一类微分中值辅助函数的构造及应用
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义 在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义 在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义 若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(， 将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(， 两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''， 即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用以辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在某个区间内的导数与函数在该区间内的平均变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的证明方法以及其应用。
我们将利用辅助函数构造法来证明微分中值定理。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，并且f(a)≠f(b)，我们定义辅助函数g(x) = f(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)*(x-a)，其中[f(b) - f(a)]/(b-a)表示函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率。
辅助函数g(x)满足以下条件：1. g(x)在区间[a,b]上连续；2. g(a) = f(a) - [f(b) - f(a)] = f(b)；3. g(b) = f(b) - [f(b) - f(a)] = f(a)；根据介值定理，对于任意的y∈[f(a), f(b)]，存在c∈[a,b]，使得g(c) = y。
由于g(a) = f(b) > y，g(b) = f(a) < y，所以根据连续函数的介值定理，必然存在c∈(a,b)，使得g(c) = y。
由于g(x)是连续函数且可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ) = 0。
由于g'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)]/(b-a)，所以f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
这样，我们就证明了微分中值定理：对于函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = [f(b) - f(a)]/(b-a)。
微分中值定理的证明通过构造辅助函数g(x)并利用介值定理和罗尔定理，建立了函数的导数与平均变化率之间的关系。
接下来，我们将介绍微分中值定理的应用。
微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个应用场景。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
微分中值定理中辅助函数的构造法与应用
定 ，将其归结 为厂（ ） ＝
（ ），
即 ２ ，’（ ）＝ （ｂ＋０）厂（ ）． 在 （口，６）中 ，有 解 ＝ 对 方 程 两边 与 相 关 积 分 ，即
Ｉ一 厂（ ）２ｘｄｘ＝（ｂ＋ｏ）一Ｉ厂 （ ）
，
厂（ ）（ｂ 一ｏ ）＝ （ｂ＋ｏ）（－厂（ｂ）－ｆ（ｏ））．
堑学 学 习 与研 究 ２０１８．３
然 有 ｏ’１
＝
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证明 令 删 有
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
等式两边同时关于 积分 ，得
／ ｄｘ＝／ ｄｘ＝一／
ｄｘ，
叫 ＝一』 ，
ｎｌｎ Ｉ，（ ）ｌ＝一Ｉｎ Ｉ，（１一 ）Ｉ＋ｃ， 因此 ，１ｎ ｌ，（ ）Ｉ“＋ｌｎ ｌ厂（１一 ）Ｉ：ｃ， Ｉ，（ ） ｌ·Ｉ，（１一 ）Ｉ＝ ｅ ＝ｃ， ［，（ ）］ １一 ）＝±ｃ＝Ｃ． 此时 ，令 ｒ（ｘ）＝ ［，（ ）］ （１一 ），由于在 闭区间［０，１］ 上 ）连续 ，在 开 区间 （０，１）上 ，（ ）可导 ，并且 ｒ（ｏ）＝ ［ ０）］ １—０）＝Ｉｆ（１）］ １—１）＝Ｏ，根据罗尔定 理 ，则 有一个 属于 （０，１），使 Ｆ （ ）＝ ）］ 一 （ ），（１一 ）＝ ）］ （１一 ）：０， 而 属 于 （０，１） ）≠ ０ ）≠ ０，根 据上 式 ，可 以同
一 、 原 函 数 法 在 求解 极值问题时 ，微分 中值定理 的应用非 常有效 ，通 常情 况 下 ，某 个 函数 的 导 函数 的 零 点 为需 要 验 证 的 结 论 ，此 时 构 造 辅 助 函数 就 可 以 选 择 不 定 积 分 ，将 原 函数 反 求 出来 ， 具体步 骤如下所述 ： （１）用 来 替 换 需 要 证 明 的 结 论 中 的 或 Ｘ０； （２）利用恒等变换 ，将结论 向易积分 的形式进行转化 ； （３）基 于对观察法或凑微分法 的运用 ，将原函数求解出 来 ，如果题 目需要 ，等式 的两 端还可 以乘 非零 的积分 因子 ， 通常情况下 ，为 了求解方便 ，积分常数可以取为零 ； （４）移项 ，让等式一边变 为零 ，如此一来 ，非零 一边的式 子 就 成 为 辅 助 函数 ．
一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法
一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法微分中值定理在数学分析中起着非常重要的作用，关于定理本身的证明以及应用中值定理证明某一些等式，都需要构造相应的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，从而达到证明目的。
一、构造辅助函数的具体方法证明中值定理及相关等式往往与函数在某一点?灼的导数有关，因此在构造辅助函数时一般需分三个步骤：第一，先将等式两端的点?灼换成x；第二，分别求出等式两端函数的原函数；第三，求出等式两端原函数的差即为所求的辅助函数。
如拉格朗日中值定理的结论是f′（?灼）=，首先将?灼换成x，即为f′（x）=，而左端的原函数为f（x），右端的原函数为x，令f（x）=f（x）-x，则容易验证f（x）满足罗尔定理的三个条件，因此定理立即得证。
例1，设f（x）在［a，b］上可微，试证明存在?灼∈（a，b），使2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）分析：将?灼换成x得2x［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（x），左端的原函数为x2［f（b）-f（a）］，右端的原函数为（b2-a2）f （x），于是作辅助函数f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f （x）即可。
证明：令f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f（x），则f （x）在［a，b］上可微，且满足f（a）=a2f（b）-b2f（a）=f（b），所以f（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件，于是存在?灼∈（a，b），使得f′（?灼）=0，即f′（?灼）=2?灼［f（b）-f（a）］-（b2-a2）f′（?灼）=0，从而得2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）。
二、构造辅助函数的简单技巧某一些中值恒等式不能直接应用上述三个步骤证明，因此在证明之前需要先作恒等变形，或者先将?灼换成x后再作恒等变形。
例如：柯西中值定理结论为=，将?灼换成x后为=，而的原函数不易求得，因此将等式变形为f′（x）=g′（x），而后求得左端的原函数为f（x），右端的原函数为g（x），于是令辅助函数f（x）=f （x）-g（x），则易证f（x）满足罗尔定理的条件，于是定理容易得证。
一阶微分方程构造辅助函数原理
一阶微分方程构造辅助函数原理1. 引言1.1 概述在数学和科学领域中，微分方程是一个重要的研究对象。
一阶微分方程是其中最基础且常见的类型之一。
解一阶微分方程可以帮助我们理解自然现象、预测未来发展趋势以及解决各种实际问题。
辅助函数作为求解一阶微分方程的有效工具，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨辅助函数原理，并介绍构造辅助函数的方法和技巧。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的主题和目标。
其次，我们会介绍一阶微分方程的基础知识，包括定义与形式、常见类型与解法以及初值问题与辅助函数的重要性。
接着，我们将详细阐述辅助函数原理及其构造方法，包括辅助函数的概念与作用、构造辅助函数的步骤和方法以及常用的辅助函数构造技巧。
然后，通过示例和应用案例分析，我们将展示辅助函数在求解一阶微分方程中的实际应用，包括小型一阶微分方程求解示例的详解、实际问题中辅助函数应用案例的分析以及辅助函数在数学模型建立中的实践应用。
最后，我们会总结本文的研究成果，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨一阶微分方程构造辅助函数原理，并介绍相关的构造方法和技巧。
通过对辅助函数在一阶微分方程求解过程中的作用和重要性进行分析，使读者能够更好地理解和运用辅助函数。
同时，通过具体示例和应用案例的分析，帮助读者将理论知识与实际问题相结合，提高问题求解能力。
最终，希望本文能为相关领域研究者提供有益的参考和启示，并促进一阶微分方程及其应用领域的发展与创新。
2. 一阶微分方程基础知识：2.1 定义与形式一阶微分方程是指未知函数的导数与自变量之间只包含一阶导数的关系式。
通常表示为dy/dx=f(x)的形式，其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示已知函数。
2.2 常见类型与解法一阶微分方程可以根据其类型进行分类和求解。
常见的类型包括可分离变量型、齐次型、线性型等。
可分离变量型：当一阶微分方程可以被写为dy/dx=g(x)h(y)时，我们可以将其转化为两个变量可分离的形式，并通过两边同时积分来求解。
微分中值定理中辅助函数的构造及应用
微分中值定理中辅助函数的构造及应用微分中值定理中辅助函数的构造及应用摘要：本文围绕数学分析微分中值定理这一章节的内容，结合作者的实际学习及应用定理的经验，介绍了在学习微分中值定理和解决一些实际问题的过程中，辅助函数的重要作用以及其广泛应用。
关键词：辅助函数微分中值定理1、构造辅助函数构造辅助函数是一种重要的数学思想方法。
无论是在初等数学还是高等数学中都具有广泛的应用。
它属于数学思想方法中的构造法。
所谓构造法，就是在数学解题中．不能直接运用逻辑推理一步—步地导出必要条件而最后得出问题的结论时。
就要跳出原来问题的圈子，从新的角度、用新的观点观察分析，别开生面地依据题设条件的特点，用已知条件中的元素为“原件”，用已知数学关系式为“支架”。
在思维中构造出一种新的数学形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题。
辅助函数是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解。
构造辅助函数是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题。
在我们学习数学分析和应用数学分析的若干定理去解决一些数学问题的时候，经常会发现，构造一个合适的辅助函数，可以起到事半功倍的效果。
尤其是在学习微分中值定理和在利用微分中值定理的相关知识去解决一些实际问题的时候，构造合适的辅助函数就显得尤为重要了。
利用构造辅助函数来证明中值定理是辅助函数用以解决数学命题的精彩典范;通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊（特殊情况先证明），将复杂问题化为简单问题的论证思想在我们学习数学分析或者高等代数时有很深的影响。
2、构造辅助函数的方法综上所述，在微分中值定理的学习及应用的过程中，构造合适的辅助函数不仅可以便于我们理解领会，在某些实际问题的解决上，构造合适的辅助函数去进行证明和计算，往往就能够化难为易，使问题迎刃而解。
参考文献：[1]华东师大数学系，数学分析[M]，高等教育出版社，1999.[2]黄先开.曹显兵.简怀玉，2009年考研数学经典讲义(理工类)，2008.[3]辅助函数在数学分析中的应用一二，张宣，西安文理学院幼儿师范学院，2009.[4]高等数学中辅助函数的构造，蔡凤仙，昭通师范高等专科学校学报，2009.K常数法。
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF即:()()θθθf f -='.证毕2.2 原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:(1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-= ()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,,故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF亦即： ()()ξξξf ab f '⋅-= 证毕2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法中值定理是微积分中的重要定理之一，它在研究函数的性质、求解方程等问题中具有广泛的应用。
利用中值定理可以构造辅助函数来解决一些复杂的问题。
本文将介绍几种构造辅助函数的方法，以帮助读者更好地理解和运用中值定理。
1.构造辅助函数的基本原理在构造辅助函数之前，首先要明确辅助函数的目的。
一般来说，构造辅助函数的目的是通过引入一个与原函数相关的函数，利用其性质来简化问题或解决问题。
辅助函数可以是原函数的导函数、导函数的导函数、原函数与导函数之间的关系函数等。
2.1导函数作为辅助函数中值定理中最常用的辅助函数是原函数的导函数。
对于一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，根据中值定理，存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
因此，我们可以构造辅助函数$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
当且仅当原函数$f(x)$满足中值定理的条件时，辅助函数$g(x)$在闭区间$[a,b]$内的其中一点$c$处的导数等于0。
这样一来，我们就可以通过求解$g'(x)=0$来找到中值点$c$。
2.2导函数的导函数作为辅助函数类似地，我们也可以利用导函数的导函数作为辅助函数，来解决一些问题。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，则中值定理告诉我们存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
如果我们进一步假设$f'(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么根据中值定理，存在一点$d\in(a,b)$，使得$f''(d)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。
这样，我们就可以构造辅助函数$h(x)=f'(x)-f'(a)-\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
微分中值定理辅助函数构造
4 、常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四
点：
11〕将结论变形，使常数局部别离出来并令为． 22〕恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，
另一端为b及f(b)构成的代数式． 33〕观察分析关于端点的表达式是否为对称
式．假设是，那么把其中一个端点设为x，相 应的函数值改为f(x)． 4〕端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x)．
〔四〕、构造结论法
构造结论法，就是按照命题的条件和要 求构造出符合结论的数学对象，从而断 定命题正确性的证题方法．有些数学命 题是断言存在着具有某种性质的数学对 象，或者是断言某种数学对象具有某种 特定的性质，对于这种类型的数学命题， 证明的关键往往是构造出符合要求的数 学对象，用构造结论的方法对数学命题 作出证明，称为“构造性证明〞 。
由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方 法称为构造数学关系法．
通 过 几 何 图 形 考 查 两 函 数 在 区 间 端 点 处 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出的条件和结论．
〔二〕、构造数学关系法
微分中值定理辅助函数构造
〔一〕、构造数学命题法
1．构造等价命题
如果遇到的数学问题直接证明有困难时， 可构造其等价命题，并通过证明其等价 命题成立从而使所论命题获证．
2．构造辅助命题
在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的 根据，那么我们不妨构造一个辅助命题 作为根据，只要证明了辅助命题是真命 题，原问题就迎刃而解．
为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是 构造反例的关键．
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
1.微分中值定理介绍：
微分中值定理（Differential Mean Value Theorem）是求取极限内函数导数的一种数学定理。
它是物理学和工程学中常用的，用于推导和求解常微分方程的一种有用工具。
它描述的是随着函数值的变化，函数的导数值也可以发生改变，但在某一点上，函数的导数必定是一个确定的、固定的、线性变化的值。
2.辅助函数的构造方法：
（1）首先，我们要找到一个可以表达某一函数的函数的导数的函数，这个函数就是我们要构建的辅助函数，它可以帮助我们求取微分中值定理中函数的导数。
（2）然后，应用微分中值定理求取函数的导数，需要在该函数的极限点处计算微分，而极限点则是指函数的两侧，其函数值接近零的一对点。
（3）接下来，根据辅助函数的性质，在每个极限点处，构造出一个可以将函数的值表达出来的函数，并让它与辅助函数极限点处作差，计算出该函数的绝对值。
（4）最后，比较绝对值大小，将小于或等于微分中值定理规定的阈值的绝对值画出来，即可求得函数对应的导数值。
辅助函数构造法证明微分中值定理及其应用
内可导，且 f (0) = 1,f (1) = 0 .证明：至少存在一个
点 ξ ∈ (a,b) 使得 f ′(ξ) = -1 .
分析：结论中需要证明 f ′(ξ) = -1 ，用罗尔中
值定理来解决.根据步骤 a 将 f ′(ξ) = -1 移项得
f ′(ξ) + 1 = 0 ；将 ξ 用 x 代 替 得 f ′(x) + 1 = 0 ；
分析：针对结论中要证明
f ′(ξ) =
f (b) - f (a) b-a
的问题，可以运用罗尔中值定理证明.在定理 2
中，a、b 都是常数，因此
f (b) - f (a) b-a
也是常数，
运用辅助函数的构造思路可将
f ′(ξ) =
f (b) - f (a) b-a
移项得到
f ′(ξ) -
f (b) - f (a) b-a
1 微分中值定理的证明
1.1 罗尔中值定理的证明 定理 1 设函数 f (x) 满足：（1）在 [a,b] 上连
续；（2）在（a,b）内可导；（3） f (a) = f (b) ；则至少 存在一个点 ξ ∈ (a,b) ，使得 f ′(ξ) = 0 .
收稿日期：2018-12-14 基金项目：安徽科技学院新工科校级专项项目（X2017078）；高等数学智慧课堂试点项目（Xj201722，zhkt176）. 作者简介：董姗姗，女，安徽凤阳人，安徽科技学院信息与网络工程学院教师（安徽 凤阳 233100）. 通讯作者：齐雪，女，博士，副教授.
定理证明过程中选取辅助函数的源头进行研究.从而启发学生进行知识迁移，挖掘思想方法，逐步加深对微
分中值定理的理解，以提高课堂教学效果.
关键词：微分中值定理；辅助函数；构造函数；知识迁移
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
一元微积分学中的构造辅助函数法
一、什么是构造辅助函数法？
构造辅助函数法是一元微积分学的简易方法。
它的作用是帮助学生快速找出一元微积分的原函数。
构造辅助函数法把几何形状分解成可以快速被积分的函数，从而实现快速求微积分的目的。
二、构造辅助函数法的运用
构造辅助函数法在一元微积分学中被广泛应用。
一般来说，不论曲线形状是什么，都可以用构造辅助函数法来积分。
具体来说，学习者要做的就是观察图形，分解出可以被分解处理的函数，由此能够获得较为准确的结果。
例如，当内接圆的半径是a的时候，可以把它分解为一个关于y的抛物线，然后通过微积分的方法计算出半径为a的内接圆的面积。
三、构造辅助函数法的优势
1.构造辅助函数法相比其它方法较快。
构造辅助函数法可以让学生在计算微积分的过程中少把精力花在一般的函数上，而多放在观察函数的几何形状上，从而更快的获得结果。
2.构造辅助函数法能够更好的理解函数的几何形状。
构造辅助函数法是一个抽象的概念，
但是它可以让学生用简单的描述来更好的理解一元函数的几何形状。
3.构造辅助函数法可以更快的求出极限。
用构造辅助函数法可以更加有效的求出一元微积分变量x进行极限求法，而且更容易理解。
总结
以上就是构造辅助函数法在一元微积分学中的用法，该方法的优势是方便、高效，可以辅助学生们解决许多一元微积分的问题。
一类微分中值辅助函数的构造及应用
一类微分中值辅助函数的构造及应用丁卫平; 李敏; 张再云; 何帆【期刊名称】《《湖南理工学院学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(032)003【总页数】4页(P10-12,22)【关键词】微分中值定理; 辅助函数; 构造; 应用【作者】丁卫平; 李敏; 张再云; 何帆【作者单位】湖南理工学院数学学院湖南岳阳 414006【正文语种】中文【中图分类】O172.1微分中值定理及应用是微分学中的一个基本且重要的内容, 主要用于研究函数的性态.其中有关微分中值等式的证明是一类典型问题, 该类问题的解决, 关键是构造恰当的辅助函数, 而构造辅助函数方法较多, 且技巧性较强.文[1～8]就辅助函数的构造分别展开了研究, 并归纳出了一系列的构造方法.本文将在已有研究的基础上, 对一类可化为一阶线性微分方程求解构造辅助函数的微分中值等式的证明展开研究,归纳出构造辅助函数的一般方法, 并验证方法的有效性.1 具有一阶线性微分方程结构特点的微分中值问题辅助函数的构造设函数f( x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a, b)上可导, 假设要证明的微分中值问题为：至少存在一点ξ∈(a, b), 使得其中p( x),q( x)在闭区间[a,b]上连续.将该问题转化为导函数零点存在性问题：H′( x)=0有解, 其中H′( x )=F( x), 即如何求辅助函数H( x)？问题又转化为求式(1)所对应的微分方程的通解将方程(2)的通解改写为令则H( x)就为中值问题(1)所对应的辅助函数.因为如果H( x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件, 则导函数H′( x)存在零点.由(3)式可得下列几种特殊情形微分中值等式所对应的辅助函数(其中λ≠0为常数)：① 当时, 构造② 当时, 构造③ 当时, 构造④ 当时, 构造⑤ 当时, 构造2 具有可降阶的二阶微分方程结构特点的微分中值问题辅助函数的构造设函数f( x)在闭区间[a,b]上二阶可导, 假设要证明的微分中值问题为：至少存在一点ξ∈(a, b),使得其中λ,n为不等于0的常数.问题又转化为求式(4)所对应的微分方程解的问题.对于方程(5), 我们并非求它的通解, 而把它看成是缺少自变量可降阶的二阶微分方程, 采用换元降阶法求解该方程, 从这一求解过程探讨辅助函数的构造方法.设p( f( x))=f′(x), 则f′(x)=p( f( x))p′(f( x )), 方程(5)转化为解方程(6)得令则H( x)就为中值问题(4)所对应的辅助函数.由(7)式可得下列几种特殊情形微分中值等式所对应的辅助函数：⑥ 当f′(ξ)-f(ξ)=0时, 构造H( x)=(f′(x))2-f2(x);⑦ 当f′(ξ)+f(ξ)=0时, 构造H( x)=(f′(x))2+f2(x);⑧ 当2f′(ξ)+3f2(ξ)=0时, 构造H( x)=(f′(x))2+f3(x).对应⑥中的辅助函数还可以设其实这也可以从⑥中得到解释, 因为而f′(x)-f( x)=0有特解ex, f′(x)+f( x)=0有特解e-x.关于此类微分中值等式的证明, 在具体问题中还需要证明f′(ξ)≠0, 因为所以, 要结论成立就要求有f′(ξ)≠0.3 微分中值等式证明举例例 1 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)上可导, 且(0)0=f.求证：至少存在一点ξ∈(0,1), 使得(ξ-1)2f′(ξ)+2ξf(ξ)-2f(ξ)=0.证明将要证明的等式变形为套用式(3)构造辅助函数求导得显然H(x)在闭区间[0,1]上满足罗尔定理条件, 结论得证.例 2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)上可导, 且0＞a.求证：至少存在一点ξ∈(a,b), 使得证明将要证明的等式变形为套用式(3)构造辅助函数求导得显然H( x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件, 结论得证.例 3 设函数f( x)在闭区间[-2,2]上二阶可导, 且|f( x)|≤1,f2(0)+(f′(0))2=4.求证：至少存在一点ξ∈ (-2,2), 使得f′(ξ)+f(ξ)=0.证明根据情况⑦可构造辅助函数为求导得由已知条件|f( x)|≤1,f2(0)+(f′(0))2=4, 可得若f′(0)+f(0)=0, 则ξ=0为所求;若f′(0)+f(0)≠0, 则x=0不是H( x)=(f′(x))2+f2(x)的极值点.接下来证明在区间(-2,2)内,H( x)=(f′(x))2+f2(x)存在极大值点x=ξ.首先, 证明∃x1∈ (-2,0), 使得H( x1)＜H(0)=(f′(0))2+f2(0)=4.采用反证法：假设∀x∈(-2,0), 有H( x)≥H(0)=4.由|f( x)|≤1,H( x)=f2(x)+(f′(x))2≥4, 有.又函数f( x)在闭区间[-2,0]上满足拉格朗日中值定理条件, 故这与f(x)在闭区间[-2,2]上满足|f( x)|≤1相矛盾, 所以假设不成立.其次, 同理可证∃x2∈(0,2), 有H( x2)＜H(0)=(f′(0))2+f 2(0)=4.综上可知, H( x)在闭区间[x1,x2]上存在极大值点, 不妨设该点即x=ξ; 又由于f( x)在闭区间[-2,2]上可导, 所以满足H′(ξ)=0, 即证得至少存在一点ξ∈(-2,2), 使得f′(ξ)+f(ξ)=0.参考文献【相关文献】[1] 龚漫奇.用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数[J].数学通报, 1994, (2)：41～43[2] 宋振云, 陈少元, 涂琼霞.微分中值定理证明中辅助函数的构造[J].高师理科学刊, 2009, (2)：10～13[3] 刘坤.利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法[J].信息系统工程, 2013, (1)：143～145[4] 刘冬兵, 马亮亮, 陈龙.辅助函数在微分中值定理中的应用[J].攀枝花学院学报, 2013, (2)：101-103[5] 余丽.微分中值定理的证明及应用中的辅助函数构造[J].重庆三峡学院学报, 2014, (3)：21～24[6] 张武军, 魏保军, 张冬燕.微分中值定理的应用及推广[J].高等数学研究, 2014, 17(5)：16～17, 24[7] 时秀娟.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的不同构造方法[J].兰州文理学院学报(自然科学版), 2016, (6)：99～102[8] 杨红莉, 李士垚, 于红, 等.与中值定理相关的辅助函数的一个构造法[J].南京工程学院学报(自然科学版), 2018, 16(1)：66～70。
浅析辅助函数法的构造及应用
收稿日期： 接收日期： 作者简介：1.陈小亘（1964-）,男,硕士,副教授, 主要从事组合图论、计算机科学,数学教学的研究. Email:************浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用.3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零； 第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xxo ⎰⎰''=''0)()()()( ⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xxo⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()(⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明：如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ； 第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤bab abadt t g t f a b dt t g dt t f )()()()()(证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=xaxaxadt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(.由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F xax axa ---+='⎰⎰⎰))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xaxaxaxadt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f⎰---=xadt t g x g t f x f )]()()][()([.又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a F b F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰bab abadt t g t f a b dt t g dt t f .所以⎰⎰⎰-≤bab abadt t g t f a b dt t g dt t f )()()()()(.如下的命题也可以用这一方法来证明：如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明. 命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xadt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开； 第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰badx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xadt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2ba +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξF =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2ba +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2ba +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''.故)()()(a F b F dx x f ba-=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数： 第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--.分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(.⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法. 构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数. 例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'xx f x f ⇒x x f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xcx f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =.证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(21021ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod。
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一类微分中值辅助函数的构造及应用丁卫平, 李 敏, 张再云, 何 帆(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)摘 要: 微分中值定理及应用是微积分的重要内容. 本文基于一类具有特殊结构的微分中值问题展开研究, 归纳了具有一阶线性微分方程和可降阶的二阶微分方程结构特点的微分中值问题的辅助函数构造方法, 给出一些常见特殊情形微分中值问题的辅助函数, 最后应用该辅助函数构造方法证明了相关微分中值问题, 说明该方法简洁有效.关键词: 微分中值定理; 辅助函数; 构造; 应用中图分类号: O172.1 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2019)03-0010-03Construction and Applications of Auxiliary FunctionsBased on Differential Mean Value TheoremDING Weiping, LI Min, ZHANG Zaiyun, HE Fan(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Y ueyang 414006, China)Abstract : The differential mean value theorem and application is an important content of differential calculus. In this paper, the research based on a class of differential mean value problems with special structures, the construction method of auxiliary function is summarized, for differential mean value problems with the structural characteristics of first order linear differential equations and second order differential equations; The auxiliary functions of differential mean value problems in special cases are constructed. Finally, several examples are given to show that the construction method of the auxiliary function has strong applicability and is much simple.Key words : differential mean value theorem; auxiliary function; construction; application微分中值定理及应用是微分学中的一个基本且重要的内容, 主要用于研究函数的性态. 其中有关微分中值等式的证明是一类典型问题, 该类问题的解决, 关键是构造恰当的辅助函数, 而构造辅助函数方法较多, 且技巧性较强. 文[1~8]就辅助函数的构造分别展开了研究, 并归纳出了一系列的构造方法. 本文将在已有研究的基础上, 对一类可化为一阶线性微分方程求解构造辅助函数的微分中值等式的证明展开研究, 归纳出构造辅助函数的一般方法, 并验证方法的有效性.1 具有一阶线性微分方程结构特点的微分中值问题辅助函数的构造设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 上可导, 假设要证明的微分中值问题为: 至少存在一点(,)a b ξ∈, 使得()()()()()0F f p f q ξξξξξ'=+-=. (1)其中(),()p x q x 在闭区间[,]a b 上连续.将该问题转化为导函数零点存在性问题: ()0H x '=有解, 其中()()H x F x '=, 即如何求辅助函数()H x ？问题又转化为求式(1)所对应的微分方程()()()()f x p x f x q x '+= (2)的通解()d ()d ()e (()e d ).p x x p x x f x q x x C -⎰⎰=+⎰收稿日期: 2019-05-23基金项目: 湖南省大学生创新创业训练计划资助项目(湘教通[2019]219号); 教育部高等学校大学数学教学研究与发展中心资助项目(CMC20190403); 湖南省普通高校教学改革研究项目(湘教通[2019]291号); 湖南省普通高等学校省级精品在线开放课程常微分方程(湘教通[2019]266号)作者简介: 丁卫平(1964− ), 男, 湖南岳阳人, 硕士, 副教授. 主要研究方向: 信息论第32卷 第3期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.32 No.3 2019年9月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Sep. 2019第3期 丁卫平, 等: 一类微分中值辅助函数的构造及应用 11将方程(2)的通解改写为()d ()d ()e ()e d p x x p x x f x q x x C ⎰⎰-=⎰, 令 ()d ()d ()()e ()e d ,p x x p x x H x f x q x x ⎰⎰=-⎰ (3)则()H x 就为中值问题(1)所对应的辅助函数. 因为()d ()(()()()())e p x x H x f x p x f x q x ⎰''=+-,如果()H x 在闭区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件, 则导函数()H x '存在零点.由(3)式可得下列几种特殊情形微分中值等式所对应的辅助函数(其中0λ≠为常数):① 当()()0f f ξλξ'+=时, 构造()e ()x H x f x λ=;② 当()()0f f λξξξ'+=时, 构造()()H x x f x λ=; ③ 当()()e f f ξξλξ'+=时, 构造(1)1()e ()e ,11x x H x f x λλλλ+=-≠-+; ④ 当()()cos f f ξλξξ'+=时, 构造221()e (()cos sin )11x H x f x x x λλλλ=--++; ⑤ 当()()sin f f ξλξξ'+=时, 构造221()e (()cos sin )11x H x f x x x λλλλ=+-++. 2 具有可降阶的二阶微分方程结构特点的微分中值问题辅助函数的构造设函数()f x 在闭区间[,]a b 上二阶可导, 假设要证明的微分中值问题为: 至少存在一点(,)a b ξ∈, 使得()()(())0n F f f ξξλξ''=+=, (4)其中,n λ为不等于0的常数.问题又转化为求式(4)所对应的微分方程()(())0n f x f x λ''+= (5)解的问题.对于方程(5), 我们并非求它的通解, 而把它看成是缺少自变量可降阶的二阶微分方程, 采用换元降阶法求解该方程, 从这一求解过程探讨辅助函数的构造方法.设(())()p f x f x '=, 则 ()(())(())=f x p f x p f x ''', 方程(5)转化为(())(())(())0n p f x p f x f x λ'+=, (6)解方程(6)得211(())(())21n f x f x C n λ+'+=+. 令211()(())(())21n H x f x f x n λ+'=++, (7) 则()H x 就为中值问题(4)所对应的辅助函数.由(7)式可得下列几种特殊情形微分中值等式所对应的辅助函数:⑥ 当()()0-f f ξξ''=时, 构造22()(())()H x f x f x '=-;⑦ 当()()0+f f ξξ''=时, 构造22()(())()+H x f x f x '=;⑧ 当22()3()0+f f ξξ''=时, 构造23()(())()+H x f x f x '=. 对应⑥中的辅助函数还可以设()(()())e x H x f x f x -'=+或()(()())e -x H x f x f x '=, 其实这也可以从⑥中得到解释, 因为22()(())()(()())(()())-=-+H x f x f x f x f x f x f x '''=,而()()0-=f x f x '有特解e x , ()()0+=f x f x '有特解e x -. 关于此类微分中值等式的证明, 在具体问题中还需要证明()0f ξ'≠, 因为()()(()(()))n H x f x f x f x λ''''=+,所以, 要结论成立就要求有()0f ξ'≠.3 微分中值等式证明举例例1 设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)上可导, 且(0)0=f . 求证: 至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得2(1)()2()2()0f f f ξξξξξ'-+-=.证明 将要证明的等式变形为2()()01f f ξξξ'+=-, 套用式(3)构造辅助函数2()(1)()H x x f x =-,求导得2()(1)()2(1)()H x x f x x f x ''=-+-,显然()H x 在闭区间[0,1]上满足罗尔定理条件, 结论得证.例2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 上可导, 且0a >. 求证: 至少存在一点(,)a b ξ∈, 使得2()()()()()f f af b bf a ab b a ξξξξ'--=-. 证明 将要证明的等式变形为()()1()()()af b bf a f f ab b a ξξξξ-'-=-, 套用式(3)构造辅助函数()()()()()f x af b bf a H x x x ab b a -=--, 求导得 2()()()()()()xf x f x af b bf a H x ab b a x '--'=--. 显然()H x 在闭区间[,]a b 上满足罗尔定理条件, 结论得证. 例3 设函数()f x 在闭区间[2,2]-上二阶可导, 且22|()|1,(0)((0))4=f x f f '+≤. 求证: 至少存在一点(2,2)ξ∈-, 使得()()0f f ξξ''+=.证明 根据情况⑦可构造辅助函数为22()(())()+H x f x f x '=,求导得()2()(()())+H x f x f x f x ''''=.由已知条件22|()|1,(0)((0))4f x f f '+=≤, 可得|(0)|f '若(0)(0)0f f ''+=, 则0ξ=为所求; 若(0)(0)0f f ''+≠, 则0x =不是22()(())()+H x f x f x '=的极值点. (下转第22页)4 结语本文提出了一种基于傅里叶变换的数字图像水印算法, 该算法使用了5个密钥, 任何一个密钥的错误都会导致水印信息提取失败, 因此具有足够的安全性和保密性. 算法将原始图像进行了分块处理, 避免了将水印信息嵌入数值较大的变换域幅度谱中, 这样嵌入水印后保证了含水印图像的视觉质量. 通过各类攻击实验证明, 该算法具有较强的抗攻击性, 在经过多次攻击后依然能够检测出相关系数较大的水印信息, 为版权保护提供了强有力的证据. 为了能够推广傅里叶变换在水印方面的应用, 今后可以研究相位嵌入水印、实部嵌入水印和虚部嵌入水印等算法.参考文献[1] 周 贝. 光学信息变换技术在图像加密及数字水印中的应用研究[D]. 西安: 西安理工大学硕士学位论文, 2018[2] 郭进元, 马永强. 基于四元数傅里叶变换的彩色图像数字水印算法[J]. 包装工程, 2017(3): 155~159[3] 魏代海, 王晓红, 刘玄玄. 一种强鲁棒性的彩色图像数字水印技术[J]. 包装工程, 2016(9): 124~128[4] 朱 萌, 陈 青. 基于奇异值分解的Contourlet 域图像水印算法[J]. 电子科技, 2016(2): 12~15[5] 吴 强, 彭亚雄. 基于DWT-FRFT 变换和QR 分解的盲数字水印算法[J]. 电子科技, 2018(10): 53~55+68[6] 姚绍华, 陈 青, 陈 祥. 一种强鲁棒性的新型彩色图像数字水印技术[J]. 数据通信, 2017(4): 27~30[7] 华 梦, 王 雷. 基于DCT-DWT 的FRFT 数字水印算法[J]. 南京理工大学学报, 2015(4): 435~439[8] 郑秋梅, 张 明, 王风华, 等. 基于PCA 和DWT 的强鲁棒数字水印算法[J]. 中国石油大学学报(自然科学版), 2016(1): 177~182(上接第12页)接下来证明在区间(2,2)-内,22()(())()+H x f x f x '=存在极大值点x ξ=.首先, 证明1(2,0)x ∃∈-, 使得221()(0)((0))(0)4+H x H f f '<==. 采用反证法:假设(2,0)x ∀∈-, 有()(0)4H x H =≥. 由22|()|1,()()(())4f x H x f x f x '=+≤≥, 有|()|f x '. 又函数()f x 在闭区间[2,0]-上满足拉格朗日中值定理条件, 故(2)(0)|2|()||f f f ς'--=≥.这与()f x 在闭区间[2,2]-上满足|()|1f x ≤相矛盾, 所以假设不成立.其次, 同理可证2(0,2)x ∃∈, 有222()(0)((0))(0)4+H x H f f '<==.综上可知, ()H x 在闭区间12[,]x x 上存在极大值点, 不妨设该点即x ξ=; 又由于()f x 在闭区间[2,2]-上可导, 所以满足()0H ξ'=, 即证得至少存在一点(2,2)ξ∈-, 使得()()0f f ξξ''+=.参考文献[1] 龚漫奇. 用解微分方程的方法求中值定理类问题中的辅助函数[J]. 数学通报, 1994, (2): 41~43[2] 宋振云, 陈少元, 涂琼霞. 微分中值定理证明中辅助函数的构造[J]. 高师理科学刊, 2009, (2): 10~13[3] 刘 坤. 利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法[J]. 信息系统工程, 2013, (1): 143~145[4] 刘冬兵, 马亮亮, 陈 龙. 辅助函数在微分中值定理中的应用[J]. 攀枝花学院学报, 2013, ( 2): 101-103[5] 余 丽. 微分中值定理的证明及应用中的辅助函数构造[J]. 重庆三峡学院学报, 2014, ( 3): 21~24[6] 张武军, 魏保军, 张冬燕. 微分中值定理的应用及推广[J]. 高等数学研究, 2014, 17(5): 16~17, 24[7] 时秀娟. 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的不同构造方法[J]. 兰州文理学院学报(自然科学版), 2016, (6): 99~102[8] 杨红莉, 李士垚, 于 红, 等. 与中值定理相关的辅助函数的一个构造法[J]. 南京工程学院学报(自然科学版), 2018, 16(1): 66~70。