0707 高中数学基本不等式的巧用(学生用)

高中数学《基本不等式》的真正妙用

高中数学《基本不等式》的真正妙用
《基本不等式》是高中数学中的一门基础课程，它是学习数学的
重要工具之一，用于解决复杂的数学问题。

它的定义是“当两个值或
表达式的意义不同时，就可以使用不等式来描述它们之间的差异”。

基本不等式有五种基本形式，分别是等号（=）、大于等号（>）、大于（>）、小于等号（< ），小于（<）。

但无论哪种形式，都能够
提供明确的准确信息，从而帮助我们推导出更复杂的问题。

基本不等式的妙用在于，它可以帮助我们推算出给定条件下可能
出现的情况，因此可以拓展我们对某一特定问题的解决思路。

例如，
可以利用不等式来构建数学模型，建立清晰的统计关系，深入了解数
据分析，从而解决复杂的数学问题。

此外，基本不等式也是非常适用于组合概念和论证概念的工具。

我们可以利用不等式来组织我们的概念，这样便于我们模拟出更复杂
的情况。

同时，也可以将不等式应用于证明某些概念的有效性，从而
使用不等式来测试其有效性。

基本不等式的另一个好处是，它可以用于做出正确的决策。

假设
我们有个问题需要做出决定，那么我们可以使用不等式来比较不同的
选择，从而作出优化的，正确的决策。

总之，《基本不等式》是一门高中数学的重要课程，它是理解和
处理复杂问题的有力工具。

它可以帮助我们推导出更复杂的数学结论，帮助我们组织逻辑思维，方便有效地做出正确的决策，是理解复杂问
题不可或缺的重要工具。

高中数学基本不等式的巧用

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式在日常生活中有哪些用途

基本不等式在日常生活中有哪些用途在我们的日常生活中，数学知识看似抽象，但其实无处不在，发挥着重要的作用。

其中，基本不等式就是一个非常实用的工具。

基本不等式，通常表述为对于任意非负实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。

接下来，让我们一起探讨一下基本不等式在日常生活中的诸多用途。

先来说说购物省钱方面。

假设我们在超市看到两种促销活动，一种是买一送一，另一种是直接打五折。

在决定选择哪种更划算时，基本不等式就能派上用场。

假设商品原价为 a 元，数量为 b 个。

如果选择买一送一，那么平均每个商品的价格为 a ／ 2 元；如果选择打五折，平均每个商品的价格为 05a 元。

根据基本不等式，（a ＋ 05a) ／ 2 ＝075a ≥ √（05a²) ，当且仅当 a ＝ 0 时取等号。

这意味着在正常购买商品的情况下，打五折会更划算，能让我们在购物时做出更明智的选择，节省开支。

在投资理财中，基本不等式也能帮助我们进行风险评估和收益预测。

比如说，我们有两种投资产品，一种收益较高但风险较大，预期收益率为 a%；另一种收益较低但风险较小，预期收益率为 b%。

为了平衡风险和收益，我们可以利用基本不等式来计算一个相对合理的预期综合收益率。

通过（a% ＋ b%）／2 ≥ √（a% × b%），可以大致估算出在不同投资比例下的综合收益率范围，从而更好地规划我们的投资组合，降低风险并追求合理的回报。

再看旅行规划。

当我们计划一次自驾游时，需要考虑路程、速度和时间的关系。

假设一段路程为固定的 S ，汽车以速度 a 行驶一段时间t1 ，以速度 b 行驶一段时间 t2 。

根据路程等于速度乘以时间，我们有S ＝ a × t1 ＋ b × t2 。

而平均速度等于总路程除以总时间，即 2S ／（t1 ＋ t2) 。

根据基本不等式，（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) ，可以得出平均速度存在一个最小值，这有助于我们合理安排行驶速度和时间，以最快的方式到达目的地，同时也能更有效地规划途中的休息和加油等事项。

高中数学基本不等式的巧用

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式的几种应用技巧

证明三角形的几何中心的位置关系
重心
外心
三角形的重心是三条中线的交点，即三条边的中点。
三角形的外心是三条垂直平分线的交点，即三个顶点到圆心的距离相等。
内心
三角形的内心是三条角平分线的交点，即到三边的距离相等。
求含有多个参数的表达式的最值
1 多元函数
通过对每个参数进行求偏导数，找到其对应的驻点（极值点）。
基本不等式的几种应用技巧
在本演示文稿中，我们将讨论基本不等式的几种应用技巧。通过这些技巧，我们可以解决一系列有趣且富有挑战性的问题。
求符号和绝对值函数的最小值和最大值
符号函数
符号函数的最小值是-1，当自变量小于0时；最大值是1，当自变量大于0时。
绝对值函数
绝对值函数的最小值是0，当自变量等于0时；最大值是正无穷大，当自变量趋向于正无穷大或负无穷大时。
2 约束条件
考虑约束条件，可以转化为单一参数的函数，并使用一元微分法求解极值。
解决不等式组问题
1
代数法
2
通过代数方法，将不等式组简化为单一
不等式，并求解其解集。
3
图像法
将不等式转化为几何图形，找到满足所有不等式的可行解集。
数轴法
将不等式绘制到数轴上，找到满足所有不等式的数轴区间。
确定比例大小关系
2
复数解
考虑方程的复数解，包括实部和虚部。
3
无解
某些方程可能没有解，要注意排除无解情况。
求解三角函数不等式
正弦不等式
通过图像法或符号法，求解正弦函数的不等式。
余弦不等式
通过图像法或符号法，求解余弦函数的不等式。
无限不存在不存在
确定函数的单调性

高中数学基本不等式的巧用

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式万能方法

基本不等式万能方法
1. 哎呀呀，你知道吗，基本不等式的万能方法之一就是观察呀！就像找宝藏一样去观察式子的特点。

比如说，给你个式子a+b≥2√ab，咱看看能
不能找到其中的 a 和 b 呀，然后利用这个方法巧妙解题，这多有意思呀！
2. 嘿，告诉你哦，凑数也是个超棒的办法呢！比如要证一个式子，咱就想办法把它凑成基本不等式的形式。

就好比搭积木，找到合适的那块拼上去，神奇不？像 x + 1/x，这不就能凑出可以用基本不等式的样子嘛！
3. 哇塞，还有变形呢！式子有时候就像个调皮的小孩子，得给它变变样子它才乖。

比如把式子进行恒等变形，让基本不等式能发挥作用。

就跟给小娃娃换装一样，变得合适了就能解决问题啦，好神奇呀！
4. 嘿呀，另外千万别忘了整体代换呀！这就像是给式子换了个“身份”。

比如已知某个整体的值，然后把式子用这个整体代换进去，精妙吧！就像用魔法把难题变简单啦！
5. 哈哈，还有构造呀！这就如同建筑师一样，根据条件构造出合适的式子来应用基本不等式。

想象一下，用智慧的双手搭建解题的桥梁，多带劲！
6. 哟呵，同向不等式相加也是一招呢！把几个同向的不等式加在一起，就能得出新的结论。

这就像把好多小糖果聚在一起变成大糖果一样，有趣极了！
7. 哇哦，主次元转换也是可以的呀！有时候换个角度看问题，把主元辅元换换，就能柳暗花明啦。

就像换个视角看世界，发现新的美好，厉害吧！
总的来说，基本不等式的万能方法真是丰富多彩呀，只要掌握了这些，解题就不在话下啦！。

基本不等式的八种应用技巧

基本不等式的八种应用技巧1. 代入数值验证基本不等式可以通过代入具体数值进行验证。

选择适当的数值，将其代入不等式中，计算结果来判断不等式是否成立。

通过验证可以确认不等式是否正确，确定不等式的适用范围。

2. 不等式的加减运算规则基本不等式在加减运算中有一些特殊规则，可以简化计算过程。

例如，不等式两边同时加上或减去一个相同的数值，不等式的关系不变。

对于复杂的不等式，通过使用加减运算规则可以简化计算。

3. 不等式的乘除运算规则基本不等式在乘除运算中也有一些特殊规则，可以简化计算。

例如，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的关系不变；但是如果乘以或除以一个负数，则不等式的关系会发生改变。

熟练运用乘除运算规则可以有效处理复杂的不等式。

4. 不等式的倒数规则当基本不等式中的数值取倒数时，不等式的关系会发生改变。

原来大于的不等式变为小于，原来小于的不等式变为大于。

这一规则在处理负数或分数时尤为重要，需要注意倒数规则的运用。

5. 不等式的平方规则基本不等式的平方规则指的是取平方后不等式的关系会发生改变。

当不等式中的数值为正数时，取平方后不等式的关系保持不变；但是当不等式中的数值为负数时，取平方后不等式的关系会发生反转。

在处理含有平方的不等式时需要注意平方规则的运用。

6. 不等式的绝对值规则当基本不等式中出现绝对值时，需要根据绝对值的定义来处理。

根据绝对值的性质，可以将不等式分解为两个不等式来求解。

绝对值规则在处理含有绝对值的不等式时非常有用。

7. 不等式的开方规则当不等式中的数值开方后，不等式的关系可能会发生改变。

对于正数，开方不改变不等式的关系；但是对于负数，则需要特殊处理。

通过熟练掌握开方规则，可以更好地处理带有开方的不等式。

8. 不等式的数轴表示将不等式用数轴表示可以更直观地理解不等式的解集。

通过在数轴上绘制有向线段表示不等式的解集，可以更清晰地描述不等式的范围和解的情况。

数轴表示在不等式的可视化方面起到重要作用。

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)

专题2.1 基本不等式的应用技巧(解析版)基本不等式的应用技巧基本不等式是数学中常见的一种重要工具，通过它可以解决各种问题。

本文将介绍一些基本不等式的应用技巧，并通过解析版的方式进行具体分析。

1. 不等式的加减变形不等式的加减变形是不等式求解中常用的技巧。

通过对不等式两边同时加减同一个数，可以改变不等式的形式，从而更好地进行化简和求解。

例如，对于不等式 a + x < b，我们可以通过减去 a 并加上负数 x，得到 x < b - a。

这样，原不等式就被转化为一个更简单的形式，使得求解变得更加容易。

2. 不等式的乘除变形和加减变形类似，不等式的乘除变形也是常见的求解技巧之一。

通过对不等式两边同时乘除同一个数（要求该数不为0），可以改变不等式的方向以及取值范围。

例如，对于不等式 a/x > b，若 a 和 b 均为正数，我们可以将不等式两边同时乘以正数 x，得到 a > b*x。

这样，原不等式的方向被颠倒，变为大于号，并且取值范围也随之改变。

3. 绝对值不等式的应用绝对值不等式是基本不等式中的一个重要分支。

它关注的是具有绝对值符号的不等式，需要特别注意其取值范围的变化。

例如，对于不等式 |x - a| < b，我们可以通过分情况讨论来解决。

当x - a > 0 时，原不等式可以简化为 x - a < b；当 x - a < 0 时，原不等式可以简化为 a - x < b。

通过进一步化简和求解，可以得到不等式的解集。

4. 不等式的应用实例分析接下来，我们通过一个具体实例来进行不等式的应用分析。

假设有一条长为 20m 的绳子，要将其分成两段，其中一段的长度是另一段的3倍。

我们需要求解这两段绳子的长度。

设绳子的一段长度为 x，则另一段长度为 3x。

根据题意，我们可以得到以下不等式：x + 3x = 20，即 4x = 20。

通过解方程，可得 x = 5，因此一段绳子的长度是 5m，另一段绳子的长度是 15m。

高中数学基本不等式的巧用

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

基本不等式技巧总结

基本不等式技巧总结
以下是 6 条关于基本不等式技巧总结：
1. 嘿，你知道吗？利用基本不等式的时候要注意“一正二定三相等”啊！就像走路一样，得一步一步来。

比如说，要求 2x + 3/x（x>0）的最小值，咱就得先确定这都是正数，然后用基本不等式算出来，这不是小菜一碟嘛！
2. 哇塞，基本不等式有时候就像一把神奇的钥匙！你看啊，当碰到一些式子要找最值的时候，马上就想到它。

像给一个房间找最舒服的布置一样，咱得找对方法呀！比如求x² + 4 / x²（x ≠ 0）的最小值，用基本不等式不就轻
松搞定啦！
3. 哎呀呀，基本不等式的技巧可重要啦！就跟搭积木一样，得搭对了才稳。

好比要算 3x + 4 / (3x)（x>0）的最值，那咱就按照规则来，不就稳稳地得到答案啦，多有意思呀！
4. 嘿哟，基本不等式在解题中那可是大功臣呀！它能让复杂的式子变得简单明了。

就好比在迷雾中找到一条清晰的路。

像求(a + 1)(b + 1) / ab（a，
b>0）的最小值，用基本不等式一用，哇塞，答案一下子就出来了，神奇吧？
5. 哈哈，基本不等式的技巧简直绝了！就像战场上的秘密武器一样。

你想想，要算 5x + 9 / (5x)（x>0）的最小值，普通方法可能费劲，但是用基本不等式，那真是轻松加愉快呀！
6. 哇哦，可别小看基本不等式的技巧呀！这可是数学的宝贝呀！比如说，要让一块蛋糕怎么分最合理，基本不等式就能帮上大忙啦。

就像一把精准的尺子，量出最合适的答案呢！
我的观点结论就是：掌握好基本不等式的技巧，那解题真的会变得超有趣而且超高效呀！。

基本不等式技巧窍门

基本不等式技巧窍门一、基本不等式的概念和基本类型1.算术平均数和几何平均数的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= sqrt(ab)2.算术平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：(a+b)/2 >= 2ab/(a+b)3.几何平均数和谐均值的不等式：即对于任意非负数a和b，有以下不等式成立：sqrt(ab) >= 2ab/(a+b)根据这些基本不等式，可以进一步推导一系列其他类型的不等式。

二、基本不等式的应用实例1.求函数的极值：当函数的取值范围为非负数时，可以通过基本不等式推导出函数的最大值或最小值。

2.解决几何问题：例如，求解三角形的最大面积或最短边长等问题时，可以利用基本不等式来推导和证明相关的不等式。

3.证明数学定理：基本不等式可以作为证明数学定理的重要工具，例如，证明柯西-施瓦茨不等式和霍尔德不等式等。

三、基本不等式的技巧和窍门1.设想数学模型：在使用基本不等式时，可以通过设想合适的数学模型来降低问题的复杂性，从而更容易利用基本不等式进行推导和证明。

2.利用对称性和等价变形：基本不等式通常具有对称性和等价变形的特点，可以根据这些特点对给定的问题进行适当的变形，从而使得不等式的应用更为简单和直观。

3.运用递归和数学归纳法：对于一些复杂的不等式问题，可以通过递归和数学归纳法的思想，将复杂问题分解为简单的基本情况，然后利用基本不等式进行递推和证明。

4.运用等比数列的性质：在一些涉及等比数列的不等式问题中，可以通过运用基本不等式的几何平均数和谐均值不等式来简化问题，从而得到更简洁的推导和证明过程。

总结起来，基本不等式是一种重要的数学工具，能够帮助解决各种求极值的问题。

在应用基本不等式时，需要灵活运用各种技巧和窍门，根据具体的问题和数学模型进行变形和推导。

通过学习和掌握基本不等式的应用，可以提高解决数学问题的能力和思维能力。

高中数学基本不等式的巧用

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

【试卷】高中数学基本不等式的巧用

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。