2019-2018-2019学年浙教版九年级数学下册习题课件：2.3 三角形的内切圆 (共12张PPT)-文档资料
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
浙教版数学九年级下册1.3《解直角三角形》说课稿2
浙教版数学九年级下册1.3《解直角三角形》说课稿2一. 教材分析《解直角三角形》是浙教版数学九年级下册第1.3节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和计算方法的基础上进行讲解的。
通过这部分的学习，学生能够了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，进一步理解和掌握三角函数的概念和应用。
教材中通过具体的例题和练习题，引导学生运用锐角三角函数的知识，解决直角三角形的问题。
这部分的内容在实际生活和工作中有着广泛的应用，比如在测量和建筑领域，解直角三角形的方法是解决实际问题的重要工具。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念和计算方法已经有了一定的了解。
但是，解直角三角形的方法和解题思路可能还没有完全掌握，需要通过实例和练习来进行进一步的引导和训练。
三. 说教学目标通过本节课的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，能够运用锐角三角函数的知识解决直角三角形的问题。
同时，通过解决实际问题，培养学生的解决问题的能力和创新思维。
四. 说教学重难点本节课的重点是让学生掌握解直角三角形的方法，难点是如何引导学生运用锐角三角函数的知识解决直角三角形的问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲解法、引导法、实践法等教学方法。
通过具体的例题和练习题，引导学生运用锐角三角函数的知识，解决直角三角形的问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT等，来进行辅助教学，使学生更加直观地理解和掌握解直角三角形的方法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对解直角三角形的兴趣。
2.讲解：讲解直角三角形的性质，讲解解直角三角形的方法。
3.实践：让学生通过具体的例题和练习题，运用锐角三角函数的知识，解决直角三角形的问题。
4.总结：总结解直角三角形的方法和步骤，引导学生理解和掌握。
5.拓展：通过解决实际问题，培养学生的解决问题的能力和创新思维。
2.3 三角形的内切圆-2020浙教版九年级数学下册习题课件(共25张PPT)
1．如图 2－3－1，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点 O 是△ABC 的( B )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
图2－3－1
2.如图 2－3－2，已知△ABC 的内切圆⊙O 与各边分别相切于点 D，E，F，那么点 O
＋
BC)
，
∴r
＝
AC·BC AB＋AC＋BC
＝8＋8×151＋517＝3，∴直径为
6
步．故选 C.
第9题答图
10．[2018·威海]如图 2－3－9，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连结 AE，BE，则∠AEB 的度数为__1_3_5__°_．
图 2－3－9
第 7 题答图
8．如图 2－3－7，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，∠C＝90°，BC ＝3，AC＝4. (1)求△ABC 的面积； (2)求⊙O 的半径； (3)求 AF 的长．
图 2－3－7
解：(1)∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝12×3×4＝6； (2)如答图，连结 OE，OD，OF. ∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D，E，F 为切点， ∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC. 又∵∠C＝90°，OD＝OE， ∴四边形 ECDO 为正方形， 设 OE＝OD＝CE＝CD＝x， 则 EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x.
(2)∵AC＝AB，CE＝BE，
∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，∴FM＝DM，AE⊥DF，
∴AE 过圆心 O，DF∥BC，
∴AF∶AC＝DF∶BC，即 4∶6＝DF∶4，
浙教版数学九年级下册1.3.3解直角三角形 课件(共15张PPT)
那什么是仰角？什么是俯角呢？
导入新知
如图， 在进行测量时，从 下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角；
仰角 俯角
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 【分析】（1）C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹 角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹 角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2） 易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得 BE和DE，求和即可.
拓展延伸 1.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟 从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶 部仰角是450,而大厦底部的俯角是370, 求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m).
分析:结合仰角与俯角理解图形，先过点A作AE⊥CD于 E，可得四边形ABCE是矩形，可得BC=AE,然后分别解 两个直角三角形，可得大厦的高度.
新知讲解
问题2：如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验 楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯 角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m. （结果精确到0.1m.参考数据： tan20°≈0.36,tan18°≈0.32） (2)求教学楼的高BD .
解：（2）由已知得CE=AB=30（m）, 在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)， 在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)， ∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）. 答：教学楼的高为20.4m.
1.3 解直角三角形（3）
—— 仰角与俯角
浙教版
九年级下
导入新知
复习回顾： 堤坝横断面的问题实质是解有关梯形的计算问题，利 用坡度可以把有关线段分别与梯形的高建立联系，从 而求解. 某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 2 m，则此人的垂 直高度增加了____________m . 310
2019-2020年浙教版九年级下册数学讲解课件：2.2 切线长定理
解题指导
【例 1】 (2017·湖州)如图 2-2-2，O 为 Rt△ABC 的直角边 AC
上的一点，以 OC 长为半径的⊙O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA
于点 E.已知 BC＝ 3，AC＝3.
(1)求 AD 的长．
(2)求图中阴影部分的面积．
【解析】 (1)在 Rt△ABC 中，∵BC＝ 3，AC＝3，∴AB＝ AC2＋BC2＝2 3.
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【例 3】 如图 2-2-4，直线 AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，且 AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求： (1)∠BOC 的度数． (2)BE＋CG 的长． (3)⊙O 的半径． 【解析】 (1)如解图，连结 OF，根据切线长定理，得 BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°. (2)由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理，得 BC＝ OB2＋OC2＝10 cm， (∴3)B∵EO＋FC⊥GB＝CB，F∴＋OCFF＝＝OBBCB·＝CO10C＝cm4..8 cm， 即⊙O 的半径为 4.8 cm. 【答案】 (1)90° (2)10 cm (3)4.8 cm
OA＝OE， 在 Rt△AOC 和 Rt△EOC 中，∵
OC＝OC，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)， ∴∠COA＝∠COE. 同【理答可案得】∠D(1O)1E2＝∠(2)D6O5°B.∴∠DOC＝12∠AOB＝65°.
反思
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分这两条切线的夹角．
2020—2021年浙教版九年级数学下册《三角形的内切圆》单元考点练习及答案解析五.docx
2．3 三角形的内切圆1. 等边三角形内切圆的半径r 与它外接圆的半径R 的比值为12．2．直角三角形的两条直角边长分别为3 cm 和4 cm ，则它的外接圆的半径是__2.5__ cm ，内切圆的半径是__1__ cm.3．如果一个三角形的周长为10，面积为S ，内切圆的半径为r ，那么r ∶S ＝__1∶5__． 4．三角形的内心具有的性质是(B) A ．内心到三个顶点的距离相等 B ．内心到三边的距离相等C ．内心是三角形三条垂直平分线的交点D．内心有可能在内切圆的外部(第5题)5．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C) A．EF>AE＋BFB．EF<AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF6．已知⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20cm，则AC的长为(C)A．40cm B．35cmC．20 3cm D．18 3cm7．已知等腰直角三角形的外接圆半径为5，则内切圆半径为(C)A．5 2＋5 B．12 2－5C．5 2－5 D．10 2－108．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是点D，E，F，且∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4.求∠DEF∶∠EDF∶∠EFD.(第8题)【解】 连结OE ，OF ，则∠BEO ＝∠BFO ＝90°， ∴∠EOF ＝360°－90°×2－180°×39＝120°，∴∠EDF ＝60°.同理，∠DEF ＝70°，∠EFD ＝50°. ∴∠DEF ∶∠EDF ∶∠EFD ＝70°∶60°∶50° ＝7∶6∶5.9．如图，等边△ABC 的内切圆⊙O 面积为9π，求△ABC 的周长l.(第9题)【解】 设等边△ABC 与内切圆⊙O 的切点分别为E ，F ，G ，如图所示，连结OB ，OF. ∵⊙O 的面积为9π，∴OF ＝3.∵△ABC 为等边三角形， ∴AB ＝BC ＝CA ，∠ABC ＝60°. ∵BE ，BF 都是⊙O 的切线， ∴BE ＝BF ，∠OBF ＝12∠ABC ＝30°.∵OF ⊥BC ，∴BF ＝3 3.同理，CF ＝33，即BC ＝63.∴△ABC 的周长l ＝3×6 3＝183.10．如图，已知点E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交BC 于点F ，且与△ABC 的外接圆交于点D.(1)求证：DE ＝DB ＝DC ；(2)若AD ＝8 cm ，DF ∶FA ＝1∶3，求DE 的长．(第10题)【解】 (1)∵点E 是△ABC 的内心， ∴∠4＝∠5，∠2＝∠3. 又∵∠1＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠1＝∠6，∴BD ＝CD. ∵∠DBE ＝∠1＋∠2， ∠DEB ＝∠3＋∠4， ∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DB ＝DE. ∴DE ＝DB ＝CD.(2)∵DF ∶FA ＝1∶3，∴DF ∶AD ＝1∶4. ∴DF 8＝14，∴DF ＝2. ∵∠BDF ＝∠ADB ，∠1＝∠5＝∠4， ∴△DBF ∽△DAB ， ∴DB DA ＝DF DB，∴DB 2＝DA ·DF. ∴DB 2＝8×2＝16，∴DE ＝DB ＝4 cm.(第11题)11．如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝12cm ，BC ＝16cm.⊙O 1，⊙O 2分别为△ABC ，△ADC 的内切圆，点E ，F 为切点，则EF 的长是__4__cm. 【解】 由勾股定理可求得AC ＝20.由r ＝a ＋b －c 2可得O 1E ＝4.由AE ＝AB －r ，得AE ＝8.同理，FC ＝8. ∴EF ＝AC －AE －FC ＝4.(第12题)12．如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6.经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别交于点P ，Q ，则线段PQ 的长度的最小值为(B) A ．4.75 B ．4.8 C ．5 D ．4.2 【解】 设AB 与动圆切于点D.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∴PQ 为动圆直径．∴当CD 为动圆直径时，动圆直径最小，而此时CD ＝6×810＝4.8，∴PQ ＝CD ＝4.8.(第13题)13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连结BD，DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．【解】(1)∵AI和BI分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴BD＝CD，∠DBC＝∠2＝∠1.∵∠DBI＝∠DBC＋∠4，∠DIB＝∠3＋∠1.又∵∠3＝∠4，∠DBC＝∠1，∴∠DBI＝∠DIB.∴BD＝DI.∴DB＝DC＝DI.(2)∵∠BAC＝120°，∴∠1＝∠2＝∠BCD＝60°.∵BD＝DC，∴△DBC是正三角形．∵⊙O的半径为10 cm，即BO＝DO＝CO＝10 cm，∴BD＝10 3cm.∴S△BDC＝34×(10 3)2＝75 3(cm2)．14．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝5，sin ∠BAC ＝45，点I 为三角形ABC 的内心，AB ＝BC ，求AI 的长．(第14题)【解】 连结CI ，BI ，且延长BI 交AC 于点F ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ，IE ⊥AB 于点E. ∵AB ＝BC ＝5，点I 为△ABC 的内心， ∴BF ⊥AC ，AF ＝CF.在Rt △ABF 中， ∵sin ∠BAC ＝45＝BFAB，∴BF ＝4.∴AF ＝BA 2－BF 2＝3， ∴AC ＝6.∵点I 是△ABC 的内心，IE ⊥AB ，IF ⊥AC ，IG ⊥BC ， ∴IE ＝IF ＝IG.∴S △ABC ＝12(AB ＋AC ＋BC)·IF ＝12AC ·BF ，∴IF ＝AC ·BF AB ＋AC ＋BC ＝6×45＋5＋6＝32，∴AI ＝AF 2＋IF 2＝325.。
1.3 解直角三角形 课件1(数学浙教版九年级下册)
牛刀小试，我能行
2、 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望 塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处, 测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽 略不计,结果精确到1m).
解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m. 设 CD=xm,则∠ADC=600,∠BDC=300, 在Rt△ADC中 tan∠ADC = AC
初三（2）全体同学
船有触礁的危险吗
A N B
·
R M P
Q C
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
第四节 船有触礁的危险吗 第1课时
新世界中英文学校
授课人朱明福
想一想
船有触礁的危险吗
例：海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西600的B 处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西300的C 处.之后,货轮继续向东航行 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
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北
A
·
东
B
20
C
D
想一想
实践出真知
• 1、如图海中有一小岛P，在距离P处 8 2海里范围内有暗礁，一 轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°方向， 且AP间的距离为16海里，若轮船继续向东航行，请计算轮船有 无触礁危险？如有危险，轮船自A处开始，至少沿东偏南多少度 方向航行才能安全通过这一海域？ 解
从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方 向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区 域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向 为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答， 如果不改变方向，输水路线是否穿过居民区？
2018-2019学年浙教版九年级数学下册习题课件：2.3 三角形的内切圆 (共12张PPT)
9．(12分)(教材P49例2变式题)△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于 点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，CE＝CD＝z cm.根据题意，得 x＋y＝9， x＝4， y＋z＝14，解得 y＝5，即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm x＋z＝13， z＝9，
角形． (1)请写出一个双圆四边形的名称：__正方形__； (2)如图②，已知四边形ABCD是双圆四边形，其内切圆与四条边相切于点E， F，G，H，且EG是内切圆的直径，交弦FH于点P，连结EF，FG.
①证：HF⊥GE.
解：(2)①取 EG 的中点 O，连结 OF.∵EG 为内切圆的直径，∴O 为内切圆的圆心，∠GFE ＝90°，OF⊥BC，OG＝OF＝40°，∴∠OFE＝50°，∴∠BFE＝40°.②连结 HG.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠D＋∠B＝180°.∵H，G，F，E 是切点，∴DG＝DH，BF＝BE.∴∠DHG ＝∠DGH，∠BEF＝∠BFE，∴∠D＋2∠DGH＝180°，∠B＋2∠EFB＝180°，∴2∠DGH＋2∠EFB ＝180°，∴∠DGH＋∠EFB＝90°.由①可知，∠EFB＝∠EGF，∠DGH＋∠HGE＝90°，∴∠HGE
点拨：连结AO，交EF于点G，连结OE，在Rt△OEG中求EG的长，从而可得EF的 长．
13．(12分)如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切 点分别为D，E，F. (1)求△ADE的周长；
(2)求内切圆的面积．
解：(1)∵AC＝AB＝10，BC＝12，圆 O 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，∴AF⊥BC，
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1.1锐角三角函数
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1.3解直角三角形
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第2章 直线与圆的位置关系
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浙教版九年级数学下册电子课本 课件【全册】目录
0002页 0042页 0118页 0137页 0213页 0258页 0324页
第1章 解直角三角形 1.2锐角三角函数的计算 第2章 直线与圆的位置关系 2.2切线长定理 第3章 投影与三视图 3.2简单几何体的三视图 3.4简单几何体的表面展开图
第1章 解直角三角形
浙教版数学九年级下册 1.1 锐角三角函数 课件(共25张PPT)
观察以上计算结果,你发现了什么?
sinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90）
tanA·tanB=1
(∠A+∠B=90）
B
c
a
┌
A
b
C
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
sin B b cos B a
c
c
tan B b a
如图，在△ABC中，若AB=5，BC=3，则下列结论正确
锐角A，A′的余弦值的关系为（ ） A
A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定 2．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，
且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（ C）
3 A．4
4 B．3
C．4 5
3
D．
5
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，
是关于锐角α的三角函数。
AB AB AC
B
A
C
锐角α的正弦，余弦和正切统称∠α的三角函数.
比值 BC 叫做∠α的正弦(sine)，记做sinα.
AB
BC
比值 AC
即sinα= AB
叫做∠α的余弦(cosine) ，记做cosα.
AB
即cosα= AC
AB 比值 叫做∠α的正切(tangent) ，记做tanα.
b，c，则下列各项中正确的是（ ） B
A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 2 ，则tanB等于（ ）
C
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教案1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，本节主要让学生了解三角形的内切圆的概念，性质及其在几何中的应用。
通过学习，学生能更好地理解三角形的内心，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基本概念和性质，对几何图形的认知有一定的基础。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和讲解让学生逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的定义及其性质。
2.学会运用三角形的内切圆解决相关几何问题。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的定义及其性质。
2.运用三角形的内切圆解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生探究、讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.课件、教案。
2.三角板、直尺、圆规等几何画图工具。
3.相关例题和练习题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过复习圆的定义和性质，引导学生思考：圆与三角形有什么联系？进而引入三角形的内切圆的概念。
2. 呈现（15分钟）利用课件展示三角形的内切圆的定义和性质，通过几何画图工具，演示内切圆的画法及其与三角形的关系。
同时，给出相关例题，让学生理解并掌握内切圆的性质。
3. 操练（15分钟）学生分组讨论，运用三角形的内切圆的性质解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）教师给出一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考：内切圆与三角形的内心有什么关系？内切圆在实际问题中的应用。
可以给出一些相关的几何问题，让学生探讨。
6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，让学生明确三角形的内切圆的定义、性质及其应用。
7. 家庭作业（5分钟）布置一些有关三角形的内切圆的练习题，让学生课后巩固所学知识。
(浙教版)九年级数学下册 同步备课系列专题2.3 三角形的内切圆(作业)
第2章直线与圆的位置关系2.3 三角形的内切圆一、单选题1．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值是（）A．4B．4C．4D．4【答案】B【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD＋PG转化为D′G找到最小值．【详解】取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．由以上作图可知，BG⊥EC于G．PD＋PG＝PD′＋PG＝D′G由两点之间线段最短可知，此时PD＋PG最小．∵D′C′＝8，OC′＝12∴D′O=∴D′G＝4∴PD＋PG的最小值为4故选B．【点睛】本题考查与圆有关的线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短． 2．如图，在O 中，AB 是直径，点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，CE AB ⊥于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点PQ ．连接AC ，关于下列结论：①BAD ∠= ABC ∠；②GP GD =；③点P 是ACQ ∆的外心，其中正确结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C【分析】 由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD ＝∠GDP ，利用等角对等边可得出GP ＝GD ，可知②正确；先由垂径定理得到A 为CF 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AF =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP ＝∠ACP ，利用等角对等边可得出AP ＝CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ ＝∠PQC ，得出CP ＝PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可知③正确；【详解】∵在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是弧AD 的中点，∴AC ＝CD ≠BD ，∴∠BAD ≠∠ABC ，故①错误；连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA ，∵∠ODA ＋∠GDP ＝90︒，∠EPA ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠GPD ＝90︒，∴∠GPD ＝∠GDP ；∴GP ＝GD ，故②正确；∵弦CF ⊥AB 于点E ，∴A 为CF 的中点，即AF AC =，又∵C 为AD 的中点，∴AC CD =，∴CD AF =，∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP ．∵AB 为圆O 的直径，∴∠ACQ ＝90︒，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 斜边AQ 的中点，∴P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确；故选C ．【点睛】此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．3．如图，把ABC ∆剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线l 上，点O 都落在直线MN 上，直线//MN l .在ABC ∆中，若130BOC ∠=︒，则BAC ∠的度数为（ ）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒【答案】C【分析】 首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+12∠BAC ，通过计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点O 分别作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵直线MN ∥l ，∴OD=OE=OF ，∴点O 是△ABC 的内心，点O 为三个内角平分线的交点，∴∠BOC=180-12（180-∠BAC ）=90°+12∠BAC=130°， ∴∠BAC=80°.故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形内心的性质及判定，利用平行线间的距离处处相等判定点O 是△ABC 的内心是解题的关键．4．一个等腰直角三角形的内切圆与外接圆的半径之比为（ ）A B ．2 C 1 D 1【分析】设等腰直角三角形的直角边是1．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径是22-；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径是2．所以它们21． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1；∵内切圆半径是22-，外接圆半径是2，1． 故选：D ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与外接圆的知识，解题的关键是熟记直角三角形外接圆的半径和内切圆的半径公式：直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半．5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？“其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，求直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径”则该圆的直径为（ ）A ．6步B ．5步C ．4步D ．3步【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，可确定出内切圆半径，即可求得直径．【详解】=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=815172+-=3（步），即直径为6步， 故选：A ．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，掌握Rt △ABC 中，三边长为a ，b ，c （斜边），其内切圆半径r=2a b c +-是解题的关键．6．下列关于三角形的内心说法正确的是（ ）A ．内心是三角形三条角平分线的交点B ．内心是三角形三边中垂线的交点C ．内心到三角形三个顶点的距离相等D ．钝角三角形的内心在三角形外【答案】A【分析】根据三角形内心定义即可得到答案.【详解】∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，∴A 正确，B 、C 、D 均错误，故选：A.【点睛】此题考查三角形的内心，熟记定义是解题的关键.7．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD ，BE ，CE ，若∠CBD=32°，则∠BEC 的度数为（ ）A ．128°B ．126°C ．122°D ．120°【答案】C【分析】 根据圆周角定理推论可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC ，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB ，再根据三角形内角和定理可求∠BEC 的度数．【详解】在⊙O 中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C ．【点睛】考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理推论，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB 的度数． 8．如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，84AOC ∠=，则E ∠＝( )A ．28B ．42C ．21D ．20【答案】A【分析】 根据示意图结合已知条件可得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠，因此，1804COD E ∠=︒-∠，即可得出180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠，计算即可得出答案．【详解】解：∵DE OB =∴DE OD =∴,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠∴1804COD E ∠=︒-∠∴180(18044)8E E =︒-∠-︒-∠∴28E ∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出,2E DOE OCD ODC E ∠=∠∠=∠=∠是解此题的关键．二、填空题9．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：ABC.求作：ABC 的内切圆．小明的作法如下：如图2，()1作ABC ∠，ACB ∠的平分线BE 和CF ，两线相交于点O ；()2过点O 作OD BC ⊥，垂足为点D ；()3点O 为圆心，OD 长为半径作O.所以，O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是______．【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答.【详解】解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质．10．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为________.【答案】1:2.5【解析】设三角形为△ABC，∵32+42=52，∴△ABC为直角三角形，∴外接圆的直径为5，∴外接圆的半径为2.5，设内切圆的半径为r，∵S△ABC=12，AB+BC+CA，•r，即12×3×4=12×，3+4+5，r，解得r=1，∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为1，2.5，故答案是，1，2.5，11．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为cm．【答案】r=103【解析】试题分析：如图，设，ABC的内切圆半径为r，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r 即可．试题解析：如图，，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，，BD=5cm ，，AD=12cm ，根据切线长定理，AE=AB -BE=AB -BD=13-5=8，设，ABC 的内切圆半径为r ，，AO=12-r ，，（12-r ）2-r 2=64，解得r=103．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等腰三角形的性质．12．如图，已知点O 是ABC ∆的内心，若120BOC ∠=，则A ∠=__________．【答案】60【分析】先利用120BOC ∠=，可求出∠OBC ＋∠OCB ，再利用三角形的内心即为三个内角角平分线的交点，可求出∠ABC ＋∠ACB ，然后就可求出∠A.【详解】∵120BOC ∠=∴∠OBC ＋∠OCB=180°－∠BOC=60°又∵点O 是ABC ∆的内心∴BO、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB∴∠ABC ＋∠ACB=2（∠OBC ＋∠OCB ）=120°∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=60°故答案为：60【点睛】此题考查的是三角形内心的定义和三角形内角和定理.13．如图，在O 中，弦4AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为__________．【答案】2【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可；【详解】如图，连接OD ，∵CD ⊥OC ，∴∠DCO=90︒，∴CD当OC 的值最小时，CD 的值最大，OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，∴CD=CB=12AB=2，即CD 的最大值为2； 故答案为：2.【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.14．在ABC ∆中，70A ∠=︒，若O 为ABC ∆的外心，则BOC ∠=______度；若O 为ABC ∆的内心，则BOC ∠=______度.【答案】140 125【分析】若O 为ABC ∆的外心，根据圆周角定理，即可求解；若O 为ABC ∆的内心，根据内心是角平分线的交点，再结合三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：如图一，点O 是三角形的外心．根据圆周角定理，得∠BOC=2∠A=140°；如图二，点O 是三角形的内心．∴BO 、CO 平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-12（∠ABC+∠ACB ） =180°-12（180°-∠A ） =90°+12∠A=125°．故答案为140，125．【点睛】本题考查三角形外心和内心的定义，熟练掌握圆周角定理，熟记内心为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．三、解答题15．如图，点D 是ABC 外接圆的圆心，点O 是ABC 内切圆的圆心，已知110A ∠=︒，求BOC ∠和BDC ∠的度数．【答案】145BOC ∠=︒，140BDC ∠=︒【分析】如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH 由圆的内接四边形的性质求解H ∠， 再利用圆周角定理求解,BDC ∠ O 为ABC 的内心，可得,OB OC 分别平分,,ABC ACB ∠∠结合三角形的内角和定理可得()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，再利用内角和定理可得BOC ∠的大小． 【详解】解：如图，在D 上取点H ，连接,,BH CH四边形ABHC 为D 的内接四边形，110A ∠=︒，18011070H ∴∠=︒-︒=︒，2140,BDC H ∴∠=∠=︒O 为ABC 的内心，,OB OC ∴分别平分,,ABC ACB ∠∠11,,22OBC ABC OCB ACB ∴∠=∠∠=∠ ()()1118022OBC OCB ABC ACB A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠ ()1180110352=⨯︒-︒=︒， ()180********.BOC OBC OCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．16．如图所示,AB 为☉O 的直径,CD 是☉O 的弦,AB ,CD 的延长线交于点E ,已知AB=2DE ,∠AEC=20°.求∠AOC 的度数.【答案】∠AOC=60°.【分析】连接OD ，如图，由AB，2DE，AB，2OD 得到OD，DE ，根据等腰三角形的性质得∠DOE，∠E，20°，再利用三角形外角性质得到∠CDO，40°，加上∠C，∠ODC，40°，然后再利用三角形外角性质即可计算出∠AOC，【详解】解:连接OD.∵AB=2DE ,AB=2OD ,∴OD=DE ,∴∠DOE=∠E=20°,∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°,∵OC=OD ,∴∠C=∠ODC=40°,∴∠AOC=∠C+∠E=60°.【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．17．如图，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，DC AB ⊥于点C .（1）如图①，连接,OD BD ，若点C 是AO 的中点，求ODB ∠的大小；（2）如图②，过点D 作O 的切线，交AB 的延长线于点E ，DF OE 交O 于点F ，且DF OE =.若O 的半径为2，求CE 的长.【答案】（1）30°；（2【分析】（1）连接AD ，根据已知条件可得出AD=OD=OA ，因此，AOD 是等边三角形，得出DAO 60∠=︒，继而得出30ODB OBD ∠=∠=︒；（2）连接, OF OD ，可得四边形OFDE 为平行四边形，有2OF OD DE ===，DE 为圆的切线，90ODE ∠=︒，因此，ODE 为等腰直角三角形，可求出OE 的值，进一步求出CE 的长．【详解】解：（I ）如图，连接AD ，∵点C 是AO 的中点，∴AC OC =，∵DC AB ⊥，∴AD OD =，∵OA OD =，∴OA OD AD ==，∴AOD △为等边三角形，∴60AOD ∠=︒，∴30OBD ∠=︒，∵OB OD =，∴30ODB OBD ∠=∠=︒．（2）如图，连接, OF OD ，∵DE 为O 的切线，∴90ODE ∠=︒，∵,DF OE DF OE =，∴四边形OFDE 为平行四边形，∴2OF OD DE ===，∴ODE 为等腰直角三角形，∴OE =∵DC AB ⊥，∴12CE OE == 【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有圆的切线的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等，属于容易题，失分原因：（1）不能根据AC OC =判断出AOD △是等边三角形；（2）不能正确的作出辅助线证明四边形OFDE 是平行四边形；未能掌握等腰直角三角形的性质． 18．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．【分析】作AD BC ⊥，根据勾股定理求解ABC S，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可． 【详解】如图，作AD BC ⊥，设BD x =，则8CD x =-，由勾股定理可知：2222AB BD AC CD -=-，则()2225498x x -=--，解得52x =，则2AD =，故11822ABC S BC AD ==⨯=△ 由三角形的内切圆性质，可得：()12ABC S r AB BC AC =++△2578ABC S r AB BC AC ∴===++++△．【点睛】本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键． 19．在同一平面直角坐标系中有6个点：A （1，1），B （−3，−1），C （−3，1），D （−2，−2），E （−2，−3），F （0，−4）．（1）画出△ABC 的外接圆P ，则点D 与P 的位置关系___；（2）△ABC 的外接圆的半径=___，△ABC 的内切圆的半径=___．（3）若将直线EF 沿y 轴向上平移，当它经过点D 时，设此时的直线为1l ，则直线1l 与⊙P 的位置关系____【答案】（1）见解析，在圆上；（2）△ABC ABC 的内切圆的半径：3（3）直线与圆相交【分析】（1）分别找出AC 与BC 的垂直平分线，交于点P ，即为圆心，求出AP 的长即为圆的半径，画出圆P ，如图所示，求出D 到圆心P 的距离，与半径比较即可做出判断；（2）求出三角形ABC 的外接圆半径，内切圆半径即可；（3）根据图形及直线与圆的位置关系即可判断．【详解】（1）画出△ABC 的外接圆P ，如图所示，∵DP r ===，∴点D 与P 的位置关系是点在圆上；故答案为：在圆上；（2）△ABC 的外接圆的半径AP ABC 的内切圆的半径为242+-3=3（3）画图之后由网格图得，直线与圆相交故答案为：相交． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．20．如图，在ABC 中，8AB =，6AC =，O 是其内部一点，AO 平分BAC ∠，连接OC ，在AB 上取一点D ，使6AD =，连接OD ．（1）求证：ADO △△ACO △；（2）若130AOD ∠=︒，连接CD ，求OCD ∠的度数；（3）若O 是ABC 的内心，过O 作OM BC ⊥于M ，求CM 的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）40︒；（3）06CM <<．【分析】（1）由SAS 证明三角形全等；（2）根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，解得100DOC ∠=︒，再由等腰三角形等边对等角的性质解题即可；（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，由于三角形内心是三角形三个内角平分线的交点，可知OCN OCM ∠=∠，再由ASA 证明OCN ，OCM ，最后有全等三角形对应边相等的性质，解得CN CM =，同理解得BM BQ =，AN AQ =，根据三角形三边关系解出答案即可．【详解】解：（1）证明：，6AD AC ==，DAO CAO ∠=∠，AO AO =，，ADO △，ACO △．（2），ADO △，ACO △，，OD OC =，130AOD AOC ∠=∠=︒，，100DOC ∠=︒，，OD OC =，，40OCD ODC ∠=∠=︒．（3）过O 作ON AC ⊥于N ，OQ AB ⊥于Q ，，O 是ABC 的内心，，OCN OCM ∠=∠，，OC OC =，90ONC OMC ∠=∠=︒，，OCN ，OCM ，，CN CM =．同理可得BM BQ =，AN AQ =，，AN CN CM BM BQ AQ AB BC AC +++++=++，，22CM AB AB AC BC +=++，，22BC CM =+，，214BC <<，，22214CM <+<，，06CM <<【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内心的性质、等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。
浙教版九年级数学下册课件 1.2.1 利用计算器求三角函数值
12 1 sin 35。 cos 35。
28.7(cm);
知1－讲
（来自《点拨》）
∴△ABC的面积
1 AB BC 2
1 AB cos A AB sin A 2
1 AB2 sin A cos A 2
1 122 sin 35。 cos 35。 2
知1－讲
33.8(cm2 ).
答：△ABC的周长约为28.7cm，面积约为33.8cm2.
（来自《点拨》）
1 计算下列各式： (1) sin25°+cos65°（精确到 0.0001). (2) sin 36°• cos 72°（精确到 0.0001 ). (3) tan 56°• tan 34三角函数值求锐角的度数与已知锐角求三角 函数值的过程是互逆的，由锐角三角函数值求锐角的度 数时应先按SHIFT键，一定要注意结果所要求的单位．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知下列三角函数值，求锐角α、β、γ的大小
(精确到1〃). (1) sin α =0.708 3, sin β =0.937 1, sin γ =0.246 0. (2) coso α =0.829 0, cos β =0.761 1, cos γ =0.299 6. (3) tan α =0.331 4, tan β =2.232 0, tan γ =31.8182.
0.743 144 825
tan 85° sin 72°38′25″
sin 35°29′
tan85= sin 72°′″38°′″25°′″＝
sin 35°′″29°′″＝
11.430 052 3 0.954 450 312 0.580 466 114
+2.3《三角形内切圆》课件+2023-2024学年浙教版九年级数学下册
（3）. 内心在三角形内部.
D
C
典例精析
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC
的内切圆半径.
C
解：设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
O
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∠BOC的度数为 130° .
作业布置
【综合拓展类作业】
=
6.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若
，如图①
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.
=
，
∵
∴∠EOF＝∠EOD
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，
∴FM＝DM，AE⊥DF，
课堂练习
5. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，
BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
设AF=xcm，则AE=xcm.
A
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
F
E
O
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计1一. 教材分析《三角形的内切圆》是浙教版数学九年级下册第2.3节的内容，主要介绍了三角形的内切圆的概念、性质和求法。
本节内容是在学生掌握了圆的定义、性质以及切线的性质的基础上进行的，是学生进一步学习几何图形的内在联系的重要环节。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形的基础知识，对圆的定义和性质有一定的了解。
但对于三角形的内切圆这一概念，学生可能较为陌生，因此需要教师通过生动的例子和形象的图形，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形的内切圆的概念，掌握其性质。
2.学会求解三角形的内切圆的方法。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的内切圆的概念和性质。
2.求解三角形的内切圆的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。
通过生动的例子和形象的图形，引导学生探索和发现三角形的内切圆的性质，从而达到理解并掌握知识的目的。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。
2.准备一些实际的三角形案例，以便进行案例分析。
3.准备小组合作的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的三角形案例，引导学生思考三角形的内切圆的概念。
例如，可以给学生展示一个三角形，然后问学生：“如果在这个三角形的内部画一个圆，使得这个圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆叫做什么？”2.呈现（15分钟）在学生对三角形的内切圆有了初步的理解之后，教师可以呈现一些三角形的内切圆的图形，让学生观察和思考，引导学生发现三角形的内切圆的性质。
例如，可以让学生观察以下图形，并回答以下问题：(1)三角形的内切圆与三角形的三条边有什么关系？(2)三角形的内切圆与三角形的内心有什么关系？3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作，进一步理解和掌握三角形的内切圆的性质。
可以给学生发放一些实际的三角形案例，让学生用直尺和圆规画出三角形的内切圆，并观察和分析三角形的内切圆的性质。
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计2
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计2一. 教材分析浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》是三角形内切圆相关知识的学习，是对三角形内心的深入研究。
本节内容通过探究三角形的内切圆的性质，让学生理解三角形的内心与内切圆的关系，掌握三角形的内切圆圆心、半径的求法，提高学生的几何思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的内心的性质，对三角形内心的概念、性质和判定有一定的了解。
但学生对三角形内切圆的理解可能还存在一定的困难，需要通过实例分析、小组讨论等方式，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生理解三角形的内切圆的概念，掌握三角形的内切圆圆心、半径的求法。
2.培养学生的几何思维能力，提高学生解决几何问题的能力。
3.培养学生合作学习的习惯，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.三角形内切圆的概念及其性质。
2.三角形的内切圆圆心、半径的求法。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的三角形例子，让学生观察、分析，理解三角形的内切圆的性质。
2.小组讨论法：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
3.引导发现法：教师引导学生发现三角形内切圆的性质，培养学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示三角形内切圆的性质和实例。
2.教学素材：准备一些具体的三角形例子，用于讲解和分析。
3.学生活动材料：准备一些练习题，让学生进行实践操作和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形内心的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示三角形内切圆的性质和实例，让学生观察、分析，理解三角形的内切圆的概念。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享学习心得，互相解答疑问。
教师引导学生发现三角形内切圆的性质，培养学生的几何思维能力。
4.巩固（10分钟）教师发放练习题，让学生进行实践操作，巩固所学知识。
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谢谢！
10．(4分)如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点
C
E，F，则下列判断正确的是( )
A．EF＞AE＋BF
B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF
D．EF≤AE＋BF
12.(4分)如图，正方形ABCD的边长AB＝8，半径为3的⊙O与边AB，AD相切，
2 7 与对角线BD相交于点E，F，则EF的长为______
1 7．(4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，△ABC的周长等于12，它的
内切圆的半径为____．
8．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC， CA分别相切于点D，E，F. (1)求证：BE＝CE；
(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．
AD＝AE，∴BF＝CF＝6，BD＝BF＝CF＝CE＝6，∴AD＝AE＝4.∵AD＝AE，AB＝AC，∴AD＝AE， AB AC
∴DE∥BC.∴DE＝AD＝ 4 ＝2，∴DE＝2×12＝24，∴△ADE 的周长为 4＋4＋24＝64.
BC AB 10 5
55
55
(2)连结 AF，OD.由(1)，得 AF＝ AB2－BF2＝ 102－62＝8，设 FO＝r，则 AO＝8－r，∵OD2
解：(1)证明：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为 D，E，F.∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF. ∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即 BD＝CF，∴BE＝CE.
(2)连结 OD，OF，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为 D，E，F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝ 90°.又∵OD＝OF，∴四边形 ODAF 是正方形．设 OD＝AD＝AF＝r，则 BE＝BD＝CF＝CE＝2－r， 在△ABC 中，∠A＝90°，∴BC＝ AB2＋AC2＝2 2，又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝ 2 2，解得 r＝2－ 2.∴⊙O 的半径是 2－ 2.
∠BIE＝∠BAD＋∠ABI＝∠CAD＋∠IBD＝∠IBD＋∠DBE＝∠IBE，∴IE＝BE.
(2)在△BED 和△AEB 中，∠EBD＝∠CAD＝∠BAE，∠BED＝∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴BE AE
DE
BE2
＝ .∵IE＝4，AE＝8，∴BE＝4.∴DE＝ ＝2.
BE
AE
【拓展创新】 15．(14分)定义：既有外接圆，又有内切圆的凸多边形叫做双圆多边形．如 图①，⊙O1是△ABC的外接圆，⊙O2是△ABC的内切圆，则△ABC就是双圆三
点拨：连结AO，交EF于点G，连结OE，在Rt△OEG中求EG的长，从而可得EF的 长．
13．(12分)如图，在△ABC中，AC＝AB＝10，BC＝12，圆O内切于△ABC，切 点分别为D，E，F. (1)求△ADE的周长；
(2)求内切圆的面积．
解：(1)∵AC＝AB＝10，BC＝12，圆 O 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，∴AF⊥BC，
9．(12分)(教材P49例2变式题)△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于 点D，E，F，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，设 AE＝AF＝x cm，BF＝BD＝y cm，CE＝CD＝z cm.根据题意，得 x＋y＝9， x＝4， y＋z＝14，解得 y＝5，即 AF＝4 cm，BD＝5 cm，CE＝9 cm x＋z＝13， z＝9，
第2章 直线与圆的位 置关系
2．3 三角形的内切圆
浙教版·九年 级下册
1．(4分)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，FC，那么 点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点 B．三条高线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2．(4分B)如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.若∠ABC＝40°， ∠ACB＝60°，连结OE，OF，则∠EOF为( ) A．80° B．100° C．120° D．140° D
3．(4分)如图所示，已知△ABC的内心为点O，∠BOC＝120°，则∠A等于 ()
A．45° B．50° C．55° D．60°
5．(4分)在△ABC中，∠A＝80°，若O为外心，M为内心16，0°则∠BOC＝1_3_0_°____， ∠BMC＝_______．
6．(4分)如图，在13R5t°△ABC中，∠ACB＝90°，I为Rt△ABC的内心，过点I作 ID∥BC，交斜边AB于点D，连结CI，则∠CID＝_______．
＋AD2＝AO2，∴r2＋42＝(8－r)2，∴r＝3.∴内切圆的面积为π×32＝9 π
14．(12分)如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的 外接圆于点E.
(1)求证：IE＝BE； (2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．
பைடு நூலகம்
解：(1)证明：连结 IB.∵点 I 是△ABC 的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.又∵
角形． (1)请写出一个双圆四边形的名称：__正方形__； (2)如图②，已知四边形ABCD是双圆四边形，其内切圆与四条边相切于点E， F，G，H，且EG是内切圆的直径，交弦FH于点P，连结EF，FG.
①当∠FGE＝40°时，求∠BFE的度数； ②求证：HF⊥GE.
解：(2)①取 EG 的中点 O，连结 OF.∵EG 为内切圆的直径，∴O 为内切圆的圆心，∠GFE ＝90°，OF⊥BC，OG＝OF＝40°，∴∠OFE＝50°，∴∠BFE＝40°.②连结 HG.∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠D＋∠B＝180°.∵H，G，F，E 是切点，∴DG＝DH，BF＝BE.∴∠DHG ＝∠DGH，∠BEF＝∠BFE，∴∠D＋2∠DGH＝180°，∠B＋2∠EFB＝180°，∴2∠DGH＋2∠EFB ＝180°，∴∠DGH＋∠EFB＝90°.由①可知，∠EFB＝∠EGF，∠DGH＋∠HGE＝90°，∴∠HGE