规律探究专题一
中考数学专题复习——规律探索(详细答案)
中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图中空白处的是（ ）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 ．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在 射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为 ． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标 为 （ ） ．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。
规律探究问题(解析版)
2．(2019湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为 的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0D．1
【答案】B
【解析】点运动一个弧AB用时为 秒．
【答案】A
【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝ ，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴ ＝ ＝3，
∴QE＝ AE＝ ，
∴AQ＝AE+QE＝ ，
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
【答案】A
【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝ ＝ ＝ ，
同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……，
∴P1的坐标为（1， ），P2的坐标为（2， ），P3的坐标为（3， ），……，
规律探究专题训练(含答案)-dy
数－1到－2006之间有：（－1）－（－2006）+1=2006个数
2006÷4=501余数2，余数1与0对应，余数2与2对应，余数3与3对应，余数0与1对应。故－2006与圆周上的数字2重合。
（2）观察下图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）
（1）请在图④的虚线框内画出第4个图形（只须画出草图）
（2）第10个图形有________块黑色的瓷砖（直接填写结果）
（3）第n个图形有多少块黑色的瓷砖？（用含n的代数式表示）
解：第n个图形中有1+2+3+4+……..+n个黑色的瓷砖（其实就是“高斯求和”）
这是等差数列1+2+3+4+……..+n=
发现：数轴上的数只能与2、1、0、3这4个数中的一个数重合，这4个数（2,1,0,3,2,1,0,3……..）反复的在数轴上循环出现，而3到2009间有：2009－3+1=2007个数，2007÷4=501余数3.也就是说2、1、0、3这4个数循环了501次，还要多走3个。当余数为0，说明正好循环，对应数与3重合。余数为1则与2重合，余数为2则与1重合，余数为3则与0重合。本题与数字0重合。
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
……
11×13＝143，而143＝
将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：______________。
解：
（3）下列图是由同型号黑白两种颜色的三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。仔细观察图形可知：
规律探索--图形规律(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
规律探索-中考数学重难点题型专题汇总图形规律1.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．2.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．3.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．4.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．5.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．Y Y-=（）6.观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用n Y表示，则94A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．8.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,2-B．()202120212,2C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．9.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．10.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．11.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．12.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是32=n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：1255,22n n +-==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．13.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．15.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n 个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．16.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．17.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC =，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（17510555，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键18.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】20203【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A∴111=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴2112=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：2020)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.19.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴3sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．20.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．21.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究22.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．23.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n ，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n ．故答案为：2n +12n ．。
[中学联盟]广东省河源市南开实验学校初中数学中考专题复习：专题一+规律探究专题(共13张PPT)
![[中学联盟]广东省河源市南开实验学校初中数学中考专题复习：专题一+规律探究专题(共13张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/57ecddd9195f312b3169a5fa.png)
学科网
专题一 规律探究专题
专题分析
近几年出现了一类题型，它要求学生通过对题目中 所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而 给出结论，这就是所谓的“规律探究题”． 规律探究题是通过对所给的数、式、图形进行观察、 分析、猜想，归纳出带有规律性、普遍性结论的试 题．解决这类问题的思路一般是从简单的、局部的、特 殊的情况出发，对给定的信息进行观察、分析并发现规 律，解决问题． 这类试题重点考查学生分析问题、解决问题的能力， 对发展学生的思维、培养创新精神起到了重要作用．由 于它符合素质教育的思想，所以成为近几年中考的热点 问题． 规律探究题一般可以分为“数字类型”或“几何图 形类型”．
学科网
【解析】根据已知图形得出第4个半圆的半径、第3个半圆 的半径，进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关 系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案．
典例解析
解：∵以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆； 以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆； 以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆； 以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，
课堂练习
• 中考宝典p140页：基础训练
课堂小结
• 对于数字类型的规律题你有什么感想？ • 今后的解题中我们应该如何着手这样的题？
课后作业：
• 1.有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请 观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8 个数为 ． • 2.(2011湛江)若：A23=3×2=6，A35=5×4×3=60， A45=5×4×3×2=120， A46=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程， 寻找计算规律计算A37= (直接写出计算结果)， 并比较A310 A410(填“＞”或“＜”或“=”)
专题01 规律探究问题(精练)-初中中考数学高频考点突破全攻略(原卷板+解析版)
一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．1212. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．504. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋36.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．3027.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．169.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n 的代数式填空：1+3+5+…+（2n ﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n ﹣1）+…+5+3+1= ．20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化例：将0.7化为分数形式 由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79． 同理可得0.3 =39=13，1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）0.5 = ，5.8 = ； （2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ，2.018= ；（注：0.315=0.315315…，2.018=2.01818…）【探索发现】（4）①试比较0.9与1的大小：0.91（填“＞”、“＜”或“=”）②若已知0.285714=27，则3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）一、选择题（10×3=30分）1. （2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．2. （2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1393.（2016·四川达州·3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．4. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株5.（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形(如图)：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( )A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；第2个图需棋子3×2＋3＝9；第3个图需棋子3×3＋3＝12；…∴第n个图需棋子(3n＋3)个．6.将从1开始的自然数，按如图所示的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（）A．290 B．226 C．272 D．302【解析】：拐弯处的数与其序数的关系如下表：拐弯的序数0 1 2 3 4拐弯处的数 1 2 3 5 7拐弯的序数 5 6 7 8 …拐弯处的数10 13 17 21 …由此可见相邻两数的差是1，1，2，2，3，3，4，4，...，则第33次拐弯处的数是1+2×（1+2+ (16)+17=290.故选A.学科@网7.用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．298. （2017浙江湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．16【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF=3，∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是14次，故选：B．9.如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是（）A．4 B．23C．2 D．010. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中的长为．【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，二、填空题（6×4=24分）.11.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），∴第2018次输出的结果是5．故答案为：5．学科@网12.（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．13. （2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1B n顶点B n的横坐标为．14.（2018•贵州遵义•4分）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为．【解答】解：由图可得，第1层三角形的个数为：1，第2层三角形的个数为：3，第3层三角形的个数为：5，第4层三角形的个数为：7，第5层三角形的个数为：9，……第n层的三角形的个数为：2n﹣1，∴当n=2018时，三角形的个数为：2×2018﹣1=4035，故答案为：4035．15.（2018广西桂林）将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第m行，第n 列的自然数10记为（3，2），自然数15记为（4，2）…按此规律，自然数2018记为列行第1列第2列第3列第4列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13 ……………第n行…………【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2018除以4，根据除数与余数确定2018所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．16.（2018广西贵港）（3.00分）如图，直线l为y=x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点A n的坐标为（）．三、解答题（共46分）.17. （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O 为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，求的长．【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，易求得P n O n垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题．学科@网【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…∵P1是⊙O2上的点，∴P1O1=OO1，∵直线l解析式为y=x，∴∠P1OO1=45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，18.（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n= = ﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．=﹣=．19. (2016安徽，18，8分)（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1=．【分析】（1）根据1+3+5+7=16可得出16=42；设第n幅图中球的个数为a n，列出部分a n的值，根据数据的变化找出变化规律“a n﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题；（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．（2）观察图形发现：20. （2018·湖北随州·11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可例：将0.7化为分数形式由于0.7 =0.777…，设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②﹣①得9x=7，解得x=79，于是得0.7 =79． 同理可得0.3 =39=13， 1.4 =1+0.4 =1+49=139根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5 = ， 5.8 = ； （2）将0.23化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）0.315 = ， 2.018= ；（注：0.315 =0.315315…， 2.018=2.01818…） 【探索发现】 （4）①试比较0.9与1的大小：0.9 1（填“＞”、“＜”或“=”） ②若已知0.285714=27，则 3.714285= ．（注：0.285714=0.285714285714…）【分析】根据阅读材料可知，每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式，如果循环节有n位，则这个分数的分母为n个9，分子为循环节．学科@网（3）同理0.315=315999=35111，2.0=2+1181099=11155故答案为：35111，11155（4）①0.9=99=1故答案为：0.9=1②3.714285=3+714285999999=3+57=267故答案为：26 7。
中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式(一)
中考数学专题复习分考点归纳练习规律探究之数式（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．122．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．713．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．10024．根据图中数字的规律，若第n个图中的143q ，则p的值为（）A．100B．121C．144D．1695．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．216．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣27．已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a=-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．238．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019评卷人 得分二、填空题 9．观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．10．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．11．如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．12．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．13．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第n 个图案有_______个三角形（用含n 的代数式表示）．14．观察下列等式： 2+22=23﹣2； 2+22+23=24﹣2； 2+22+23+24=25﹣2； 2+22+23+24+25=26﹣2； …已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m ，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m 的代数式表示)． 15．观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．16．观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．17．按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3-4，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是______．18．把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：按此规律，可知第n行有_________个正整数19．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．20．将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对(a，b)表示第a排，从左至右第b 个数．例如(4，3)表示的数是9，则(7，2)表示的数是_________.21．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．22．观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，……222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________．23．观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；①2243891⨯-=-=-；①235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．24．有一列数，按一定的规律排列成13，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是567-，则这三个数中第一个数是______．25．观察下列各式：1234523101526,,,,,357911a a a a a=====，根据其中的规律可得na=________（用含n的式子表示）．26．下面各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，……，按此规律，第10个图中黑点的个数是________．27．如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第①个图形中一共有7个菱形，第①个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第①个图形中菱形的个数为________．28．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．-1-610a-4-52-329．一组按规律排列的代数式：2335472,2,2,2a b a b a b a b+-+-，…，则第n个式子是30．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．评卷人 得分三、解答题 31．阅读解答：（1）填空：1022==_____()2=；2122-=_____()2=；3222-=_____()2=…… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式_________； （3）根据上述规律，计算：012342021222222++++++．参考答案：1．D 【解析】 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+= ∴这个数为51102= 故选：D ． 【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 2．C 【解析】 【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n 个数的表示方法，从而得出结果. 【详解】 解：1=1×2-1， 5=2×3-1， 11=3×4-1， 19=4×5-1， ...第n 个数为n （n+1）-1， 则第7个数是：55 故选C. 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是总结出第n 个数为n （n+1）-1. 3．C【解析】 【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n 的值． 【详解】设最后三位数为x －4,x －2,x ． 由题意得: x －4+x －2+x =3000, 解得x =1002． n =1002÷2=501． 故选C ． 【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤． 4．B 【解析】 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知： 1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-， ①第n 个图中的143q =， ①2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ①2=121p n =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．5．B【解析】【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第①个图案中黑色三角形的个数．【详解】解：①第①个图案中黑色三角形的个数为1，第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……①第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n．6．A【解析】【分析】根据已知条件和2100=S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【详解】解：①2100=S，①2100+2101+2102+…+2199+2200=S+2S+22S+…+299S+2100S=S（1+2+22+…+299+2100）=S（1+2100-2+2100）=S（2S-1）=2S2-S．故选：A．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 7．D 【解析】 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值． 【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+，2021223a a ∴==， 故选：D ． 【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答． 8．B 【解析】 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可． 【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n (n -1)+1， ①第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985， 根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2， ①第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023， 故选：B ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9．12nn + 【解析】【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， … 则第n 项是12nn +； 故答案为：12n n +． 【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 10．1275【解析】【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第①个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．11．2n+1【解析】【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．12．20【解析】【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：①第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……①第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=， 解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，①第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n ．13．()31n +【解析】【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，...第n 个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．故答案为（3n+1）．【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．14．()21m m﹣． 【解析】【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m 代入即可求解．【详解】①220=m ，①220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=m(2m ﹣1)．故答案为：m(2m ﹣1)．【点睛】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．2m m -【解析】【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和． 【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．①1002=m①23991000222222=2m m +++++==， ①22991001012222222+++++=-，①10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=． ……①1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++． 令012992222S ++++=① 12310022222S ++++=②①-①，得10021S -=①10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=- 故答案为：2m m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键． 16．()221n n --． 【解析】【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：①22110=-，22321=-，22532=-，…①第n 个等式为：()22211n n n -=-- 故答案是：()221n n --．【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．17．bc =a##a=bc【解析】【分析】首先判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，前两数相除等于第三个数，可得这列数中的连续三个数，满足a ÷b ＝c ，据此解答即可．【详解】①3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，121333-÷=，213333-÷=，134333--÷=，347333-÷=，4711333--÷=，71118333-÷=，…， ①a ，b ，c 满足的关系式是a ÷b ＝c ，即bc =a ．故答案为：bc =a ．【点睛】此题考查了实数的规律问题，同底数幂的除法运算，负整数指数幂等知识，解题的关键是正确分析出题目中指数之间的规律．18．12n -【解析】【分析】仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，由此得出规律求解即可．【详解】解：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1102=2=1-个数字，第二行有2112=2=2-个数字，第三行有3122=2=4-4个数字，第四行有4132=2=8-个数字，①可以推出第n 行有12n -个数字，故答案为：12n -．【点睛】本题主要考查了数字类的规律型问题，解题的关键在于准确理解题意得到规律．19． 64 5【解析】【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解【详解】通过观察发现：1=13=1+26=1+2+310=1+2+3+4……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +， 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1 设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<- 即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积，2263=396964=4096,,m n ，为正整数， 64n ∴=当64n =时，=5m故答案为：64，5【点睛】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．20．23【解析】【详解】根据图中所揭示的规律可知，1+2+3+4+5+6=21，所以第7排；应从左到右由小到大，从22开始数，第二个应是23，所以（7，2）表示的数是23．故答案是：23.21．3【解析】【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．22．2020 2021【解析】【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．【详解】由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b=-•（,a b均为奇数，且2b a=+）．故222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯111111111111111202011()()()1 3355720192021335520192019202120212021 -+-+-++-=+-+-++--=-=．故答案：20202021． 【点睛】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．23． 246524251⨯-=-=- ()()2211n n n ⨯+-+=- 【解析】【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】（1）2132341⨯-=-=-，①2243891⨯-=-=-，①235415161⨯-=-=-，①246524251⨯-=-=-；故答案为246524251⨯-=-=-． （2）第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-．故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-． 【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．24．81-【解析】【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-3n ，9n ，据题意列式即可求解．【详解】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，则三个数为n ，-3 n ，9n由题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：n=-81，故答案为：-81．【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列，列出方程是解题的关键．25．()12121n n n ++-+【解析】【分析】 观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n 项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n 2+1，偶数项的分子是n 2-1，即第n 项的分子是n 2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得21(1)21n n n a n ++-=+， 故答案为：21(1)21n n n a n ++-=+【点睛】 本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．26．119【解析】【分析】根据题意，找出图形的规律，得到第n 个图形的黑点数为2(1)2n +-，即可求出答案．【详解】解：根据题意，第1个图有2个黑点；第2个图有7个黑点；第3个图有14个黑点；……第n 个图有2(1)2n +-个黑点；①当n=10时，有2(101)21212119+-=-=（个）；故答案为：119．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形的摆放规律，得出数字之间的运算方法，利用计算规律解决问题．27．57【解析】【分析】根据题意得出第n 个图形中菱形的个数为21n n ++；由此代入求得第①个图形中菱形的个数．【详解】解：第①个图形中一共有3个菱形，2312=+；第①个图形中共有7个菱形，2723=+； 第①个图形中共有13个菱形，21334=+；…，第n 个图形中菱形的个数为：21n n ++；则第①个图形中菱形的个数为277157++=．故答案为：57．【点睛】本题考查了整式加减的探究规律—图形类找规律，其关键是根据已知图形找出规律． 28．-2【解析】【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a 的值．【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为1616--+=-，①626a -++=-，①2a =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．29．()12112n n n a b +-+-⋅ 【解析】【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a 的次数是式子的序号；第二项中b 的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：①当n 为奇数时，()111n +-=； 当n 为偶数时，()111n +-=-，①第n 个式子是：()1211?2n n n a b +-+-．故答案为：()1211?2n n n a b +-+- 【点睛】本题考查了多项式的知识点，认真观察式子的规律是解题的关键．30．875【解析】【分析】设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”，再代入n ＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有an 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，①an ＝1＋（n ＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n ＋5（n 为正整数），①a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an ＝n 2−n ＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31．（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n -2n -1=2n -1；（3）202221-【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；（2）根据（1）中式子的规律，可得结果；（3）设S =20+21+22+23+24+…+22021，然后表示出2S ，再相减计算即可得解．【详解】解：（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；（2）由题意可得：2n -2n -1=2n -1；（3）设012342021222222S =++++++， ①12342022222222S =+++++， ①2S S S =-=()()1234202201234202122222222222+++++++++++- =202221-．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．。
初一数学培优专题---规律探究题的解题方法
七年级培优专题--规律探究题的解法指导一、数式规律探究1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)⑦ 12+22+32….+n2=16n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=14n2(n+1）2⑨2，4.8.16.32...... 2n4、初中阶段会考察的规律，大部分为等差数列等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。
通项公式为：a n=a1+(n-1)d。
首项a1=1，公差d=2。
前n项和公式为：S n=12[n×(a1+a n)]=n a1+12n(n-1)d。
注意：以上n均属于正整数。
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：①.观察法：例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：①1×12=1-12观察相应位置上变化的数字与序列号②2×23=2-23的对应关系（注意分清正整数的奇偶）③ 3×34=3-34易观察出结果为：④ 4×45=4-45例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。
2025中考复习数学考点专题探究课件：专题1 数与式规律探究
数与式
专题1
规律探究(一)
刷难关
专题1
刷难关
专题1
类型1
规律探究(一)
数或式规律探究
1. [2023湖南常德中考，中]观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中
的规律，分数
若排在第 a 行 b 列，则 a － b 的值为(
A. 2 003
B. 2 004
C. 2 022
下去，则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝ 2 n2－ n
1
2
3
4
5
6
7
.(结果用含 n 的代数式表示)
回到目录
专题1
规律探究(一)
【解析】∵题图(1)有1个三角形，记作 a1＝1；题图(2)有5个三角形，记作 a2＝
5＝1＋4＝1＋4×1；题图(3)有9个三角形，记作 a3＝9＝1＋4＋4＝1＋
这 n 个自然数中，任取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究.发现：当 n ＝
2时，只有{1，2}一种取法，即 k ＝1；当 n ＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取
法，即 k ＝2；当 n ＝4时，可得 k ＝4；….若 n ＝6，则 k 的值为
n ＝24，则 k 的值为
144
9
；若
.
【解析】当 n ＝6时，从1，2，3，4，5，6中取两个数的和大于6，则取法有
{23，2}，{23，3}，…，{23，22}，
{22，3}，{22，4}，…，{22，21}，…，
{14，11}，{14，12}，{14，13}，
{13，12}，
∴ k ＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144.
故答案为9，144.
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
专题一规律探究与定义应用题、阅读理解
专题一：规律探究与定义应用题、阅读理解例题选讲：1. 有一列数1234251017--，，，，…，那么第7个数是 ．那么第n 个数是 2.为了求20083222221+++++ 的值，可令S ＝20083222221+++++ ，则2S ＝200943222222+++++ ，因此2S-S ＝122009-，所以20083222221+++++ ＝122009-仿照以上推理计算出20093255551+++++ 的值是3.探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）4. 观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题： （1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ . 5. 正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字 ．6.设对于x 的—次函数11y a x b =+与22y a x b =+，称函数1122()()y m a x b n a x b =+++第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列 第二列第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)23 2221………(其中m+n ＝1)为此两个函数的生成函数．(1)当x ＝1时，求函数y=x+1与y=2x 的生成函数的值；(2)若函数11y a x b =+与22y a x b =+的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．7.（2010江西）两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题． 实验与论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝α（α＜∠A 1A 0 A 2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示解的度数：θ3＝_______，θ4＝_______，θ5＝_______；（2）图1—图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳与猜想设正n 边形A 0A 1 A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1 B 2…B n －1重合（其中，A 1与B 1重合），现将正边形A 0B 1 B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α（0º＜α＜180ºn）．（3）设θn 与上述“θ3、θ4、…”的意义一样，请直接写出θn 的度数；（4）试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．8.（2010连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如：平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．9.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x l ，y 1)、Q(x 2，y 2)的对称中心的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭观察应用：(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P 1 (0，一1)、P 2(2，3)的对称中心是点A ，则点A 的坐标为 ；(2)另取两点B (一1．6，2．1)、C (一l ，0)．有一电子青蛙从点P l 处开始依次关于点A 、 B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 1关于点A 的对称点P 2处，接着跳到点P 2 关于点B 的对称点P 3处，第三次再跳到点P 3关于点C 的对称点P 4处，第四次再跳到点P 4关于点A 的对称点P 5处 则P 3、P 8的坐标分别为 ， ；(3)求出P 2012的坐标 直接写出在x 轴上与P 2012、点C 构成等腰三角形的点的坐标10.提出问题如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，分别以边AB 、AC 向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？猜想结论经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．证明猜想（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．结论应用（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．11.求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观。
备战中考数学二轮专题归纳提升真题平面直角坐标系规律探究问题(解析版)
专题01 平面直角坐标系规律探究问题【知识点梳理】1、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P （a ，b ）与关于x 轴对称点的坐标为 （a ，-b ） 点P （a ，b ）与关于y 轴对称点的坐标为 （-a ，b ） 点P （a ，b ）与关于原点对称点的坐标为 （-a ，-b ） 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号 2、点的平移点P （a ，b ）沿x 轴向右（或向左）平移m 个单位后对应点的坐标是(a ±m,b )； 点P （a ，b ）沿y 轴向上（或向下）平移n 个单位后对应点的坐标是(a,b ±n ). 口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减.3、两点间的距离：在x 轴或平行于x 轴的直线上的两点P 1 (x 1,y )，P 2 (x 2,y )间的距离为|x 1−x 2| 在y 轴或平行于y 轴的直线上的两点P 1 (x ,y 1)，P 2 (x ,y 2)间的距离为|y 1−y 2| 任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)任意两点P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，则线段P 1P 2=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2【典例分析】【例1y)经过某种变换后得到点P ′(−y +1,x +2)，我们把点P ′(−y +1,x +2)叫做点P(x,y)的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…、nP 、…，若点p 1的坐标为（2，0），则点P 2022的坐标为_____。
【答案】（1，4）．解析：解：P 1 坐标为（2，0），则P 2坐标为（1，4），P 3坐标为（-3，3），P 4坐标为（-2，-1），P 5坐标为（2，0），∴P n 的坐标为（2，0），（1，4），（-3，3），（-2，-1）循环， ∵2022=4×505+2， ∴P 2022 坐标与P 2点重合， 故答案为（1，4）．【练1】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P′（y -1，-x+1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，2），则A 2023的坐标为________【答案】（-3，0）解析：解：∵A1（3，2），A2（1，-2），A3（-3，0），A4（-1，4），A5（3，2），…，∴点A n的坐标4个一循环．∵2023=505×4+3，∴点A2023的坐标与点A2的坐标相同．∴A2023的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．【练2】某同学在平面直角坐标系内设计了一个动点运动的编程．若一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，则点A2022的坐标为（）A．（22021﹣1，22021+1）B．（22022﹣1，22022+1）C．（22022﹣2，22022+2）D．（22021﹣2021，22021+2021）【答案】B【解析】解：∵一个动点从点A1（1，3）出发，沿A2（3，5）→A3（7，9）→…运动，∴A n（2n﹣1，2n+1），∴A2022的坐标为：（22022﹣1，22022+1），故选：B．【练3】对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2022（1，﹣1）＝．【答案】（21011，21011）【解析】解：由题意可得：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）…当n为奇数时，P n（1，﹣1）＝（0，），当n为偶数时，P n（1，﹣1）＝（2n2，2n2），∴P2022（1，﹣1）应该等于（21011，21011）．故答案是：（21011，21011）．【例2】如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…根据这个规律，探究可得点A2022的坐标是（）A．（2022，0）B．（2022，2）C．（2021，﹣2）D．（2022，﹣2）【答案】A【解析】解：观察图形可知，点A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）…的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是2、0、﹣2、0、2、0、﹣2、…，四个一循环，2022÷4＝505…2，故点A2022坐标是（2022，0）．故选：A．【练1】如图，动点P1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2022，0）D．（2022，1）【答案】C【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2022=4×505+2．当第505循环结束时，点P位置在（2020，0），在此基础之上运动两次到（2022，0）．故选C．【练2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点P2022的坐标是（）A．（2022，1）B．（2022，2）C．（2022，﹣2）D．（2022，0）【答案】D【解析】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动到P3（3，﹣2），第四次运动到P4（4，0），第五运动到P5（5，2），第六次运动到P6（6，0），…，结合运动后的点的坐标特点，可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，﹣2，0，2，0；∵2022÷6＝337，∴经过第2022次运动后，动点P的纵坐标是0，故选：D．【练3】如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2022的坐标是_____________.【答案】（1011,1）.【解析】观察图象可知，点A的纵坐标每4个点循环一次，∵2022=505×4+2，∴点A2022的纵坐标与点A2的纵坐标相同，∵A2（1，1），A6（3,1），A10（5,1）……，∴点A2022的坐标是（1011,1）.【例3】如图，在平面直角坐标系上有个点A（-1，O），点A第1次向上跳动一个单位至点A1（-1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2(1，1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是( )A.(-505, 1011)B.(505, 1010)C.(-506, 1010)D.(506, 1011)【答案】D【解析】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），…，∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022=505×4+2，∴A2022（505+1，505×2+1），即（506，1011）．故选：D．【练1】如图所示，在平面直角坐标系上有个点P（1,0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1)，紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位……依此规律跳动下去，点P第99次跳动至点P99的坐标是_____【答案】（-25，50）【解析】解：由题中规律可得出如下结论：设点Px的横坐标的绝对值是n，则在y轴右侧的点的下标分别是4（n-1）和4n-3，在y轴左侧的点的下标是：4n-2和4n-1；判断P199的坐标，就是看99=4（n-1）和99=4n-3和99=4n-2和99=4n-1这四个式子中哪一个有负整数解，从而判断出点的横坐标.由上可得：点P第99次跳动至点P99的坐标是（-25，50）故答案为：（-25，50）.【练2】如图，在平面直角坐标系上有点A0(1,0)，点A0第一次跳动至点A1(−1,1)，第二次点A1跳动至点A2(2,1)，第三次点A跳动至点A3(−2,2)，第四次点A3跳动至点A4(3,2)，……依2此规律跳动下去，则点A2021与点A2022之间的距离是（）A．2023B．2022C．2021D．2020【答案】A【解析】观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2022次跳动至A2022点的坐标是（1012，1011），第2021次跳动至点A2021的坐标是（﹣1011，1011）．∵点A2021与点A2022的纵坐标相等，∴点A2021与点A2022之间的距离=1012﹣（﹣1011）=2023．故选：A．【练3】在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（）A．（673，2021）B．（674，2021）C．（﹣673，2021）D．（﹣674，2021）【答案】B【解析】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．【例4】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1）（1，1）,（1，2），（2，2）……根据这个规律，第2022个点的坐标为________【答案】（45，6）【解析】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，0），第4个点的坐标为（1，1），第9个点的坐标为（3，0），第16个点的坐标为（1，3），…，∴第（2n-1）2个点的坐标为（2n-1，0）（n为正整数）．∵2025=452，∴第2025个点的坐标为（45，0）．又∵2025-3=2022，∴第2022个点在第2025个点的上方3个单位长度处，∴第2022个点的坐标为（45，3）．故答案为：（45，3）．【练1】如图，一个蒲公英种子从平面直角坐标系的原点O出发，向正东走3米到达点A1，再向正北方向走6米到达点A2，再向正西方向走9米到达点A3，再向正南方向走12米到达点A4，再向正东方向走15米到达点A5，以此规律走下去，当种子到达点A10时，它在坐标系中坐标为（）A．（﹣12，﹣12）B．（15，18）C．（15，﹣12）D．（﹣15，18）【答案】B【解析】解：根据题意可知：O A1＝3，A1A2＝6，A2A3＝9，A3A4＝12，A4A5＝15，A5A6＝18，A9A10＝30，∴A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，6），A3点坐标为（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，﹣6），A5点坐标为（9，﹣6），A6点坐标为（9，12），以此类推，A9点坐标为（15，﹣12），所以A10点横坐标为15，纵坐标为﹣12+30＝18，∴A10点坐标为（15，18），故选：B．【练2】如图，一个点在第一象限及x轴、y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点（1，0），然后按照图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（1，0）→（1，1）→（0，1）→（0，2）→…，且每秒移动一个单位，那么第2022秒时，点所在位置的坐标是（ ）A ．（2，44）B ．（41，44）C ．（44，41）D ．（44，2）【答案】【解析】解：观察可发现，点到（0，2）用4＝22秒，到（3，0）用9＝32秒，到（0，4）用16＝42秒，则可知当点离开x 轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y 轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x 轴上，时间为偶数的点在y 轴上, ∵2022＝452﹣3＝2025﹣3，∴第2025秒时，动点在（45，0），故第2022秒时，动点在（45，0）向左一个单位，再向上2个单位， 即（44，2）的位置． 故选：D ．【练3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,1)，(3,0)，(3,−1)…根据这个规律探索可得，第99个点的坐标为( )A.(14,−1)B.(14,0)C.(14,1)D.(14,2)【答案】C【解析】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n 个有n 个点， 并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为(n,n−12)，(n,n−12−1)，…，(n,1−n 2)；偶数列的坐标为(n,n2)，(n,n2−1)，…，(n,1−n2)， ∵1+2+3+4+……+13=91∴第99个点位于第14列自上而下第7行．−6)，即(14,1)．代入上式得(14,142故选C．【例5】如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，发现A（3，0），A1（12，3），A2（15，0）…那么点A2022的坐标为．【答案】（12135，0）【解析】解：∵∠AOB＝90°，点A（3，0），B（0，4），根据勾股定理得AB＝5，根据旋转可知：OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，所以点A1（12，3），A2（15，0）；继续旋转得A3（24，3），A4（27，0）；…发现规律：A2n﹣1（12n，3），A2n（12n+3，0），∵2022＝2n，∴n＝1011，∴点A2022的坐标为（12135，0），故答案为：（12135，0）．【练1】如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到长方形的边时点P的坐标为．【答案】（0，3【解答过程】解：如图所示：经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337∴当点P第2022次碰到矩形的边时与P点起点位置重合，∴点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【练2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点P1,P2,P3,...,P2022，则点P2022的坐标是（）A.(2022,2)B.(2022,√3)C.(4043,2)D.(4043, √3)【答案】D【解析】解：由题意可知P1是1P的横坐标是3，P3的横坐标是5，P4的横坐标是7…依此类推下去，P n的横坐标是2n-1,∴P2022的横坐标是2×2022-1=4043纵坐标都是√3，故选：D．连续作旋转变换，依【练3】如图，在直角坐标系中，已知点A(−3,0)，B(0,4)，对OAB次得到Δ1，Δ2，Δ3，Δ4，…，则∆2022的直角顶点的坐标为______.【答案】（8088，0）【解析】解：∵点A（-3，0）、B（0，4），∴AB=√32+42=5由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=674，∴∆2022的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点；∵674×12=8088，∴∆2022的直角顶点的坐标为（8088，0）.故答案为（8088，0）.【例6】如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推……则正方形OB2021B2022C2022的顶点B2022的坐标是_____.【答案】（0,-22011）【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2（0，2），同理可知B3（-2，2），B4（-4，0），B5（-4，-4），B6（0，-8），B7（8，-8），B9（16，16），B10（0，32）．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2022÷8=252⋯⋯6，∴B8n+6（0，-24n+3），∴B2022（0,-22011）．故答案为：（0,-22011）．【练1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，0A1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2022的坐标是_____．【答案】（0,-22011）【解析】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A 3（﹣2，2），A 4（0，﹣4），A 5（﹣4，﹣4），A 6（0，﹣8），A 7（8，﹣8），A 8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（﹣32，32），…，∵2022＝252×8+6∴点A 8n+6的坐标为（0，24n+3）（n 为自然数）．∴点A 2022的坐标为（0，24×252+3），即（0,-22011），故答案为：（0,-22011）．【练2】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）.长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点2A ，作正方形A 2B 2C 2C 1……按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为_____．【答案】5×(32)4042.【解析】解：∵点A 的坐标为（1,0），点D 的坐标为（0,2）∴正方形ABCD 的边长为√5，设其面积为S 1=5，依此类推，接下来的面积依次为S 2,S 3,S 4⋯⋯第2022个正方形的面积为S 2022，又∵三角形相似，∴ OA OD =A 1B AB =A 2B 1A 1B 1=⋯=12. ∴ S 2=5×94，S 3=5×(94)2…… ∴S 2022=5×(94)2022−1=5×(94)2021=5×(32)4042.【练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+1都在y 轴上，且B n B n+1的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），那么A1的纵坐标为；用n的代数式表示A n的纵坐标：．【答案】2；【解析】解：作A1D⊥y轴于点D，则B1D＝B1B2÷2＝（3﹣1）÷2＝1，∴A1的纵坐标＝B1D+B1O＝1+12，同理可得A2的纵坐标＝OB2+（B2B3）÷2＝3+（6﹣3）÷2 4.5，∴A n的纵坐标为，故答案为2，．。
【中考数学】2020中考数学总复习-专题一 规律探究型问题
栏目索引
命题点一 点的坐标变化规律
例3 (2019东营)如图,在平面直角坐标系中,函数y= 3 x和y=- 3x的图象分别为 3
直线l1,l2,过l1上的点A1 1, 33 作x轴的垂线交l2于点A2,过点A2作y轴的垂线交l1于
点A3,过点A3作x轴的垂线交l2于点A4,……,依次进行下去,则点A2 019的横坐标为 -31 009 .
+1+ 12 -
1 3
+…+1+ 2 0118
-
2
1 019
=2
018+1- 1 + 1 - 1+ 1- 1 +…+
2 23 34
1 - 1 =2 018 2 018 .
2 018 2 019
2 019
栏目索引
方法技巧 解答此类问题常用的解题方法有以下两种: (1)合情推理:从简单(或特殊)的情形入手,通过研究简单(或特殊)问题中存在的 变化关系,猜测、归纳复杂(或一般)情形下存在的规律. (2)抓“变”与“不变”:把蕴含的规律用含有序数的式子表示出来.
栏目索引
3.(2019云南)按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,…,第n个单项式是 ( C)
A.(-1)n-1x2n-1
B.(-1)nx2n-1
C.(-1)n-1x2n+1
D.(-1)nx2n+1
解析 ∵x3=(-1 )1-1 x211,
-x5=(-1 )2-1 x221,x7=(-1 )3-1 x231,-x9=(-1 )4-1 x241,
栏目索引
类型二 图形类规律探究问题
根据点或图形的个数,确定图中哪些部分发生了变化,变化的规律是什么, 通过分析找到各部分的变化规律后,用一个统一的式子表示出变化规律是解答 此类问题的关键.
【精选】2020年中考数学典例精做专题06 探索规律(1) (教师版)
※知识精要探索规律是根据已知的几个数据或几个图形中发现数据的变化规律，用代数式表示出来，它是数学中常见的类型之一，．探索规律体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．※要点突破1、探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体问题出发，观察各个数量的特点及变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，得出结论，并取特殊值验证结论的正确性．2、需要掌握几种常见的规律题的解题方法和技巧：（1）等差规律（2）循环规律（3）平方规律（4）等比规律等。
※典例精讲例．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案．可以看作是第1个图案经过平移而得，那么(1)第4个图案中柯白色六边形地面砖____块，第n个图案中有白色地面砖____块【答案】18 4n+2故答案为：18，4n+2．※课堂精练一、数与式型1．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是()A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110【答案】B2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）A．38 B．52 C．66 D．74【答案】D【解析】根据前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，据此解答.观察每个正方形里的数字，发现前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，所以第四个正方形中左下角是8，右上角是10，则m为74.故选D．3．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（）A．a n B．﹣a n C．（﹣1）n+1a n D．（﹣1）n a n【答案】C【解析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．解：观察可知次数序号是一样的，奇数位置时系数为1，偶数位置时系数为-1，则有a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，（﹣1）n+1•a n．故选C．4．观察下列算式: , , , ,, , , …,则…的未位数字是( )A．8 B．6 C．4 D．0【答案】B5．计算下列各式：（x﹣1）（x+1）=；（x﹣1）（x2+x+1）=；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=；…（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=（其中n为正整数）；（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．【答案】x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（1）x7﹣1；（2）x n﹣1；（3）236﹣1．【解析】（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，（1）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x+1）=x n﹣1；（3）1+2+22+23+24+…+235=（2﹣1）（235+234+233+…+2+1）=236﹣1．6．已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=_____.【答案】1097．阅读下列材料，并解答问题：①；②；③；④；……(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．【答案】（1）；（2）=；（3）.【解析】（1）根据前4个式子的规律即可写第⑤个等式；（2）观察可知第n个等式左边是，右边是，据此即可得；（3）根据上面的规律进行计算即可得.解：（1）观察前4个等式，可知第⑤个等式是，故答案为：；（2）观察可知等式左边是，右边是，所以用含n的等式表示为：=；（3）＋＋＋…＋=+++…+==.二、循环型1．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【答案】A2.若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是，-1的差倒数为=，现已知x1=，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2018= ．【答案】=3. 如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份(每一份称为一段弧长)，把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5．若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．（1）若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为的点？（2）2018次“移位”后，他到达编号为的点？【答案】（1）若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为3号的的点。
专题01 规律探究压轴题真题训练汇总(原卷版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题01规律探究压轴题真题训练一．尾数特征（共1小题）1．（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（）A．0B．1C．7D．8二．算术平方根（共1小题）2．（2022•烟台）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）A．（2）5B．（2）6C．（）5D．（）6三．规律型：数字的变化类（共12小题）3．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：，﹣，，﹣，，﹣，…．则按此规律排列的第10个数是（）A．﹣B．C．﹣D．4．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98B．100C．102D．1045．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（）A．（2n﹣1）x n B．（2n+1）x n C．（n﹣1）x n D．（n+1）x n 6．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019 7．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169 8．（2020•娄底）下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．1899．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是．10．（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．行第列．12．（2020•德阳）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…，我们称4是第2组第1个数字，16是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝．13．（2020•泰安）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a4+a200＝．14．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．四．规律型：图形的变化类（共10小题）15．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A．297B．301C．303D．400 16．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12 17．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．918．（2021•玉林）观察下列树枝分叉的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9﹣Y4＝（）A．15×24B．31×24C．33×24D．63×24 19．（2020•十堰）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（）A．17B．18C．19D．20 20．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n 个图中共有木料根．21．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A1，以AA1为直径画半圆①；取A1B的中点A2，以A1A2为直径画半圆②；取A2B的中点A3，以A2A3为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为．22．（2022•绥化）如图，∠AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1⊥OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2⊥OA交射线OB于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2…按照此规律，线段P2023K2023的长为．23．（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有．24．（2021•黑龙江）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形A n B n∁n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n的面积为S n，则S2021＝．五．完全平方公式（共2小题）25．（2020•贺州）我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n＝0，1，2，3，…）展开式系数的规律：以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（）A．64B．128C．256D．612 26．（2019•烟台）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．1024六．点的坐标（共1小题）27．（2004•南宁）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，离O点的距离是米．七．规律型：点的坐标（共9小题）28．（2019•日照）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为（）A．（﹣1008，0）B．（﹣1006，0）C．（2，﹣504）D．（1，505）29．（2014•威海）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为（）A．0B．﹣3×（）2013C．（2）2014D．3×（）2013 30．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4 (x)上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A 2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝．31．（2022•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，…，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是．32．（2021•齐齐哈尔）如图，抛物线的解析式为y＝x2，点A1的坐标为（1，1），连接OA1；过A1作A1B1⊥OA1，分别交y轴、抛物线于点P1、B1；过B1作B1A2⊥A1B1，分别交y轴、抛物线于点P2、A2；过A2作A2B2⊥B1A2，分别交y轴、抛物线于点P3、B2；…；按照如此规律进行下去，则点P n（n为正整数）的坐标是．33．（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是．34．（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．35．（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt △OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．36．（2018•资阳）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是．八．坐标确定位置（共1小题）37．（2008•湛江）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是．九．一次函数图象上点的坐标特征（共5小题）38．（2021•兴安盟）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为．39．（2021•泰安）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x 轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形A n B n B n+1∁n的边长为（结果用含正整数n的代数式表示）．40．（2019•朝阳）如图，直线y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作AB⊥AM，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，A n﹣1B n﹣1C n﹣1A n中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，S n，则S n可表示为．41．（2019•齐齐哈尔）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．42．（2018•湖北）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y＝﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依．据图形所反映的规律，S2018＝一十．两条直线相交或平行问题（共1小题）43．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x交于点A 1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A n的纵坐标为（）A．（）n B．（）n+1C．（）n﹣1+D．一十一．三角形的面积（共3小题）44．（2021•黑龙江）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD 至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝．45．（2020•辽宁）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则S n等于．（用含有正整数n的式子表示）46．（2020•丹东）如图，在矩形OAA1B中，OA＝3，AA1＝2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2＝OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3＝OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4＝OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为．十二．等边三角形的性质（共1小题）47．（2019•锦州）如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A 的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n 的面积为S n，则S n＝．（n≥2，且n为整数）﹣1十三．含30度角的直角三角形（共2小题）48．（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为．49．（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA 1＝．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于．十四．勾股定理（共1小题）50．（2020•烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n ﹣1C．（）n D．（）n﹣1十五．正方形的性质（共1小题）51．（2019•鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n∁n A n+1，且点A0，A1，A2，A3，…，A n+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n的面积为S n，则S2019＝．十六．扇形面积的计算（共1小题）52．（2019•抚顺）如图，直线l 1的解析式是y＝x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则S n＝．（用含有正整数n 的式子表示）十七．相似三角形的判定与性质（共1小题）53．（2021•东营）如图，正方形ABCB 1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…，依此规律，则线段A2020A2021＝．十八．概率公式（共1小题）54．（2020•济宁）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）个图案中有1个正方体，第（2）个图案中有3个正方体，第（3）个图案中有6个正方体，…按照此规律，从第（100）个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（）A．B．C．D．。
2021年中考数学总复习专题特训1 规律探索与归纳推理
专题特训一 规律探索与归纳推理题型1 数式规律1．按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，…，第n 个单项式是( )A ．(－1)n －1x 2n －1B ．(－1)n x 2n －1C ．(－1)n －1x 2n ＋1D ．(－1)n x 2n ＋12．按一定规律排列的一组数：12 ，16 ，112 ，120 ，…，1a ，190 ，1b(其中a ，b 为整数)，则a ＋b 的值为( )A ．182B ．172C ．242D ．2003．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 021的结果的个位数字是( )A ．0B ．1C ．7D ．8 4．(2020·西藏中考)观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…； 1，4，7，10，13，16，19，22，25，….探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n 个相同的数是103，则n 等于( ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 5．(2020·娄底中考)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为( )A ．135B ．153C ．170D ．1896．按一定规律排列的一列数依次为：－a 22 ，a 55 ，－a 810 ，a 1117，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是____(n 为正整数).7．a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，…是一列数，已知第1个数a 1＝4，第5个数a 5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2 021个数a 2 021的值是___．8．有2 021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__0__，这2 021个数的和是____．9．将从1开始的自然数按如图规律排列，例如，位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第5列的数是___．10．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律，若把第1个三角数记为a 1，第2个三角数记为a 2，…，第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 199＋a 200＝____．11．(2020·咸宁中考)按一定规律排列的一列数：3，3 2，3－1，33，3－4，37，3－11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是____．12．(2020·铜仁中考)观察下列等式： 2＋22＝23－2； 2＋22＋23＝24－2； 2＋22＋23＋24＝25－2； 2＋22＋23＋24＋25＝26－2； ……已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m ，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝____(结果用含m 的代数式表示).13．观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30＋31＋32＋…＋32 022 的结果的个位数字是____．14．观察下列式子：第1个式子：2×4＋1＝9＝32， 第2个式子：6×8＋1＝49＝72，第3个式子：14×16＋1＝225＝152，……请写出第n个式子：___．题型2图形规律15．(2020·百色模拟)平面上2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…，那么6条直线最多有()A．21个交点 B．18个交点C．15个交点 D．10个交点16．(2020·日照中考)用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是()A．59 B．65 C．70 D．7117．(2020·聊城中考)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图中的白色小正方形地砖的块数是()A．150 B．200C．355 D．50518．(2020·达州中考)如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是()A.12(m－1)B．4m＋8(m－2)C．12(m－2)＋8D．12m－1619．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有____个小圆(用含n的代数式表示)．20．(源于沪科七上P83)如图，用棱长为a的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个图形中小正方体拼成的长方体表面积是____．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2 021次后，则它与AB 边的碰撞次数是____．题型3与坐标有关的规律22．如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2).把一条长为2 021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A 处，并按A —B —C —D —A —…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(1，1)D ．(0，1)23．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x ＋1交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点A 1，A 2，A 3，…在x 轴上，点B 1，B 2，B 3，…在直线l 上．若△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…均为等边三角形，则△A 5B 6A 6的周长是( )A ．243B ．483C ．963D ．192324．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，若点A 1的坐标为(3，1)，则点A 2 021的坐标为____．25．(2020·朝阳中考)如图，动点P 从坐标原点(0，0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1 s 运动到点(1，0)，第2 s 运动到点(1，1)，第3 s 运动到点(0，1)，第4 s 运动到点(0，2)……则第2 068 s 点P 所在位置的坐标是___．答案专题特训一 规律探索与归纳推理题型1 数式规律1．按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，…，第n 个单项式是( C )A ．(－1)n －1x 2n －1B ．(－1)n x 2n －1C ．(－1)n －1x 2n ＋1D ．(－1)n x 2n ＋12．按一定规律排列的一组数：12 ，16 ，112 ，120 ，…，1a ，190 ，1b(其中a ，b 为整数)，则a ＋b 的值为( A )A ．182B ．172C ．242D ．2003．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝16 807，…，根据其中的规律可得70＋71＋72＋…＋72 021的结果的个位数字是( D )A ．0B ．1C ．7D ．8 4．(2020·西藏中考)观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…； 1，4，7，10，13，16，19，22，25，….探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n 个相同的数是103，则n 等于( A ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 5．(2020·娄底中考)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为( C )A．135 B．153 C．170 D．1896．按一定规律排列的一列数依次为：－a22，a55，－a810，a1117，…(a≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是__(－1)n·a3n－1n2＋1__(n为正整数).7．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2 021个数a2 021的值是__5__．8．有2 021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__0__，这2 021个数的和是__1__．9．将从1开始的自然数按如图规律排列，例如，位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第5列的数是__2__021__．10．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律，若把第1个三角数记为a1，第2个三角数记为a2，…，第n个三角数记为a n，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a199＋a200＝__40__000__．11．(2020·咸宁中考)按一定规律排列的一列数：3，32，3－1，33，3－4，37，3－11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__a÷b＝c__．12．(2020·铜仁中考)观察下列等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；2＋22＋23＋24＋25＝26－2；……已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220＋221＋222＋223＋224＋…＋238＋239＋240＝__m(2m－1)__(结果用含m的代数式表示).13．观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规律可得30＋31＋32＋…＋32 022的结果的个位数字是__3__．14．观察下列式子：第1个式子：2×4＋1＝9＝32，第2个式子：6×8＋1＝49＝72，第3个式子：14×16＋1＝225＝152，……请写出第n个式子：__(2n＋1－2)×2n＋1＋1＝(2n＋1－1)2__．题型2图形规律15．(2020·百色模拟)平面上2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，…，那么6条直线最多有(C)A．21个交点 B．18个交点C．15个交点 D．10个交点16．(2020·日照中考)用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是(C)A．59 B．65 C．70 D．7117．(2020·聊城中考)人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第n个图形用图表示，那么图中的白色小正方形地砖的块数是(C)A．150 B．200C．355 D．50518．(2020·达州中考)如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是(A)A.12(m－1)B．4m＋8(m－2)C．12(m－2)＋8D．12m－1619．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有__[4＋n(n＋1)]__个小圆(用含n的代数式表示)．20．(源于沪科七上P83)如图，用棱长为a的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个图形中小正方体拼成的长方体表面积是__(4n＋6)a2__．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2 021次后，则它与AB 边的碰撞次数是__673__．题型3与坐标有关的规律22．如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2).把一条长为2 021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A—B—C—D—A—…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(D)A．(－1，0) B．(1，0)C．(1，1) D．(0，1)23．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝33 x＋1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是(C)A．243 B．483 C．963 D．192324．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得点A1，A2，A3，…，A n，…，若点A1的坐标为(3，1)，则点A2 021的坐标为__(3，1)__．25．(2020·朝阳中考)如图，动点P从坐标原点(0，0)出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第1 s运动到点(1，0)，第2 s运动到点(1，1)，第3 s运动到点(0，1)，第4 s运动到点(0，2)……则第2 068 s点P所在位置的坐标是__(45，43)__．。
专题一 规律探究问题
第2个图Y2=3
第3个图Y3=7
第4个图Y4=15
A.15×24
C.33×24
B.31×24
D.63×24
B )
2.(2022 临淄一模)如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形,第
1 幅图形中“•”的个数为 a1,第 2 幅图形中“•”的个数为 a2,第 3 幅图形中“•”的个数为 a 3,…,以此
2.(2021十堰)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列,例如,位于第4行第3列的数为27,则位
于第32行第13列的数是( B )
A.2 025
B.2 023
C.2 021
D.2 019
3.(2022 淄川一模)观察下列等式:4-2=4÷2, -3= ÷3,- - =- ÷ .请你找出一个满足以上特征的两个
类推,则 + + +…+
A.
C.
B.
D.
的值为(
C )
3.(2022芝罘一模)如图所示,某果农将苹果树种在正方形的果园,为了保护苹果树不被风吹,他在苹
果树的周围种植针叶树,根据图中规律,该果农计划种植100棵苹果树,需要种植针叶树的棵数
A.18
B.19
C.20
D.21
A)
(1)等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,这个常数叫做
等差数列的公差,公差常用字母d表示,例如:等差数列1,3,5,7,9,…,2n-1中,通项公式为a n =
七年级数学上册人教版整式的加减专题复习——规律探究(解析版)
整式的加减专题复习——规律探究（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一数式规律典例1（2021秋•南岗区校级期中）有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…，其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是．思路引领：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为1701，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入﹣3x和9x 中，取其中最小值即可得出结论．解：设三个数中最前面的数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，依题意，得：x﹣3x+9x＝1701，解得：x＝243，∴﹣3x＝﹣729，9x＝2187．∵﹣729＜243＜2187，故答案为：﹣729．总结升华：本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．典例2（2022秋•涟水县校级月考）观察下面三行数，并按规律填空：①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，，，…；②0，6，﹣6，18，﹣30，66，，…；③﹣3，3，﹣9，15，﹣33，63，，…．（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；（2）请你分别写出第②③行的第7个数；（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．思路引领：（1）根据已知数据都是前一个数乘2的到得，再利用第奇数个系数为负数即可得出答案；（2）根据3行数据关系分别分析得出即可；（3）根据（2）得出的规律分别求出每行第9个数，再把它们相加即可．解：（1）∵①﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，∴第7个数是﹣128，第八个数是256；（2）第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1得到的，即第二行的第7个数是﹣128+2＝﹣126，第三行的第7个数是﹣128﹣1＝﹣129；（3）根据以上所求得出：第一行第9个数为﹣512，第二行第9个数为﹣512+2＝﹣510，第三行第9个数为﹣512﹣1＝﹣513，则这三个数的和是：﹣512﹣510﹣513＝﹣1535．总结升华：此题主要考查了数字变化规律，根据已知数据得出得数字第②行数是第①行数加上2，第③行数正好比第①行数少1得到的是解题关键．针对训练11．（2021•武汉）按照一定规律排列的n个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为（）A．9B．10C．11D．12思路引领：观察得出第n个数为（﹣2）n，根据最后三个数的和为768，列出方程，求解即可．解：由题意，得第n个数为（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝768，当n为偶数：整理得出：3×2n﹣2＝768，解得：n＝10；当n为奇数：整理得出：﹣3×2n﹣2＝768，则求不出整数．故选：B．总结升华：此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为（﹣2）n是解决问题的关键．2．（2021秋•新洲区期中）有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的规律排列，那么这串数中前个数的和最小．思路引领：根据题目中数据的特点，可以写出第n个数，然后令第n个数等于0，即可得到相应的n的值，从而可以解答本题．解：∵有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…∴这串数的第n个数为﹣2018+4（n﹣1）＝4n﹣2022，当4n﹣2022＝0时，解得，n＝505…2，∴那么这串数中前505个数的和最小，故答案为：505．总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出第多少个数的值为0．类型二数阵、数表规律典例3（2020秋•江汉区月考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25行第20个数是．思路引领：观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行的第一个数，结论可得．解：观察数字的变化可知：第n行有n个偶数．∵第1行的第一个数是：2＝1×0+2；第2行第一个数是：4＝2×1+2；第3行第一个数是：8＝3×2+2；第4行第一个数是：14＝4×3+2；•∴第n行第一个数是：n（n﹣1）+2．∴第25行第一个数是：25×24+2＝602．∴第25行第20个数是：602+2×19＝640．故答案为：640．总结升华：本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算．准确找出数字的变化规律是解题的关键．典例4（2019秋•江汉区期中）有这样一对数，如下表，第n+3个数比第n个数大2（其中n是正整数）第1个第2个第3个第4个第5个……a b c（1）第5个数表示为；第7个数表示为；（2）若第10个数是5，第11个数是8，第12个数为9，则a＝，b＝，c＝；（3）第2019个数可表示为．思路引领：（1）根据第n+3个数比第n个数大2，即可求解；（2）根据第n+3个数比第n个数大2，分别求出第10、11、12个数即可求出结果；（3）根据数字的变化规律，解：（1）∵第n+3个数比第n个数大2，∴第5个数比第2个数大2，∴第5个数为b+2．∵第4个数比第1个数大2，∴第4个数为a+2，∴第7个数比第4个数大2，∴第7个数为a+4．故答案为b+2、a+4．（2）∵第10个数为a+6，第11个数为b+6，第12个数为c+6，∴a+6＝5，b+6＝8，c+6＝9解得a＝﹣1，b＝2，c＝3．故答案为﹣1、2、3．（3）第一组数是a、b、c第二组数是a+2、b+2、c+2第三组数是a+4、b+4、c+4第四组数是a+6、b+6、c+6…第n组数的第三个数是c+（2n﹣2）2019÷3＝673，第2019个数是第673组的第三个数，∴第673组的第三个数是c+2×673﹣2＝c+1344．故答案为c+1344．总结升华：本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找数字的变化规律．针对训练21．（2021秋•播州区期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a6＝，a2020＝．思路引领：根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到a6和a2020的值．解：由题意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴a n＝1+2+3+…+n=n(n+1)2，∴当n＝6时，a6=6×72=21，当n＝2020时，a2020=2020×20212=2041210，故答案为：21，2041210．总结升华：本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值．2．（2018秋•江夏区期中）已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（）A．﹣46B．﹣36C．37D．45思路引领：观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为﹣46．故选A．解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有1个数，…，第9行有9个数，所以前9行的数的个数为1+2+3+…+9＝45，而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，所以第10行数的第1个数为﹣46．故选：A．总结升华：本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．3．（2017秋•海淀区校级期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．（1）可求得x＝，第2017个格子中的数为．（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m的值，若不能，请说明理由．（3）若取前3格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，那么所有的|a﹣b|的和可以通过计算|9﹣★|+|9﹣☆|+|★﹣☆|得到，其结果为；若a、b为前19格子中的任意两个数记作a、b，且a≥b，则所有的|a﹣b|的和为．思路引领：（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出x的值，再根据第9个数是2可得☆＝2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2014除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；（2）可先计算出这三个数的和，再照规律计算．（3）由于是三个数重复出现，因此可用前三个数的重复多次计算出结果．解：（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，∴9+★+☆＝★+☆+x，解得：x＝9，★+☆+x＝☆+x﹣6，∴★＝﹣6，所以，数据从左到右依次为9、﹣6、☆、9、﹣6、☆、…，第9个数与第三个数相同，即☆＝2，所以，每3个数“9、﹣6、2”为一个循环组依次循环，∵2017÷3＝672…1，∴第2017个格子中的整数与第1个格子中的数相同，为9．故答案为：9，9；（2）9﹣6+2＝5，2018＝2015+3＝2015+9﹣6，2015÷5＝403，403×3＝1209，所以是第1209+1+1＝1211个数，即m＝1211，故前1211个数的和为2018；（3）∵取前3格子中的任意两个数，记作a、b，且a≥b，∴所有的|a﹣b|的和为：|9﹣（﹣6）|+|9﹣2|+|﹣6﹣2|＝30．∵由于是三个数重复出现，那么前19个格子中，这三个数，9出现了7次，﹣6和2各出现了6次．∴代入式子可得：|9﹣（﹣6）|×7×6+|9﹣2|×7×6+|2﹣（﹣6）|×6×6＝1212．故答案为：30，1212．总结升华：本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是找出数字间的关系，得出规律．类型三图形的增长规律典例4（2021•汉川市模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是．思路引领：观察图象中点的个数的规律有第一个图形是4＝1+3，第二个图形是9＝3+6，第三个图形是16＝6+10，…则按照此规律得到第10个图形的规律即可．解：∵第1个图形是4＝1+（1+2），第2个图形是9＝（1+2）+（1+2+3），第3个图形是16＝（1+2+3）+（1+2+3+4），…∴第10个图形是112＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）＝55+66．故答案为：66．总结升华：此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．典例5（2020秋•江夏区期中）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的数量是（）A．360B．363C．365D．369思路引领：观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n＝14代入进行计算即可．解：第1个图案只有（2×1﹣1）2＝12＝1块黑色地砖，第2个图案有黑色与白色地砖共（2×2﹣1）2＝32＝9，其中黑色的有12（9+1）＝5块，第3个图案有黑色与白色地砖共（2×3﹣1）2＝52＝25，其中黑色的有12（25+1）＝13块，…第n 个图案有黑色与白色地砖共（2n ﹣1）2，其中黑色的有12[（2n ﹣1）2+1]，当n ＝14时，黑色地砖的块数有12×[（2×14﹣1）2+1]=12×730＝365．故选：C ．总结升华：本题考查图形的变化规律，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键． 针对训练31．（2021秋•中山市期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有 个〇．思路引领：观察图形的变化先得前几个图形中圆圈的个数，可以发现规律：第n 个图形共有（3n +1）个〇，进而可得结果． 解：观察图形的变化可知： 第1个图形共有1×3+1＝4个〇； 第2个图形共有2×3+1＝7个〇； 第3个图形共有3×3+1＝10个〇； …所以第n 个图形共有（3n +1）个〇； 所以第10个图形共有10×3+1＝31个〇； 故答案为：31．总结升华：本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．2．（2018秋•硚口区期中）对于大于或等于2的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分裂成从1开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是 ．思路引领：由题意可知：每个数中所分解的最大的奇数是前边底数的2倍减去1．由此得出答案即可．解：自然数n2的分裂数中最大的奇数是2n﹣1．20182分裂的数中最大的奇数是2×2018﹣1＝4035，故答案为：4035．总结升华：此题考查数字的变化规律，注意根据具体的数值进行分析分解的最大的奇数和底数的规律，从而推广到一般．3．（2022•仙居县校级开学）如图，都是由棱长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（10）个图形由（）个正方体叠成．A．120B．165C．220D．286思路引领：根据图形的变换规律，可知第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+ n(n+1)2，据此可得第（6）个图形中正方体的个数．解：由图可得：第（1）个图形中正方体的个数为1；第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+n(n+1)2，∴第10个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28+36+45+55＝220．故选：C．总结升华：本题主要考查了图形变化类问题，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+⋯+n(n+1)2．类型四乘方规律典例6（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ） A ．0B ．1C ．7D ．8思路引领：由已知可得7n 的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，即可求解．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，… ∴7n 的尾数1，7，9，3循环， ∴70+71+72+73的个位数字是0， ∵2023÷4＝505…3，∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同， ∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7， 故选：C ．总结升华：本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．典例7（2022秋•东港区校级月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S ＝1+2+22+23+……+22007，则2S ＝2+22+23+24+……+22008，因此2S ﹣S ＝22009﹣1，即S ＝22009﹣1，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+……+32022值为32023−12．思路引领：令S ＝1+3+32+33+……+32022，则3S ＝3+32+33+……+32023，作差求出S 即可． 解：令S ＝1+3+32+33+……+32022， 则3S ＝3+32+33+……+32023， ∴3S ﹣S ＝32023﹣1， 则S =32023−12，即1+3+32+33+……+32022=32023−12．故答案为：32023−12．总结升华：本题考查数字的变化规律，通过观察所给的求和方法，灵活应用此方法求和是解题的关键． 针对训练41．（2021秋•罗湖区期中）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a ，用含a 的式子表示这组数之和是（ ） A ．2a 2﹣2aB ．2a 10﹣2a 5﹣2C ．2a 2﹣aD ．2a 20﹣a思路引领：把所求的数列的各数提取2500，可得：2500×（2+22+23+…+2499+2500），利用所给的等式的规律求解即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…， ∴2+22+23+…+2n ＝2n +1﹣2， ∴2501+2502+2503+…+2999+21000 ＝2500×（2+22+23+…+2499+2500） ＝2500×（2500+1﹣2） ＝2500×（2×2500﹣2）， ∵2500＝a ， ∴原式＝a （2a ﹣2） ＝2a 2﹣2a ． 故选：A ．总结升华：本题主要考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出规律．2．（2019秋•汾阳市期末）任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m 3分裂后，其中有一个奇数是203，则m 的值是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16思路引领：观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m 3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数203的是从3开始的第101个数，然后确定出101所在的范围即可得解．解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m 3分裂成m 个奇数，所以，到m 3的奇数的个数为：2+3+4+…+m =(m+2)(m−1)2，∵2n +1＝203，n ＝101，∴奇数203是从3开始的第101个奇数， ∵(13+2)(13−1)2=90，(14+2)(14−1)2=104，∴第101个奇数是底数为14的数的立方分裂的奇数的其中一个， 即m ＝14． 故选：B ．总结升华：本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．3．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示：则第4个方框中x+y的值是（）A．11B．12C．13D．14思路引领：找出求解过程图中的规律，利用此规律求得m，n，x，y的值，将相应字母的值代入即可得出结论．解：求解过程图中的表格中的规律为：第一行前两个格为十位数字的平方，后两个格为个位数字的平方，平方后不是两位数，十位数字用0代替，第二行从第二个格开始表示的是两位数中个位数字与十位数字的乘积的2倍，第三行为从右开始将一二行数字相加的和，足10进1，∵62＝36，∴m＝3，n＝6，∵6×7×2＝84，∴x＝8，y＝4，∴x+y＝12．故选：B．总结升华：本题主要考查了有理数的乘方，求代数式的值，找出求解过程图中的规律是解题的关键．类型五幻方规律典例8（2021秋•江阴市期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）A．﹣6或﹣3B．﹣8或1C．﹣1或﹣4D．1或﹣1思路引领：由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，故选：A．总结升华：本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．典例9（2020•冷水江市一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，m＝．思路引领：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可．解：1+2+3+…+9＝45，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15，∴第一列第三个数为：15﹣2﹣5＝8，第三列第二个数为：15﹣3﹣5＝7，第三个数为：15﹣2﹣7＝6，如图所示：∴m＝15﹣8﹣6＝1．故答案为：1．总结升华：本题考查数的特点和有理数的加法，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键．针对训练51．（2021秋•南安市期中）现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8将它们填入图1（3个圆两两相交分成7个部分）中，使得每个圆内部的4个数之积相等，设这个积为m，如图2给出了一种填法，此时m＝64，在所有的填法中，m的最大值为256．思路引领：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4m＝256解：观察图象，可得这7个数，有的被乘了1次，2次，3次．要使得每个圆内部的4个数之积相等且最大所以﹣8，﹣8必须放在被乘两次的位置．与﹣8，﹣8同圆的只能为﹣1，﹣4，其中﹣4放在中心位置，如图∴m＝（﹣8）×（﹣8）×（﹣1）×（﹣4）＝256总结升华：本题考查有理数的乘法，关键是找到两个（﹣8）的位置．2．将9个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如表一：按此规律将满足条件的另外6个数填入表二，则表二中这9个数的和为（用含a的整式表示）．表一492357816表二a+5a+1a﹣1思路引领：根据同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等作出图形，根据题意列出关于a与x的方程，可得x＝a+2，进一步求出这9个数的和即可．解：如图所示：4+x+a﹣1+a+3＝a﹣3+a+1+a+3，解得x＝a﹣5，a+3+x+a+3＝2a+6+a﹣5＝3a+1，3（3a+1）＝9a+3．故答案为：9a+3．总结升华：此题考查了列代数式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型六其他规律典例10（2019秋•武昌区校级期中）某初中七（5）班学生军训排列成7×7＝49人的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点4个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则15次点名后蹲下的学生人数可能是（）A．3B．27C．49D．以上都不可能思路引领：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的4个数，即每次运算乘以4个“﹣1”，即乘以了“+1”，乘积为“+1”，即可得出结论．解：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，每次改变其中的4个数， 即每次运算乘以4个“﹣1”，即乘以了“+1”， 15次点名后，乘积仍然是“+1”， 所以，最后出现“﹣1”的个数为偶数， 即蹲下的学生人数为偶数， 选项A ，B ，C 都不符合题意， 故选：D ．总结升华：此题主要考查了奇数与偶数，有理数乘法中积的符号的判断，解决本题的关键是利用有理数的乘法进行解决． 针对训练61．（2019秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x 是集合的一个元素时，100﹣x 也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m ，且1180＜m ＜1260，则该黄金集的元素的个数是（ ） A ．23B ．24C ．24或25D ．26思路引领：由黄金集合的定义，可知一个整数是x ，则必有另一个整数是100﹣x ，则这两个整数的和为x +100﹣x ＝100，只需判断1180＜m ＜1260内100的个数即可求解． 解：在黄金集合中一个整数是x ，则必有另一个整数是100﹣x ， ∴两个整数的和为x +100﹣x ＝100， 由题意可知，1180＜m ＜1260时， 100×12＝1200，100×13＝1300， ∴这个黄金集合的个数是24或25个； 故选：C ．总结升华：本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合m 的取值范围，进而确定元素个数是解题关键．第二部分 专题提优训练1．观察下面一列数：1，12，2，13，1，3，14，23，32，4，15，12，1，2，5，16，…（已写出了第1至第16个数）．（1）第7，第8，第9，第10个数的积是 ，前16个数的积是 ； （2）按此规律，第30个数是 ；（3）在上面这列数中，从左起第m 个数记为F （m ），当F （m ）=92020时，求m 的值． 思路引领：（1）根据规律直接写出数计算即可；（2）根据题意将数字从左边开始分别以1个数，2个数，3个数，…，为一组，每组数据的积为1，且分子递增1，分母递减1，然后根据规律得出第30个数即可； （3）根据F （m ）=92020判断出F （m ）是第几组第几个数即可得出m 的值． 解：（1）根据题意知，第7，第8，第9，第10个数的积是14×23×32×4＝1，前16个数的积是1×（12×2）×（13×1×3）×（14×23×32×4）×（15×24×1×42×5）×16=16，故答案为：1，16；（2）由（1）知，将数字从左边开始分别以1个数，2个数，3个数，…，为一组，每组数据的积为1，且分子递增1，分母递减1， ∵1+2+3+4+5+6+7＝28，∴第30个数在第8组的第2个数，即1+18−1=27，故答案为：27；（3）∵F （m ）=92020，2020+9＝2029，∴F （m ）是第2028组第9个数，前面有2027组数， ∴m ＝（1+2+3+4+…+2027）+9=1+20272×2027+9=2055387． 总结升华：本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化分组分析规律是解题的关键．2．（2021秋•丹江口市期中）观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：（1）在表中，第12行第6个数是 ；（2）在表中，“2021”是其中的第 行，第 个数；（3）将表中第i 行的最后一个数记为a i ，如第1行的最后一个数记为a 1，即a 1＝1，第2行的最后一个数记为a 2，即a 2＝3，如此下去，a 3＝﹣6，a 4＝﹣10，…，第n 行的最后一个数记为a n ，则用含n 的式子表示|a n |为 ； （4）在（3）的条件下，计算1a 1+1a 2−1a 3−1a 4+1a 5+1a 6−1a 7−1a 8+1a 9+1a 10．思路引领：（1）先求出前11行一共有66，即可求解；（2）求出前n 行共有n(n+1)2个数，再求前63行共有2016个数，即可求2021的位置；（3）由题意可得，1+2+3+......+n =n(n+1)2，即可求解； （4）原式=2(1−12+12−13+13−14+......+19−110+110−111)，再运算即可． 解：（1）由题可知，第一行1个数，第二行2个数，…，第n 行n 个数， ∴前11行一共有1+2+3+…+11＝66， ∴第12行第一个数是67， ∴第12行第6个数是﹣72， 故答案为：﹣72；（2）由题意可得，前n 行共有n(n+1)2个数，∴当n ＝63时，前63行共有2016个数， ∴2021时第64行的第5个数， 故答案为：64，5；（3）由题意可得，1+2+3+......+n =n(n+1)2， ∴|a n |=n(n+1)2， 故答案为：n(n+1)2； （4）1a 1+1a 2−1a 3−1a 4+1a 5+1a 6−1a 7−1a 8+1a 9+1a 10=11+13+16+110+......+145=2(11×2+12×3+13×4+......+19×10+110×11) =2(1−12+12−13+13−14+......+19−110+110−111)=2(1−111) =2011．总结升华：本题考查数字的变化规律，根据题意探索数字的排列规律是解的关键． 3．（2022•东莞市校级一模）找出以下图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是 3033 ．思路引领：仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 解：∵当n 为偶数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +12n 个；当n 为奇数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +12（n +1）个，∴当n ＝2022时，黑色正方形的个数为2022+1011＝3033个． 故答案为：3033．总结升华：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律．4．（2020秋•西城区校级期中）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…．由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数 ．（2）类似地，我们将k 边形数中第n 个数记为N （n ，k ）（k ≥3）．以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数：N （n ，3）=12n 2+12n 正方形数：N （n ，4）＝n 2 五边形数：N （n ，5）=32n 2−12n 六边形数：N （n ，6）＝2n 2﹣n …根据以上信息，得出N （n ，k ）＝ ．（用含有n 和k 的代数式表示）思路引领：（1）由题意得第8个图的三角形数是36，所以既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36；（2）由已知等式进行变形进而可推出结果．解：（1）由题意第8个图的三角形数为12×8（8+1）＝36，∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36， 故答案为36．（2）∵N （n ，3）=n 2+n 2=(3−2)n 2+(4−3)n2，N （n ，4）＝n 2=2n 2+0×n 2=(4−2)n 2+(4−4)n2， N （n ，5）=32n 2−12n =(5−2)n 2+(4−5)n2，N （n ，6）＝2n 2﹣n =4n 2−2n 2=(6−2)n 2+(4−6)n2， 由此推断出N （n ，k ）=(k−2)n 2+(4−k)n2（k ≥3）．故答案为：(k−2)n 2+(4−k)n2（k ≥3）．总结升华：本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．5．（2020秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n 2的个位数字是1（0＜n ≤2020，且n 为整数），下列选项中，n 的最大值是（ ） A ．2001B ．2006C ．2011D ．2019思路引领：通过计算发现每10个数，末位数字循环一次，再结合选项进行判断即可求解． 解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…， ∴每10个数，末位数字循环一次， ∴1+4+9+6+5+6+9+4+1+0＝45， ∵2001÷10＝200……1， ∴200×45+1＝9001； ∵2006÷10＝200……6， ∴200×45+1+4+9+6+5+6＝9031； ∵2011÷10＝201……1， ∴201×45+1＝9046； ∵2019÷10＝201……9， ∴202×45＝9090； ∵2006＞2001， ∴n 的最大值为2006， 故选：B ．总结升华：本题考查数字的变化规律，通过探索每个数的尾数的循环规律，并运用规律求解是解题的关键．6．（2021•碧江区 模拟）观察等式：2+22＝23﹣2：2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝a，则用含a的式子表示这组数的和是．思路引领：由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故答案为：2a2﹣a．总结升华：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．7．（2019秋•武汉期中）如图，在边长为1厘米的正方形网格有12个格点，用这些格点做三角形顶点，一共可以连成面积为2平方厘米的三角形个数为（）A．24B．32C．28D．12思路引领：根据面积等于底乘以高依次分情况分析既可以得到三角形个数．解：①如图以AB为底时，与对边CF的四个顶点都可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有16个，②如图以AC为底与线段BE上的三个点可以构成面积等于2平方厘米的三角形，类似这样的三角形共有12个，其中有四个直角三角形是重复的，故三角形总个数：16+12﹣4＝24个，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题一：规律探究
1.请看下列的一系列算式：
第一个：1＋3＝4＝22
第二个：1＋3＋5＝9＝32
第三个：1＋3＋5＋７＝16＝42
第四个：1＋3＋5＋７＋9＝25＝52……
根据上面各式的规律，请你写出第n 个算式的表达式，并计算第20个式子
的值．
2. 自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以 3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R ，它会掉入一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”.那么最终掉入“陷井”的这个固定不变的数R= .
3、将正奇数按一定的规律排列成5列， 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
根据已有的规律继续排下去，则数 第1行 1 3 5 7
2005在第 行，第 列。
第2行 15 13 11 9
第3行 17 19 21
23
第4行 31 29 27 25 33 4
、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为
5. 有一列数：1，2，3，4，5，6，……，当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了_______个数；当按顺序从第m 个数数到第n 个数（n m >）时，共数了
_______个数。
6. 观察下列各式：131212422235323222⨯=+⨯⨯=+⨯⨯=+⨯；；；……请
…
你将猜想到的规律用自然数()n n ≥1表示出来：____________________________。
7. 1～54这54个自然数排列如下：
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
……
49 50 51 52 53 54
在这张数表中任意圈出一个竖列上相邻的3个数，和不可能是（ ）
A. 66
B. 39
C. 40
D. 57
8. 观察下列两组算式：
（1）22242821623226421281234567=======，，，，，，，
22568=
（2）()222642323===⨯6，……
根据你发现的规律写出169的末位数字是（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 6
9、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15
… …
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ．
10、观察分析下列数据，按规律填空：，2，，2，，…，
第n 个数)。
11、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式.
12、我国宋朝数学家杨辉在他的著作《祥解九章算法》中提出右表，此 表揭示了n b a )(+（n 为非负数）展开式的各项系数的规律。
例如：
1)(0=+b a ，它只有一项，系数为1；
b a b a +=+1)(，它有两项，系数分别为1，1；
2222)(b ab a b a ++=+，它有三项，系数分别为1，2，1；
3223333)(b ab b a a b a +++=+，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
……
根据以上规律，4)(b a +展开式共有五项，系数分别为 。
13、下图的数阵是由全体奇数排成
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。
…… ……
①1=12； ②1+3=22； ③1+3+5=32； ④ ； ⑤ ；
图中有规律哟！。