2.1.2向量的几何表示
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.2.2 向量的几何表示
2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示●创设情境如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能追上老鼠吗？（画图）●教材新知1.向量的相关概念（1）向量：既有_______，又有_______的量叫做向量.如：力、位移、速度、加速度等.向量的两个要素是：______、______.（2）有向线段：带有_______的线段叫做有向线段.①以A为起点，B为终点的有向线段记作______.②有向线段的三要素是：______、______、______.（3）模：向量AB的______叫做向量AB的______（或称_____），记作______..“向量”就是“有向线段”对吗？2.向量的表示方法有两种（1）用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD.起点字母必须放在终点字母的______. （2）用黑体字母表示，如a、b.（手写体向量上面的箭头一定不能漏写）.3.两个特殊向量（1）零向量：模为_____的向量，记作____.“0”与“0”有区别吗？（2）单位向量：模为_____的向量.__________或__________的非零向量叫做平行向量，向量a，b平行记作______._____，即对于任意向量a，都有______.●题组集训（1）下列结论正确的是（）A.对任一向量a，0a总是成立的 B.模为0的向量与任一向量平行>C.向量就是有向线段D.单位向量与任一向量平行（2）下列结论中，正确的是（）A.2014cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A、B，使得OA、OB是单位向量C.方向为北偏西50︒的向量与东偏南40︒的向量不可能时平行向量D.一人从点A向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从点A到B点的位移（3）有下列量：质量、速度、位移、力、加速度、路程、密度、功、海拔、温度、角度、高度.其中不是向量的有（）个A.6B.7C.8D.9（4）下列说法正确的是（ ）A.实数可以比大小，向量也可以比大小B.方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C.向量的模是正数D.向量的模可以比较大小（5）在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，则BC =_____.●课堂精讲【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）温度是向量；（2）作用力与反作用力是一对大小相等，方向相反的向量；（3）数轴是向量；（4）若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.【变式训练】在下列结论中，正确的为（ ）A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB 与向量BA 的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50︒行驶了 200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【变式训练】某人从A 地出发按北偏东30︒方向行走60米到达B 地，再从B 地向东行走100米到达C 地，再由C 地按东偏南60︒方向行走60米到达D 地.（1）作出向量AB ，BC ，CD ； （2）求AD .【例3】如图，1A 、2A 、…、8A 是O 上的八个等分点，则在以1A 、2A 、…、8A 及圆心O 九个点中任意两个点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于【变式训练】如图，菱形的一个内角是60︒，边长为2，E 是对角线AC 与BD 的交点.（1）模为2的向量最多有几个？（不再增加线段）（2）写出模为1的向量.（不再增加线段）（3）求AC .●课后反馈（1）下列各量中是向量的是（ ）A.质量B.距离C.速度D.电流强度（2）下列说法中正确的是（ ）A.有向线段AB 与BA 表示同一个向量B.两个有公共终点的向量是平行向量C.零向量与单位向量是平行向量D.若非零向量AB ‖CD ，则直线AB 与直线CD 平行 （3）如图，在O 中，向量OB ，OC ，AO 是（ ）A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.平行向量（4）下列结论不正确的是（ ）A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任意一个非零向量都可以平行移动C.若a ‖b ，且≠0b ，则≠0aD.两个有公共起点且平行的向量，其终点不一定相同（5）已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O 、A 、B 、C 、D 这5个点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，与DA 是平行向量的有（ ）A.CBB.DBC.BAD.OB（6）把平面上一切单位向量平移到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆（7）下列结论中，正确的是（ ）A.坐标平面上的x 轴，y 轴都是向量B.若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C.若0=a ，1=b ，则a ‖bD.计算向量的模与单位长度无关 （8）O 是ABC ∆内一点，且OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A.重心B.内心C.外心D.垂心（9）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF 方向相反的向量是 _______.（10）以下命题正确的是_______.①单位向量都平行；②任一单位向量都大于0；③单位向量的模相等.（11）如图，ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是_______.（12）直线l ：1y x =-上点(),A x y ，使OA 为单位向量（其中O 为坐标原点），则x =______，y =______.（13）如图，D、E、F分别是ABC∆各边的中点，若2BC=，则DF=______，BE=______.（14）如图，45⨯方格纸中有一向量AB，现以方格纸中的格点为起点和终点作向量，其中与AB长度相等且与AB平行的向量有多少个？（AB除外）（15）如图，已知四边形ABCD是矩形，O是对角线AC与BD的交点，写出以A、B、C、D、O为始点和终点的所有向量.（16）如图，A、B、C三点的坐标依次是(),x y，其中x、y∈R，当x、y满0,1、()1,0-、()足什么条件时，OC‖AB.。
(完整版)向量基础知识汇总
向量基础知识梳理1向量：既有________ ，又有_________ 的量叫向量.2. 向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作__________ .3. 向量的有关概念：(1) ________________________ 零向量：长度为________________ 的向量叫做零向量，记作.(2) ______________________ 单位向量：长度为的向量叫做单位向量.(3) ____________________ 相等向量：且的向量叫做相等向量.(4) ___________________________________ 平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a平行于b，记作__________ .②规定：零向量与__________ 平行.-1. 向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a, b,在平面内任取一点A，作AB = a, BC = b,则向量 ________________ 叫做a与ILU uuub的和(或和向量)，记作______________，即a+ b = AB + BC = ___________ .上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有a+ 0= ___________ + _______ = _______ .(2)平行四边形法则为邻边作__________ ，则对角线上的向量_________ = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.2. 向量加法的运算律(1) ____________________________ 交换律：a+ b= .(2) __________________________________________ 结合律：(a+ b)+ c= .3. 向量的减法(1) ____________________________________________________________________ 定义：a — b = a +(— b ),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ______________________________________________(3) 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为uur uun被减向量的终点为 __________ 的向量.例如：0A — 0B = ____________ .1•向量数乘运算实数入与向量a 的积是一个 ____________ ,这种运算叫做向量的 ___________ ，记作 _________ ,其长度与方向规定如下：特别地，当 =0或 a = 0时，0a = __________ 或 X) = ________2•向量数乘的运算律(1) _______________ X ( g)= .(2) ____________________ ( X+ p) a = .(3) ____________________ X (a + b )= .特另U 地，有(一 X a = ___________ = ________ ;X (a — b ) = ____________ .3.共线向量定理向量a ( 0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数X 使 ________________ .4•向量的线性运算向量的 ____ 、 ____ 、 _______ 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ,以及任意实数 X 忙 冋恒有 X ( p a 土p b )= ______________________ .1. 平面向量基本定理(1) _____________________________________ 定理：如果e1&是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 _________________________________________ 向量a, ________________________实数X,込使a = ____________________________________ . (2)作法：在平面内任取一点 umr 0,作 0A = a , uuuOB = b ，则向量a — b = 如图所示.(1) |刊=(2)扫(0)的方向 时，与a 方向相同 时，与a 方向相反(2)________________ 基底：把 _______________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内___________________________ 向量的一组基底.2. 两向量的夹角与垂直O —Ruuu uuu(1)________________________ 夹角：已知两个 _______________________ a和b,作OA = a, OB = b，则__________________________________ = 0 (0°< ________________________________ 180° ,叫做向量a与b的夹角.①范围：向量a与b的夹角的范围是 ________________ .②当0= 0°寸，a与b ________ .③当0= 180°时，a与b ________ .(2)________________________________ 垂直：如果a与b的夹角是_______________，则称a与b垂直，记作_________________________________________ .3. 平面向量的坐标表示(1)_______________________________________________ 向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______________ i, j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y使得a= ____________________ ，则_________________叫作向量a的坐标，___________________ 叫作向量的坐标表示.tun(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x, y),则OA = ，若A (禺，屮)，B (X2,nuny2),贝H AB = _______________________1•平面向量的坐标运算(1)______________________________________________________ 若a =( X1, y1), b=( X2, y2),则a+b = ___________________________________________________________ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)__________________________________________________________ 若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),贝U a- b = _______________________________________________________________________________________ ,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)___________________________________ 若a =( X , y),入€ R ,贝U沦= ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2. 两向量共线的坐标表示设 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2).(1)当 a // b 时，有______________________ .(2)__________________________________________ 当a // b且X2y2丰0时，有 .即两向量的相应坐标成比例.uuur uuu3 .若RP =沪卩2 ,贝y P与P1、P2三点共线.当入€ _______ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地入=1时，P为线段P1P2的中点；当入€________ 时，P位于线段P1P2的延长线上；当入€ _______ 时，P位于线段P l P2的反向延长线上.1．平面向量数量积(1)______________________________________________________ 定义：已知两个非零向量a与b,我们把数量______________________________________________________________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a • b，即卩a • b = |a||b|cos 0,其中B是a与b的夹角.(2)_____________________________________ 规定：零向量与任一向量的数量积为.(3)_________________________________________________________________________ 投影：设两个非零向量a、b的夹角为0贝U向量a在b方向的投影是_________________________________________ ，向量b在a 方向上的投影是________________ .2. 数量积的几何意义a • b的几何意义是数量积a • b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________________ 的乘积.3. 向量数量积的运算律(1)_______________ a • b = (交换律);(2)__________________ (扫)• b= = (结合律);(3)_________________________________ (a + b) • c = (分配律).1. 平面向量数量积的坐标表示若a =( x i, y i), b=( x2, y2),贝U a • b= __________ .即两个向量的数量积等于_________________ .2. 两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a =( x i, y i), b=( x2, y2),则a丄b? _______________ .3. 平面向量的模(1)__________________________________________________ 向量模公式：设a=( x i, y i),则|a= .uuur(2)_________________________________________________________________________ 两点间距离公式：若 A (x i, y i) , B (x2, y2),则|AB| = ______________________________________________________4. 向量的夹角公式设两非零向量a=( x i , y i) , b =( X2 , y2), a与b的夹角为0贝U cos 0= ______________________ = __________ .向量方法在几何中的应用(i)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a// b( b z 0) ? ________________(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a , b , a丄b3) 求夹角问题往往利用向量的夹角公式cos 0= _________________________ = ____________ .4) 求线段的长度或证明线段相等可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|= ______。
2.1.1-2.1.2向量物理背景与概念、向量的几何表示
【平行向量】 平行向量】 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 如图: 有向线段表示的两个平行向量a 如图:用有向线段表示的两个平行向量a、b. 表示的两个平行向量
a b
向量a 向量a、b平行，记作 a ∥b 平行， 即对于任意向量a 即对于任意向量a，都有 0∥a
归纳与整理
1.向量是为了表示、刻画既有大小， 1.向量是为了表示、刻画既有大小， 向量是为了表示 既有大小 又有方向的量而产生的 而产生的， 又有方向的量而产生的，物理中有许多 相关背景材料， 相关背景材料，数学中的向量是物理中 矢量的提升和拓展， 矢量的提升和拓展，它有一系列的理论 和方法，是沟通代数、几何、 和方法，是沟通代数、几何、三角的一 种工具，有着广泛的实际应用. 种工具，有着广泛的实际应用.
F G
质量
浸在液体中的体积
思考3 在如图所示的弹簧中， 思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩 的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内， 的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹 力的大小与什么因素有关？ 力的大小与什么因素有关？ 弹簧拉长或压缩的长度
思考4 力既有大小，又有方向， 思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中 称这种既有大小 又有方向的量为矢量， 既有大小， 称这种既有大小，又有方向的量为矢量，你 还能指出哪些物理量是矢量吗？ 还能指出哪些物理量是矢量吗？
A D C 东
如图，四边形ABCD为正方形， ABCD为正方形 例2 如图，四边形ABCD为正方形， BCE为等腰直角三角形 为等腰直角三角形. △BCE为等腰直角三角形.以图中各点为 起点和终点， 起点和终点，写出与向量 AB 平行的所 有向量. 有向量.
D C
A
B
空间向量与解析几何
空间向量与解析几何空间向量和解析几何是高等数学中的两个重要概念。
本文将介绍空间向量和解析几何的基本概念和相关性质，并探讨它们在几何问题中的应用。
一、空间向量的定义和性质空间向量是指具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示。
空间中的向量通常用字母加箭头标记，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
1.1 向量的表示空间向量可以用坐标表示，也可以用点和方向向量表示。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，则向量AB的坐标表示为A B⃗=(x2 - x1) i⃗ +(y2 - y1) j⃗ +(z2 - z1) k⃗，其中i⃗、j⃗和k⃗分别是x、y、z轴的单位向量。
1.2 向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2.1 向量加法若有向量A B⃗和向量C D⃗，则它们的和为A B⃗ + C D⃗ = A C⃗。
1.2.2 向量减法向量减法与向量加法类似，即A B⃗ - C D⃗ = A B⃗ + (- C D⃗)。
1.2.3 数乘运算若有向量A B⃗，实数k，则kA B⃗ = A B⃗ + A B⃗ + ... + A B⃗ (k个A B⃗)。
1.3 向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积是两个重要的向量运算。
1.3.1 向量的数量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的数量积定义为A B⃗・ C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | cosθ，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，|A B⃗|和|C D⃗|分别为向量的模。
1.3.2 向量的向量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的向量积定义为A B⃗ × C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | sinθ n⃗，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，n⃗为与A B⃗和C D⃗都垂直且符合右手定则的单位向量。
二、解析几何的基本概念和性质解析几何是将几何问题转化为代数问题进行研究的数学分支，它主要运用代数方法研究空间中的几何问题。
向量知识点
、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§ 2.1.2>向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量扇的大小，也就是向量扇的长度（或称模），记作|AB|；长度为零的向量叫做零向量;长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定:零向量与任意向量平行.、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法那么和平行四边形加法法那么.―► —►—► —►a +b a + b.2、§2. 2. 2、向量减法运算及其几何意义1、与。
长度相等方向相反的向量叫做。
的相反向量.2、三角形减法法那么和平行四边形减法法三角形遍法法那平行边形遍法法那§2. 2. 3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数人与向量。
的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作:膈,它的长度和方向规定如下：（1）Aai = l/lLL⑵当；I >0时，的方向与。
的方向相同；当2<0时，人］的方向与。
的方向相反.2、平面向量共线定理:向量a［a 6）与片共线，当且仅当有唯一个实数人，使方= 4".§2. 3.1、平面向量根本定理1、平面向量根本定理:如果。
］,勺是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内(l)a-b = x }x 2 + y 2 ⑵ a =+ y} a Lb a^b = Q x x x 2 + ^^2 =。
―► —► —► —►任一向量。
，有且只有一对实数2] , 22 ,使"=人]弓+人2。
2 • § 2. 3. 2＞平面向量的正交分解及坐标表示 a = xi + yj = (x, y) •、平面向量的坐标运算 1、 1、设a = (x i ,y i \b = (x 2,y 2),那么:(& +万=(邑 +x 2^Ji +.2)，一&=3 一知、 一无)，(3)人1 =(入］,人乂)，^a//b<^>x x y 2 =x 2y r设 A （M , 乂）, 3（听，光），贝土 AB= （X 22、 1、设 A(%!, yj), B(X 2 , y 2 \ C(x 3, y 3),那么 ⑴线段AB 中点坐标为。
《高中数学》教师资格证考试教学设计题教材指引
《高中数学》教师资格证考试教学设计题教材指引必修一第一章集合与函数的概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示(1)知道是利用实例引出集合、元素的概念； (已经考过)(2)利用思考问题引出集合的性质(3)知道列举法和描述法1.1.2 集合间的基本关系(已经考过)(1)知道是通过“实数之间的关系”这一旧知引出新知(2)知道子集、真子集等概念，以及区别1.1.3 集合的基本运算(1)也是利用旧知得出新知(2)知道并集、交集、补集的概念并读一下他们的运算方法是怎么探究出来的1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念(已经考过)(1)注意引出函数概念的三个实例(是解析式、图象和列表三种方式表示函数的)(2)理解函数、定义域、值域、区间的概念，会举例(课本中的思考：反比例函数) 1.2.2 函数的表示法(1)理解函数的三种表示方法，会举例1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(已经考过)(1)从图象(形)、列表(数)两个方面引出变量之间的关系，导入课程(2)从函数解析式的一般形式角度引出增函数、减函数的概念，需要掌握概念的探究过程(已经考过)，注意例 1、例 2(3)函数最大值最小值的概念及探究过程1.3.2 奇偶性(1)注意奇偶性知识点引入的方法，由特殊图形到一般结论(2)奇函数和偶函数的概念及探究过程(特殊实例)(3)奇函数和偶函数图象的特点及性质第二章基本初等函数( 1)2.1 指数函数(1)注意两个问题 GDP 和碳 14，理解意思即可2.1.1 指数与指数幂的运算(1)知道根式的概念和运算(基本属于复习初中内容)(2)分数指数幂的概念及运算性质的推广2.1.2 指数函数及其性质(1)知道指数函数的概念标准形式，引入过程(2)知道指数函数的图形的特点，性质，已经这些知识是怎么探究来的(画图，观察、寻找共同点、总结) (这样的一节课的设计模式与幂函数、对数函数是一样的)2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算(1)注意对数、底数、真数等的概念(已经考过)(2)能够认识到是通过对数与指数之间的关系探究出对数的运算性质，注意课本中的探究过程2.2.2 对数函数及其性质(1)知道对数函数的概念标准形式，引入过程(2)知道对数函数的图形的特点，性质，已经这些知识是怎么探究来的(画图，观察、寻找共同点、总结)2.3 幂函数(1)注意课本引入中的例子(2)知道幂函数的概念标准形式，引入过程(2)知道幂函数的图形的特点，性质，已经这些知识是怎么探究来的(画图，观察、寻找共同点、总结)第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点(1)了解方程的根与函数的零点这个知识的探究过程(怎么探究出来的(数形结合) )(2)会背结论，零点定理3.1.2 用二分法求方程的近似解了解操作流程和步骤即可3.2 函数模型及其应用(适当阅读即可)必修二第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(1)对各种几何体的概念和各部分名称了解即可1.1.2 简单组合体的结构特征(了解)1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影(知道概念即可)1.2.2 空间几何体的三视图(1)知道主视图、侧视图和俯视图的概念(2)如何带领学生探究三图在形状、大小方面的关系1.2.3 空间几何体的直观图(1)注意斜二测画法的步骤1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)注意柱体、锥体、台体的表面积的引入和结论的探究过程(2)注意体积的结论1.3.2 球的体积和表面积(了解)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面(1)由“思考”中的问题得出公理 1(2)了解公理 2(3)由“思考”中的问题得出公理 32.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(1)由第一个思考引出新知(2)由探究与观察得出公理 4(3)注意后面的探究思考和探究中的问题2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系(1)由“思考”中的问题引出新知2.1.4 平面与平面之间的位置关系(了解)2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定(1)由观察及后面的内容引发猜想，由探究里的问题进行探究得出定理，例 1 是定理的应用2.2.2 平面与平面平行的判定(1)由观察引出新知，由探究中的问题分情况讨论探究出定理，例 2 是定理的应用2.2.3 直线与平面平行的性质由“思考”中的问题引发讨论得出结论，并证明，最后总结性质定理2.2.4 平面与平面平行的性质由思考中的问题讨论、证明得出性质定理2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定(1)注意引入的实例(2)注意探究中的活动(3)注意由思路的问题总结出定理2.3.2 平面与平面垂直的判定(1)理解二面角的平面角的概念(2)注意定理探究的过程2.3.3 直线与平面垂直的性质(1)由思考中的问题进行探究引出定理2.3.4 平面与平面垂直的性质(1)注意由思考中的问题进行探究得出定理的过程第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3． 1.1 倾斜角与斜率(1)注意倾斜角、斜率的概念及概念的探究过程(2)利用分情况讨论得出斜率公式3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(1)注意是有斜率来判断直线位置关系的，利用思考中的问题进行推导得出结论(2)由思考和探究中的问题得出垂直的结论，注意怎么推导的3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程(1)知道由斜率公式得出点斜式方程(2)知道斜截式的概念和推导过程，几何意义3.2.2 直线的两点式方程(1)知道是通过斜率计算公式得出两点式方程3.2.3 直线的一般式方程(1)利用思考中的问题进行分类讨论得出概念3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标由思考中的问题引出新知认识利用代数法求交点3.3.2 两点间的距离由思考中的问题引入新知，利用数形结合转化成直角三角形借助勾股定理探究出结论3.3.3 点到直线的距离由思考揭示问题，构造直角三角形，利用勾股定理、面积相等的知识推导出结论3.3.4 两条平行直线间的距离注意探究中的问题和例 7(详细知识点补充↓)2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系(一)平面1.平面(参见必修二第 41 页图2.1-2)(1)公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
中职数学平面向量教案
中职数学平面向量教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度绘制向量图，让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念，即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章：向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合，即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性，即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章：向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用，如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用，如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章：向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念，即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解，即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解，解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解，即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解，解释坐标分解的性质和运算规律第八章：向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念，即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组，即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组，解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程，即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章：向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念，即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质，如向量加法、数乘运算的封闭性，线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间，即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律，以及子空间之间的关系第十章：向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用，如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用，如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用，如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示：重点关注向量的定义和几何表示方法，理解向量的方向和大小。
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。
解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。
强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。
1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。
引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。
2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。
引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。
第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。
3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。
举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。
第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。
强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。
4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。
举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。
第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。
空间解析几何公式
空间解析几何公式1. 什么是空间解析几何？空间解析几何是数学中的一门分支，主要研究空间中点、直线、平面的性质和变化规律，利用解析方法（代数方法和几何方法的结合）进行研究。
它是三维空间几何和解析几何的结合，其研究对象涉及到三维空间中点的坐标、向量、线、面等内容，用解析方法研究几何性质和规律，解决空间几何问题。
空间解析几何是算法几何的重要分支，是现代数学、物理学、计算机科学、工程学等领域中的重要基础学科。
2. 空间解析几何公式在三维空间中，常用的解析几何公式主要有以下几种：2.1 点的坐标公式三维空间中的点经常用空间中坐标表示，它的坐标表示方法为(x,y,z)，其中x、y、z分别是点在三个坐标轴上的投影距离。
根据勾股定理可知，三维空间中的距离公式为：d(P1,P2)=Sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]其中P1和P2分别是空间中的两个点，d(P1,P2)为它们之间的距离。
2.2 向量的坐标公式向量是基本的几何工具之一，它们是空间中的箭头，用来表示物体在空间中的方向和大小。
空间中的一个向量a可以用(x,y,z)向量表示法来表示，其中x、y、z分别称作向量a在x、y、z方向上的分量。
向量a的大小为a的长度，记作|a|，它可以通过距离公式计算得到。
2.3 直线的参数式方程公式在三维空间中有以下两种表示直线的方法：方程式表示和参数式表示。
参数式表示是指使用参数t表示空间任何一点P在直线L上的位置，表达式为：P=P0+t*a其中P0是直线L上的一个已知点，a是该直线的方向向量，t为参数。
方向向量a是由直线上两个不同点的位置矢量相减得到的，即a=P1-P0。
如果将P的坐标表示为(x,y,z)，那么上式也可以写成：x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct其中a、b、c为未知常数，x0、y0、z0分别是直线L上的已知点的坐标。
2.4 平面的一般式方程公式平面是三维空间中的二元一次方程，它可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A、B、C、D为任意四个实数，且A、B、C不同时为零。
向量知识点总结
向量知识点总结在数学和物理学中，向量是一种具有大小和方向的量。
它在许多领域中都有广泛应用，包括几何、力学、电磁学等。
本文将总结向量的基本概念、运算法则以及一些常见应用。
1. 向量的基本概念向量由大小和方向两个要素组成。
我们通常用箭头（→）来表示向量，如AB→。
向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。
2. 向量的表示方法2.1 坐标表示：向量的坐标表示为(x, y, z)，分别代表向量在x、y、z轴上的投影长度。
2.2 矩阵表示：向量也可以用矩阵表示，如A = [a1, a2, a3]，其中a1、a2、a3为向量在不同轴上的分量。
3. 向量的运算法则3.1 向量的加法：当两个向量的方向相同时，它们的加法就是将两个向量的对应分量相加，如A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
3.2 向量的减法：向量的减法是指将被减向量的分量取相反数后与减向量相加，如A - B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
3.3 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量都与一个常数相乘，如kA = (kx, ky, kz)，其中k为常数。
3.4 向量的点积：向量的点积是指两个向量对应分量乘积的和，如A · B = x1x2 + y1y2 + z1z2，结果是一个标量。
3.5 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量相乘得到一个新的向量，如A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
4. 向量的性质4.1 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
4.2 垂直向量：如果两个向量的点积为0，则它们是垂直向量。
4.3 单位向量：向量的长度称为其模，单位向量是模为1的向量。
5. 向量的应用5.1 几何：向量在几何中有广泛的应用，如表示线段、直线、平面的方向和距离等。
5.2 力学：向量在力学中用于描述力和速度等物理量。
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2.2.2反证法
第三章数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
3.3.1数系的扩充和复数的概念
3.3.2复数的几何意义
3.2复数代数形式的四则运算
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
3.2.2复数代数形式的乘除运算
第四章框图
4.1流程图
4.2结构图
理科必考内容：
1.4.2存在量词
1.4.3含有一个量词的命题的否定
第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程
2.1.2求曲线的方程
2.2椭圆
2.1.1椭圆及其标准方程
2.1.2椭圆的简单几何性质
2.3双曲线
2.2.1双曲线及其标准方程
2.2.3双曲线的简单几何性质
2.4抛物线
2.3.1抛物线及其标准方程
2.2.1向量加法运算及其几何意义
2.2.2向量减法运算及其几何意义
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3平面向量的坐标运算
2.3.4平面向量共线的坐标表示
2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2.2.3双曲线的简单几何性质
2.3抛物线
2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.2抛物线的简单几何性质
第三章导数及其应用
3.1变化率与导数
3.1.1变化率问题
3.1.2导数的概念
3.1.3导数的几何意义
3.2导数的计算
3.2.1几个常用函数的导数
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
苏教版向量的概念及表示
2．下列物理量：①质量；②速
①⑥⑦⑧ [一个量是不是向量，
度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路 就是看它是否同时具备向量的两个
程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的 要素：大小和方向．由于速度、位移、
有______(填序号)．
力、加速度都是由大小和方向确定
的，所以是向量；而质量、路程、密
度、功只有大小而没有方向，所以不
第2章 平面向量
2.1 向量的概念及表示
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学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解向量的实际背景，理解平面向
量的概念．(重点)
2．理解零向量、单位向量、相等向 通过学习本节内容提升学生的数学
量、共线(平行)向量、相反向量的含 抽象和直观想象核心素养.
义．(重点、难点)
3．理解向量的几何表示．(重点)
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思考 3：已知 A，B 为平面上不同两点，那么向量A→B和向量B→A相等吗？
它们共线吗？ [提示] 因为向量A→B和向量B→A方向不同，所以二者不相等．又表示它
们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．
思考 4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同
吗？ [提示] 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任
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[解] (1)如图：
(2) 由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线，即 AB∥CD. 又∵|A→B|＝|C→D|，∴在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD，
∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
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用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模 的大小确定向量的终点.必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方 向或长度模，选择合适的比例关系作出向量.
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
向量
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
CB、DO、FE
向量的概念:
（1）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（2）若 a和b都是单位向量，则 a = b;
（3）若|a|>|b| ，则a > b （4）若a = b，b = c，则a = c。
(5) 若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一
× × × √ ×
点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
向量的表示方法： 零向量、单位向量概念： 平行向量定义： 相等向量定义：
共线向量与平行向量关系：
2.1.1
向量的物理背景与概念
2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
嘻嘻!大笨 猫!
A B
唉, 哪儿 去了?
猫以5m/s的速率追赶一只以2m/s逃跑的小老鼠……
箱子的质量m
(1)
手对球的压力F
(2)
地面对球的支持力F１
观察上述三个量有什么区别？ 在我们生活中，有哪些量是 数量，哪些是向量？ 向量：既有大小，又有方向的量。 数量：只有大小，没有方向的量。
如： a, b, c……
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|=0
思 考 与 判 断
1相等向量一定是平行向量吗? 2平行向量一定是相等向量吗? 3.若AB//CD ，那么非零向量AB//CD吗？ 4.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？
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2.1平面向量的实际背景及基本概念
温馨提示：用心去倾注.用脑去思考.用行动去演绎你的数学人生。
一、学习目标
1、使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
二、重难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：理解并集与交集的概念，符号之间的区别与联系
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
三、学习过程
【一】情景引入：
警察追小偷，爱国者导弹，南辕北辙成语故事
【二】新知探究
自学课本74页回答问题
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？请说出与位移具有同样特征的量？
2、力既有大小，又有方向，在物理学中称这种既有大小，又有方向的量为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？
3、数量与向量的区别？
数量：____________________________________
向量：____________________________________
4、向量的表示方法？
①几何表示：____________________有向线段三要素：_____________
②用字母表示向量：_______________________________
5向量的长度
1、向量的长度：_______________________________
2、零向量、单位向量概念：
①叫零向量，记作_____.方向___________
②叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
思考：1、单位向量唯一吗?
2、平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向量,它们终点的轨迹是什么图形?
4、平行向量定义：
①叫平行向量；②我们规定0与平行.
5、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为
6、相等向量定义：
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．
. 【三】理解和巩固：
例1 书本75页例1.（课后自学）
例2：如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在如图所标出的向量中：
（1） 试找出与FE 共线的向量；
（2） 确定与FE 相等的向量；
（3） OA 与BC 相等吗？
实战训练
1回答：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
2下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行 3．已知非零向量b a //,若非零向量a c //，则与b 必定
4．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.。