高三数学精品习题集全套[含各章节]人教版 数学归纳法doc

数列的通项以及用归纳法证明不等式

例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记

.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：

（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；

（2）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．

分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．

解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，

,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a

))(())()((121231212

a a a a a a a a a a A n n n n n n

---=∴ .22

,2)21(n n n n A =∴=⨯=

2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列，

,3211=+=+∴n b b

.2

3

2)(1n n b b B n n =+=

∴ 所以数列}{n A 的通项2

2n

n A =，数列}{n B 的通项.2

3n B n =

（2）,4

9,2,23,22222

n B A n B A n n n n n n ==∴=

= 要比较n A 与n B 的大小，只需比较2

2n

n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与24

9n 的大小． 当7=n 时，41110494949,12822=⨯==n n ，知.4

922n n

>

经验证，9,8==n n 时，均有2492n n >成立，猜想，当7≥n 时有,4

922n n

>下面用

数学归纳法证明：

（ⅰ）7=n 时已证2

4

92n n

>

（ⅱ）假设)7(≥=k k n 时不等式成立，即2

4

92k k

>

，好么

].1)2()1[(4

9

]12)1[(4949222222221--++=-=++=⋅>⋅=+k k k k k k k k k

,)1(4

9

]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722+>--++∴>--≥-∴≥k k k k k k k k k 故

21)1(,4

9

2+>+k k ．即1+=k n 时不等式也成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）当7≥n 时，24

92n n

>成立，即.,22n n n n B A B A >∴>

说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．

猜想数列通项、利用归纳法证明不等式

例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,12

1 =+-=+n na a a n n n

（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式； （2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（ⅰ）;2+≥n a n （ⅱ）

.2

1

11111121≤++++++n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解

决问题的能力．

解：（1）由21=a 得,3112

12=+-=a a a

由,32=a 得,41222

23=+--a a a 由43=a ，得.51332

34=+-=a a a

由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1≥+=n n a n （2）（ⅰ）用数学归纳法证明： ①当213,11+=≥=a n ，不等式成立． ②假设当k

n =时不等式成立，即2

+≥k a k ，那么，

,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k 也就是说，当1+=k n 时，.2)1(1=+≥+k a k

根据①和②，对于所有1≥n ，有.2+≥n a n （

ⅱ

）

由

1

)(1+-=+n a a a n n n 及（ⅰ），对

2

≥k ，有

,121)121(1)1(1111+=++-+-≥++-=----k k k k k a k k a k a a k ……

.1)1(2122211211-+=++++≥∴+-+a a a k k k k

于是

,2,2

1

111111≥⋅+≤+-k a a k k

∑=+++≤+n

k k

a a a 11111

1111

∑=-+=

n

k k a 21

1

11

2

1

∑=-=+≤+≤

n k k a 1

11

.2

1

312122

1

说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k 成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．

数列与归纳法的综合题

例 设0a 为常数，且)(2311

+--∈-=N n a a n n n

（Ⅰ）证明对任意;2)1(]2)

1(3[5

1,101

a a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=≥-

（Ⅱ）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围．

分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

证明：（Ⅰ）证法一：（1）当1=n 时，由已知0121a a -=，等式成立． （ⅱ）假设当)1(≥=k k n 等式成立，即].)1(2)1(3[5

1

01

a a a k k k k k k -+-+=-

那么.2)1(]2)1(3[5

2323111a a a k k k k k

k

k k

k +-+---+-

=-= ].)1(2)1(3[5

1

0111a k k k k +++-+-+= 也就是说，当1+=k n 时，等式也成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）可知

证法二：如果设).3(231

1----=-n n n n a a αα 用11

23---=n n n a a 代入，可解出.5

1=

a