定积分在几何上的应用教案(2)
§54定积分在几何上的应用2 优质课件
(4)确定面积元素：
dA ( x x2)dx
(5)计算积分
A
1
(
x x2 )dx
11
x 2dx
1 x2dx
0
0
0
[2 3
3
x2
]10
[1 3
x3 ]10
21 1 33 3
x x dx
例2 计算抛物线 y 2 2x与直线y x4 所围成的图形 的面积.
所围成的图形的面积.
解 A 2 1 [2a(2 cos )]2 d 02
2a 2 2 (4 4 cos cos2 )d
0
.
18a2
三、体积
1.旋转体的体积（P293）
旋转体都可以看作是由连续曲线y f (x)、直线 x a、 x b及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体. •旋转体的体积元素
y x3 6x
于是所求面积 A A1 A2
A 0 (x3 6x x2 )dx 3 (x2 x3 6x)dx
2
0
[
1 4
x4
3x2
1 3
x3
]02
[1 3
x3
1 4
x4
3x2
]30
16 63 253. 3 4 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
线 yf1(x) 与 yf2(x) 及 左 右 两 条 直线x a与x b所围成.
在点x 处的面积增量的近似值为
[f2(x) f1(x)]dx,
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN教学题目：选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用教学目标：一、知识与技能：1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、过程与方法：1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
三、情感态度与价值观：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
课型、课时：新课，一课时教学工具：常用教具，多媒体，PPT课件教学方法：积分⎰ba f (x )dx 在几何上表示 引导法，探究法，启示法 教学过程x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积SOxab y =f (x )xOaby =f (x )⎰ba f (x )dx =⎰ca f (x )dx +⎰bc f (x )dx 。
=-S xyoabc)(x f y =xyo)(x f y =ab 当f (x )≥0时，积分dx x f ba )(⎰在几何上表示由y =f (x )、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解练习. 求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
《定积分在几何中的应用》导学案2
1 / 1 1.7.1 定积分在几何中的应用
一、学习目标：
1． 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．.掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、学习重点与难点：
1．定积分的概念及几何意义
2．定积分的基本性质及运算的应用
三、学习过程
（一）你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰b
a dx x f )(的几何意义是什么? 表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，
b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负
（二）新课
例1．求椭圆122
22=+b y a x 的面积。
例2．求由曲线3324,16y y x y y x -=-=所围成的面积。
练习：P58面
例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,3
2π=x ,x 轴所围成图形的面积。
定积分在几何中的简单运用说课稿
《定积分在几何中的应用》说课稿三津中学毛庆莉大家下午好.我说课的题目是《定积分在几何中的应用》，内容选自于新课程人教A版选修2－2第一章第7节。
我将从教材分析，教法学法分析，教学过程分析这三大方面阐述我对这节课的分析和设计。
一、教材分析1、教材的地位和作用定积分的应用是在学生学习了定积分的概念，计算，几何意义之后，对定积分知识的总结和升华。
通过学习定积分在几何中的简单应用，掌握用定积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中体会导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值。
这部分内容也是学生在高等学校进一步学习高等数学的基础，是高中数学与高等数学的在教学内容上的衔接。
2、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）1、知识与技能目标：通过对本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的思想和方法。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养将数学知识运用于生活的意识。
3、教学重点与难点1、重点：应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
要把握这个重点，要真正掌握有一定的难度，因此，本节课的难点确定为2、难点:如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题,如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
二、教法，学法分析1教法分析应用型的课题是培养学生观察，分析，发现，概括，推理和探索能力的极好素材，本节课主要采取“教师启发引导与学生自主探究相结合”的教学方法：即学生在老师引导下，观察发现、自主探究、合作交流、由特殊到一般、由感性到理性主动建构新知识，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位.2学法分析“授人以鱼，不如授人以渔”,教是为了不教,一定要让学生自己去发现，去探索。
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
数学：1.7.1《定积分在几何中的应用》教案(新人教A版选修2-2)
定积分在几何中的应用一、教课目的：1.认识定积分的几何意义及微积分的基本定理 .2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、教课要点与难点：1.定积分的观点及几何意义2.定积分的基天性质及运算的应用三教课过程：（一）练习a 1．若(2 x1A ． 6 2．设 f (x)1) dx = 3 + ln 2,则a的值为（D）xB．4C． 3D． 2x2 (0 x1)则a）, f ( x) dx 等于（ C2 x(1x 2)1A．3B．4C．5D．不存在4561a2 )dx 的最小值3．求函数f (a)0(6x24ax124ax23(2ax221a．解：∵ (6x a(6)dx4ax( 2x) dx2a2 a x)) |0 2 2a223212 00∴ f (a)a22a2(a1)2 1 ．∴当 a = –1 时 f (a)有最小值 1．3166x x2dx．4．求定分25．如何用定积分表示：x=0, x=1, y=0 及 f(x)=x2所围成图形的面积？S1 f ( x )dx x 2dx1110036．你能谈谈定积分的几何意义吗？比如bf ( x )dx 的几何意义是什么? a表示 x 轴,曲线 y f ( x) 及直线 x a ,x b之间的各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正, 在x轴下方的面积取负二、新课例 1．教材 P56 面的例 1例 2．教材 P57 面的例 2。
练习： P58 面例 3．求曲线y=sinx ,x[0,23练习：1．如右图 , 暗影部分面积为（A．b g (x)] dx[ f (x)aB．c b[ g( x) f (x)]dx [ f ( x)a c ] 与直线x=0 , x2,x 轴所围成图形的面积。
3B）g( x)] dxC．b b[ f (x)g (x)]dx [ g ( x) f ( x)] dxa cD．b f (x)] dx[ g (x)a2．求抛物线 y = –x2 + 4x –3 及其在点 A（1, 0）和点 B（3, 0）处的切线所围成的面积．23四、作业：《习案》作业十九。
定积分在几何中的应用学案(公开课一等奖)
《定积分在几何中的应用——求平面图形的面积》导学案 学习目标：1.理解定积分的几何意义，会将平面图形的面积问题转化为定积分问题；2.会用定积分求简单的曲边图形的面积.学习重点：用定积分求平面图形的面积.学习难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数.学习过程：（一）基础知识回顾1. 定积分的几何意义若)(x f y =与a x =，b x =和x 轴围成的曲边梯形面积为s ，则当0)(≥x f 时，S = ；当0)(≤x f 时，S = .2.微积分的基本定理()()()()a F b F a bx F dx x f b a -==⎰.其中)(x f 是连续函数，且)(x f 是)(x F 的导函数，)(x F 是)(x f 的原函数.（二）课堂探究1.求抛物线2x y =，直线2=x ，0=y 所围成的图形的面积.2.求抛物线12-=x y 与x 轴所围成的图形的面积.3.求抛物线2)(x x g =与直线4)(=x f 所围成的图形的面积.4.求抛物线2)(x x g =与直线2)(+=x x f 所围成的图形的面积.2.请用定积分表示下列不同情形的图形面积.（三）精讲精练例1 计算由曲线x y =，直线2-=x y 以及x 轴围成的图形的面积.（尝试多种方法）变式训练：将曲线绕x 轴旋转，与直线相交于两点，求曲线与直线围成的面积。
归纳小结：求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤.（四）当堂小测1.求由曲线3x y =，直线2=x 以及x 轴所围成图形的面积.2.求抛物线12-=x y 和3=y 围成的平面图形的面积.3.求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形面积.。
1.7.1定积分在几何中的应用(教学设计)
1.7.1定积分在几何中的应用（教学设计）教学目标：知识与技能目标：通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
过程与方法目标：探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
情感、态度与价值观目标：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。
教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
教学过程：一、复习回顾：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. 二、师生互动，新课讲解： 问题1：（１）．计算dx x ⎰--2224 （２）．计算 sin x dx ππ-⎰解：（1）22222214⨯=-⎰-πdx x （2）0sin =⎰-ππdx x问题2：用定积分表示阴影部分面积解：图1 选择X 为积分变量，曲边梯形面积为图2 选择Y 为积分变量，曲边梯形面积为问题3：探究由曲线所围平面图形的面积解答思路例１（课本P56例1）．计算由曲线2x y =与x y =2所围图形的面积．分析：找到图形----画图得到曲边形.1、曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.2、定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.3、计算定积分.解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22x y xy 得到交点横坐标为 0=x 及1=xdxx f dx x f s b aba⎰⎰-=)()(21dy y g ba⎰)(1=s dyy g ba ⎰)(2－ yAB CD 2x y =x y =21∴ss =曲边梯形OABCs-曲边梯形OABDdx x ⎰=10dx x ⎰-121031233132x x -=313132=-= 变式训练1：计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.分析：讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分.探讨：X 为积分变量表示不到，那换成Y 为积分变量呢？ 4．计算定积分.【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dy y S解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y 型积分变量时，要把函数变形成用y 表示x 的函数）y =x4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 例2（课本P57例2）：计算由曲线x y 2=与4-=x y 及x 轴所围平面图形的面积．分析：A: 442128021⨯⨯-=-=⎰dx x s s sB: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-+=+=⎰⎰442122844021dx x dx x s s sC: dx y s s s ⎰+⨯+=-=4022124)84(21此题为一题多解，解体的大方向分为选X 做积分变量和选Y 做积分变量.问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法.问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X 做积分变量的类型；做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 变式训练2：计算由曲线x y sin =与x y cos =及0=x 、2π=x所围平面图形的面积．【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家21S S S +=dxxdxxS⎰⎰-=441sincosππdxxdxxS⎰⎰-=24242cossinππππ例3 求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．变式训练3：（1）、求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
第二节 定积分在几何学上的应用电子教案
数
学 从计算旋转体体积的过程中
电 子
可看出:如果一个立体不是旋
教 案
转体,但却知道该立体上垂直
于一定轴的各个截面的面积,
那么,这立体的体积也可用定
积分来计算.
a
武
汉
科
技 学 院 数
b
V a A(x)dx
理
系
x+dx b x
高
等 数
取上述定轴为x轴,设该立体在过点
学
x=a,x=b且垂直于x轴的两个平面之
θ r(θ)
武 汉
其中r(θ)在[a,b]上连续,且r(θ)>0,在小区间[θ,θ+dθ]上的
科 窄圆扇形的面积为
技
学 院 数 理
d A 1 2r2()d , A 1 2 r2()d (5 )
系
高
等 数 例3 计算心形线r=a(1+cos θ)(a>0)所围成图形的面积
学 电 子
A 1 2 a 2 ( 1 c o s)2 d a 20 ( 1 2 c o s c o s 2)d
a
a
学
院
数
理
系
高
等 例5连接坐标原点O及点P(h,r)的直线x=h及x轴围成一个
数 学
直角三角形把它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r,高为h
电 的圆锥体,计算这圆锥体的体积.
子
教
案
y
r
O
hx
武 汉
x+dx
科
技
学
院
数
理
系
高
等 数
解: 过原点O及点P(h,r)的直线方程为
学
y=rx/h.
定积分在几何中的简单应用教学设计04290
《定积分在几何中的简单应用》教学设计六教学过程师生活动设计意图（一）课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二）情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算dxx⎰--2224２．计算⎰-22sinππdxx【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdxx0sin=⎰-ππdxx培养学生复习的学习习惯。
激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义yxππ教学过程【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
【例题实践】例１．计算由曲线2xy=与xy=2所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xyxy得到交点横坐标为=x及1=x∴ss=曲边梯形OABC s-曲边梯形OABDdxx⎰=10dxx⎰-102131233132xx-=313132=-=通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。
Aa b曲边梯形（三条直边，一条曲边）a b XAy曲边形面积 A=A1-A2a b1xyOABCD2xy=xy=211-1-1教学过程【例题实践】例２．计算由4-=xy与xy22=所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程1．找到图形----画图得到曲边形.2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.问题：表示不出定积分.探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？4．计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xyxy得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)选ｙ为积分变量∴18216)82(21422=-⨯+=⎰-dyyS【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 .【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1．画草图，求出曲线的交点坐标．2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）4．确定被积函数和积分区间．5．计算定积分，求出面积.使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。
高中数学 专题1.7.1 定积分在几何中的应用教案 2数学教案
定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S . 因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13.反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256.探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图． 解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|4＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)， 其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.☆课堂提高☆1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A.f(x)dx B.f(x)dx C.f(x)dx+f(x)dx D.f(x)dx-f(x)dx【答案】D【解析】 因为在区间[a ，b]上f(x)<0，所以在区间[a ，b]上对应图形的面积为-f(x)dx ，所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.2.已知a =(cosx ，sinx)，b =(cosx ，-sinx)，f(x)=a ·b ，则直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为( ) A.B.C.D.【答案】C由定积分的几何意义，直线x=0，x=，y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为cos2xdx-cos2xdx=sin2x|4π-sin2x|34ππ=-+=.3．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623 【答案】 C【解析】 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1. 如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x 24d x ＝⎪⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.4．直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx 所围成的平面图形的面积表示为( )A.sinxdxB.sinxdxC.2sinxdxD.2sinxdx【答案】D【解析】由于y=sinx，x∈[-1，1]为奇函数，当x∈[-1，0]时，sinx≤0；当x∈(0，1]时，sinx>0.由定积分的几何意义，直线x=-1，x=1，y=0与曲线y=sinx所围成的平面图形的面积为|sinx|dx=2sinxdx.5．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积．6．求曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈(0，1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值.【解析】由定积分与微积分基本定理，得S=S1+S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+，t∈(0，1)，所以S′=4t2-2t，所以t=或t=0(舍去).当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′- 0 +S ↘极小值↗所以当t=时，S最小，且S min=.。
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定积分在几何上的应用教案(2)
目的要求
1．了解旋转体的概念，理解旋转体体积公式的推导过程，继续了解“分割——近似代替——求和——取极限”的思想方法．
2．掌握用旋转体的体积公式求旋转体的体积，学会用定积分解决一些在几何中用初等数学方法无法解决的体积问题．
3．对几何图形的基本度量——体积的概念有较完整的认识，知道在求旋转体的体积时，定积分是一种普遍适用的方法，进一步体会学习定积分的必要性．
4．培养学生应用数学的意识和能力，进一步培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及应用定积分的基本思想解决问题的能力．
内容分析
1．本节课是在学习了定积分的概念与计算的基础上，介绍定积分在几何中的又一种应用，它是微积分解决初等数学的一个生动实例，这充分体现了新教科书对培养学生应用数学的意识的重视．大家知道，微积分是十七世纪数学发展史上的里程碑，是人类思想史上的重大飞跃，微积分可以解决初等数学难以解决或无法解决的许多问题．通过这部分内容的学习，可使旋转体的体积在理论上解决得更彻底，并使学生对体积的概念有较完整的认识．
2．“旋转体的体积”这部分内容包括旋转体的定义、旋转体的体积公式的推导、旋转体体积的计算．教学中以旋转体体积的计算为重点；由于旋转体体积公式的推导比较抽象，空间想象能力要求较高，故为本节课的教学难点；突破难点的关键是数形结合，充分采用现代化的多媒体教学手段显示旋转体的形成过程，在计算机中虚拟几何体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，使抽象问题形象化、直观化．
3．考虑到本课内容比较抽象，故宜采用启发引导、讲练结合的教学方法，同时采用计算机辅助教学．在具体教学中要注意到以下几点：
关于旋转体的定义，要与以前学习过的柱、锥、球等旋转体的定义结合起来教学，使学生明确旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体的平面图形都是直线或圆弧，而在这里是一般的曲线．
关于旋转体体积公式的推导，其实在第二册(下)关于体积公式的推导过程中已经渗透了定积分的思想方法．教学中，可通过对球的体积公式的推导及曲边梯形面积公式的推导作一简单的回顾，采用类比的方法，遵循“有限→无限→有限、连续→离散→连续、精确→近似→精确”的原则，化曲为直，化整为零，变未知为已知．
关于旋转体体积公式的计算，课本例3显然可直接应用圆锥的体积公式求出圆锥的体积．之所以安排这道例题，是为了让学生明白用定积分求旋转体的体积是一种普遍适用的方法，教学中切勿一带而过．在讲完例3后，要注意总结求旋转体体积的解题步骤．本课的练习要紧紧围绕旋转体的体积公式展开，让学生通过一定的练习，加深对定积分概念的了解，并达到熟练掌握公式的教学效果．4．本节课是定积分应用的一个高潮，有必要在知识和能力方面有所突破，即安排一些综合性较强的例题或课外练习题，让学有余力的学生继续探讨，以提高他们分析问题与解决实际问题的能力．教学过程
(一)铺垫引入，创设情景
1．铺垫引入
①数轴可表示什么样的图形？
②什么样的图形叫做圆？
③什么样的图形叫做球？(多媒体演示球的形成过程)
2．创设情景
(1)问题一下列几何体是如何形成的？(多媒体演示形成过程)
①圆柱②圆锥③花瓶
归纳：
①什么叫旋转体？(平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所成的几何体)
②旋转体形成的两个要素是什么？(一是被旋转的平面图形，二是旋转轴)
③举一些日常生活中的旋转体的例子，并说明被旋转的平面图形及旋转轴分别是什么．(多媒体演示一些旋转体)
(2)问题二如何求旋转体的体积？
学生展开讨论并提出解决的几种方案，估计会出现下列情况：
①对于特殊的旋转体(如球、圆柱、圆锥)，可直接运用公式求解；
②对于一般的旋转体，可用物理中测量不规则物体的体积的方法求解；
③像求曲边梯形的面积一样，推导出一个计算一般的旋转体的体积公式．
(二)类比启迪，推导公式
1．复旧：先回忆曲边梯形面积公式的推导思路，再回顾球的体积公式的推导过程(多媒体演示)．
2．类比：将球的体积公式的推导过程与曲边梯形面积公式的推导过程进行对比：有限→无限→有限，精确→近似→精确．
3．探求：在计算机中虚拟旋转体的分割过程的“真实”情景，“放大”微观世界，然后由师生共同归纳旋转体体积的推导过程．(如图55－1)
①分割：将闭区间[a ，b]用n －1个分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜
②近似代替：过各分点x i 作垂直于x 轴的平面，将旋转体割成厚度
个小圆柱体，它的底面半径可以用区间上任一点ξi 的纵坐标f(ξi )来近
就可用与这个区间对应的小圆柱的体积来近似代替
③作和：当n 很大时，每个薄片可以近似地看作圆柱，圆柱的底面半径近似地等于区间左端点的函数值．这样旋转体的体积近似地等于n 个圆柱的体积之和．
④求极限：
4．深化：
[C]
A ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积
B ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的曲边梯形的面积
C ．由y ＝x 、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积
D ．由y ＝x 2、y ＝0、x ＝1、x ＝2所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积
②思考2：猜想下列图中阴影部分的图形绕对称轴旋转所得的旋转体的体积公式
(三)范例讲解，运用公式
三角形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．
解：依题意知直线与两坐标轴围成的图形为△OSA ，其中S(h ，0)，A(0，r)．
△OSA 绕x 轴旋转而成的旋转体为圆锥．由旋转体的体积公式得：
归纳：求旋转体体积的解题步骤：
①根据题意画出草图；
②找出曲线范围，确定积分上、下限和被积函数；
③写出求体积的定积分表达式；
④计算定积分，求出体积．
变式：利用旋转体的体积公式，求出底半径为r 、高为h 的圆锥的体积公式．学生讨论后，归纳出两种解法：
解法一：(以高所在直线为x 轴，以底面半径所在直线为y 轴，建立直角坐标系求解．) 解法二：(以高所在直线为y 轴，以底面半径所在直线为x 轴，建立直角坐标系求解．) 绕x 轴旋转一周所成旋转体体积的2倍，
y 轴旋转一周所成旋转体体积的2倍．
转而成的旋转体的体积．
(四)练习反馈，巩固公式
[C]
A ．单位圆面积的一半
B ．以1为半径的球的表面积的一半
C ．以1为半径的球的体积的一半
D ．以1为半径的球的体积
练习2：由曲线y ＝sinx ，x ∈[0，π]与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积是________ 练习3：椭圆x 2＋3y 2＝12绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是
[D]
B ．9π
D ．32π
练习4：抛物线y 2＝4x 被其通径所截得部分绕x 轴旋转得旋转体的体积是
[A]
A．2πB．3π
C．6πD．8π
转体的体积是________
(五)归纳小结，内化公式
布置作业
1．必做题：教科书习题4．4第2、4题．
2．选做题：
(1)复习参考题四(B组)第5题．
(2)(2001年全国新课程高考数学试题)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴
(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A
1是双曲线的顶点，C、C
1
是冷却塔上口直径的两个端点，
B、B
1是冷却塔下口直径的两个端点，已知AA
1
＝14m，CC
1
＝18m，BB
1
＝22m．
(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；
(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14)．
说明：
本题是一道综合性较强的试题，主要考查了选择适当坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力．。