩可以转为讨论向量组的秩; 讨论向量组的秩可以转为讨论矩阵的秩;