定积分的概念与性质习题
定积分概念与性质
x → 积分变量 f ( x )dx → 被积表达式 ,
a → 积分上限 ,
[a,b] → 积分区间
b → 积分下限
注
(1)定积分是一个数值 (1)定积分是一个数值 (2)定积分的值与区间的分法无关,与 (2)定积分的值与区间的分法无关, ξ i 的取法无关 定积分的值与区间的分法无关 (3)定积分的值只与区间长度有关， 与被积函数有关。 (3)定积分的值只与区间长度有关， 定积分的值只与区间长度有关 与被积函数有关。
3 求和
0
∑
i =1
n
i 2 1 ∆ Ai = ( ) n n i =1
∑
n
=
1 n3
(1 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 )
1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 3 6 nn
4 0 取极限
λ→0
lim
∑
f (ξ i ) ∆ x i
i =1
即
∫
1
0
1 n( n + 1)(2n + 1) 1 = lim 3 = n →∞ n 6 3 1 2 x dx = 3
定理表明: 定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (1)连续函数一定存在原函数 牛顿---------莱布尼兹公式 二.牛顿-----莱布尼兹公式 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系 定理 3 .
如果函数 F ( x )是连续函数 f ( x )
b
在区间[a , b]上的一个原函数 , 则 f ( x )dx = F (b ) − F (a )
2 0 若 V = 变量， 则可通过下面的步骤 变量，
（1）分割
定积分练习题
第九章 定 积 分练 习 题§1定积分概念习 题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示 （2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ； （2）⎰+-102211dx x x ； （3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ； （5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
定积分的概念与性质-习题
1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴baxdx ⎰（a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b aa k a k n n--+-+，（1,2,,k n =L ），每个小区间的长度均为k b an-∆=，取每个小区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =L ）， 第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==⋅∆∑1n k k k x ==⋅∆∑1()nk b a b aa k n n=--=+⋅∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+⋅ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+⋅-1()()22b a b a b a a n --=-+-⋅ 1()()22b a b a b a n+-=--⋅第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--⋅ ()(0)22b a b a b a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ⎰222b a -=。
⑵1xe dx ⎰。
【解】第一步：分割在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-L ），每个小区间的长度均为1k n ∆=， 取每个小区间的右端点k kx n=，（1,2,,k n =L ），第二步：求和对于函数()xf x e =，构造和式1()nn k k k S f x ==⋅∆∑1knx k k e ==⋅∆∑11k nnk e n ==⋅∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，其首项为11n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==⋅∆∑11kn n k e n ==∑111(1)1nn e e n e -=⋅-111(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x xe →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-⎰。
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
—定积分的概念与性质-2022年学习资料
推广性质1知：有限个函数的代数和的定积分等于各-函数的定积分的代数和，即-[fx±f2x士工±fxdx-= d±f.xdr主r±f.xdr-性质2-被积函数的常数因子可以提到积分号外.-[kfxdx =k["fxd -k是常数-性质3如果积分区间[a,b]被分点c分成区间a,c]和[c,b],-则-心fxdr=ifxdr ifxdx-前页-后页-结束
根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可-以用定积分概念来描述：-曲线fxfx≥0、x轴及两条直线x=a x=b所围-成的曲边梯形面积A等于函数fx在区间α，b]上的定积-分，即-A=广f-前贡-后页-结末
质点在变力Fs作用下作直线运动，由起始位置-a移动到b,变力对质点所做之功等于函数Fs在[α，b]-上的定 分，即-W ="Fsds-如果函数fx在区间[,b]上的定积分存在，则-称函数fx在区间a,b]上可积. 可以证明：若函数fx在区间[α，b]上连续，或只有有-限个第一类间断点，则fx在区间[α，b]上可积.-前 -后页-结束
定积分的几何意义：（P2ss-如果在a,b]上fx≥0，则fxdr在几何上表-示由曲线y=fx,直线x=a x=b及y-x轴所围成的曲边梯形的面积.-如果在a,b]上fx≤0，此时-由曲线y=x,直线x=,x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的-下方，则定积分2fxdx在几何-上表示上述曲边梯形的面积4的相反数.-前贡 后页-结束
将闭区间[a,b]分成n个小区间：-[so,S1],[S1,S2]L,$-1S,],L,[Sm-1Sn]区间的长度-△s,=S:-S;-1i=1,2,L,n-2取近似-在每一个小区间s,-1s]上任取一点乡，把 5做为-质点在小区间上受力的近似值，于是，力F在小区间s,-1,s,]-上对质点所做的功的近似值为-△W: F5△s;i=1,2,L,n-前贡-后页-结末
5.1定积分的概念和性质
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,, xn xn xn1
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; y 每个小曲边梯形的面积为 Ai 曲边梯形的面积
Ai
xi 1
o a x1
xi
2) 取近似. 在第i 个小曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得
b
a
a
a
f ( x)dx 0
2.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 y 0 a
y
a
0
b
b x
曲边梯形面积的负值
y
A1 a c
b
A3 A2
d
e
A4
A5 f b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
y
o a x1
xi 1
i
xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A Ai
i 1
( a b)
8. 积分中值定理 则至少存在一点
使
a f ( x) dx f ( )(b a)
b
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
定积分练习题
定积分练习题(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--题型1.定积分与极限的计算2.计算下列定积分3.计算下列广义积分内容一．定积分的概念与性质1.定积分的定义2.定积分的性质3.变上限函数及其导数4.牛顿—莱布尼茨公式5.换元积分公式与分部积分公式6.广义积分题型题型I 利用定积分定义求极限题型II比较定积分的大小题型III利用积分估值定理解题题型IV 关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V 定积分的计算 题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算自测题五1.根据极限计算定积分2.根据定积分求导3.求极限4.求下列定积分5.证明题4月21日定积分练习题基础题：一．选择题、填空题1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x⎰101B ．dx x p⎰1C ．dx xp ⎰10)1(D ．dx nxp ⎰10)(2．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰10214．dx x |4|102⎰-= （ ）A ．321B ．322C ．323D ．325 5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7.若10xm e dx =⎰，11e n dx x=⎰，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力221rm m kF =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ．9．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③122(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（ ） A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④10.0(sin cos sin )x y t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．72-D ．011. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，1017()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是 ．12．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）。
定积分的概念和基本性质
函数，求此物体在时间区间 [a, b] 内运动所走距离 s 。
解：(1) 用分点 t=ti (ti1<ti , i=1, 2, , n1) 把[a, b]分割成 n 个小的 时间段，第i个时间段为 [ti1, ti]，长度记为ti =ti ti1。
(2) 在第 i ( i=1, 2, , n) 个时间段 [ti1, ti]上任取一时刻 ti，用
取极限
得到整体量的精确值；
9
4.3.1 定积分的定义
定义 4.3.1:
将
区间任意分成 n 份,分点依次为
在每一个小区间[xi-1 , xi]上任取一点ci, 作乘积
f (ci )xi (xi = xi xi1) (i = 1,2,, n)
n
= f (ci )xi i =1
无论区间的分法如何, ci在[xi-1, xi]上的取法如何,如果 当最大区间长度 = m1iaxn {xi}
...
1 n
( n 1)2
n
(
i(nni 1)2)2
S
x
3 n 2n
... ... O 1 2
i 1 i
n 1 1
nn
nn
n
(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：
SS==lliimm nn
SSnn==
lliimm
nn
11 33
((11
11))((11 nn
11 )) 22nn
===111。 。 333
f ( ) = 1
b
f (x)dx
(b a) a
27
课本例题： 例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小
/2 xdx与
/2
sin xdx
定积分概念与性质(1)
b
[ f ( x) g( x)]dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
b
推广
[ f1( x) f2 ( x) f2 ( x)]dx
a
b
b
b
f1( x)dx f2 ( x)dx fn ( x)dx
a
a
a
30
b
f ( x)dx
c
定理3. 如果函数F( x)是连续函数f ( x)
在区间[a, b]上的一个原函数,
b
则 f ( x)dx F(b) F(a)
a
证 已知F ( x)是 f ( x) 的一个原函数，
又
(
x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x)的一个原函数,
F ( x) ( x) C x [a,b]
7 0 定积分中值定理
设函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在[a, b]上至少存在一个点，
b
使下列等式成立 f (x)dx f ( )(b a) a b a
证明： f ( x)在闭区间[a, b]连续，
一定存在最大值M与最小值m,
由7 0
m(b a)
2
x)
2 ( 2) 4
5
5
5 55
2
4
例4. 计算 dx 解 : 令x t 2 , 则dx 2tdt 0 1 x
当x 0时, t 0; 当x 4时, t 2;
4
2
dx 2t dt
0 1 x
1t
定积分的概念和性质
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a c
c
b
有
• 于是
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
11定积分的概念与性质
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
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3．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
趋近于零 ( 0 ) 时，
n
曲边梯形面积为 A lim f ( i ) x i 0
i 1
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实例2 （求变速直线运动的路程）
设 某 物 体 作 直 线 运 动 ， 已 知 速 度v v(t ) 是 时 间 间 隔 [T 1 , T 2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且
a
c
f ( x ) dx
c
b
f ( x ) dx .
（定积分对于积分区间具有可加性）
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性质4 1 dx dx b a . a a 性质5
如 果 在 区 间[a , b ]上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0 .
a b
b
b
(a b )
则 在 积 分 区 间 [ a , b ] 上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使 f ( x )dx f ( )( b a ) .
a
b
(a b )
积分中值公式
证
m (b a )
a
b
b
f ( x )dx M ( b a )
m
ba a
1
f ( x ) dx M
若干个分点
a x x x x
0 1 2
n 1
x b
习题5-1 定积分的概念与性质
习题5-1定积分的概念与性质1．用定积分的几何意义画图说明下列等式：（1）12014x dx π-=⎰；如左图，21y x =-表示的图形是上半圆，定积分的几何意义是上半单位圆与x 轴及0x =，1x =围成的图形的面积，即14圆的面积。
所以，12014x dx π-=⎰（2）20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰.如左图，左边的定积分的几何意义是sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形的面积，由于sin (0)y x x π=≤≤的图形关于2x π=对称，所以，面积等于对称轴左边部分图形面积的两倍。
所以20sin 2sin xdx xdx ππ=⎰⎰，（3）cos 0xdx π=⎰如左图，左边的定积分的几何意义是cos (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的图形，一部分位于x轴的上方（这部分加上正号），另一部分位于x 轴的下方（这部分加上负号）。
由于两部分面积正好相等，所以，代数和为0。
即cos 0xdx π=⎰2．不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由.（1）⎰=121dx x I ，；在[0,1]上，232(1)0x x x x -=-≥23x x ∴≥1210I x dx ∴=≥⎰⎰=132dxx I （2）⎰=11dx e I x ，⎰+=12)1(dx x I .设()1(01)xf x e x x =--≤≤，则()1xf x e '=-在(0,1)内，()0f x '>，()f x ∴在[0,1]上单调递增。
()(0)0f x f ∴≥=，即1x e x ≥+110x I e dx ∴=≥⎰⎰+=12)1(dxx I 3．证明不等式（1）⎰---≤≤-02412222e dx ee xx 设2211()()(02)24f x x x x x =-=--≤≤，易知，11()24f =-是()f x 的最小值，(2)2f =是()f x 的最大值。
定积分-1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) dx a f (t) d t a f (u)du
b
b
b
根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 A a f ( x)dx
思考：证明可积函数一定有界；有界未必可积（举例）
3.定积分的几何意义:
f( x ) 0 , f( x ) d x A 曲边梯形面积 a
b
f( x ) 0 , f( x ) d x A 曲边梯形面积的负值
a
b
y
A1 a
b
A3
A2 A4
A5
b x
f ( x ) d x A A A A A 1 2 3 4 5 a
3 求和 n
i 1
A f ( ) x i i i
Af ( x i) i.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
x i 1 i x i
x n 1 b
x
4 取极限
n
令分法无限变细
x A = lim f (i ) i
0 i 1
.
(2).变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1;
2 近似: 以直代曲 (以常代变)
3 求和 n
i 1
A f ( ) x i i i
5.1定积分的概念与性质
5.1定积分的概念与性质1．利⽤定积分的定义计算下列积分：⑴baxdx ?（a b <）；【解】第⼀步：分割在区间[,]a b 中插⼊1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =- ），将区间[,]a b 分为n 个等长的⼩区间[(1),]b a b a a k a k n n--+-+，（12,,k n = ），每个⼩区间的长度均为k b an-?=，取每个⼩区间的右端点k b ax a k n-=+，（12,,k n = ），第⼆步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==??∑1n k k k x ==??∑1()nk b a b aa k n n=--=+∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+-1+-=--?第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--? ()(0)22b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ?222b a -=。
⑵1xe dx ?。
【解】第⼀步：分割在区间[0,1]中插⼊1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =- ），将区间[0,1]分为n 个等长的⼩区间1[,]k k n n -，（12,,1k n =- ），每个⼩区间的长度均为1k n ?=，取每个⼩区间的右端点k kx n=，（12,,k n = ），第⼆步：求和1()nn k k k S f x ==??∑1knx k k e ==??∑11k nnk e n ==?∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e 为等⽐数列，其⾸项为11n x e =，公⽐为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnnn nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==??∑11kn n k e n ==∑111(1)1ne -=?-111(1)1n n e n e e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==??∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x x e →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11xe dx e =-?。
第5章 定积分 习题 5- (1)
第一节
定积分
定积分的概念及性质
习题 5-1
1.
利用定积分的定义计算由曲线 y = x 2 + 1 和直线 x = 1 、 x = 3 及 x 轴所围成
的图形的面积. 解 所求的面积为
S = ∫ ( x 2 + 1)dx = lim ∑ f (ξi )Δxi
1
3
n
λ →0
i =1
= lim ∑ (ξi2 + 1)
∫0
1 x
e dx = lim ∑ f (ξi )Δxi = lim ∑ eξi Δxi
λ →0
i =1
n
n
λ →0
i =1
= lim ∑ e n ⋅
n →∞ i =1
n
i
1 n
1 2
i 1 （其中 ξi = , Δxi = ） n n
n
n 1 = lim ∑ (e n + e n + L + e n ) n →∞ i =1 n
c2 c1
a
c2
矛盾, 于是 f (ξ ) > 0 不成立, 得证. (2)
b
因为在 [ a, b] 上, f ( x) ≥ 0 , 所以 ∫ f ( x)dx ≥ 0 , 亦即或者 ∫ f ( x)dx > 0, 或
b b a a b a
者 ∫ f ( x)dx = 0 . 若 ∫ f ( x)dx = 0 , 则由(1) 的证明知 f ( x) ≡ 0, 但这与条件 f ( x) ≠ 0
5
反证法. 设 ∃ξ ∈ [a, b] 使 f (ξ ) > 0 , 因为 f ( x) 在 [ a, b] 连续, 所以由极限的局部保号性定 理 , 必有含有 ξ 的区间 [c1 , c2 ] 存在 , 使得 [c1 , c2 ] 上 f ( x) > 0 , 从而 ∫ f ( x)dx > 0 .
定积分
定积分习题二十四 定积分的概念和性质一、填空题 1．1212ln x xdx ⎰的值的符号为______；2．放射性物体的分解速度为V=V （T ），用定积分表示放射性物体由时间T1到T2所分解的质量_______m =； 3．若()f x 在[,]a b 上连续，且()0baf x dx =⎰，则[()1]______baf x dx +=⎰；二、选择题1、 定积分()baf x dx ⎰是（ ）；A 、一个常数B 、()f x 的的一个原函数C 、一个函数族D 、一个非负常数2、 下列命题中正确的是（ ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。
A 、 在[,]a b 上若()f x ≠()g x ，则()baf x dx ⎰≠()bag x dx ⎰B 、()baf x dx ⎰≠()baf t dt ⎰C 、 C 、()()badf x dx f x dx =⎰D 、 ()(),f x g x ≠则()()f x dx g x dx ≠⎰⎰三、定积分的几何意义，填写下列定积分值：1、12_____;xdx =⎰ 2、20cos _____;xdx π=⎰3、_____;=⎰四、比较下列各组两个积分的大小（填不等号） 1、211300_____;x dx x dx ⎰⎰ 2、44233ln _____(ln );xdx x dx ⎰⎰3、112_____(1);xe dx x dx +⎰⎰ 4、0sin _____cos ;xdx xdx ππ⎰⎰五、设质点作变速直线运动，其速度()2v t t =（单位：/m s ），试用定积分处理问题的4个步骤求在第一秒内经过的路程。
六、估计22xxe dx -⎰的值。
七、利用定积分的估值性质证明：411122dx x≤≤+⎰；八、利用积分中的值定理证明2sin 01xdx xππ≤≤⎰； 习题二十五 一, 填空题 1,()()_____(()xf x dx f t dt f x -=⎰⎰在实数域内连续)2, 20sin _____,x d dt dx =⎰20sin _____,x d dt dx =⎰3, 220sin _____,x d t dt dx =⎰ 2sin _____,d x dt dx=⎰ 4, 120sin _____,d x dx dx =⎰ 20sin _____,x e d xdx dx =⎰二,计算下列定积分1,4dx +⎰2,1⎰3, 211dx x+ 4, 21211sin dx x xππ⎰ 5, 222|1|x dx --⎰ 6, 设21,1(),12x x f x x x +≤⎧⎫⎪⎪=⎨⎬>⎪⎪⎩⎭, 求20()f x dx ⎰ 三,求下列极限1, 20cos limsin xxx t dx tdt t→⎰⎰: 2, 202ln(1)limxx t dt x →+⎰四,设()f x >0且在[,]a b 上连续,令()()()xxabdtF x f x dt f t =+⎰⎰求证:1, '()2F x >=;2,方程()0F x =在(),a b 内有且只仅有一实根.习题二十六 定积分的换元法和分部积分法 一,填空题 1,32sin ______;xxdx ππ-=⎰2,21______;dx =⎰3,3sin()______;3x dx πππ+=⎰ 4,sin ______;x xdx π=⎰5. ()f x 连续, a b ≠为常数,则()____bad f x t dt dx +=⎰二,用换元积分法求下列定积分:1, 123(115)dxx -+⎰ 2, 320sin cos x xdx π⎰3,221t te dx -⎰ 4,π⎰5,1⎰6,⎰7,21e ⎰8,21dx x三,用分部积分法求下列定积分:1, 20(sin )x x x dx π+⎰2.10x xe dx -⎰;3.41⎰4, 1arctan xdx ⎰5.1|ln |eex dx ⎰6, 1arctan⎰7,620cos xdx π⎰四,设1/(1),0()1/(1),0xx x f x e x +>=⎧⎫=⎨⎬+<⎩⎭求20(1)f x dx -⎰ 五, 1,证明:2200sin cos sin cos cos cos x xdx dx x xx x ππ=++⎰⎰2,由上面结论求2cos sin cos xdx x xπ+⎰习题二十七 广义积分(反常积分)一、是非题1．因为3()f x x =为奇函数，则30x dx +∞-∞=⎰； （ ）2．22212(1)1dx x x ==---⎰； （ ） 3．1111222111111t x dx dt dx x t x ---=-=-+++⎰⎰⎰ 得12101dx x -=+⎰； （ ）4．2223202arctan arctan cos sin sin 12(1)x u xdx u udu u u udu x ππππ+∞==-=-+⎰⎰⎰。
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1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴baxdx ⎰（a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b aa k a k n n--+-+，（1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b an-∆=，取每个小区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =）， 第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==⋅∆∑1n k k k x ==⋅∆∑1()nk b a b aa k n n=--=+⋅∑ 1()n k b a b aa k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+⋅ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+⋅-1()()22b a b a b a a n --=-+-⋅ 1()()22b a b a b a n+-=--⋅第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--⋅ ()(0)22b a b ab a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ⎰222b a -=。
⑵1xe dx ⎰。
【解】第一步：分割在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为1k n ∆=， 取每个小区间的右端点k kx n=，（1,2,,k n =），第二步：求和对于函数()xf x e =，构造和式1()nn k k k S f x ==⋅∆∑1knx k k e ==⋅∆∑11k nnk e n ==⋅∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，其首项为11n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==⋅∆∑11kn n k e n ==∑111(1)1nn e e n e -=⋅-111(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑111lim (1)1n n nen e e →∞=--1 x n=0(1)lim 1x x x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)lim x x x x e xe e e →+--01=(1)lim 1x xe →+-- =(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-⎰。
2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴121xdx =⎰；【证明】定积分12xdx ⎰的几何意义是由直线2y x =，1x =及x 轴围成的三角形的面积，如图可见即知，12OAB xdx S ∆=⎰2AB OB ⋅=2112⨯==。
证毕。
⑵12014x dx π-=⎰；【证明】定积分1201x dx -⎰的几何意义是由圆弧21y x =-与x 轴及y 轴所围成的四分之一圆形的面积，如图可见12220111()1444x dx S OA πππ-===⨯=⎰半圆。
证毕。
⑶sin 0xdx ππ-=⎰；【证明】定积分sin xdx ππ-⎰的几何意义是由正弦曲线sin y x =在[,]ππ-上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如图可见图形由两块全等图形组成，12sin xdx SS ππ-=+⎰，其中1S 位于x 轴下方，2S 位于x 轴上方，显见12S S =-， 从而22sin 0xdx SS ππ-=-+=⎰，证毕。
⑷222cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰。
【证明】定积分22cos xdx ππ-⎰的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[,]22ππ-上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如左图所示，为22cos xdx ππ-⎰12SS =+,而定积分20cos xdx π⎰的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[0,]2π上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如右图所示，为20cos xdx π⎰2S =,由于曲线cos y x =关于y 轴对称，可知12S S =，亦即1222S S S +=，即知2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰。
证毕。
3．已知101ln 21dx x =+⎰，试用矩形法公式（5.3），求出ln 2的近似值（取10n =，计算时取4位小数）。
【解】矩形法公式（5.3）为011()()bn ab af x dx y y y n--≈+++⎰，其中()i i y f x =（0,1,,1i n =-），而i x （1,,1i n =-）为区间[,]a b 的1n -个等分点。
于是，在区间[0,1]插入1n -个等分点i ix n =，（1,,1i n =-）， 对于1()1f x x =+，求出1()1i i f x x =+11i n=+n n i =+，（0,1,,1i n =-）， 于是，当10n =时，101ln 21dx x =+⎰110101010101010101010()1010111213141516171819≈+++++++++ 111111111110111213141516171819=+++++++++ 0.10.090910.083330.076920.071430.06667≈+++++0.062500.058820.055560.05263++++0.718770.7188=≈。
4．证明定积分性质： ⑴()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰；【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k x ，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为k ∆，对于函数()()F x kf x =，有：()bakf x dx ⎰()baF x dx =⎰ ---- ()()F x kf x =1lim ()nk k n k F x →∞==⋅∆∑ ---- 定积分()baF x dx ⎰的定义1lim ()nk k n k kf x →∞==⋅∆∑ ---- ()()F x kf x =1lim ()nk k n k k f x →∞==⋅∆∑ ---- 加法结合律()k a b ka kb +=+1lim ()nk k n k k f x →∞==⋅∆∑ ---- 极限运算法则lim ()lim ()cf x c f x =()bak f x dx =⎰ ---- 定积分()baf x dx ⎰的定义⑵1b baadx dx b a ⋅==-⎰⎰。
【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax a k n-=+，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为k b an-∆=， 对于函数()1f x =，构造和式1()nk k k f x =⋅∆∑11n k k ==⋅∆∑1nk b a n =-=∑11n k b a n =-=∑b an n -=⋅b a =-， 即由定积分定义得1badx ⋅⎰1lim 1nkn k →∞==⋅∆∑lim()n b a →∞=-b a =-。
再由上⑴的结论()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰，即得11bbbaaadx dx dx ⋅=⋅=⎰⎰⎰。
综上得：1bb aadx dx b a ⋅==-⎰⎰，证毕。
5．估计下列积分的值： ⑴221(2)x dx -⎰；【解】函数2()2f x x =-在区间[1,2]上，有'()20f x x =-<恒成立，知2()2f x x =-在区间[1,2]上单调减少，于是有(2)()(1)f f x f ≤≤，亦即2221x -≤-≤， 从而得 2212(21)(2)1(21)x dx --≤-≤-⎰，亦即2212(2)1x dx -≤-≤⎰。
⑵5244(1sin )x dx ππ+⎰；【解】函数2()1sin f x x =+1cos 212x -=+31cos 222x =-， 由544x ππ≤≤得5222x ππ≤≤，而知1cos21x -≤≤，从而111cos 2222x ≥-≥-，即知3131312cos 21222222x =+≥-≥-=，亦即211sin 2x ≤+≤，从而得 5244551()(1sin )2()4444x dx ππππππ-≤+≤-⎰，亦即5244(1sin )2x dx ππππ≤+≤⎰。
⑶arctan xdx ；【解】函数()arctan f x x x =在区间上，有2'()arctan 01x f x x x =+>+恒成立， 知()arctan f x x x =在区间上单调增加， 于是有()f f x f ≤≤， 亦即arctan x x ≤≤ 整理得arctan x x ≤≤从而得arctan x xdx ≤≤，亦即2arctan 93xdx ππ≤≤。
⑷22xxe dx -⎰。
【解】注意到222222()xxxxxxe dx e dx e dx ---=-=-⎰⎰⎰，函数2()x xf x e -=-在区间[0,2]上，有21'()2()2x xf x x e -=--，得唯一驻点12x =，无不可导点，对比0(0)1f e =-=-，1114241()12f e e --=-=->-，422(2)f e e -=-=-，知在区间[0,2]上有2124x xe e e ---≤-≤-，于是有 21224(20)()(20)x xe edx e ----≤-≤--⎰，亦即 21024222x xe edx e ---≤≤-⎰。
6．设()f x 及()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明： ⑴若在[,]a b 上，()0f x ≥，且()0baf x dx =⎰，则在[,]a b 上()0f x ≡；【证明】反证法：设有[,][,]c d a b ⊂，使()0f x ≡不成立，则由题设在[,]a b 上，()0f x ≥，不妨设[,]x c d ∈时()0f x >， 于是，由于()f x 在[,][,]c d a b ⊂上连续，知()f x 在[,]c d 上可积， 即由曲边梯形面积定义知，()0dcf x dx >⎰，但由于在[,]a b 上，()0f x ≥，即知在[,]a c 和[,]d b 上，有()0f x ≥， 于是由定积分性质5.1.4知，有()0caf x dx ≥⎰，()0bdf x dx ≥⎰，从而由已知()0baf x dx =⎰亦即()()()0c d bacdf x dx f x dx f x dx ++=⎰⎰⎰，得到()[()()]0dcbcadf x dx f x dx f x dx =-+≤⎰⎰⎰，这与上面的()0dcf x dx >⎰相矛盾，从而假设不成立，即使命题得证成立。