函数的单调性与最值 课件.ppt

与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围
是( D )
A．(－1,0)
B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)
D．(0,1]
[解析] f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上 为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数， 所以a＋1>1，即a>0，故0<a≤1.
和最小值分别是__－__27_，__－__23___．
(2)[教材习题改编]f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间
为__[_1_,_4_] __，f(x)max＝____8____.
1.常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函 数．
函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间是____(－__∞__，__1_]____；函 数y＝1x的单调递减区间是___(_－__∞__，_0_)_，__(_0_，__＋__∞__) _________．
[题点发散1] 若将本例(2)中函数变为“f(x)＝|－x2＋2x＋ 1|”，如何求解？
解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－ 2，1)和(1＋ 2，＋∞)；
2
函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，故选C.
(2)求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间． [解] 由于y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥<00，， 即y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ <00. ， 画出函数图象如图所示．
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－ 1,0]和[1，＋∞)．
单调性易错点：单调性是区间内的性质． 函数f(x)＝x2－1在定义域内__没__有____单调性．(填“有”或 “没有”)
解析：虽然函数在区间(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞) 上是增函数，但不能说函数在定义域内为单调函数，函数的单 调区间是函数定义域的子集，定义域不一定是函数的单调区 间．
Байду номын сангаас
[典题1] (1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x2＋2ax
(1)[教材习题改编]函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上
是减函数，则( D )
A．k>12
B．k<12
C．k>－12
D．k<－12
(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是 ____减____函数．(填“增”或“减”)
解析：当k＜0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是减函数．
必考部分
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.2 函数的单调性与最值
考纲展示► 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.
考点1 函数单调性的判断(证明)
单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某
定 个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
(2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1,1) 上的单调性．
[解] 解法一(定义法)： 设－1<x1<x2<1，f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1， 由于－1＜x1＜x2＜1，
[点石成金] 判断函数单调性的方法 (1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论． (2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则 这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相 反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． (3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象 逐渐下降，单调递减． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
[典题2] (1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)＝log1 (x2－x－
2
2)的单调递增区间为( C )
A.－∞，12
B．12，＋∞
C．(－∞，－1) D．(2，＋∞)
[解析] 由x2－x－2>0得x<－1或x>2，又u＝x2－x－2在(－
∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log 1 u为减
解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得．
2．复合函数的单调性：同增异减． 函数f(x)＝log1 (x2－1)的单调递增区间是_(_－__∞__，__－__1_)_．
2
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求 区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－ 1)．
考点2 求函数的单调区间
单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是__增_函__数___或__减_函__数___，那么就 说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区__间__D__叫做函 数y＝f(x)的单调区间．
(1)[教材习题改编]函数f(x)＝
2 x－1
在[－6，－2]上的最大值
义 当x1<x2时，都有
当x1<x2时，都有
____f(_x_1_)<_f_(_x2_)___，那么就说 __f_(x_1_)>__f(_x_2)__，那么就说函
函数f(x)在区间D上是增函数 数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是 _上__升__的___
自左向右看图象是 _下__降__的___
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上 单调递增．
解法二(导数法)： f′(x)＝axx′－1x－ 2 1－axxx－－112′ ＝ax－x－11－2 ax＝－x－a12. 当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．