重庆市纯阳中学2016届高三上学期10月月考数学(理)试卷

纯阳中学高2016级高三10月月考数学（理科）试卷一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1．若复数2)1(ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ）A.1±B.1-C.0D.1 【答案】A 【解析】2222(1)1212ai ai a i a ai+=++=-+，要使复数是纯虚数，则有210a -=且20a ≠，解得1a =±，选A.2．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}答案 D解析 由已知得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{0,1，…，16}，所以A ∩B ＝{0,1,2}． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝xD ．y ＝ln x 2答案 D解析 y ＝sin x 在整个定义域上不具有单调性，排除B ；y ＝x ，y ＝e x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A ，C ；y ＝ln x 2满足题意，故选D. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f (f (π4))＝( ) A.2 B.1 C ．2- D ．1-答案 C【解析】 ∵π4∈[0，π2)，∴f (π4)＝－tan π4＝－1.∴f (f (π4))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.5．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D.152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.6．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23答案 D解析 a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝70，解得d ＝23.故选D.7.数列{a n }的通项公式是a n，若前n 项和为10，则项数n 为（ ）A ．121B ．120C ．99D ．11 答案B解析由n a ===，所以121)10n a a a +++=+++= ，即110-=，即11=，解得1121,120n n +==.选B.8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个函数f (x )的图像，则“f (x )是偶函数”是“φ＝π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin(2x＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以则“f (x )是偶函数”是“φ＝π4”的必要不充分条件，选B.9.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)答案 A解析 ∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6. 10.已知函数c x x y +-=33的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1答案：A [解析] 本小题主要考查导数的应用，解题的突破口为三次函数求导后极大值或极小值等于零．由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0⇒x ＝±1，结合f (x )的图象可知只要f (－1)＝0或f (1)＝0即可，故解得c ＝－2或2，故选A.11．若y ＝A sin(ωx ＋θ)(A >0，ω>0，|θ|<π2)的图像如图所示，则y ＝（ ）A.)62sin(π+x B.)3sin(2π+x C.)62sin(2π+x D.)62sin(2π-x答案 C解析 由题图知周期T ＝1112π－(－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，且A ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋θ)．把x ＝0，y ＝1代入上式得2sin θ＝1， 即sin θ＝12.又|θ|<π2，∴θ＝π6.即y ＝2sin(2x ＋π6)．12.已知⎩⎨⎧≥-<--=)0)(2()0(4)(2x x f x x x a x f ，且x x f y 2)(-=恰有3个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.[]0,4-B.[)+∞-,8C.[)+∞-,4D.()∞+，0 答案 C二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．答案 14．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于 ．答案 30°解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.15．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5. 于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)． 而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50， 因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.16．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)，若在(0,4)上f (x )为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 0<k ≤13解析 由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－2(k －1)k ≥4，解得k ≤13.又k >0，故0<k ≤13.三、解答题（共6小题70分，第17小题10分，其余每小题12分）17.已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{n a2}的前n 项和S n . 答案 (1)a n ＝n (2)S n ＝2n ＋1－2解析 (1)由题设知公差d ≠0.由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d ，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．所以{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n＋1－2.18.已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．答案 (1)a ＝12，b ＝1 (2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y19.已知函数()2cos cos .f x x x x =- （I ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值. 答案20.已知ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别是,,a b c ，且ab c b a 3)(2222=-+； （1）求2BA sin2+的值； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值。

答案 （Ⅰ）()分2432cos ,23222222=-+=∴=-+ab c b a C ab c b a ()()分6872cos 12cos 12sin ,2=+=+-=+∴-=+C B A B A C B A π（Ⅱ）ab ，b a ，c ab c b a 2342,2322222=-+∴==-+且 又()分88,4223,222≤∴-≥∴≥+ab ab ab ab b a ()分1047431cos 1sin ,43cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴=C C C ,7sin 21≤=∴∆C ab S ABC 当且仅当22==b a 时，△ABC 面积取最大值，最大值为7.（12分） 21. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，求数列{)2(+∙n n a b }的前n 项和T n . 答案 (1)当n ∈N *时，S n ＝2a n －2n ，则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2. ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2.(2)证明：b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1， ∴12)1()2(+∙+=+∙n n n n a b ，14322)1(2242322+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=∴n n n n n T21432)1(223222++⨯++⨯++⨯+⨯=n n n n n T 则，两式相减得 22143222)1(22222+++⨯-=⨯+-+++⨯=-n n n n n n T 22+⨯=∴n n n T22.设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--. （Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足条件的最大整数M ; （Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.。