张禾瑞高等代数第二章课件

一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
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2.1.1 认识多项式
多项式 令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或 一元多项式指的是形式表达式
a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
这里n是非负整数而 ai i 0, 1, , n 都是R中的数. 一元多项式常用符号 f x, g x, 来表示.
令q1 x a b x
1 n m
这里 a0 0, b0 0 ,并且 n
nm
m
则f1 x 有以下性质：
，并记 f1 x f x q1 x g x ,
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f1 x 0或 0 f1 x 0 f x 或者
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
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2.1.4
多项式的加法
多项式的运算
给定数环R上两个多项式
g x b0 b1 x b2 x bm x
2
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10
多项式
一元多项式的定义和运算 多项式的整除性 多项式的最大公因式 多项式的分解 重因式 多项式函数 多项式的根 复数和实数域上多项式 有理数域上多项式 多元多项式 对称多项式
课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 课外学习3：代数与代数基本定理的历史
1：在多项式(1)中,
a0
叫做零次项或常数项,
ai x i
注
叫做 i 次项, a 叫做 i 次项的系数. i 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
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2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全 相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和 g (x)就说是相等 . f (x) = g (x)
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
定义1 设f x, g x F[ x] ，如果存在 hx F[x] ，使得
f x g x hx ，则称 g x 整除 f x ，记为
g x | f x ，此时称 g x 是 f x 的因式，否则称
0 f x 0 f1 x 0 g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 0 f k x 0 g x ，于是
qx q1 x qk x 及r x f k x
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2.2.3 多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
qx , r x F[ x], 使得 f x g xqx r x
这里 r x 0 ，或者 r x g x .
g x 不能整除 f x ，记为
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2.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（1） hx | g x, g x | f x hx | f x （2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x （3） hx | f x, g x F[ x] hx | f xg x （4） hx | f i xi 1,2,, k , g i xi 1,2,, k hx | f1 g1 f k g k （5） 0 c F , f x F[ x] c | f x （6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x （7） f x | g x, g x | f x f x cg x0 c F
且 m n 那么
f x g x a0 b0 a1 b1 x a 2 b2 x 2 a n bn x n （1）
f x g x a0 b0 a0 b1 a1b0 x an bm x n m
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2.1.6
多项式的运算性质
定理 设f x 和g (x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, g x 0 .那么
（i）当 f x g x 0 时,
0 f x g x max 0 f x , 0 g x
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f x a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
f x g x c0 c1 x c2 x cn n x
2
nm
这里
0 0
并且满足上述条件的 qx 和r (x) 只有一对。
注1：qx , r x 分别称为 g x 除f (x)所得的商式和
余式
注2： g x 0, g x | f x r x 0.
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证：先证定理的前一部分.
（i）若 f x 0 , 或 0 f x 0 g x . 则可以取
所以由推论1必有 g x hx 0 ,即
g x hx
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例
当 a, b, c 是什么数时，多项式
f x ax bx c b x x
3 2 3

2

（1）是零多项式？
（2）是零次多项式？
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2.2 多项式的整除性
一、内容分布
f xg xhx f xg xhx
（5）乘法对加法的分配律: f xg x hx f xg x f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
a n x n a n1 x n1 a1 x a0
an 0 时，an x n叫做多项式的首项. 当
式乘法定义得 f xg x 0 . 若是 f x 0且g ( x) 0 那么由上面定理的证明得
f x g x 0
推论2
f xg x f xhx, f x 0 g x hx
证 由 f xg x f xhx 得 f xg x hx 。但 f x 0
课外学习4：推广的余数定理及算法
课外学习5：代数元的多项式的共轭因子
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代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 ――怀特黑德（1961－1947） 当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的 风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家)
快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。
（2）
f 由（1）， x g x 的次数显然不超过n，另一方面，
由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得 f x g x
的次数是n + m .
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推论1
f x g x 0 f x 0
或 g x 0
证 若是 f x和g (x)中有一个是零多项式，那么由多项
m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x an bn x
2
nห้องสมุดไป่ตู้
这里当m < n 时，bm1 bn 0
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多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
qx 0, r x f x ,且 0 f x 0 g x . 把f x 和g (x) （ii）若 f x 0
按降幂书写: f x a0 x n a1 x n1 a n1 x an g x b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
（ii）
0


f xg x f x g x
0 0
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证:
设 0 f x n, 0 g x m
2 m
g x b0 b1 x b2 x bm x , bm 0
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n , a n 0
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
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2.2.1 多项式的整除概念
ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 , k 0, 1, 2,, n m
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多项式的减法
f x g x f x g x
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2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律: f x g x g x f x （2）加法结合律: f x g x hx f x g x hx （3）乘法交换律: f x g x g x f x （4）乘法结合律:
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2.1.3 多项式的次数
a n x 叫做多项式 a0 a1 x a 2 x a n x
n
2
n
an 0
的最高次项,非负整数n叫做多项式
a0 a1 x a 2 x a n x an 0 的次数. 记作
2 n
0 f x